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• JAIRO ESMITH VASQUEZ VALDIVIESO

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j& (L | £ Í- ,:U

Formas ^ • Interpr ombin

para

ciados lidades

PARIS^

AMOR A SOFIA O

_ w

ED /^ o ,

^

£ a r o d o ^ Siempre Competitivo

CAPÍTULO 1.

Razonamiento Lógico

CAPÍTULO 2.

Verdades y íVientiras - Implicancias

CAPÍTULO 3.

Razonamiento Inductivo

CAPÍTULO 4.

Razonamiento Deductivo

CAPÍTULO 5.

Interpretación de Enunciados

CAPÍTULO 6.

Cuatro Operaciones

CAPÍTULO 7.

Problemas sobre Edades

CAPÍTULO 8.

Problemas sobre Móviles

CAPÍTULO 9.

Cronometría

CAPÍTULO 1 0 . Fracciones CAPÍTULO 11. Tanto por cuanto CAPÍTULO 12. Operaciones M atem áticas y Leyes de

7 43 75 103 131 157 185 209 239 267 301 333

Composición Interna

CAPÍTULO 1 3 . Sucesiones CAPÍTULO 1 4 . Series y Sumatorias CAPÍTULO 15. Conteo de Figuras Geom étricas CAPÍTULO 1 6 . Introducción a la Topología CAPÍTULO 1 7 . Análisis Combinatorio CAPÍTULO 1 8 . Introducción a la Teoría de las

367 397 427 457 489 523

Probabilidades

CAPÍTULO 2 1 . Razonamiento Abstracto y Suficiencia

551 597 623

C A P ÍT U L O 2 2 . Interpretación de Tablas y Gráficos

651

CAPÍTULO 1 9 . Perímetro y Áreas de Regiones Planas CAPÍTULO 2 0 . Certezas y Conteo de Intervalos

Al deDat0S A SOFIA Estadísticos

CAPÍTULO 2 3 . Secuencias Numéricas, Literales y

685

Psicotécnico C A P ÍT U L O 2 4 . Máximos y Mínimos C A P ÍT U L O 2 5 . Lógica Predicativa C A P ÍT U L O 2 6 . Cuadrados Mágicos y Problemas sobre

Pesadas.

713 741 767

ELNHM

Hay juegos como el tres en raya que son divertidos hasta que se encuentra una estrategia para no perder. El NIN cuyo origen es incierto aunque la mayoría manifiesta su origen en China.

Se puede retirar solo fichas de una misma fila y pierde el jugador que se ve obligado a tomar la última ficha.

CAPACIDADES °

D a r a c o n o c e r el con cepto de razonam iento lógico.

°

D e s a rro lla r la capacidad de razonar de manera lógica.

°

D ar

a c o n o c e r criterios y m étodos prácticos para resolver problemas

de tipo

d e d u c tiv o .

“El rorro V h

■

EL ZORKO V LAS OVEJAS (EL JUEGO PERUANO)

n i,o s qu e juegan deben di.sebar estraregias

sea el ro l qu e les corresponde desempeñar.

'

El cu adro grande representa “la pradera de las oveind’ verticales y diagonales son los “caminos” . '

'

MATERIALES: 12 fichas blancas que representan las ovejas y una ficha negra qu e representa

el zorro.

PROCEDIM IENTO: *

O vejas y zorros se ubican en las intersecciones.

*

P u eden desplazarse de una intersección a otra contigua.

*

Las ovejas solo pueden avanzar en forma horizontal, vertica lyd ia go n a l.

*

El zo rro puede avanzar y retroceder en forma horizontal, v ertica ly d ia g o n a l.

*

El zorro tratará de comerse a las ovejas siguiendo reglas sem ejantes a las del juego de damas (saltando sobre

*

ellas). Las ovejas n o pueden com er al zorro, pero si pueden ocu par

su

gruta

y

desalojarlo

o

acorralarlo

e

*

in m ovilizarlo. El zo rro gana el ju ego si se com e a todas las ovejas.

*

Las ovejas ganan el juego si rodas llegan a la gruta o en cierran al zorro sin dejar que se pueda mover.

*

E| zo rro gana un punto p or cada oveja que se com ió.

*

C a d a oveja qu e llega a la gruta gana un punto.

í* ^ í " “ ‘Í T P‘ ra comerse las ovejas , según

i , , , " L1 °gran e a gruta del zorro” y las horizontales,

LIBRO IN T R O D U C C IÓ N E n e s ta c a p ítu lo v e re m o s aqu ellos problem as que no requieren del conocim iento de alguna teoría m a t e m á t ic a e n e s p e c ia l p a ra su resolución. Tan solo debem os poner en prática nuestra capacidad de a n a liz a r y r a z o n a r d e m a n e ra u tilizan d o, en algunos casos, criterios o m étodos prácticos. L o s p ro b le m a s q u e v e re m o s a continuación se clasifican en:

o

Juegos de estrategia.

°

P ro b le m a s sob re parentescos.

=>

Problem as con cerillos.

°

P ro b le m a s sob re m ín im o núm ero de personas,

©

Problem as con dados,

o

P ro b le m a s sob re tiem p o s y días de la semana.

o

Distribuciones num éricas.

o

P ro b le m a s sob re orden am ien tos: — O rd e n a m ie n to lin eal -

o

O rd e n a m ie n to circular

P ro b le m a s sobre tom a de decisiones.

PA R E N TE SC O S En este p u n to ve re m o s aquellos problem as que se generan por la relación de parentesco que existe e n t r e lo s in te g ra n te s d e una fam ilia.

ÁNGEL PADRE DE y

BRUNO

CARMEN

DAVID

¿Qué es Á n gel de David?

Ejem plo 1:

R esolución:

¿Q u é es para m í el esposo de la m adre de la hija de la esoo,-, h „ i , p ad re? ^ 1 herm ano de m i

Para reso lver este tipo d e problem as se sugiere em pezar desde el r , re tro c ed ie n d o parentesco tras parentesco. a e el final e ir

.

¿Q u é es para m í el esposo de la m adre de la hija de la esnos-, Hp I h erm an o de mi padre? ___ j mi tío

F o n d o e d it o r ia l KOBO °

¿Q u é es para m í el esposo de la madre de la hija de la esposa de mi tío?

v

---1

m i tía °

¿Q u é es para m í el esposo de la madre de la hija d e mi tía? m i prim a

°

¿Q u é es para m í el esposo de la madre de mi sobrina? m i prima

°

¿Q ué es para m í el esposo de mi tía?

Rpta:

M i tío

.v< w - * . - :■x. www; -\w y M ÍN IM O NÚMERO DE PERSONAS B ajo este títu lo se agrupan aquellos problemas en los cuales se tienen reunidos a los integrantes de u n a fa m ilia y al in d icar quienes se encuentran presentes (abuelos, padres, hermanos, hijos, etc.) se tiene e n a p a rie n c ia un gran núm ero de personas. El reto consiste en calcular el m enor número de personas c o n e l cu al es p o s ib le contar a todos los integrantes que mencione el problema.

Se encuentran presentes: 2 padres, 2 hijos, 1 hija, 1 hermano, 1 hermana, 1 abuelo y 1 nieto. Sin em bargo son sólo 4 personas.

Ejem plo 2:

En una reunión fam iliar se observa que hay 2 padres, 1 hijo, 1 hija, 2 hermanos, 2 tíos, 1 sobrino y 1 sobrina. ¿Cuántas personas com o m ínim o hay en dicha reunión?

Resolución: (

2)

PADRE 'r DE

(3)

Están presentes: •

2 padres: (1 ) y (2 )

•

1 hijo: (3 )

•

1 hija: (4 )

•

2 hermanos: (1 ) y (2 )

•

2 tíos: (1 ) y (2 )

•

1 sobrino: (3 )

•

1 sobrina: (4 )

M^S£3íío >

.. ;

1

d i a r i o s y d ía s d e l a s e m a n a

t ie m 6Ste tltU ^° SG a § ruP an aquellos problem as en los cuales se establece una relación entre los d ía fT f 13110S ay e b ruañana, etc.) y los días de la semana (lunes, martes, miércoles, e tc .). A cada 6 a s e m a n a le corresp on d erá un determ inado tiempo diario. ANTE AYER

HOY

MAÑANA

PASADO MAÑANA

SÁBADO

DOMINGO

LUNES

AYER ----- f _

JUEVES

VIERNES

El ayer de pasado mañana es dom ingo mañana

E je m p lo 3:

El a y er d el an teayer de mañana fue jueves. ¿Qué día será el mañana del mañana d e pasado m añana?

R esolu ción :

Para re so lv er este tipo de problemas aplicaremos un criterio basado en la recta num érica. .......... —

...

{

j-......- ..,...,'.-,—|..........|

-2

-1

0

|

+1

—

+2

...

Para ap licar este criterio debem os conocer primero las siguientes equivalencias: o H oy = 0 ° A yer = - 1 o M añ an a = + 1 ® Anteayer = - 2 o Pasado mañana = + 2 El crite rio consiste en cambiar los tiempos por su respectivo va lo r numérico, luego se sum an esos valores y el resultado lo ubicamos en la recta numérica. Veamos: El ayer del anteayer de mañana es jueves

-1

-2

+1

Suma = - 2 Entonces:

- 2 fue jueves

........... (1 )

¿Qué día será el mañana del mañana de pasado mañana? v-------------- v

1 v~

+ 1

■

v -----------------

Jv---------------------------v ---------------------------J

+1

4- 2

----------—-*

Suma = + 4 E n to n c es:

¿Qué día será 4 4?

.......... ( 2)

( 1 ) y ( 2 ) los ubicam os en la recta: ^ ---------- 1--------1--------1--------f -------i—

-2

■O

-1

0

+1

+2

+3

+4 ,

-

v

JUEVES Luego:

-2

+1

-O JUEVES 6 días

Rpta:

M iércoles

4 +2

+3

44 •O ? = MIÉRCOLES

Jro/YJDO e d it o r ia l r o d o O bservación: Otras equivalencias a tener en cuenta: • Hace 1 día ó 1 día antes = - 1 • Hace 2 días ó 2 días antes = - 2 • Hace 3 días ó 3 días antes = - 3

Dentro de 1 día ó 1 día después = +1 Dentro de 2 días ó 2 días después = +2 Dentro de 3 días ó 3 días después = +3

relación de tiempos y calendarios

D ía de la sem ana

Ejemplo:

Si h o y es S ábado. ¿Q ué día de la sem ana caerá dentro de 1200 días? Dentro de 1200 días

R eso lu c ió n :

Sábado ^

Rpta.: M artes

Martes

A ñ o civil - » 365 días = 7 + 1 O A ñ o bisiesto —> 366 días = 7 + 2; Febrero tiene 29 días. A ñ o com ercial - » 360 días

NOTA “S" P ara e l re c o n o c im ie n to de un año bisiesto, debem os ten er en cuenta: __

__

O

Si: cd * 00 —>cd =4 ejemplos :2016, 1848 abed =■ O Si: cd =00 —>ab =4 ejemplos :2000, 1600

Ejemplo:

El 8 d e fe b re ro d e l 2015 fu e D om in go. ¿Qué día cayó el 8 de feb rero d el 2020?

Resolución: 8 de

2015

2016

2017

2018

2019

2020

D

L

Mi

J

V

S

Febrero O 7+1

O

O 7+2

7+1

4 1 día más '29 de feb"j 2016

J

0 0 7+1

7+1

LIBRO O R D E N A M IE N T O S B a jo e s te títu lo se agru p an aqu ellos p roblem as en los cuales un gru p o de e lem e n to s (p erson as, a n im a le s , o b je to s , e tc .) se o rd en a n o se ubican de acuerdo a ciertos criterios: Edades, tam añ os, p u n ta je s , p o s ic ió n re sp e cto d e los otros (izq u ie rd a - derecha; arriba - abajo, fren te a ), o rd e n de lle g a d a , etc.

L o s o r d e n a m ie n to s p u ed en ser: - lin e a l -

•

c irc u la r

O R D ENAM IEN TO LINEAL

S e d e n o m in a así cu an d o los elem en to s se orden an o se ubican uno a con tin u ación d e o tro o sea de fo r m a h o r iz o n ta l o v ertica l.

A está a la izqu ierd a de B IZQUIERDA MENOS

DERECHA MÁS

----------------

A

B está a la derecha de A A tiene m enos puntos que B B tiene más puntos que A

B

A ARRIBA ALTO

-

A está más arriba que B B está más bajo que A A es más alto que B

-- A i -- B

-

B es más bajo que A

V ABAJO BAJO

- m a yo r ó igu al que. * N o es m a yo r que < > m en or ó igu al que.

•

O R DENAM IENTO CIRCULAR S e d e n o m in a a s í cu an d o los elem en tos se ordenan o 6

UblC3n de fo n * a circular.

B

I

-

A está a la d erech a d e B

-

B está a la d erech a d e C

-

B está a la izq u ierd a d e A

y-

C está a la izq u ie rd a d e B

FOPÍDO ED ITO R IA L RODO C u n d o los d a to s n os in d iq u e n qu e una persona está fren te a otra sugerim os el tra zo de d iám etros. A -

A está fren te a C o C fren te a A B está fren te a D o D fren te a C

C

NOTA “S” U b ica d os sim étricam en te es e q u iv a le n te a d e c ir ubicados a igu al distancia.

Ejem plo 4:

C in co am igos están en el cine sentados uno al lad o de otro. Carla y Á n g e l se sientan en form a adyacente. Á n gel no está al lado de Elena ni de Bruno. Carla está en un extrem o izqu ierd o. Si Elena y David no están juntos, ¿quiénes están sentados al la d o de D avid?

Resolución:

°

Carla esté en el extrem o izquierdo CARLA

o

Carla y Á n g e l se sientan en form a adyacente. CARLA

o

Á n g e l no está al lado de Elena ni de Bruno. CARLA

o

ÁNGEL

ÁNGEL ó

ELENA BRUNO

BRUNO ELENA

DAVID

BRUNO

ELENA

Elena y D avid no están juntos. CARLA

ÁNGEL

¿Quiénes están sentados al lado de David? Á n gel y Bruno

Ejemplo 5:

Cinco chicas están escalando una montaña. Carla está más abajo que Fernanda quién se encuentra un lugar más abajo que Paola, quién está más abajo que Rosa, quién se encuentra entre Juana y Paola. ¿Quién está en cuarto lugar?

A

MÁS ARRIBA

A

MÁS ARRIBA

-- PAOLA

-- JUANA

-- FERNANDA

-- ROSA -- PAOLA

-- CARLA Y MÁS ABAJO

t

MÁS ABAJO

LIBRO

Resumiendo los dos esquemas: A -- JUANA -- ROSA -- PAOLA -- FERNANDA -- CARLA V Rosa

E jem plo 6:

Seis personas A, B, C, D, E y F se sientan simétricamente alrededor de una mesa circular. Se sabe que: “A ’ se sienta frente a “C” , quien tiene a su derecha a la persona que está frente a “E” . “A ’ no está junto a “ B” ni junto a “ D” “ E” no está junto a “ D” . ¿Q u ién está frente a “ E” ?

R esolución:

¿Q u ién está frente a E? /.

D

14

Forano EDITORIAL RODO

T O M A D E DECISIONES

g

B a jo este títu lo se agrupan aquellos problemas en los cuales un g

r

ca ra cterís tic a s : p rofesion es u oficios, lugares donde viven, estu ios, m a sco ta s, e tc .), nacionalidades, etc. Los datos suelen presentarse e n ^ d e te r m in a r las características que corresponden a cada persona. ar

u

p

o

5

ebi das,

aparente caos y se pide ^ este t¡p0 de

p r o b le m a se su giere e l uso d e tablas com o la que mosinimos a c ° nti1n

P E R S O N A S

Ejem plo 7:

Se encuentran reunidos 4 profesores cuyos nombres son: Ángel, Bruno, César y D avid. Los cursos que dictan son: Historia, RM, RV y Física aunque no necesariam ente en ese orden. — El p rofesor de Historia, que es primo de Ángel, es cuñado de Bruno y además es el más jo ve n del grupo. — César que es el de más edad, es vecino del profesor de RM, quien a su vez es el más alto. — Á n gel, que es bajo, es menor que el profesor de Física. ¿Q uién es el profesor de Física?

Resolución:

A n a lizan d o los datos: o

Si el profesor de Historia es primo de Ángel, entonces Ángel no enseña H istoria.

o

C om o el profesor de Historia es el cuñado de Bruno, entonces Bruno no es el pi'ofesor de Historia.

o

C om o el profesor de Historia es el más joven, César no es el profesor de H istoria.(porque César es el de más edad).

o

Si César es vecino del profesor de RM, entonces César no es el profesor do RM

•

C om o Á n gel es bajo, Ángel no es el profesor de RM (porque el profesor de RM es el más alto)

•

Si Á n ge l es el m enor que el profesor de Física, entonces Á ngel no es el p rofesor de Física.

Colocamos el resultado de nuestro análisis en la tabla: ÁNGEL

HISTORIA

RM

NO

NO

BRUNO

NO

CÉSAR

NO

DAVID

NO

RV

FÍSICA NO

LIBRO Para com pletar la tabla debemos tener en cuenta lo siguiente: °

Si p or fila o columna en todos los casilleros menos uno se ha colocad o un NO, en el casillero que falta se debe colocar un SI (cada persona dicta un ciuso)

°

Si en un casillero se ha colocado un SI, en los otros casilleros de la fila y columna a la cual pertenece este casillero se debe colocar un NO

Entonces la tabla com pleta quedará así: HISTORIA |

1 N

RM

RV

FÍSICA

ÁNGEL

NO

NO

SI

NO

BRUNO

NO

SI

NO

NO

CÉSAR

NO

NO

NO

SI

NO

NO

DAVID |

SI

NO

El profesor de Física es César.

PROBLEMAS CON DADOS En p ro b le m a s con dados debem os ten er en cuenta: *

En un d a d o le g a l o com ún la suma de puntajes de las caras opuestas es 7.

3 y-

Puntos de caras opuestas 1

Ejemplo:

2

3

El dado rueda en un circuito como se presenta en la figura e, inicialmente, la cara superioresun3.

¿Cuál será la cara superior al final del recorrido?

Resolución:

Vemos el proceso teniendo en cuenta la primera afirmación del enunciado, que es lo que nos permite descubrir las nuevas caras que se asoman a la vista.

FONDO EDITORIAL RODO / ÍT -c ¡7 y — °/o

En un d ad o le g a l

A

° y

/

/

^

~

/ n V /

o

o o

z

y o -0/,

' e V /

z

o

, 7

o \^r

ISOTA "S "

/ I

r u n t a je

P u n ta je

4

3

/

1

o

o

í¡ 0C

o

o

y

/

V

Z ____ /

fO——\ O

Z_

/

o

O o

Los puntajes de las caras

/o° o /o o o/*

—/ o ~ ó __ 2/ O o 0

qu e están en contacto con el suelo suman 7.

/

o

/

ó o

o /

5T' o

o

La cara superior, al final, es la cara 6.

D IS T R IB U C IO N E S NUMERICAS Ejem plo:

En los círcu los de la figu ra distribuya los números naturales d el 3 al 11, de m anera q u e los n ú m eros en cada lado d el triángulo sumen 25. Calcule la suma de los n ú m ero s u bicados en los vértices.

Resolución:

En e ste tip o d e p roblem as no es necesario con ocer la ubicación exacta de cada n ú m e ro , basta con en con trar una estrategia para hallar lo que nos pide. P o r e je m p lo : a + b + c + d = 25 +

d + e + f + g = 25

+

a + i + h + g = 25

a+

b+

c+

d+

e+ f + g + h + i + a+

3+4+5+6+7+8+9-t-lO+ll

63 + Sv = 75 Sv = 12

d+

g = 75

suma de vértices

LIB R O

JUEGOS DE ESTRATEGIA Llám ese e s tra te ^ ^ rH 6,8 ^ ^ S*Cas

en

el caso

Falso.

PROBLEMA 10

E n la fig u r a d is trib u ir los n ú m e ro s d e l 1 al 12 d e m o d o q u e la s u m a d e lo s n ú m e ro s q u e se h a lla n en ca d a la d o d e l c u a d ra d o sea 2 2 . D a r c o m o re s p u e s ta la s u m a d e lo s n ú m e ro s qu e v a n e n los v é rtic e s .

© OO® O

o

o

o

© o o © Los vértices se suman 2 veces:

5

R esolución :

a+b+c+d

©

O

O

®

o

o

o

o

4S = 1 + 2 + 3 + ... + 1 2 + (a + b + c + d ) ,c x 13 4S = ---- -j----- h a + b + c + d

í

4S = 78 + a + b + c + d

© o o © 5

4 (2 2 ) = 78 + a + b + c + d a + b + c + d = 10

P R O B L E M A 12

Seis am igos se ubican simétricamente alrededor de una mesa circular. —

Carlos no está sentado al lado de Emilio ni de Ángel.

—

Bruno no está sentado al lado de Daniel ni de Ángel.

—

Em ilio no está al lado de Bruno ni de Daniel.

—

Fredy está junto y a la derecha de Emilio.

¿Q uién está 2 lugares a la derecha de Carlos?

R e so lu c ió n :

o

F está junto y a la derecha de E

o o

C no está junto a E E no está junto a B ni a D A es el que está junto a E

o o

C no está junto a A B no está junto a A D es el que está junto a A

Finalmente: B no está junto a D

El que está 2 lugares a la derecha de Carlos es Ángel.

f o /y& o

E d it o r ia l r o d o

Resolución:

Ningún loro lleva el nombre de su dueño LOROS ______A._____

ALICIA ALICIA

BRUNO

CARLOS

BRUNO

NO

CARLOS

NO

DAVID o

o

DAVID

NO

NO

El loro de Alicia lleva el mismo nombre que el dueño de Bruno. El dueño de Bruno es hermano de Carlos.

Conclusión: El loro de Alicia no es Bruno ni Carlos y Carlos no es dueño de Bruno. LOROS

ALICIA

BRUNO

CARLOS

NO

NO

NO

ALICIA BRUNO

NO

CARLOS

NO

NO NO

DAVID Com pletam os la tabla:

DAVID

ALICIA

BRUNO

CARLOS

DAVID SI

ALICIA

NO

NO

NO

BRUNO

NO

NO

SI

NO

CARLOS

SI

NO

NO

NO

NO

SI

NO

NO

DAVID

Los dueños de Bruno y Carlos son: David y Bruno

PROBLEMA 14

Si 1 día después de 2 días antes de 3 días después de 4 días antes de ayer es el pasado m añana del ayer del Domingo, ¿qué día será 6 días después de 4 días antes d e 2 días después de mañana?

Resolución:

Cambiando los tiempos por sus respectivos valores numéricos tendremos: -f 1 - 2 + 3 - 4 - 1 es + 2 - 1 delD om in go

LUNES E ntonces:

- 3 fue lunes.

l ib r o

¿Qué día será + 6 - 4 + 2 + 1? + 5 Entonces:

¿Qué día será + 5? ---- 1--------1 ------- 1------- 1 ------- 1------- 1------- 1 --------i------- 1— -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 J-5 LUNES

¿? Contando los días: ¿? = Martes

PROBLEMA 15

En una reunión familiar están presentes 2 padres, 3 madres, 2 esposos, 2 esposas, 2 hijos, 2 hijas, 1 hermano, 1 hermana, 2 tíos, 2 tías, 1 sobrino, 1 sobrina, 1 abuela, 1 nieto y 1 nieta. ¿Cuántas personas como mínimo hay en dicha reunión?

Resolución:

HIJO

HIJA

Son 7 personas

PROBLEMA 16

De los amigos A, B, C, D y E se sabe que lo siguiente: -

A es más viejo que C y más alto que B B es más viejo que A y más bajo que E C es más viejo que E y más bajo que D

-

D es más jo ven que A y más bajo que B

-

E es más viejo que B y más bajo que A

¿C u ál(es) de los amigos es más joven que E y más alto que D?

Resolución:

Establezcamos lo siguiente: o

A es más joven que B -> A < B

•

A es más viejo que B -> A > B

•

A es más alto que B

->A>B

•

A es más bajo que B

-> A < B

FO FÍD O e d it o r ia l r o d o

/W & E H M E L

-

EDAD

ALTURA

A < B> C< D< E>

-

C A E A B

A > B B< E C< D D< B E< A

-

C< D< B< E< A

D Todas d eb en ser m en tira s. (F )

(F )

(F )

2do. cazador: 5 búfalos, 2 tigres y 2 m onos. -> Todas d eb en ser v e rd a d e s . (V )

.

(V )

(F )

3er. cazador: 1 búfalo, 2 tigres y 1 mono. -> Respuestas alternadas

00

(V)

(F )

L“ an¡males que fueron cazados “ n: 5 búfalos, 2 tigres y 2 monos.

PROBLEM A 22

Cuatro amigos: Luis, Mario, Nora y Paty

termino™,,

medicina, ingeniería, educación y economía^no necesaria!

******

de

y tienen la costumbre de decir, siempre, una verdad y una n emin s T f " ’ dos preguntas a cada uno acerca de sus profesiones o las de s u s • responden lo siguiente: UL sus amigos y

ROIYDO E D IT O R IA L R O D O Luis: “ N o ra es d octora” , “ M a rio es in g e n ie ro ” . M a rio : “ N o ra no es d octo ra ” , “Paty es econ om ista . N o ra : “ Paty es p rofesora” , “ Luis es econ om ista” Paty: “ Yo soy d octo ra ”, “M ario es p ro feso r” . ¿Q u ién es d o c to r(a ) y quién es p ro fe s o r(a ) resp ectiva m en te?

Resolución:

D atos:

Cada uno dice una verd ad y una m en tira o viceversa.

P a ty: “Yo soy doctora” —> VERDAD D e aqu í com pletam os el va lo r de verd ad de cada uno de los enu n ciados. Luis: “ N ora es doctora” , “ M ario es In g e n iero ” (F )

CV)

M a r io : “ N ora no es doctora” , “Paty es econ om ista” (V )

(V )

N o r a : “ Paty es profesora” . “Luis es econ om ista” (F )

(V )

P aty: “Yo soy d octora” . “ M ario es p ro feso r” (F ) /.

PR O B LEM A 23

(V )

Doctora: Paty Profesora: Nora.

M an u el fu e asesinado a tiros p or un h om bre y

lu e g o

d e un a

ard u a

in vestiga ción se lle v ó ante el fiscal a cinco sospechosos. El fiscal p re g u n tó q u e era lo que pod ían declarar en su defensa, y resp on dieron :

Rigoberto: Yo no m até a M anuel. Nunca tuve un re v ó lv e r en mis manos. Julián lo m ató.

Eulogio:

Yo no m até a M anuel. Nunca tuve un re v ó lv e r de m i p ropiedad. Los otros están tratando de exculparse.

Demetrio:

Yo no m até a M anuel. N o con ocí a M an uel antes. Julián lo m ató.

Julián:

Yo soy inocente. G ilb erto es el culpable. R igo b e rto m in tió al d ecir que fui yo.

Gilberto:

Yo no cometí el asesinato. E u logio es el culpable.

Demetrio responderá por mí, él me conoce desde hace años Si cada uno hizo 3 declaraciones, 2 verdaderas y 1 falsa. ¿Quién asesinó a Manuel?

/m

L IB R O

Resolución: r

D a to s :

r ¡m

sS 3M

S M

Cada uno 3 declaracion es (2 verd ad es y 1 fa ls a ).

U tilice m o s el M é to d o “ S” :

Puedo usar el Método “S" genial O o o

O

J u liá n :

Yo soy in ocen te (V erdad) (S i esto es verd a d los enunciados que acusan a Julián set án fals

)

C o m p leta n d o el v a lo r de verd ad de los enunciados:

Rigoberto: Yo no m até a M anuel. (V ) N u n ca tuve un re v ó lv e r en mis m anos. (V ) Julián lo m a tó . -> (F )

Eulogio:

Yo no m até a M anuel. (F ) N u nca tu ve un re v ó lv e r de m i p ropiedad. (V ) Los otros están tratando de exculparse. (V )

Demetrio:

Yo no m até a M anuel. (V )

Julián:

Gilberto:

N o con o cí a M anuel antes. (V )

NOTA "S "

Julián lo m a tó . -> (F )

Si Julián, Rigoberto,

Yo sov in o cen te. (V )

Demetrio y Gilberto

G ilberto es el culpable. (F )

no cometieron el asesinato

R igo b erto m intió al d ecir que fui yo. (V )

entonces fue Eulogio.

Yo no com etí el asesinato. (V ) E u logio es el culpable. (V ) D em etrio responderá p o r mí, él m e con oce desde hace años. (F ) .'.

PR O B LEM A 24

El asesino de M anuel es E ulogio.

En una sala hay algunas personas que siempre dicen la verdad y las dem ás siem pre mienten. En cierto momento, tres personas hacen las siguientes afirm aciones:

Primera:

“ N o hay más que nueve personas en esta sala. Todos som os m entirosos” .

Segunda:

“N o h ay más de d iez personas en esta sala. Algunas no son m entirosas” .

Tercera:

“ H a y once personas en esta sala. A l m enos tres son m entirosas” .

¿Cuántas personas hay en la sala y cuántas son m entirosas?

Resolución:

Algunas personas siempre dicen la verdad y las demás siempre mienten Analizando el valor de verdad de los enunciados: D m o:

P R IM E R A :

(F) SEGUNDA:

(V) TERCERA:

(F)

“No hay más que nueve personas en esta sala. Todos somos mentirosos". “No hay más de diez personas en estesaláT” Algunas no son mentirosas’’. “Hay once personas en esta ~~— Al menos tres son mentirosas”. Hay 10 personas y 2 son mentirosas.

-------- ----------

rormo editorial r o d o problem a

25

F re n te a un g ru p o d e tres a m igo s se u b icó un d a d o com ú n d e m o d o q u e e llo s o b s e rv a n las m ism as tres caras d el d a d o n o rm al. Se les p reg u n ta : ¿C u ál es la su m a d e los puntos de las tres caras visib les?, y ellos re sp o n d e n :

Alex:

Y o n o o b s e rv o una cara con 5 puntos. Yo no o b s e rvo una cara con 1 punto.

Beto:

La sum a d e puntos es 12. Yo o b s e rvo una cara con 2 puntos.

Carmen:

Yo o b s e rvo una cara con 6 puntos.

i

La sum a d e puntos es 10. Si se sabe qu e d e las dos afirm acion es qu e d io cad a a m ig o una es cierta y la o tra es falsa, ¿C u ál es la suma de los puntos d e las tres caras visib les qu e o b s e rva n los tres a m igo s?

Resolución:

D atos: Q

V y 1 M cada uno

A n a liz a n d o e l v a lo r d e verd a d de los enu nciados:

Alex:

Yo n o ob servo una cara con 5 puntos. (F ) Yo n o o b servo una cara con 1 punto. (V )

Beto:

La sum a d e puntos es 12. (F ) Yo o b servo una cara con 2 puntos. (V )

Carmen:

FASE 2

Yo o b servo una cara con 6 puntos. (V ) La sum a de puntos es 10. (F )

Principio de Suposición.

O

P> O

Se ob serva :

P id e n : La sum a d e las caras visibles. 6 + 3 + 2=11

l ib r o

PROBLEMAS PROPUESTOS! 1.

C u a tro

acu sad os

de

h ab er ocasion ado un

d e lit o son e n trevista d o s. A firm a n d o : ^ Saúl: B e to fue.

S e sab e q u e 3 d e ellos m ien ten y el otro dice la v e r d a d . ¿Q u ién es el qu e com etió el delito? B ) Luis

C ) Daniel

D ) B e to

2.

E) Faltan Datos

P re g u n ta n d o m am á qu ién fue la persona que se

c o m ió

el

pastel,

obtu vo

las siguientes

rep u esta s:

Alan: Esto es obra d e solo uno de nosotros. Beto: N o , d e dos de nosotros. r* Carlos: N o , d e tres d e nosotros. > David: N o , d e cuatro d e nosotros. > Ernesto: Entre tod os nos lo com im os. > > K

m ie n tra s qu e los culpables m ienten. ¿Ernesto es c u lp a b le o in ocen te? A ) C u lp a b le B )

verdaderas? I. El frasco II tiene la m on eda d e dos soles. II. El frasco I tiene la m on eda de S/ 1 y el frasco III la m oneda de S/ 2 III. La suma de las cantidades en los frascos I y II es 6 soles IV La suma de las cantidades en los frascos II y III es 5 soles. B) II y III

C) I y III E) S ólo III

En una evaluación, tres alumnas (M aría, R ocío y D ia n a ) d eb en c o n te s ta r con verdadero (V ) o falso (F ) a las 5 preguntas. Una contestó correctam ente todas, otra erró en todas y la última contestó más correctas que erradas. ¿Quién contestó correctam ente todas las 5 preguntas?

In o c e n te

María

Rocío

Diana

1

F

V

V

2

V

V

F

3

F

F

V

C u a tro sosp ech osos d e haber com etido un

4

V

V

F

c rim e n son in terro ga d o s p or la policía. Estos

5

F

V

V

C ) C u lp a b le o in ocen te D ) N o se p u e d e d eterm in a r E ) N in g u n a d e las anteriores

3.

Si en cada frasco hay solo una m o n ed a y de las inscripciones solo una es verd ad era, ¿cuales de las siguientes afirm aciones son

A ) I y II D ) Sólo II

M a m á sab e q u e los inocentes dicen la verdad,

Aquí hay S/l

Aquí no hay S/2

Aquí no hay S/l

> Beto: D a n ie l fue. > Luis: Y o n o fui. > Daniel: B e to m ien te.

A ) S aú l

X

d e c la ra n lo sigu ien te:

A ) M aría C) Diana D ) Diana o Rocío

Totó:“Fue P eter” . peter: “ Fue R en án ” . > Astolfo: “Yo n o fu i” . > Renán: “ P e te r m ie n te ” . > >

e llos es culpable, ¿quién com etió el crimen? B ) T otó

D ) Renán

> Luis: Fue M iguel.

E) Ninguno

> Miguel: Luis m ien te al d ecir que fu i yo. > Esteban:Yonofui.

muestra en la figura: -«

madre, pues uno de ellos ro m p ió el flo re ro nuevo. Ellos afirm an lo siguiente: > Carlos: Fue Luis.

C )A s to lfo

Tres monedas de S/ l , S / 2 y S / 5 están en el interior de tres frascos cerrados no transpa­ re n te s , una moneda en cada frasco. En cada uno de estos frasco hay un letrero com o se

J&4:.

E) R ocío o M aría

Cuatro herm anos son in terro ga d o s p o r su

Si s o lo una d e las personas m iente y solo uno de

A) Peter

B) R ocío

Si la m adre sabe que solo uno d e ellos d ice la verdad, ¿quién es el culpable? A ) Carlos

B) Luis

C) M iguel D ) Esteban

ta—mmcMiMi HIQHiHyHnwV

m

E) N o se p u ede precisar

*

!■ ■■■& . •¿Y.:

r o /v o o

e d it o r ia l r o d o

Á HAZ. i

rto día cuati o hermanos comentan sobre el n u m ero de hijos que tienen:

.

10. Jacinto dispone solo de 4 monedas de S/ 5, S/l, S/2 y S/0,5 las cuales repartió entre sus

Abel: “Yo no ten go tres hijos” ,

cuatro hijos. Si se sabe que:

Beto: “y ° Ro tengo cuatro hijos” , Carlos: “Yo tengo cuatro hijos” , y

> Carlos dijo:

> Daniel: “ Yo no tengo solo dos hijos” . Si se sabe que uno de ellos tiene solo tres hijos Y los dem ás cuatro; además, que solo uno de

B eto y D aniel

8.

B) Abel y Beto

“Yo recibí S/0,5” .

S/6

B) S/5,5

D) S/3

E) Daniel y Abel

C) S/7 E) S / l,5

11. Cinco niñas tienen 2, 4, 6, 8 y 10 monedas, todas de 5 soles. Se sabe que cada una dijo: > Ana

“Yo tengo 28 años” . “Ana tiene 30 años” . “Yo tengo 31 años” . “Yo tengo 30 años” .

Si solo una de ellas m iente y las otras dicen la

: “Yo tengo 6 monedas”

> Bertha

: “Yo tengo 10 monedas”

> Carmen

: “Bertha tiene 4 monedas”

> Doris

: “Yo tengo 8 monedas”

> Emilia

: “Yo tengo 4 monedas”

Si solamente una de ellas miente y las otras

verd a d , h allar la suma de las edades de Ana y

dicen la verdad, ¿cuánto dinero tienen juntas

B eatriz. A)

> Beto dijo:

A)

ed a d conversaban lo siguiente:

Ana: Beatriz: Carmen: Daniela:

“ Carlos recibió S/0,5” y

recibiron Carlos y Beto?

C uatro am igas de 28, 30, 31 y 32 años de

> > > >

“yo recibí S / l” ,

> Juan dijo:

la verdad, ¿cuánto suman las canti-dades que

C ) B eto y Carlos D ) Carlos y Beto

> Andrés dijo:

Si solo uno de ellos miente y los demás dicen

ellos m ien te, ¿quién miente y quién tiene tres h ijos respectivam ente? A)

“yo recibí S/5” ,

Ana, Carmen y Emilia?

60 años

B) 58 años

D ) 61 años

C) 59 años A)

E) 62 años

S/l 10

B) S/70

D)S/80 Pedro, Juan y Luis fueron evaluados en tres

Q S/90 E)S/60

12. En una caja hay cuatro fichas de colores

asignaturas: Matemáticas, Química y Física.

diferentes:

C ada uno aprobó solo un curso distinto al que

azul, verde,

amarillo y rojo.

Alvaro, Mirna, Paulo y Daniel cogieron una

ap rob aron los otros dos. A l ser interrogados

ficha cada uno, aunque no necesariamente

p o r sus padres, ellos hicieron las siguientes

en

afirm acion es: > Pedro: Juan aprobó Matemáticas.

ese

orden.

Interrogados

cada

uno

contestó:

> Luis: Yo aprobé Física. ^ Juan: Luis aprobo Química.

> Alvaro: “Yo tengo la ficha de color azul”

Se

> Paulo: “Yo tengo la ficha de color verde”

sabe

que

el que

> Mirna: “Yo tengo la ficha de color verde”

aprobó Matemática

siem p re dice la verdad, y el que aprobó

> Daniel: “M im a tiene la ficha de color rojo”

Q u ím ica siem pre m iente, entonces indique

Si solo uno de ellos miente, ¿quiénes tienen

q u ién ap rob ó Física, Quím ica y Matemáticas

las

resp ectivam en te.

respectivamente?

fichas

de

A ) Daniel y Alvaro

A) Pedro—Juan —Luis B) Juan - Luis - Pedro C) Luis —Pedro —Juan D) Luis - Juan - Pedro E) Pedro - Luis - Juan

colo r

am arillo

y

B) Paulo y M im a

C) Alvaro y Paulo D) M im a y Alvaro

67

E) Paulo y Alvaro

azul,

13.

C u atro herm anas son interrogadas por su

A ) Césary David C) César y Al ex D) Beto y César

m a d re, pues una de ellas se com ió los ch ocolates. > Carmen : “Vanesa fue” >

Vanesa Mercedes

^ Paquita

: “M ercedes fu e”

fu lb ito y, por casualidad, uno de ellos rompió la luna de la casa de un vecino, quien sale de su casa enojado y pregunta: ¿Quién ha sido? Las respuestas fueron las siguientes: > A n d résrY on ofu i. > Carlos: Darío no fue. > Darío: Yo no participé en el juego. > Rubén: Fue Andrés. Si se sabe que solo uno de ellos dijo la verdad, ¿quién fue el culpable?

: “Vanesa m iente al decir que fui y o ” . : “Yo no fui”

La m a d re sabe que solo una de ellas dice la

A ) C arm en y Vanesa B ) Vanesa y Paquita C ) Paquita y M ercedes D ) M erced es y Vanesa

A ) Darío D) Rubén

E ) C arm en y M ercedes X avier, Yago y Zenón asaltaron una joyería de la qu e robaron dinero y joyas, y se pusieron d e acu erd o para ocultar un maletín con el d in e io y o tro con las joyas. Posteriormente fu e ro n

capturados

y

sus

declaraciones

fu e ro n : > Xavier: “el m aletín con el dinero lo tiene Zenón”

Yago: “el m aletín con el dinero Jo tengo y o ” > Xavier: “el m aletín con las joyas lo tiene >

Yago” >

Zenón: “el m aletín con las joyas lo tiene

X a v ie r ” . Si los tres m ien ten siempre, ¿quién tienen el m a le tín con el dinero y quién el maletín con lasjoyas, respectivamente?

A ) X a v ie r - Yago C) Yago-Zenón D ) Xavier - Z en ón 15.

B) Yago - X avier E ) Zenón - Yago 1 5

Álex, Beto, César y David han com petido en una carrera. A l preguntarle a cada uno quién fu e

el ganador, ellos respondieron lo

siguiente: Álex: Ganó David. > Beto: Yo no gané. > César:Álex miente. > David: Ganó César. Si solo es cierta una de estas cuatro afirma­ >

ciones, ¿quién ganó y quién dice la verdad,

respectivamente?

E) Beto y David

16. Cuatro am igos ju ega n

v erd a d . ¿Q u ién se com ió el chocolate y quién d ice la v erd a d respectivam ente?

U.

B )Á lexyB eto

17.

B) Andrés

C) Carlos E) Aldo

Hay un solo anillo y tres cajas cerradas de diferente color, rotuladas con los siguientes enunciados: > Caja azul: El anillo no está aquí. > Caja verde: El anillo no está en la caja roja. > Caja roja: El anillo está aquí. Si solo uno de los enunciados es cierto, ¿en qué caja se encuentra el anillo? A ) caja azul B) caja verde C) caja roja D) En ninguna de las tres cajas E) no se puede determinar

18. Un excursionista que se extravió en la selva escucha una c o n versa ció n e n tre lugareños con los que se encontró. > Carlos: H oy es domingo. > Ana: Ayer fue domingo. > Carlos: es verano.

dos

Si se sabe que el varón siempre miente los lunes, miércoles y viernes, y dice la verdad los demás días; mientras que la mujer miente los martes, Jueves y sábados, y dice la verdad los demás días, entonces sobre el día en que se realizó la conversación qué se puedeconcluir. A) Es un domingo deverano. B) Esun lunes deverano. C) Es un lunes, pero no esverano. D) Falta información. E) Es domingo, perono esverano.

F O N D O E D IT O R IA L R O D O 19. En e l curso d e Biología, el profesor formó 4 g iu p o s con los alumnos asistentes para que p o r gru p o observen una célula con el m ic ro sc o p io . Una v e z que terminaron de o b serva rla , e l p rofesor se da cuenta de que el m ic ro sc o p io está roto e interroga a cada grupo p a ra c o n o c er cuál fue el que la rompió, a lo q u e con testaron:

> > > >

A ) Lucía

B) M iriam

D ) Sonia

E) Á n gela

22. A ld o, Beto, Carlos y Darío son los únicos participantes en una carrera. Cuando un periodista, que había llega d o tarde, les preguntó en que puesto habían llegado,

Representante del grupo 1: El grupo 2 fue. Representante del grupo 2: El grupo 3 fue. Representante del grupo 3: El grupo 2

respondieron así:

m ien te.

>

> Aldo: Darío

A ) gru p o 1 D ) gru p o 4

B) grupo 2

C) grupo 3 E) grupos l y 2

20. Los alum nos A bel, Juan y Darío responden un a eva lu ación p re g u n ta tie n e

de tres preguntas: cada dos posibles respuestas,

v e rd a d e ro (V ) o falso (F ). Sus respuestas se

prim ero

y

Beto

fue

Beto: Darío fue segundo y Carlos fue tercero.

>

Si s o lo e l representante de un grupo dice la v e rd a d , ¿que grupo o grupos es el culpable?

fue

segundo.

Representante del grupo 4: Nosotros no fuim os.

C) N ild a

Darío: Carlos fue últim o y A ld o segundo.

Si cada uno dijo una afirm ación verd ad era y una afirm ación

falsa,

adem ás

no hubo

empates, ¿quién gano la carrera? A ) A ld o B) Beto C) Carlos

'

D ) Darío E) N o se puede determ inar

m u estran en e l cuadro adjunto. Abel

Juan

Darío

23. De las cinco

frases

qu e

se

in dican ,

lera, pregunta

V

F

F

d eterm ine cuántas son falsas.

2da. pregunta

F

V

V

> A qu í hay exactam ente dos frases falsas.

3era. pregunta

V

V

F

> A qu í hay exactam ente una frase falsa. > Aquí

Se sabe que uno de ellos contestó correcta­ m e n te todas las preguntas, otro se equivocó en tod as sus respuestas y el tercero falló solo en una respuesta. ¿Cuál fue el orden de m érito de

C ) Juan, D arío y A b e l D ) A b e l, Juan y D arío

e x a c ta m e n te

dos

frases

verdaderas. > Aquí

hay

e x a c ta m e n te

una

fra s e

verdadera. > Todas estas frases son falsas.

d ich os alum nos? A ) D arío, Juan y A b e l

hay

B) Darío, A b el y Juan

A) 1

B) 2

D )4

C) 3 E )5

E) Abel, Darío y Juan

24. Cuatro amigos cuyas edades son: 10; 20; 30 Nilda, Lucía, M iriam , Sonia y Á n gela son a m ig a s y se sabe que solo una de ellas es casada. A l preguntárseles quién es la casada, ella s resp o n d iero n :

> Nilda: Lucía es la casada. > Lucía: M iriam es la casada.

> Miriam: Ángela es la casada. > Sonia: Yo n o s o y casada. >

y 40 años comentan sobre estas. > Javier: Nací 20 años antes que Luis. > Luis: Tengo 20 años. > Carlos: Tengo el doble de la edad deJavier. > Darío: Soy menor de edad. Si solo uno de ellos ha mentido, ¿cuánto suman las edades de Carlos y Darío?

Ángel: m intió cuando dijo que yo soy casada.

Si sola m en te es cierta una de las afirmaciones, ¿ q u ié n es la casada?

A) 20 años D) 60 años

B) 30 años

C) 40 años E) 50 años

LIBRO 25.

T res am igos se sientan en una banca de 3 asientos y com entan lo siguiente:

> > >

Andrés: Braulio y Carlos se sientan juntos. Braulio: Carlos no está a mi lado. Carlos: Andrés está a la derecha de Braulio

Se sabe que solo uno de ellos miente y que Braulio no esta sentado en el extremo izquier­ do. Indique cuáles de los siguientes enunciados son correctos. I. II.

A ) Carmen y Alicia son viudas. B) Gina dijo la verdad. C) Elvira siempre miente. D) Alicia es casada. E) Carmen y Elvira son casadas.

29. Tres personas (A, B y C), algunas de las cuales son serias y otras son bromistas, tienen la siguiente conversación.

Andrés miente. Braulio miente.

> A: C y yo estamos serias. > B:C no es seria. > C: B es seria y A es una bromista.

III. Carlos está junto a Andrés. A ) solo I D ) I y III

B) solo II

Si las serias siempre dicen la verdad y las

C) solo III E) II y III

bromistas siempre mienten, determinen que tipo de personas son A y B respectivamente

26. D e Carla, Betty y Jessica se sabe que solo una d e ellas m iente, y esta es la menor. Si Betty afirm a que Carla y Jessica son mentirosas, se con clu ye que: A ) Carla y Bett son mayores que Jessica. B ) B etty es m ayor que Carla. C ) Carla y Jessica son mayores que Betty. D) Jessica y B etty son mayores que Carla. E ) B etty es m ayor que Jessica.

A ) seria - seria. B) seria -b rom ista C) b ro m ista-seria D) brom ista-b rom ista E) no se puede determinar

30. Un viajero llega a una isla en la que todos los habitantes dicen la verdad los lunes, miércoles, viernes y domingos, mientras los demás días mienten. El viajero mantiene

27. Gloria, Karina, M ilagros y Juana fueron las

una conversación con un nativo de la isla.

únicas participantes de una competencia de n atación . Cuando se les preguntó sobre su o rd en d e llegad a, ellas afirmaron lo siguiente: > Gloria: Yo llegu é en prim er lugar. > Milagros: Yo no llegué en segundo ni en

> Viajero: ¿Qué día es hoy? > Nativo: sábado Viajero: ¿qué día de la semana será

>

mañana?

> Nativo: miércoles

tercer lugar.

Juana: Yo llegué antes que Gloria. Karina: Yo llegué inmediatam ente después d e Milagros. Si no hubo empates, además, se conoce que solo una de ellas m intió, ¿quién llegó en tercer

¿Que día de la semana es realm ente?

> >

31.

lugar?

A ) Gloría D) Milagros

B) Juana C) Karina E) No se puede determinar 2 * 8

28. Alicia, C arm en , Elvira y Gina son cuatro a m igas. Se sabe q u e dos de ellas son casadas y s ie m p re d icen la verdad, mientras que las

y siempre mienten. Si C a rm e n dijo que Gina es viuda y esta comentó q u e Alicia y Carm en son casadas, entonces es o tra s d os son viudas

cierto que:

A) jueves D) sábado

B) lunes

C) viernes E) Martes

Carlos, el enamorado de Aurora, mentía indefectiblemente los martes, jueves y sábados, y los demás días decía la verdad. > Carlos: Aurora, salgamos a pasear hoy. > Aurora: No > Carlos: ¿Por qué no, si hoy es Sábado? > Aurora: No... tal vez mañana. > Carlos: Mañana no podremos porque será miércoles, y tengo que estudiar. ¿En que día de la semana ocurrió esta con­ versación?

raiYDÓ EDITORIAL RODO A l lunes

B) m artes

C) Jueves

D ) viern e s

35.

Rebeca vive en el mismo edificio que yo, pero no sé en que departamento. Le pregunté a

E) sábado

cuatro de mis vecinos por el número de su

32. Ei inspector Aníbal, a bordo de su lancha, llegó

departamento y ellos afirm an:

los forasteros siempre

> Vecino 1: El núm ero de su departam ento

m ien ten y los nativos siempre dicen la verdad.

es 9. > Vecino 2: El número de su departam ento

a

una

isla

donde

M ientras fondeaba cerca de la costa, vio a tres hom bres paseando por la playa. ¿Son ustedes

es primo. > Vecino 3: El núm ero de su departam ento

nativos o forasteros? - les gritó. Uno de ellos contestó, pero el ruido del motor le impidió oírlo. El inspector volvió a preguntar y el segundo hom bre respondió. Ha dicho que es

es par. > Vecino 4: El núm ero de su departam ento

n ativo y yo también lo soy. entonces el tercero

es 15. El portero no quiso decirm e en qué dep arta­

añadió. El prim ero es forastero y el segundo

m ento v ive Rebeca, pero m e aseguró que

tam bién lo es. ¿Cuántos eran forasteros y qué

exactam ente

era el tercero que contestó?

dos

de

las

afirm acion es

anteriores son falsas. ¿En qué departam ento v ive Rebeca?

A ) 3; nativo

B) 2; nativo

C) 2; forastero

D ) 1; forastero

E) 1; nativo

A) 1

B) 15

C) 3

D) 9

E )2

33. Gérman, Ernesto, David, Renzo, Paulo y W alter son sospechosos de un robo, el cual fue

36. A l fin a l de

una

carrera,

los

cu atro

realizad o p or uno de ellos. Al ser interrogados,

participantes afirm an lo siguiente:

m anifestaron lo siguiente:

> Luis: N o llegu é en prim er ni en últim o

>

Germán: R enzo fue.

>

Ernesto: W alter es inocente.

lugar. > Carmen: N o llegu é última.

> David: Paulo no fue. > Renzo: El culpable es Ernesto.

> Rosa: Yo fui la prim era en llegar. >

Rubén: Yo fui el últim o en llegar.

>

Paulo: Germán dice la verdad.

>

Si solo uno de los participantes m in tió y no

Walter: D avid miente.

hubo em pates,¿quién ganó la carrera?

Si tres de ellos mienten y los otros tres dicen la verd ad , ¿quién com etió el robo?

A ) Luis

B) Rubén

C) Rosa A ) Paulo

B) Ernesto

D ) R en zo

C) David E) W alter

D ) Carm en

34. El señor M árqu ez me comentaba que cada uno de sus hijos decía dos verdades y una mentira cuando alguien les pedía que se presentarán. Sus nom bres son Justo, José y Pedro. Hace p o c o los evalúe y la respuesta fue:

ler. hi¡o: Soy José; hoy es lunes y hace frío. > 2do. hijo: S oy Justo; h oy es Lunes y hace >

calor. > 3er. hijo: S oy Pedro, tengo 18 años y hace frío en este día. ¿C óm o se llama el prim er hijo?

Justo D)Juan A)

B)

Pedro

C) José E)

E) no se p u ede d eterm in a r

,3 4

Faltan datos

37. Ariel, Beatriz, Marcos y Gabriela están

sentados en una fila de 4 sillas numeradas en orden consecutivo de 8 al 11. Nicolás los mira y dice: > Beatriz está al lado de Marcos. > Ariel está entre Sandra y Marcos. Pero sucede que las dos afirmaciones que hizo Nicolás son falsas. En realidad, Beatriz está en la silla numerada con 10. ¿Quién esta en la silla numerada con el 9

A) Marcos D) Gabriela

B) Beatriz

C) Ariel E) Nicolás

l ib r o 38. E n u n a i e u n ió n , A n a , B e lén y C arla m an tien en la s ig u ie n te c o n v e rs a c ió n

> *

41. A n d ré s, B e rn a rd o , C a rlo s y D a río to m a n una fich a d ife r e n te c a d a u n o

Ana: N a c í 20 años antes que Carla. Belén: T e n g o 2 4 años. Carla: T e n g o 16 años de edad y le d uplico la e d a d a B elén .

Si d e las m e n cio n a d a s solo h ay una persona q u e es m a y o r d e e d a d y solo una de ellas está m in tie n d o , h a lle la suma de las edades, en añ os, d e B e lé n y Ana.

(la s fich as

están n u m era d a s d e l 2 al 5 ) y d ice n :

> Andrés: Yo te n g o la fic h a c o n el n ú m e ro 4 > Bernardo: El n ú m e ro d e m i fic h a es el d o b le qu e el d e D arío.

> Carlos: A n d ré s n o tie n e la fich a co n el n ú m ero 4

> Darío: C arlos tie n e la fich a con e l n ú m e ro 5.

A ) 44

B ) 36

D ) 28

C) 60

Si solo uno m ie n te ,

E) 40

n ú m eros d e las fich as d e C arlos y D a río ?

39. S e c o n o c e qu e Luis siem pre dice la verdad y q u e C arlos siem p re m iente. Am bos comentan lo sigu ien te:

> Luis: N o es verd a d que M aría no ha perdido un lap icero . > Carlos: N o estoy m intiendo al decir que Juan no se encon tró un lapicero. In d iq u e la proposición correcta.

A) 9

k .i

'i l ’

[ 1

, ' í r

40. Los habitantes de un pueblo agricultor tenían ’ Una rara costumbre: indefectiblemente los me­ ses de m ayor lluvia (m arzo Junio y noviembre) siem pre decían mentiras y los demás meses de sequía decían la verdad. En una oportunidad, lle g ó un m isionero que se había extraviado años atrás, y al informarse de la rara costumbre del p u eblo entabló la siguiente conversación con un habitante, con la finalidad de saber en qué mes se encontraba. > ¿Estamos en el mes de noviembre?

v

SÍ > ¿Podré visitarlos el próxim o mes? '' N o porque es abril, mes de inundaciones, fE n qué mes ocurre dicha conversación?

B) 7

C) 5

D )8

E )6

42. A una con versa ción asistieron 120 c o n ­ gresistas. De ello , se sabe que: > cada congresista es honesto o desh on esto (n o h ay otra p o s ib ilid a d ). > al m enos

A ) M a ría no perd ió un lapicero y Juan se en con tró un lapicero. B ) M a ría no perd ió un lapicero y Juan se en con tró el lapicero de María. C ) M a ría no perd ió un lapicero y Juan no se en con tró un lapicero. D ) M a ría perd ió un lapicero y Juan se en con tró un lapicero. E ) M aría perd ió un lapicero y Juan no en con tró el lapicero de María.

¿cu á n to su m an los

2

de

los

con gresistas

honestos. > d ad o cualquier tem a de congresistas, al m enos 1 de los 3 es deshonesto. ¿Cuántos congresistas son d esh on estos y cuántos son honestos, resp ectiva m en te? A ) 9 0 y 30

B) 6 0 y 60

D ) 2 y 118

C) 1 18 y2 E) 8 0 y 40

43. En el África, la tribu de los tacas m ien te solo los lunes, martes y m iércoles, y la de los tiquis, los ju eves, viern es y sábado. Un día se encontraron un taca y un sostuvieron el siguiente d iá lo go :

D ) noviem bre

B) marzo

C) junio E) septiembre

tiqui,

y

> Taca: ¡H ola! ¡A yer y o m entí! > Tiqui: ¡H ola! ¡A y e ry o tam bién m entí! ¿En que día sucedió este encuentro? A ) martes

B) ju eves

D ) viernes

C) d om in go E) M iércoles

44. Cuatro niños traviesos com entan acerca de cuántos vidrios rom pieron ju g a n d o con la pelota. Resultó que rom p ieron

A) enero

son

respectivam en te, siguiente:

y

cada

5; 3; 8 y 10*

uno

d ijo

lo

f o n d o e d it o r ia l r o d o ^

Alberto: Juan ro m p ió 5 vidrios. Juan: Yo ro m p í 8 vidrios. Pedro: A lb e rto rom pió 3 vidrios.

Luis:Yo rom p í 8 vidrios.

^

Si dos d e ellos m ienten y los otros dicen la v e rd a d , ¿cuántos vidrios rom pió Alberto?

47. Jorge, Pedro, R icardo, D iego y Á le x han ocasion ado un choque m ú ltiple con sus autos, los cuales son de c o lo r am arillo, azul, verd e, n egro y rojo, no n ecesariam en te en ese orden. A l ser in terroga d os p or el p olicía, ellos hacen tres afirm acion es de las cuáles

A) 5 ü ) 10

B) 8

C )3 E) 13

solo una es verdadera.

> Jorge: M i auto es el azul, el de D ie g o es verd e. El de Á le x es el negro.

45. H a y 45 personas en una fila que pueden ser veraces (d icen siempre la verdad) o mentirosos (s ie m p re m ien ten ). Todos, excepto la primera p erson a de la fila, dicen que la persona que está d elan te de él es un mentiroso, y la p rim era persona de la fila dice que todos los qu e

están

detrás

de

él

son

mentirosos.

¿Cuántos m entirosos hay en la fila?

> Pedro: El rojo es m ío. El de Á le x es el am arillo. El de Jorge es el azul.

> Ricardo: El m ío es el n egro. El am arillo es de Jorge. D ie go es du eño del azul.

> Diego: Jorge siem pre m iente. El n eg ro es de Ricardo. El am arillo es de Pedro.

> Álex: El m ío no es am arillo. El ro jo es de Jorge. El verd e es de Pedro.

A ) n in gu n o

B) 22

D ) 44

C) 23 E) 1

¿De qué colores son los autos de R ica rd o y D iego, respectivam en te?

46. Á n g e la , Bertha, Carla, Doris y Elisa son estudiantes de un mismo salón de clases que

A ) vérd e y n egro

discuten sobre el orden en que se dictan sus

C) n egro y verd e

cursos de matemáticas, y cada una da su

D ) rojo y azul

versión : > Ángela: G eom etría se dicta primero; Arit­ m ética, tercero. > Bertha: Á lgeb ra se dicta primero; Lógico M atem ático, tercero.

B) n egro y am arillo

E) n egro y ro jo

48. En un letrero están escritas cuatro p ro p o s i­ ciones, tal com o se m uestra en el sigu ien te gráfico.

> Carla: L ó gico M atem ático se dicta cuarto; G eom etría, tercero.

> En este letrero, al m enos una p ro p o ­ sición es cierta.

> Doris: G eom etría se dicta segundo; Lógico M atem á tico, prim ero.

> En este letrero al m en os dos p ro p o s i­

> Bisa: Aritmética se dicta primero; Trigonome­ tría, quinto. Si se sabe que en un día solo se dicta uno de esos

ciones son falsas. > En este letrero h ay exa ctam en te una p rop osición falsa.

cursos y que de las dos afirmaciones que hizo cada estudiante, una es verdadera y la otra es

> En este letre ro h ay exa ctam en te una p rop osición verd ad era.

falsa, ¿cuáles son los cursos que se dictan p rim ero y cuarto, respectivamente?

A) Á lg e b ra y Aritmética B) Á lg e b ra y G eom etría C) A ritm é tic a y G eom etría

¿Cuántas proposiciones con seguridad son verdaderas?

D ) Á lg e b ra y L ó gico M atem ático.

A )1

E) A ritm é tic a y L ó gico M atem ático.

D-*4

B) 2

C) 3 E) Ninguna

LIBRO 49. E n u n au la se h a p erd id o un celular. Los sos­ p e c h o s o s d e l rob o, al ser interrogados por el p r o fe s o r d e R M , d eclararon lo siguiente: > Raúl: A lfr e d o es culpable.

> Alfredo: R aú l es culpable. > Edgar: Jesús es culpable. > Jesús: S o y culpable. > Carlos: A lfred o es inocentey Raúl culpable. E l p ro fe s o r sabía que solo uno de ellos mentía y

50. H ay tres habitaciones, en una de las cuales hay una dama, en las otras dos hay un tigre, cada habitación tiene un letrero com o los que se muestran.

I En la habitación II hay un tigre

II En esta habítación hay un tigre

III En la habitación I hay un tigre

q u e este n o era culpable d el robo. ¿Quiénes, con segu rid ad , son los culpables del grupo? El letrero de la puerta de la habitación en A ) R aú l y A lfre d o

donde está la dama es verd ad ero y al menos

B ) Jesús, Carlos y A lfred o

uno de los otros dos letreros es falso. ¿En

C ) Jesús y A lfre d o

qué habitación está la dama?

D ) Jesús y Raúl E ) Jesús, R aúl y A lfre d o

A) I D ) I o II

B) II

C) III E) II o III

CAPAC ID AD ES *

D e sa rro lla r el interés p o r la resolu ción de problem as que a p a ren te m e n te sean d ifíciles.

®

C o n o c e r y u tiliza r los m étod os razon ativos com o parte de la in vestiga ció n cien tífica .

°

D e sa rro lla r la capacidad lógica-inductiva.

•

D ar

a c o n o c er la

im portancia

de

la inducción

m atem ática

com o

m é to d o

de

d em o s tra ció n m atem ática.

PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA U n a proposición p(n) es verdadera para todos los valores de la variable n si se cumplen las siguientes condiciones: P A S O 1: La proposición p(n) es verdadera para n = 1, o bien, p( 1) es verdadera. P A S O 2: Hipótesis es Inducción. Se supone que p(k) es verdadera, donde k es un número natural cualesquiera. P A S O 3: Tesis de Inducción. Se demuestra que p(k + 1) es verdadera, o bien, p(k) verdadera —> p(k + 1) verdadera. La técnica de Inducción Matemática consiste en los tres pasos anteriores. Si se necesita demostrar la validez de una proposición p(n) para todos los valores naturales n, entonces es suficiente que se cumplan: Paso 1, paso 2 y paso 3. C o m en ta rio: Intuitivamente la idea anterior se conoce como el “ Efecto D om in ó” . Si imaginamos una fila in fin ita de fichas de dom inó: dispuestas verticalmente y suficientemente próximas una cualquiera de la siguiente, entonces si el volteamiento de la primera ficha provoca el volteamimento de la segunda ficha, por el Principio de Inducción Matemática la fila completa es volteada.

TORRES DE HANOI Las torres de Hanoi es un juego matemático que consiste en tres varillas verticales y un cierto número de discos que determina la complejidad de la solución.

Bf&JRO Están ubicadas com o muestra la figura y no puede haber un disco mayor sobre uno menor que él en ningún m o m e n to , el ju ego consiste en pasar todos los discos, uno por uno, de la varilla 1 a la varilla 3, en el menor n ú m e io de m ovim ien tos posibles. 1 ai a com en za r la solución de este juego, se debe realizar diferentes partidas e ir descubriendo una estrategia q u e n os p erm ita hallar la solución.

LÓ G ICA INDUCTIVA La lógica inductiva implica razonar partiendo de hechos particulares para llegar a una conclusión gen eral.

RAZONAM IENTO INDUCTIVO D e n o m in a re m o s razonamiento inductivo al método que consiste en la aplicación de la lógica inductiva. V e a m o s los siguientes ejemplos:

S e o b s e rv a n v a rio s casos en los que números que terminan en 5 al ser elevados al cuadrado dan un r e s u lta d o q u e te rm in a en 25. A partir de esto podem os llegar a la conclusión que todos los números que te r m in a n e n 5 al ser e leva d o s al cuadrado tienen un resultado que termina en 25. 15z = 225 3 5 2 = 1225 752 = 5625

ó >

(...5 r = -2 5

1552 = 24025 2 0 5 2 = 42025

Ejem plo:

La sigu ien te torre se ha construido con triángulos, ¿cuántos se han utilizado en total?

1

2

3

......... 28 29

30

• - • ¿Q u e hacem os para resolver el problema?, la torre tiene demasiados niveles, R e s o lu c ió n . e j con teo directo resultaría demasiado tedioso.

Razonemos: si la torre tuviera menos niveles (1 ó 2 ó 3 solamente) sería fácil contar cuántos triángulos hay. Entonces analicemos algunos casos particulares: m m m m

F o r m o F on oitiA iL

rodo

±

P a ra 1 n iv e l: i N ú m ero de _

M

J

triángulos

—^

P a ra 2 n iv e le s : hxTl £ X £ X ] 1

1 N ú m ero de J triángulos “

6

2

P a ra 3 n iv e le s : N ú m ero de =

triángulos 1 2

12

3

A h o r a a n a lic e m o s los resultados obtenidos en cada caso para en con tra r una s e c u e n c ia q u e nos p erm ita encontrar el resultado en toda la figura.

M

I N ú m ero de J triángulos

h x l 0

x

] N ú m ero de

^ 1

^

1

triángulos

^

x 2

2 ...................................

N ú m ero de triángulos ~ 12 ~y 3 x 4 1

2

3 ...

S e o b s e rv a qu e los resultados se ob tien en m u ltiplican do el ú ltim o n úm ero de la b a s e d e la fig u ra p o r su con secu tivo. De acuerdo a esto ya p od em o s calcular el r e s u lta d o p a ra to d a la figura.

N ú m ero de triángulos

l

2

3

............

28

29

30

I

■-T'-'

= 30 x 31 = 930

TiníS' --'/-i,: 1-

Observa los siguientes ejemplos:

5. Observa los siguientes ejemplos:

CU)2= 121

1

2 cifras

2+ 4 ~ 4

( l l l ) 2 = 12321

1_ 3

1

1_ 7

2+4

8_ 8

1

3 cifras ( l i l i ) 2 = 1234321

V ----v---- '

1 1 1 1 15 — i---- 1 -----1 — ~ —— 2 4 8 16 16

4 cifras

Ahora calcula el resultado de: (1 1 1 1 1 1 1 1 1 )2 = .........................

Ahora, calcula el resultado de:

9 cifras

2.

Observa los siguientes ejemplos: 332=1089 3332 = 110889 33332=11108889 333332= 1111088889 A h o r a calcu la el resultado de:

33333.

l i l i --- 1 ----- 1 ----- 1 ------ 1

2

6.

4

8

16

1 H---- ——

1024

Observa los siguientes ejem plos:

5J = 125 5 = 3125

.332 =

20 cifras

57 = 78125 5V = 1953125

3.

O b se rv a los siguientes ejem plos:

992 = 9801 9992 = 998001 99992 = 9 9 9 8 OOOI

999992 = 9999800001

Ahora, calcula (a + b + c) en: .abe

535 ="

Rpta:

A h o r a calcu la el resultado de:

99999.... 9 9 ¿ = 25 cifras

7. Observa los siguientes ejemplos: 1 ---------------> Suma = 1 3

F2:

4.

O b se rv a los siguientes ejem plos:

952= 9025 9952= 990025 99952 = 99900025 999952 = 9999000025

F3:

9 11

-> Suma = 8

------- > Suma = 27

F4: 13 15 17 19 ---- > Suma = 64

Ahora calcula la suma de los números en 20 -

A h o ra calcu la e l resultado de:

99999.... 952 =

7

5 -----

Rpta:

f

EOñ'DO EDITORIAL RODO

' PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA X

¿Cuántos palitos en total se cuentan en la siguiente figura?

/\ / ^ \ /% //^/% //\

1

R esolución:

2

3 .......48

49

50

N ú m ero de Palitos Caso 1:

/\ } 2 - 2 x l2 1 ............

Caso 2: / \ 0 \ 1 2 Caso 3:

} 8 = 2* / .......

/\ 18

i

2

= 2 x 32 , . - 'y

a.

D e acuerdo a los resultados obtenidos en cada caso, el resultado para tod a la figu ra será:

/\ / ^ \ Nú m ero de ? palitos = 2 x 502 = 5000

/% //^/% ^/\

1

FKO BLEM A 2

2

3 .......48

49

5 0 - '-

¿Cuántos puntos de intersección se cuentan en la siguiente figura? 4 © -

e M x M r)

1 2 3 ...... 38 39 40

i

LIBRO

Resolución:

C aso 1:

N ú m ero de [juntos de in tersección ^ 0 -

}

6 = 2 x 3 = 2 (2 2 - l )

1 2

Caso 2:

-< $ © -

'

16 = 2 x 8 = 2 (3

44©- J 12

/

-1 )

3-

Caso 3: - é e 30 = 2 x 15 = 2 ( 4 * - 1) / 1 2 3 4D e acu erdo a los resultados obtenidos en cada caso, el resu ltado p ara to d a figu ra será:

4©44©444© 4444©

4 (4 0 ¿

- 1) - 3198

444--44©- J 1 2 3

PRO BLEM A

5

38 39 4 0...-

C alcu le la suma de cifras del resultado de la siguiente operación : 6 6 6 . . . 666 x 3 3 3 . . . 3 3 4 50 cifras

R esolución: Caso 1:

6 x 4

t-y-'

lcif. Caso 2 :

Sum a de cifras

= 2

->

lcif.

4

2cif.

3cif.

6 = 6x1

lcif. lcif.

2cif. 2cif.

666x344 = 222444 3cif.

P id e n :

R esultado

66 x 34 = 22 4 4 2cif.

Caso 3 :

50 afras

3cif. 3cif.

------- > 12 = 6 x 2 .......... ------- > 18 = 6 x 3 .......

666 . . . 6 6 6 x 333 . . . 334 ------- > 6 x 5 0 '------- '------- ' ‘------- -------- ' y 50cif. 50cif......................... Suma de cifras d el resultado = 300

EOJYDO EDITORIAJL RODO PROBLEMA 4

En e l sigu ien te arreglo, ¿de cuántas form as distintas se p u ed e le er ESTUDIO, con sid era n d o igu al distancia de una letra a otra en cada lectura? E S T

S T

T

U U U U D D D D D l i l i l í O O O O O O O

R esolución:

/ s: ’

I

N ° de form as de leer "ESTUDIO"

= 2 ? -1 = 64

Observación 2:

Observación 1: Este criterio para contar el número de formas de leer una palabra se puede generalizar para cualquier palabra con cuyas letras se forma un arreglo triangular como el mostrado en el problema. Veamos: C O 0 N N N ■ T T T T A A A A A R R R R R R „

PROBLEM A 5

C 0 0 NNN

. s s ^

t t t t A

A

A A

A

R R R R R R

R A A T T T n n n n

0 0 0 0 0 C C C C C C

Como "CONTAR tiene 6 letras:

Estos dos arreglos son equivalentes, es decir que el número de formas de leer es el mismo.

N° de formas de leer "CONTAR"

2 5 - 1 = 32

En el sigu ien te arreglo, ¿de cuántas form as distintas se puede leer R A Z O N A , con sid era n d o igu al distancia de una letra a otra en cada lectura? R R R R R R R A A A A A R R A Z Z Z Z A R R A Z O O O Z A R R A Z O N N O Z A R R A Z O N A N O Z A R

R esolu ción :

C o m o se p u ed e observar to d o el arreglo está form a d o p or 3 arreglos triangulares e q u iv a le n te s y en cada uno d e ellos el n úm ero de form as de le e r

2 6'

RAZONA

es

1 = 32. Tam b ién se observa que hay 2 palabras RAZONA que se han le íd o 2

v e c es p o r estar presentes en 2 arreglos triangulares.

O

N° d e form as d e le e r "RAZONA"

_ ,w „s

1

EOIYDO EDITORIAL RODO PROBLEMA 6

C alcu lar la suma de cifras del resultado de la siguiente operación: A = ^111 • • • 11 + 444 . . . 44 + 1 100 CFS

50 CFS

Suma de cifras d el resu ltado

R esolución: Caso 1 :

J 11 + 4 + 1 = V l6 = 4 '» v • v-y-j 2cif. lcif.

lcif. - - '

Caso 2 :

4 = 3 (1 ) + 1

fr

-„

- - ' ”

V l l l l + 44 + 1 = V l l 5 6 = 34 4cif.

Caso 3 :

-»

2cif.

->

7 = 3 (2 ) + 1

2cif.

f i l i l í + 444 + 1 = V111556 =J334 -> 6cif.

3cif._

10 = 3 (3 ) + 1

3cif.

D e acuerdo a los resultados obtenidos en cada caso: 1 1 . . . 11 + 444 . . . 44 + 1 = 3 3 3 . . . 34 Vi___ y____ / V ____ y____ J V ------y----- j

lOOcif.

50cif.

Suma de cifras del resultado

PRO BLEM A 7

Resolución:

50cif.

= 151

Calcular la suma de todos los números del siguiente arregio: 1

2

3

4

. .. 20

2

3

4

5

. ..

3

4

5

6

. .. 22

4

5

6

7

. .. 23

20 21 22 23

. .. 39

Caso 1:

Caso 2 :

Suma = 8 = 2

'1

(3 )4

'1 2

Suma = 27 = 3

3

5_

2 2 (4 ) 3 4 5

3 4 5 6 © 5

3

2 (3 )

2 3 4

Caso 3 :

21

6 7

\ Suma = 64 = 4 3

-> 3 (5 0 ) + 1

LIBRO D e acu erd o a los resultados obtenidos en cada caso: " 1

2

3

4

. ..

20"

2

3

4

5

...

21

3

4

5

6

. ..

22

4

5

6

7

. ..

23

. . 39J

20 21 22 23

PROBLEMA 8

Suma = 2 0 3 = 8000

V a 4 x a5 x a6 x a7 + 1 = 54 x a7 + 1 C a lc u le :

a + aa + aaa + . . . ---------—v------- ' a sumandos

R esolución:

V eam os tres casos particulares ten ien d o en cuenta la fo rm a d e l p ro b le m a J l x 2 x 3 x 4 + 1 - %/Z5 = 5 = l x 4 + l ^ * \ jt

o

72x3x4x5 + 1=

o

______x______ ~t~ 7 3 x 4 x 5 x 6 + 1 = 7361 = 1 9 = 3 x 6 + 1 x

7l21 = 1 1 - 2 x 5

+ 1

^\J +

N O T A “ S” Si e l p ro b le m a tien e esta form a in du ctiva de los 4 factores con secu tivo s, se to m a e l m e n o r de ellos se m u ltiplica p or el m a yo r y se le sum a 1.

L u ego :

V a 4 s x a 5 x a 6 x a7 + 1 = 54 x a7 + 1

'--------_________ a4 x a7 + 1 = 54 x a7 + 1 a4 x a7 = 54 x a 7 a 4 j= 5 4 a = 5 N o s piden :

a + aa + aaa + ... = 5 + 55 + 555 + ... '---------- v----- —--v ------a sumandos

5 sumandos

5 + 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 17

2 5

RONDO EDITORIAL RODO PROBLEM A 9

C alcu le e l v a lo r d e la siguien te expresión : n sumandos

A =

( I x 3 + 3 x 5 + 5 x 7 + ...) + n l 2 + 22 + 3 2 + ... n sumandos

1 sumando

R esolución:

+1

Para n = 1 1

sumando

2

sumandos

= 4

______________A______________

Para n = 2

A

—^

( l x 3 + 3 x 5 3 + 2 _ /1

o

2

-»

'

sumandos

3

Para n = 3

o

sumandos

(1 x 3 + 3 x 5 + 5 x 7 3 + 3 A = --------- r----- =----- ^ -----= 4 l 2 + 22 + 32

v------ v------ / 3

sumandos

D e acuerdo a los resultados obtenidos: n sumandos

. ( l x 3 + 3 x 5 + 5 x 7 + ...3 + n A = --------------------------------------- = 4 l 2 + 22 + 32 + ... n sumandos

PR O B LE M A 10

C alcule la suma de todos los núm eros en el siguiente arreglo n um érico.

2 4

2 4

6 2 2 2 6 2 2 2 2 2 8 50

Resolución:

50

Caso 1: 4 2 4

Caso 2:

^

Suma = 12 = 4 x 3

2 4 2 4 6 2 2 2 6

Sum a = 30 = 6 x 5 y

LIBRO

2

Caso 3:

4 2 4

Suma = 56 — 8 x 7

6 2 2 2 6 8 2 2 2 2 2 8

y

,

De acuerdo a los resultados obtenidos:

2 4

2

Suma = 50 x 49 - 2450

2

Á

50.

50

PROBLEMA 11

En la siguiente secuencia de cuadrados, calcule la suma de los números q en

los casilleros inferior izquierdo y superior derecho en el cuadrado num ero (4 0 ) 1

5

9 13

1

4

7

2

6 10 14

2

5

8

3

7 11 15

3

6

9

4

8 12 16 (3 )

( 2)

( 1)

SUPERIOR DERECHO

Resolución:

1

3

O

2 4

INFERIOR IZQUIERDO

( 1 ).

2 + 3 = 5

= 22 + 1

+1

1

4

2

5

8

2

6

9

3 + 7 = 10 = 32 + l y

( 2 ).

+i 1 •+‘ :C

1

5

9

2

6

10 14

3

7

11 15

8

12 16

C¡> 4 + 13 = 17 = 42 + 1 y

+i

( 3 ) .......

...

y x + y = 4 1 2 + 1 = 1682

: •

...

X

(4 0 )

FONDO EDITORIAL RODO PROBLEMA 12

En la siguiente figura se han contado, en total, 1024 esferas sombreadas. Calcule el núm ero total de esferas sin sombrear.

t o

Resolución:

o

.......:.......o o o

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

ESFERAS SOMBREADAS

ESFERAS SIN SOMBREAR

16

9

,2

4,

ESFERAS SOMBREADAS

ESFERAS SIN SOMBREAR

1024 I

X

322 De acuerdo a los 3 prim eros casos: x = 312 — 961

P R O B L E M A 13

¿Cuántos puntos de intersección se contarán en la figura número (20)?

Resolución:

PRO BLEM A 14

C alcu le la suma del prim ero y el últim o núm ero en F25 Fi : 1 F2 : 3

5

F3 : 7

9

11

F4 : 13 15 17 19

R e so lu c ió n :

SUMA DEL , PRIMERO Y Q EL ÚLTIMO

f2

f3

f4

1 + 1

3 + 5

7 + 11

13 + 19

2

8

18

32

i

i 2 x 22

l

i

2 x l2

PR O BLEM A 15

•..

*i

f 25

2 x 2 5 2 = 1250

2 x 42

2 x 32

¿D e cuántas m aneras distintas se puede le e r TALLA R IN E S u n ien d o letras vecin as en el siguien te arreglo?

T A L A R I N

S

Resolución:

A

I

E

E

L

R

S

A

I

E

A R

I N

E S

L

R

N

N

A

I N

E S

R I N E

S

N E

S

E S

Añadiendo dos “ S” a los extremos de la base del arreglo y luego aplicando principio de adición:

88

EOIYDO EDITORIAL RODO N O T A “S” T A

T A

L 1000 x > 1 8 ,...... X mín. = 1 9

Lon gitu d m ínim a de la d o

P R O B LE M A 19

¿C u án tos cerillo s h a y en total en el a rreg lo m ostrado?

1 2 3

< £ & ...

19 20 21

..........

3x2

L iB H O m m nm s m

Resolución:

N ° de p alitos

P id e n : ; í 9) x 2 6 + 4 + 2 = 5 00

fK J

0 0 0 1

2

3

.*.

PR O BLEM A 20

: ..

o o

...

20

/

21-

N ú m ero to ta l de palitos: 500

¿C u án to s p a lito s d e req u iere p ara fo rm a r la figu ra 60?

■ N ° de palitos

R esolu ción : F ig . 1 ^^^

12 = 8 ( 1 ) + 4

Fig- 2

20

F ig. 3

28 = 8 ( 3 ) + 4

P id e n :

Fig. 30

= 8 (2 ) + 4

8 (3 0 ) + 4 = 2 4 4

+7

r y

raim o e d it o r ia l PROBLEMA 21

rodo

¿En cuántos triángulos queda d ivid id o un p o líg o n o regu la r d e 20 lados al trazarse las d iagon ales desde un solo vértice?

Resolución:

P o líg o n o

N ro. de lados

20

Nro. de triángulos

~ 2 »

18

/. Nro. de triángulos = 18

P R O B L E M A 22

c erca r un área de 1 m 2 cuesta 40 soles. H a cer lo m ism o con un área d e 4 m 2 req u iere de 120 soles; con un área de 9 m 2, 2 40 soles; y con un área d e 16 m 2,

ADMISIÓN UNPdSM 2016-II

4 00 soles. ¿Cuánto costará cercar 36 m 2?

Resolución:

D e la in form ación se tiene; figuras cuadradas:

lm 2 Longituc 1m Lado: Costo:

4 m2

9 m2

2m

3m

16 m2 25 m2 36 m2

4m

5m

S/.40 S/.120 S/.240 S/.400 S/.600

6m S/.x

El cocien te entre el costo y la lon gitu d d e lad o es: 40 ; 60 ; 80 ; 100 ; 120 ; 140

.-. x = S/.840

PROBLEMA 2 3

H alla r el va lo r de n de m odo que:

l ib r o

, .■ '-H h M

M h W tM t

n n+4 E ( 2 r +D| r i = 2 r=0

R e so lu c ió n :

ib

n) + 3

+ 5 U )

'1 '

Para n = 1:

+ 3

o, 2N

Para n = 2:

0, ^3"

Para n = 3:

+ 3

+ 7

2"

b í ri\

,3j

a)

=4=2x2

b

+ 3

,0,

Luego:

rr

fn'

fn

+ 5

r2 v2,

,

+ (2n + 1)

n n

= 2 n+4

1

= 12 = 3 x 2 3^

+ 5

3)

,2,

vly

+

= 32 = 4 x 23

S = (n + l ) 2 n = 2n+4 (n + l ) 2 n = 2n x 24 n = 15

'A i» v+»-

. ' V---' •

■ ' „ - «■ «

PROBLEMA 24

¿De cuántas maneras diferentes; a igual distancia mínima entre letras y sin repetir la misma letra, se puede leer la palabra GOLOSO? 0

L

0

S

0

G

0

L

0

S

G

0

L

0

G

0

L

G 0 G

R esolución:

Nótese que al leer: GOLOSO = GOLO x OSO I)

L

0

G 0 \X X

L

0

0

N° de maneras distintas de

= 23 = 8

leer GOLO

\ \G

II) Caso 1

N ° de maneras J , = 2 de le e r OSO N ° de maneras de leer G O LOSO

= 8 x 2 = 16

y

F O N D O E D IT O R IA L R O D O C a so 2 O - S - O

N ° d e m an eras d e le e r O S O

^

N ° d em a n era s d e le e r

=8x4=32

G O LO S O

III) „ \ G

0 \ G \

L

O

S

O

O

L

O

S

N ° total d e m an eras

G

O

L

O

de le e r

G

0

L

G O LO S O

G

O

\ S im é tric o r-\

G

al caso 1

PROBLEMA 25

= 1 6 + 3 2 + 16 = 6 4

D e te rm in e e l v a lo r d e la suma. S=

*/l + -7T + - V +«/l + ' •+ •

1 + .... + J l + -

2013

R esolución:

•+ • 2014^

R esultado

C aso 1

R esu ltad o

I

1

1 l2

1

L

1

1

8

22

V

22

32.

3

3“ - 1

2 sumandos

R

Caso 3

'1 + ?

+ ?

+ V1 + ? 3

P id e n :

+?

R esu lta d o

+ V1 + ?

+ ? - '

sumandos

R es u lta d o

2 0 Í4 2 - 1 _ 40 56195 2 0 14

"

2 0 14

l ib r o

PROBLEMAS PROPUESTOS 1 6.

C a lc u le la sum a d e cifras d e l resu ltado d e la s ig u ie n te o p e ra c ió n ?

H alla r la suma de cifras d el re si siguien te operación .

6 6 6 ...6 6 7 x 3 33...335 61 cifras

A ) 300

50 cifras

61 cifras

B ) 305

D ) 368

2.

E = 7 7 7 ...77 x 9 99 ...99

A ) 50

E) 540

D ) 300

7.

s ig u ie n te o p era ció n .

E) 450

Calcular la suma de cifras d e l re su lta d o de A :

6 6 6 ...6 6 6 x 333...334 50 cifras

A = (3 3 3 ...3 3 )2 + (9 9 9 ...9 9 )2

50 cifras 21 cifras

21 cifras

A ) 1 00

C ) 2 00

B ) 150

C ) 360

C a lc u le la sum a de cifras d el resu ltado de la

50 cifras

C ) 200

B) 150

O 186

B ) 183

A ) 180

E) 300

D ) 250

E ) 190

D ) 189 C a lcu le la sum a d e cifras d el resultado de la

H allar la suma de cifras d el resu lta d o de la

s ig u ie n te o p era ció n :

siguiente operación:

3 33...333 x 333...335 90 cifras

A =

90 cifras

111. ..111 + 444.. .444 + 1 50 cifras

A ) 9 00

25 cifras

C )3 6 0

B) 270

A ) 74

E) 810

D ) 5 40

B) 75

C ) 76

D ) 77

4.

E ) 78

C a lcu la r la sum a de cifras d el resultado de 9.

la s ig u ie n te op era ción :

Calcule la suma de cifras de n:

A = 111...111 x 1000...001 100 cifras

A ) 100

n

= 111...111 2 22 ...22 2 25

101 cifras

B ) 101

100 cifras

C )2 0 0 E) 202

D ) 201

Hallar la sum a d e cifras d el resultado de la s ig u ie n te o p era ció n :

A ) 300

100 cifras

B) 305

C) 310

D ) 330

E ) 500

10. Calcule la suma de cifras d e l resu lta d o d e la siguiente operación :

A = 9 9 9 ...9992

144

50 cifras

A ) 100

D) 900

B) 300

I O 450

A ) 50

E) 540

D) 270

^

444

-

100 cifras

B) 100

888...888 50 cifras

C) 120 E) 300

FONDO EDITORIAL RODO 11.

15.

C a lc u la r e l v a lo r d e E:

S i:

100 términos

>/a5 x a6 x a7 x a8 + 1 = 2161

_______________________ A_________________

g,

1+ 3+ 5+ 7 + 2

....... Calcular:

+ 4 + 6 - f 8 + .....

100 términos

A = a + aa + aaa + ... a sumandos

A) 1

B) 2

C ) 1/2

D ) 100/101

12.

E ) 50/51

C a lc u la r la sum a d e cifras d el resultado

A ) 4 930

B ) 4 93 2

C ) 4934

D ) 493 6

E ) 4940

d e la s ig u ie n te o p era ció n . A =

\¡997 x 998 x 999 x 1000 + 1

16. Calcular la suma de cifras d e l resu lta d o de la siguien te operación :

A ) 22

B ) 23

C ) 24

D ) 25

13.

E=

E) 26

C a lc u la r la sum a d e tod os los núm eros del

1 1 1 ...1 1 1 -2 2 2 ...2 2 2 25 cifras

50 cifras

C ) 75

B ) 100

A ) 50

s ig u ie n te a rre g lo : E ) 175

D ) 150 2

4

6

8

.,..

20

4

6

8

10

.,..

22

6

8

10

12

.,..

24

17. Calcule el v a lo r de S: 2 n - ltérminos

20

22

24

26

....

I x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 + ...

38

I 2 + 32 + 52 + ...

V ------------------------V-------------------------*

n términos

A ) 1000

B ) 1500

D ) 900

C ) 2500 E ) 2000 A) 1

14.

En e l s igu ie n te a rreg lo num érico, calcule la

B) 2

C )3

D )4

E )5

su m a d e to d o s los núm eros si se cuentan 20 triá n g u lo s .

18. D ado el siguien te a rreg lo n u m érico 2 4 n filas i

2

4

6 2 2 2 6 8 2 2 2 2 2 8

C alcu le e l v a lo r de “ n” , si la sum a d e to d o s los núm eros es 2450.

A ) 1200 D ) 1625

B ) 1525

C ) 1600 E ) 2000

A ) 20

B ) 25

D ) 45 iS S P ■

. -.'.i*:

C ) 30 E ) 50

, ,,

LIBRO 19.

¿ D e cu án tas fo rm a s d ife re n tes se p u ed e le er G E N IO , te n ie n d o en cu en ta igu al distancia

22. C alcule la suma de todos los n úm eros en el siguien te a rreglo

otra ? O

O I

O

O

I

N

O

I N

E N

I

O

I

N

O

O

I

O

E G

E

I N

O

E

N

I N

0

I

I

O

0 A ) 4000

A ) 32

B ) 64

C ) 46

D ) 128

C ) 7600

B ) 8000

E) 3800

D ) 6400

E) 94

23. Los núm eros enteros d el 1 al 1000, am bos 20.

¿ D e cu án tas form a s d iferen tes se p u ede leer

inclusive, se escriben en una p izarra en

la p a la b ra IN G R E SO , esto es uniendo letras

orden creciente. Luego, se borran los que

con s ec u tiva s?

ocupan los lugares im pares. En la n u eva lista se borran los núm eros que están en los

O

S

O

lugares impares.

Se repite este p roceso

hasta que se borran todos los núm eros de la

E S O

lista. ¿Cuál fue el últim o n ú m ero que se

R E S O

borró?

G R E S O N G R E S O I N G R E S O

A ) 500

I N G R E S O

B) 512

D ) 520

E) 524

I N G R E S O B ) 128

A ) 64

C ) 192 E) 384

D ) 189

21.

0 516

24. ¿De cuántas form as d iferen tes se p u ed e le e r GENIO, ten ien do en cuenta igu al distancia de una letra a otra?

¿ D e cu án tas form as d iferen tes se p u ede leer G

la p a la b ra SABER, esto es uniendo letras

G E G

v e c in a s ?

G E N E G S

G E N I N E G

S A S

G E N I O I N E G

S A B A S S A

G E N I N E G

B E B A S

G E N E G

S A B E R E B A S s

a

b

e

S A B E R

A ) 192 D) 95

G E G

R E B A S

r

G

R E B A S

191

C) 96

A) 64

E) 185

D) 128

B) 62

C) 60 E) 124

FO IYM X ) E D fT O R J /lL R O D O 25.

C a lcu la r la sum a de las 25 prim eras filas del s ig u ie n te trián gu lo num érico:

28. ¿Cuántos hexágonos se pueden contar en la siguiente figura?

1 4 9 16

A ) 1 05 62 5

4 9

16

9 16

16

B) 105500

C) 105600

D ) 105620

26.

E) 105525

En e l sigu ien te arreglo, ¿de cuántas formas

A ) 400

distin tas se pu ed e le e r SABER considerando

D ) 1225

B ) 900

C ) 1600 E ) 1681

ig u a l d istan cia de una letra a otra en cada

29. Calcule el total de triángulos en la siguiente

lectu ra ?

figura:

s

s A S

A B E

S

A ) 64

B

S

S

B

S

....X

A S

S

x % X x í% X :

A

A

.A

A

A

E B

B

S

S

B

R E

A

A

E

B

S

S

A

B A

S

S

1

S

B) 60

C) 128

D ) 124

27.

63

¿Cuántos cuadriláteros cóncavos se pueden

2

A ) 2025

X

3 ............ 29

B ) 1800

30

C ) 1900

D ) 1830

E ) 1500

30. ¿Cuántos triángulos se cuentan en total en la siguiente figura?

contar en la siguiente figura?

x z s x x x

xxxxxx xxxxxxxx S o s X ...... X

Y 2 A ) 8100 D )9000

3

........

B ) 8900

xxxx ......... Xxxx XXXXXX-.....xxxxxx

X

88 89 90

1

C ) 7200

A ) 1830

E ) 9321

D ) 1756

.¡ei.-*-

2

3

............ 28

B ) 1800

29

30

C ) 1900 E ) 1789

LIBRO

31. ¿Cuál es la diferencia entre el número de cuadiiláteros y el número de triángulos en la siguiente figura?

34. ¿Cuántos triángulos se cuentan en la siguiente figura?

NM [V TV TV 1

w

3-

- W

3 ........... 48 49 50 A ) 2500

B )2550

D ) 2601

32.

1 2

C ) 1250

A ) 2550

E )2625

D )10000

¿Con cuántos palitos se ha construido la siguiente figura?

....... 3 ........... 48 49 50 C ) 10100

B )5050

E) 5100

35. ¿Cuántos triángulos se cuentan en la siguiente figura?

Z\ /J^_\

\ 7 \ / \/ \/ / \

/ \

/ \ ............ / \ / \ / \

\ / \ / \ / \ / \ / \ / 1 2 3 ............... 48 49 50 2

38

E )5625

D ) 5500

A) 3200

B )3202

40

C )3620

D )3625

33.

39

C )4400

B ) 5000

A ) 5200

3

E )3525

En la siguiente figura, calcule la suma del número de puntos de intersección y el

36. ¿Cuántos cuadrantes circulares se cuentan

número de puntos de tangencia.

en total en la siguiente figura?

4)

- < M

)

< $x $> . . . W 1 2 ......18 19 20

A) 800 D) 930

C) 900 E) 400

B) 820

...

• ■

•

■

A ) 1200 D ) 1680 [iIO

B ) 1600

C ) 1640 E ) 1722 **■*■*#&■****?.*■

f o n d o e d it o r ia l r o d o

37.

Calcule el total de semicircunferencias en la

40. ¿Cuántos triángulos se cuentan en total en la siguiente figura?

siguiente figura.

17X1 K zK Z K zK zl

l/\l/\< 7 ^ 1 ..... 1 / \ I / \ I / \ L i \ / i \ / i \ 7 l ........ . SZE ZKZl 1 1 2

3 ...........

2

3 ............... 28 29 30

39 40 41 A) 1800

A ) 3200

B )3240

C )3260

D ) 3280

B ) 1810

C ) 1820

D ) 1830

E ) 1860

E )3600

41. En la siguiente figura, calcule la suma del 38.

¿Cuántos

triángulos se cuentan en la

número de puntos de intersección con el número de puntos de tangencia.

siguiente figura?

A AAA AAAAA AAAAAAA A X A .........AAA A A A A .........AAAA

/-N

1 2 3 4 ............... 46 4748 49 B ) 1250

A ) 1200 D ) 1500 39.

1

C) 1275

A ) 6400

E ) 1525

D ) 8000

En la siguiente figura, calcule el total de segmentos.

2

3 .......38 39 40 B ) 7200

C ) 7260 E) 8400

42. ¿Cuántas bolitas sombreadas se cuentan en la siguiente figura?

AA A A A AAVAA

/yxvxvxyx A /A A W --A A N Á i

2

3 ........... 34

35 1 2 3 .................. 48 4950

A ) 4225

D )3600

B ) 5000 ---------

C )4896 E) 4900

A) 625 D) 600

B) 650

C) 651 E) 601

l ib h o

43.

¿Cuántos

cuadrados

se

contaran en la

47. En el siguiente conjunto de números:

posición número 20?

1•I •I •I • • 1 ’ 2 ’ 3 ’ 4 ’ " ‘ ’ 100 Elija 2 números del inicio, consecutivos a y b, elimínelos y en su lugar escriba ab + a + b. Se repite este proceso 99 veces y quedará un solo número. ¿Cuál es ese número? A) 1

A ) 76

B) 80

C) 81

D ) 75

B) 1/2

C) 2

D) 100

E ) 101

E) 85

48. A continuación se muestra un conjunto de 44.

números distribuidos en "PASAJES" en forma de ele (L). Calcule la suma de los números en el último "PASAJE".

¿Cuántos puntos de intersección se cuentan en total en la figura 50 (fig. 50)?

0

30

0 0 (®> # i> F) (C > B)

o B-F=C-D

o B -F = C-D

4

4 5 6 7 8 9 10

t____ í

Uno de estos es F Uno de estos es C (B > F) (C > B)

7

CASO 2

6 7 8 9 10 D B C A

Como G > F y el que falta es E: 4 5 6 7 8 9 10 E F D B C A G

~6

F O rm O E D IT O R IA L R O D O PROBLEMA 9

La figura muestra un "Árbol genealógico" muy curioso, de tal manera que 1 es el padre de 2, de 3 y 4; 2 es el padre de 5, de 6 y de 7; 3 es el padre de 8, de 9 y de 10; 4 es el padre de 11, de 12 y de 13 y así sucesivamente. ¿Qué número tiene el padre de 1996?

R esolución:

Se observa que cada padre tiene 3 hijos que son números consecutivos y el hijo del medio es el triple de su padre. Sea "x" el padre de 1996:

Uno de ellos es 1996

PROBLEMA 10

1 —1996

—>

x = 665,6

3 x= 1 9 9 6

-»

x = 665,3

3 x + 1 = 1996

-»

x = 665

3 x -

Tres equipos de fútbol A, B y C, después de jugar todos contra todos tienen anotados los siguientes goles a favor (GF) y goles en contra (GC). GF

GC

A

7

3

B

4

6

C

5

7

¿Cuál fue el resultado del partido entre A y C, si A ganó y C anotó uno de sus goles de penal?

Resolución:

GF

GC

A

7

3

B

4

6

C

5

7

Los partidos que se jugaron son: A vs B

liií — ,r.M .»-;

.

B vs C

A vs C

L IB R O Aquí están los goles en contra de B que suman 6 goles

1

1

A vs B

B vs C

t___________

A vs C

l

t

)

Aquí están los goles a favor de A y C que suman 7 + 5 = 12 goles

Se deduce que en el partido A vs C los goles deben sumar 6: 6 goles

f

GANÓ

A Posibilidades

VS

C

6

0

5 4

1

Anotó uno de sus goles de

penal o sea anotó más de 1 gol.

2

El resultado fue 4 a 2

PROBLEMA 11

Si: N = ...125 ; Calcule: x + y + z en: N + N2 + N3 + N4 + ... + N30 = Z xyz

Resolución:

Coloquemos la suma en forma vertical: N

N = ...125 +

N2

N2 = (...125)2 = ...625

N3

N3 = (...125)3 = ...125

N4

N4 = C---125)4 = ...625

N30 ...xyz o

En las unidades:

...xyz 30 x 5 = .. z 150 = .. z —y z —0

T llevan alas decenas

x = 2 *’•

x+ y+ z= 2+ 5+ 0= 7

30 sumandos

rOJS'OO E D IT O R IA L R O D O PROBLEMA 12

Si:

...3658 - 9999 = abcd 5 (abcd)

Calcular:

Resolución:

a+b+c+d

...3658 + 9999 = abcd ...3658 9999

M É TO D O " 5 "

= abcd

Por complemento aritmético. abcd x 9999 = ...3658 abcd (1 0 0 0 0 -1 ) = ” .3658 abcdOOOO - abcd = ...3658 Coloquemos la sustracción en forma vertical: d = 2

abcdOOOO -

c= 4 b = 3 a = 6

abcd ......... 3 65 8 Luego:

■ ....

PROBLEMA 13

5(abcd> = 5( 6 x 3 * 4 x 2 ) = 48 a+ b+c+d 6+ 3+ 4 + 2

Si:

N x l 2 = ...688 N x 2 3 = ...652

Calcularlas 3 últimas cifras deN x 105

R esolu ció n :

N x 12 = ...688

+

N x 23 = ...652 N x 35 = ...340 x3 (

x3

N x 105 = ” .020 Las 3 últimas cifras son: 020

PROBLEMA 14

Hallar: R20:

R1 = l - l x 2 - 3 R2 = 4 + 3 + 5 - 6 R3 = 9 x 6 x 1 0 -9 R.) = 1 6 - 1 0 + 1 7 - 1 2 Rs = 25 + 2 5 x 2 6 - 1 5

115

....3658 = 9999xabcd 99910 -»

d = 10 - 8 = 2 c = 9 -5 = 4 b = 9 -6 = 3 a = 9 -3 = 6

JL IB B O

£ im

R esolución:

m

m

$m

\

Los signos se repiten de 3 en 3 Para Rimpar es (x) Para Rpar es (+ ) Todos los signos son (-)

I

1 x 2 - 3 W-1 l-r-' 1x2 -]2+1 1x3

R1 =

2

R2 — 4 + 3 + 5 — 6 22 ^ 3 22+l 2x3 2

R3 = 9 x 6 x 1 0 - 9 32 3x4 32+1

3x3

R20 = 202 +

+ C202 + 1) - (20 X 3)

R2o =951

PROBLEM A 15

..

Resolución:

Si:

abe x a = 3888 abe x b = 2592 abe x c = 5184

Calcular (abe)2 . Dar como respuesta la suma de cifras del resultado. Primero recordemos el esquema de una multiplicación: 3 2 1 5 4 7

X

2 2 4 7 12 8 4 16 0 5

si se

mn

2(3316cesar) + i m DE + 3(25R0naid^ _ — A) 16 D) 256

B)1

C) 81 E) 625

A) 1 D) 6

B) 2

C)4 E) 5

M

l ib r o

En las dos sumas siguientes, cada letra representa un dígito diferente. A A A + A A A + B B B D D D C C C E E E F G H I

14.

(a + b + c) = a25 Calcular: A = ab3 + c2b + 4ac + bca

F G H I

A )2088 D )2080

Calcule: A + B + C + D + E A) 1 9 D) 30

10.

B) 23

C) 27 E) 24

15.

H allar (a + b + c) C) 13 E) 14

C ) 1988 E) 1908

Hallar: a + b + c

A) 12 D) 18

m lrn + m2m + m3m + ...+ m9m = abc4

B) 15

B )2078

alb + a2b + a3b + ... + a9b = a2cb

Si:

A) 1 1 D) 1 7

S i:

16.

B) 14

C) 16 E) 15

Si se cumple que: b + ab + bab + abab + ...+ bab...bab =...498 23 cifras

11.

Halle el menor número que multiplicado por 3 3 da un producto cuyas cifras son todas 7. De cómo respuesta la suma de cifras de dicho número. A) 2 1 D) 30

12.

C) 25 E) 18

B) 23

Si í

A) 1 1 D) 14 17.

a

aa | aaa | b + bb bbb

aaa... aa bbb... bb 25 cifras

B) 4

D) 6

Calcular (a + b + x)

18.

^ ______

Si se cumple que: Calcular: U + N + M + S

_____

b ,M \ J C t a s r ú

L IB R O ^SsSsdSuA&&í.

1-

La suma de 3 números consecutivos es

6.

Lo que tienen Ángel y Betty suman S/. 120. Si Ángel tiene S/. 30 más que

120, ¿cuál es el mayor de los números?

Betty, ¿cuánto tiene Ángel?

R pta.: Rpta.: 2.

Tú tienes el doble de lo que yo tengo y él tiene el triple de lo que tu tienes. Si entre

los

tres

tenemos

7.

Coquito y Pepito tienen igual cantidad de canicas. Si Pepito le diera 10 canicas

180 soles,

a Coquito, éste tendría el doble de lo

¿cuánto tengo yo?

que le quedaría a Pepito. ¿Cuánto tiene

R pta.: 3.

Rpta.:

De las frutas que hay en una canasta, la tercera parte son naranjas y la cuarta parte son manzanas. Si las naranjas y manzanas suman 28, ¿cuántas frutas hay en la canasta?

4.

cada uno?

........................................

8.

Ana tiene S/. 10 más que Beto. El doble de lo que tiene Ana y el triple de lo que tiene Beto suman S/. 170. ¿Cuánto tienen entre los dos?

Rpta.:

R p ta :..........................................

Ana tiene 80 soles y Brenda tiene 120

En un salón de clases el número de los

soles. Si cada una gasta la misma

varones es el doble del número de mu­

cantidad de dinero, Brenda tendría el

jeres. Si se retiran 10 varones y llegan

doble de lo que tendría Ana. ¿Cuánto

10 mujeres, el número de varones sería

gastó cada una?

igual al número de mujeres. ¿Cuántos varones hay?

Rpta.: Rpta:

5.

Coquito tiene 94 soles en monedas de dos y cinco soles. Si el número de

10. Una bolsa de caramelos se va a repartir

monedas de dos soles excede al de

entre un grupo de niños, tocándole a

cinco soles es 12, ¿cuántas monedas

cada uno 10 caramelos. Si se retira un

tiene en total?

niño, cada uno de los restantes recibirá 12 caramelos. ¿Cuantos niños son?

Rpta.: Rpta:

5

FONDO EDITORIAL RODO

PROBLEMAS RESUELTOS

PRO BLEM A 1

Leslie tiene palomas, canarios y loros. Sin contar las palomas tiene 32 aves, sin contar los canarios tiene 35 aves y sin contar los loros tiene 27 aves. ¿Cuantos loros tiene?

Resolución:

n° de palomas = x n° de canarios = y n° de loros = z O

O o

Sin contar las palomas: Sin contar los canarios: Sin contarlos loros:

^

y + z = 32 x + z = 35

(+ )

x + y = 27

2x + 2y + 2z = 94 x + y + z = 37

27 Z =

10

.-. Tiene 10 loros

PROBLEMA 2

En una familia se cuentan varios niños y niñas. Alguien les pregunta ¿Cuántos son? y la niña mayor contestó que tenía tantos hermanos como 2 veces el número de hermanas; pero el niño mayor dijo que sus hermanos exceden a sus hermanas en 1. ¿Cuántos niños y niñas son en total?

TOTAL = 3x + 1

Ahora habla el niño mayor, pero ten en cuenta que él es uno de los hermanos de la niña que habló antes, entonces: j

HNOS

HNAS

|2x-l|

|x+ l|

El dijo: “Que sus hermanos exceden a sus hermanas en 1” O Resolviendo:

2 x - l - ( x + 1) = i x= 3 TOTAL = 3(3) + 1 = 10

LIBRO PROBLEMA 3

Al preguntarle a mi hermano cuanto había gastado de los S/ 40 que le di, él respondió: Si no hubiese comprado ese producto de S/ 10, tan solo hubiera gastado los 3/5 de lo que no hubiera gastado. ¿Cuánto gastó?

Resolución:

El dinero inicial es de S/ 40, nos preguntan cuánto se gastó de ese dinero. total: S/ 40 h

-------1 gasté

En el supuesto: si no hubiese comprado un producto de S/ 10 entonces el gasto sería S/ 10 menor.

h

S/ 10 5k

3k

1 1

I no hubiera gastado

hubiera gastado Luego :

3k + 5k = 40 -» k = 5

Lo que hubiese gastado sería S/ 15, pero es S/ 10 menor que el gasto real. .’. El gasto es: 15 + 10 = S/ 25

PROBLEMA 4

Una fábrica contrata a un obrero con la siguiente condición: por cada día que trabaje le pagarán S/.15 y por cada día que no trabaje le descontarán S/.20. Si luego de 30 días, el obrero solo recibió S/. 170, ¿cuántos días trabajó?

Resolución:

Han trascurrido 30 días: 30 días Trabajó

No trabajó

x días

3 0 - x días

c/día le pagarán

c/día le descontarán

S/.15

S/.20

Le pagarán

Le descontarán

S/.15 x Al final lo que recibe es: 1 5 x - 2 0 (3 0 - x ) = 170

S/.20 (3 0 - x )

R o rvn o

e d it o r ia l r o d o

x = 22

Resolviendo:

Trabajó 22 días

PROBLEMA 5

Una señora duda entre comprar 360 cuadernos o por el mismo precio 45 borradores y 45 lapiceros, al final por el mismo precio decide comprar la misma cantidad de cada artículo. ¿Cuántos artículos compró en total?

Resolución:

Por el mismo precio: £

360C ó 45B + 45L

(En este caso el “o" lo entenderemos como igualdad)

360C = 45B + 45L

al final por el mismo precio compró xC + xB + xL 360C = 45B + 45L 360C = xC + xB + xL i)

360C = 45B + 45 L Simplificando: 8C = B + L

ii)

360C = xC + xB + xL 360C = x(C + B + L) 8C

360C = x(9C) x = 40 Entonces compró:

40C;40By40L En total compró 120 artículos

Juan vendió 1000 libros y le quedo más de la mitad de los que tenía al inicio.

PROBLEMA 6

Luego vende 502 libros y le queda por vender menos de 500 libros. ¿Cuántos libros tenía Juan al inicio?

Resolución:

ADMISIÓN UNMSM 2009 - II

P eí enunciado, sea x el número de libros que Juan tenía al inicio: x. *

Juan vende 1000 libros -> quedan (x -1 0 0 0 ) libros.

Por dato:

l ib r o

x -1 0 0 0 > — —>■ mitad del número de libros (I)

2 *

Luego vende 502 libros - » quedan (x - 1502) libros.

Por dato:

x - 1502 < 5 0 0

De ( I ) :

x > 2000 y

(II)

de ( I I ) : x < 2002

v------------------------------ ------\T“

-> 2000 < x < 2002 /.

PROBLEMA 7

El número de libros es 2001.

Con todos los alumnos de un aula se formó un cuadrado compacto con

n

alumnos por lado. Pero si quisieran formar dos triángulos equiláteros compactos con “ n” alumnos por lado, harían falta 9 alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en el salón?

R esolución:

O b s e rv a c ió n : Un cuadrado compacto es un cuadrado totalmente lleno, veamos:

>¡< í}c

5j< ■••

*

■ ■ • >¡
j< s¡« |-

Un triángulo equilátero compacto es un triangulo totalmente lleno, veamos:

*

>]< n * * * * >¡< s|c >fc s¡e >¡
¡< >g

n

>{i< 5$C S¡< >}í ••• sj< n

*

TOTAL DE = n2 ELEMENTOS

TOTAL DE ELEMENTOS

Con todos los alumnos se formó un cuadrado compacto: *

*

*

...

*

n # ^ >|c ••• sj
¡< *

*

n

* ...... # n

*

#

*

n

* ...... * n

*

# DE ALUMNOS = n (n + ^

*

# DE ALUMNOS = n(n+-22

Harán falta 9 alumnos:

n2 + 9 = 2 x ^ ü ! 2

Resolviendo:

n= 9

TOTAL DE ALUMNOS = 9 = 8 1

PROBLEMA 8

A un comerciante por cada 7 cuadernos que compra le regalan 3 y cuando los pone a la venta, por cada 2 docenas que vende regala 1. ¿cuántos cuadernos deberá comprar para que pueda vender 960 y no sobren cuadernos?

Resolución:

C om pra:

entonces:

N° de cuadernos

10n = 1000 n = 100

Debe comprar 7n 7(100) = 700

Le regalan

LIBRO

PROBLEMA 9

Se pinta la superficie de un cubo de madera compacto, luego se divide en cubitos de 6 cin de arista. Si el número de cubos con dos de sus caras pintadas es 96. Halle la medida de la arista del cubo original.

Resolución:

Veamos el gráfico NOTA “S” N° de cubitos = por arista

Longitud total \ de la arista f Longitud de la arista

\ del cubito

N° de cubitos

x

c/arista

6

J

j

Luego el número de cubitos que se encuentra en cada arista y que tienen dos caras pintadas son:

|=©»oO

Los 2 cubitos de los vértices

Entonces el total de cubitos con 2 caras pintadas son: N° total =

de aristas

6

= 96

x = 60

Resolviendo: .-.

PROBLEMA 10

12

La arista del cubo original mide 60.

Dos cirios de igual calidad y diámetro difieren en 12 cm de altura. Se encienden simultáneamente y después de cierto tiempo la altura de uno es el cuádruplo de la del otro, y media hora después se termina el más pequeño. Si el más grande duró en total 4 horas, su altura era:

Resolución:

e o iy d o e d i t o r i a l r o d o

Si “x” se consume en 1/2 hr 4x se consume en 2 hr Si “4x” se consume en 2 hr

S i t = 2hr

t£>

t = 2 hr (ya que el cirio grande duró en total 4 hr)

C^.

Lo consumido en ese tiempo es “4x”

Altura del grande:

8x

Altura del pequeño: 5x 8 x -5 x = 12 cm x = 4cm Altura del grande: 8(4) — 32 cm

PROBLEMA 11

Si por S/.200 dieran 6 libros más de los que dan, entonces la docena de libros costaría S/.90 menos. ¿Cuántos libros dan por s/.200?

Por S/.200

Si por S/.300

dan "x " libros

dieran "x + 6" libros

c/libro cuesta

c/libro costaría

S/.200

S/.200

x

x+6

Resolución:

La docena cuesta m é to d o

“ sr S /12x

M Copia y pega I --------- 1 x (x + 6) = 6 x 2 0 0 90

12

■

200

x+6 200

200

x

x+ 6

1 2 x ------- 1 2 x ------- = 90

precios unitarios

x (x + 6) = 16 0 = 1 0 x 1 6

i— -

S/12x

La docena costaría S/ 90 menos

Simplificando:

x = 10

200 x

diferencia de —^

La docena costaría

Resolviendo:

,----- ---- -—

80

80

x

x+6

= 3

x = 10 Por S/200 dan 10 libros

m

LIBRO PROBLEMA 12

Una señora distribuye entre sus hijos cierto número de avellanas, al primero le da 5 avellanas y 1/5 del resto; al segundo, 10 avellanas más 1/5 del resto, a tercero 15 avellanas más 1/5 del resto, y así sucesivamente. ¿Cuál era el numero de hijos y cuántas avellanas tocaron a cada uno, si todos lecibieion el mismo número de avellanas?

Resolución:

O

Al primero 5 avellanas y 1/5 del resto 5x

p \ ^

TOTAL DE AVELLANAS

5x + 5

Al 1ro

Al segundo 10 avellanas y 1/5 del resto 4 x - 10

10

4x-10

Al 2do

No es necesario continuar con el reparto ya que el problema nos dice que todos recibieron el mismo número de avellanas. Esto quiere decir que lo recibido por el 1ro y el 2do son iguales. 4x -1 0 5 + x = 10 + 5

Resolviendo:

x=15

Total de avellanas:

5 (1 5 )+ 5 = 80

Yal 1ro le toco:

5 + 15 = 20 avellanas

Entonces a cada hijo le tocaron 20 avellanas. 80 .'. N° de hijos: —- = 4

METODO “S’ Observe que la fracción - se repite en todo el enunciado del problema, entonces el número de personas es el denominador disminuido en 1. En el problema : 5-1 = 4 N° de hijos = 4

EONJOO EDITORIAL RODO

PR O BLEM A 13

A racelly tiene 20 monedas en su cartera; algunas son de S/ 0,10, otras de S/ 0,20 y el resto de S/ 0,50. Si el total de dinero que ella tiene en su cartera es S/ 5 y tiene más monedas de S/ 0,50 que de S/ 0,10, ¿cuántas monedas de S / 0,20 tiene?

R esolución :

ADMISIÓN UNM5P/12007 - II

De los datos: Aracelly tiene S/ 5 en un total de 20 monedas. Sea: N° monedas de S/ 0,10 -> a N° monedas de S/ 0,20 —> b N° monedas de S/ 0,50 -> c Además:

a < c (condición de problema).

Nos piden la cantidad de monedas de S/ 0,20

Monto (S / ):

N° monedas : a + b + c = 20

(I)

0 ,10a + 0 ,20b + 0,50c = 5

(II)

A la ecuación (I) la multiplicamos por 10 y le restamos la ecuación (I); entonces, tenemos: O (2 ) r—*—\

b

+

4c = 30

1

1

2

7

6

0 (2 )

6

a i

-------------- >

11

-------------- > 8

( 2) 10

PROBLEMA 14

-------- >

5 CN

.-.

—

'ív

©

5

se cumple a < c

Entonces, el número de monedas de S/ 0,20 es 14.

Un ómnibus sale de Lima y llega al Callao con una recaudación de S/.460. el precio del pasaje es S/.5. En el trayecto cada vez que bajaban 2 pasajeros subían 5. Si el ómnibus llegó al Callao con 62 pasajeros, ¿Cuántos pasajeros tenía el ómnibus al salir de Lima?

LIBRO R esolución:

Recaudación:

S/.460

Pasaje:

S/.5 Viajaron:

= 92 pasajeros

Debemos tener en cuenta que los pasajeros que han viajado son los que subieron en Lima más los que subieron en el trayecto o los que se bajaron en el trayecto más los que llegaron al Callao. TRAYECTO ____________ A----------------------

LIMA

SUBEN

BAJAN

CALLAO

¿?

51c

21c

62

V

92

92 2k + 62 = 92 k = 15 ¿?

75 92

En Lima subieron 9 2 -7 5 = 17 pasajeros

PROBLEM A 15

Alejandro adquirió cuadernos de tres tipos distintos que cuestan S/.2, S/.4 y S/.5 cada uno. Si en total compró 35 cuadernos y gastó S/.118 en total, halle el máximo número de cuadernos de S/.5 que pudo comprar.

R esolu ción:

x cuadernos c/u S/.2

35 cuadernos

y cuadernos c/u S/.4 >

Total S / .11 8

z cuadernos c/u S/.5 Debemos hallar zm•: x + y + z = 35

.......... (1)

2x + 4y + 5z = 118 .......... (2) (2 ): 2x + 4y + 5z = 1180 (1) x 2 : 2x + 2y + 2z = 70

(- )

2y + 3z = 48 Como nos piden zmáx evaluemos para encontrar su valor: 2y + 3z = 48

yi

i

0 1,5

16 15

(INol porque adquirió de los 3 tipos) (¡Nol porque un número de cuadernos debe ser entero)

3

14

(si)

Zmáx = 14

*v.-. —

m /YOO EDITORIAL RODO PROBLEMA 16

En un lejano planeta de otra galaxia hay dos formas de vida mutuamente hostiles: los septicápitas, que tienen 7 cabezas y 2 patas y los pentápodos, que tienen 2 cabezas y 5 patas. Un día, un número par de septicápitas se encuentran con un número par de pentápodos y se organiza una gran pelea; un observador contó 210, entre cabezas y patas. ¿Cuántos ejemplares de cada clase intervinieron en la pelea?

Resolución:

y pentápodos k“ /~*

PAR

PAR

# de cabezas = 7x + 2y # de patas = 2x + 5y Entre cabezas y patas: 9x + 7y = 210 En este caso vamos a utilizar criterios de multiplicidad: 9x + 7y = 210 O

7

O

O

7

(7 se lee múltiplo de 7)

o

9xdebeser7 :

x = 7 ó 14 ó 21 ....

Pero recuerda que “x” es par: 9x + 7y = 210

i

i

14 12 ■2a (porque excede a 210)

.-.

PROBLEMA 17

x = 14; y = 12

Iván cobra en un banco S/.2700 y le pide al cajero que se lo entregue de la siguiente forma: cierta cantidad en billetes de S/.10, 20 veces esa cantidad en billetes de S/.20 y el resto en billetes de S/.50. ¿Cuántos billetes en total recibió Iván?

S/.2700

Resolución:

-------------- A_________

S/.10 r x billetes

S/.20

r

20x billetes

S/.50

jj

y billetes

Total de billetes = 21x + y = ?

l ib r o

Calculamos el total de dinero que hay multiplicando el valor del billete por el número de billetes. lOx 4 20(20x) + 50 (y) = 2700 410x + 50y = 2700 41x + 5y = 270 Utilizaremos criterios de múltiplos: 41x 4 5y = 270 o 5

o 5

x = 5 ó 10 ó 15 ...

41x = 5 :

41x + 5y = 270 1 i 5 13 40 (porque excede a270} Entonces:

x = 5; y = 13 TOTAL DE = 21(5) + 13 = 118 BILLETES

PROBLEMA 18

María y Juana tienen cierto número entero de soles cada una. Si al doble de lo que tiene María se le suma el cuádruplo de lo que tiene Juana, tendría más de S/.40; en cambio si al triple de lo que tiene María se le resta el doble de lo que tiene Juana, tendría menos de S/.20. Hallar la mínima cantidad de soles que pueden tener entre las dos.

Resolución:

María tiene: S/.x Juana tiene: S/.y 2x + 4y > 40

....... (1)

3x - 2y < 20

....... (2)

(1 )

x3: 6 x + 12y> 120 1

(2 )

x2:

6x - 4 y < 4 0

J ^

16y > 80

y>5 Reemplazando en (1):

2x + 4(6) >40

$

^min

^

Form o EDITORIAL RODO 2 x > 16 x>8

c>

xmin = 9

(x + y)min = 9 + 6 = 1 5

PROBLEMA 19

El costo de producir “x” artículos es 25 veces el número de artículos más S/. 1900. Si cada artículos se vende a S/.37, ¿cuántos artículos como mínimo se deberá producir y vender para obtener una ganancia de al menos S/.2000?

R esolución:

Se han producido “x” artículos: Costo total — 25x + 1900 NOTA “S” Se vende cada artículo a S/.37

Ganancia = Venta - Costo

Venta total = 37x Ganancia = 3 7 x- (25x + 1900) Ganancia = 1 2 x - 1900 La ganancia debe ser del al menos S/.2000

12 x -19 0 0 > 2 0 0 0 12x>3900 x>325 X min = 3 2 5

PROBLEM A 20

En un mal reparto de S/ 864 entre 24 personas, algunas reciben la misma suma y otras nada; entonces, Javier dona su parte a los que no fueron beneficiados, tocándole S /6 a cada uno de estos. ¿A cuántos no se les dio nada inicialmente?

Resolución:

Se realizó un mal reparto de S/ 864 entre 24 personas, donde algunos no recibieron nada. (24 - x ) personas reciben dinero

no reciben nada

c / u recibe :

Javier dona su parte a los que no fueron beneficiados tocándole S/ 6 a cada uno.

LIBRO T . Javier

(2 4 - x ) no beneficiados

x 144 = x ( 2 4 - x ) I

12 Los no beneficiados son: 24 - x = 12 personas.

PROBLEMA 21

Con el dinero que Julio tiene puede comprar ocho boletos de una rifa y le sobran S/. 30, pero si desea comprar doce boletos le faltan S/. 24. ¿Cuánto dinero tiene Julio?

Resolución:

Sea N soles el dinero que tiene y X soles el precio de cada boleto. N — 8x + 30 ..... (1) N = 1 2 x-2 4

(2)

(1) x 3:

3N = 24x + 90 i

(2 ) x 2:

2N = 2 4 x -4 8

J W

N = 138 Julio tiene S/. 138

PROBLEMA 22

A una iglesia asisten 399 personas entre hombres, mujeres y niños . Si el número de hombres es el quíntuplo del de mujeres y el de mujeres es el triple que el de los niños. ¿Cuántos hombres hay?

Resolución:

N° de niños = x N° de mujeres = 3x

> (+)

N° de hombres = 15x Total = 19x = 399 x = 21 N° de hombres = 15(21)

148

= 315

RONDO EDiTORÍAJL RODO PROBLEMA 23

Los nietos de don Julio deciden comprarle un obsequio. Si no colaborasen cinco de ellos, a cada uno de los restantes le correspondería S/. 4 más y si no colaborasen tres, a cada uno de los otros le correspondería S/. 2 más. ¿Cuántos nietos tiene don Julio?

Resolución:

Sea x el número de nietos y sea N el precio del obsequio. N Entonces a cada uno le corresponde: — x Luego: N x- 5

N x- 3

N +4 „ — x

N

->

— + 2 ->

X

x- 5

N

N „ ---- = 4 - »

N _ 2

x- 3

AT 4x(x - 5) N = ------------

N _ 2x(x - 3)

x

3

4x(x - 5) _ 2x(x - 3) 5

"

3

x = 15

PROBLEMA 24

Lucas lanzó un dado 24 veces y el puntaje total que obtuvo fue 98. Si el puntaje que obtuvo en cada lanzamiento no es menor que tres ni mayor que cinco y además en 4 lanzamientos obtuvo el menor puntaje, ¿en cuántos lanzamientos obtuvo un puntaje par?

4 lanzamientos de 3 puntos

Resolución:

24 lanzamientos

x lanzamientos de 4 puntos y lanzamientos de 5 puntos

puntaje total = 98 x + y = 20 .......... (1) 4 x 3 + 4x + 5y = 98 4x + 5y = 86 (1) x5:

5x + 5y = 100 )

(- )

x = 14

obtiene puntaje par en 14 lanzamientos

■LIBRO PR OBLEM A 25

Los ahorros de Jorgito constan de P + 1 monedas de S/ 5; 3P - 5 billetes de S/ 10 y P + 3 billetes de S/ 20. ¿A cuánto asciende el total de sus ahorros inicialm ente si al comprar un artículo entregué la misma cantidad de monedas que billetes de cada valor, quedándome sin monedas y cuatro veces la cantidad de billetes de S/ 20 en billetes de S / 10?

R esolución :

Los ahorros de Jorgito constan de:

Núm ero to ta l:

V a lo r :

©

S/ 10

S/ 20

(P + D

(3 P - 5 )

(P + 3)

i

i

i

S / 5 (P + 1)

S/10 (3 P - 5 )

S/ 20 (P + 3)

A l comprar un artículo entregó la misma cantidad de monedas que billetes de cada valor, quedándose sin monedas. Monedas de S / 5

Billetes de S/ 10

Billetes de S/ 20

Inicio

(P + l )

(3 P - 5 )

(P + 3)

Utilizó

(P + l )

(P + l )

(P + l )

Quedó

0

2 P -6

2

Quedo al final cuatro veces la cantidad de billetes de S/ 20 en billetes de S/ 10 2P - 6 = 4(2) P=7 Al inicio sus ahorros constan de: 5(P +1) + 10(3P - 5) + 20(P + 3) Ahorro = 5 (8 )+ 10(16)+ 20(10) .-.

Ahorro = S / 400

FONDO EDITORIAL RODO r ' ''"’■'*

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PROBLEMAS PROPUESTOS .1.

A Paola le falta S/.23 para tener 5 veces lo que tiene Judith. Si ambas tienen en total S/.121, ¿cuánto más tiene Paola que Judith? A ) S/.69 D) S/.72

2.

B) S/.70

B) 21

7.

C) 22 E) 24

8.

A ) 180 D) 195

9. 4.

Si repartiera 12 caramelos a cada uno de mis hijos me sobraría 4 caramelos; pero para que cada uno reciba 14 caramelos, me faltaría 14 caramelos. Hallar la diferencia entre el número de caramelos y el número

C) 16 E) 20

B) 24

C) 28 E) 30

Cuatro amigos tienen entre todos 450 soles, si el dinero del primero es aumentado en 20 soles, el del segundo es reducido en 20 soles, se duplica el del tercero y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los amigos tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto tiene el que tiene más dinero? A) S/.100 D) S/.180

C) 190 E) 200

B) 12

En una canasta pueden entrar 8 manzanas junto con 10 peras ó 12 manzanas junto con 8 peras. ¿Cuántas manzanas solamente pueden entrar en la canasta? A) 20 D) 26

La profesora de un colegio organiza la fiesta por fin de año. El dueño del salón de baile cobra S/.1560 de alquiler y, además, por cada persona, S/.5 por la comida. Si cada persona que va a la fiesta paga S/.13, ¿cuántas personas tiene que ir para cubrir con todos los gastos? B) 185

Un empleado gana diariamente 50 soles, y por cada día que falta le descuentan 40 soles. Si al cabo de 36 días no recibió nada, ¿cuántos días trabajó el empleado.'’ A ) 24 D) 18

C) S/.71 E) S/.73

Un número entero es tal que la suma de él con el doble del mismo resulta igual a lo que le falta para ser el mayor número de 4 cifras diferentes. Hallar este número y dar como respuesta la suma de sus cifras. A ) 20 D ) 23

6.

B) S/.120

C) S/.150 E) S/.200

Un campesino estaba indeciso sobre si comprar 72 ovejas o con el mismo dinero comprar 9 vacas y 9 toros. Ai final el dinero le alcanzó para comprar la misma cantidad de animales de las tres clases. ¿Cuántos animales compró en total?

de hijos que tengo. A ) 103 D) 104

B) 100

C) 105 E) 102

A ) 24 D) 33

B) 27

C) 30 E) 36

10. En una familia, el hermano mayor dice: “el En una partida de ajedrez hay 180 jugadores; si cada uno jugó solo una vez, resultando igual el número de ganadores con los que empataron. ¿Cuántas partidas terminaron empatadas? A ) 24 D ) 45

B) 56

C) 48 E) 30

número de mis hermanos varones es el triple de mis hermanas” y la hermana mayor dice: “tengo 8 hermanos varones más que hermanas”. ¿Cuántos hermanos en total hay en la familia? A) 10 D) 12

B) 14

C) 9 E) 13

l ib r o

11.

./ n S v

Agustín

y

Bruno salieron de cacería y

tia je io n

patos y conejos. Agustín mató

15. En la ruta que une A con B hay dos estaciones de servicio, “El Cruce” y

el doble de patos de lo que mató en

Descanso”, separadas entre sí por 3km. La

conejos. Bruno mató tantos conejos como

distancia desde “El cruce” hasta A es igual a

Agustín.

45

3/4 de la distancia desde “El Cruce” hasta B.

animales con 130 patas. ¿Cuántos patos m ató Bruno?

La distancia desde “El Descanso” hasta A es

Am bos

trajeron

en

total

igual a 4/5 de la distancia desde Descanso

A) 3

B) 6

hasta

B.

Calcular

El

cuántos

kilómetros tiene la ruta desde A hasta B.

C )4

D) 5

E) 9 A ) 169Km

12.

El

Don José, el ferretero, por cada 40 tornillos

B) 175Km

D) 190Km

C) 189Km E) 185Km

que compra encuentra 4 defectuosos y los devuelve. Por cada 80 que vende regala 10.

16. Un frutero que llevaba naranjas al mercado

Si vendió 1600 tornillos y no le quedó

decía: si vendo cada una a “R” soles compro

n in g u n o ,

una licuadora y me sobran “X” soles, pero si

¿cu á n to s

to r n illo s

había

vendo cada una a “T ” soles (R > T ), compro

com prado Don José?

la licuadora y me sobra “Y7’ soles. ¿Cuántas A ) 1800

B ) 1840

naranjas llevaba a vender?

C ) 2000

D ) 2400

E )2100 A)

13.

Un grupo de personas quiere ir todas juntas de excursión. Hay 2 agencias que

D)

hacen esa excursión: A y B. Las 2 agencias

X -Y R -T

B)

X+Y R+T

X+Y

C) E)

R -T

X -Y R+T X+Y T -R

tienen el mismo número de automóviles. La agencia A tiene 5 autos de 6 asientos y el

17. En una tribu india del Amazonas, donde

resto de 4 asientos. La agencia B tiene 5

todavía subsiste el trueque, se tienen las

autos de 4 asientos y el resto de 6 asientos. N o pueden ir por la agencia A porque faltan

siguientes equivalencias de cambio: Un collar y una lanza se cambian por un

asientos para 14 personas. Yendo por la

escudo. Una lanza se cambia por un collar y

agencia B viajan todos y llenan todos los

un cuchillo. Dos escudos se cambian por

asientos.

tres cuchillos. ¿A cuántos collares equivale una lanza?

¿Cuántas personas forman el

grupo? B) 77

A ) 72

C) 82 E) 92

D ) 87

U

A) 4

B) 5

° )7

C )6 E )8

a

18. Un servicio de taxi para hacer un viaje cobra

razón de 3 cuadernos por S/.12 y cuando

una suma fija más cieita cantidad por cada

los vende lo hace a razón de 10 cuadernos

kilómetro recoi rido. Ana pagó S/.51 por un

p or

debe

viaje de 3Km. Pedro pagó S/.86 por un viaje

para obtener una ganancia de

de 8km. ¿Cuánto pagará laura por un viaje de12Km?

Un

com erciante

S/.48.

vender

compra

¿Cuántos

cuadernos

cuadernos

S/.600? A ) 700 D ) 600

B) 720

C) 750

A ) S/.110

E)800

D) S/.116

152

B )S / .U 2

Q S / .1 1 4

E)s/.:i8

f o n d o e d it o r ia l r o d o

19.

Á n gel tiene cierta suma de dinero, compra

23. Un bus que cubre la ruta Lima Huaral, llegó

una lámpara y una cafetera, entonces le quedan tantos soles como costó la lámpara. Si quisiera comprar una cafetera más le faltaría S/.10. ¿Cuánto costó la lámpara,

a Huaral con una de recaudación de S/.930 por los adultos y S/.360 por los niños. En el trayecto cuando subían 2 adultos bajaba 1 niño y cuando bajaba 1 adulto subían 3

sabiendo que si hubiera obtenido una rebaja de S/.10 en cada objeto sólo hubiera gastado S/.48?

niños. Si llegó a Huaral con 50 adultos y 30 niños, ¿con cuántos pasajeros partió de Lima, sabiendo que cada adulto paga S/.15 y cada niño S/.8?

A ) S/. 38 D ) S/. 28

20.

B) S/. 30

C) S/. 29 E) S/. 39

A ) 35 D) 41

cuadrado del número de varones excede al

24. Tres ladrones A, B y C, se repartieron en

cuadrado del número de mujeres en x, y la

partes iguales un botín. La primera noche, mientras C dormía, A y B le quitaron la mitad de lo que tenía, y se lo repartieron en partes iguales. La segunda noche, mientras A dormía, B y C le quitaron la mitad de lo que tenía y se lo repartieron en partes iguales. La tercera noche, mientras B dormía, A y C le quitaron la mitad de lo que tenía y se lo repartieron en partes iguales. A la mañana siguiente se separaron para siempre. Cuando B contó su dinero, tenía 10000 soles. Determinar cuánto dinero era el botín que se repartieron los 3 ladrones.

¿Cuántas mujeres hay en dicho grupo? A) 8

B) 6

D) 12

C)10 E) 5

El barril A contiene una mezcla homogénea de ju go de uva y jugo de manzana en la proporción de 2 litros de uva por cada 5 litros de manzana. El barril B contiene una m ezcla homogénea de jugo de uva yjugo de manzana en la proporción de 3 litros de uva por cada 5 litros de manzana. Se vierte el contenido de los dos barriles en uno más grande y se obtiene un total de 155 litros de ju go, en la proporción de 11 litros de uva por cada 20 litros de manzana. Determinar cuántos litros de jugo contenía el barril A. A ) 35

B) 40

D) 50

22

C) 39 E) 43

En un grupo de personas se observó que el

mitad de x excede al número de varones en 6.

21.

B) 37

A ) 42600 D )38400

B )44400

C ) 36900 E ) 45000

25. Un coleccionista de estampillas inició su colección en el año 2000. Tenía estampillas americanas y europeas. En el 2001, duplicó las americanas, duplicó las europeas y después vendió 8 europeas. En el 2002,

C) 45

duplicó las americanas, trip licó las europeas y después vendió 60 europeas, con lo cual tenía la misma cantidad de

E) 55

Alicia y Beatriz llevaban S/.50 cada una. Alicia compró 3Kg de helado y un postre. Para poder pagar tuvo que pedirle S/.4 prestados a Beatriz. Beatriz compró lK g de helado y un postre; después de pagar y prestarle a Alicia los S/.4, le quedaron

estampillas americanas que europeas. En el 2003, duplicó las americanas, cuadruplicó las europeas y después vendió 30 europeas, con lo cual tenía en total 618 estampillas!

S/.16. ¿Cuánto costaba el postre?

¿con cuántas estampillas en total inició su colección en el año 2000?

A ) S/.12

C)S/.16

A ) 55

E)S/.20

D) 58

D ) S/.18 ^ 'V.VÁV ;.

B)S /.14

7--------3 7 ma¡¡ 4

B) 56

m m m

C) 57 E) 59

LIBRO 26.

Un ladrón, un cesto de naranjas del mercado

30. En un baile se recaudó 475 soles, la tarjeta

tobó, y por entre los huertos escapó; al

para cada pareja cuesta 15 soles y las tarjetas

saltar una valla, la mitad más media perdió.

personales

Perseguido por un perro, la mitad (de las que le quedó) menos media abandonó. Tropezó en una cuerda y de las que llevaba,

cuestan

10

soles

caballero y 6 soles por cada dama. Si se ha vendido un total de 55 tarjetas, halle cuántas de 6 soles se han vendido, si se sabe que en

En su guarida, 2 docenas guardó. ¿Cuántas naranjas robó el ladrón?

un determinado momento

B) 97

C) 194

D ) 195 En

la

agencia

de

investigaciones

B) 25

C) 26

B) 14

D ) 12

31. En un hospital se atienden 1000 pacientes, los cuales son atendidos por doctores y doctoras 19 en total. Cada doctor atiende 30 pacientes más que cada doctora. Últimamente se decidió que cada doctora atienda a 8 pacientes más, reduciéndose así los pacientes de cada doctor. ¿A cuántos pacientes atiende ahora cada doctor?

C) 13

A ) 30

E ) 11

D ) 60

En una boutique se vendieron en un día pantalones por un total de 1395 soles, unos a 45 soles y otros a 60. Al día siguiente se vendieron de los más baratos, un tercio más que el día anterior, y de los más caros un tercio menos que el día anterior, por un total de 1380 soles. ¿Cuántos pantalones de 45 y

B) 50

C) 59 E) 18

32. En fila india viajan 15 elefantes y sus pesos están expresados por números enteros de toneladas. El peso de cada elefante (salvo del que ocupa la primera posición) más el doble

del

que

está

delante

de

él

es

exactamente 15 toneladas. Determine el

de 60 soles se vendieron durante los 2 días?

peso de cada elefante y dé como respuesta la suma de todos ellos.

A)

C) 45

A ) 60

E ) 65

D) 90

B) 35

25

D )5 5

29.

E) 28

de

Matemáticas Aclaradas, han de resolver c ie r t o n ú m e ro de m is io n e s , p ero disponemos de un número de agentes tal que; si encargamos una misión a cada agente sobran “x” misiones; pero si damos “x” misiones a cada agente, se quedan “x” agentes sin misión. Como los agentes y misiones suman menos de 15. indique cuántos agentes y misiones son. A ) 15

se

observó que todos bailaban.

A) 30

E ) 200

de baile,

D )27

28.

cada

la mitad más media desparramó y las dejó.

A ) 49

27.

por

Se desea

Una mandarina, una manzana y dos peras cuestan 5,1 soles. Dos peras y dos mandarinas cuestan 4,2 soles; y una manzana, cuestan

B) 75

C) 50 E) 80

comprar

exactamente

S/.

caramelos

264.

Los

gastando

precios

unidad son S/.7 y S/.5. ¿Cuántos caramelos

una pera y dos mandarinas

se pueden comprar? Dar el número de posibilidades.

4,4 soles. ¿Cuánto cuestan dos

manzanas y dos mandarinas?

A) 4 D ) 4,6

B) 4,2

por

A) 9 D) 6

C) 4,4 E) 4,8

154

B )8

C) 7 E) 5

FOrmo EDITORIAL RODO

34.

Al salir de compras, llevaba en el monedero aproxim adam ente unos 15 soles, en monedas de 1 sol y de 20 céntimos. Al regresar a casa, traía tantos soles como monedas de 20 céntimos tenía al comienzo; y tantas monedas de 20 céntimos como monedas de 1 sol tenía antes. En el monedero me quedaba un tercio del dinero que llevaba al salir de compras. ¿Cuánto dinero gasté en las compras?

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cuales están distribuidos en salones que tienen capacidad para 37 y 21 alumnos solamente. Si todos los alumnos han sido ubicados en los salones, ¿cuántos salones en total tiene el colegio? A) 40

B) 43

D )29

C) 55 E) 65

39. Ángel ha comprado 59 libros entre libros de A ) 9,80 soles C) 9,50 soles D) 9,60 soles

B) 9,40 soles E) 9,70 soles

35. Tres cirios de diámetros diferentes y de longitudes 70, 65 y 60cm, están fijos a soportes de alturas desiguales, situados sobre el piso. Se encienden los cirios al mismo tiempo y se observó que cuando el más largo ha disminuido en lOcm, las tres llamas están a la misma altura. Sabiendo que estos tres cirios se consumen por c o m p le to en 28, 26 y 40 horas respectivamente, y que el soporte del cirio más largo mide 40cm de altura, hallar las alturas de los otros soportes. A ) 40cm y41cm C) 42cm y43cm D) 44cm y 45cm

36.

B) 40

D) 28

A) 27 D) 30

B) 28

40. Se dispone de S/.100 para comprar 40 artículos de S / .l, S/.4 y S/.12 por unidad, comprándose por lo menos uno de cada precio. ¿Cuántos artículos de S/.l se han comprado? A) 22 D )28

B) 24

m esas r e c ta n g u la re s , r e d o n d a s y cuadradas. En cada mesa rectangular hay 6 personas, en cada mesa redonda hay 5 personas y en cada mesa cuadrada hay 4 personas. El número total de mesas es impar. Hay el doble de mesas rectangulares que redondas. ¿Cuántas mesas hay en total?

C) 36 E) 3 *42 7

Elsa gastó S/.320 en lácteos; llevó quesos, helados y flanes. Cada queso cuesta S/.16, cada helado cuesta S/.24 y cada flan cuesta S/ 4 . Si llevó 20 artículos, ¿cuántos artículos de cada clase pudo haber comprado?. Dar el número de soluciones posibles. A) 3 D )6

B )4

C) 26 E ) 30

41. En el salón hay 180 personas distribuidas en E) 45cm y 46cm

A) 35

B) 37

D) 4

37.

C) 29 E) 31

B)41cmy42cm

Rosita compró anillos de oro y plata, cada anillo a $.40 y $.35 respectivamente. Si en total gastó $.1285, ¿cuántos anillos compró en total como máximo? A ) 35

RM, RV y aritmética, gastando 415 nuevos soles en total. Los precios respectivamente son 8; 5 y 6 nuevos soles. Los libros de aritmética son mayores a 24. ¿Cuántos libros de RM compró?

C )5 E) 7

C) 39 E) 43

42. En cierta fábrica 2 empleados se encargan de armar cajas. Ángel arma 13 cajas por día y Bruno arma 17 cajas por día. En los primeros 30 días hábiles del año armaron en total 771 cajas. ¿Cuántos días faltaron al trabajo, entre los dos, en ese lapso? A )8 D) 11

B )9

C)10

E) 12

l íb u o

43.

En un baile se recaudó 475 soles, la tarjeta

47. La asociación Vida Silvestre tiene 50

para una pareja vale 15 soles y las tarjetas sueltas, 10 soles para hombres y 6 soles para

miembros. El sábado cada uno de los

damas.

¿Cuántas personas asistieron al

b aile com o bailar?.

máximo,

A ) 60

si

B) 62

D) 66

44.

todos

pueden

C) 64 E) 68

Una cierta mañana cada uno de los m iem bros de la familia de Ángela tomó una m ezcla de 8 onzas de café con leche. Las cantidades de café y de leche variaban de taza en taza, pero ninguna era cero. Ángela se tom ó una cuarta parte de la cantidad total de leche y una sexta parte de la cantidad total de café. ¿Cuántas personas hay en la familia? B) 5

A) 4 D) 7

45.

C )6 E) 8

El camino entre el pueblo y el refugio en la m ontaña mide un número entero de kilóm etros. Una mañana, 3 grupos de andinistas salen del pueblo hacia el refugio. El grupo A recorre la sexta parte del camino más lOOKm, el grupo B la mitad del camino más lOKm y el grupo C la cuarta parte del cam ino más 78Km. y nadie llega al refugio. Si el grupo B ha recorrido en total, más distancia que el A, pero menos que el C, determ inar cuánto mide el camino desde el

presentes plantó 17 árboles y el domingo cada uno de los presentes plantó 20 árboles. En total se plantaron 1545 árboles. ¿Cuántos miembros de la asociación faltaron el sábado y cuántos faltaron el domingo? Dar como respuesta la suma. A) 11 D) 15

B) 12

C) 14 E) 16

48. La suma del número de caramelos que tiene Pedro y el doble de los que tiene Joaquín es menor que 51. La diferencia entre el triple de los caramelos de Pedro con los de Joaquín es mayor que 67. Si el número de caramelos de Pedro excede en uno al triple de los de Joaquín, ¿cuántos caramelos tiene Joaquín? A) 28 D) 7

B) 18

C) 14 E) 9

49. Un alumno con S/ 186 compró lapiceros, cuadernos y correctores a S/ 3, S/ 5 y S/ 6, respectivamente, adquiriendo en total 50 artículos. ¿Cuántos correctores ha comprado si la cantidad de lapiceros es un número primo? A) 10

B) 6

D) 8

0 7 E) 9

pueblo hasta el refugio. B) 270Km

A ) 269Km D )2 7 2 K m

C) 271Km E) 273Km

50. Paola gastó su dinero de la siguiente manera: cada día la mitad de lo que tiene más 2 soles. Si gastó su dinero en 49 días, ¿cuánto tenía Paola?

Veinte veces la cantidad que tiene Bruno m enos el cuadrado de cantidad que tiene

A ) S/.60

Bruno es m enor en S/.10 de lo que nene

D) S/.62

Á n gel. ¿Cuánto tienen entre los dos, si Á n gel tiene lo máximo posible? B) S/.110

A)S/.100

C) S/.120 E) S/.140

D ) S/.130 ,.

¿

- •

B) S/.120

C) S/.124 E) S/.56

1

CAPACIDADES o

Conoce y aplica métodos aritméticos en la resolución de problemas.

•

Vincula el tema con situaciones de la vida real.

•

Potencia el análisis aritmético en la interpretación de enunciados.

EL fflOMEEE QUE CALCULABA Su nom bre es Julio César de Mello Souza más co n o c id o com o Malba Tahan. Escribió más de 50

E l HOMBRE OUE CALCULABA

libros bajo este seudónimo - incorporado más tarde a

su

tarjeta

de

identidad.

Empleó

historias

orientales para enseñar matemáticas. Su libro más

M i l t o T ah a n

fam oso, publicado por primera vez en 1938, estuvo recientem ente en la lista de los más vendidos. D esde la primera mitad del siglo XX, varias generaciones de brasileros se introdujeron en la cultura árabe gracias a la influencia del más árabe de los cariocas (nativos de la ciudad de Río de Janeiro),

el profesor de matemáticas Julio César de M ello e Souza, más con ocido com o Malba Tahan. Su

lib ro

C alcu lava”

(El

más

fam oso,

hom bre

que

“O

H om en

Calculaba),

que trajo

aventuras en escenarios Arabes típicos junto con atractivas

soluciones de problemas de álgebra y

aritmética, ha llegado ya a su edición número 63 de la casa d e publicaciones Record de Brasil. alcanzado la hazaña de aparecer todavía en el quinto lugar en las listas de libr os para más ven didos publicada en el periódico O Globo, en mayo del año 2004.

El lib ro l™

chicos

157

«MB

CUATRO OPERACIQHES

M É T O D O D E LAS OPERACIONES INVERSAS M É T O D O D E L CANGREJO Este m étodo nos permite resolver un problema en forma directa, para lo cual se realizan operaciones inversas en cada caso, empezando desde el final hacia el inicio. Esta clase de ejercicios se reconocen trabajando con operaciones sucesivas (se trabaja siempre

con el nuevo resultado), y si se trata de fracciones, se trabaja con la cantidad, con la fracción que es “el complemento de la unidad”.

PROBLEM A

Multiplicando un número por 5, al producto le restamos 2, al resultado le dividimos entre 4 con lo cual obtenemos 12. ¿Cuál era el número inicial?

Resolución:

Primero ordenamos todo el enunciado:

Luego cambiamos con su operación opuesta a cada operación y enseguida ope­ ramos por la parte final:

M É T O D O DE LA REGLA CONJUNTA (Método de las equivalencias) A este m étodo también se denomina como el “Método de las equivalencias”. Para resolver un problema utilizando el método de la regla de conjunta, uno debe reconocer que en el enunciado del problema se mencionan cantidades que son equivalentes. Y lu ego se sigue el siguiente procedimiento. >/ Se ordenan los datos verticalmente en una serie de equivalencia.

■ / En las equivalencias, las cantidades de una misma especie deben estar en miembros distintos.

ro/YDO EDITORIAL RODO

^

Se debe procurar que el primer miembro de la primera equivalencia y el segundo miembro de la ultim a equivalencia deben ser siempre cantidades de la misma especie. Se multiplica miembro a miembro las igualdades, cancelando las unidades de medida.

^

Res°lv ie n d o al final una igualdad, con la variable incógnita que se despejará. A continuación con el siguiente problema se detallará mejor el procedimiento.

PROBLEM A

Con tres desarmadores se obtiene un alicate, con tres alicates un martillo, ¿cuántos martillos se obtendrán con 117 desarmadores?

R esolución :

Sea “x” la cantidad de martillos. Del enunciado, agrupándolas en equivalencias: 3 desarmadores 3 .alicates

=

lajieate^

=

lijurntillcf

x niartiiioíf = 3x3xx 117 x = ----3 x3

=>

=

117dgsarmadOrés^ 1x1x117

x = 13

El número de martillos que se obtiene es: 13

M É T O D O DE LA FALSA SUPOSICION

I;mtsm y*rnmmamm¿¡¿n "a*.m /»**^******, S /. m

v _„v

y, -

...

Se utiliza para aquellas situaciones donde hay un cierto número de elementos que presentan dos características diferentes y además se indica el total de estas características obtenidas a partir de los elem entos.

E je m p lo 1 :

En una granja hay 20 animales; algunos chanchos y los otros pavos. Si al contar sus patas obtenemos 74. ¿Cuántos pavos hay?

FALSA SUPOSICION “TODOS SON CHANCHOS"

R esolu ción : Obtenemos:

Falso Total = 2 0 x 4 = 80 de Patas

A l comparar con el verdadero total hay un exceso de 6 patas. ¿Porqué?

Se debe a que los pavos se han considerado^ como si fueran chanchos

v ,0 o &

¡Tengo 2 patas más!

LIBRO Entonces los pavos son 3 para acumular un error total de 6 patas T t) M ' V •vij

qW

1 -/

¡í )

í .r f y -

A ¡a

Verdadero p Total

Falso Total

En resumen:

Número _

(Error total)

de pavos

Z ji

_ 8 0 -7 4

= 3

(Error unitario) Diferencia de patas

M ÉTODO DE LAS DIFERENCIAS nV /y ^£ y ^ ^ ^y Se aplica para aquellos problemas donde se reparte equitativamente cierta cantidad o se mencionan 2 casos donde sobra/falta. También se aplican para aquellos problemas relacionados a ganancias y perdidas.

Ejemplo 1:

Si a cada uno de mis sobrinos le doy S/5 me sobrará S/20, pero si a cada uno le diera S/7 me faltará S/10. ¿Cuántos sobrinos tengo?

Resolución:

Sea “x” el número de sobrinos, luego:

5x

Me sobra

* Si le entrega S/2 más a cada uno

S/20

de mis sobrinos NO solo necesitaré Me falta

Mi dinero

S/10

los S/20 que me sobró sino S/10 adicional es decir S/30.

7x Del gráfico tenemos: 7x = 5x + 20 + 10 ( 7 - 5 )x = 20 + 10 sobra

n20+10r

falta

1C x = — ---- = 15 7 -5 Diferencia de lo que se reparte

Conclusión:

NOTA “S” Número de receptores

(sobra + falta) ^Diferencia de lo') v que se reparte )

1-: .. --

.

■. • • -.... .. .

v- - ...

jo r n ia EDITORIAL RODO

E je m p lo 2:

En cierta avenida hay “X” postes; si en cada poste se posarán 4 aves quedarían 293 volando, pero si en cada poste se posaran 7 aves, 1 poste quedaría vacío. Halle x.

sobra

R esolu ción :

falta

x = — 3+ ^ =

MOTA “S”

loo Si un poste qileda vacío, faltaría 7 aves para

Diferencia de lo que se reparte

que cada post e tenga la misma cantidad de aves.

NOTA uSr Si en ambos casos sobran o faltan, tenemos:

( Suma d e A Núm ero de I)

receptores

sobrantes

f

Diferencia de

( Suma de^

II)

lo que se reparte^

NOTA “Sr

receptores

faltantesy

( Diferencia de lo que se repartej

Ejemplo:

En el caso de ganancia y perdida: N ú m ero de Artículos =

Número de

(Ganancia + Perdida)

( Diferencia A deprecios

Si vendo cada uno de mis libros a S/10 ganaré S/600 pero si vendo cada uno en S/6 perderé S/200. ¿Cuántos libros tengo?

Resolución:

-, , ... 600 + 200 Numero de libros = ------------ = 200

10-6

LIBRO !~

#&LI& i ~i f

isas® Uii¿_ 1.

2.

A un número se le multiplica por 2, al

6. Cuando Fernando va a la librería,

resultado se le suma 10, enseguida

observa que si compra 5 libros, le sobra

dividimos entre 5 y, finalmente, se le

7 soles, pero si quiere comprar dos más

resta 6 para obtener como resultado 20.

le faltarían tres soles. ¿De cuánto

Hallar el número original.

dinero dispone Fernando?

Rpta.:.

Rpta.:.

Elias dispone su sueldo de la siguiente

7.

Si pago 7 00 soles a cada uno de mis empleados me faltan 400 soles, pero si

manera: la tercera parte en la academia;

les pago 550 soles me sobran 5 600

los 4/7 del resto en el vestido de su hija

soles. ¿Cuántos empleados tengo?

Trudy y los 2/5 del nuevo resto en el pago de su vivienda, si aún le queda S/.

Rpta.:.

90. ¿Cuál es el sueldo de Elias? 8. Un empleado es contratado por una Rpta.:.

empresa y le prometen pagar S/. 6 400 por un año de trabajo más un incentivo

3.

Mario cada día gasta la mitad de lo que

especial, al cabo de 8 meses abandona

tiene más . Si gastó todo en 4 días, su

el trabajo y recibe S/. 2 400 más el

promedio de gasto por día fue:

incentivo especial. ¿A cuanto asciende el incentivo especial?

Rpta.:. Rpta.:.

4.

Para pagar una deuda de S/. 130 empleo billetes de S/. 10 y S/.5, ¿cuántos

9.

Para

rea liza r

el

sorteo

de

un

billetes de los 25 con que pago dicha

minicomponente se imprimieron 640

suma sondeS/. 5?

boletos pensando ganar $. 845, pero s ól o

Rpta.:.

vendieron

210

boletos,

originándose una pérdida de $. 15. ¿Cuál es el precio del minicomponente?

5.

Jorge propone resolver 12 problemas a Hernán con la condición de que por cada

Rpta.:.

problema que resuelva recibirá 10 soles y por cada problema que no resuelva perderá 6 soles después de trabajar con los

12 problemas recibirá 72 soles.

¿Cuántos problemas resolvió?

Rpta.:.

10. En una feria se puede canjear 5 teclados por 11 mouses, 2 monitores por 45 teclados, 3 monitores por una impresora, entonces ¿cuántos mouses se pueden canjear por 2 impresoras? Rpta.:.

FONDO EDITORIAL RODO

/■gggE SE E E ZB S

PROBLEMAS RESUELTOS PRO BLEM A 1

Al recibir su pago correspondiente a las horas correspondientes la primera quincena de enero, el profesor Peter lo apuesta todo en un casino y consigue duplicar su dinero; al llegar a su casa deja S/100 a su esposa. Al día siguiente apuesta todo su dinero y al ganar otra vez observa con entusiasmo que su beneficio es el doble de lo que apostó; al regresar deja S/100 a su esposa. Al día siguiente deja S/100 a su esposa antes de ir a trabajar; luego de trabajar va al casino y pierde S/10 de su dinero. Regresando a su casa decide visitar al profesor César Chu y pedirlo prestado x soles ya que solo tiene S/430 y al rendirle cuentas a su esposa tendrá problemas. Calcule “x” N O TA : Peter tiene prohibido ir al casino.

R esolución:

Aplicando el método de las operaciones inversas, tenemos:

Cantidad de dinero x 2 ; - 1 0 0

x3;-100

-10 0 ; x —

10

G D

C D ~ C D

Si pierde — de su dinero,

Si su beneficio

10

es el doble de

le queda— de su dinero 10

su capital en­ tonces recibirá el triple de lo apostado.

Canddad de dinero

^ 1 + 1 0 0

+S+100

+ 10 0 ; x 10

Teniendo en cuenta que a su esposa ya le entregó 3 veces S/100 es decir S/300 más los S/430 que le quedó. Entonces:

300 + 430 + x = 800 .-.

PROBLEM A 2

x = 70

Un ómnibus llegó a su paradero final con 53 pasajeros, además se observó durante el trayecto que en cada parada por cada pasajero que bajaban subían 3; si cada pasaje cuesta S/0,6 y se recaudó un total de S/39. ¿Cuántos pasajeros partieron del paradero inicial?

163

LIBRO

Resolución:

N° total de

S/39 = -------- = 65 pasajeros S/0,6

Si al final llegaron 53 pasajeros entonces: N° pasajeros que bajaron = 6 5 - 5 3 = 12 en el trayecto En cada parada subían 3 veces el número de pasajeros que bajaban, entonces: N° pasajeros que subieron = 3 x 1 2 = 36 en el trayecto

NOTA “S* Los 36 no incluyen los que subieron al inicio.

N° total depasajeros

N° pasajeros que subieron en las paradas

N° pasajeros que partieron del

= 65 - 36 = 29

paradero inicial

PROBLEM A 3

Un ómnibus interprovincial hace el servicio de Lima a Cañete, en uno de sus viajes recaudó S/440 por los pasajeros adultos y S/135 por los niños. Durante el trayecto se observó que por cada adulto que bajó subieron 2 niños y por cada niño que bajó subieron 3 adultos. Si el ómnibus llegó a Cañete con 28 adultos y 20 niños. ¿Con cuántos adultos y niños salió del paradero inicial (Lima) si el pasaje adulto es S / 11 y el de un niño S/5?

Resolución:

N ° total de

440

adultos

11

^

N ° total

135

de niños

5

N°Suben

N° Bajan

N° Adultos

21

12

N° Niños

24

7

Luego:

< 2 7 -2 0

FONDO EDITORIAL RODO

N° Adultos , = 4 0 -2 1 = 19 al inicio

Entonces:

N° Niños , . . = 2 7 -2 4 = 3 al inicio

PROBLEM A 4

En el mes de Diciembre del 2016 Rosita; Lupita y Teresita pesaban conjunta­ mente 230 Kg. Luego de 10 meses de dieta y gimnasio Rosita bajó 12 Kg; Lupita 16 Kg, Teresita 19 Kg, además Rosita pesaba tanto como Lupita y Lupita tanto como Teresita. ¿Cuántos Kg pesaba inicialmente Rosita?

R esolución:

Aplicando método de las operaciones inversas: Rosita

Lupita

Teresita

Juntas

Pesas iniciales ^ (Kg) Pesos finales (Kg) Todos tienen igual peso (repartimos 182 equitativamente) Luego:

Rosita

Lupita

Teresita

Rosita pasaba inicialmente 73 Kg.

PR O BLEM A 5

Milagritos tiene en su alcancía 30 monedas; algunos de S/2 y otros de S/5. Si en total ha recaudado S/17. ¿Cuántas monedas de S/2 tiene en su alcancía?

Resolución:

Método ®

“FALSA SUPOSICIÓN”

Si nos piden calcular el número de monedas de S/ 2 debemos asumir que to­ das las monedas son de S/5.

ti i

(

Falso Total Recaudado

= 3 0 x S /5 = S /15 0

LIBRO

Al comparar con el verdadero total hay un exceso de S/33 y esto se debe a que esta mal suponiendo que cada moneda de S/2 es de S/5 originándose un error unitario de S/3. ¿Cuántas veces se

Error total Cantidad de

_ S / 1 5 0 -S / 1 1 7 '

unitario de

S/3para

acumular un error

S /5 -S /2

monedas de S/2

Método ©

debe dar este error

/ > °¡

v— ----- ' Error unitario

total de

S/33?

;r " ¿r \ y*/ - ’l •» VVw . L' Y l h

“MÉTODO DEL ROMBO" (s/5 ) x

N° de monedas > / 30

Reacudación

\

~ /

S/117

v (S/2)

Cantidad de

3 0 x 5 -1 1 7 —-- ------------ 1 1 monedas de S/2 5 -2 Método ®

“PLANTEO DE ECUACIONES” N° monedas S/2

N°monedas S/5 — 3 0 -x _____

x '-------------- ^

PROBLEMA 6

Recaudación:

2x + 5(30 - x) = 117

Resolviendo:

x = ll

Para comparar (a + 2) libros me faltan (x - y) soles, pero si compro (a - 1) libros me sobran (2x + 3y) soles. Si todos los libros tienen el mismo precio. ¿Cuánto cuestan 6 libros?

Resolución:

Aplicando el “Método de las diferencias”

Costo 1 libro

(Falta + sobra) ( Diferencia de

x - y + 2x + 3y (a + 2 ) - ( a - l )

N° de libros

Luego:

Costo d e _ J 3 x + 2y 6 libros

= 6x + 4y

3x + 2y 3

^o/ypo e d it o r ia l m o d o PR O B LE M A 7

En agradecimiento al gran éxito logrado en las ventas del 2017 un empresario se reúne con sus colaboradores para repartir equitativamente parte de sus ganancias. Si a cada uno se le entregara 3xy soles le sobraría (6x - y )2 soles pero si a cada uno le entregara 2xy soles le sobraría (6x4-y )2 soles. Si al iniciar la reunión todos se saludaron. ¿Cuántos saludos hubo en total?

Resolución: NOTA “S”

Aplicando el “Método de las diferencias” .

N° de

f sobrante sobrante'] , mayor menor j

colaboradores

Diferencia de lo que

-----

(a + b )2 - ( a - b ) 2

se entrega a cada uno = 4ab N° de colaboradores

(6x + y ) 2 - ( 6 x - y ) : - = 24 3xy - 2xy

Luego el total de personas reunidas incluyendo al empresario es 25, si todos se saludaran entonces:

NOTA as r

N° de

25x24

saludos

2

= 300

_____

N° de _ {n: (n - 1 ) saludos

2

n : N° de personas

PROBLEM A 8

Un comerciante compró 200 conejos por S/5600 vende una parte en S/3500 ganando S/7 en cada conejo y otra parte en S/1050 perdiendo S/7 en cada conejo. ¿A como se debe vender cada conejo restante, si en total obtuvo una ganancia de S/450?

Costo unitario

S/5600 = —-------- = S/28 de cada conejo 200

Resolución: *

**

Si gana S/7 en cada conejo, vende cada uno en S/35 N° conejos que

3500

vendió la lera, vez

35

^

Si pierde S/7 en cada conejo, vende cada uno en S/21 N° conejos que vendió la 2da. vez

~

1050 21

L/BKO

Luego :

Ya recibió S/4550 en las ventas, para recuperar su costo le falta S/1050 y si al final ganó S/450 recibió S/1500, luego: Precio de venta de cada uno de =

1500

= S/30

50

los restantes

PROBLEMA 9

A cierto concurso de matemáticas se presentaron tantos varones como 2 veces más el número de mujeres, luego de la primera etapa donde se eliminó tantas mujeres como 3 veces más el número de varones eliminados quedaron 44 varones y ninguna mujer. ¿Cuántos varones participaron?

Inicio

Resolución:

- Eliminados = Quedaron

N° varones

3x® K

l.K

44

N° mujeres

lx (4 )K

4 .K

0

^H om ogenizando

^Número de mujeres al inicio es^ igual al número de mujeres ^eliminadas. y => 11K = 44

J NOTA “Sr o veces ^

o

2 más o

3 veces

o veces

A

3 más 4 veces

K=4 •.

PROBLEMA 10

Participaron 48 varones.

En un ascensor pueden entrar 20 adultos, o 24 niños o 15 niñas. Si en un determinado momento en dicho ascensor han entrado 6 adultos y 12 niños. ¿Cuántas niñas pueden entrar como máximo en ese momento?

Resolución:

La capacidad del ascensor debe ser un múltiplo del mínimo

común múltiplo de

20; 24 y 15.

Capacidad = MCM (2 0 ; 24 ; 15 ) = 1 20K del ascensor

Luego

Peso de 1 adulto

= 6k

168

Peso de

Peso de

1 niño

1 niña

= 8k

EO/YDO EDITORIAL RODO

’ óadultos 12 niños

?niñas

N° niñas = ^ = 3 8I< El número de niñas que pueden entrar como máximo es 3.

PR O BLEM A 11

Carhuanchito gasta su dinero del modo siguiente: las 2/5 partes de su dinero más 2 soles en chocolates; las 3/4 partes del dinero que le queda más 1 solo en galletas; la tercera parte del dinero que le queda más 3 soles en caramelos. Si al final le quedó S/l son ciertas: I.

Tenía al inicio 50 soles.

II.

Gastó 12 soles en chocolates.

III. Gastó 5 soles en caramelos.

R esolución:

Aplicando el método de las operaciones inversas:

Gasto

En chocolates

En galletas

En caramelos

4 +2

xf ;+1

x —; + 3 3

xí :_1

x

T

Queda ;' 2

2 ._ 3 3’

Cantidad

Gastó: (soles) /.

PROBLEM A 12

Son ciertas I y III

Un vendedor de uvas razona de la siguiente manera: “Si vendo a S/5 los 5/6 de un Kg entonces ganaré S/40; en cambio; si los vendo a S/3 los 3/5 de un Kg perderé S/16. Si vendiese toda la uva que tengo, recibiendo S/30 por Kg entonces recibiría en total:”

jm}»MUby&mwr

L IB R O

R esolu ción :

3 Si vende —Kg en S /3 5

*

Si vende — Kg en S /5 6

*

-»

Vende 1 lcg en S /6

—> Vende 1 kg en S/5

Aplicando método de las diferencias: N° Kg _ (Ganancia + Perdida) _ 40 + 16

(r Diferencia de )

de uva

= 56

6 -5

vprecios unitarios ) Si vende cada uno de los 56 Kg en S/30 recibirá S/ 1680

PROBLEM A 13

El costo de un cuaderno es S/2,50 y por cada docena regalan 3 cuadernos. Juan recibe 360 cuadernos y las vende a S/3 cada uno, regalando 2 cuadernos por cada decena que venden. ¿Cuánto ganó?

R esolución :

Compra

Le regalan

Recibe

12(24)

3(2 4 )

15(24) ^360^

Vende

Regala

Entrega

10(30)

2(30)

12(30)

Lo que se recibe es igual a lo que se entrega.

^360^ Ganancia Total

PROBLEM A 14

Venta

-

Cos

= 3 0 0 xS / 3 - 288xS

5 = S/180

En un simulacro que tiene 200 preguntas, por cada respuesta correcta vale un punto y por incorrecta un punta je en contra de un cuarto de punto. Un alumno ha obtenido en dicha prueba 100 puntos. Habiendo respondido la totalidad de preguntas planteadas. ¿En cuántas preguntas se equivocó?

Resolución:

MÉTODO “FALSA SUPOSICIÓN”

NOTA uSr

Suponiendo que todas respondió correctamente

1 — en contra = 4

Falso puntaje , = 200x1 = 20( obtenido Error Total

Lu ego:

N° de preguntas

2 0 0 -1 0 0

erradas i- í- A ' ''

l v----4y -

Error unitario

100 5

4

= 80

1

4

FONDO EDITORIAL RODO PROBLEMA 15

Chucito va a repartir 20 caramelos a cada uno de sus sobrinos de manera equitativa pero uno decide renunciar a su parte y los demás reciben 25 caramelos cada uno. ¿Cuántos sobrinos tiene Chucito?

Resolución:

N° de sobrinos de Chucito = 5

PROBLEMA 16

Carolina decide repartir 600 soles a sus hermanos de manera equitativa pero Raúl renunció a su parte y los demás reciben un adicional de 20 soles cada uno. ¿Cuántos hermanos son en total (incluida Carolina)?

Resolución:

Siendo “x” el número de hermanos. ., . 600 Cada uno debía recibir:----x

->

600

x

_

= 20(x-l)

x (x - 1 ) = 30 = 6 x5 L ~ r ~

=

L

J

-> x = 6 Son en total 7 hermanos. ..... ..-«"W,

:A

•r /•;

171

l ib r o

NOTA “Sr Sean

Cantidad

x :

repartida

m :

beneficiados

=

renuncian a su parte

n (x - m ) |

lo que recibían antes cada u n o

PR O BLEM A 17

N ° de los que

N° de

N° restantes

í adicional q u e A reciben los v

restantes

J

Don Manuel deja al morir una herencia de “2mn” soles a cierto número de parientes. Sin embargo “m” de estos renuncien a su parte y entonces cada uno de los restantes se benefician en “n” soles más. ¿Cuántos son los parientes?

R esolu ción :

Aplicando Método “S”: m N ° de parientes

2mn

n (x - m ) N° parientes

J

restantes

m (2m ) = ( x - m ) x x z F L^

r ~T

x = 2m El número de parientes es 2m.

PR O B LE M A 18

Compré varios radios parlantes a S/2800; vendí parte de ellos en S/900; a S/60 cada radio, perdiendo S/20 en cada uno. ¿A cómo debe vender cada uno de los restantes para que pueda ganar S/500 en la venta total?

CEPREVI 2017 - B Resolución:

*

Si vende cada uno a S/60 perdiendo S/20 en cada uno. entonces: C° StOde = S /8 0 1 Radio N° radios

S/900

vendidos

S/60

N° total de radios

S/2800

que compró

S/80

N° radios que \

fal tan vender

= 20 ¡ /

= 35

TORDO EDITORIAL RODO **

Si ya recibió S/900 le falta S/1900 para recuperar su capital y si quiere ganar S/500 en total, en la venta de los 20 radios restantes debe obtener un ingreso de S/2400. Entonces: Precio de venta

^ 9 5 = S/120

de cada radio

20

restante N° total de radios _ S/2800 _ ^

Costo de Método ©

que compró

1 Radio _S//80 N° radios

S/900

vendidos

S/60

S/80

N° radios que _ ^ faltan vender

COSTO + GANANCIA = VENTA 2800

+

=

500

900 + 20X ^__^EV de cada uno de

X = S/120

PROBLEMA 19

los 20 restantes

En una caja hay 50 canicas de 15 gr cada una y en una segunda caja hay 52 monedas de 20 gr cada una. ¿Cuántos intercambios se deben realizar para que el peso total de las canicas de las cajas sea el mismo?

Resolución:

50 canicas

52 canicas

Peso . = 15 o gr umtano

Peso — 90 crr unitarioo* Total

Peso 750gr

inicial Gana

Pierde

145 gr

145 gr

1040gr

1190

895gr

1190

Peso final *

895 gr

En un intercambio la primera caja recibe 1 canica de 20gr y entrega una canica de 15 gr entonces: 1 intercambio

Gana 5 gr.

x29

x 29 '29 intercambios ->

Gana 145gr.-

El número de intercambios es 29.

libro

PROBLEM A 2 0

Un conejo da 5 saltos mientras que un perro que lo persigue da 4, pero 8 saltos de este de éste equivale a 11 saltos de aquel. Si el conejo lleva 66 saltos de ventaja. ¿Cuántos saltos debe dar el perro para alcanzarlo?

R esolu ción : Perro

66 se I. Relación del número de saltos en

II. Relación de longitudes de salto: Al indicarnos que 8 saltos de perro

el mismo intervalo de tiempo

equivalen a 11 saltos de conejo se

N° saltos

refiere a las longitudes de los saltos.

de conejo _ 5SC _ 10SC

8 SP = 11 SC

N° saltos - 4SP ~~ 8SP del perro

Cuando el perro da 8 de sus saltos la diferencia se acorta en 1 salto de conejo (11 SC - 10 SC). Para alcanzar el perro al conejo.

PR O BLEM A 21

N° saltos que

La diferencia

da el perro

se acorta

/

8 SP

^

528 SP

*

1 SC 66 SC

) *66 ^

Se tiene 3 sacos: A; B y C con distintos cantidades de arroz. Cada vez que Chucito elije un saco retira los 3/5 de su contenido y los reparte equitativa­ mente a los otros 2 sacos. Luego de elegir cada uno de los sacos en el orden mencionado, resulta que en A se tiene 68 Kg; en B 42 Kg y en C 26 Kg. ¿Cuántos sacos había inicialmente en el saco B?

Resolución:

* Al retirar los 3/5 del contenido del saco. * Queda los 2/5 del contenido inicial.

EOUDO EDITORIAL RODO TOTAL

B

A Cantidad

136

inicial (Kg)

i NOTA “5” L_

2

x— 5

Ten en cuenta

136

que el total de Kg en conjunto no cambia.

+y 136 +z

136 Realizando las operaciones inversas tenemos: A

B

C

2x = 36 x = 18

2y = 60 - 24 -1 8

y = 18

5 x—

-21

2

/.

PROBLEM A 2 2

2z = 7 0 - 2 8 z = 21

B tenía inicialmente 42 Kg.

Tres personas tienen 5; 6 y 7 panes respectivamente. Se encontraron con una cuarta persona que no tenía pan alguno con el cual comparten todo por igual y este en agradecimiento les deja S/ 54 para que los distribuya. ¿Cuánto le toca al que recibe más?

Resolución:

Personas

A

B

C

Juntos

N ° de panes

5

6

7

18

175

LIBRO Al llegar una cuarta persona se deben distribuir los 18 panes entre los cuatro equitativamente y para esto debemos dividir cada pan en 4 partes iguales.

N° partes

^20p

/24p

M 8p

M 8p

/28p

D

Juntos

Op

72p

18p

72p

al final

X)

N° partes ,

^ _i

' h-‘ 00

al inicio

C

B

A

Personas

“A’

“B” “C” entregó entregó entregó 6p

2p A, B y C entregan

lOp

Recibieron

en total 18p

—

->

S/54

lp

-

->

S/3

El que recibe más es “C” ya que entregó 10 partes. Luego “C” recibe S/30

PROBLEMA 23

A continuación se muestran 2 toneles (A y B) con distintas cantidades de vino; los precios y las cantidades son las indicadas: A

B

60

40

litros

litros

S/3

S/5

r

Precio unitario =>

¿Cuántos litros se deben intercambiar para que ambos toneles tengan la misma calidad de vino?

Resolución: Costo total

A

B

/-------------N

/------------N

S/180

❖ \

S/200 ^

_____ j

Al intercambiar x litros tenemos:

Lx" litros

Nuevo costo total «'•*■**■

B

:‘x” litros 18 0 -3 x + 5x 200- 5 x + 3x

EOJYDO EDITORIAL RODO Para que ambos tengan la misma calidad, el precio por litro en cada tonel es el mismo; luego:

Resolviendo:

Precio por

.

litro

C“;

180+ 2x _ 200 - 2 x 60

“

4Ó“ "

x = 24 Se deben intercambiar 24 litros.

r-j NOTA “S”

_____________________________________________________

Para que dos recipientes tengan la misma calidad de su contenido (del mismo tipo):

Cantidad

A

B

X Kg

Y Kg

N° Kg que se

xy

debe intercambiar

x+y

MÉTODO © N° Kg que se debe intercambiar

PROBLEMA 24

6 0 x4 0 n/1 --------- = 24 60 + 40

En una carrera de 200 m planos. Alberto le da a José una ventaja de 40m para llegar simultáneamente a la meta y en una carrera de 100 m planos, José le da a Luis a Luis una ventaja de lOm. Sabiendo que las velocidades de los 3 es constante en todas las carreras, ¿cuántos metros de ventaja debe darle Alberto a Luis en una carrera de 400 m planos para llegar simultáneamente a la meta?

ADMISIÓN UNMSM 2017 Resolución:

* Si Alberto le da una ventaja de 40 m a José, entonces este último solo debe recorrer 160 m.

A

200

J ~ 160

* Si José le da a Luis una ventaja de 10 m en una carrera de lOOm entonces Luis solo debe recorrer 90 m.

J _ 100

L ~ 90

l ib r o

A J 200 100 __x __—_____x ____ J L 160 90 A _ 200 x (2 ) _ 400 L “ 144 x (2) ~ 288 De lo último se deduce que en una carrera de 400m Luis solo debe recorrer 288 m, luego la ventaja que Alberto le da a Luis es de 112 m.

PROBLEM A 25

En cierta bodega; dos kilogramos de pollo tiene el mismo costo que tres kilogramos de arroz; cinco kilogramos de arroz cuestan lo mismo que cuatro bolígrafos y ocho bolígrafos igual que cuatro docenas de choros. Determ ine el costo de dos kilogramos de pollo, en soles, sabiendo que tres docenas de choros cuestan 40 soles.

R esolución:

Por regla conjunta tenemos: 2Kg

Po < >

3K g

A

5 Kg

A

4

B

48

Ch

8

B o

36

Ch o

" x " soles o 2 x 5 x 8 x 3 6 x JPtf x j ( x X x

40 soles 2K g

Po

x x £&téíí < > 3fió< 4J3/x 48

_ 3 x 4 x 48 x ^KÍ x X X x X x X x 36 x = 16 .-.

El costo de 2 Kg de pollo es 36 soles.

178

x 40 ¿otés x 2

e o /y d o e d i t o r i a l r o d o

PROBLEM AS PROPUESTOS

1-

5.

Unos alumnos hacen una colecta para

Se quiere rifar una microcomputadora con

adquirir una pelota para su equipo de

cierto número de boletos. Si se vende cada

basket. Si cada uno colaborase con 3 soles

boleto a S/10 se pierden S/1000 y si se

faltarían

deciden

vende a S/15 se ganan S/1500. Deter­

aumentar la colaboración a S/3,50 y

minar el número de boletos y el precio de

ahora les alcanza y sobra 5 soles. ¿Cuánto

la computadora.

20

soles,

entonces

cuesta la pelota? A) 500; 6400 A ) S/150

B) S/170

D) S/120

2.

C)S/180

C) 400; 5000

E)S/125

D) 500; 6000

Un vendedor ofrece un lote de camisas a

6.

B) 600; 1200 E) 300; 7000

Si se compró 4 docenas de objetos me

cada uno para ganar S/60

sobran S/27,40; pero para comprar 5 do­

respecto a su inversión, pero si se decide

cenas me faltan S/17. ¿Cuánto vale cada

venderlo a S/18 cada camisa pierde S/30.

objeto?

24

soles

¿Cuántas camisas tiene el lote? A) S/3,7 A ) 15

B) 20

D) 22

C)18

D) S/ 5,7

Un padre va con sus hijos a un concierto y al

C) S/4,2 E) S/5,9

E) 24

7. 3.

B) S/5,4

querer comprar entradas de

Si se forman filas de 7 niños sobran 5, pero faltarían 4 niños para formar 3 filas más de

S/65

6 niños. ¿Cuántos niños son?

observa que le faltan entradas para 4 de ellos y tiene que comprar entradas de

A ) 60

S/35, entrando así todos y le sobra S/10.

D ) 68

B) 90

C) 70 E) 65

¿Cuántos hijos llevó al concierto?

8. A) 6

B) 7

D) 9

Pedro invita a sus amigos al cine. Si entran

C) 8

todos a platea alta le va a faltar “x” soles

E) 10

pues cada entrada vale “y” soles, pero si entran a platea baja le va a sobrar “m” soles

4

Se

desea

rifar

un

m inicom ponente

pues cada entrada vale

vendiéndose cierto número de boletos. Si

“n” soles. ¿Cuántas

personas conforman el grupo?

se vende cada boleto a S/0,70 se pierden S/40 y si se vende cada boleto a S/0,80 se

A)

ganan S/50. ¿Cuál es el precio del mini­

m- x y -n

com ponente? D) A )S / 9 0 D ) S/670

C)S/720 E)S/120

179

n -y

C) — m y -n

m+ x n -y

B)S/220

B)

y -n

LIBRO 9*

z . .

Se desea repartir naranjas equitativamente

A ) 30

entre cierto número de niños sobrando 3

D ) 15

B) 18

C) 27 E )35

naranjas, pro si se les dan 2 naranjas más a cada uno faltarían 7 naranjas. ¿Cuántos niños eran?

14. Un postulante en un examen de 25 preguntas obtiene 4 puntos por respuesta acertada y perderá un punto por respuesta

A) 9

B) 10

D )5

C) 6

errada. ¿Cuántas respuestas erradas tuvo

E) 11

si contestando todas las preguntas obtuvo 70 puntos?

10. En una iglesia, si los asistentes se sientan 12 en cada banca, se quedan de pie 11 de

A) 10

ellos, pero si se sientan 15 en cada banca,

D )6

B) 7

C )ll E )9

la última banca sólo tendría 11 asistentes.

15. Dos niños han recorrido en total 64m

¿Cuántos asistentes tiene la iglesia?

dando entre los dos 100 pasos. Si cada A ) 72

B) 69

D) 68

C) 71

paso del segundo mide 50 cm y cada paso

E) 63

del primero mide 70 cm. ¿Cuántos pasos más que el segundo ha dado el primero?

11. Se trata de llenar un cilindro al cual con­ curren 2 cañerías. Si abro la primera que arroja 52 litros de agua cada 5 minutos y la dejo funcionar cierto tiempo, logra llenar el cilindro y rebalsar 72 litros. Si abro el segundo caño y funciona el mismo tiempo que funcionó el primero, faltarían 40 litros de agua para llenar el cilindro, debido a que este caño arroja 20 litros de agua cada 3 minutos. ¿Qué capacidad tiene el cilindro? A ) 280 litros B) 260 litros

C) 420 litros

D) 240 litros

E) 270 litros

A ) 10 D) 40

B) 20

C) 30 E) 50

16. El examen de un concurso de admisión consta de 100 preguntas, por respuesta correcta se asigna 5 puntos a favor y 0,75 en contra por respuesta equivocada. Si un postulante ha obtenido en dicha prueba 316 puntos habiendo respondido la totalidad de las preguntas, el número de respuestas correctas excede a las incorrec­ tas en:

12. En una granja donde existen conejos y

A) 34

gallinas se cuentan 60 cabezas y 150 patas

D )40

B) 36

C) 38 E) 42

¿Cuántos conejos hay?

17. Un litro de leche pura pesa 1030 g. Cierto A ) 45 D) 35

13.

B) 15

C) 20

día se compraron 6 litros de leche adultera­

E) 24

da que pesan 6120 g. ¿Cuántos litros de agua contiene esta leche? (1 litro de leche pesa 1000 g.)

Se tiene 3600 soles en billetes de S/100 y

S/50 que se han repartido entre 45 personas tocándole a cada una un billete.

A) 2

¿Cuántas personas recibieron 1 billete de

D) 8

S/100?

180

B) 4

C) 6 E) 10

EO/Y&O EDITORIAL RODO

18. M artín trabaja en una compañía, en la

22. Roberto se enteró que San Judas Tadeo

cual por cada día de trabajo le pagan 300

hacia un milagro que consistía en duplicar

soles

el dinero que uno tenga cobrando única­

y

por

descuentan

cada

S/100.

día

que

falta

le

¿Cuántos

días

ha

mente

S/60

por

cada

milagro.

Una

trabajado Martín, si al final de 40 días

mañana Roberto acudió a la iglesia donde

adeuda a la empresa la suma de S/2000?

se veneraba a San Judas Tadeo con todos sus ahorros, pero tal sería su sorpresa que

A ) 12

B ) 13

D) 5

C ) 18

luego de 3 milagros se quedó sin un sol. ¿A

E) 10

cuánto ascendían los ahorros de Roberto?

19. Un tren de 325 pasajeros tiene que reco­ rrer 150 km, los pasajeros de Ira. clase

A ) 60

B) 120

C)180

D) 0

E)52,5

pagan 4 soles por km y los de 2da. clase pagan 2 soles por km. ¿Cuántos pasajeros

23. Una persona ingresó a un restaurante,

iban de primera clase, si en ese viaje se ha

gastó la mitad de lo que tenía y dejó 3 soles

recaudado S/129600 por concepto de

de propina. Luego ingresó a una heladería,

pasajes?

gastó la mitad de lo que aún le quedaba y dejó 2 soles de propina, que dándose sin

A ) 125

B ) 218

dinero. ¿Cuánto tenía inicialmente?

C) 99

D ) 145

E ) 107 A ) 12

20. El examen de admisión de la UNSA consta

B) 16

D) 14

C) 10 E ) 18

de 100 preguntas; cada respuesta correcta

24. Diana compró cierta cantidad de cara­

vale 4 puntos, por respuesta incorrecta le una pregunta

melos; 1/3 de ellos regaló a su hermanito

dejada en blanco no tiene puntaje. Si un

menor, los 2/5 del resto a su primo Juan y

postulante obtuvo 156 puntos y notó que

1/4 del último resto a su prima Marilú, que

por cada pegunta dejada en blanco tenía 3

dándose únicamente con 3 caramelos.

correctas. ¿Cuántas contestó incorrecta­

¿Cuántos caramelos compró Diana?

descuentan

1 punto y

m ente? A) 5 A ) 16

B ) 40

D ) 10

C) 36

D ) 42

B) 60

C) 20 E ) 15

E) 24 25. Mónica va al mercado donde gasta en

21

Jorge le dice a Rosa: “ Si a la cantidad de

carne los 2/5 del dinero que llevó más 4

dinero que tengo le agregó 20 soles,luego

soles, en menestras gastó 1/6 del dinero

ese resultado lo multiplico por 6, para

que le quedaba más 6 soles y en frutas

quitarle a continuación 24 soles y si a ese

gasta los 3/7 del nuevo resto más 4 soles.

resultado le extraigo la raíz cuadrada y por

¿Cuántos soles llevó al mercado si ha re­

último divido entre 3, obtengo 8 soles” ,

gresado con 4 soles?

¿cuánto tenía Jorge al inicio?

A ) 140/9 A ) 92

C) 80

24

D)64

E) 352

D ) 576 •i '

•,

'

181

B )140/3

C )120/7 E) 60

LIBRO

26. N aty es una vendedora de naranjas, una

30. Tres jugadores acuerdan que el perdedor

una

de cada juego triplicará el dinero de los

m an eia muy especial. Cada hora vendió

otros dos. Juegan 3 veces y pierden un

los 3/4 de las naranjas que tenía en esa

juego cada uno en el orden A; B; C;

hora más 1/2 naranja, quedándose al final

quedando con 36; 12; 85 soles respectiva­

de

mente. ¿Cuánto tenía A al principio?

mañana

las

vendió

3

las

horas

naranjas

únicamente

de

con dos

naranjas. ¿Cuántas naranjas vendió esa mañana?

A) 90

B) 80

D) 60 A ) 160

B) 168

C) 70 E) 50

C) 170

D ) 172

31. Si una ficha roja equivale a dos fichas

E) 176

blancas, dos fichas azules equivalen a tres

27. H allar la profundidad de un pozo de gua

rojas y tres fichas blancas a dos verdes. ¿A

sabiendo que cada día su nivel desciende

cuántas fichas verdes equivale una ficha

en 4 m por debajo de su mitad; quedando

azul?

vacío al cabo del cuarto día.

A) 2 A ) 110 m

B) 120 m

D) 4

C )130m

D ) 140 m

B) 1

C) 3 E )6

E) 150 m

32. Un jugador de billar “A” da a otro jugador 28. Dos jugadores, acuerdan que después de

“B” 40 carambolas para 100 y “B” da a otro

cada partida, el que pierde duplicará el

jugador “C” 60 carambolas para 100.

dinero del otro. Después de dos partidas,

¿Cuántas carambolas debe dar “A” a “ C” en

que las ha ganado un solo jugador, cada

una partida de 100 carambolas?

uno tiene

64 soles. ¿Cuánto tenía el A ) 20

perdedor al inicio?

B) 24

D ) 68

A) 16

B) 128

C) 80 E) 76

C) 96

D ) 112

33. En una joyería se comparan el valor de las

£) 32

joyas existentes y 4 cadenas de oro equiva­

2 g 'Yi 'qs jugadores duplicará

acuerdan que el perdedor

len a 10 de plata, 9 de plata equivalen a 3

el dinero de los otros dos.

de diamante; del mismo modo,

6 de

Juegan tres partidas, pierde una cada uno

diamantes valen lo mismo que 24 de acero;

y al retirarse lo hacen con 16 soles cada

por 36000 soles me dan 4 cadenas de

uno.

acero. ¿Cuántas cadenas de oro me darán

¿Cuánto

tenía

cada jugador

al

por 60000 soles?

principio?

A) 8; 2 4 ; 16 D) 2 4 ; 2 8 ; 30

B) 26 ; 14 ; 8

C) 12; 1; 28

A) 2

E) 15; 30; 3

D) 5

182

B )3

C) 4 E)1

*»*

FONDO EDITORIAL RODO

34. Si comprar 3 libros equivale a comprar 7

39. En un concurso de admisión a la UNSAAC;

lapiceros y por cada 4 cuadernos obtengo

en el curso de R. M. que tiene 16 preguntas,

6 lapiceros, ¿cuántos cuadernos obtengo

por respuesta correcta se le asigna 4 puntos,

por 9 libros?

por respuesta incorrecta 0 puntos y por pregunta

A ) 11

B )9

D ) 14

C )7

no

postulante

E) 6

contestada ha

1 punto.

ob ten id o

36

Un

puntos

habiendo respondido las 16 preguntas del curso, ¿cuántas respuestas correctas tuvo?

35. En una carrera sobre una distancia dada “ d ” a rapidez uniforme A puede vencer a B

A) 8

por 20 m, B puede vencer a C por 10 m y A

B) 7

C) 9

D ) 10

puede vencer a C por 28 m. Entonces “d”

E )6

en metros, es igual a:

40. Dos jugadores acuerdan que después de A ) 58

B ) 100

D) 120

C) 116

cada partida, el que pierda dará 15 soles al

E ) 128

que gane. Al terminar el juego, luego de 18 partidas, el primero ha ganado 120 soles.

36. Jesús del total de dinero que tenía 4/9 más

¿Cuántas veces ganó el segundo jugador?

$200 dio a Pilar y de lo que aún le quedaba 5/8 menos $100 dio a Rocío. Si todavía le

A ) 13

queda $400. ¿Cuánto tenía al inicio? A ) 1800

B ) 2000

D) 2400

B) 5

C) 6

D) 7

C ) 2200

E )0

41. Unos hijos desean hacerle un regalo a su

E ) 2600

mamá, si cada uno aporta 20 soles les

37. Un padre del total de su fortuna, 1/3 más

sobrarían 28 soles y si cada uno contribuye

$500 dio a su hijo mayor, de lo que le que­

con 15 soles les sobraría 13 soles. ¿Cuántos

daba 1/4 más $125 dio a su segundo hijo,

hijos son?

y de lo que aún le quedaba, 3/5 más $800 A) 2

dio a su último hijo. Si todavía le queda $2000. ¿Cuál era la fortuna del padre? A ) $12000

B ) $15000

D ) $14000

C ) $13000

ron

1000

boletos

y

se

pensó

ganar

S/20000; pero sólo se vendieron 480 boletos,

patas. Si lo único que hay son conejos y

originándose

una

perdida

S/3400. Hallar el precio del automóvil.

patos, ¿Cuál es el número de patos?

D ) 36

E) Más de 5

42. Para la rifa de un automóvil se confecciona­

E ) $16000

B) 12

C )4

5

38. En un corral se observa 80 ojos y 120

A ) 18

B) 3

C )2 3 E) 20

183

A) S / 27 500 C) S/ 25 000

B) S / 26 000

D) S / 28 400

E) S / 25 200

de

LíBKO 43. Un ven d ed o r de relojes pensaba: “Si cada

47. En la peña “LA CHOLA”; cuatro platos de

le lo j ven d ó a S/18 compraría un tem o y

lomo equivalen a 10 platos de caucau; 9 de

m e sobraría S/15, y si los vendo a S/20

caucau equivalen a tres de churrasco, 4 de

cada uno m e sobraría S/55 y compraría el

churrasco equivalen a 6 de lechones. Si por

te m o ” . ¿Cuántos soles cuesta el temo?

S/160 dan 4 platos de lechón, ¿Cuántos platos de lomo dan por S/150?

A ) 323

B) 345

D ) 258

C) 299 A) 3

E) 284

B) 4

D) 8

C) 7 E )6

44. Un ayudante entra a una fábrica y recibe la prom esa de percibir S/2600 y una gratifi­

48. Con el precio de 9 reglas se obtiene 5

cación por 5 años de trabajo. Al cabo de 3

lapiceros; con el de 4 lapiceros se obtienen

años y 3 meses, abandona el trabajo y

3 lápices. ¿Cuántas reglas se obtienen por

recibe

el precio de 20 lápices?

S/850 más la gratificación. ¿A

cuánto asciende la gratificación en soles? A ) 25 A ) 2600

B ) 2000

D ) 2800

B) 20

D) 27

C ) 2200

C) 24 E) 48

E ) 2400

49. En una feria, 7 gallinas cuestan lo mismo 45.

El trabajo de cuántos hombres equivaldría

que 2 pavos; 14 patos cuestan los mismo

al trabajo de 16 niños; si el trabajo de 8

que 5 pavos; 3 conejos cuestan lo mismo

niños equivale al de 6 ancianos; el de dos

que 8 patos.

m ujeres al de 4 ancianos y el de 6 mujeres

cuatro gallinas, si un conejo cuesta 30

al de dos hombres.

soles?

A) 4

B) 1

D) 2

C) 3

A ) 28

E) 5

D) 54

¿Cuántos soles

B) 36

costarán

C) 42 E) 46

46. Sabiendo que 12 varas de tela cuestan lo

50. Si 2 veces el sueldo de un obrero A equivale

m ism o que 10 metros de lana y que 4

a la tercera parte del sueldo de un obrero B

m etros de lana cuestan S/ 60. ¿Cuántos

y las 3/5 partes del sueldo de un obrero B

soles costará 8 varas?

equivalen a S/300. ¿Cuánto percibirá un obrero C si éste percibe 6 veces de lo que

A ) 90

D) 110

B) 100

percibe A?

C) 80 E) 120

A ) S/500 D)S/800

184

B) S/ 400

C) S/ 600 £ ) S/900

CAPACIDADES °

Reforzar la capacidad de interpretación y simbolización para resolver problemas con enunciado.

r/

°

Enseñar las diferentes formas de resolver los problemas sobre edades.

®

Enseñar el uso de tablas de doble entrada en la resolución de problemas sobre edades.

El tiem po máximo de vida es la edad límite que puede alcanzar un individuo de una especie, mientras que la duración media de vida, es el promedio de la expectativa de vida de los individuos de esa especie. Este parámetro refleja la benevolencia relativa del medio, entre otros aspectos. El máximo tiempo de vida para la especie humana, que se haya podido comprobar, es de 122 años y ha cambiado muy poco en los últimos siglos. Sin embargo, el período medio de vida, ha aumentado considerablemente. En países industrializados se ha pasado de los 35 o 40 años a finales del siglo X V III hasta los 76 años a mediados de la década de 1990.

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...

l ib r o

IN T R O D U C C IÓ N ! Problem as sobre edades es un tema del curso perteneciente a Planteo de Ecuaciones , q d iversid ad de problem as y por la existencia de formas abreviadas de i esolverlos, se trata m g en un capítulo especial.

p

Se debe tener en cuenta que en los problemas intervendrán: sujetos, tiempos y edades

S U J E T O S] Son los protagonistas, que generalmente son las personas, y en algunos problemas los animales, las plantas, etc.

©

Ejem plos: i)

La edad de Alberto y Yolanda suman tanto como la suma de los 5 primeros números primos ...

ii)

§

f4 ¿/l 31 T j

La edad de la tortuga Pily en el año inmediato anterior al próximo año será 40 años. Si aún no cumple años ¿qué edad tiene Pily?

TIEMPOS Es uno de los más importantes puntos, pues si se interpreta inadecuadamente el texto en un tiempo equivocado, se irá a la complicación de la resolución. Veamos:

EXPRESIONES

T IEM PO S

T iem p o Presente: Existe un sólo

presente. Se le identifica por las expresiones:

- ten g o ................

- mi edad actual e s .......

- tien es...............

- etc.

- tenem os.......... - hoy la e d a d ............ - hace 8 a ñ o s.............

T ie m p o Pasado: Puede darse en

el problema uno o más tiempos, se reconocen por:

- ten ías............. - cuando yo te n ía ............. - etc. - dentro d e .............

T ie m p o Futuro: Al igual que el

tiempo pasado pueden darse uno o más. Pueden identificarse por:

- tú tendrás............. - nosotros tendrem os........... - etc.

FONDO EDITORIAL RODO EDAD Es un lapso de tiempo perteneciente a la existencia de un sujeto, se da generalmente en años pero puede darse en días o meses. Para facilitar la resolución clasificaremos los problemas en 2 tipos:

TIPO I: Cuando interviene la edad de un sólo sujeto Ejemplo 1:

Hoy tengo 20 años ¿podría decir que edad tenía hace 5 años y cuántos años cumpliré dentro de 13 años?

Resolución:

HOY TENGO

T. PASADO

Ejemplo 2:

TIEMPO PRESENTE

T. FUTURO

Dentro de 5 años tendré el quíntuplo de la edad que tenía hace 5 años, menos 50 años. ¿Qué edad tendré dentro de 2 años?

R esolución:

HACE 5 ANOS

DENTRO DE 5 AÑOS

PRESENTE Luego se plantea:

x + 5 = 5 (x - 5 )-5 0 x = 20

Entonces tengo 20 años. ..

Dentro de 2 años tendré 22 años

TIPO II: Cuando intervienen las edades de dos o más sujetos E jem p lo 1:

Hace 5 años Pedro tenía el doble de la edad que tenía Juan. ¿Cuál es la edad

deJuansisesabequedentrode5 añossecumpliráauoHpd^ i , de la que tenga Pedro?

P

,

Luaaactual

q“ C U edad de Jua" será los 3/5

Resolución:

Hace 5 años

Hoy

Dentro de 5 años

Juan

X

x + 5

x + 10

Pedro

2x

2x + 5

2x + 10

3

Luego se plantea:

x + 10 = —(2x + 10) x = 20 Juan tiene 25 años.

Supongamos que la edad de tres personas en los tres tiempos sean los siguientes: + 4 años

PASADO co O

1w '

Yo

5

Tú

7

Él

io

+ 6 años

PRESENTE

— ^

FUTURO 15

5 + 11 = 7 + 9

^

17

9 + 17 = 11 + 15

14^^ ^

20

7 + 20 = 10 + 17

Criterio del aspa: La suma en aspa de valores colocados simétricamente nos da un mismo resultado.

E jem plo 2:

Tú tienes 16 años. Cuando tú tengas el triple de lo que yo tengo, entonces mi edad será el doble de lo que actualmente tienes. ¿Dentro de cuántos años cumpliré 40 años?

Resolución:

PRESENTE

FUTURO

Yo

32 x 16

Tú Luego se plantea:

Y .

N .

3x

x + 3 x = 1 6 + 32 x = 12

Entonces tengo 12 años. Cumpliré 40 dentro de 28 años — --------------

y r - n

m

—

Año Nacimiento | +

wmmmmmmuum

i Edad Actual

I

= Año Actual; si la persona ya cumplió añ anos.

|7ñ7Ñücimiento] + | Edad Actual | = Año Actual- 1; si la personas aún no cumple años.

■

;

■

. . . v

.

■

•

■

-

:

: ;'-

i® »

H H K

TICC

f o n d o e d it o r ia l r o d o

1.

Dentro de 30 años tendré el triple de la

6. El doble de mi edad, más 12 años es

edad que tengo ahora. ¿Cuántos años

igual al triple de mi edad, menos 6 años.

tengo?

¿Cuántos años tengo?

Rpta.:

2.

......................................

Rpta.: .......................................

Hace 18 años tenía la cuarta parte de la

7.

edad que tengo ahora. ¿Cuántos años

¿Hace cuántos años Ana tenía el doble

tengo?

Rpta.:

Ana tiene 20 años y Betty tiene 14 años.

de lo que tenía Betty?

...................................... Rpta.: .......................................

3.

Si sumamos la edad que tenía hace 10 años con la edad que tendré dentro de

8.

Hace 12 años tenía la cuarta parte de la edad que tengo. ¿Cuántos años tengo?

26 años obtendremos el triple de mi edad. ¿Cuántos años tengo?

Rpta:......................................... Rpta.:

......................................

9. 4.

Mi edad es tres veces tu edad, pero dentro de 15 años mi edad será el doble

Tú tienes 15 años y yo tengo el doble de la edad que tu tenías cuando yo tenía 15 años. ¿Cuántos años tengo?

de tu edad. ¿Cuántos años tengo?

Rpta:....................................... Rpta.:

5.

......................................

Cuando tenga el doble de la edad que tú

10. Un padre le dice a su hijo: “Yo tengo el

tienes yo tendré 34 años. Si nuestras

triple de tu edad, pero dentro de 10

edades suman 38 años, ¿Cuántos años

años, yo tendré el doble de lo que tú

tengo?

tendrás” . ¿Cuántos años tiene el padre7

| R pta.:

........................................

R pta:..................

I

libro

P R O B L E M A S RESUELTOS PROBLEM A 1

Si al triple de la edad que tendré dentro de 6 años le restamos el doble de la edad que tenía hace 3 años resulta el doble de mi edad. ¿Dentro de cuántos cumpliré 40 años?

R esolución:

Hace 3 años x- 3

Dentro de 6 años x+ 6

Tengo x

3(x + 6 ) - 2 ( x - 3 ) = 2x x -2 4 Entonces:

Tengo 24 años Cumpliré 40 años dentro de 16 años

PROBLEMA 2

Las edades actuales de Ángel y Bruno son entre sí como 6 es a 5. cuando Bruno tenga 8 años más de lo que tiene Ángel, éste tendrá el doble de lo que tenía Bruno hace 2 años. ¿Qué edad tendrá Ángel cuando Bruno tenga el doble de la edad que tiene ahora?

Resolución:

—

---------------------------------

PRESENTE

FUTURO

A

6x

2 (5x - 2)

B

5x

6x + 8

“B” hace 2 años

6 x -5 x = 2 ( 5 x - 2 ) - (6x + 8) x= 4 Reemplazando sólo en el presente:

PRESENTE

ooO °

A B

O

FUTURO

24

\ /

n = ?

20

/ ^

40

20 + n = 24 + 40 n = 44

La edad de Ángel será 44 años

190

La suma en aspa da el mismo valor

f o n d o e d it o r ia l r o b o

PROBLEMA 3

Hace 10 años él tenía la mitad de la edad que tendrá ella cuando el tenga 12 años más de los que ella tiene. Si ella nació 4 años después que el, ¿cuantos tiene él?

Resolución:

Ella nació 4 años después de él c> Ella tiene 4 años menos que él Hace 10 años

PASADO

s*

FUTURO

PRESENTE

----- 1■Ul—

1” " v

La diferencia de ] edades permanece j

x - 10

ÉL

(

...

^ x -4

ELLA

Luego:

x

■x - 4 + 12

constante

J

W x - 10)

x - ( x - 4 ) = x - 4 + 1 2 - 2 ( x - 10) x = 24 Él tiene 24 años

PROBLEMA 4

Paola tuvo su primer hijo a los 22 años, su segundo hijo a los 25 años y 5 años después a su tercer hijo. Si actualmente (2006) la suma de las edades de los 4 es 67 años, ¿En qué año nació Paola?

Resolución:

Dentro de 5 años

x años

NACIÓ 1er HIJO

NACIÓ 2do HIJO

NACIÓ 3er HIJO

2006

Paola

22

25

30

30 + x

1er.

0

3

8

8 + x

0

5

5 + x

0

X

2do. 3er.

SUMA = 67 30 + x - f 8 + x + 5 + x + x = 67 x= 6

En el 2006 Paola tenía:

30+ 6 = 36 años

Nació en el año: 2006 - 3 6 = 1970 '

— -------------------

■/V/'.

sel^

v^sxissMsmr

Í/B R O PROBLEMA 5

Yo tengo el triple de la edad que tú tenias cuando yo tenía la edad que tu tienes, pero cuando tú tengas la edad que yo tengo la suma de nuestras edades será 56 años, ¿cuál es la suma de nuestras edades?

R esolución: PASADO YO

y X

TÚ

i----:--- 1 --- i------- í PRESENTE FUTURO 3x

v. ^ Sv

y

56-3 x \ s7 / S¡, 3x SUMA = 56

Aplicando el criterio de sumas cruzadas: °

y + y = x + 3 x - > y = 2x

o

3x + 3x = y + 56 - 3x 9 x - y = 56 2x 7x = 56 -> x = 8 YO tengo: 3 (8) = 24 años TÚ tienes: 16 años

Luego:

La suma de nuestras edades es 24 + 16 = 40 años

PROBLEMA 6

Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía el triple de la edad que tú tuviste cuando yo tuve la tercera parte de la edad que tengo, cuando tú tengas el doble de la edad que tengo, la suma de nuestras edades será 100 años. ¿Cuántos años tengo?

Resolución:

En el texto nos dicen: “... tú tenias... tu tuviste...” Con esto entenderemos que hay 2 tiempos pasado.

PASADO YO TÚ

AX

x > 7X

y

PRESENTE

FUTURO

3x 6x SUMA = 100

Aplicando el criterio de sumas cruzadas

x + x = y + 3 y - > x = 2y

F O N D O E D IT O R IA L RO D O Reemplazando:

YO TÚ

2y

3\ 2y

y

FUTURO

PRESENTE

PASADO

*

Xx '

6y r 5y

/ ^

13y

Para que las sumas cruzadas sean iguales

•

I2 y

V SUMA = 100 Para que las sumas cruzadas sean iguales Luego:

13y + 12y = 100 —> y — 4 Tengo: 6(4) = 24 años

PROBLEMA 7

Cuando el nació yo tenía la edad que tú tienes que a su vez es la edad que él tendrá cuando tú tengas 16 años y yo tenga el triple de la edad que yo tenía cuando tú naciste. ¿Cuántos años tengo?

Resolución: YO

ÉL

TÚ

N A C IÓ

N A C IS T E

______ M 0

0

FU TU RO

3 y y\

..

TÚ ÉL

PR E SE N TE

*

X

í

1 6 * ) x

o

y - 0 = 3 y - 16 —> y = 8

o

x - 0 = 3 y -x

J

2x = 3(8) -> x = 12 R e e m p la z a n d o :

ÉL

TÚ

N A C IÓ

N A C IS T E

PR E SE N TE

YO

8 X ^CD

TÚ

0

'

^

FUTURO

12

ÉL

Aplicando el criterio de sumas cruzadas yo tengo 20 años

PROBLEMA 8

Cierto día del mes de julio del presente año (2006) en un aula de 45 alumnos, se

sumólos años de nacimientode todos' se sumaron los resultados obtenidos en cada casoy el resultado final fue 90250 sumó las edades de todos y luego se

¿Cuántas personas aún no han cumplido años hasta ese día?

WmBBmm

libro

R eso lu ció n : JULIO 2006 AÑO DE NACIMIENTO

EDAD

Ai

el

A2

e2

A3

e3

A 45

e45

1o 2o 3o 0 . LO ■ sf

SA

+

Se

NOTA“S" Si una persona ya cumplió años

ANO DE NACIM. + EDAD = AÑO ACTUAL

Vamos a suponer que todos ya cumplieron año: AÑO DE n a c im ie n t o

1° 2o

EDAD

Al

+

el

= 2006

A2

+

e2

= 2006

3o

A3

+

e3

= 2006

45°

A 45

+

e 45

= 2006 90270

Entre el resultado supuesto y el dato del problema hay una diferencia de 90270 - 90250 = 20 esto significa que son 20 personas que aún no han cumplido años.

PROBLEM A 9

Resolución:

Un alumno nació en el año 19ab y en el año 1980 tuvo “a + b” años. ¿En qué año cumplió “2a + b” años?

®

Año de nacimiento:

19ab

o

En 1980 tuvo:

“a + b” años

1980 - ( a + b) = 19ab 1 9 8 0 -( a + b) = 1900+ 1 0 a+ b 8 0 = l i a + 2b

i w m m m m 0 ¡y

i !> a = 6

b= 7

FOIYJDO ED ITORIAL R O D O Año de nacimiento:

Luego: o

1967

Cumplió 2a + b = 2 (6 ) + 7 = 19 años en el año 1967+ 19 = 1986

PROBLEMA 10

Leslie en el mes de enero sumó los años que tiene con todos los meses que ha vivido, obteniendo como resultado 230. ¿En qué mes nació Leslie?

Resolución:

EN ENERO EDAD = x años y meses AÑOS QUE TIENE

MESES VIVIDOS

v---- V---- ' '---- V---- ' x + 12x + y = 230 13x + y = 230 13x + y = 13(17) + 9 x — 17 y = 9 EDAD = 17 años 9 meses o

Leslie tiene 17 años 9 meses, entonces dentro de 3 meses cumplirá 18 años.

PROBLEMA 11

o

Si estamos en enero dentro de 3 meses será Abril.

/.

Leslie nació en Abril

Cuando tú tengas lo que yo tengo, tendrás lo que él tenía cuando tú tenías la tercera parte de la edad que tienes y yo tenía la tercera parte de lo que el tiene. Si lo que él tiene es 5 años más de lo que tendré cuando tú tengas lo que ya te dije, ¿cuántos años tengo?

Resolución:

PASADO YO

z ---------- V - _ X X

TÚ y ^ ÉL

PRESENTE

X


x = 2z

FUTURO 3z - 5 X

LIBRO R e e m p la z a n d o PASAD O

PRESENTE

FU TU RO

z

2z

3z - 5

YO TÚ

\ X

3y

X

3z

y 2z

ÉL

2z

_

y + 3z = 2z + 3y —> z = 2 y

R ee m p la za n d o : PASADO YO TÚ

N x y

ÉL

FU TU R O

PRESENTE

/

>
V2

vx- v 2

Un tren demora 3 minutos para pasar delante de un observador y 8 minutos para

Ejemp o.

atra vesa r com p leta m en te un túnel de 250 m de lon gitu d. C a lcu le la v e lo c id a d d el tren.

Para que el tren pase delante del observador la distancia que debe recorrer en su propia longitud.

. min t—3min E1 va a recorrer 250 m Sm¡ por ,0 tanI0 su velocidad ser¡¡.

250m 5min

= 50 m/min

EOñfDO EDITORIAL RODO

1.

Un

m ó v il viaja

7.

con una rapidez de

En el siguiente gráfico, los m óviles

30 m/s. ¿Qué distancia recorrerá en 20

pasan al m ism o tiem po p or los puntos

segundos?

indicados. ¿Al cabo de qué tiem po el m óvil 1 alcanzará al m óvil 2?

Rpta. 2.

25 m/s

40 m/s

( ) v x

D os m ó v iles separados 100 m, parten sim u ltá n ea m en te uno al encuentro del o tro

con

v elo cid a d es

constantes

■900 m-

de

15 m/s y 25 m/s. ¿Después de cuánto

Rpta.

tie m p o están separados 20m p or se­ gunda vez?

Los autos A y B de 10 m de lon gitu d van

R p t a .:......................................

a 10 m/s. Si un ciclista se encuentra con

3.

P ep ito ha calculado que caminando a

el segundo lu ego de 4s de haberse

15 m/s dem ora en ir de su casa al

encontrado con el p rim ero. H a lle su

c o le g io

rapidez.

40

segundos.

¿Cuál

es

la

distancia de su casa al colegio

0 -€ >

Rpta. •40 m-

4.

Un cam ió n e m p lea 8 segundos en p a­

Rpta.:

sar d ela n te d e un observador y 38 se­ gu n d o s en reco rrer una estación de 120m d e lon gitu d . H alle la longitud

M ijael sale de su casa con una ra p id ez

d e l cam ión .

de 40 m/min. Si su padre sale d iez

Rpta.:

m inutos

después

dirección,

5.

con

y

una

en

la

ra p id ez

m ism a de

Dos m óviles pasan al mismo tiem po y en

m/min, ¿al cabo de cuánto

sentidos contrarios. Uno va a 12 m/s y el

M ijael será alcan zado p or su padre?

50

tiem p o

otro a 18 m/s. ¿Al cabo de que tiem po

Rpta.:

estarán distanciados 1500 metros?

Rpta.:

10. Si lu ego de 12s los m ó v iles estarán separados 20 m. H alle la ra p id ez d e B.

D os m ó v iles pasan al m ism o tiem po ,

___

A

—

'-r,

un o en el punto A con rapid ez 25 m/s y el o tro p o r el punto B con rapid ez 20

32m/s

'v

m/s, uno al encuen tro del otro.

'3 2 m

Si la distancia entre A y B es 1800

40m

m etros, ¿al cabo de cuánto tiem po se en con tra rán ?

IB

R pta.:

Rpta.:

213

"

L ÍB H O

PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEM A 1

M ija e l ha calcu lad o que si corre a 10 Kin/h lle g a ría a su casa a la 1 p.m ., p ero si c o rre a 15 Km /h lle g a ría a las 11 a.m. ¿Con qué ra p id ez d eb e correr para lle g a r e x a cta m e n te al m e d io día?

R esolución:

S ea “V ” la ra p id ez para lle g a r al m ed io d ía y “ t” el tiem p o que se d em ora. Casa

1---------------------- v t ----------------------- 1

10 (t + 1 )----------------- 1

áfico;

15 ( t — 1) = 10 ( t + 1)

D el gr

t= 5

Tam bién :

V t = 1 0 ( t + 1)

R eem p la za n d o :

5V = 60 V = 12 La ra p id ez es 12 Km/h.

PROBLEMA 2

Un m ó v il reco rrió 200 Km con velo cid a d constante. Si h u biera v ia ja d o con una v e lo c id a d m a y o r en 2 Km/h, hubiera d e m o ra d o 5 horas m enos. ¿En qu é tiem p o re co rrerá 240 Km?

Resolución:

D iga m o s qu e h izo el reco rrid o con v e lo c id a d “ V ” y d e m o ró un tie m p o “ t” .

'S i hubiera viajado'' con una velocidad vm ayor en 2 km/h ,

EOIYDO EDITORIAL RODO Se o b s e rva que:

V t = 2 00

->

( V + 2 ) ( t - 5 ) = 2 00 ->

CD-C2): R es o lvie n d o :

200 V

200 t - ----V

...d )

200 t - 5 --------- .. ....(2 ) V + 2

200 _ 5 V + 2 _

V = 8

E ntonces la v elo c id a d del m ó v il es 8 Km /h N o s p regu n tan en qué tiem p o recorrerá 240 Km. 240km tiem p o = ----------8 Km/h

P R O B LE M A 3

= 30h

C o q u ito qu iere calcular la distancia entre su casa y el c o le g io , ob serva qu e si cam in a a 6 m/s d em ora 4 segundos más que si cam ina a 8 m/s. ¿C uál es la d istan cia entre su casa y el colegio ?

R e so lu c ió n :

D iga m o s que cam inando a 8 m/s d em o ra “ t” segundos y la distan cia en tre la casa y el c o le g io es “ d ” m etros.

D el g rá fic o :

(l)- (2 ):

La distancia es 96 m

PROBLEMA 4

D os b a lle n a s A y B n a d a n ju n ta s e n la m is m a d ir e c c ió n am b a s a 6 K m /h . A l a s 9 :0 0 a.m . A in c r e m e n ta su r a p id e z a 10 K m /h y se a le ja d e B p e r o al c a b o d e c ie rto tie m p o v o lt e a y se e n c u e n tra c o n B a las 9 :4 5 a.m . ¿ A q u é h o ra A d io la v u e lta ?

Resolución:

D ig a m o s q u e c a m in a n d o a 8 m /s d e m o r a “ t ” s e g u n d o s y la d is ta n c ia e n tre la casa y e l c o le g io es “ d ” m etro s.

6 K m /h

9 :0 0

S e e n c u e n tra n

6 K m /h

9 :4 5

Se o b serva qu e d esde qu e se sep araron hasta qu e se e n c o n tra ro n h an tra n sc u rrid o : 45 m in = — h para am bas. Entonces:

El re c o rrid o de B es:

Km 3 6 -----x — h = 4 ,5 K m h 4

El re c o rrid o d e A es:

1 0 ^ ^ x — h = 7 ,5 Km h 4

V o lv ie n d o al grá fico : 9:00

9: 45

5t = 45 min t = 9 m in En el g rá fic o se observa qu e A d io la vu elta a las

9:45 - 1= 9:45 - 9 min = 9:36

FONDO EDITORIAL RODO PR O B LE M A 5

U n ciclista va de la ciudad A hasta la ciudad B, d iv id ie n d o su re c o rrid o en tres tram os iguales. El p rim er tram o lo recorre con ra p id ez 60 Km/h, el segu n d o tram o, con 30 Km/h y el tercero, con 20 Km/h. H alla r la ra p id e z m e d ia d e l ciclista.

R eso lu ció n :

D igam os que el prim er tram o lo recorre en un tiem p o de ‘ t

horas, en ton ces el

p rim er tram o m ide 60 —-— x t h = 60t Km. h V olvam os al gráfico teniendo en cuenta que p or d ato los tres tram os son igu ales.

A h o ra recuerda que:

R ap id ez m edia =

R ec o rrid o total tie m p o total

d ■a a1 8 0 t Km 0 _ Km R apidez m edia = -------------= 3 0 -----6 th h

PROBLEM A 6

Un tren cruza delante de un poste en 10 segundos y un túnel d e 300 m d e la r g o en 25 s. ¿Cuál es la longitu d del tren?

Resolución:

Sea L la lon gitu d del tren y representem os con el punto P a la p arte p o s te rio r d el tren.

f h p g..nn n _

la

Vt t t *

Si el tren cruza d elan te d el poste en 10 s, qu iere d ec ir que P re co rre L en 10 s P

Si e l tren cruza el túnel en 25 s, qu iere d ec ir qu e P reco rre L + 300 e

en 25 s.

217

S&Jfe’F'1i

L + 300 en 25 s. 25L = 1 0 (L + 3 0 0 ) L = 200 La lon gitu d d el tren es 200 m

PROBLEMA 7

D os trenes van p o r vías paralelas en sen tido con trario, el p rim e ro con ra p id e z 36 Km /h y el segu n do con 54 Km/h. Un pasajero sentado en el p rim e r tren observa qu e e l segu n do d em o ra en pasar p o r su costado 6 segundos. H a lle la lo n g itu d d el segu n d o tren.

R esolución:

D e b id o a que la ra p id ez está en Km/h y el tiem p o está en segu ndos, d eb em o s cam b iar la ra p id ez a m/s. 36

54

Km h Km h

5 _^ m x — = 10 — 18 s 5 x — = 15 — 18 s

El tie m p o que d em o ra el segundo tren en pasar d elan te del p asajero (6 segu n d o s) e m p ie za cuando ve la parte delantera del segundo tren. 10

m/s

Sea L la lon gitu d del segundo tren y represen tem os con P a la parte p o s te rio r de este tren. Para qu e el segu n d o tren term in e de cruzar d ela n te del pasajero, este y el p u n to P d eb en encon trarse, y de acuerdo al dato del p ro b lem a el tiem p o qu e d e m o ra ro n en en co n tra rse fu e d e 6 segundos. Entonces: ^(encuentro) ~

77

77 U pasajero) + V ( Punto P)

= 6s 1 0 — + 15 — s s L = 150 m

218

= 6s

EO/YDO EDITORIAL RODO PROBLEMA 8

Un pad re y su h ijo viven en la m isma casa y trabajan en la m ism a fábrica. El h ijo va d e la casa a la fábrica en 2h m ientras que su padre lo hace en 6h. Cierto d ía el h ijo sale d e la fábrica con dirección a su casa en el m ism o instante que su padre sale de la casa con d irección al trabajo, ¿al cabo de cuánto tiem po se encontrarán?

Resolución:

Padre Se observa que para un m ism o recorrido el padre d em ora el triple que el hijo. Sea “ t” el tiem po que transcurre hasta el encuentro.

Para un m ism o reco rrid o el padre d em o ra el triple que el hijo. De acuerdo al prim er gráfico, en el segundo gráfico: t + 3t = 6 h. t = 1,5 h

PROBLEM A 9

Laura llega aun superm ercado en el cual h ay una escalera au tom ática qu e lle va al segu n do piso. Si se para sobre la escalera llega al segu n do piso en 80s, p ero si cam ina sobre la escalera llega al segundo piso en 32s. Si Laura está en el segu n do piso y baja cam in an do sobre la escalera, ¿en qué tiem p o llega rá al p rim er piso?

Resolución!

Las escaleras autom áticas se m ueven con cierta rapid ez, así que: V E = R apidez de la escalera. V L = R ap idez de Laura. e = recorrido de la escalera para lle g a r al segu n do piso.

Cuando se para sobre la

Cuando

camina

sobre

Cuando baja caminando

escalera solo interviene la

la escalera se suman las

sobre la escalera se restan

ra p id ez de la escalera

e = 80 V E

80 VE = 3 2 (V l + V e )

sovE = t(|vE- v E) VF 80 V F = t x —E-

E

2

t = 160 D em ora en bajar 160 s = 2 m inutos

PRO BLEM A 1 0

U na persona ubicada entre dos m ontañas em ite un grito y escucha el p rim e r eco a los 3 s y el siguiente a los 3,6 s. ¿Cuál es la distancia entre las m ontañas?

Resolución:

El eco se produ ce cuando el sonido rebota y regresa al lu gar d on d e salió. ponido = 340111/3 El sonido en ir y

El sonido en ir y

F O N D O EDITORIAL RODO

/ dj = 340 x 1,5

d 2 = 3 4 0 x 1 ,8

dx =510

d 2 = 612

^Distancia entre^

= 510 + 612 = 1122

v las montañas ,

La distancia es 1122 m.

•y' P R O B LE M A 11

's-"

x-,>\" '

Un ciclista da una vuelta completa a una pista circular en 40 segundos. Un segundo ciclista recorre la pista en sentido contrario y se cruza con el primero cada 15 segundos. ¿Cuántos segundos emplea el segundo ciclista en dar una vuelta a la pista?

1 vuelta en 40s

R esolución:

Trabajem os en un gráfico equivalente para mayor comodidad. 1 vuelta

Luego:

15

25 x = 24

El segundo ciclista em plea 24 s.

PRO BLEM A

12

D esde cierto lugar de un río, un bote parte río arriba y en dos horas recorre 40 Km al cabo del cual se m alogra el motor. El m otor es reparado en inedia hora y el bote continua río abajo y al cabo de 3 horas el bote se encuentra a 85 Km más allá del

lugar de partida. Hallarla rapidez de la corriente del río. -

LIBRO Resolución:

Sea V Bla rapidez del bote. V R la rapidez del río. Ir río arriba es ir en contra de la corriente del río. Ir río abajo es ir a favor de la corriente del río.

85 + 4 0 - 3 ( V b + V r ) + ^ -

De (2 ):

II K5 o

2 (V b - VR) = 40 -+

po

Del gráfico:

1

río abajo se suman las rapideces

... (1)

... (2 )

3V r + 7V r = 125 x B 2 \ (- )

(1 ) x 3:

3Vb - 3V r = 6o

y

II H-* O

..'* •' I.;.- ,

Ana y Brenda están en orillas opuestas de un lago em piezan a nadar la una hacia la

.

Cuando se cruzan por prim era vez están a 60 m de la orilla izquierda, continúan

' •'

nadando, llegan a las orillas opuestas, vuelven inm ediatam ente y se cruzan por

Í a V . V*

segunda vez a 40 m de la orilla derecha, H allar el ancho del lago.

i'

...

.. . ..

FOND O EDITORIAL ROD O R esolu ción :

Sea “ L ” el ancho del lago. ler. encuentro

entre las dos

1U 1 1 1 ------- 1-------- ______ |_____ 1--------- 60--------- ------- 1-------- — L - 6 0 --------------1 1

han recorrido el ancho del lago.

2do. encuentro entre las dos han recorrido dos veces el ancho del lago. ■L - 40-

-40-

Si en el segundo caso entre las dos han recorrido el doble d el prim er caso, entonces podem os afirm ar que cada una ha recorrido el doble de lo que recorrió en el p rim er caso. Para Ana:

L - 6 0 + 40 = 2 (6 0 ) L = 140 El ancho del lago es 140 m

PROBLEM A 14

Un ciclista parte de A con dirección a B, al m ism o tiem po que dos peatones parten de B en sentidos opuestos. El ciclista los encuentra a uno en C y al otro en D. Calcule la distancia AB, sabiendo que los dos peatones m archan a la m ism a ra p id ez constante, la rapidez del ciclista es 4 veces la de les peatones y la distancia CD es 16 Km.

Resolución:

Según el problem a los peatones tienen la misma rapidez y el ciclista el cuádruplo de dicha rapidez. Entonces para tiempos iguales el ciclista recorre el cuádruplo de lo que recorre cada peatón.

D el gráfico:

AB = 5e

En el gráfico se observa que en el tiempo “t," el ciclista ha recorrido 16 Km (p o r dato CD = 16 Km), entonces en ese mismo tiempo el 2'10peatón ha recorrido 4 Km (recuerda el análisis inicial).

..." ■ ■■ £ ,m n o T a m b ién :

2e + 4 Km = 16 Km e = 6 Km

Luego: AB = 5 (6 Km ) = 3 0 Km.

PR O B LE M A 15

A , B y C p articip an en una carrera donde A les da una ventaja de 40 y 24 metros resp e ctiva m en te. Si las velocidades de A, B y Cson 10; 6 y 8 m/s respectivam ente y la carrera fu e gan ada p o r A cuando C le llevaba una ventaja de 14 m a B, ¿a qué d istan cia d e A estaba C en ese instante?

R e s o lu c ió n :

D ig a m o s qu e A lle g ó a la m eta (ga n ó la carrera) en “t” segundos (e l tiem po es el m is m o p ara los tr e s ). G ra fíq u em o s la situación: t

R ecu erd a:

e = V x t

D e l g r á fic o :

8t = 16 + 6t + 14 ->

T am b ién :

lO t = 24 + 8t + x

2t = 30

t = 15

x = 2 t-2 4 x = 2 (1 5 )- 2 4 x = 6 La distancia de C hasta A es 6 m.

P R O B L E M A 16

Un au to qu e viaja con una rapidez de 10 m/s se encuentra a 200 m detrás de un ciclista que viaja a 5 m/s. Si se desplazan en la misma dirección, ¿después de qué tie m p o e l au to estará a 200 m delante de Ja m oto?

Sea “ t” el tiem p o qu e debe transcurrir para que el auto este 20 m delante de la R e s o lu c ió n * ' m o to .

\

FONDO EDITORIAL RODO

Del gráfico:

lOt = 200 + 5t + 200 t = 80 El tiempo es 80 s.

PR O B LE M A 17

Un hombre rema 75 Km río abajo empleando el mismo tiempo que em plea en rem ar 30 Km río arriba. Halle la rapidez con la que rema el hombre, si la rapidez de la corriente del río es 12 Km/h.

^r.

Resolución:

~

•.X

- A

í.f^i,. »afrl

v ia jan e n el m ism o sentido, com o se m u estra en el gráfico, a 2000 m de distancia se en cu en tra un árbol. ¿Q ué distancia h a b rá recorrido el auto m ás lento h asta el instante en qu e el árbol equidista de los 2 autos?

Resolución:

En el gráfico del enunciado tenemos las condiciones iniciales, ahora analizamos

En el gráfico observam os tiem pos iguales vL _ d I _ 4 0 v 2 d 2 60 di 4 —— = — —> d2 6

d x = 4 k ; d 0 = 6k

D el gráfico:

6k - 4 k = 2x —> k = x

A d e m á s:

4 k + x = 2000 - » 5k = 2000 k = 400 El auto m ás lento recorre 4k = 1600 m

F O N D O E D IT O R IA L R O D O PR O BLEM A 22

Todos los días Silvia sale de su casa a la misma hora, va en bicicleta a su colegio a velocidad constante, llega a las 8 a.m. Ayer duplicó la velocidad de costumbre y siguiendo la misma ruta de todos los días llegó a las 7:30 a.m. ¿A qué hora habría llegado si en vez de duplicar su velocidad la hubiera triplicado, siguiendo la misma ruta?

R eso lu c ió n :

3V

- = — = 20min. 3 3

Llega 40 min antes de lo habitual. Llega a las 7: 20 a.m.

PROBLEM A 23

D os ciclistas salen simultáneamente del punto A hacia el punto B, desplazándose en línea recta y cada uno con velocidad constante. El punto A dista 224 Kilómetros de B. El prim er ciclista recorre 2 Kilómetros menos que el segundo ciclista en una hora y éste últim o llega 2 horas antes que el otro al punto B. ¿Cuál es la velocidad del prim er ciclista?

.

Resolución:

t= t- 2= 2=

V = 14

224 V - 2 224 224 V

224 V- 2

PROBLEMA 24

U n avión provisto de un radio de 60 Ion de alcance, parte del Callao al encuentro de un v ap or cuya velocidad es la quinta parte de la suya (avión). C u an do sus m ensajes alcanzan al vapor, responde éste que llegará al Callao dentro de 15 horas. El avión regresa inm ediatam ente y puede anunciar la noticia al C allao por m edio de su radio cinco horas después de su partida del C allao. D eterm inar la velocidad del vapor.

Resolución:

5V t = 60 + 5 V ( 5 - t )

5Vt + 60 = 15V

V t = 12 + V ( 5 - t )

Vt + 12 = 3V

2 V t = 12 + 5V

Vt = 3 V - 1 2

(II)

en

(I):

2(3V- 1 2 )

...(II)

= 12 + 5 V

V = 3 6 k m /h

P R O B LE M A 2 5

Joaquín cam ina en form a paralela a una autopista de carrera y se da cuenta que cada 12s se cruza con un auto y cada 36 s lo alcanza otro. Sabiendo que los autos viajan a rapideces iguales y salen a un m ismo intervalo tiem po de la línea d e partida. H alle dicho intervalo.

FONDO EDITORIAL RODO

R esolución:

Joaquín, cada 12s se cruza con un auto:

T

D e la N ota “S’

V,

12

......a )

Joaquín cada 36s lo alcanza otro auto: Punto de alcance

"T

Vp

Tam bién: igu alan d o

3 6 -T

VÁ" (I) y

(II):

36

(II)

T -1 2 _ 3 6 -T 12 “ 36 T = 18 El intervalo de tiempo es 18s.

PROPUESTOS 1.

El tram o de “A hacia B” D iana lo recorre con

5.

Leslie llega a un centro comercial donde hay

una rapidez de 70 Km/h y en el retorno a 30

una escalera mecánica que lleva al segundo

Km/h. Si todo el viaje lo hizo en 20 h. Hallar

piso. Cuando Leslie se para en la escalera

el espacio total recorrido.

llega al segundo piso en 80 s, pero si camina sobre la escalera en movimiento llegaría en

A ) 420 Km

B ) 540 Km

D ) 720 Km

C) 600 Km

32 s. Si Leslie está en el segundo piso y baja

E) 840 Km

caminando por la escalera, en movimiento. ¿En cuánto tiempo llegará al primer piso?

2.

D os autos pasan al mismo tiempo por el punto A y en el m ismo sentido, la rapidez de

A ) 2 m in 4 0 s B )2 m in 3 0 s

C )2 m in 2 0 s

uno de ellos es 20 m/s y la del otro es 30 m/s.

D ) 2 min 50 s

E) 2 min 10 s

A 500 m de A hay un árbol. ¿Después de cuánto tiem po los autos equidistarán del

6.

árbol?

Todos los días sale de A hacia B un auto con rapidez de 80 Km/h; este cruza siempre a las 1 a.m. con un ómnibus que viene del B con

A ) 10 s

B ) 15 s

D ) 25 s

C) 20 s

una rapidez de 70 Km/h. Cierto día el auto

E) 30 s

que sale de A encuentra m alogrado al ómnibus a las 12:45 p.m. ¿A qué hora se

3.

U n tren tarda 7 segundos en pasar delante

malogró el ómnibus?

d e un observador y 27 segundos en cruzar un puente de 300 m de largo. ¿Cuál es la

A ) 9:00 a.m.

rapidez del tren?

D ) 10:00 a.m.

A ) 10 m / s

B ) 16 m/ s

D) 18 m/s

4.

C ) 15 m/s E) 12 m/s

A le x va de una ciudad ‘A” a otra “B” con una rap id ez de 30 Km/h para llegar a las 4 p.m. C u a n d o ha recorrido la séptima parte de su

7.

B) 8:40 a.m.

C) 9:30 a.m. E) 9:40 a.m.

Una alumna sale todos los días a las 2 p.m. de la academia y justo en ese instante llega su padre a recogerla en su auto. H oy día la alumna salió 15 minutos antes y decide ir al encuentro de su padre, al encontrarse con su padre sube al auto y se dirigen a su casa

camino reduce su rapidez en —, llegando 3

h oras m ás tarde. H alle la distancia entre las

p) 240 Km

¿Cuánto tiem po estuvo cam inando la alumna?

dos ciudades.

A ) 200 Km

llegando 10 minutos antes de lo norm al.

B) 210 Km

C) 220 Km

A) 12 min

E) 230 Km

D) 10 min

B) 20 min

C) 25 min E)16m¡n

8.

U n c a z a d o r p o k em ó n observa la técnica del im p a c tru e n o d e Pikachu y después de un tie m p o “t”, escucha el trueno; siendo C la ra p id e z d e la lu z y V la del sonido. ¿A qué d ista n c ia d e l h o m b re se produce el rayo?

12.

Dos automóviles pasan al mismo tiempo por un mismo punto en el mismo sentido, uno con rapidez 40 Km/h y otro con 50Km/h, después de m edia hora por el mismo punto y en el mismo sentido pasa por un tercer automóvil que alcanza a uno de los primeros 1,5 horas más tarde que al otro. H allar la rapidez del tercer automóvil.

A ) 75 Km/h D ) 80 Km/h A) D)

tV C

m

tVC

D) --------

--------

v+c

C)

c-v

t (C -V )

E)

v +c

t (C -V ) 13.

ve

A ) 1 2 m in D ) 11 m in

B jlO m i n

C) 72 Km/h E) 64 Km/h

Al recipiente ingresa agua a razón constante de 600 cm3/s, ¿con qué mínima rapidez constante debe subir la horm iga por la superficie inclinada, a partir del instante mostrado, para no ser alcanzada por el

v-c tVC

U n m arato n ista que va corriendo por ía P a n a m e ric a n a N orte, se cruza con un bus c a d a 12 m in u tos y es alcan zado p or otro bus d e la m ism a em presa cada 20 minutos. Si to d o s los buses tienen la m ism a rapidez. ¿ C a d a cu án to tiem po salen los buses de sus p a ra d e ro s ?

9.

B) 60 Km/h

C )1 5 m in E ) 14m in

A le x se d irig e en su auto a 72 Km /h hacia u n a m o n ta ñ a , d e pron to toca el claxon y

10.

e s cu ch a e l e c o lu e g o de 5 segundos. ¿A qué d is ta n cia d e la

A )800m D )840m

C ) 540 m E ) 720 m

B )600m

14.

11. S i e n el instante m ostrado se enciende la v e la , ¿ q u é rapidez p o see el extrem o de la s o m b r a e n la p a red si la vela se consum e a Pared /

r a z ó n con sta n te d e 2 cm /s?

A)

2cm

B) 3 cm C ) 4 cm

D ) E)

..

5 cm 6cm

A ) 2,5 cm/s D ) 3,5 cm/s

m o n tañ a se escuchó el eco?

20m

, 30m

B ) 5 cm/s

C ) 4,8 cm/s E) 4,5 cm/s

En una carrera de 100 Km el líder sin darse cuenta se desvía de la ruta, luego de recorrer 9 Km se da cuenta y regresa por el m ismo desvío. En el m om ento de desviarse le llevaba una ventaja de 2 Km al segundo y cuando lo vuelve a pasar está a 10 Km de la meta. ¿A qué distancia de la partida está el desvío?

A) 10 Km D) 18 Km

B) 12 Km

C) 15 Km E) 11 Km

LIB R O

U n tren dem ora en cruzar delante de un observador 8s y 24s en cruzar un puente de 800m de largo. ¿Cuál es la longitud del tren?

15.

19. En el m ismo m om ento en que el carnicero manda a su hijo a la panadería, el panadero m anda al suyo a la carnicería, los 2 avanzan

A ) 320 m D ) 360 m 16.

B ) 400 m

C )4 8 0 m E) 450 m

así el uno hacia el otro a rapidez constante. Cuando se cruzan, el hijo del carnicero ha re­ corrido 500 metros más que el otro. Para lle ­

D os personas Ricardo y Sam uel ubicados en el punto A y B respectivamente. En cierto instante Sam uel dispara una bala con una rapidez de 170 m/s (horizontalm ente) en dirección del blanco que se encuentra junto a Ricardo. Sabiendo que B escucha el disparo y 3 segundos después, percibe el im pacto con el blanco. Halle la distancia “d”

gar entonces a sus objetivos, al prim ero le quedan solamente 10 minutos, mientras que al segundo le quedan 22,5 minutos. ¿Cuál es la distancia entre la panadería y la carnicería?

A ) 1500 m

B ) 1800 m

D ) 2400 m

C ) 2000 m E ) 2500 m

20. Un alumno va a la academia todos los días en un ómnibus que viaja a 40 Km/h y siempre

A ) 1020 m D ) 900 m

B ) 1000 m

llega a tiempo, sin em bargo h oy día llegó con

C ) 1050 m E ) 1030m

un retraso de 10 minutos, debido a qué el ómnibus viajó a 30 Km/h. ¿A qué distancia

17.

S an dra pasa por ‘A” con dirección a “B” con u n a rapidez de 40 Km/h, cuando le falta re­

de la academia tom a el ómnibus?

correr — de su cam ino duplica su rapidez, A ) 20 Km

lo que le perm ite llegar a su destino con 2 horas de anticipación. ¿Cuál es la distancia e n tre ‘A” y “B ”? A ) 160 Km D ) 2 4 0 km

B ) 200 Km

C ) 180 Km E) 300 Km

B) 24 Km

D) 30 Km

21.

C )2 5 I< m E) 40 Km

Dos autos parten el mismo tiempo, uno de A y el otro de B yendo hacia el encuentro. Al encontrarse, el que salió de A ha recorrido

U n rem ero n av ega sobre unrío hacia un ' 2Ug a r qu e dista 72 Km del punto de partida y hace el viaje de ida y vuelta en 14 horas. Si el tiem po que se dem ora en rem ar 4 Km si­ g u ie n d o la corriente es el m ismo tiempo q u e se d em o ra en rem ar 3 Km contra la corriente, h a llar la rapidez con la que n a v e g a el rem ero en aguas tranquilas.

18

A ) 10 Km/h B) 12 Km/h C) 10,5 Km/h D ) 12,5 Km/h E) 15 Km/h

16 Km más que el otro, pero a partir de ese momento el que salió de B cuadruplica su rapidez y llega a A al mismo tiempo que el otro llega a B. Entonces la distancia entre A y Bes:

A) 50 Km D) 48 Km

B) 56 Km

C)54Km E) 60 Km

' f Vi”" ■* ' ''

FO ND O EDITORIAL RODO

22. El cam in o d e A hacia B tiene un tram o cuesta arriba, u n tram o en el llano y un tramo cuesta ab ajo. U n auto viaja a 60 Km/h si va cuesta arriba, a 90 Km /h si va cuesta abajo y a 7 2 K m /h si v a p o r el llano. Si el auto tarda 5 h o ras p a ra ir de A hacia B y 4 horas para v o lv e r de B hacia A, ¿qué longitud tiene el cam in o entre A y B? A ) 320 Km D ) 340 Km

B ) 324 Km

25.

dores parten juntos del mismo punto y en sentidos opuestos cruzándose al cabo de 20 minutos y 5 minutos después llega el más rápido al punto de partida. H alle la rapidez del más lento. A ) 20 m/min B ) 25 m /m in C ) 30 m /m in D ) 40 m/min

C ) 360 Km E ) 336 Km 26.

23.

En una pista circular de 300 m, dos corre­

El tren parte de la posición indicada con una rap id ez V; en el m ism o instante, parte Ronald al alcance de Silvana con las rapideces m ostradas en la figura. H alle a que distancia d e O alcanzará Ronald a Silvana, “m ” y “n” con respecto al tren.

E) 45 m /m in

U n chofer tiene que ir desde el pueblo A al pueblo B. Si conduce a una rapidez de 30 Km/h llegaría a las 3 p.m. pero si conduce a 45 Km/h llegaría a la 1 p.m. ¿Cuál debe ser la rapidez a la que debe conducir para llegar a las 2 p.m.? A ) 32 Km/h

B) 33 Km/h

D ) 36 Km/h

C) 35 Km/h E) 40 Km/h

27. U n auto sale de Cajam arca a las 5 p.m . y llega a Lima al día siguiente a las 2 p.m. Otro auto sale de Cajam arca a las 7 p.m. y llega a Lim a A) d D) d

(V + m ) m +n

B ) d C 5 iz J í)

2V + m

V+m

segundo auto alcanzó al primero?

(V + m E) d m -n

V

m -n

24. D esde A sale un

A ) 10 p.m.

un mismo extrem o de una piscina de 120 m

el segundo se m alogra y es repara­

de largo con velocidades de 1 m/s y 2 m/s respectivamente. Si cada vez que llegan a un

prim ero luego de

de haber sido reparado. Halle

extrem o no pierden tiem po al voltear,

la

¿cuántas veces se habrán cruzado, si estuvie­

ra p id ez d el p rim e r auto.

A ) 20 Km/h

B) 25 Km/h

D) 40 Km/h ni 1"¡nMfflíT

E) 3 a.m.

28. Dos nadadores parten sim ultáneam ente de

d o a l ca b o d e 2 horas, continúa con la misma 3 h oras

C ) 1 a.m.

auto con

ra p id e z d e 80 Km /h. Estando ya a 40 Km del

ra p id ez y logra alcanzar al

B) 11 p.m.

D ) 2 a.m.

auto con dirección a B 4

horas después sale de A un segundo

p r im e r o ,

al día siguiente a las 9 a.m. ¿A qué hora el

C) d ( m - n )

ron nadando durante 6 minutos? Q 30 Km/h

A) 4

E) 60Km/h

D) 8

i

B) 5

C) 6 E ) 10

L IB R O 29.

Cuando un alum no va de su casa al colegio

33.

cam inando a 60 m /m in dem ora 8 min m enos que se cam inara a 36 m/min. ¿Cuál es la distancia de la casa al colegio? A ) 600 m

B ) 720 m

D ) 800 m

C )6 4 0 m E ) 900 m

2 autos separados inicialmente com o se m uestra en la figura, justo en ese instante el sem áforo ubicado en la intersección de las avenidas Palerm o con Torre Tagle em pezó a m ostrar la luz roja p ara el auto que se desplaza en la horizontal y verde p ara el otro auto, sabiendo que al paso de la señal roja a la verde dura 1 minuto. ¿Qué distancia los separa al cabo de 5 minutos? } ^ 1 flm /c

30.

Tres autos A, B y C pasaron por un mismo punto y en el m ism o sentido. El auto A pasó a las 5 a.m. con rapidez de 40 Km/h, el auto B pasó a las 6 a.m. con una rapidez de 60 Km/h y el auto C pasó a las 7 a.m. con una rapidez 16m/s

de 55 Km/h. ¿A qué hora el auto C equidista A ) 600 m D ) 1000m

de los otros dos? A ) 7 p.m .

B )8 p .m .

D ) 10 p.m . 31.

C )6 p .m .

Pablo y Juan parten al m ism o tiem po de la ciudad A con dirección a la ciudad B distante 120 Km, la rapidez de Pablo es de 4Km/h m ayor que la de Juan. C uando Pablo llega a B regresa inm ediatam ente y se encuentra con Juan a 30 Km de B. ¿Cuál es la rapidez de Pablo?

35.

U n a lancha cuando va por el río de A hacia B, a favor de la corriente, dem ora 6 horas y en regresar de B hacia A dem ora 30 horas. U n a balsa que se deja llevar por el río de A hacia B, ¿en cuánto tiem po llegará?

U n viajero se qu eda dorm ido cuando el carro en el qu e viaja está 30 Km detrás de una m oto. A l cabo de 6 horas se despierta cuando es la rapidez de la moto, si la rapidez del carro es 75 Km/h? A ) 60 Km /h

B ) 65 Km/h

D ) 70 Km /h

32.

C ) 50 Km/h E ) 55 Km/h

U n p a d re y un hijo viven en la m ism a casa y trab ajan en la m ism a fábrica. El padre dem o­ ra 3 0 m inutos p ara ir a la fábrica y su hijo 24 m in utos.

C ie n o día el

padre salió de su casa

5 m in u tos antes que su e m p le a rá

A) 12 min D) 20 min

el h ijo

h ijo,

¿cuánto tiempo

p ara alcanzar a su padre?

B ) 16 m in

C ) 18 min E ) 15 m in

C ) 1200m E ) 1600m

34.

E ) 9 p.m.

el carro está 30 Km delante de la moto. ¿Cuál

B ) 800 m

A ) 10 h D )15h 36.

B ) 12 h

C )8 h E ) 20 h

Dos atletas están separados por una distan­ cia de 1030 m. Los dos corren al encuentro, el primero a 65 m/min y el segundo a 85 m/min. Si el primero salió 2 minutos antes que el segundo y el encuentro se produjo a las 12 del mediodía, ¿a qué hora se puso a correr el segundo atleta? A) 11:50 D) 11:48

B) 11:54

0 11:52 E) 11:40

F O N D O E D IT O R IA L R O D O

Í ':’'XA" i •C’* '•>+¿U* i?v m

H A Z . M A TEM A TIC O

a m a m

A

37. D e s d e las c iu d a d e s A y B p a rten dos ciclistas

40. U n m ó v il pasa p o r “A” a las 6 a.m . y lle g a a “ B ”

e n s e n tid o c o n tra rio al e n c u e n tro uno d el

a las 4 p.m , o tro pasa p o r B a las 7 a.m . y lle g a

o tr o , se e n c u e n tra n al cab o d e cierto tiem p o a 8 0 K m d e A , si la r a p id e z d e uno hubiera

h acia A, a las 3 p.m . Si las distan cias d e ‘A” hasta “ B ” es x y x Km . ¿ A qu é h o ra se e n c o n ­ traron p o r el cam in o?

s id o la d e l o tr o y v ic e v e rs a se h abrían en c o n ­ tr a d o

a

180 K m

d e l a n terio r encuen tro.

C a lc u le la d ista n cia d e las dos ciudades.

A ) 300 Km

B ) 3 20 K m

D ) 340 Km

A ) 11 a.m.

B ) 10 a.m .

D ) 9 a.m.

C ) 12 a.m . E ) 1 p.m .

C ) 400 Km

41. En una com petencia tom an parte tres m óviles

E ) 360 Km

A, B y C que han de desplazarse en una pista de 9600 m. A llega a la m eta con una ventaja de

38. U n c h o fer tiene que hacer un recorrido del p u eb lo A hasta el pueblo B, si conduce a una

600 m sobre B y 1 min 40s antes que C, y B llega a 1 min 20s, antes que C. Calcular la suma de las tres velocidades en m/s.

ra p id ez d e 100 Km/h llegaría a las 3 p.m. y si con d u ce a 150 Km/h llegaría a las 1 p.m. ¿Cuál sería la rapidez, si d ebe llegar a las 2 p.m.?

A ) 1 2 0 K m /h

B ) 125 Km /h

D ) 140 Km /h

C ) 130 Km/h E ) 135 Km/h

A ) 96 D ) 86

C ) 46 E ) 66

42. Un p ea tón recorre 23 Km en 7 horas, los 8 prim eros con una v elo c id a d su p erior en lK m por

39. En e l s ig u ie n te esqu em a A B = 3m y BC = 4m

B) 76

hora

a

la

v e lo c id a d

del

resto

d el

recorrido. Calcular la v e lo c id a d con la que recorrió e l p rim er trayecto.

(A B C D es un re c tá n g u lo ). A ) 3 Km/h

B ) 5 Km/h

D ) 6 Km/h

C ) 4 Km /h E ) 7 Km /h

43. Dos corredores, P ed ro y Juan p arten sim u l­ U n m ó v il re c o rre p o r el p erím etro d el rectán­

tán eam en te de una ciudad a o tra d istan te 60

g u lo , y e l o tro p o r la d ia go n a l iba y ven ía; si

kilóm etros. La v e lo c id a d de P ed ro es 4 Km

a m b o s a u to m ó v ile s tien en la m ism a rapid ez

m enos que la de Juan. D espués d e lle g a r

d e 1 m /s y p arten al m ism o tiem p o de A y D re s p e c tiv a m e n te . ¿Cada cuánto tiem p o se

Juan a la segunda ciudad, e m p ren d e in m e ­ diatam ente el via je de regreso, y se en cu en ­ tra con Pedro a 12 k ilóm etro s d e la ciu dad de

en c u e n tra n ?

llegad a. Cuál es la v e lo c id a d de Ped ro

B) 2 4 s

C )4 5 s

A ) 6 Km/h D ) 9 Km/h

B) 7 Km/h

C)

8 Km/h

E) 10 Km/h

L IB R O

44. Un autobús recorre su ruta en tres etapas iguales, usando en cada etapa una rapidez doble de la que utilizó en la etapa anterior demorando en total 21 horas. Cierto día observa que 2 /5 de lo recorrido es igual a 7/5 de lo que falta por recorrer. Cuántas horas ha viajado hasta el momento.

46. Dos ciudades A y B distan 1200 Km una de la otra. Dos vehículos salen a la misma hora uno de la ciudad A y otro de la ciudad B, diri­ giéndose uno al otro con m ovim iento uni­ form e y se encuentran en un punto M de la vía. A partir de dicho punto el que salió de A dem ora 5 horas para llegar a B y el que salió

A) 13 D) 19

B ) 15

C ) 16

de B dem ora 20 horas en llegar hasta A.

E ) 18

Calcular la distancia de M a B

45. La siguiente figura muestra un foquito en­ cendido que emerge desde 1 piso manipula­ do por un elemento mecánico a una rapidez constante, alcanzando una altura donde la sombra proyectada por el poste alcanza el punto más bajo en la pared. Halle la relación de la rapidez del foco respecto a la sombra.

A ) 200 Km

B) 300 Km

C) 400 Km E) 600 Km

D) 500 Km

49. Cuando marchaba a lo largo de la lineal del tranvía observe que cada 20 min me alcanza­ ba uno de esos vehículos, y cada 5 minutos

, - " 'pared

otro de ellos pasaba en dirección contraria.

poste

i■■< ‘

mos con rapidez constante. ¿Cada cuántos 54cm

36cm

E1 reloJ mas antiguo se

En 1641 Gahleo concibió el principio de

lasoscilaciones de un né

proyecto, pero la construcción del primer reloj mecánico de nén 1 I f

a

i j

¡ ° dcsarrollando el

Huygens en 1657, asombrando las oscilaciones rítmicas p e n d il^ '' °i i , aC,° a cabo Por campanario. s V la tlulce solemnidad del

El siglo X X ha tecnificado notablemente la industria 1 mano de obra, la robótica suplanta al ser humano, el cm nn ’ producción seriada desplazó electromecánica y la fibra óptica está a la orden

deldía o frccL n tT“n "08 n!,m éd ric aeleva a°«eem tecnolopla gía,a

L IB R O INTRODUCCIÓN Los principales aspectos que verem os en el desarrollo del capítulo serán: •

Problem as sobre campanadas

•

Problem as sobre tiem po transcurrido y p or transcurrir

•

Problem as sobre adelantos y atrasos

•

R elación entre la hora y el ángulo que form an las manecillas de reloj

.'■■-■ PROBLEMAS ■■-■ ................... .... ~>SOBRE — ■ C A M P A N A D A■S O bservem os el siguiente esquema: I o 2 o 3o 4o 5o 6o 7o 8o 9o 1 I 1 I I I I I I

campana

I

I

I

I

I

I

I

I

Campanadas Intervalos

C¡¡> 9

c^> 8

T iem po Total (8 I Seg.)

# Campanadas = # Intervalos + 1 T. Total = # Intervalos x T iem po de c/Intervalo

Ejemplo:

Un reloj indica las horas con igual número de campanas. Si para indicar las 8 tardó 21 segundos ¿Qué hora indicó cuando tardó 33 segundos?

Resolución: Si indica las 8 a.m debe tocar 8 campanas. I o 2o 3o 4 o 5o 6o 7o 8o 1 I I 1 I I I I I

I

I

I

I

I

I

21 Seg. 0

71 = 21

->

I = 3s

Supongam os que a la hora: x tardó 33seg. I o 2 o 3o 4o

I

Pero por dato:

I

x 1___ 1

I

I

T. Total: ( ( x j ^ l j ^ —

33 Seg.

( x - l ) . ¿ í = 3á x = 12 Indicó la hora 12

V'

FO ND O EDITORIAL

RODO

A l a p lic a r la re g la de 3. Se debe trabajar con los intervalos y el tiempo. C a m p a n ad as

In terva lo s

T ie m p o

8

7

21 s

x

x —1

33s

x = 12

PR O B L E M A S SOBRE TIEMPO TRANSCURRIDO Y POR TRASCURRIR P a ra e s te tip o d e p ro b lem as em plear, de m anera práctica, el siguiente esquem a: 1 día ó 24 horas Tiempo que falta transcurrir

Tiempo transcurrido

r Hora 'j que es

J

- ....

..

' ■■

N o s ie m p re se v a trab ajar sobre un día puede ser la hora, el año, el mes, etc.

Ejem plo 1:

Las horas trascurridas d el día exceden en 4 al triple de las horas que qu edan p or transcurrir, ¿qué hora es?

Resolución:

^ ______________ 1 día ó 24 horas Tiempo que falta transcurrir

Tiempo transcurrido

E n to n ces:

x - 3 (2 4 - x ) — 4 x = 19 19:00 ó 7:00 p.m

Eiem plo 2: J

¿ A d o n d e vas tan deprisa?, pregu n tó Liliana - A l tren de las seis - resp on d ió Gaby. ¿C u ántos m inutos qu edan hasta su salida? V o lvió ha p regu n tar Liliana - S ólo te p u e d o d e c ir qu e h ace 50 m inutos qu edaban 5 veces más m inutos de los que ahora qu ed an . ¿ A qué h ora ocu rrió la conversación?

Resolución:

^

50 m in + x m in = 6x m in ->

x = 10 m in

La conversación ocurrió 10 m in antes de las 6: 5:50

LIB R O PR O BLEM A S SOBRE ADELANTOS Y ATRASOS 11

*

■ -*

*• * ®

"

.

.

.

.

.

.

.

D e b e m o s te n e r p resen te, qu e p ara h a lla r el n ú m e ro d e m in u tos acum ulados en el atraso o ad elan to se a p lic a rá una re g la d e tres sim p le y te n e r p resen te el sigu ien te esqu em a: C u a n d o e l re lo j se atrasa: T ie m p o R ea l H. M arcad a = H. R eal - A traso H o ra M a rc a d a

H o ra R eal

0*

H. R eal = H. M arcad a + A traso

C u a n d o e l re lo j se ad elan ta : T ie m p o R ea l H. M arcad a = H. R eal + A d e la n to

A d e la n to H o ra R ea l

NOTA “S"

H. Real = H. M arcada - A d e la n to

H ora M arcada

________________________________

PARA RELOJES DEFECTUOSOS T am b ién d eb em os ten er en cuenta que para que un re lo j v u e lv a ha m arcar la h ora correcta n uevam en te éste d e b e adelan tarse o atrasarse 12h o 720 m in i !— A p a rtir d e las 10 a.m d e h o y lunes un relo j em p ieza a atrasarse p o r cada h ora 3

E je m p lo

m in u to s. ¿Q u é h o ra estará m arcan do e l día m artes a las 6 p.m ? T ie m p o transcurrido

R esolución:

H O R A REAL X

32 horas

6:00p.m.

fl0:00a.m . j

M artes

Lunes

Si:

Se Atrasa _ --------► 3 m in

En

lh

En

Se Atrasa --------x m in 32h

x = 96 m in < >

l h 3 6 m in (A tr a s o )

H o ra real = 6 :00 p.m. A traso = l h 36 m in

k

H o ra M arcad a = ??

v

.*. E je m p l°;

H. M arcada = 6 : 0 0 - lh 36 m in H. M arcada = 4 :2 4 p.m.

Estará marcando las 4:24 p.m.

Puse en marcha dos relojes a mismo tiempo y descubrí que uno de ellos se atrasaba dos minutos por hora y que el otro se adelantaba un minuto por hora, Cuandovolv a fijarme, el que se adelantaba marcaba exactamente una hora más que el orío ¿Durante cuanto ttempo hablan estado funcionando estos dos relojes?

242

FONDO EDITORIAL

RODO

Resolución: A : Se atrasa 2 min por hora B: Se ad elan ta 1 min por hora Eso q u iere d ecir que cada hora “ B” se le saca 3 min de ventaja a ‘A” . En lh : H ora N orm al

Reloj

®

Se atrasa

Se adelanta 1 rnirT

Reloj

®

Por hora se separan 3 min C o m o uno ya le lleva l h de ventaja al otro (es decir 600)

Ventaja lh

------ ► 3 min

xh

Ventaja ------ *- 60 min

Estaban funcionando 20 h

R ELAC IÓ N ENTRE LA HORA Y EL ANGULO FORMADO POR LAS MANECILLAS fm D EL RELOJ

X , X

.

— I o — |min

v!2,

1 división o

1 minuto o

6o

L IB R O

A n g u lo b a rrid o p o r

A n g u lo b a rrid o p o r

el h o ra rio

el m in u tero

30°

360° o

1°

12° o

60 m in 2 m in

L a re la c ió n sería: H o r a r io : a ° - » M in u te ro : 1 2 a ° o Ejemplo:

Resolución:

2 a m in

Según el gráfico mostrado, ¿qué hora indica el reloj?

U sa n d o la relación I)

U san d o la relación II)

L a h o ra es

La h ora es

2:x

2: 2a

6x°

D e l g r á fic o : gráfico se tiene:

6 x = 180 + 2 a ....(1 ) x

1 2 a = 180 + 2 a

•(2 )

a _ 2

1 0 a=180

Reemplazando (2) en (1):

6 x = 180 + 2

a = 18

x = 36

La hora es 2 : 36

• La h ora es 2:36 244

•

■':*•- >'• - . ’V ■, ■ J, .. . .

F O N D O E D IT O R IA L R O D O

E n a lg u n o s p ro b le m a s , es con venien te em p lear la siguiente fórm ula. a. C u a n d o el h o ra rio ad e la n ta al m inutero.

b. C u an d o el m inutero ad elan ta al h orario.

Es n e c e s a r io q u e e l lector, antes d e e m p le a r la fórm u la , lo d em u estre, basán dose en las re la c io n e s d a d a s a n te r io r m e n te .

NOTA usr |

*

c e rc a n a i e la m a rca de las 12 hacia la o tra agu ja en sen tid o h orario,

i

* 1 f

E l á n g u k ) q u e se d eb e con sid era r para e l uso de la fó rm u la es de la agu ja qu e está m ás

C u a n d o se v a a a p lic a r la fórm u la para h alla r e l á n gu lo en tre las m a n ecillas h a y q u e c o n s id e r a r 12 c o m o 0.

Ejem plo:

¿Q ué ángulo form an las manecillas de un reloj a las 2:38?

Resolución:

P rim e ro gra fíca rem o s, para v e r en que caso estam os.

r- NOTA “S” Hora H: M Hora 2: 38

Si pidieran el m ayor ángulo que form an las agujas a las 2:38

(3: m ayor ángulo. En e l g rá fic o , e l m in u tero ad elan ta al h orario

a = — M - 30H 2

a = — (3 8 ) - 3 0 (2 ) = 209 - 60 2 a = 1 49 °

P=

360 - 149

P = 211°

L IB R O

1-

El c a m p a n a rio d e una iglesia toca seis ca m p a n a d a s

en

10

segundos,

7.

¿en

cam panadas

c u á n to tie m p o tocará 12 campanadas?

en

18

segundos,

¿en

cuánto tiem po tocará 15 campanadas?

Rpta.:

2.

El cam panario de una iglesia toca 10

Rpta.: ...

El tie m p o transcurrido del día excede en 6 horas al tiem p o que falta para

8.

H allar “ a ” :

a c a b a r el día. ¿Q ué hora es?

R pta.:

3.

........................................

S on las 10 a.m . y un reloj em pieza a a d e la n ta rse 3 m inutos cada hora.¿Qué h o ra m a rca rá este reloj dentro de seis h oras?

R pta.:

4.

¿ Q u é á n g u lo fo rm a n las agujas de un r e lo j a las 8h 2 0 m in ?

__

R pta.: 5

¿ A qu é h o ra en tre las 5 y las 6, las m a n e c illa s d e l re lo j form an un ángulo re c to p o r p rim e ra v e z ?

R pta.:

6.

Rpta:

Siendo las 6 :0 0 a.m. un reloj empezó a adelantarse

3

minutos

cada

10. Si los ángulos form ados p or las agujas

hora.

de un reloj están en relación de 1 a 5.

¿Cuántos minutos de adelanto tendrá a

¿Cuál es la m edida del m en or án gu lo?

las 4:00 p.m.?

R pta:.................

246

FONDO EDITORIAL RODO

¡PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEM A 1

U n reloj indica la hora con igual núm ero de cam panadas. Si para indicar que son las 4:00 dem oró 5s, ¿qué hora habrá señalado en otro m om ento el cual de m oró 1 Os p ara indicar la hora?

R esolución:

U n a m an era práctica de desarrollar este tipo de problem as es em pleando el siguiente cuadro.

i

H ora

N ° cam panadas

4

4

X

X

Tiem po total

N ° Intervalos 3 x - 1 ^

^ ^

5 10

O

3x10 = ( x - l ) . 5 x= 7 La hora que habrá señalado es 7:00 horas.

PROBLEMA 2

U n reloj indica la hora con tantas cam panadas con el d oble del núm ero de horas que indica. Si a las 5 dem oró 18 segundos, ¿qué hora será cuando para indicar la hora dem ore 42 segundos?

Resolución:

En la tabla ubicam os los datos del problem a. -1

H ora

N ° cam panadas

5

10

X

2x

Tiem po total

N ° Intervalos 9

2 x -l"

42 O

9 .(4 2 ) = 18. ( 2 x - l ) x = ll Será las 11 horas.

PROBLEM A 3

El reloj de Valeria toca (a 2 - c2 + 1) cam panadas en (a + c) seg. ¿Cuánto tardará en tocar (a - c + 1) cam panadas? (a * c)

Resolución:

- 1

N°

N°

T ie m p o

C am panadas

In terva lo s

T o ta l

a2 - c 2 \

y' a+ c

a2 - c2 + 1

a -c

a -c + 1

^

"

X

O ( a - c ) ( a + c)

x = l

PROBLEM A 4

E l ca m p a n a rio d e una iglesia estuvo tocan d o durante 21 s. Si se escucharon tantas cam panadas c o m o 10 veces el tiem p o que h a y en tre cam p an ad a y ca m p a n a d a .

¿C u an to

tie m p o

em p leará

ese

cam p an ario

p ara

to c a r

11

cam p an ad as?

Resolución:

21 seg.

1 2 3,c 4,c 1c .c Xs

10x„

Xc

Xs

Tiempo total = N ° Intervalos x tiempo de c/intervalo i

Dato:

21 =

(lO x - 1 )

x

P_ JNW IA

x

J

* T iem p o que hay entre lO x

- x - 21 = 0

i

5x • » . : , . * + 7 1 2x * ' '* * * • - 3

j

x = -7 / 5 x = 3/2

cam panada y campanada: x * N ° de campanadas: lO x

T ie m p o total para _ 11 cam panadas

Qx 3

* N° de intervalos:

2 lO x -1

T ie m p o total para 11 cam panadas

- ^ seS‘

'

. .....

FONDO EDITORIAL RODO PROBLEM A 5

La m ita d d e l tie m p o transcurrido d el día es igu al a la sexta parte de lo qu e falta transcurrir. ¿Q u é h ora es?

R esolución:

24 h

D e los datos:

(2 4 - x )h T. transcurrido

T. falta transcurrir

x _ 24 - x

P la n tea n d o:

#

7 " 1

3

3x = 24 - x 4 x = 24 x = 6

Otra form a:

P or p roporcion es: 24 h

8x3 H ora: 6 (tran scurrido)

PROBLEMA 6

Si lo qu e fa lta para las 4 p.m . es igu al a la m itad de lo qu e faltará para las 4 a.m . de m añ an a d en tro d e 4 horas. ¿Qué hora es?

HOY

Resolución:

M ANANA

HORA j ------------------ o_______

N

- o

D e los datos:

4h

8h

I----- Si_________ ' l i i -i------------- -— 16 24 4 (4 p .m .) (4 a.m .) 2x h

D e l g rá fic o se observa: x + 8 + 4 = 4 + 2x 8 = x

La h ora se encuen tra 8h antes de las 16h es decir: 1 6 - 8 = 8 a.m.

249

PROBLEMA 7

D e n tro d e 10 m inutos, faltará para las 6:00 p.m. tantos m inutos com o el triple d e l n ú m ero d e m inutos que había transcurrido desde las 2:00 p.m. hasta hace 3 0 m inutos. ¿Q u é hora es?

R esolución:

Tenem os el siguiente gráfico:

T ie m p o transcurrido d esde las 2 p.m.

dentro de lOmin

hace 30min

Tiem po que falta para las 6 p.m. dentro de lOmin

hasta hace 30min

6:00 p.m.

2:00 p.m. _Tiempo de referencia 4h < > 240 min D el g rá fico , igualam os: x + 30 + 10 + 3x = 240 min 4 x = 200 min x = 50 m in

Reemplazamos en el gráfico:

PROBLEMA 8

Resolución:

H ora:

2 :0 0 p .m .+ 80m in

H ora:

2:00p.m . + lh 2 0 m in

H ora:

3:20p.m .

Hace ab horas que se inició el día de hoy y dentro de ab horas faltarán 4 h para finalizar el presente día. ¿Qué hora será dentro de a + b horas, si es impar?

D e los datos:

24 h r-------------------------- *--------------------- ---- s

FONDO

EDITORIAL RODO Se d ed u c e:

ab + a x b = 20 10a + b + ab = 20

l e r caso (a = 1 ):

10 + 2b = 20 -> b = 5

c£> H O R A : 15h, d en tro de 6h (a + b ) = 21 h (IM P A R )

2 d o caso (a = 2 ):

y

20 + 3b = 20 - » b = 0

H O R A : 20h, d en tro de 2h (a + b ) = 22 h (P A R ) x

Será 21 h

~W' PROBLEM A 9

En 1988 antes d el m e d io d ía D ora se dio cuenta que las horas transcurridas d e l año ex c e d ía n en 500 horas a las horas que faltaban transcurrir. In d ica r la fech a y la h o ra en que D ora h izo dicha observación.

R e so lu c ió n :

366 días (a ñ o bisiesto) JH O R A ^

„

O §

x d ías T. transcurrido

Planteando:

(3 6 6 - x ) días T. falta transcurrir

2 4 x - 2 4 (3 6 6 - x ) = 5 00

NOTA usr x =

2321

12

5

= 193— días

12

1988 añ o b isiesto O y a qu e : 88 = 4

El tie m p o transcurrido desde el inicio es: 1 día 5 193 días — (2 4 h) 193 días 10 h

E 31

F

M

A

M

J

J

29

31

30

31

30

11

193 días

Las lOhson del 12 de Julio

12 de julio

PROBLEMA 10

¿A qué h ora entre las 6 y las 7 las agujas de un reloj form an un ángulo de 60° p o r prim era vez?

Resolución:

V eam os los dos casos en que las agujas form an un ángulo de 60° entre las 6 y las 7.

12

2 caso

C om o nos piden la prim era v e z que las agujas form aron un ángulo de 60° nos qu edam os con el prim er caso.

El h o ra rio adelan ta al m inutero.

a =30 H -— M 2

60 = 30(6)-— M 2 — M = 120 —> M = —

2 Hora 6:21 — 11

'¿«.SWS»

11

= 21?-

11

F O N D O E D IT O R IA L R O D O PROBLEM A 11

U n re lo j se atrasa 5 m inutos cada h ora y otro se ad elan ta 2 m inutos cada hora. Si am b os se sin cron izan a las 12:00, ¿después de cuántas horas el segu n d o estará a d e la n ta d o 35 m inutos respecto d el p rim ero?

R esolución :

D esp u és d e una h o ra d e fu n cio n a r am bos re lo jes se ob serva :

Se o b serva que en l h los relo jes d efectu osos tie n en una d ife re n c ia o uno ad elan ta al o tro en 7 m in. En:

E ntonces: S ea “ x ” horas qu e transcurren

lh-->

p a ra una d ife re n c ia de 35 m in.

xh

D ife re n cia acu m u lad a: 7 m in 35 m in

35 ■= 5h cu x = — 7

PROBLEMA 12

S ien d o las 8 :0 0 a.m. un reloj em p eza r a adelantarse a razón de 2 m inutos cada hora. ¿Cuánto tiem p o d eb e transcurrir com o m ín im o para que v u e lva a m arcar la h o ra correcta?

Resolución:

1| ,i

NOTA “S” Para que un relo j d efec tu o so qu e se atrasa o se a d ela n ta v u e lv a a m arcar la hora correcta, n u eva m en te d e b e acu­ m u lar un ad elan to o un atraso d e: 12h < > 7 2 0 m in

ouaaaz En: lh xh . c>

Pasando a días:

Se ad elan ta: -*•

2 min. 720 min.

720 x = — - = 360h 360

= 15 días

M arcar la hora c o n e c ta después de 15 días

LIBRO

LEMA 13

El guardián de una fábrica sincroniza dos relojes a las 2 a.m. Uno de ellos se adelanta 12 segundos cada 24 minutos y el otro se atrasa 45 segundo cada hora. Cuando vu e lve a m irar los relojes, observa que la diferencia entre la hora del reloj adelantado y la hora que marca el reloj atrasado es de 20 minutos. ¿Qué hora es realmente?

R esolución :

l e r RELOJ En:

2do RELOJ

Se adelanta:

Se atrasa

En:

120 m in — ---- » 60 seg

lh

—

45 seg

2h — ---- *- lm in .

4h — — ► 1 80 seg

4h —

4h

► 2 min. En:

—

3 min.

Diferencia:

4 h ------- > 5 min. x h ------- ► 20 min.

2 0 x 4 I6 h x = ---------= 5 Lahora: 2 :0 0 a.m. + 1 6 h = 1 8:00 p.m. < > 6 :0 0 p.m.

PROBLEMA

14

Un relo j se atrasa tanto com o el otro se adelanta. Si inicialmente marcaban las 12 y ju e g o de 6 horas el ángulo form ado por ambos horarios es 30°, Hallar la hora m arcada para el segundo reloj en dicho momento.

2do RELOJ

l e r RELOJ

R esolución :

En: Se adelanta: l h ------ ► x min.

En: Se atrasa: lh ------- > x min. En: Am bos:

lh

Diferencia: -> 2x

Luego de 6 h se habrán separado 6 (2x min) = 12x min pero según dato:

6x min

La separación de am bos horarios debe ser de 11 h:

12x min = 11(60 min) -> x = 55 r a r i E L9rio reloj:

Partió de las 12m y en 6h se habrá adelantado: 6 (55m in) = 330 min < > 5h 30min

H. Marcada:

12:00 + 6h + 5h 30 min = 23:30 min o 254

*

11:30 p.m.

F O N D O E D IT O R IA L R O D O

PROBLEM A 15

Antonio advirtió el lunes a las 12:00 p. m. que su reloj marcaba 11:58 a. m. moié s a la lash o 8ra :0 0correcta? p.m . observó que su reloj marcaba 8:01 p.m. ¿ Q u e día y a h rarcmoalercó

Resolución: Oooyi'-ss

LUNES (12:00) hene 2min de atraso

M IÉ R C O L E S (2 0 :0 0 )

tiene lm in de adelanto A

Observamos q u e en 56h su re lo j se ad elan tó 3 m in y para qu e m arqu e la hora c o rre c ta s ó lo d eb e adelantarse 2 min. En:

Se adelanta:

56h

— ► 3 m in — ► 2 m in

xh c> x =

—

h = 3 7 h 2 0 m in

3 L U N E S (1 2 :0 0 )

M IÉ R C O L E S (2 0 :0 0 )

3 7 h 2 0 m in

M arcó la hora correcta e l día m iércoles a las 1:20 a.m.

PR O BLEM A 16

Resolución:

¿ A q u é h o ra en tre las 5 y las 6 las m anecillas de un reloj form an un án gu lo d e 30° p o p rim e ra v e z ?

HORA: f5 : x’

N O T A “S” R e la c ió n Usada

/ Ángulo barrido>1Ángulo barrkb] ¡

\ ;

\

T ie m p o 1 por el horario 1Por el minutero!

i

/

x . ~ l A rain.

/

%U L * Ü

o °°©

v x min

50 -\

3;

•

•?/

^

6x + 3 0 - j = 1So« llx

2

=

120

Y - 240

x ------- = 21-2.

11

Hora:

5 : 2 1 ^ - min

¿ I iT

¿ fB H o P r o b l e m a 17

V f»

de?pu“ *

¡as 6 : 0 0 .

10 ade,anta a ¡a marca de las 6?

Resolución:

' nÍnUtero l l a n t a

H °R A : [ 6 7 3

Se

observa 9 tl Ue;

180° + 2 Í * L 6x 180 = 5x -> 36 = x Hora: 6:36

P R O B L E M A 18

¿A qué hora

e n t r e i a s ^ s j a s a ^ a a d e i r e , o/está

están

Resolución:

superpuestas?

Grañcamos ese instante y ubicamos nuestra hora de referencia a ias 4 :

4:00

12 a ° < > 2 a min

Para hallar el

valnr a

el valor de a, observemos e l,

I N O T A “S ”

I

^2a =

120 + a

U a = i20 N o o lv id e s q u e lo m ás im p o rta n te n o es

a = l? £

la g r á fic a s in o e l análisis m atem ático. Tu

r e s u lta d o

debe

a p r o x im a c ió n g rá fica .

c o in c id ir

con

11

tu

Luego, la hora será:

ww—

iiu t t t

11

' r * ~.,K®rss:-

Hora es 2* .

- j g f e ' V — X ' S ' r. V .V ---------- ■

2

4. ¿ 4 0 '

mu 1 111i

9 ^

* -•

4 :2 i

¿

11

2' a

=

-

R esolución :

HORA: 2 : x

NOTA usr R ela ción usada T iem p o Z b arrid o H Z b a rrid o M O Í X' ,2 ,

x m in

(6 x )°

2 180 + 3 a = 6x

Resolvemos ambas ecuaciones: 180 + 3 30 - — - 6x 2 x -3 6

H ora: 2 : 36

PROBLEMA 20

U n re lo j en lu g a r d e ten er 12 divisiones, sólo tien e 15 y gira una sola v e z en to rn o a su eje en un día. ¿Q ué h ora indicara este reloj cuando sean las 4 p.m .?

Resolución:

P o r re g la de tres:

ld ía :2 4 h

1 día: 15 h

RELOJ N O R M A L

NU EVO RELOJ

24

15

( 4 p m ) .....16

X

16x15 ❖

24 x = 10

H ora en el nuevo reloj: 1 0 : 0 0

ÍN I TF.V H n p /\s)

LIBRO PR O BLEM A 21

U n re lo j se atrasa 2 m inutos p o r cada hora transcurrida. Si c o m ien za a fu n cion ar a las 2 p.m . en ton ces, transcurridas 39 horas, sus agujas m arcarán las:

R esolución :

transcurren In icio

39 h

H ora

Oo o ( ^

correcta

marcada D ato:

En

Se atrasa

1 h '. ^

, - - ' 2 m in

39 h - ' - ' ' * ' ' ' '

L u ego:

x

x = 78 m in o

1 h 18 m in

H ora m arcada

= 5 a . m . - l h 18m in = 3:42 a.m.

M arcará las 3 :4 2 a.m.

PROBLEMA 22

U n re lo j d ig ita l m arca la h ora e n e l fo rm a to horas: m inutos, d es d e las 0 0 :0 0 hasta las 2 3:59 . Si en d eterm in a d o m o m e n to m u estra las 2 0 :0 8 , ¿cuántos m in u tos deb en pasar com o m ín im o p ara que ap arezca n d e n u e vo los m ism os 4 d íg ito s en el reloj, en algú n ord en ?

Resolución:

H o ra m arcada: 2 0:08 x: m in u tos que d eb en pasar com o m ín im o para qu e ap a rezca n d e n u evo los m ism os 4 d ígito s en e l relo j, en algún orden . Las p osib ilid a d es son:

0 0 :2 8 ;

0 2 :0 8 ;

0 8 :0 2 ;

0 8 :2 0

A s í qu e la m ás cercan a es 0 0 :2 8 D esd e: 2 0 :0 8 a 2 4 :0 0 h a y 3 h o r a s y 52 m in u tos = 3 ( 6 0 ) + 52 = 232 m inutos D esd e: 0 0 :0 0 a 0 0 :2 8 h a y 28 m inutos, en ton ces: x = 2 3 2 + 28 = 260 D eb en p asar 2 60 m inutos.

PROBLEMA 23

U n re lo j se atrasa 8 m inutos cada 24 horas. Si éste m arca la hora correcta 7 a.m. el 2 d e m ayo, ¿qué hora m arcará a l a i p.m. del 7 d e m ayo?

258

FOND O EDITORIAL RODO

Resolución:

Inicio

Han transcurrido

2 de mayo

5 días 6 h = 126 h

7 de. mayo

marcada

Dato:

En

Se atrasa

x = 42 min Hora que marca = 1 p.m. - 42 min = 12h 18 min

/.

PROBLEMA 24

Marcará las 12h 18 min

Un reloj se adelanta 2 minutos cada 15 minutos. Si ahora marca las 5h 2min y hace 4 horas que se adelanta, la hora correcta sería:

Resolución:

Han transcurrido

adelantado) En: Dato:

15 min

Se adelanta: 8 min

4h = 240 min

15x = 240x2 x = 32 min Hora correcta = 5h 2min - 32 min = 4h 30 min Marcará las 4h 30 min

PROBLEM A 25

Resuelva los siguientes casos: A ) Un reloj que se adelanta 10 minutos en cada hora, es sincronizado hoy al m edio día (12 m ). ¿Qué tiempo, como mínimo, deberá transcurrir para que vuelva a marcar la hora correcta? B) Un reloj que se adelanta 3 min. cada hora y otro que se atrasa 2 min. cada hora se sincronizan a las 7:00 a.m. ¿Dentro de cuánto tiempo como mínim o marcarán juntos a la misma hora?

R esolución :

j..... .... ' ' ........................ NOTA “S”

A ) Aplicando regla de tres simple: Se adelanta

En

10 min.

lh .

nx ^

ín 720 min.

Para que dos relojes defectuosos (que se adelantan o atrasan) vuelvan a marcar la misma hora

x

^

es necesario que exista una dife­

720x1 = 72 h => x = ■

rencia entre lo que marcan de:

10

B—lI—

72 h < > 3 días .-.

12h < > 720 min. Mili——lililiW éIÜ I iluí|i

Debe transcurrir como mínimo 3 días.

B)

Aplicando regla de tres: Diferencia de

En

5 min.

lh .

720 min.

X

720 x 1 x = — - — = 144 h o Dentro de 6 días.

6 días

N O TA “ S” Para que un reloj defectuoso que sufre adelantos o atrasos, vuelva a marcar la hora correcta, es necesario que acumulen un ade­ lanto o atraso total de: 12h < > 720 min.

F O N D O E D IT O R IA L R O D O

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

6.

Las horas transcurridas del día es igual a la suma de las cifras de las horas que faltan

Determinar el ángulo que forman las manecillas de un reloj a las 2 :2 2 .

transcurrir para que acabe el día. ¿Qué hora será dentro de 3 h? A ) 6 a.m.

A ) 60°

B )7 p .m .

D ) 9 a.m.

C) 70°

D) 79°

C ) 8 a.m.

E) 90°

E)10a.m . 7.

2.

B) 61°

¿A qué hora entre las 8 y 9 las agujas de un reloj estará superpuestas, y a que hora

Karen se casó en el mes de abril de 1992

tendrán sentidos opuestos?

cuando la fracción transcurrida de dicho mes era igual a la fracción transcurrida del

A) 8:20

año. ¿A qué hora se casó? A ) 3 a.m.

B )2 a.m .

D ) 0:00

3.

B) 8:43

C)8:45

D) 8:30 C) 10 a.m.

8.

E) 11 a.m.

E) 8:50

Un reloj demora en dar 11 campanadas 5 segundos más que en dar 8 campanadas. ¿Cuántos segundos menos demorará en dar

¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj

15 campanadas que en dar 27 campanadas?

a las 2:30? A) 30 seg. A ) 100°

B) 105°

D ) 60°

4

B) 10 seg.

C) 20 seg.

C) 70° D) 40 seg.

E) 80°

¿Cada cuánto tiempo las agujas de un reloj

9.

form an un ángulo llano?

Un

E) 5 seg.

campanario

campanadas;

demora

tantos

en

tocar

segundos

“n”

como

campanadas ha tocado. ¿Cuánto tardará en A ) lh 5 ^ min

B) lh 10 ¿m in C) lh 5min

tocar n campanadas?

E) l h 5 ¿ m in

D ) lh 5 y y m¡n

A ) n2 + 1 5

B) n2 + 2

D) n2 + 4

¿Qué hora indican las agujas?

C) n2 + 3 E) n2 + 5

12

10. Rodito sale de su casa a las 1 p.m. (según su reloj) y llega a la academia a las 2 p.m. (según el reloj de la academia). Luego se percata que su reloj estaba atrasado 5 min y el de la academia adelantado 5 min ¿qué tiempo se demoró Rodito en llegar a la academia? B) 1 1 :4 2 1

A) 11: 42

C )ll:4 2 f

A ) 30’

E) 1 1 : 4 2 j

D) 60’

D) H :407 261

B) 40’

c ) 50’ E) 70’

11.

Un reloj em pieza adelantarse 3’ por hora a

16. A las 9:00 a.m. del día lunes un reloj

partir de las 10:00 a.m. del día lunes. ¿Qué

empieza a adelantarse 13 minutos por hora.

hora será en realidad cuando marque las

¿Qué hora marcará la próxima semana, el

8:30 p.m. del mismo día?

mismo día y la misma hora?

A ) 6 p.m.

B) 7 p.m.

D ) 9 p.m.

C ) 8 p.m.

A ) 9:56 a.m.

E) 10 p.m.

B) 10:00 a.m.

C) 10:12 a.m. D) 10:16 a.m.

12.

E) 10:20 a.m.

Siendo las 8:00 a.m. de un día sábado un reloj se em pieza a atrasar 6 min por hora.

17. Un reloj marca las horas con igual número

¿Dentro de cuánto tiempo volverá a marcar

de campanadas y las medias horas con una

nuevamente la hora correcta?

campanada. ¿Cuántas campanadas habrá dado en total en un día?

A ) 4 días

B) 8 días

D) 12 días

C) 5 días E) 10 días

A) 170

B) 172

D ) 178

13.

C) 174 E ) 180

Un reloj se adelanta 10 min por hora y otro se atrasa 12 min por hora, si se sincronizan

18. Un reloj se atrasa un minuto por hora. Si

a las 5:00 p.m. ¿Dentro de cuánto tiempo

empieza correctamente a las 12 del día

marcarán la hora correcta por 3ra vez?.

miércoles 13 de octubre. ¿Cuánto volverá a señalar la hora correcta?

A ) 45 días

B) 46 días

D ) 48 días

14.

C) 47 días E) 49 días

Se construye un nuevo reloj cuya esfera se divide en 8 partes iguales. Cada “nueva hora” equivale a 40 “nuevos minutos”; y

A)

10 de noviembre

B)

11 de noviembre

C)

12 de noviembre

D)

14 de noviembre

E)

15 de noviembre

cada “nuevo minuto” equivale a 40 “nuevos segundos” . Cuando sea realmente las 3:27’,

19. ¿Qué fecha marcará la hoja de un

¿qué hora marcará el nuevo reloj?

A ) 2:00

B) 2:06’

D) 2:12’

15.

almanaque de escritorio, cuando las hojas arrancadas excedan a los 3/8 de la hojas

C )2:10’ E) 2:16’

que faltan por arrancar en 2 ? (considerar año no bisiesto)

Carlos sale de la oficina y al marcar su

A) 9 de marzo

tarjeta de salida ve que son las 6 h 25’ p.m.

B) 10 de marzo

C) 11 de marzo

A l llegar a su casa ve que su reloj son las 8 h

D) 12 de marzo

15’ p.m. Luego se entera que el reloj de su

E) 13 de marzo

oficina está atrasado 12 ’ y su reloj estaba

20.

adelantado en 10’. ¿Cuanto tiempo demoró

un reloj en un día?

de la oficina a su casa?

A ) lh 2 0 ’ D) lh 4 5 ’

B) lh 2 8 ’

¿Cuántas veces se superponen las agujas de

C) lh 3 0 ’

A ) 20 veces

E) lh 5 0 ’

D) 23 veces

262

B) 21 veces

C) 22 veces E) 24 veces

F O N D O E D IT O R IA L R O D O

21.

H allar la m edida del menor ángulo que

26. ¿Qué hora será dentro de 5 ~ h, sabiendo

form an las agujas de un reloj a las 11:30? A ) 130° D ) 175° 22.

B) 150°

que en estos momentos el tiempo transcurrido es excedido en 5h por los que faltan transcurrir del día?

C) 165° E) 180°

Un reloj de alarma da 145 “bip” en 20 seg. ¿Cuánto se demorará para dr 37 “bip”? A ) 2s

B) 3s

C) 4s

D ) 5s 23.

27.

E) 6 s

En el instante de comenzar un año bisiesto un reloj señala las 1 lh 6 ’ 40” a.m. Se supone que va adelantado. Este reloj se atrasa el prim er día 4 segundos, el segundo día 12 segundos, el tercer día 20 segundos, y así sucesivamente. Al comenzar un día del año, el reloj marcará la hora exacta. ¿Cuál es ese día? A ) 10 abril

B) 11 abril

D ) 13 abril

24

C) 12 abril E) 14 abril

La campana de un reloj indica las horas con igual número de campanadas. Para indicar las V horas tarda 4 segundos. ¿Cuántas horas habrán transcurrido desde el instante

A) 2:45 p.m.

B) 2:50 p.m.

C) 2:55 p.m. D) 3:00p.m.

E) 3:05 p.m.

La campana de un campanario tarda 5 segundos en tocar 3 campanadas. ¿Cuántas campanadas tocará en un tiempo de 25 segundos? A) 9 D ) 12

B) 10

C )ll E ) 13

28. Ménica empezó a estudiar después de las 4h, pero antes de las 5h, en el momento justo que las agujas del reloj estaban superpuestas, y terminó de estudiar antes de las llh , pero después de las lOh, cuando las agujas formaban un ángulo de 180°. ¿Cuánto tiem p o estu vo estudiando? A) 2 horas

B) 3 horas

D) 5 horas

C) 4 horas E) 6 horas

en que em pleó “n” segundos para indicarla, hasta

el

instante

en

29. ¿A qué hora entre las 2 y las 3 las agujas de

que utilizó “ 2 n”

un reloj se superponen?

segundos para indicar la hora?

A ) 2h (l0^-)m in

A)

B) 2 h (ll^ L )m in

C) 2 h (l0 if)m in D)

«

D) 3 h (ll^ y )m in

Un reloj señala las tres en punto. ¿A qué hora coincidirán las agujas por primera vez a partir de esa hora? A )3 h (l6 * )m ¡n

E) 3h(l0y^m in

30. ¿A qué hora entre las 3 y 4 las manecillas de un reloj están en línea recta?

A ) 3h(49^-^min

B) 2 h ( l 6 Í ) m i n

B) 3h(49^)min

C) 3 h (4 7 jj)m in C ) 3 h ( l 4 ^ > in D )3h (l6 á )n in

D) 3h(49

E) 3 h (l6 | )m in

263

jmin

E) 3h(50|)min

Calcular la medida del ángulo convexo que

34. En la tarde de un determinado día, un niño

form an las agujas de un reloj a las 12 horas

de lm de estatura proyectó una sombra de

con 30 minutos.

32.

E) 180°

D) 130°

Salí de mi casa en la mañana cuando las manecillas de un reloj, que da las horas con

4:20’ 20”

180° y daba una campanada. ¿Cuántas

>'

v—

campanadas sonaron en mi ausencia, si cuando vo lví en la noche del mismo día escuché una campanada y el ángulo que D)

formaban las manecillas del reloj era de

D) 17

C) 16

B) 6o

C) 8o 53°

49°

E)

6

90o? B) 15

C )120°

Hallar el ángulo que forman las agujas a las

una campanada, formaba un ángulo de

A ) 14

B) 110°

A ) 100°

4^ Oo

D) 130°

que forman las agujas del reloj?

C) 170°

m

B) 165°

v,— j h-l

A ) 160°

73 m. En ese instante, ¿cuál es el ángulo

* $O

31.

36.

í

6

Hallar la hora que indican las agujas del reloj.

E) 18

12

33.

Un alumno sale de su casa cuando las agujas están marcando:

12

A ) 11:12 C ) ll: 1 8

B) 1 1 : 1 8 ^

£

D )ll: 1 6 ¿

y llega el mismo día cuando las gujas están

E) 1 1 : 1 9 ^

marcando: 37.

12

¿Qué hora indican las agujas del reloj?

12

¿Cuánto tiempo estuvo fuera de cada?

A) 2h D)8h

B )4 h

C )6 h

A ) 2:41

E )5 h

D) 2:47

B) 2:42

C) 2:48 E) 2:46

E/m

F O N D O E D IT O R IA L R O D O 38.

Cada cuánto tiempo las agujas del reloj

42. ¿Qué hora es?

form an un ángulo recto.

12

C) 3 2 ^ '

B) 20'

A ) 10 ’

E) 1 3 ^ '

D) 2 3 ^ ’

39.

»**-■*.

¿Qué hora es? 12

A) 6 :51yg

C )6 :5 6 i§

B) 6 : 55

E )6 :5 3 li

D) 6 :5 5 -^

43. Se sabe que: 2a + 30 - 171°. Hallar la hora que indica las agujas del reloj

A ) 1 '• 51 23

B) 1: S 2 £ '

12

C )l:5 3 ¿ ' E )l:5 3 ¿ '

D) 1 '■54 23

40. Hallar la hora que indican las agujas del reloj. 12

A ) 8 :2 1 '

B )8 :2 2 ^

C )8 :2 3 ’ E) 8 : 2 1 ¿ ’

D) 8 : 24'

44. ¿Qué hora es ...?, preguntó Walter a Gerardo;

respondiendo

este

últim o.

“El producto de cifras que componen el A ) 4 :3 2

B) 4 :3 6

C) 4 :3 7 E) 4 : 3 8 ^

D) 4 : 3 6 ^

tiempo transcurrido es igual al tiempo que falta transcurrir” , mejor dime el ángulo que forman las manecillas

,

(horario

y

„ na persona en estado etílico observa su

minutero) del reloj en éste instante replicó

reloj V confunde el horario co el minutero y

Walter,

viceversa, expresando lo siguiente son las

a lo

que

Gerardo

contesto

presurosamente.

4:42” ¿Qué hora es realmente? A ) 6:42 D) 8:24

B) 4:20

C) 8:42

A) 120°

E) 10:24

D ) 130°

B) 90°

C) 150° E) 140°

45.

Un nuevo reloj tiene 16 marcas horarias y el

48. En una mañana soleada una persona de

horario gira una sola vez en torno a su eje en

\¡3 m proyecta una sombra de lm ¿Qué

un día. ¿Qué ángulo formarán las agujas de d ic h o

r e lo j,

cu a n d o

en

un

ángulo forman las agujas del reloj en ese

re lo j

preciso instante?

convencional sean las 6 p.m.?

A ) 80°

B) 60°

D ) 0o

46.

A) 30°

C) 120°

B) 45°

C) 60°

D) 80°

E) 100°

Un nuevo reloj tiene 8 marcas horarias. El día consta de 8 nuevas horas y la nueva hora tiene 64 nuevos minutos ¿Qué ángulo forman las agujas del nuevo reloj, cuando un reloj convencional marca las 3 p.m.?

49.

E) 100°

Dos relojes se ponen a la hora a las 12:00. Al día siguiente a la misma hora, uno de los relojes ha adelantado al otro en 4 minutos y ninguno de ellos marca la hora correcta. La hora correcta resulta aumentado 1 minuto a la semisuma de las horas marcadas por los

A ) 90°

B) 105°

D ) 140°

47.

dos relojes. ¿Qué hora marca el reloj

C) 135°

adelantado?

E) 165°

Pasado el medio día, un arbolito de 3,9 m proyecta una sobra de 5,2 m sobre las calurosas arenas del desierto. ¿Qué hora es en ese preciso instante y qué ángulo forman

2 :2 8 p.m .-7 6 °

B)

2:36 p.m .-8 6 °

B) 12:02

D ) 12:04

C) 12:03 E ) 12:05

50. Un reloj que se adelanta 6 minutos cada hora se puso a la hora a las 2:00 a.m. del día

las agujas del reloj?

A)

A) 12:01

martes.

¿Qué hora marcará este

cuando

sean

las

4:20

p.m.

reloj

del

siguiente?

C) 3:28 p.m .-9 6 ° A) 8:00

D ) 4:32 p.m .-8 6 ° E)

D) 8:30

3:21 p.m .-8 6 °

266

B) 8:10

C) 8:20 E) 8:40

día

CAPACIDADES

• • •

Desarrollar y mejorar el concepto de fracción. Relacionar el tema con situaciones vivenciales Desarrollar la habilidad operativa en el manejo de fracciones.

Los números han surgido a lo lago de la historia por la necesidad que ha tenido el hombre de contar, de medir y de repartir, entre otras. Luego de la aparición de estos números, los matemáticos los sistematizaron y formalizaron como sistemas numéricos, los cuales a su vez sirven de base para desarrollar otras teorías matemáticas, de gran utilidad para el desarrollo de la humanidad. Los primeros número que se utilizaron fueron los naturales, sin embargo, estos números no fueron suficientes para representar todas las situaciones cotidianas. Por ello, se dio el surgimiento de otros números como los enteros, los racionales, etc. Por ejemplo, la necesidad de utilizar fracciones se observa al querer representar que la cantidad de grano de una producción llenó la mitad del granero; es muy difícil expresarlo si sólo se pueden utilizar números n a t u r a le s ,

En

lo mejor es expresarlo como - . la vida diana es común utilizar fracciones, por ejemplo, si se tiene que una receta de cocina rinde

para 6 personas y se quiere preparar una cena para dos, entonces se debe tomar la tercera narre de d ingrediente y asi adaptarla para menos personas. rCGra parte de ca—f * ■ II 1/2

(__ _ ^ III

____ % ---*+ lili

^ ^ ^ mu

1/3

1/4

1/5

CONCEPTO Para que una fracción sea considerada como tal debe cumplir las siguientes condiciones:

^_ a b

Donde:

a y b e Z

NUMERADOR DENOMINADOR -I TERMIN0S

= {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,...}

a * b ; es decir el cociente de la división no debe ser exacta.

Son fracciones:

2

9 7 29 . 3 ’ 2 ’ 5 ’ 2 ’ "

ñ

6

_17. No son fracciones:

2

8

17

2 ’ 4 : -3 ’

0,2

n ' a/2

9 ; 5 : 7

3

t a v

3

~ Se le denomina

2 nú meros fraccionarios

*

E O /YD O E D IT O R IA L R O D O R E P R E S E N T A C IÓ N G R ÁFICA DE UNA FRACCIÓN .......... '' '■ .....................

7 partes iguales ■ • .

f-3

? ..A' ■•
E PROPIA j

III. FRACCIÓN REDUCTIBLE Aquella cuyos términos tienen factores comunes diferentes a la unidad. d )x 4

d )x 3

12 . 1 ? . 21 . 999 . 3 9 .

Ejemplos:

lg » io ’ 14 ’ 888 5 27 ’ © Í2

rJ NOTA “r t

IV. FR A C C IÓ N IRREDUCTIBLE Aquella cuyos términos son PESI.

Ejem plos:

2 . 7 . n

244

3 ' 9 ’ 2 5 : lis

Dos números son primos entre si (RE.S.I.) si tienen como divisor común a la unidad

F O N D O E D IT O R IA L R O D O C O M P A R A C IO N DE F

% *>~ i!

NES

¿Qué fracción es mayor?

Ira forma (Homogenizando) 2x5

3x3

3x5

5x3

10

_9_ 15

15

Rpta: A

2da forma (Multiplicación cruzada) 10

rS

>

9

r-*-!

2 T.. ,.T 3 T " ' ' ~5

•

Rpta: A

¿Qué fracción es mayor? 11

9_

13

10

A

B

Solución por multiplicación cruzada: 110


2

4

— < > 4

8

< >

< >

1x k 2xk

Fracción equivalente generalizada de d 2

En form a general: ak

< > Fracción Irreductible

bk

k = 1; 2; 3; 4;

Fracción Equivalente

'A-’Á"a-%.' Toda fracción es equivalente de sí misma: (k = 1) ' * - .. ,

Ejemplos:

EXPRESION 6 — 10 12 — 24 1 25 1 1 --- 1 --2 3 1 n+— 9 1 1 — +— m n

E jem p lo:

i " */v< . -< > ■ — : 14 7 • 7k : 6k x7k = 378 k2 = 9 -> k = 3

6x3

18

7 x 3 _ 21

FO N D O EDITORIAL RODO

- m á s de 60 3

c>

— menos de 60 ¿> 3

| x 6 0 = 100 3 - x 6 0 = 20 3

Los - más de 20, aumentado en los | menos de 30 es igual a x. Calcular x ¿x v

—x 20 + —x30 = x c> 28 +10 = x 5 3

í> x = 38

L0S — menos de qué número, es 220? ¿ íx N = ^ 0 13

N = 260

Los - menos de qué número es 20? £ '

- N = 20 9

O

N = 90

Yolanda disminuyó su peso en los ¡ , si al inicio pesaba lOOkg ¿cuánto pesa ahora? c>

^(lO O kg) = 40kg

¿Que fracción más es 20 respecto de 18? ( j 2cT )

£

f =

Ift

| 18~| (Base de comparación)

9

LIB R O PR O BLEM A S APLICATIVOS

Aplicación 1:

1

A

Calcular la fracción equivalente de — ; de manera que el producto de sus términos sea 63. F. EQUIV

R e s o lu c ió n : 1

_k_

n

nk

—o

k x nk = 63 n . k2 = 7 x 32 * í n=7 ; k=3

_3_ 21

ión 2: Aplicación

oí Calcular la fracción equivalente de — de manera que la suma de los cuadrados 48 de sus términos sea igual a 100. F. EQUIV

Resolución: ~

#6

o

" 3k 3 — 4k 4

(3k)2 + (4 k )2 = 100 25k2 - 100 k2 - 4 k=2

3x2 _ 6 4x2 “ 8

Aplicación 3 *

Calcular: — , si es propia e irreductible, sabiendo que el producto de los n 1 1 términos de la fracción equivalente de — + - es igual a 630.

n EQUIVALENTE

Resolución: 1

1

m+ n

(m + n)k

m

n

mn

mnk

2

5

— + — < > ------- < >

1 l c£> (m + n )m n k ¿ = 630 7

10

9

m = 2; n = 5; k = 3 2 5

274

F o r m o e d it o r ia l r o d o

A p licación 4:

Luego de ir perdiendo

1 2 — y — de lo que le iba quedando, Pedro suma 3

5

mentalmente la cantidad que tenía al inicio y lo que le quedó al final, obteniendo 140 soles. ¿Cuánto perdió? R e s o lu c ió n .

Inicialmente: Queda:

v J ^ J 000 0

Asumimos este valor para mayor facilidad resolver el problema.

— x — (5k) = 2k 5

3

5k + 2 k = 1 4 0 k = 20 Se observa que perdió 3k. 3(20) = S/.60

Aplicación 5:

2 1 Los — de “A” es igual a — menos de “B”. Si la suma de A + B es igual a 110 , calcular: A - B

Resolución:

^A = ^B 3 5

10A = 12B 5A = 6B n = ü

A = 6k ; B = 5k c> 6k 4- 5k = 110 k = 10 6 k -5 k = k = 10

A p ü cación 6:

Un recipiente está lleno de agua la mitad de lo que no está lleno, luego se derrama la tercera parte de lo que no se derrama, si aún queda 30 litros ¿qué capacidad tiene el recipiente?

Resolución:

lleno

no está lleno

1 X 40

2 x 40

NO DERRAMA DERRAMA

40 + 80 = 120

m

L IB R O Aplicación 7 :

Las horas que faltan transcurrir del día, es igual a los — de lo que ha transcurrido ¿qué hora es?

24 horas

Resolución:

Horas transcurridas Horas q’ faltan transe. ■pr­ -teoras

xh

5 7 x + —x = 24 -> 5 x = 10

19v — = 24 5

Son las 10:00 a.m. • ••- • L

---- ----— .

—-

RELACIÓN PARTE - TODO En esta oportunidad relacionaremos geométricamente 2 cantidades, donde una de ellas será la

base de comparación y se colocará en el denominador.

E jem plo 1:

¿Qué fracción representa 5 cerditos de un total de 10 cerditos? Lo que secompara

Basede comparación

f =— =i 10

E jem plo 2:

2

¿Qué parte es ^ de 2 — ? J

O

Base de comparación 1

1

= _3_ = 1 = I f = 3

Ejem plo 3:

%

¿Qué fracción representa “x” de “y” ? x f . í

y Ejem plo 4:

¿Que fracción representa la región sombreada respecto a la no sombreada? Base de comparación f =

E je m p l° S í

sombreada no sombreada

¿Qué ñ acción representa los hombres respecto de los no hombres? ^ _ hombres no hombres

276

F O N D O ED ITO R IAL R O D O E jem p lo 6 :

¿Qué fracción representa la región no sombreada respecto al triple de la región sombreada?

R esolución:

«

* o

La región sombreada representa la mitad del total.

■

4

6

8_

TOTAL: 18 ❖

3(9)

E jem p lo 7:

Resolución:

o

Sombreada: 9

•

No sombreada: 9

3

Qué fracción representa el doble de la región sombreada de (I) y (II) respecto de la región no sombreada de (I) y (I I ), si la región (I) es el doble de la región ( I I ) .

Cada parte sombreada de la región (I): a Cada parte sombreada de la región ( I I ) : b Pordato:

3a = 2(8b) 3a = 16b O

a = 16 b= 3

^ _ 2(somb.) no somb

Ejemplo 8:

^ (a 4- 4b)

a + 4b

16 + 12

,2a+ / b

a + 2b

16 + 6 ~ 22 ~ l T

2 3 ¿Qué fracción de los — de — de

2\

Observación: 2

—

3

3

X —

4

...... ;

4

X —

5

5

X —

X .

6

• 25

Que fracción de ! 4 • es í — !

4

277

14

20

de 15?

Resolución:

28

20 . x — x 42 = 4 21 ►5

de 42, es la tercera parte

' ;

1—1

7~ *

FR A CC IO N GENERATRIZ •

D ECIM AL EXACTO 0,abc

0 ,2

=

1000

o

10

0,02 =

0,020

100 aOb

0,0a0b =

10000

v.

•

10...01

21

j

V

1,123 =

99

100...00 10 cifras

=

20001 10c

1123 1000

D E C IM A L PERIÓDICO PURO

0 , 2 2 ... = 0,2 = -

0,0200

0,232323... = 0,23 = — 99

23 999

0,023 =

.

100

0,020001

10

99 cifras

2

10 cifras

103

0,10-01 =

=

21 100

0,00...021 =

312

0,312 =

0,21 =

=

0,0020

=

20 9999

200

9999

d e c i m a l p e r ió d ic o m ix t o

0,m ab =

0,2313131... = 0,231 =

mab - m 990 2 3 1 -2 990

0,032555... = 0,0325 = 325 32 9000 0,0a0b

aOb 9990

0,002315 = 2 3 15-23 ~990000~ 0,0a0b = 9900

F O N D O E D IT O R IA L R O D O

1.

De las aves de un corral — son gallinas,

6.

Un caño A puede llenar un depósito en 3 horas y un caño B puede llenar el mismo

1 3 — son patos y los 15 restantes son 4

depósito en 6 horas. Si se abren los dos caños juntos, ¿en qué tiempo se llenará

pavos. ¿Cuántas aves hay en el corral?

el depósito?

Rpta.: Rpta.: o

2.

En la figura cada triangulito tiene 1 cm de área. ¿Qué fracción de la región sombreada es la no sombreada?

7.

4 Gasté 30 soles y aún me queda — délo que tenía. ¿Cuánto tenía? i

Rpta:........................................

8. Rpta.:

3.

......................................

ó

O

Rpta:........... .'............................

que la suma de sus términos sea 120.

.......................................

£

— de los — de los — de un 5 7 8 9 número es igual a los — de 40. Halle 14 dicho número.

12 Hallar una fracción equivalente a — tal 28

Rpta.:

Los

9.

Un caño A llena un tanque en 8 horas y un caño B llena el mismo tanque en 12

4

De una bolsa de caramelos Pepito

horas. Si se abren los caños, ¿qué parte

7 1 com iólos — , luego comió - del resto. 15 o

del tanque llenan en una hora?

Si aún quedan 42 caramelos, ¿cuántos

caramelos tenía la bolsa? Rpta.:

.......................................

Rpta:..................................

10. Un caño puede llenar una piscina en 10 horas mientras que un desagüe puede

5.

Paquito debía 180 soles. Si pagó | y | del resto de la deuda, ¿cuánto debe todavía?

R p t a :...........................................

vaciarla en 15 horas. Si se abren juntos el caño y el desagüe, ¿qué parte de la piscina llenan en una hora?

R pta:.................

L IB H O

PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1

Los 2/3 de los profesores de un colegio son mujeres. 12 de los profesores hombres son solteros mientras que los 3/5 de los profesores hombres son casados. ¿Cuál es el total de profesores?

Resolución:

Método gráfico: (3 PARTES IGUALES) TOTAL PROFESORES

[ SOLTEROS: 12 i (2/5) • CASADOS (3/5) MUJERES

HOMBRES

Total de profesores: 90

OTRA FORMA:

Prof. hombres: casados

i(15x) =(5x O

solteros:

2x = 12 x=6 Total de profesores 90

PROBLEMA 2

Valeria tiene una chacra de 2 hectáreas, debido a las sequías de ese año la parte cultivada fue las regiones sombreadas que se muestran. ¿Qué parte de la zona no cultivada es la zona cultivada?

n

n

n

FO N D O EDITORIAL RODO R esolución :

Trasladando adecuadamente el cuadradito sombreado pequeño en el cuadradito pequeño que no está sombreado.

Todos los cuadrados valen 4. Área total: 9(4) - 36 •

Cultivada: 10

o

No cultivada: 26 10 — o 26

P R O B LE M A 3

5 — 13

En una batalla de la Segunda Guerra Mundial, resultaron muertos la vigésima parte del número de hombres de los ejércitos participantes, fueron heridos la doceava parte del mismo, más 60, y los que quedaron ilesos representan la mitad del total, más 820. ¿Cuántos hombres quedaron ilesos luego de esa batalla?

Resolución:

Sea el total de hom bres:(óto)

*

Muertos:

— (60n) = 3n 20

*

Heridos:

— (60n) + 60 = 5n + 60

*

Ilesos:

52n - 60

Del dato: los ilesos representan la mitad del total, más 820: 5 2 n -6 0 = 30n + 820 n = 40

N° de ilesos = 52(40) - 60 = 2020

PROBLEMA 4

Una pelota pierde las 2/5 partes de su altura en cada rebote que da. si se le deja caer desde un metro de altura, ¿qué altura alcanzará después del tercer rebote?

Resolución:

De los datos:

108 ■cm x u

JJ

J NOTA“S” Se eleva: -(1 0 0 )

1. Pierde: —(100) 2

En cada rebote se eleva la fracción elevada al número de rebotes

\3

multiplicado por la altura inicial. En el problema: I - I (100) =

PROBLEMA 5

108

Si al denominador de una fracción propia e irreductible se le añade 3 , se volvería . ,ente a 1/2; en cambio si al numerador se le suma 4 unidades, ambos térmmos se hacen iguales. ¿Cuánto se^le debe sumar a ambos términos de la fracción original para que sea igual a 0,81?

Resolución:

Sea: - la fracción propia (a < b) e irreductible b ira condición:

a lk b + 3 < : > 2k a+4

2da condición:

-----------

b

282

2a = b + 3

_>

a+4 = b

F O N D O FDITORM JL R O D O De ambas condiciones: 2a = (a + 4) + 3 - > b

a = 7 ;b = l l

Para obtener 0,81 hay que sumar x a cada término: = 0 81 11 + x 7+ x 81 11 + x “ 99 x = ll

PROBLEMA 6

Se tiene un barril lleno con agua, alcohol y vino donde los 2/5 del total, más 8 litros son agua; los 2/8 del total, menos 3 litros son alcohol y los 3/9 del total menos 2 litros son vino. ¿Qué parte de la cantidad de vino es el alcohol?

m.,¡i Se asume un volumen que se pueda dividir'entre 5,4 y 3, para mayor rapidez en la solución de problema (60k)

R e so lu c ió n :

2

1

3

8“ 4

°

1

9~3

VOLUMEN TOTAL: 60k

60k

20k - 2

Vino :

—(60k) - 2 = 20k - 2 3

24k + 8

Agua:

-^(60k) + 8 = 24k + 8

15k - 3

Alcohol: —(60k) - 3 = 15k - 3 4

L

Sumando: 59k + 3 = 60k 3 = k

OH f =VINO

42

21

58

29

Hallar la mayor fracción en cada uno de los casos:

PROBLEM A 7

3a2 - b

xx + bb + 1

3a(a - 1 ) + 3a

’

10x + 9 b - l .

a 3 . _6_

l

7 ’ 5 : 11

8

4 ü)

13 iü)

-J-

101

17 ' 111 •.*- j

I

Resolución:

Para cada caso utilizaremos los criterios correspondientes que son:

i)

Sabemos que “Toda F. impropia es mayor que la F. propia” 3a2 - b Simplificado ->

llx + llb + 1 lOx + 9b - 1

3a2

s________ v.------------->

F. IMPROPIA

F. PROPIA (a)

(P)

(3 (mayor) ii)

Homogenizando los numeradores a 12, por conveniencia pues en los denominadores sería más complicado homogenizar: 4x3

3x4

_6_ x2

I.xl2

7x3 ’ 5x4 ’ 11x2 ’ 8x12 3 El mayor es aquel que tiene menor denominador: -

iii)

Aplicando el criterio de la multiplicación en aspa:

1717

1443 13v

^101

17*'

*'111

101

,

---- (mayor) 111

PROBLEMA 8

,

Se tiene “a” litros de limonada, compuesto por “b” litros de agua. Un descuidado vendedor derrama “c” litros de limonada. ¿Cuanto de jugo de limón queda en el recipiente?

Resolución: Importante: F.n mezclas Se extrae 1/3 de la mezcla 1/3

Queda 2/3 del líquido A 1/3 del líquido C

l jf b r o

TOTAL: 25 litros

Se extrae 10 litros

o ' , 10 2 , Se esta sacando — = — de 25 5 toda la mezcla

En el problema: Si se saca 1/3 de la mezcla se está sacando 1/3 de cada componente.

Derrama: bt

/

c£ — a

AGUA

aí < (a - b) l

LIMÓN

Queda limón: |- — - |(a - b)

PROBLEMA 9

Dos automóviles con igual capacidad de sus tanques, consumen la gasolina en 5 h y 4 h respectivamente, ¿después de qué tiempo de que ambos están en marcha el volumen de gasolina que queda en uno de los tanques es el doble de lo que queda

f-

Resolución:

del otro?

Asumimos 20épues se divide entre 5 y 4 horas: VOLUM: 20 t

VOLUM: 20 i

5h

4h

^

xh

Queda

(Consumo lento)

c / h : — = 5 (/ h 4 (Consumo rápido)

ti*

I

F O N D O E D IT O R IA L R O D O Por dato:

20- 4 x = 2(2 0 -5 x ) .... “uno es el doble del otro” x = 3— h 3 x = 3 h20’

PROBLEMA 10

En. una caja hay una cantidad de canicas, primero se sacan los 7/15, luego los 5/12 del resto y finalmente los 5/7 del último resto. Si se agregaran 5 canicas a las que quedan en la caja, el número de canicas que habría en la caja, sería equivalente a los 3/7 de lo que se extrajo la primera vez. ¿Cuántas canicas quedó de la primera extracción?

Resolución:

15x3k -A.

r

.......

CO X

¿A

8x3k

{

r 4k

lOk 3o

V------------------------ V

j

10k

211c

2o

1°

Resto: 14k

2o : — (24k) = 10k 12 £

Planteando:

3o :

— (14k) = lOk 7

3 4k + 5 = — (21k)

k= 1 Luego de la Ira extracción quedaron 24k < > 24(1)

PROBLEMA 11

Resolución:

Se deja derretir tres pedazos de hielo, tales que el volumen del segundo es los 4 /11 del volumen del primero y los 6/13 del tercero. Si se sabe que la diferencia entre los volúmenes del primero y del tercero de los trozos es 231 cm3 y que el agua se dilata 1/10 de su volumen al pasar el estado líquido al estado sólido, ¿cuántos centímetros cúbicos de agua se obtiene en esa operación?

Total: 71k

J f j/ r S f W T

FO N D O EDITORIAL RODO ler pedazo :

(33k) ■

1 paso

—>

3/4 metro

Niño

-»

1 paso

-»

1/2 metro

Adulto —»

4 pasos

Niño

6 pasos

—»

Diferencia 2 pasos Luego:

Diferencia de pasos fniño - adulto) Aplicamos una regla de

2 pasos

.^

3 simple

100o pasos

En: . 3m X

x - 1500 Distancia que han recorrido es 1500 metros.

PROBLEMA 14

De una cantidad de dinero se gastó 2/5 de lo que no gastó, luego de lo que quedaba se perdió 3/7 de lo que no se perdió; finalmente del resto se pagó una deuda que era igual a los 2/3 de la mitad de los 6/7 de lo que se gastó y perdió en total, quedándole aún 25 soles. ¿Cuánto era la cantidad inicial?

7 x 2k

R esolu ción:

l¡

5 x 2k

2 x 2k

No gasto

Gasto

¡ (Debemos homogenizar)

¡

7k

3k

No pierdo

Pierdo

5k

2k

Queda S/.25

Deuda

5k = 25 +------1 k = 5

I------*• - x - x — x (4k + 3k) = 2k

3

2

7

Cantidad inicial: 14k = 14(5) = S/.70

PROBLEMA 15

Se tiene 3 caños para llenar un tanque. El primero puede llenarlo en 72 horas, el segundo en 36 horas y el tercero en 40 horas. Si estando vacío el tanque se abren simultáneamente los 3 caños, ¿en qué tiempo llenarían los 4/5 de los 3/4 del tanque?

EOFÍDO EDITORIAL RODO

Resolución:

Volumen total: 7201 (es múltiplo de 72; 36 y 40)

ler caño : En Ih

720 72

= 10¿

720 2do caño : En lh : — - 20/ i l Los 3 Juntos en lh 1Ienan: or 36 10 + 20 + 18 = 48/ 720 3er caño : En lh : ---- = 18C 40

P R O B L E M A 16

# de horas para

432 _

llenar los 432 t

48

^

Una obra puede ser hecha por ‘A” y “B” en 6 días, por “B y C” en 8 días, y por ‘A y C” en 12 días. La obra es empezada por los 3 juntos y cuando ya han hecho las 3/4 partes “A” se retira, “B y C” continúan hasta que hayan hecho la mitad de lo que quedaba, entonces se retira “B”, terminando “C” lo que falta de la obra. ¿En cuántos días se hizo la obra?

Resolución:

Sea una obra de 48 m de pared

Obreros

Obra (48 m)

—> 6 días —» -> 8 días —> B+ C —^ 12 días —> A+ C —> 2 (A + B + C) —> A + B+ C A+ B

1 día 8m 6m 4m 18m 9m

De (I) y (II) se deduce que C en un día - > lm I--------------------- 48 m ■ 36 m 6m A 4- B + C

4 días

La obra se realizó en 11 días. 289

6m

B+ C

1 día

.(I)

6 días

•(II)

L IB R O

'N \

‘VW ;.

.^-x-*, |%

100

Du = 36%

100 Du = 37%

La segunda vende más barato 307

LIBRO V A R IA C IÓ N PORCENTUAL T od a cantidad antes de sufrir una variación representa un 100% Cantidad

Cantidad

Inicial

Final

100

60

100% o

J NOTA MSr

Hay una disminución de 40

Si 100 es 100%

En general la variación porcentual se calcula: aumento o disminución

40 es 40% La disminución es 40%

■x 1 0 0 %

cantidad inicial Cantidad Final

Cantidad Inicial

135

100% < > 100 Hay un aumento de 35

Si 100 es 100% 35 es 35% El aumento es 35%

Cantidad Final

Cantidad Inicial

100% o

12

9 Hay una disminución de 3

Si 12 es 100% 3

es 25%

La disminución es 25%

Final

Cantidad Inicial

Cantidad Final

9

150

200

Cantidad

•

H ay una disminución

Hay una disminución de 50

de 3

V

50

x 100% = 25%

150 ■------

x 100% = 3 3 ,3 %

F O N D O E D IT O R IA L R O D O E jem plo:

Si e l ra d io de un círculo aum enta en 40% , ¿en qué tanto por ciento aumenta su área?

R esolución: A su m im os que el radio del círculo es 10. + 4 0 % (1 0 ) = 4

H ay un aumento de96rc I x 100% = 96% lOOn O b serve que la constante

“n” se elim ina en la operación. Si por error involuntario

n o se hubiera colocad o la constante

“n” al calcular el área, esto no afectaría la

respuesta.

E je m p lo :

Si el ra d io de una esfera dism inuye en 50%, ¿en qqé porcentaje dism inuye su v o lu m e n ?

Resolución:

A su m im o s que el radio de la esfera sea 10.

V olu m en inicial

Volumen final

1 0 3 = lOOOu3

5 3 = 12 5 u3

Disminuye 875 u3

LIBRO V a ria ción

875

P o rce n tu a l

1000

x l 0 0 % = 8 ,7 5 %

Su v o lu m e n d ism in u ye en 8 ,7 5 %

APLICACIONES COMERCIALES Cada d ía las personas realizan transacciones comerciales, compra, venta, con el fin de obtener ganancia, au n qu e en algunos casos h ay pérdidas. H a y qu e ten er en cuenta el siguiente recuadro: — — —---------------------- — Precio fija d o --------------------------------Precio de costo

Ganancia

Descuento

----------------- Precio cle v e n t a ----------------- 1 *

Se deb e considerar en estos casos que el descuento o la rebaja es un tanto por ciento del precio fijado.

*

Tan to la ganancia, com o la pérdida son expresiones que se obtienen a partir del costo.

D e l cu adro an terior se puede deducir que: *

Pv = P c + G

*

P F = Pv + D

*

In crem en to = G + D

D onde:

Pv

:

Precio costo

Pc Pf G D

Ejemplo:

Precio de venta

:

P recio fijado

:

Ganancia D escuento

Para fija r el precio de un artículo se incrementó su costo en 20%, pero al m om ento de la ven ta se realizó un descuento del 20% lo cual originó una pérdida de S/.16. ¿Cuál fue el p recio fijad o por el com erciante?

Resolución

A n a lizam os el siguiente esquema en el cual existe pérdida, luego asumimos al precio de costo un v a lo r a lOOx.

•Precio fijado = 120x I-------------- P costo

Increm ento = 2 0 % (P C) ■

100x

Descuento 20% Pp = 24x

310

FONDO EDITORIAL RODO Perdida Pcosto 16 = 4x

Pventa

4 = x

Precio fijado = 120x /.

Precio fijado es S/.480

PROBLEMAS SOBRE MEZCLAS U n recip ien te contiene 60 litros de alcohol al 80% se vierte en él 70 litros de alcohol de 60°. Si de la m e zc la se extrae el 10%, ¿cuánto alcohol queda al final?

Resolución

De las condiciones: 70 L

J NOTA “S" Recordar que el grado o pureza lo establece la sustancia dife­ rente al agua. ________ __________

Luego de la m ezcla resultante:

/.

alcohol

10% (9 0 )

agua

10% (4 0 )

Queda de alcohol = 9 0 % (9 0 ) = 81 litros

C Á L C U L O D E L GRADO O CONCENTRACIÓN DE UNA MEZCLA

Cantidad de alcohol, vino, ácido, etc.

100 o9

x 100% " Cantidad total

1.

6.

El 4 0 % del 8 0 % de un núm ero es igual

Calcule

al 2 0 % del 75% de 1600. H allar dicho

¿A qué aumento único equivale 2 aumentos

núm ero.

sucesivos de 10% y 40%? ¿A

que

descuento

único

equ ivale

2

descuentos sucesivos de 20% y 30%?

R p t a .:........................................ R p t a .:......................................... 2.

En un salón de clases el 60% son

I

h om bres y el resto son 20 mujeres. |

7.

¿Cuántos alum nos hay en dicho salón?

Gasté el 40% de m i dinero y aú n m e queda 72 soles, ¿cuánto dinero tenía?

|í i

R p t a .:......................................... 3.

C arm en com pró una blusa con una rebaja del 20% y pagó 72 soles.

8.

En un salón de clases el 6 0 % son hom bres. Si han faltado el 2 0 % de las

¿Cuánto costaba la blusa?

m ujeres, ¿qué porcentaje del total de R p t a .:........................................

alum nos han faltado?

Si el lado de un cuadrado aum enta en

R p ta.:.......................................

20% . ¿En qué porcentaje aum enta su área?

9.

Si el lado de un cu adrado dism inuye en 20% , ¿en qué porcentaje varía su área?

R p ta.:...................................... R p ta.:........................ 5.

U n com erciante vende un televisor en S/. 900 gan an do el 20% del costo. ¿Cuál es el costo del televisor?

10.

Se tienen 80 litros de alcoh ol de 7 5 % de pureza. ¿Cuántos litros de alcoh o l p u ro

(

R p ta .:......................................

contiene la m ezcla?

FO N D O EDITORIAL RODO

PROBLEMAS RESUELTOS PRO BLEM A 1

En una granja, de las aves que hay, el 20% son pollos, el 50% son patos y el resto son pavos. Si se vende el 40% de los pollos, el 60% de los patos y el 80% de los pavos; ¿qué tanto por ciento de las aves aún quedan?

R e s o lu c ió n :

SEA EL TOTAL DE AVES

N O TA ‘T

lOOx Pollos 20x

Patos

Pavos

50x

30x

Se vende:

4 0 % (2 0 x ) + 6 0 % (5 0 x) + 8 0 % (3 0 x ) = 62x

Queda:

1 0 0 x -6 2 x = 38x

Cuando un problema no menciona el total, es reco m en d a b le asumir el valor de lOOx

De lOOx aves quedan 38x Queda el 38%

PRO BLEM A 2

En un campamento participan, en total, 240 niños de Argentina, Brasil, Chile y Perú. El número de niños del Perú es el 50% del número de niños de Chile y 1/3 d el de Argentina. El número de niños de Argentina es el 75% del número de niños de Brasil. ¿Cuántos niños de Perú hay en el campamento?

.

•’

->

'

Resolución:

‘ '

..... ...

•

^

......

TOTAL: 240 NIÑOS 1/3

Argentina

Brasil

Chile

Perú

De acuerdo a com o depende el número de niños de un país respecto a otro lo conveniente es em pezar en Brasil. 3 Com o Argentina es 75% = - de Brasil, en Brasil pondrem os “4x” , y de ahí calcularemos para los oros países. 1/3

Total de niños:

3x + 4x + 2x + x = 240 -> x = 24

De Perú son 24 niños

r L IB R O PRO BLEM A 3

En un salón de clase de 40 alumnos, el 60% son mujeres. ¿Cuántas mujeres deben retirarse para que los hombres representen el 80% del nuevo total?

TOTAL DE

R e s o lu c ió n :

ALUMNOS ” : IVIL KV x5

16 — 80%

MUJERES

HOMBRES

»S_60% __ (40)-J

16

2 4 - x — 100% 1

x5

x == 20

Sea “x” el número de mujeres que retiran.

^ X -x 24- x

16 ___ j NUEVO TOTAL 4 0 -x

c> 16 = 80% (4 0 - x ) x = 20 .•.

PROBLEMA 4

Deben retirarse 20 mujeres

En un colegio el 40% de los alumnos son hombres. A una excursión han ido el 20% de los hombres y el 30% de las mujeres. ¿Qué porcentaje del total de alumnos fueron a la excursión?

Resolución:

Vamos a asumir que el total de alumnos es 100 100 ALUMNOS

HOMBRES

MUJERES

40

60

Fueron a la excursión: 2 0 % (4 0 ) + 30% (6 0 ) = 26

Luego:

De 100 alumnos, fueron a la excursión 26 /.

PRO BLEM A 5

Fueron a la excursión el 26%

Si y o tuviera 25% menos de lo que tengo v tú tu v ie r a ono/ ™ '

„

, ,

,

a

i

y 111 d i e r a s 20% mas de o que t enes

entonces tendríamos igual cantidad de d i n e r o i ’ . , , , om ero. 6i entre los dos tenem os S/ 2600 ¿cuánto más que tu tengo yo? /.¿ouu,

F O N D O ED IT O R IA L R O D O R esolu ció n :

YO TENGO TÚ TIENES lOOx

+

lOOy

=

2600 ......(1 )

+ 20 %

-2 5 %

,r 120y

75x Por dato:

En (1 ):

’

75x

=

120y

5x

-

8y

x _

8 1 x = 8k

y

5 J y = 5k

~

100(8k ) + 100(5k) = 2600 k= 2 x = 16; y = 10

Luego:

Y oten go:

1 0 0 (1 6 ) = S/.1600

Tú tienes: 1 0 0 (1 0 ) = S/.1000 /.

PROBLEMA 6

Más que tú, tengo S/.600

Un artículo se vende con una ganancia del 25% luego de haberle hecho un descuento del 20%. Si no se hubiera rebajado la ganancia hubiera sido de S/.360 ¿Cuánto es el precio de venta?

Resolución:

Ubiquemos los datos en el siguiente cuadro: I--------------------------------- Precio fijado Ganancia

Descuento

25% PC

20%Pr.

Sin rebaja la ganancia sería S/.360 Vamos a asumir lOOx com o precio fijado y 4k al precio de costo. I— ------------------------------- PF = lO O x -------------------- ---------Precio de costo

Ganancia

Descuento

4k

k

20k

25% PC

20% PF

80x 5k = 80k k = 16x

315

Ahora se tiene: lOOx ---------------------------------- i

Pp =

Precio de costo

Ganancia

Descuento

64k

16k

20k

I-------------------- 36x = 360 ------------------- I x = 10 i-----------------Precio de venta

Nos piden:

Precio de venta = 80x

Precio de venta es S/.800

PROBLEMA 7

En una tienda com ercial el número de artículos que se venden aumentó en un 20% pues el precio de venta de cada uno disminuyó en 25%. ¿En qué porcentaje

fY--Í‘-

'

*•

''.

R esolución:

variaron los ingresos de la tienda?

Para resolver este problem a debem os tener en cuenta la siguiente ecuación: ^N° de artículos''! ^que se venden J

f Precio de venta { de c / u

''Ingresos de'' v la tienda /

A h o ra recuerda que toda cantidad antes de sufrir una variación representa un

100 % f Precio de venta''j _ í Ingresos de^

N ° de artículos^ que se venden

J

^

100 %

de c / u

100%

120%

J

^ la tienda

100 %

-2 5 % r

120%

x

75%

90%

Los ingresos dism inuyeron 10%

PROBLEM A 8

Sí pierdo el 30% de lo que tengo y luego ganara el 28% de lo que m e quedaría, perdería 156 soles. ¿Cuánto tenía inicialmente?

Resolución:

Sea el dinero que tenía inicialmente: 100 x soles

ro rv n a

e d it o r ia l r o d o

P ierd o

Queda

Gano

3 0 % (1 0 0 x ) v------- '

70x

2 8 % (7 0 x )= (T £ 6 x )

Tendría

&

De lo que

&

quedaría

NOTA “S” Tam bién

podem os

trabajar

de

manera directa con los porcentajes. 128% (70% (100x)) = 89,6x

E ntonces, p erd ería:

1 0 0 x - 8 9 ,6 x = 156

X~ 2

Tenía 100 1^1 = 1500 inicialm ente

PROBLEM A 9

A n g e l le encarga v e n d e r un ob jeto a Bruno, éste a su v e z se lo encarga a César, qu ién hace la ven ta y se qu eda con un 20% del va lo r de venta, Bruno recibe el resto p e ro se qu eda con un 10% d e dicho resto y entrega el saldo de 540 soles a Ángel. ¿En cuán to se v en d ió el objeto?

Resolución:

A

le encarga a

B

entrega

R ecibe 540 soles

L o qu e A recib e es:

al saldo

le encarga a

c

^“ C ” ven de e f objeto en V x soles y

entrega

Se queda

el resto

con un 10% del resto

Se queda con un 20%

9 0% x 8 0 % (x ) = 540 x = 750

El objeto se vendió en S/ 750

problem a

'

10

Se tiene 2 recipientes, uno contiene 80 litros de una mezcla alcohólica al 40% de pureza y otro 50 litros de una mezcla alcohólica al 60% de concentración. ¿Cuántos ¿tros de agua se debe vertir a ambos recipientes (la misma cantidad a cada uno de ellos) para que tengan la misma concentración de alcohol? Dé como respuesta dicha concentración.

Resolución

Primero se tiene:

fZ c

--- ^

^ agua

agua

alcohol

alcohol

— 6 0 % (5 0 )

40% (8 0 )

Luego:

------------------------

l e r recipiente

2do recipiente

80 L al 40%

50 L al 60%

Se agrega n litros de agua

Se agrega

Concentración final:

^

n litros de agua

16

^ ( í 15

80+ n

50+ n

8 0 0 + I6 n = 1 2 0 0 + 15n n = 400

32

Concentración =

x 100%

80 + 400

20 3

C on cen tración : — %

PROBLEM A 11

Resolución:

En una reunión hay 16 hom bres y 24 mujeres. ¿Cuántas m ujeres deben retirarse, para que el porcentaje de hom bres aum ente 24%?

H O M BR ES 16

MUJERES 24

-F O N D O E D, IT O R IA L R O D O •.•••..

.

...

_

. ...

•

:.

En este m o m en to los hom bres representan: — — — x 100% = 4 0 % 16 + 24

MUJERES

HOM BRES 4 0% < >

16

24

< > 60% a,

+ 2 4%

V

y

6 4% o

se retiran x mujeres

24 - x < > 3 6 %

16

Si los hom bres son ahora 64% , entonces las mujeres deben ser 36% , ya que el total siem p re es 100% .

L u ego :

24-x

16

36%

60%

—> x = 15

Las mujeres que deben retirarse son 15

PR O B LE M A 12

La base de un triángulo aumenta en 30% y la altura, relativa a dicha base, disminuye

o

en 30% . Si e l área del triángulo disminuye en 54m , halle el área inicial del triángulo.

Resolución:

J NOTA “S” Las constantes no se con sideran

+3 A j = (10)C10x)

A F = (1 3 x )(7 )

A j = lOOx u 2

A F = 91x u2

Disminuye:

9x = 54 x = 6

R eem plazan do:

1 00(6) = 600

El área inicial es 600 u2

FM A 1 3

D eterm in e e l porcentaje de error que se com ete si para el cálculo d el área de círculo se considera solo el área del cuadrado inscrito. Respuesta en

319

porcentaje.

un

R e so lu c ió n :

R ecuerde que: Porcentaje de error

( V alor errado

V a lo r ’ correcto

v Valor correcto

x 100%

)

N os piden el porcentaje de error.

Calculamos el porcentaje de error: Porcentaje de error

PRO BLEM A 14

x 100% - 36% v

2 tt/

,

Si e l área de una esfera aum enta en un 44% , ¿en qué porcen taje au m enta su volu m en ?

R esolu ción:

C om o sabem os en los problem as de variación porcentual los valores constantes en el área y el volu m en pueden ser dejados de lado. Por lo tanto trabajarem os con las siguientes expresiones: Á rea = R 2

Volum en = R 3

R adio:

10

Á rea:

102 = 100

Volum en:

103 = 1000 —------ i- 123 = 1728

VT44 = 12 — " ;'r V

144

Aumenta 728 i 728

1000

x 100 % = 7 2 ,8 %

PRO B LEM A 15

¿ A q u é v a ria c ió n p orcen tu a l e q u iv a le n 2 d escu en tos su cesivos d e 2 0 % y 5 0 % segu id o s de dos aum entos sucesivos de 5 0% y 20% ?

R e s o lu c ió n :

IN IC IO : 1 00 % -

20 %

-5 0 % +50% y F IN A L :

80% x 50% x 150% x 120% 4 5

/.

PRO B LE M A 16

+ 20 %

'l

X2

4

X

-

X 120% = 72%

2

La v a ria ció n es d e 1 00 % - 7 2 % = 2 8 %

Un fabricante de chompas calcula que el costo p or cada chom pa que fabrica es de S/.26. Si recibe de los distribuidores S/.25 por chom pa ven d id a y a d icion a lm en te un 8 % más p or cada chom pa ven d ida después de 8000 unidades. ¿Cuál es la m ín im a cantidad de chompas que debe ven d er para obten er ganancias?

Resolución:

De los datos tenem os: (P recio de cada chom pa que fa b ric a ) = S/.26

'P re c io de ven ta p or cada chom pa'’ v

hasta ven d er 8000 unidades

J

S/.25

'P re c io de ven ta p or cada c h o m p a N ^después de ven d er 8000 unidades,

= S/.25 + 8% (S /.2 5) = S/.27

Sea x la cantidad de chompas que se debe v en d er com o m ín im o para o b ten er ganancias, d on de x debe ser m ayor a S/.8000, ya que si es m en or a S/.8000 se obten d ría pérdida.

Se tiene lo siguiente: (costo to ta l) = 26x (ven ta total) = 2 5 (8 0 0 0 ) + 2 7 (x - 8 0 0 0 )

C om o d eb e obten er ganancia, se debe cum plir: (ven ta total) > (costo to ta l)

^

— ■¥‘-X 26x 2 5 (8 0 0 0 ) + 2 7 x - 2 7 (8 0 0 0 ) > 26x x > 2 x (8 0 0 0 ) -»

x >1600

C om o m ínim o debe ven d er 16001 chompas.

PR O B LE M A 17

U n v e n d e d o r am bu lante v e n d ió una bolsa d e chocolates d e la sigu ien te m a n era : el 6 0 % con una ganan cia d el 2 4 % de su costo y e l resto con una p érd id a d e l 1 0 % de

// Á

‘

su costo. Si en la v en ta d e tod a la bolsa ga n ó 30 soles, ¿cuántos ch ocolates ten ía la bolsa?

R esolu ció n :

Vam os a sum ir 100 chocolates a un costo total de 100 soles. 100 chocolates Costo: S/.100 60 chocolates

40 chocolates

Costo: S/.60

Costo: S/.40

A l v en d er

A l v en d er

gana

p ierd e

4 0 % (6 0 ) S/ 24

10% (4 0 ) -

S/ 4

=

S/ 20 (ganan cia total)

A h o ra para calcular el núm ero de chocolates aplicarem os una re gla de tres. CHOCOLATES

O

G A N A N C IA

o

10° x

20 30 2 0 x = 100x30 x = 150

.■.

PROBLEM A 18

La bolsa tenía 150 chocolates.

Se fija el p recio de venta de un artículo aum entando el p recio de costo en un 25% d el m ismo. Luego, p or razones com erciales, se d ebe v o lv e r al v a lo r original. ¿Qué tanto p or ciento del precio fijado se d ebe dism inuir para obten er el p recio d e costo inicial?

Resolución:

Asum im os com o:

Precio de costo (P c) = 100 K.

■

+25% (100 K) = 25 K

125 K - P fij a d o

Pc = 100 K

4

Se desea llegar al costo inicial. x % (12 5 K) = 25 K x% =

- = - x 100% 12 5 K 5

x% = 20% Se debe disminuir un 20% del precio fijado.

m

Ronald decidió invertir cierta cantidad de dinero en un negocio ganando el 20%. Debido a ello se animó a invertir en otro negocio en el cual perdió el 10 % y por último, invirtió lo que le quedaba en otro negocio con un resultado del 8% como ganancia. La ganancia neta en los 3 negocios ha sido de S/.4 16 0. ¿Cuál fue la ganancia obtenida en el primer negocio?

Resolución:

Sea:

PR O B LE M A 19

gana:^20x) Luego del le r negocio tiene:

(12 0 x pierde: 10% 12 0 = (l2 x

Luego del

/

2do negocio tiene: n 0 8 x gana: 8%(808x) = f8 ,6 4 x Luego del 3er negocio tiene:

(Tl6^64x)

Luego de estas inversiones la ganancia neta es 4 16 0 entonces igualamos: 2 0 x - 1 2 x + 8,64x = 416 0 x = 250 Piden:

20(250) = 5000

La ganancia obtenida en el le r negocio es S/.5Q00

FONDO EDITORIAL R O D O PROBLEMA 20

Un boxeador decide retirarse cuando los triunfos representen el 90% de sus peleas. Si hasta el momento ha peleado 10 0 veces y ha obtenido 85 victorias, ¿cuántas peleas más como mínimo debe realizar para poder retirarse?

100 PELEAS

Resolución:

TRIUNFOS 85

DERROTAS 15

Digamos que realiza “x” peleas más, las cuales algunas las puede ganar y otras las puede perder, pero para que este número de peleas (x) sea mínimo todas las debe ganar. 1 0 0 + x PELEAS DERROTAS 15

TRIUNFOS 85 + x

“Para retirarse sus triunfos deben representar el 90% de sus peleas” 85 + x = 90% (100 + x) 85 + x = — (100 + x)

io

*r

850 + lOx = 900'+. 9x .-.

PROBLEMA 21

x = 50

Por la venta de un auto un vendedor cobra el 3% de comisión, gasta dicho vendedor el 40% de su ganancia y el resto lo presta con un interés del 5%, recibiendo por concepto de interés S/. 63. ¿Cuál es el precio del auto?

Resolución:

Precio del auto = S/. x Comisión = 3% x Gasta el: 40% (3% x) Le queda: 60%(3% x) Gana por interés:

5%(60%(3% x)) = 63 x = 70000

PROBLEMA 22

Un empleado distribuye su sueldo mensual de la siguiente manera:

Regla de definición

b

2 % 2, = ? ' -Y 32 + 2 * 2 = 23 a

-+ —1 a

b

2 = ( - 1)2 + 2_1 + ( - 1) ( 2) = 1 + 1 - 2 = - b

2

2

—> b f a = b 3 + ab + b x a A con tin u ación desarrollarem os algunas operaciones elementales para nuestro avance en el capítulo:

OPERACIONES MATEMÁTICAS CON REGLA DE DEFINICIÓN EXPLÍCITA En este caso la regla de definición garantizada en forma directa la definición de la operación m a tem á tica , com o en los ejem plos anteriores.

Ejem plo:

Se define en 1R+ la operación matemática a_, 2ab + 3a + 2b + 3 a~b = ---------------------a+1 Calcule:

Resolución:

M = (...(((1 *

2)* 3) * 4 )...) * 10

Com o en lo que nos piden hay signo de agrupación, debemos trabajar primero con el paréntesis que aparece en el interior.

1, 2

2(l)(2)+ 3(l)+ 2(2) + 3 (D + l

Luego continuamos con el siguiente paréntesis y de manera similar continuamos hasta efectuar el último cálculo. Vemos que con éste análisis obtenemos la solución pero con muchos pasos. Lo que aconseja es que primero debemos reducir al máximo la regla de definición que nos dan. ., 2ab + 3a + 2b + 3 a*b = ---------------------a+1 Factorizamos de manera conveniente el numerador en la regla de definición: ., 2ab + 2b + 3a + 3 a*b = ---------------------a+1 _ 2b(a + 1 ) + 3(a + 1 ) a+1

a*b = ( a + l ) ( 2b + 3)

(a + 1) C om o la operación matemática está definida e n , entonces a + 1 > 0, luego se puede sim plificar (a + 1) a * b = 2b + 3 D el resultado final vemos que la regla de definición solo depende del segundo elem en to (b ), reem plazando en lo que nos piden: M = ( l . . . ( ( ( l * 2) * 3) * 4 )...) * 10

v

y K

M = K * 10 = 2(10) + 3 = 23

/.

M = 23

» A A OPERACIONES MATEMATICAS CON REGLA DE DEFINICION IMPLICITA Existe problem as en los cuales no se da de manera directa la regla de definición, si no lo dan exp resa d os de otra manera..

Ejemplo:

Se define en R , la operación matemática representada por el operador * como: a * b = 2 (b * a ) - a Calcule: 6 * 12

Resolución:

En este tipo de problemas se busca obtener la regla de definición de a * b, para lo cual se sugiere seguir los siguientes pasos: a * b = 2( b * a ) - a

...(I)

P a s o 1: Cambio de variable a por b y b por a: b *a = 2 (a * b )- b

...(II)

P a s o 2 : Reem plazar (II) en (I): a * b = 2 (2 (a * b) - b ) - a

Paso 3 : Despejar de (III) a * b : a * b = 2( 2 ( a * b ) - b ) - a a *b = 4 (a * b )- 2 b - a a + 2b = 3 (a * b ) . a + 2b a * b = --------

Finalm ente obtener lo que nos piden:

6*2

=

6 + 2( 12 ) 3

=

10

...(III)

F O N D O E D IT O R IA L R O D O O P E R A C IO N E S EN TAB LAS DE DOBLE ENTRADA .

....... —

........ ................. ..

................ .........

.........-

- ............

,...... ..... '...... ■ . ■

-

■

....................................................................................

:

F IL A D E E N T R A D A

Cuerpo de la tabla (son los resultados de operar los elementos de la columna de entrada con los elementos de la fila de entrada)

i Ejemplo:

Calcular: b ^ b ; c ¥ d

Resolución:

O bservam os en la tabla: b ■ c

d

b

c

d

b ¡ c

d

b

c

d

a

c

d

a

d

a

b

a

b / c - _ __ _

a

b

c

b

c

b # b = c

Ejemplo:

c¥ d = c

En el conjunto A = { 1 , 3 , 5 , 7 } Se d efín e la operación (■*■) m ediante la siguiente tabla:

Calcular:

3

5

7

7

1

3

3

5

7

5

7

1

1

3

5

(3 * 3) * (1 * 3) (1 * 1) * (7 * 1)

Resolución:

A _ (3 * 3 ) * ( i * 3) _ 7 * 5 * (1 * 1) -*• (7 i) 3* i ~ 5 A = 1

337

d

LEYES DE COMPOSICIÓN S e d e fin e e n e l c o n ju n to “A” , una op era ció n m edian te el op era d or 0^0 • 'j

■■

CLAUSURA O CERRADURA V a , b e A => a f b e A

P a ra t o d o p a r d e e le m e n to s d el conjunto “A” al realizar la operación d efin id a con dichos elem en to s e l r e s u lta d o p e r te n e c e al con ju n to “A” .

Ejemplo:

En e l con ju nto A = {a , b, c, d } se d efin e la operación ( ^ ) :

a

b

c

d

*

a

b

c

d

a

d

a

b

c

a

a

b

c

d

b

a

b

c

d

b

b

c

d

e

c

b

c

d

a

c

c

d

a

b

d

c

d

a

b

d

e

a

b

c

Todos los resultados que se encuentran en el cuerpo de la tabla pertenecen al conjunto “A” , ent onces la operación (-R) cumple la

propiedad

de

clausura, también se dice que la operación es cerrada

jm

Dentro de los resultados que se encuentran en el cuerpo de la tabla está el elemento “e” que no pertenece al conjunto “A”. Entonces la operación (*)

no

cumple

la

propiedad de clausura, también se dice que la operación no es cerrada.

■

F p i r p o E D IT O R IA L M O D O

CONMUTATIVA V a, b e A => a * b = b * a

A l c a m b ia r e l o r d e n d e los e lem e n to s en la o p era ció n el resu ltado n o se altera.

Ejemplo:

i)

En la a d ición : a + b = b + a E n ton ces la a d ic ió n es conm utativa.

i i ) En la sustracción: a - b ^ b - a E n ton ces la sustracción n o es conm utativa.

Ejemplo:

Se d e fin e :

^ u 2 i 2 ab a^b = a + b + —

La o p e ra c ió n (¿fc) ¿Es conm utativa?

a * b = ; a 2 -f b 2 + — p : 2 :

R esolución:

i o o ab '< b * a = : b 2 + a 2 + — :