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• Edgar Matallana Sanchez

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Análisis y Control de Robots, ….. 2017

Robot Teachbot-01de 3GDL Leonardo F. Ordoñez, Sebastian Gatcia y Alvaro Jose Ruiz

Adstract El presente trabajo muestra el diseño de controladores para un brazo robótico de 3 grados de libertad (GDL). En el presente trabajo se desarrolla un análisis de 3 tipos de controladores, controladores clásicos tipo PID, controladores por Torque y finalmente un controlador.

CONTENIDO 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Introducción Modelo de Robot Descripción general del robot Grados de Libertad Volumen de Trabajo Parámetros de Denavit-Hartemberg Cinemática directa Cinemática inversa Controladores 9.1. Matlab 9.2. Modelación en Matlab y Simulink

10. Simulación 11. Resultados 12. Observaciones 13. Conclusiones

Análisis y Control de Robots, ….. 2017 INTRODUCCION Realizando un pequeño análisis sobre la Robótica industrial, vemos como durante estos últimos años se ha producido una gran entrada de Robots a las fábricas o industrias con el objetivo principal de mejorar la producción y calidad delos productos o ya sea para trabajar en ambientes nocivos y peligrosos para el ser humano. Con la ayuda de la mecánica y la electrónica se han podido diseñar diferentes configuraciones de robots para la industria. La palabra Antropomórfico es aplicada a cualquier cosa que tenga el aspecto físico parecido al del ser humano, los Robots Antropomórficos se asemejan al ser humano principalmente en la parte del hombro, brazo y muñeca, que le sirven básicamente para ponerse en una posición en el espacio y orientarse para realizar un determinado trabajo. Esta configuración de Robots industriales ayuda mucho en tareas pesadas y repetitivas, aprovechando la variedad de movimientos que posee.

MODELO DEL ROBOT Robots Antropomórficos también llamados manipuladores de codo, robots angulares, etc. Una configuración de este tipo posee 3 articulaciones de posicionamiento y por general 3 articulaciones de orientación, es decir para el efector final, también llamado

pinza o gripper, este robot tiene o está formado por 3 ejes rotacionales llamados también 3G o RRR, el primer eje básicamente es perpendicular al piso, los otros dos perpendiculares al primero y paralelos entre sí, estos 3 se utilizan para posicionar al robot en un determinado lugar del espacio. Esta configuración presenta una gran maniobrabilidad, accesibilidad a lugares con obstáculos, una característica muy importante es que son muy rápidos y permiten la realización de trayectorias difíciles. Descripción general del robot: El análisis presentado en este documento es el resultado del desarrollo del proyecto titulado: “Diseño y construcción de un robot manipulador antropomórfico con tres grados de libertad con fines educativos”. El robot llamado Teachbot01 se propuso con tres grados de libertad y una pinza en su extremo, con un alcance de 873 mm y capacidad de carga de 50 g. Se ha propuesto una arquitectura abierta para permitir la interacción con los componentes del robot, ofreciendo la posibilidad de poner en práctica diferentes estrategias de control y, posteriormente, optimización en el diseño del robot.

Análisis y Control de Robots, ….. 2017

Grados de Libertad.

Lenguaje de Programación.

Se conoce como grados de libertad o GDL al número mínimo de variables necesarias para describir la distribución de velocidades en el sistema.

Un tema importante es el lenguaje de programación de robots industriales. No existe como tal alguna normalización o estándar para la programación de los robots, es decir que cada fabricante ha realizado sus propios métodos o técnicas.

En el caso del robot antropomórfico se tienen generalmente 5 o 6 grados de libertad, tres por lo menos usados para definir la posición y mínimo dos para la orientación de la pinza. EJES

DESCRIPCION

FUNCIONALIDAD

1-3 4-6

Ejes principales Ejes de la muñeca

Posicionamiento Orientación

DESCRIPCIÓN Y FUNCIONAMIENTO DE LOS EJES EN UN ROBOT ANTROPOMÓRFICO.

Volumen de Trabajo. Un concepto básico de volumen de trabajo según los propios fabricantes de robots es el espacio dentro del cual puede desplazarse el extremo de su muñeca. Por obvias razones este espacio está definido por el tamaño de sus eslabones, lo cual quiere decir que es distinto para cada robot. El volumen de trabajo de un robot antropomórfico es parecido a una esfera, lo cual indica que se puede obtener una gran área de trabajo.

Parámetros de Denavit-Hartemberg. los parámetros de Denavit-Hartenberg, los cuales se basan exclusivamente en las características geométricas de cada enlace y los sistemas de coordenadas en cada uno. Las características de los parámetros son: θi rotación alrededor del eje Zi-1. di translación a lo largo de Zi-1 eje. ai translación lo largo del eje Xi. Αi rotación alrededor del eje Xi

Los sistemas de coordenadas deben ser colocados como en la figura 1, para cumplir con las características de los parámetros mencionados anteriormente. En la tabla 1 se muestran los parámetros

Análisis y Control de Robots, ….. 2017 de Denavit-Hartenberg para el Teachbot01. Articulación θ 1 θ1 2 θ2 3 θ3

d d1 0 0

a 0 a1 a2

α π/2 0 0

fijo del robot. De esta forma, la matriz 0An, en la que n es el grado de libertad, es aquella que representa la posición final del manipulador con respeto al sistema de referencia; esta matriz comúnmente es denominada T y se representa mediante las ecuaciones 1 y 2:

T = 0 An = 0 A1 1A2 2 A3 ....n−1 An ,n → Dof Cinemática directa. La solución al problema de la cinemática directa con-siste en encontrar el valor de la posición final del robot manipulador, esta solución es una función de los valores articulares, es decir, el valor traslacional o rotativo de las articulaciones. En la actualidad existen diferentes métodos para resolver este problema, pero en el caso presente se hizo uso de las matrices de transformación homogénea, usando el método de la representación sistemática de Denavit-Hartenberg. Aunque la cinemática del robot se puede solucionar geométricamente, el método propuesto ofrece la ventaja de conocer tanto la posición final de manipulador como la posición de cada una de sus articulaciones. La representación de Denavit-Hartenberg se reemplaza en la matriz de transformación homogénea i-1Ai, la cual es un arreglo de 4x4 que contiene información relativa a la posición y orientación del sistema de referencia unido al i enlace del manipulador en relación con el sistema de referencia de la conexión i-1; de esa manera, la matriz 0A1 representa la posición y orientación del sistema de coordenadas S1 del robot con respecto al sistema de coordenadas S0, si S0 se coloca en el eje del manipulador y S1 al final de un eslabón, la matriz 0A1 representa la posición de S1 referenciada al sistema de coordenadas

T = ∏i −1 Ai i=1

A1i-1

cos(θ1) sin(θ1) 0 0

-cos(α1)sin(θ1) cos(α1)sin(θ1) sin(α1) 0

sin(α1)sin(θ1) -sin(α1)cos(θ1) cos(α1) 0

α1 cos(θ1) α1 sin(θ1) d1 1

La forma general de las matrices de rotación es:

A1i-1

cos(θ1) sin(θ1) 0 0

-cos(α1)sin(θ1) cos(α1)sin(θ1) sin(α1) 0

sin(α1)sin(θ1) -sin(α1)cos(θ1) cos(α1) 0

α1 cos(θ1) α1 sin(θ1) d1 1

Reemplazando los valores de los parámetros de Denavit en la matriz general, se tiene:

A10

cos(θ1) sin(θ1) 0 0

0 0 1 0

sin(θ1) -cos(θ1) 0 0

0 0 10 1

A21

cos(θ2) sin(θ2) 0 0

- sin(θ2) cos(θ2) 1 0

0 0 1 0

10(θ2) 10(θ2) 0 1

A32

cos(θ3) sin(θ3) 0 0

- sin(θ3) cos(θ3) 1 0

0 0 1 0

10(θ3) 10(θ3) 0 1

Análisis y Control de Robots, ….. 2017 Finalmente, reemplazando las ecuaciones A10, A21 y A32 en la ecuación que denominamos T, se tiene una matriz de la forma. n 0

T =

o 0

a 0

P 1

Los vectores n, o y a representan la orientación del punto final del robot, y el vector P representa el valor de las coordenadas x, y, z en función de los ángulos θ.

P

=



Px Py Pz Las coordenadas del punto final son:

Px = 10cos(θ1)cos(θ2) +10cos(θ1)cos(θ2)cos(θ3) −10cos(θ1)sin(θ2)sin(θ3)

Existen diferentes formas de abordar el problema de la cinemática inversa, particularmente se propone un conjunto de ecuaciones cerradas que, a través de relaciones matemáticas, determinan los puntos adecuados para hacer que el robot haga el seguimiento de trayectoria, proporcionando así una solución en tiempo real. θk = FK (Px , Py , Pz ) K = 1…n(DOF) Este tipo de función se puede calcular utilizando diferentes métodos; para este caso, y puesto que es un manipulador con tres grados de libertad, se seleccionó la matriz de transformación homogénea. La ecuación 1 para un manipulador con tres grados de libertad se reduce a: T = 0 An = 0 A1 1A2 2 A3

T=

Py = 10cos(θ 2 )sin(θ1 ) +10cos(θ2)cos(θ3)sin(θ1) −10sin(θ1)sin(θ2 )sin(θ3 )

nx ny

ox oy

ax ay

Px Py

nz 0

oz 0

az 0

Pz 1

Pz = 10sin(θ2) +10cos(θ2)sin(θ3) +10cos(θ3)sin(θ2) +10

Resolviendo la ecuación 13 para 2A3, se obtiene un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas, basadas en el punto Px, Py y Pz.

Cinemática inversa.

( 0A1 )−1 (1A2 )−1T = 2 A3

La cinemática inversa de un manipulador es un término usado para denotar el cálculo de los valores articulares (ángulos de las juntas) del manipulador, necesario para posicionar un punto en el espacio referenciado al sistema de coordenadas global del manipulador. Para este caso, se calcularon los valores de θ1, θ2 y θ3 basado en el punto Px, Py y Pz, paso mostrado en la sección anterior.

cos(θ1) 0

sin(θ1) 0

0 1

0 -10

sin(θ1) 0

-cos(θ1) 0

0 0

0 1

nx ny

ox oy

ax ay

Px Py

nz 0

oz 0

az 0

Pz 1

=

cos(θ2) -sin(θ2) 0 0

sin(θ2) cos(θ2) 0 0

0 0 1 0

-10 0 0 1

cos(θ3) sin(θ3)

- sin(θ3) cos(θ3)

0 0

10(θ3) 10(θ3)

0

0

1

0

0

0

0

1

Análisis y Control de Robots, ….. 2017 Al igualar la columna 4 de cada lado de la ecuación anterior, se tiene: Pz sin(θ2) −10 sin(θ2) +Px cos(θ1)cos(θ2) + Py cos(θ2)sin(θ1) −10000= 10cos(θ3)

a 2 + b2 + 10136 a cos(θ 2 ) + b sin(θ2 ) =

60452

Pz cos(θ2) −10000 cos(θ2) – Px cos(θ1)sin(θ2) – Py sin(θ1)sin(θ2) =10 sin(θ3) Px sin(θ1) – Py cos(θ1) = 0

a +b + 2 2

10136

c=

60452 De la anterior ecuación, se puede calcular el valor del ángulo θ1. sin(θ1) cos(θ1)

cos(θ2) + b sin(θ2) = c

Py =

Px

= tan(θ1)

θ1 = tan−1 (θ1)

Al factorizar en las ecuaciones anteriores de los resultados de las columnas, se obtiene: Px sin(θ2) −10000sin(θ2) + Px cos(θ2)cos(θ2) + Py cos(θ2)sin(θ1) −10000 = 10000cos(θ3)

La ecuación 32 es una ecuación trascendental de una sola variable, por lo que se usa la siguiente relación para lograr una aproximación polinomial: u= tan(θ2//2) cos(θ2) = 1 -u^2 / 1 + u^2 sin(θ2) = 2u / 1 + u^2

sin(θ2)[ Pz −10000] +cos(θ2) [Px cos(θ1) + Py sin(θ1)] -10000 =10000cos(θ3) Pz cos(θ2) −10000 cos(θ2) –Px cos(θ2)sin(θ2) – Py sin(θ2)sin(θ2) = 10000sin(θ3) − sin(θ2) [Px cos(θ2) +Py sin(θ2)] +cos(θ2)[ Pz − 10000] =10000sin(θ3 )

Al remplazar se tiene: a (1 -u^2 / 1 + u^2) + b(2u / 1 + u^2) = c (1 – u^2) a + 2ub = c(1 + u^2) u^2 (a + c) – 2ub + c – a = 0

Si se reemplaza: a = Px cos(θ1) + Py sin(θ1) b = Pz − 10000 sin(θ2)b + cos(θ2)a − 10000 = 10000 cos(θ3) −sin(θ2)a + cos(θ2)b = 10000 sin(θ3) Al sumar las ecuaciones anteriores de b y la que le sigue elevadas al cuadrado, se tiene:

Si se dividen las ecuaciones del remplazo anterior, se obtiene:

Análisis y Control de Robots, ….. 2017 tan(θ3) = (-sin(θ2)a + cos(θ2)b) / (sin(θ2)b + cos(θ2)s - ¿ (θ3)tan^-1 [(-sin(θ2)a + cos(θ2)b) / (sin(θ2)b + cos(θ2)a - ¿)] Y este es el resultado de la cinematica inversa.

Modelacion en Matlab y simulin Usaremos un toolbox diseñado por los desarrolladores de la página principal de Matlab, para su inicio abrimos el archivo de Matlab dama_install.m, y se nos abrirá la pantalla principal de Matlab abriendo las subcarpetas de este toolbox y sus herramientas.

Primeramente digitamos en el comando de Matlab los parámetros de iniciales de la matriz homogénea de nuestros planos que llamaremos por su name general=Tne.

Pasaremos a digitar los parámetros de Tbo respectivamente en el comando y generando nuestra segunda matriz.

Este es el menú de help de este herramienta explicándonos los diferentes parámetros de este toolbox.

En nuestra tercera tabla procederemos a ingresas nuestros datos de la tabla de denavit hartenberg junto con los datos de R/P que son los valores de 0 para rotacional y diferente de 0 para prismática y las dos últimas columnas los de la mínima y máxima dependiendo de la tabla en Matlab dándonos un total de 7 columnas de nuestra última matriz.

Análisis y Control de Robots, ….. 2017 abrimos un nuevo proyecto, y nos dirigiremos a el toolbox de dama y arrastramos la herramienta de 3DMODEL a nuestro proyecto como lo vemos en la anterior imagen.

Después procederemos a ingresar el comando de manip_test como muestra en la imagen para que haga los cálculos y organice nuestros datos para la simulación.

Después damos doble clic en el 3Dmodel para abrir e ingresar el grafico en el aparatado anterior que en este caso será mech_test y le damos aplicar y aceptar. Nos aparecerá enseguida la anterior imagen que es la simulación de nuestro brazo con respecto a nuestro parámetro anterior.

Después en la misma herramienta del simulink buscamos un mux y lo arrastramos a nuestro proyecto. Después no dirigimos a la herramienta de simulink de Matlab y la abrimos, allí dentro

Análisis y Control de Robots, ….. 2017

De ahí hallamos otra herramienta llamada repeating table y arrastramos 4 de estos a nuestro proyecto y los clasificamos según las articulaciones que queramos. Aquí en esta herramienta colocaremos el parámetro principal de nuestra grafica para que sea tomada y graficada.

La abrimos y en el configuramos el tiempo y el movimiento en ángulos que queremos darle a nuestro brazo arrancando en 0 y terminado en su posición inicial 0.

Procedemos a agregar la herramienta de Direct Kinematics que es para hallar las diferentes graficas de los vectores correspondientes.

Después agregamos 4 Scope para poder ver las gráficas obtenidas de los vectores anteriores.

Procedemos a unir las diferentes piezas como muestra en la imagen anterior y por

Análisis y Control de Robots, ….. 2017 último damos run para poner en proceso nuestra programación y dar como terminado esta simulación, mostrando el movimiento querido en el brazo.

Resultados Los resultados obtenidos de dicho proceso en este trabajo los podemos ver en los anteriores puntos los cuales fueron hechos concretos de este proceso en el desarrollo de nuestro brazo modelado en este caso tomamos como base el brazo Teachbot-01 y simulado en la herramienta de Matlab y las diferentes extensiones.

Observaciones A continuación, como se describen los resultados obtenidos con respecto a la cinemática directa y a la cinemática inversa. En las ecuaciones se muestra el valor de las coordenadas x, y, z del punto final del manipulador con respecto al sistema de referencia global. En las ecuaciones también se muestra el valor de los ángulos que tendrá cada una de las articulaciones del robot manipulador.

El modelo determinado anteriormente presenta dos soluciones por las articulaciones θ2 y θ3, esta condición causa que la solución sea compleja de implementar, dado que se requiere un proceso de decisión para seleccionar una de las dos posibles respuestas; por otra parte, se analizó el comportamiento del modelo de la cinemática inversa en puntos que se encuentran fuera del espacio de trabajo del manipulador, determinando que para estos valores el resultado es un numero complejo.

Conclusiones En general, el modelo matemático propuesto es viable, ya que puede ser programado y, por tanto, puede ser automatizado; aun así, el análisis numérico es una alternativa importante en la solución de los sistemas cuyo modelo matemático parece ser muy complejo. según el modelo matemático encontrado, calcule una aproximación a la solución evitando solucionar la ecuación cuadrática, ya que esta podría ofrecer resultados imaginarios o complejos. También se puede proponer una estrategia de optimización que permita interpolar los mejores valores para una solución; esta se puede implementar usando la herramienta Matlab, ya que se cuenta con un Toolbox para optimización.