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SESION 10 FICHA DE MATEMATICA

En la feria escolar para recaudar fondos se propone la siguiente actividad

JUEGA CON LAS MONEDAS Y GANA UN PREMIO Lanza 5 monedas solo por S/. 5  Si sacas 5 caras o 5 escudos Ganas un Kit escolar Cualquier otro resultado con las monedas pierdes

Responde las siguientes preguntas a. Haciendo uso del diagrama de árbol plantea una forma de reconocer los posibles resultados que te permitirían ganar el juego. b. Cuál es la probabilidad que un jugador gane y un jugador pierda c. Para poder cumplir con los premios a los ganadores se invirtió el monto de S/. 35 por cada uno. Si 800 persona juegan. ¿Cuánto se espera recaudar en dicha actividad?

APRENDEMOS Muchos juegos que jugamos en casa y con nuestros amigos, se basa en probabilidades. A continuación estudiaremos conceptos básicos de la probabilidad.    

El problema mostrado tiene la característica de ser un experimento aleatorio. En el experimento se presenta un conjunto de sucesos, que pueden darse en los diferentes resultados de lanzar las monedas, a esto se denomina espacio muestral. El resultado de lanzar las monedas y reconocer resultados como por ejemplo: CCCSS, CCSSC o CCSSS, permiten reconocerlos como eventos. Para la resolución del problema y poder reconocer el espacio muestral se solicitó el elaborar un diagrama de árbol de tal forma que te permitió reconocer los sucesos seguros.

¿Qué es un experimento?

Un experimento es cualquier acción o proceso cuyo resultado está sujeto a la incertidumbre. La palabra experimento puede normalmente pensarse como una situación de prueba de laboratorio planeada o controlada con cuidado, en el estudio de la probabilidad se le utiliza en el sentido más amplio, estos pueden ser por ejemplo:     

Lanzar una moneda al aire una o varias veces Seleccionar una o diversas cartas de una baraja Averiguar el tiempo de ir de la escuela al hogar Obtener los tipos de sangre de los estudiantes de un grado Medir resistencia de materiales como las vigas de construcción, etc.

En un experimento de tales características, el conjunto de resultados posibles del experimento se denomina espacio muestral. Por ejemplo: Un experimento sencillo seria lanzar una moneda, en el cual se reconocería dos resultados posibles, este sería cara (C) o sello (S) el resultado se puede abreviar en δ={ C , S } Otro ejemplo: Imaginemos que gasolineras se ubican en un intersección, cada una tiene 4 bombas Considere el experimento en que cada gasolinera se determina el número de bombas en uso en determinado día. Un resultado experimental especifica cuantas bombas estarán en uso en la primera gasolinera y cuantas en la segunda.

Primera gasolinera

Segunda gasolinera

0 1 2 3 4

0 0, 0 1, 0 2,0 3,0 4,0

1 0, 1 1, 1 2,1 3, 1 4,1

2 0, 2 1, 2 2,2 3, 2 4,2

3 0, 3 1, 3 2,3 3, 3 4,3

4 0, 4 1, 4 2,4 3, 4 4,4

Un evento es cualquier colección (subconjunto) de resultados contenida en el espacio muestral. ¿Qué importancia tiene el diagrama de árbol? Algunos experimentos se pueden generar en etapas y el espacio muestral se puede mostrar en un diagrama de árbol. Cada nivel de ramificación sucesivo del árbol corresponde a un paso requerido para generar el resultado final. Por ejemplo: Un técnico médico registra el tipo sanguíneo y factor Rh de una persona. Haga una lista de los eventos sencillos del experimento.

Otro ejemplo: Lanzar una moneda tres veces.

¿Cómo la regla de Laplace no ayuda a resolver el problema? La regla de Laplace dice que en un espacio muestral formado por sucesos equiprobables (todos tienen la misma probabilidad de realizarse), la probabilidad asociada a cada suceso (A) es igual a: P ( A )=

Casos favorables Casos posibles

Es decir con esta regla podremos reconocer que eventos son favorables para reconocer que un jugador gane o pierda, a partir de todos los eventos reconocidos que pueden ocurrir en el experimento. Por ejemplo: Un frasco contiene cuatro monedas: una de 5, 10, 20 y una de 50 céntimos. Se seleccionan al azar tres monedas del frasco. ¿Cuál es la probabilidad de que la selección contenga la moneda de 50 centavos?  

Casos favorables: 1 Casos posibles: 4

1 P ( A )= =0.25 4 Otro ejemplo: Lanzar una moneda tres veces.

¿Cuál es la probabilidad que al lanzar tres veces una moneda se obtenga solo dos veces consecutivas el ser de cara o sello?  

Casos favorables: 2 Casos posibles: 8

4 P ( A )= =0.5 8 ¿Qué propiedades podemos reconocer con la Regla de Laplace? 

Cualquier probabilidad es siempre un valor numérico entre 0 y 1, la probabilidad es cero si el evento no puede ocurrir. La probabilidad es uno si el evento es seguro. 0≤ p(A) ≤ 1



La probabilidad de que un evento ocurra es uno menos del que evento no ocurra. C

P ( A )=1−P ( A ) 

Le asignamos una probabilidad a cada resultado del espacio muestral, entre 0 y 1, tal que la suma de estas probabilidades es igual a 1.

ANALIZAMOS

Problema N.° 1 En un experimento de genética, el investigador apareó dos moscas de la fruta Drosophila y observó los rasgos de 100 descendientes. Los resultados se muestran en la tabla. Color de ojos

Tamaño de alas Normal

Miniatura

Normal Bermellón

140 3

6 151

Uno de estos descendientes se selecciona al azar y se le observan los dos rasgos genéticos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la mosca tenga color normal de ojos y tamaño normal de alas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la mosca tenga ojos bermellón? c) Si comparamos las dos situaciones anteriores cual es más posible que ocurra Resolución a) o Casos favorables: 140 o Casos posibles: 140+6+3+151=300 P ( A )=

140 =0.47 300

b) o Casos favorables: 3 o Casos posibles: 3 + 151 = 154 P ( A )=

3 =0.01 154

c) 0 ≤ 0.01 < 0.47 ≤ 1 Mientras más próximo este a 1 es más probable que ocurra en la comparación de eventos. Problema N.° 2 En una cuadrícula de 4 cm × 4 cm dejamos caer 5 000 veces una moneda y contabilizamos que “no toca raya” en 1 341. Estima cuál es el diámetro de la moneda.

Resolución Caso posible= Área del cuadrado grande = 4 2 = 16 cm2 Caso favorable= Área del cuadrado pequeño = (4 - d) 2 = 16 cm2

P ( A )=

( 4−x ) 1341 =0.2682= 5000 16

2

( 4−x )2=4.2912 x=1.93 cm Problema 3 En un centro poblado, el 40% de la población tiene cabellos claros, el 25% tiene los ojos claros y el 15% tiene cabellos y ojos claros. Se escoge una persona al azar: a) Si tiene cabellos claros, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga ojos claros? b) Si tiene ojos claros, ¿cuál es la probabilidad de que tenga cabellos claros? c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos claros? Usa la siguiente tabla Cabellos claros Cabellos no claros

Ojos claros 15

Ojos no claros

Total 40

25

100

Resolución Hacemos la tabla Cabellos

Ojos claros 15

Ojos no claros 25

Total 40

claros Cabellos no claros

10

50

60

25

75

100

a) o Casos favorables: 15 o Casos posibles: 40 P ( A )=

15 =0.37 40

b) a. Casos favorables: 15 b. Casos posibles: 25 P ( A )=

15 =0.6 25

c) a. Casos favorables: 50 b. Casos posibles: 100 P ( A )=

50 =0.5 100

Problema 4 Tenemos una caja con 10 bolas, numeradas del 1 al 10. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 5?. Para dar atención a este problema, un grupo de estudiante considero realizar un experimento relacionado a simular la extracción de las bolas, para ello considero usar un programa que simule 1000 extracciones a la supuesta caja, los resultado son los siguientes. Número de la bola 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Frecuencia 99 96 102 93 101 105 101 102 103 98

Sin realizar un procedimiento propio de la probabilidad, haciendo uso de tu observación, reconocer relaciones o realizar operaciones básicas. ¿Plantea una afirmación relacionado

al evento planteado y a los resultados del simulador en razón a “siempre”, “ a veces” o “nunca” Podríamos haber planteado: a) b) c)

Siempre en razón al número de eventos el programa de simulación va expresar una distribución equitativa de posibles resultados en razón al número de simulaciones. A veces el programa de simulación expresa una distribución equitativa de los eventos, como es el caso de la situación planteada. Nunca el programa de simulación va acertar con la probabilidad que ocurra un evento, para ello es necesario aplicar la regla de Laplace.

PRACTICAMOS 1. En cuál de las siguientes ruletas es más fácil obtener el color azul?

___________________________________________________________________ 2. Para un juego del trompo se juega con un instrumento de cuatro esquinas. Jugando en el grupo se ha realizado el registro de lo que sacan los jugadores. DN III

TA

NP II

PE I

IIII

En qué se diferencia la probalidad aplicando la Regla de Laplace y el experimento realizado por los estudiantes. 3. Un recipiente contiene tres pelotas rojas y dos verdes. Dos de ellas se seleccionan al azar y se registran sus colores. Emplear el diagrama de árbol para hacer una relación de los 20 eventos simples del experimento, teniendo en cuenta el orden en el que se sacan las pelotas.

4. Una compañía procesadora de Té, tiene proyectado efectuar un experimento para comparar su marca de té con la de tres empresas de la competencia. Para ello contratan a un catador para probar y clasificar cada una de las cuatro marcas de té, que no tienen nombre del producto excepto por símbolos de identificación A, B, C y D. Si el probador no tiene capacidad para distinguir una diferencia en gusto entre los tés, ¿cuál es la probabilidad de que el probador clasifique el té tipo A como el más deseable? a) b) c) d)

0.25 0.33 0.50 0.75

5. En la caja A se han metido 3 bolitas verdes y 1 bolita blanca. En la caja B se han metido 2 bolitas verdes y 1 bolita blanca. Si tienes que sacar una bolita verde para ganar un premio, ¿cuál de las dos cajas elegirías para hacer la extracción? ¿Por qué? a) La caja B debido a que su espacio muestral es menor, hay más posibilidades. b) La caja A debido a que su espacio muestral seria de tres bolitas has más posibilidad. c) La caja A debido a que 3 bolitas verdes/4 bolitas totales se aproxima más al valor de 1. d) La caja B debido a que 1 bolitas blanca/2 bolitas verdes expresa el punto medio entre 0 y 1. 6. Fernanda asiste a la Casa de Cultura de su municipio; en esta Casa de Cultura le presentan el siguiente afiche.

Fernanda ha decidido en sus vacaciones realizar actividades relacionada al movimiento artístico corporal. ¿Cuál es la probabilidad que su elección sea la Danza Arabe? ___________________________________________________________________ 7. Para promover la visita a los museos, el museo Señor de Sipan, a lanzado una campaña , por la compra de una entrada, se recibe una cajita sellada con un

souvenier que expresa una réplica de las joyas encontradas en las tumbas reales. Los modelos son los mostrados.

Si el museo distribuyó de manera uniforme estos recuerdos en las cajas, ¿cuál es la probabilidad clásica de que al entrar al museo me salga una caja, y que ésta no muestre un venado? a) 0.25 b) 0.50 c) 0.75 d) 1.00 8. Se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos. A continuación de muestra los resultados.

Dado 2

Dado 1 1 2 3 4

1 2 3 4 5

2 3 4 5 6

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8

5 6 7 8 9

5

6

7

8

9

6

7

8

9

1

1 0 1

6 7 8 9 1 0 1 1 1

0

1

2

Podremos afirmar: a) La probabilidad que la suma de los puntos de los dados sean 3 es 2/9. b) La probabilidad que la suma de los puntos de los dados sean 10 es 1/18. c) La probabilidad que la suma de los puntos de los dados sean 7 es 1/6. d) La probabilidad que la suma de los puntos de los dados sean 1 es 1/18.

9. Un salón de Belleza atiende en dos turnos, se sabe que por la mañana llegó atender 12 cortes de cabello, 5 ondulados y 9 laceados, mientras que por la tarde 4 cortes de cabello, 10 ondulados y 3 laceados. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona llegue atenderse por la tarde? a. 0.39 b. 0.40 c. 1.52 d. 0.65

10. El aula del 4to grado B, necesita elegir un comité de deportes, la cual consta de presidente y un secretario. Si se sabe que en el grupo hay 4 varones y 5 damas. Hallar la probabilidad de seleccionar un varón y una dama. a. 0.81 b. 0.83 c. 0.65 d. 0.50

11. El consumo de agua mineral ha sido una nueva propuesta de la Institución educativa “San Fernando”, si la tabla muestra la preferencia de los estudiantes Si consumen No

consumen

Estudiante Hombre Estudiante Mujer

agua mineral 33 68

agua mineral 47 22

¿Cuál es la probabilidad de que al elegir a un estudiante al azar no consume agua y sea mujer? a. 0.326 b. 0.129 c. 0.888 d. 0.594

12. En la ciudad de Huancayo, se tiene a la venta tres tipos de periódicos: “Correo”, “La Voz” y “Amanecer”. Se sabe que el 40% de la población lee “Amanecer”, el 22% lee “Correo” y 19% lee “La Voz”. Además se sabe que el 8% lee “Amanecer” y “Correo”, el lee 6% “Amanecer” y “La Voz”, y 4% “La Voz” y “Correo”. Si elegimos un habitante al azar, ¿Cuál es la probabilidad de lea únicamente “Amanecer” y “La Voz”?

a. 0.12 b. 0.06 c. 0.11 d. 0.28

13. La Institución Educativa N° 2055 del distrito de Comas, en su biblioteca tiene dispuesto en una estantería de libros, de las cuales 45 de ellos es de comunicación y 30 de matemática. Si hoy ingresa un estudiante E1 y elige un libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación ingresa otro estudiante E2 elige otro libro al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el libro elegido por el estudiante E2 sea de comunicación?

a. 0.12 b. 0.24 c. 0.66 d. 0.60

14. En el AAHH “José Carlos Mariátegui” se llegó a ver que 5% de la población padece de una enfermedad. Para poder detectar la enfermedad se realizó una prueba diagnóstica. En la prueba diagnóstica se observó que en pacientes que padecen la enfermedad es un 90% da positiva, mientras que un 94% de los individuos que no padecen dan negativos. Si elegimos un poblador al azar ¿Cuál es la probabilidad de que el poblador de positivo y padezca la enfermedad?

a. 0.045 b. 0.090 c. 0.144 d. 0.090

15. Pedro y Luis cuentan con dos bolsas con bolas y un dado.

El juego está ligado a las siguientes condiciones: 

Se lanza el dado, si resulta 1 o 2 se extrae una bola de la bolsa I.



Se lanza el dado, si resulta 3;4; 5 o 6, se extrae una bola de la bolsa II

Determine ¿Cuál es la probabilidad de que al tirar el dado resulte 2 y se elija la bola verde?

a. 0.011 b. 0.285 c. 0.166 d. 0.047