FICHA 4 MATEMÁTICA – 5º DE SECUNDARIA SÓLIDOS GEOMÉTRICOS DE REVOLUCIÓN EN NUESTRA VIDA DIARIA Los conos de seguridad s
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MATEMÁTICA – 5º DE SECUNDARIA SÓLIDOS GEOMÉTRICOS DE REVOLUCIÓN EN NUESTRA VIDA DIARIA Los conos de seguridad sirven para la señalización vial, representando un elemento de seguridad para transeúntes o conductores. Asimismo, sirven para indicar desvíos, pozos, obras en caminos, calles y carreteras; debiendo tener como mínimo una altura de 47,5 cm. Estos conos pueden fabricarse de diversos materiales como goma, plástico, PVC, entre otros materiales que permitan soportar el impacto evitando que se dañen los vehículos o dañen a otros. Los conos de mayor tamaño son empleados cuando el volumen de tránsito, velocidad u otros factores lo requieren. Los conos de seguridad son de color naranja y en las noches deben ser reflectantes o equiparse tengan buena visibilidad.
con dispositivos
luminosos
para que
1. ¿Qué función tienen los conos en las imágenes observadas? ____________________________________________________________________________________ ______________________________________________________ 2. ¿En tu escuela utilizan los conos de seguridad? Da ejemplos concretos. ____________________________________________________________________________________ ______________________________________________________ 3. ¿Qué tipos de conos representan estos sólidos geométricos que son utilizados para la señalización vial? ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________ 4. La municipalidad ha adquirido conos de seguridad de color naranja de 48cm de altura y los diámetros de la base mayor y menor son 36cm y 8cm respectivamente, para el desvió del tránsito deben de tener una banda reflexiva de 10cm aprox. de ancho. ¿Cuál es la superficie cubierta por la banda reflexiva? ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ________________________ Aprendemos: Respecto a la situación planteada “Sólidos geométricos de revolución en nuestra vida cotidiana”, se observa que en nuestro entorno encontramos cuerpos geométricos de diferentes formas, como son los sólidos de revolución cono y cilindro, los cuales muchas veces son truncados con una determinada finalidad. De ellos, podemos calcular su área y volumen, asimismo, obtener su desarrollo y las proyecciones en tres vistas: de frente, de arriba y lateral. CUERPOS GEOMÉTRICOS TRUNCADOS TRONCO DE CONO El tronco del cono recto o cono truncado recto es una superficie de revolución generada al girar un trapecio rectángulo sobre el lado perpendicular a sus bases. También puede entenderse como el corte del cono en paralelo a la base y eliminar la parte que tiene el vértice del cono.
Gira 360°
Tronco de cono
ÁREAS Y VOLUMEN DE UN CONO TRUNCADO Área lateral de un cono truncado
𝐴𝐿 = 𝜋 (𝑅 + 𝑟) 𝑔
Donde: R: Radio de la base mayor r: Radio de la base menor h: Altura1 | P á g i n a g: Generatriz
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Área de un cono truncado
𝐴𝑇 = 𝜋 [ 𝑔 (𝑅 + 𝑟) + 𝑅 2 + 𝑟2 ] Volumen de un cono truncado
𝑉=
1 𝜋 ℎ[𝑅 2 + 𝑟2 + 𝑅. 𝑟 ] 3
TRONCO DE CILINDRO O CILINDRO TRUNCADO El tronco de cilindro es el sólido que se obtiene al cortar el cilindro de revolución por un plano no paralelo a sus bases. Tronco del cilindro ÁREA Y VOLUMEN DE UN CILINDRO TRUNCADO Área lateral de un cilindro truncado
𝐴𝐿 = 𝜋 𝑅 (𝐺 + 𝑔) Área del cilindro truncado
𝐴𝑇 = 𝜋 𝑅 (𝐺 + 𝑔) Área lateral
+
𝜋𝑅 2 +
𝜋𝑎𝑏
Área del círculo
Área de la elipse
Volumen del cilindro truncado
𝐺+𝑔 𝑉 = 𝜋 𝑅2 ( ) 2 Analizamos
Donde: R: Radio del círculo G: Generatriz mayor g: Generatriz menor a: Semieje mayor proyecto b:región. Semieje menor maqueta a
1. Los estudiantes de quinto grado realizan un de investigación sobre el volcán de la Para ello, representan sus medidas en una escala de 1: 2000, tomando en cuenta la siguiente información: Diámetro del cráter de 840m, diámetro de la base del volcán de 1800m y el ángulo de inclinación del volcán de 37°. Para la elaboración del tronco de cono utilizaron arcilla de color marrón y para la chimenea, la cual tiene forma de cilindro, utilizaron arcilla de color naranja, tal como se muestra en la figura. Ayuda a determinar a los estudiantes en cuánto excede la cantidad de arcilla de color marrón a la arcilla de color naranja utilizada en la elaboración de la maqueta. RESOLUCIÓN A partir de la escala 1: 2000, determinamos las medidas que se utilizan en la elaboración de la maqueta. Diámetro del cráter:
840 𝑚 =
(840 ) (100) 2000
= 42 𝑐𝑚
Diámetro de la base del volcán: 1800 𝑚 = = Se construye un gráfico para ubicar la información proporcionada en el problema.
C
h
A
B
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Calculamos: Volumen de la cantidad de arcilla color naranja
𝑉 = 𝜋 𝑅2 ℎ
Volumen de la cantidad de arcilla color marrón
𝑉=
1 3
𝜋 ℎ[ 𝑅2 + 𝑟 2 + 𝑅. 𝑟 ] − 𝜋 𝑅2 ℎ
La cantidad de arcilla de color marrón excede a la cantidad de arcilla de color naranja en ___________________ 2.
Se quiere elaborar cuñas de acero en forma de cono truncado con un agujero central que sirva para ajustar los torones que son alambres de acero enrollados helicoidalmente empleados en la construcción de puentes, entre otros. Las cuñas se elaboraran a partir de un cono recto cuya altura mide 12cm y el radio de su base 12 cm. Se taladra un agujero cilíndrico de diámetro 6cm en el cono a lo largo de eje, resultando un sólido como el que se muestra en la figura. Calcular el volumen de la cuña.
Torón
RESOLUCIÓN Se construye un gráfico para ubicar información proporcionada en el problema.
la
En Conos semejantes se cumple: 𝑉1 ℎ1 3 𝑟3 𝑔1 3 = 3 = 3= 3 𝑉 ℎ 𝑅 𝑔
Por semejanza de conos: 𝐶𝑜𝑛𝑜 ( 𝐶𝑜𝑛𝑜 ) (𝑀𝐵𝑁 ) ~ ( ) (𝐴𝐵𝐶 ) 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 Entonces todos sus elementos homólogos son proporcionales. Razón de sus bases: 𝐵𝑎𝑠𝑒𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 1 = = 𝐵𝑎𝑠𝑒𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 4 3 | Página
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MATEMÁTICA – 5º DE SECUNDARIA Entonces: 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
=
Establecemos la relación entre el volumen del Cono MBN y el cilindro, cuyas base son iguales:
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
=
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 . ℎ 3
𝐴 𝑏𝑎𝑠𝑒 . 3ℎ
→
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 1 = 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 9
Comparamos volumen total con el volumen de las partes: 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 𝐴𝐵𝐶 = 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑀𝐵𝑁 + 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 + 𝑉𝑥 64V =
Luego:
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
=
1 3
(32 . 𝜋) 18
=
Entonces:
64V = 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 64V = ________ V = ________ Reemplazamos en el 𝑉𝑥 : 𝑉𝑥 = 54 𝑉 El volumen del sólido es
___________________________
3. Los niños desde muy pequeños son estimulados con actividades lúdicas, con rompecabezas, piezas de madera de encajes, para armado de casas, carros y otros objetos, que permitan desarrollar la imaginación y creatividad de los niños. En este sentido un diseñador de estos materiales propuso la elaboración de una nueva pieza como se muestra en la figura. Representa las vistas de frente (proyecc ión vertical), de arriba (proyección horizontal) y lateral (proyección lateral) de esta nueva pieza.
Vista de frente
Vista de arriba
Vista lateral
4. Los estudiantes en el área de EPT elaboraron un porta cuchillos con la forma de tronco de cilindro, utilizando un pedazo de madera forrado de una lámina de aluminio, como se muestra en la figura. a) Calcular el volumen de la madera, si el diámetro de la circunferencia es 10 cm. RESOLUCIÓN Ubicamos los datos en el gráfico.
15cm 20cm
El volumen del tronco de cilindro es:
𝑉 = 𝜋 𝑅2 𝐻
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B C G
La altura (H) del tronco de cilindro es el segmento que une el centro de la elipse con el centro de circunferencia. Como se observa en el grafico la altura es la base media del trapecio ABCD.
H
g
𝐺 +𝑔 2
Entonces el volumen del tronco 𝐺 + 𝑔 de cono es:
𝑉 = 𝜋 𝑅2 (
A
𝐻=
2
)
D
Calculamos el volumen reemplazando los datos en la fórmula:
b) Si los estudiantes elaboran 8 porta cuchillos con las mismas características, ¿cuántos centímetros cuadrados de láminas de aluminio se necesita? RESOLUCIÓN Reemplazamos los datos en la fórmula:
𝐴𝐿 = 𝜋 𝑅 (𝐺 + 𝑔) El área lateral de un porta cuchillos es ________________ Como se elaboran 8 porta cuchillos serán necesarias ________________________
Practicamos
1. Relaciona cada sólido geométrico
con su respectivo desarrollo.
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2. El profesor de arte realiza el taller de dibujo técnico con la finalidad de reforzar la orientación espacial de sus estudiantes, para ello propone a sus estudiantes que a partir del sólido geométrico mostrado realicen la vista de frente (proyección vertical), de arriba (proyección horizontal) y lateral (proyección lateral). Según tu apreciación ¿cómo serían las vistas del sólido mostrado?
Vista de Frente
Vista de arriba
Vista latera
3. Existen diversos tipos de tuberías las cuales se adaptan a la necesidad de cada industria, así también existen diversos tipos de accesorios y conexiones específicas para éstas. Dentro de esta gama se encuentra el HF dúctil en modelo T de fierro fundido como se muestra en la figura. Del siguiente accesorio construye la vista de frente (proyección vertical), de arriba (proyección horizontal) y lateral (proyección lateral).
Vista de Frente
Vista de arriba
Vista lateral
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4. En la clase de Historia, Geografía y Economía, el profesor Christian mostró unas cerámicas de las culturas incaicas, como se muestra en la figura. “Algunas de estas cerámicas se pueden construir a partir de la rotación de una región en el plano”, manifestó un estudiante. Según la afirmación del estudiante, ¿cuáles son las cerámicas que cumplen la condición manifestada por el estudiante?. Represéntalo en la cuadrícula mostrada.
Pieza automotriz Un mecánico automotriz diseña piezas que permiten la generación y transmisión del movimiento en sistemas automotrices, como se encuentran en los vehículos de tracción mecánica. En tal sentido, diseña dos piezas automotrices de acero, a partir de la rotación de la región del plano alrededor del eje M y N, como se muestra en la figura.
Con esta preguntas 5 y
información 6.
responde
las
5. Representa los sólidos de revolución al rotar en cada uno de los ejes.
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6. ¿Cuál es la relación entre el volumen de sólidos geométricos generados por M y N? a)31/17 b)10/17 c) 8/15 d) 15/31 LA FÁBRICA DE MERMELADAS Los dueños de una fábrica de mermeladas de aguaymanto desean incrementar sus ventas, promocionando su producto en nuevos tamaños de recipientes con etiquetas novedosas, para lo cual, le presentan dos propuestas de diseños de recipientes como se muestra en la imagen.
Envase 1
Envase 2
Con esta información responde a las preguntas 7 y 8.
7. ¿Cuál de los dos recipientes tiene mayor capacidad? a) b) c) d)
Envase Envase Envase Envase
1= 144𝜋𝑐𝑚3 2 = 296 𝜋 𝑐𝑚3 1 = 48 𝜋𝑐𝑚3 2 = 98,67 𝜋𝑐𝑚3
8. Si en cada recipiente la etiqueta cubre toda la superficie lateral, ¿en cuál de los dos envases se emplea la mayor cantidad de etiquetas? a) b) c) d)
Envase Envase Envase Envase
2 1 2 1
= = = =
96,72𝑐𝑚2 48 𝜋𝑐𝑚2 56,42𝜋𝑐𝑚2 24 𝜋𝑐𝑚2
9. En la heladería “Sabores Naturales”, los vasos de helado tienen como medida: 6cm de profundidad, 8cm de diámetro superior y 6cm de diámetro inferior. Si se colocan en el vaso tres porciones de helado de forma esférica, cuyo diámetro es 6 cm y el helado se derrite dentro del vaso, ¿este se rebasará?¿Por qué? 8 | Página
MATEMÁTICA – 5º DE SECUNDARIA l a) b) c) d)
𝑉𝐻𝐸𝐿𝐴𝐷𝑂 𝑉𝐻𝐸𝐿𝐴𝐷𝑂 𝑉𝐻𝐸𝐿𝐴𝐷𝑂 𝑉𝐻𝐸𝐿𝐴𝐷𝑂
< > = −
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𝑉𝑉𝐴𝑆 𝑂 𝑉𝑉𝐴𝑆 𝑂 𝑉𝑉𝐴𝑆 𝑂 𝑉𝑉𝐴𝑆𝑂 = 34 𝑐𝑚3
10. Una
banda de músicos ha adquirido tres ashikos, instrumentos de percusión de forma de cono truncado, cuyas dimensiones son de 40 centímetros de alto por 26 centímetros de diámetro superior y 8 centímetros de diámetro en la boca inferior. ¿Cuántos centímetros cuadrados de tela con diseños incaicos serán necesarios para cubrir el contorno de los tres ashikos? Considerar 𝜋= 3,14 a) b) c) d)
6565,74 𝑐𝑚2 6405,60𝑐𝑚2 2188,58 𝑐𝑚2 248,06𝑐𝑚2
11. La IE ha recibido una donación de 30 macetas en forma de cono truncado para su proyecto “Arborizando y oxigenando mi medio ambiente”. Los radios de las bases de estas macetas miden 9 cm y 27 cm respectivamente, y su generatriz 30 cm; si se llenará la ⅔ partes de la generatriz de la maceta con tierra preparada ¿Cuántas bolsas de 5kg serán necesarios para habilitar todas las macetas? a) b) c) d)
3 bolsas 11 bolsas 71 bolsas 72 bolsas
12. ¿Cuál de las figuras se pueden armar al plegar el siguiente desarrollo?
Jóvenes emprendedores Los estudiantes de la IE Miguel Grau en el área de Gestión empresarial elaboran lámparas en forma de cono truncado con papel reciclado, colocando un armazón de alambre, como base para el bombillo, en la mitad de la altura del cono truncado.
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Con esta información responde las preguntas 13 y 14.
13. ¿Cuántos centímetros de papel reciclado se requiere para la confección de la pantalla, si se considera una pestaña rectangular de 2cm en uno de sus extremos, y sus radios miden 8,5cm y 15,5 cm? a) b) c) d)
50(12𝜋+1)cm 24(24𝜋+1)cm 25(23𝜋+2)cm 175𝜋cm
14. ¿Cuántos centímetros de alambre se requiere para el armazón del bombillo, si los radios están en relación de 1 a 6? a) 28𝜋cm b) 88𝜋cm c) 2(14𝜋-30)cm d) 4(7𝜋+15)cm
15. En el parque municipal de la comunidad se van a instalar tachos de basura y
se tienen dos modelos como se muestra en la figura. El alcalde desea saber cuál de los dos modelos será más conveniente adquirir en relación a su capacidad. Ayuda al alcalde a determinar cuál de los tachos tiene la mayor capacidad.
a) b) c) d)
Tacho Tacho Tacho Tacho
1, 2, 1, 2,
260 cm3 12636 cm3 9880 cm3 363 cm3
10 | P á g i n a