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Capítulo 1: Conceptos Básicos. Estabilidad: La capacidad de una estructuras de alcanzar y permanecer, en forma segura, en equilibrio mecánico cuando es sometida a la acción de fuerzas. Estática: Es la rama de física (mas precisamente de la mecánica) que se ocupa del estudio del equilibrio de los cuerpos y las condiciones que lo rigen. La estática considera a los cuerpos sólidos como rígidos e indeformables. Esto implica (o por lo menos permite suponer sin mayor error) que se mantiene invariable la distancia entre dos este cuando es sometido a la acción de fuerzas externas. A esta teoría se la conoce como Hipótesis de Rigidez. Los Principios de la estática: 1. Es posible reemplazar dos fuerzas (o más) concurrentes por otra llamada resultante que es equivalente a la suma algebraica de ambas. 2. Para que dos fuerzas se equilibren deben tener igual intensidad pero sentidos opuestos. 3. El efecto de un sistema de fuerzas que actúen sobre un cuerpo rígido no se modifica si a este se le agrega un sistema nulo. 4. Toda acción implica la existencia de una reacción de igual intensidad pero sentido opuesto. Un plano de apoyo genera una reacción denominada reacción del vínculo. Fuerza: Toda acción que tienda a modificar el estado inicial de un cuerpo. Se representa mediante un vector que tiene intensidad sentido y dirección. Sistemas de fuerzas:  Sistema de fuerzas concurrentes: Es aquel sistema en que todas las rectas de acción de las componentes se cruzan en un punto común denominado punto de concurrencia. Este tipo de sistemas se reduce a una resultante.  Sistemas de fuerzas no concurrentes: Es aquel sistema en el cual las rectas de acción de las fuerzas componentes no concurren a un punto común. Este tipo de sistemas se reduce a una resultante, a un par o estar en equilibrio.  Sistemas de fuerzas paralelos: Es aquel sistema en el que las rectas de acción de sus componentes son paralelas. Este tipo de sistemas se reduce a una resultante, a un par o a estar en equilibrio. Transmisibilidad de una fuerza: Es posible, de acuerdo con los principios de la estática desplazar una fuerza sobre su recta de acción sin que se altere el efecto que esta produce sobre un cuerpo rígido. Demostración: Dado que P = P’, si agregamos un sistema nulo en B, entonces por el segundo principio de la estática, P y –P’ generan un sistema nulo, que puede quitarse del alterar el efecto, esto de acuerdo al tercer principio de la estática. En conclusión, dará lo mismo que la fuerza P actúe en el punto A o en el B. Momento de una fuerza: El momento de una fuerza P respecto de un punto O se define como el producto de la distancia normal entre el punto y la fuerza por la intensidad de esta. Su unidad más frecuente es el kilográmetro. Por convención el momento de una fuerza es positivo cuando haga girar al cuerpo en sentido de las agujas del reloj, y caso contrario será negativo. Vectorialmente, podemos definirlo como un producto cruz. Siendo M, un vector normal al plano determinado por la recta de acción de la fuerza y el centro de momentos O. 𝑀 =𝑃×𝑑 Teorema de Varignon: Reza que la suma los momentos de cada una de las fuerzas de un conjunto con respecto a un mismo punto del plano es igual al momento de la resultante del sistema de fuerzas con respecto al mismo punto. Se emplea para la reducción de sistemas no concurrentes de fuerzas, o también para la composición de una fuerza con un par.

𝑛

∑ 𝑀 𝐴 = 𝑅 ∙ 𝑑 = ∑ 𝑃𝑖 ∙ 𝑑𝑖 1

Principio de superposición de efectos: El efecto total que produce un sistema de fuerzas aplicado sobre un cuerpo rígido es igual a la suma de los parciales producidos por cada una de las componentes por separado. Pares de fuerzas: Se denomina par al sistema constituido por dos fuerzas de igual intensidad, rectas de acción paralela y sentidos opuestos. Al producto de la intensidad de las fuerzas por la distancia entre ambas se le denomina momento del par. La resultante de un par es siempre nula. Propiedades de los pares de fuerzas: 1. El momento del par no variará si, al variar la distancia “d” hacemos variar P de modo que el producto P.d permanezca constante. 2. El momento de un respecto de un punto cualquiera de su plano no varía y es constantemente igual a P.d. 3. Es posible girar su brazo de palanca alrededor de sus extremos sin que varíe el momento del par. Pares Equivalentes: Un par es equivalente a otro, de acuerdo con el primer principio de la estática, cuando sus productos P.d (momento característico) son iguales. Dos o más pares equivalentes producen el mismo efecto sobre un cuerpo rígido. Traslación de fuerzas: desplazar una fuerza P de su punto de aplicación a otro párelo a su recta de acción implica la aparición de un par denominado par de traslación que es igual al producto de la fuerza P por la distancia d a la que se desea desplazar. El sistema primitivo es equivalente al obtenido y compuesto por la fuerza y el par de traslación. Composición de una fuerza con un par: La composición de una fuerza con un par implica trasladar la fuerza P a una distancia igual al cociente entre el momento del par y la intensidad de la fuerza, de modo que ambos sistemas sean equivalentes. El sistema primitivo queda reducido a una fuerza P que pasa a una distancia d del punto A. 𝑀 𝑑= 𝐹

Capítulo 2: Sistemas planos y espaciales de fuerzas. Sistemas planos de fuerzas: Son aquellos sistemas de 2 o más fuerzas cuyas rectas de acción se hallan en un plano común. Reducción de un sistema: Consiste en hallar un sistema equivalente que contenga la menor la menor cantidad de elementos posibles. Por ejemplo, un Par, una fuerza resultante, o una composición de ambos. Descomposición de un sistema: Hallar un sistema equivalente constituido por dos o tres componentes según direcciones cualesquiera de su plano. Resultante: Es la fuerza que reemplaza al sistema de fuerzas (concurrentes o no) primitivo, y que, de acuerdo con el primer principio de la estática, es equivalente y produce el mismo efecto que todas las fuerzas componentes en su conjunto. Equilibrante: Es la fuerza que, de acuerdo con el segundo principio de la estática, actúa en la misma recta de acción que la resultante del sistema, tiene igual intensidad que esta pero sentido opuesto y equilibra el sistema. Componente: Es una fuerza que tiene un efecto propio sobre el sistema dentro de un sistema de fuerzas. Equilibrio: Es el estado en el que se halla un cuerpo rígido cuando todas las fuerzas que actúan sobre él se anulan y compensan. Polígono de fuerzas: Es un recurso gráfico que permite hallar magnitud, dirección y sentido de la resultante de un sistema de

fuerzas concurrentes. Consiste en proyectar el inicio de un vector representativo hacia el extremo de otro, y luego otro sobre el extremo del primero y así sucesivamente. La resultante se obtiene trazando una recta entre el inicio del primer vector y el extremo del último. Reducción de sistemas concurrentes de fuerzas:  Gráficamente: Para hallar la resultante se realiza un polígono de fuerzas.  Analíticamente: Para un sistema de “n” dispuestas en el plano xy la resultante se puede hallar mediante la siguiente expresión general. 𝑅𝑥 = 𝑅 ∙ cos 𝛼𝑅 = ∑ 𝑃𝑖 ∙ cos 𝛼𝑖 𝑅𝑦 = 𝑅 ∙ sin 𝛼𝑅 = ∑ 𝑃𝑖 ∙ sin 𝛼𝑖 𝑅 = √𝑅𝑥2 + 𝑅𝑦2 Descomposición de una fuerza en 2 direcciones concurrentes a un punto de aplicación:  Gráficamente: Se encuentra implícito en el principio del paralelogramo.  Analíticamente: Para una fuerza P ubicada en el plano xy, la expresión es la siguiente: 𝑃𝑥 = 𝑃 ∙ cos 𝛼𝑅 𝑃𝑦 = 𝑃 ∙ sin 𝛼𝑅 Condiciones de equilibrio de sistema concurrentes de fuerzas:  Gráficamente: Es condición necesaria y suficiente que su polígono de fuerzas sea cerrado, es decir, que su resultante sea nula.  Analíticamente: Las condiciones necesarias y suficientes pueden expresarse de tres formas distintas. 1. Cuando la suma de las proyecciones respecto de 2 ejes no coincidentes sean ambas nulas. 2. Cuando la suma de las proyecciones respecto de un eje sea nula y la suma de los momentos respecto de un punto no coincidente con el eje también sea nula. 3. Cuando la suma de los momentos respecto de dos puntos cualesquiera sean ambas nulas. Polígono funicular: Este es un recurso gráfico utilizado para hallar ubicación, dirección, sentido y magnitud de la resultante de un sistema de fuerzas concurrentes. Consiste en trazar primero un polígono de fuerzas con las “n” componentes del sistema. Una vez hallada la magnitud de la resultante, se escoge un punto arbitrario “O” (denominado de ahora en más polo) hasta el cual se proyectan sucesivos rayos (el rayo I desde la base de la fuerza 1 hasta el polo, el rayo II desde la base de la fuerza dos al polo, y así sucesivamente, finalmente el último rayo irá desde la punta de la última fuerza a dicho punto). Luego se trazará una paralela a los rayos hasta cortar las fuerzas respectivas (el rayo I corta a la fuerza 1, el rayo II a la fuerza 2, etcétera). La recta de acción de la resultante pasará por el punto P donde se cortan el rayo I y el rayo “n+1”. Reducción de sistemas no concurrentes de fuerzas:  Gráficamente: Se realiza mediante la aplicación del Polígono Funicular.  Analíticamente: Para determinar la resultante de un sistema no concurrente lo más común es obtenerlo mediante dos sumatorias de las proyecciones de las componentes respecto de 2 ejes no coincidentes y una sumatoria de momentos respecto de un punto cualquiera del plano (no coincidente con los ejes).

𝑛

𝑅𝑥 = 𝑅 ∙ cos 𝛼𝑅 = ∑ 𝑃𝑖 ∙ cos 𝛼𝑖 𝑖 𝑛

𝑅𝑦 = 𝑅 ∙ sin 𝛼𝑅 = ∑ 𝑃𝑖 ∙ sin 𝛼𝑖 𝑖 2

𝑅 = √𝑅𝑥 + 𝑅𝑦 2 𝑛

𝑛

∑ 𝑀 𝐴 = ∑ 𝑃𝑖 ∙ sin 𝛼𝑖 (𝑋𝐴 − 𝑋𝑖 ) + ∑ 𝑃𝑖 ∙ cos 𝛼𝑖 (𝑌𝐴 − 𝑌𝑖 ) 𝑖

𝑖

Es posible también reducir el sistema mediante 2 ecuaciones de momentos respecto a dos puntos no alineados del plano y una sumatoria de las proyecciones de las componentes respecto a un eje, o también planteando tres sumatorias de momentos. Descomposición de sistemas de fuerzas no concurrentes:  Método de Cullman: Este método gráfico se utiliza para descomponer una fuerza en tres direcciones no concurrentes. El procedimiento para descomponer la fuerza P en las direcciones 1,2, y 3, siempre y cuando las 4 rectas de acción formen un cuadrilátero, consiste en trazar una recta auxiliar (denominada recta auxiliar de Cullman) entre los puntos de concurrencia de P y P1, P2 y P3. Trazamos el Polígono de fuerzas de modo que A + P1 = P y obtenemos P1. Luego descomponemos A en las direcciones 2 y 3 y obtenemos P2 y P3. Si eliminamos la fuerza auxiliar A, veremos que P1 + P2 +P3 = P con lo que queda descompuesta la fuerza en las 3 direcciones.  Método de Ritter: Este método gráfico se utiliza para descomponer una fuerza en tres direcciones no concurrentes. El procedimiento para descomponer la fuerza P en las direcciones 1, 2 y 3 consiste en plantear una sumatoria de momentos en los puntos A, B y C de modo que se anulen las proyecciones y obtenemos: ∑ M A = P ∙ dA = P1 ∙ d1 ∑ M B = P ∙ dB = P2 ∙ d2 ∑ M C = P ∙ dC = P3 ∙ d3 Por el Teorema de Varignon podemos despejar d1, d2, d3. Los signos de las componentes serán aquellos que hagan girar el sistema alrededor del centro de momentos en el mismo sentido que la resultante.  Método analítico: Es posible descomponer una fuerza P y hallar las magnitudes de las componentes P1, P2 y P3 de acuerdo con tres ecuaciones que pueden plantearse de la siguiente manera: 1. Dos ecuaciones de proyección sobre un eje u una ecuación de suma de momentos respecto a un punto. 2. Una ecuación de proyección sobre un eje y dos ecuaciones de suma de momentos respecto de 2 puntos cualquiera del plano. 3. Tres ecuaciones de momentos respecto de 3 puntos no alineados. Determinación del Momento de una fuerza respecto de un punto mediante el polígono funicular: El momento de “R” respecto al punto “P” es igual al producto del segmento AB medido en la escala de longitudes por el segmento “h” medido en la escala de fuerzas, siendo

AB la longitud de la proyección de la resultante sobre el punto “P” entre las rectas de los rayos I y IV (primero y último) y “h”, la distancia normal de la resultante al polo. 𝑀𝑅𝑃 = 𝐴𝐵 ∙ ℎ ∙ 𝐸𝑠𝑐 𝐹 ∙ 𝐸𝑠𝑐 𝐿 Condiciones de equilibrio de sistemas No Concurrentes:  Gráficamente: Es condición necesaria y suficiente que tanto su polígono de fuerzas como su polígono funicular resulten cerrados.  Analíticamente: Las condiciones necesarias y suficientes pueden expresarse de tres formas distintas. 1. Cuando la suma de las proyecciones respecto de 2 ejes no coincidentes sean ambas nulas y también lo sea la suma de los momentos respecto a un punto no alineado a los ejes. 2. Cuando la suma de las proyecciones respecto de un eje sea nula y la suma de los momentos respecto de dos puntos no alineados a los ejes también sean nulas. 3. Cuando la suma de los momentos respecto de tres puntos coplanares no alineados entre sí sean todas nulas. Casos particulares de los Sistemas no concurrentes:  Gráficamente:  Si el polígono de fuerzas resulta cerrado y el polígono funicular resulta abierto, el sistema se reduce a un Par.  Si tanto el polígono de fuerzas como el polígono funicular resultan abierto el sistema se reduce a una resultante.  Analíticamente:  ∑ Fx ≠ 0 ; ∑ Fy ≠ 0 ; ∑ MA = 0 → El sistema se reduce a una resultante.  ∑ Fx = 0 ; ∑ Fy = 0 ; ∑ MA ≠ 0 → El sistema se reduce a par. Sistemas paralelos de fuerzas:  Definición: Son aquellos sistemas en los que las rectas de acción de las fuerzas componentes son paralelas entre sí.  Reducción:  Gráficamente: Se puede obtener trazando un polígono funicular e intersecando los rayos primero y último para obtener el punto por el que pasa la recta de acción de la resultante. La intensidad se obtiene del polígono de fuerzas.  Analíticamente: La resultante del sistema puede quedar analíticamente definida por dos ecuaciones: una sumatoria de fuerzas en el sentido de las rectas de acción junto con una suma de momentos respecto a un punto del plano, o bien, dos ecuaciones de suma de momentos respecto a dos puntos no alineados a los ejes.  Descomposición: Se puede descomponer una fuerza en 2 componentes paralelas mediante el uso del Polígono Funicular. Consiste en hallar el rayo II primeramente como el segmento que une con los puntos B y C. Luego se proyecta el rayo hallado sobre el polígono de fuerzas a fin de hallar las intensidades de P1 y P2.

Capitulo 3: Geometría de las masas Momento estático o de primer orden: Definimos como momento estático o de primer orden de una masa mi respecto de un plano, al producto de la masa mi por su distancia al mismo. 𝑥𝑦 𝑦𝑧 𝑆𝑖𝑥𝑧 = 𝑚𝑖 𝑦𝑖 𝑆𝑖 = 𝑚𝑖 𝑧𝑖 𝑆𝑖 = 𝑚𝑖 𝑥𝑖

Centro de masa: Se define como centro de masa de un conjunto discreto a un punto material, cuya masa es igual a la suma de las masas que lo componen y cuyo momento estático respecto de cada uno de los planos es igual a la suma de los momentos estáticos de las masas componentes, respecto de de dichos planos. 𝑛

𝑛

𝑀 = ∑ 𝑚𝑖

𝑀 ∙ 𝑦𝐺 = ∑ 𝑚𝑖 𝑦𝑖

𝑀 ∙ 𝑥𝐺 = ∑ 𝑚𝑖 𝑥𝑖

𝑀 ∙ 𝑧𝐺 = ∑ 𝑚𝑖 𝑧𝑖

1 𝑛

1 𝑛

1

1

Si todas las masas son coplanares, ubicadas en el plano xy por ejemplo, por ser nulas las distancias zi, se anulan las expresiones que lo contengan y se denominan momentos estáticos de las masas de las masas respecto de los ejes x e y. 𝑛

𝑛

𝑀 ∙ 𝑥𝐺 = ∑ 𝑚𝑖 𝑥𝑖

𝑀 ∙ 𝑦𝐺 = ∑ 𝑚𝑖 𝑦𝑖

1

1

Nulidad de los momentos estáticos: La suma de los momentos estáticos de un conjunto plano discreto de masas respecto de un eje cualquiera que pase por su centro de masas, es nulo. Lo mismo se aplica para los momentos respecto de un plano. Conjuntos continuos de masas: Si consideramos los cuerpos como conjuntos continuos de masas elementales. En este caso, las masas mi se transforman en elementos dm, distribuidos en el volumen del cuerpo considerado. ∫ 𝑥 𝑑𝑚 ∫ 𝑥𝛾𝑑𝑉 ∫ 𝑦 𝑑𝑚 ∫ 𝑥𝛾𝑑𝑉 𝑥𝐺 = = 𝑦𝐺 = = ∫ 𝑑𝑚 ∫ 𝛾𝑑𝑉 ∫ 𝑑𝑚 ∫ 𝛾𝑑𝑉 En el caso, en que la densidad sea constante, γ desaparece de las expresiones, que definen un centro de volumen, que coincidirá con el centro de masa. Si consideramos los pesos de las masas elementales dP=g∙dm, estaremos hallando los centros de gravedad, que coincidirán con el centro de volumen y de masa en el caso en que g sea constante. También se lo conoce como baricentro del conjunto de masas. Baricentros de áreas: Primeramente, se debe tener en cuenta que si la figura posee un centro de figura (centroide), este coincide con el baricentro del área de la misma. Baricentros de las superficies de las figuras más importantes: 𝑏 2



Rectángulo:

𝑥𝐺 =



Semicírculo:

𝑥𝐺 = 0

𝑦𝐺 = 𝑦𝐺 = 4𝑅 3𝜋



Cuarto de circulo:



Triangulo:

𝑥𝐺 = 3



Trapecio:

𝑦𝐺 =



Area semiparabolica:

𝑥𝐺 =



Área parabólica:

𝑥𝐺 = 0 𝑦𝐺 =



Sector Circular:

𝑥𝐺 =

𝑥𝐺 = 𝑏

ℎ 2 4𝑅 3𝜋 4𝑅

𝑦𝐺 = 3𝜋 ℎ

𝑦𝐺 = 3

ℎ(2𝐵+𝑏) 3(𝐵+𝑏) 3𝑎 8

3𝑟𝑠𝑒𝑛𝛼 3𝛼

𝑦𝐺 =

3𝑓 5

3ℎ 5

𝑦𝐺 = 0

Momentos de segundo orden de superficies:  Se denomina momento centrífugo o producto de inercia respecto del par de ejes x e y al producto del elemento dA por las distancias a ambos ejes. 𝐽𝑥𝑦 = ∫ 𝑥𝑦 𝑑𝐴



El momento de inercia de una superficie respecto de un eje cualquiera de su plano es igual a la integral del producto del elemento diferencial de superficie por el cuadrado de la distancia a dicho eje. Se pueden interpretar como la resistencia que la pieza opone al movimiento respecto de los ejes mencionados, y depende de su geometría. 𝐽𝑥 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝐴



𝐽𝑦 = ∫ 𝑦 2 𝑑𝐴

El momento polar de inercia se obtiene como la integral del elemento diferencial de área por el cuadrado de la distancia ρ al origen de coordenadas O. 𝐽𝑜 = ∫ 𝜌2 𝑑𝐴 = 𝐽𝑥 + 𝐽𝑦

[𝜌2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 ]

Signo y unidades de los momentos de segundo orden: Las unidades de los momentos de segundo orden, que son superficies multiplicadas por distancias al cuadrado, por lo cual serán unidades de longitud a la cuarta. Ejemplo, m4, cm4, etc. Los momentos de inercia y polar siempre poseen signo positivo, en tanto los productos de inercia dependiendo de su ubicación en el plano coordenado serán positivos (I y III cuadrante) o negativos (II o IV cuadrante). Radio de giro: Se entiende como el cociente entre el momento de inercia de una superficie y el área de la misma. Se denomina radio de giro de la superficie respecto del eje considerado. 𝐽 𝐼2 = 𝐹 Teorema de Steiner (momentos de segundo orden respecto a ejes paralelos): El momento de inercia de una superficie respecto de un eje cualquiera de su plano, es igual al momento de inercia de la misma respecto de un eje baricéntrico, paralelo al anterior, más el producto del área de la superficie por el cuadrado de la distancia que separa ambos ejes. 𝐽 = 𝐽𝑔 + 𝐴 ∙ 𝑑 2 De esta expresión, dividiendo ambos miembros entre el área A, obtenemos la expresión que define el radio de giro de una superficie respecto de un eje, en función del correspondiente a un eje baricéntrico paralelo al dado. 𝐼 2 = 𝐼𝑔2 + 𝑑 2 

Demostración: 𝐽𝑥 = ∫ 𝑦 2 𝑑𝐴

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑦 = 𝑦𝑔 + 𝑑 2

𝐽𝑥 = ∫(𝑦𝑔 + 𝑑) 𝑑𝐴 𝐽𝑥 = ∫(𝑦𝑔 2 + 2𝑑𝑦𝑔 + 𝑑 2 ) 𝑑𝐴 𝐽𝑥 = ∫ 𝑦𝑔 2 𝑑𝐴 + 2𝑑 ∫ 𝑦𝑔 𝑑𝐴 + 𝑑2 ∫ 𝑑𝐴 𝐽𝑥 = 𝐽𝑥𝑔 + 0 + 𝑑2 𝐴 Extensión del teorema de Steiner al caso de los momentos de inercia polares: El momento de inercia polar respecto de un polo que diste una distancia d del baricentro, es igual al momento e inercia polar baricentro mas el producto del área de la superficie por el cuadrado de la distancia que separa ambos polos. 𝐽𝑜 = 𝐽𝑜𝑔 + 𝐴 ∙ 𝑑2

Transformación de coordenadas (rotación de los ejes): 𝑥 ′ = 𝑥 ∙ cos 𝛼 + 𝑦 ∙ sin 𝛼 𝑦 ′ = 𝑦 ∙ cos 𝛼 − 𝑥 ∙ sin 𝛼 Momentos de segundo orden con respecto a ejes de un mismo origen: Reemplazando las coordenadas por x’ e y’ obtenemos los momentos de inercia respecto a un par de ejes rotados un ángulo α respecto a los originales. 𝐽𝑥 ′ = 𝐽𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 𝐽𝑦 ∙ 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 + 𝐽𝑥𝑦 ∙ sin 2𝛼 𝐽𝑦 ′ = 𝐽𝑦 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 𝐽𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 + 𝐽𝑥𝑦 ∙ sin 2𝛼 1 𝐽𝑥 ′ 𝑦 ′ = 𝐽𝑥𝑦 ∙ cos 2𝛼 + (𝐽𝑦 − 𝐽𝑥 ) sin 2𝛼 2 Ejes principales de inercia: Se denominan como ejes principales de inercia al par de ejes conjugados (para los cuales Jxy=o) ortogonales para los cuales los momentos de inercia alcanzan valores máximos y mínimos. Los momentos de inercia correspondientes a dichos ejes se denominan momentos principales de inercia. Para un par de ejes principales de inercia el momento centrífugo es nulo. Si se quiere encontrar los ángulos para los cuales se cumple esto. 𝐽𝑦 − 𝐽𝑥 2𝐽𝑥𝑦 tan 2𝛼2 = − tan 2𝛼1 = 2𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑦 − 𝐽𝑥

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𝐽𝑚á𝑥 = 1⁄2 (𝐽𝑦 + 𝐽𝑥 ) + 1⁄2 √(𝐽𝑦 − 𝐽𝑥 )2 + 4𝐽𝑥𝑦 2 𝐽𝑚𝑖𝑛 = 1⁄2 (𝐽𝑦 + 𝐽𝑥 ) − 1⁄2 √(𝐽𝑦 − 𝐽𝑥 )2 + 4𝐽𝑥𝑦 2 Momentos de inercia de figuras conocidas (respecto a ejes baricéntrico):  Rectángulo: 𝑏ℎ3 ℎ𝑏 3 𝐽𝑥𝑦𝑔 = 0 𝐽𝑥𝑔 = 𝐽𝑦𝑔 = 12 12  Triángulo: 𝑏ℎ3 ℎ𝑏 3 𝑏 2 ℎ2 𝐽𝑥𝑔 = 𝐽𝑦𝑔 = 𝐽𝑥𝑦𝑔 = 36 36 72  Círculo: 𝐽𝑜 𝜋𝐷 4 𝐽𝑥 = 𝐽𝑦 = = 2 64  Segmento parabólico: 8 𝐽𝑦𝑔 = 𝑏𝑓 3 175  Trapecio: ℎ2 ℎ2 (𝐵 + 3𝑏) ; 𝑧 = 𝐵 (3𝐵 + 𝑏) ; 𝑧 = 𝑏 𝐽𝑥 = 𝐽𝑥 = 12 12

Circunferencia de Mohr: Este tipo de construcción gráfica permite determinar los momentos de segundo orden de figuras y principalmente se emplea para determinar los ejes principales de inercia y los correspondientes momentos máximos y mínimos de inercia. Según este tipo de construcción, el momento centrífugo de la superficie respecto de un par de ejes dados es igual a la distancia del punto P, denominado polo de la circunferencia o punto principal de inercia, a la cuerda determinada por la intersección de los ejes con la circunferencia, leído en una escala 2R/J P. Determinación de la dirección de los ejes conjugados de inercia la circunferencia de Mohr: Para la determinar la dirección conjugada de inercia de un eje cualquiera, se une el punto en el que dicho eje corta la circunferencia (A) para luego unirlo con el polo P, y prolongándolo hasta cortar nuevamente la circunferencia en un punto B. El eje conjugado (y’) queda definido por la recta OB. Determinación de los ejes principales de inercia con la circunferencia de Mohr: Al igual que el caso anterior, solo que se busca un par de ejes en este caso, ortogonales. Para esto, se traza el diámetro pasando por P, determinando los puntos de intersección A y B. Las AO y BO determinan los ejes conjugados ortogonales, o bien, los ejes principales de inercia. Signo del momento centrifugo: Para semiejes del mismo signo cuando el polo P y el origen O resulten separados por la cuerda correspondiente, el momento centrífugo será positivo. Si quedan ubicados del mismo lado, negativo. Construcción de la circunferencia de Mohr: Para el trazado de la misma, se requiere conocer tres momentos de segundo orden, los cuales pueden ser centrífugos o de inercia, respecto de ejes ortogonales o no ortogonales entre sí. A continuación se analizarán los posibles casos:  Se conocen dos momentos de inercia respecto de dos ejes ortogonales y el momento centrifugo respecto del mismo para de ejes: Se traza una circunferencia cualquiera de diámetro 2R y por los puntos A y B en que la misma corta los ejes x e y, una recta AB. La escala empleada será (Jx+Jy)/2R. Llevamos desde A y sobre el diámetro un segmento AM de longitud Jx en la escala seleccionada. El segmento MB representara Jy. Luego trazamos por M una normal a AB cuya longitud en la escala seleccionada sea J xy hasta el punto P.  Se conocen dos momentos de inercia respecto de dos ejes ortogonales y un tercero respecto de un eje cualquiera: Se traza una circunferencia cualquiera de diámetro 2R y por los puntos A y B en que la misma corta los ejes x e y, una recta AB. La escala empleada será (JX+JY)/2R. Si trazamos una paralela a la tangente en C que diste de esta una distancia igual al tercer momento de inercia conocido JV en la escala correspondiente, la intersección de esa recta con la normal en M, determina el punto P.  Se conocen los momentos de inercia respecto de 3 ejes no ortogonales: Dado que ningún par de ejes son ortogonales, no es posible determinar Jp y por consiguiente la escala. Con el objeto de ubicar el polo P, se traza la circunferencia en una

escala arbitraria K. Primeramente se trazan por los puntos A, B y C en donde los ejes cortan a la circunferencia, las respectivas tangentes. Luego se trazan tres rectas paralelas a las anteriores que disten, en la escala K, una distancia igual a los respectivos momentos de inercia conocidos. Se determinan los puntos M y N, de intersección de las tangentes y, M’ y N’, se intersección de las paralelas. La intersección de las rectas MM’ y NN’ determinan el punto P.  Se conocen dos momentos de inercia respecto de dos ejes no ortogonales y el correspondiente momento centrifugo: Dado que ningún par de ejes son ortogonales, no es posible determinar J p y por consiguiente la escala. Trazada la circunferencia de acuerdo a una escala arbitraria K, se ubica la cuerda AB y se trazan, una paralela a la cuerda y dos paralelas a las tangentes a la circunferencia en A y B. Se trazan a distancias tales que en la escala adoptada correspondan a los valores del centrífugo y los dos momentos de inercia. Luego se determinan los puntos A’ y B’, de intersección de las paralelas. La intersección de las rectas AA’ y BB’ determinan el polo P. Calculo de momento de inercia: Primero se calcula el área de todas las figuras. Luego se determinan las coordenadas de los centroide (baricentros). Se calculan los momentos estáticos individuales y luego se suman. Dividiendo estos por el área total obtenemos las coordenadas del centroide. Luego se cálculos los momentos de segundo orden respecto a los ejes ortogonales baricéntrico. Luego, para aplicar el teorema de los ejes paralelos, calculan los productos Ai∙xi2 y Ai∙yi2. Luego se le suman dichos términos a los momentos baricéntrico y se obtienen los momentos respecto de los ejes coordenados. Figura

Area Ai

Baricentro Xi Yi

Estaticos AiXi AiYi

M de 2º Orden Baric Jxc Jyc Jpc

Ejes Paralalos Ai.Xi2 Ai.Yi2 Ai.(x2+y2)

Mom de 2º Orden Jx Jy Jp

1 2 Total

Capitulo 4: Cargas Distribuidas. Intensidad de carga: Es la distribución de la carga aplicada a lo largo de la superficie en la que actúa y que tiene un valor para cada punto a lo largo de este. Esta distribución puede ser según una ley o variable. Distribución de carga uniforme: Cuando la distribución de la carga se mantiene uniforme sobre toda la superficie en la que actúa, también se denomina carga constante. Distribución de carga según una ley: La distribución de la carga puede darse comúnmente según una ley lineal, puede también darse según una ley cuadrática o cúbica. Se puede definir a la distribución de carga según una Función de carga q (x), cuya unidad es kg/m. Diagrama de carga: Se denomina así a la superficie comprendida entre la línea de carga, la línea cargada y las ordenadas extremas. Resultante de una fuerza distribuida: La intensidad de la resultante de una fuerza distribuida sobre una línea es proporcional al área del diagrama de carga, y su recta de acción pasa por el baricentro del mismo. 𝑙

𝑅 = ∫ 𝑞 (𝑥) 𝑑𝑥 ; 𝑋𝑅 = 0

𝑙

∫0 𝑞(𝑥)𝑥 𝑑𝑥 𝑙

∫0 𝑞(𝑥) 𝑑𝑥

Capitulo 5: Cuerpos Vinculados: Sistemas de puntos materiales: Conjunto de puntos materiales vinculados entre sí por la condición de rigidez. Chapa: Material ideal de espesor infinitesimal que cumple con la hipótesis de rigidez, para que un sólido pueda ser reemplazado por una chapa debe ser simétrico respecto de la distribución de cargas, densidad y peso. Cuando la totalidad de fuerzas actuantes sobre un cuerpo pueden reemplazarse por uno equivalente que actúa en el plano de simetría, entonces el cuerpo sólido puede ser reemplazado por un sistema denominado chapa. Vínculo: Toda condición geométrica que limite la posibilidad de movimiento de una chapa. Tipos:  Absolutos: Cuando limitan la movilidad del cuerpo (sustentar) respecto a tierra, también llamados vínculos externos, se materializan mediante dispositivos llamados apoyos.  Relativos: Cuando limitan la movilidad de un cuerpo (sustentan) con respecto a otro cuerpo, también llamados vínculos internos, se materializan mediante dispositivos llamados nodos. Grados de Libertad: Se define como el número de posibilidades de desplazarse en el sentido de un eje o de rotar en torno a un punto que posee un sistema. Una chapa posee tres grados de libertad: Dos en el sentido de los ejes y uno de rotación. Condiciones de Vínculo: Número de grados de libertad que le son suprimidos a una chapa. Desplazamiento de la chapa: Todo desplazamiento de la chapa es en torno a un polo de rotación, ya sea propio o impropio.  Cuando todos sus puntos se desplazan arcos de circunferencia en torno a un centro común, se dice que la chapa experimenta una rotación.  Cuando todos sus puntos se desplazan en una misma dirección, o dicho de otra forma, rotan en torno a un polo impropio, se dice que la chapa experimenta una traslación. Tipos de Apoyos:  Simples o de 1ª especie: Son aquellos que restringen 1 grado de libertad, también llamados apoyos móviles.  Dobles o de 2ª especie: Son aquellos que restringen 2 grados de libertad, también llamados apoyos fijos.  Triples o de 3ª especie: Son aquellos que restringen 3 grados de libertad, es el caso de los empotramientos. Equivalencia entre apoyos: Un apoyo fijo se puede obtener mediante 2 bielas concurrentes a un punto (apoyo ficticio). Un apoyo triple se puede obtener ficticiamente con uno fijo y otro móvil en distintos puntos de la sección, o bien, con 3 bielas, 2 concurrentes a un punto y la restante a otro. Vínculo aparente: Cuando en una chapa sustentada mediante un apoyo fijo y otro móvil, la normal a la dirección de rodamiento del apoyo móvil pasa por un apoyo, existe vínculo aparente. Tipos de sustentación de una chapa:  Equilibrio Isostático: Cuando una chapa se encuentra sustentada a tierra mediante un número de condiciones de vínculo igual a sus grados de libertad.  Equilibrio Hipostático: Cuando una chapa se encuentra sustentada a tierra mediante un número de condiciones de vínculo menor a sus grados de libertad.  Equilibrio Hiperestático: Cuando una chapa se encuentra se encuentra a tierra mediante un número de condiciones de vínculo superior a sus grados de libertad. Las condiciones de vínculo impuestas en exceso se denominan superabundantes o superfluas, el grado de hiperestaticidad es el número de condiciones de vínculo que sobran. Reacciones de Vínculo: Son las reacciones que generan los vínculos los vínculos ante la acción de las fuerzas que actúan sobre la(s) chapas(s).  El apoyo móvil es capaz de reaccionar sólo en la dirección normal a su plano de rodadura.  El apoyo fijo puede reaccionar en cualquier dirección, comúnmente esa reacción se descompone en dos direcciones: horizontal y vertical.  Un empotramiento es capaz de reaccionar en cualquier dirección, además de equilibrar mediante un momento denominado de empotramiento.

Determinación de las reacciones de vínculo en una chapa:  Un apoyo móvil y un fijo: Sabiendo que el apoyo B reacciona en la dirección normal y su recta de acción corta a R en M, podemos obtener el segmento AM. Luego obtenemos B del triangulo de fuerzas.  Tres apoyos móviles: Dado que se conocen las 3 direcciones normales se puede resolver por el método de Cullman. Cuidando solamente que el sentido de las fuerzas conduzcan a un sistema cerrado.  Un empotramiento: Reduciendo la resultante R al baricentro de la sección C se genera un par de traslación, el cual debe ser equilibrado con un momento de empotramiento.  Determinación Analítica: Dado que se necesitan como máximo 3 condiciones de vínculo (3 reacciones a determinar) siempre se podrán obtener dichos valores planteando las 3 ecuaciones de equilibrio de cuerpos rígidos. Cuando el número de incógnitas supera 3 se dice que la chapa esta estáticamente indeterminada. Cadena cinemática de Chapas: Se denomina así al sistema que se genera al articular dos o más chapas entre sí. Esta articulación consiste en un vínculo interno y restringe 2 grados de libertad. En forma general, un sistema de “n” chapas posee “n-1” articulaciones y “n+2” grados de libertad. Por lo tanto, bastará con imponerle “n+2” condiciones de vínculo para equilibrarlo, cuidado que ninguna chapa resulta con más de 3 condiciones impuestas sobre ella (hiperestática). Se clasifican en:  Abiertas: Son el conjunto de chapas articuladas entre sí en el que las chapas extremas están articuladas solo con una, y las restantes se articulan a dos.  Cerradas: Son aquellas en las que las chapas extremas están articuladas entre sí, es decir, que cada chapa está vinculada a otras dos. Cadena cinemática de 2 chapas. Determinación de Reacciones de vínculo: Para sustentar a tierra una cadena de 2 chapas será necesario imponerle 4 condiciones de vínculo. Para determinar las reacciones de vínculo, el procedimiento general consiste en suponer descargada una chapa y la restante como cargada y determinar las reacciones de vínculo parciales para la chapa cargada. Luego, por el principio de superposición de efectos, sumarlas geométricamente. A continuación se explican 3 casos particulares:  Un apoyo fijo y uno móvil en una chapa y en la otra un móvil: Si supones cargada sólo la chapa de la derecha, podemos descomponer la resultante izquierda (Ri) en las direcciones NC y NP, que cambiadas de signo nos dan las reacciones T y Rc. Pasando ahora a la chapa izquierda, componemos –T con Rd y obtenemos Q. Luego descomponemos Q en las direcciones de AM y BM, que cambiadas de signo nos dan las reacciones Ra y Rb.

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Analíticamente, tenemos 4 incógnitas y suponiendo las direcciones y sentido de las reacciones, utilizamos 4 ecuaciones para despejar las intensidades. Utilizamos las ya conocidas 3 ecuaciones de equilibrio y una ecuación de sumatoria de momentos nula de las fuerzas activas y reactivas aplicadas a la izquierda o a la derecha de la articulación P respecto de ese mismo punto.

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Una chapa empotrada y otra con un apoyo móvil: Cargando solamente la chapa 2 (apoyo móvil), intersectando la dirección normal del apoyo con R d en el punto N, descomponemos la resultante derecja en BN y PN, las cambiamos de signo y damos con Rb y T. Luego componemos –T en la chapa 1 con Ri y obtenemos Ri’, la cual se equilibea con una reacción del empotramiento R e de igual intensidad y sentido contrario. El momento de empotramiento será el generado por R e respecto de A.  Analíticamente, se procede igual que el caso anterior. Las incógnitas serán las componentes de la reacción del empotrado, el par de empotramiento y la reacción del móvil.  Dos apoyos fijos y una articulación (Arco a 3 articulaciones): Este tipo de estructura posee dos vínculos absolutos uno relativo entre ambas chapas. Para que en este tipo de estructura no exista vinculo aparente, las tres articulaciones no deben ser colineales. Suponemos descargada S 2 (la cual reemplazamos por la biela BP). Intersecamos R1 en la dirección BP y obtenemos el punto M. Ahora descomponemos R1 en AM y AP, le cambiamos el signo y tenemos Ra1 y Rb1 (reacciones parciales). Ahora, intersecamos R2 en la dirección de la biela AP y obtenemos el punto N. Luego descomponemos R2 en BP y BN y cambiándole el sentido, tenemos Ra2 y Rb2. Sumamos geométricamente las reacciones concurrentes y así obtenemos Ra y Rb. Las intersecciones de las reacciones con sus respectivas resultantes determinan los puntos E y F, que a su vez determinan la recta de acción EF de las reacciones del vínculo interno en P, que son T y– T. En el polígono de fuerzas, el equilibrio interno queda garantizado por el sistema nulo de T y –T. Mientras que el equilibrio externo de la estructura esta dado por el polígono R b + R1 + Rb + R2.  Analíticamente, el proceder es igual a los anteriores, Las incógnitas son Ha, Hb, Va y Vb. Cadenas Cinemáticas de 3 chapas. Determinación de las reacciones de vínculo: Las cadenas cinemáticas de 3 chapas requieren 5 condiciones de vinculo, distribuidas de modo tal que ninguna quede hiperestáticamente sustentada. De acuerdo a su distribución, se pueden presentar 5 casos.  Tres en una chapa extrema, una en la chapa central y una en la restante: Descomponemos R3 en las direcciones ED y ND, las que cambiadas de signo dan las reacciones D y N. Componemos –N con R2 y obtenemos R2’. Ahora la descomponemos en CF y CM para obtener D y M. Componemos –M con R1 y obtenemos R1’. Descomponemos R1’ en las direcciones BG y AG y cambiándole de signo tenemos las reacciones en A y B, con los que quedan resueltas.

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Dos en una chapa extrema, dos en la central y una en la restante: Primero se obtienen las reacciones en C y N, igual que para el caso anterior. Luego se compone –N con R2 para obtener R2’. Luego se resuelve el sistema S1 y S2 como un arco a tres articulaciones. Tres en la extrema, ninguna en la central y dos en la restante: El sistema S2, S3 conforman un arco de 3 articulaciones, dado que por estar S1 fija a tierra el nodo M se comporta como un apoyo fijo. Una vez resuelto y obtenida la reacción en M, luego componemos –M con R1 para obtener R1’. Finalmente, descomponemos R1’, en AG y BG, que cambiadas de signo son RA y RB. Tres en la chapa central y una en cada una de las restantes: Primeramente, se obtienen las reacciones en N y D, luego en A y M como ya se ha explicado. Luego se componen –M, -N y R2. Finalmente se descompone R2’ y se le cambia el signo a las componentes. Dos en cada chapa extrema y una en la central: Intersecamos la dirección de la biela NC con la normal del apoyo móvil en B, el punto F genera con la articulación en M un apoyo móvil ficticio. Descomponemos R 1 en la dirección EM y AE. Cambiándolas de signo obtenemos Rb’ y Rc’. Pasando a la chapa S2, que se encuentra sustentada mediante el móvil B y las bielas AM y CN. Por lo cual descomponemos R 2 en esas tres direcciones (método de Culmann) y le cambiamos el signo. Obtenemos entonces Ra’’, Rb’’ y Rc’’. El procedimiento para la chapa S3 es similar al para la chapa S1. La intersección de la recta de acción de la biela AM y el apoyo móvil en B (el punto G), que unido con la articulación N determina la dirección normal del apoyo móvil ficiticio aplicada en la chapa. Por lo tanto descomponemos R3 en las direcciones Ra’’’ y Rb’’’. Finalmente se componen las reacciones parciales en cada apoyo. Nótese que las reacciones R a, Rb y Rc deben formar un polígono de fuerzas cerrado con R1, R2 y R3.  Analíticamente: Dado que se necesitan 5 condiciones de vínculo, debemos hallar 5 incógnitas por lo que necesitamos 5 ecuaciones, las cuales son 3 condiciones de equilibrio externo y dos de equilibrio interno en las articulaciones. ∑ 𝐹𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0

∑ 𝑀𝑀 = 0 ∑ 𝑀𝑁 = 0

∑ 𝐹𝑧 = 0 Cadenas Cinemáticas de Chapas cerradas: El número de grados de libertad en una cadena cinemática de chapas cerrada es igual al número de chapas que lo componen. Por lo tanto, para equilibrarlo será necesario imponerle tantas condiciones de vínculo como chapas tenga el sistema, cuidando que ninguna de ellas quede hiperestáticamente sustentada.  Cadenas Cinemáticas de 3 chapas cerradas:  Gráficamente se resuelve como una sola chapa rígida.  Analíticamente, se pueden despejar las 3 incógnitas de las condiciones de equilibrio de los sistemas planos de fuerzas.

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Cadenas Cinemáticas de 4 chapas cerradas: Para equilibrarla será necesario imponerle 4 condiciones de vínculo, las cuales pueden estar distribuidas de 6 formas diferentes.  3 en una chapa y otra en la chapa adyacente.  3 en una chapa y otra en una chapa no adyacente.  2 en una chapa y otras 2 en otra chapa adyacente: El sistema de las chapas S1 y S2 conforman, al igual que el sistema S3 y S4, un arco a 3 articulaciones. El problema se resuelve determinando primero las reacciones en N y T como se hace en un arco triarticulado. Luego se componen con R 1 y R2. Finalmente se resuelve el arco inferior pero con R 1’ y R2’.  2 en una chapa y otras 2 en una chapa no adyacente.  2 en una chapa y una en cada chapa adyacente a cada lado.  2 en una chapa, 1 en una adyacente y otra en una chapa no adyacente.

Capitulo 6: Sistemas de Reticulados Planos Barra. Definición: Definimos barra como toda chapa cuya sección transversal es pequeña en relación con su longitud de modo que se considera despreciable. Sistema Reticulado. Definición: El sistema de reticulado es una estructura compuesta por barras articuladas entre sí en forma de sucesivos triángulos de modo que se comporta como una sola chapa rígida, es decir, que cumple con la hipótesis de rigidez. Sistema Reticulado. Componentes: Los reticulados están compuestos por barras y nudos, que son los puntos en donde confluyen (se articulan) dos o más barras. Sistema Reticulado. Generación: Dado que un triangulo compuesto por 3 barras articuladas entre sí por sus extremos (una cadena cinemática de 3 chapas cerradas) se comporta como una sola chapa, si agregamos una barra articuladas a dos nudos, estaremos agregando dos grados de libertad, que se suprimen al articular estas dos barras entre sí. Conclusión, agregando pares de barras articuladas entre sí y a vértices del triangulo, obtendremos un sistema de reticulado plano. Condición de rigidez de un reticulado: La hipótesis de rigidez que debe cumplir un sistema de reticulado plano implica que el número de barras sea tres menos que el doble del número de vértices (nudos). 2𝑣 − 3 Un reticulado queda isostáticamente sustentado cuando cumple con la condición de rigidez, y además, no existen en él barras superfluas (que sobran), ni debe haber vínculo interno aparente, ni debe haber una parte de la estructura del sistema que tenga la posibilidad de que haya movimiento relativo con respecto a otra parte del mismo. Tipos de esfuerzos: Cuando las fuerzas exteriores que solicitan a la barra tienen sentidos divergentes, originan un esfuerzo interno que se denomina esfuerzo de tracción y que se materializa mediante dos fuerzas opuestas que internas concurrentes. Si las fuerzas externas que solicitan a la barra tienen sentidos concurrentes generan un esfuerzo interno de tracción. Determinación de los esfuerzos internos en las barras:  Método de Culmann: Si en un sistema de reticulado en equilibrio bajo la acción de fuerzas activas y reactivas, seccionamos en n-n y suprimimos las barras 3-4, 1-4 y 1-2, para restablecer

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el equilibrio es necesario aplicar fuerzas cuyas rectas de acción coincidan con los ejes de las barras de modo de originen sendos sistemas nulos a cada lado de la sección n-n. Una vez halladas las resultantes izquierdas y derechas, trazamos la recta auxiliar de Culmann entre R I y el punto de concurrencia de dos barras (punto 1). Luego se traza el correspondiente polígono de fuerzas para el método de Culmann y se descompone la resultante izquierda en las direcciones de las barras 3-4, 1-4 y 1-2. Si se descompone la resultante derecha el resultado es opuesto, lo que evidencia el equilibrio interno de las barras. Método de Ritter: El procedimieto para hallar los esfuerzos internos en 3 barras coniste en plantear 3 condiciones de equilibrio mediante 3 condiciones de nulidad de momentos, eligiendo como centros de momentos los nudos de modo que se anulen 2 de ellas, resultando 3 ecuaciones independientes una de otra. Planteando en el nudo 1: 𝑅𝑖 ∙ 𝑑3 |𝑇3−4 | = | | 𝑑2 Luego se resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos incognitas que seobtiene al plantear las mismas condiciones en los nudos 3 y 4, despendose de alli los valores de T 1-2 y T1-4. El sentido de las fuerzas debe ser tal que conduzca a un momento opuesto al generado por la resultante respecto del nudo tomado. Método de los 2 momentos: Esta extensión del método de Ritter se utiliza cuando se tiene un sistema en el cual ciertos cortes de la armadura abarcan necesariamente 4 barras. Consiste en tomar dos cortes simultaneos de modo de obtener dos ecuaciones con dos incognitas. Diagrama de Cremona: Este diagrama consiste en construir un solo diagrama que reúne todos los polígonos de fuerzas correspondientes a cada nudo. Una vez determinadas las reacciones de vinculo, se debe adoptar un orden cíclico (en este caso horario) y se elabora un polígono se fuerzas colocando las fuerzas (externas) en el mismo orden en el que aparecen al recorrer la estructura en el sentido adoptado. A continuación se selecciona un nudo (en este caso primero el nudo 1) y se descompone (no equilibrar) la fuerza P1 en las direcciones de las barras adyacentes de modo que las fuerzas aparezcan en el mismo orden que al recorrer el nudo en la dirección de giro seleccionada. Luego se indica en las dos barras, en los extremos que correspondan al nudo considerado, los sentidos opuestos de los esfuerzos hallados, y en los extremos contrarios, el sentido correspondiente al hallado. Al descomponer y no equilibrar, se logra que al analizar el nudo siguiente no sea necesario cambiar ningún sentido. Luego se selecciona un nudo siguiente (en este caso el nudo 2), y se descompone en el sentido de las barras adyacentes respetando el sentido de giro adoptado al ir colocando las fuerzas. Notación de Bow: La notación de Bow es una extensión del procedimiento de Maxwell-Cremona. En esta notación, una fuerza (sea exterior o corresponda a un esfuerzo de la

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barra), queda individualizada por dos letras, que son aquellas zonas del plano que divide su recta de acción. El sentido de la misma queda determinado por el orden en que aparecen las regiones delimitadas (a, b, c, etcétera, en este caso) al recorrer el nudo en el orden cíclico preestablecido para el diagrama. Para el caso del reticulado de la figura se ha establecido un orden ciclo dextrógiro (horario), y se designan las regiones del plano delimitadas por las fuerzas exteriores (a, b, c, d, e y f). Se puede observar como la reacción en a, que delimita las regiones a y b, queda individualizada como a-b. Si se quiere comenzar por el nudo A descomponemos esta fuerza en las direcciones de las dos barras concurrentes, para esto, el origen de a-b, trazamos una paralela desde a la primera barra que aparece en el nudo al recorrerlo en el orden cíclico (be en este caso) y luego desde el otro extremo trazamos una paralela a la barra restante (e-a). Llamamos e al punto de intersección de ambas rectas. Pasando al nudo inferior, tenemos P 2, la cual individualizamos como d-a (para esto trazamos una paralela a esta fuerza desde el punto a con una longitud de acuerdo a la escala seleccionada, y llamamos d al punto final). Ahora, como se ve, el esfuerzo opuesto que concurre al nudo seleccionado ahora pasará a llamarse a-e. Trazando dos paralelas a las dos barras restantes obtendremos el punto f. Considerando el nudo superior, trazamos la paralela a P1 para determinar el punto c (que individualiza la fuerza b-c). Trazamos las correspondientes rectas y obtenemos las fuerzas c-f, f-e, e-b. Analíticamente: Si suprimimos las barras y las reemplazamos por los correspondientes esfuerzos internos, en cada nudo del reticulado tendremos un sistema de fuerzas concurrentes que debe encontrarse en equilibrio. Sabiendo que a cada nudo o vértice del reticulado concurren dos o más barras, debemos establecer las condiciones de nulidad respecto de los ejes coordenados. Es posible resolverlo como un sistema encadenado por pasos sucesivos, comenzando por aquellas que corresponden a nudos en los que solo aparezcan dos esfuerzos incognitos, caso que suele dar, salvo excepciones en los nudos extremos del reticulado.

Capitulo 7: Sistemas de Alma llena Alma llena: Cuando un cuerpo rígido posee simetría respecto de cierto plano que contiene en si al eje baricéntrico, las cargas aplicadas sobre el mismo se hallan simétricamente dispuestas respecto del mismo y finalmente, si los vínculos también son simétricos, las cargas y las reacciones simétricas pueden ser reemplazadas por sus resultantes, las cuales actuarán sobre el plano mencionado. Finalmente, el sólido puede ser reemplazado para el estudio de su equilibrio por una chapa de alma llena, materializada en el plano π y cuyo equilibrio se corresponde también con el equilibrio del solido primitivo. Esfuerzos característicos de la sección:  Momento Flexor (M): En una sección, el momento flexor, se define como el par de pares que actuan normalmente a uno y otro lado de la misma, cuyos momentos corresponden a los momentos respecto al baricentro de la sección de las resultantes izquierda y derecha, y cuyo signo viene dado por el signo del momento de la resultante izquierda, o el de de la derecha con signo contrario.  Esfuerzo de Corte o Tangencial (Q): En una sección, se define, como el conjunto de las dos fuerzas Q cuyas rectas de acción se encuentran contenidas en el plano de la misma y que corresponden a la proyección de las resultantes izquierda o derecha sobre el plano de la sección y cuyo signo lo define la proyección de la resultante izuqierda.  Esfuerzo Normal o Axil (N): Es el conjunto de las dos fuerzas aplicadas en el baricentro de la sección considerada, cuyas rectas de acción son normales al plano de la misma y cuyas intensidades corresponden a la proyección de las resultantes izquierda o derecha sobre dichas

dirección. El signo depende de si la sección resulta solicitada por tracción o compresión, siendo positivo en el primer caso y negativo en el segundo. Determinación analítica de los esfuerzos internos: Para una chapa en equilibrio bajo la acción de fuerzas activas y reactivas y suponiendo la misma ubicada en un plano xy, los esfuerzos para una sección determinada se pueden determinar de la siguiente forma: 𝑄 = ∑ 𝐹𝑦

𝑁 = ∑ 𝐹𝑥

𝑀 = ∑ 𝑀 𝐺 𝐹𝑖

Determinación de los puntos criticos: Para la resolución práctica de este tipo de problemas es recomendable la determinación de los esfuerzos de las secciones en los denominados puntos criticos, que son puntos para los cuales es notorio que los esfuerzos cambian de valor, estos puntos suelen ser, a lo largo del recorrido horizontal de la viga en tanto se haga el analisis por derecha o por izquierda:  Puntos donde comienzan (o acaban)a aplicarse cargas distribuidas.  Apoyos.  Punto deaplicación de cargas puntuales. Convenio de signos: El signo de los momentos flectores es positivo cuando el momento de la resultante izquierda lo es, y tambien cuando la resultante derecha es negativa. El esfuerzo de corte será positivo, cuando el signo de la resultante izquierda tambien lo sea, o bien, cuando por derecha sea negativo. Finalmente, el esfuerzo normal será postitivo cuando la viga este siendo solicitada a tracción, y caso contrario, será negativa. Relaciones analíticas entre las funciones que definen los diagramas: Existen relaciones anliticas entre las funciones q, Q y M, las cuales se verán a continuación: 𝑑 𝑄(𝑥) 𝑑 2 𝑀(𝑥) 𝑞 (𝑥) = = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 Es decir que, la función de variación de carga es la derivada primera de la funcion de corte Q, por lo cual q representa la pendiente de la recta definido por el esfuerzo de corte en los diagramas. Además, la funcion de carga q, es la derviada segunda de la función que establece el valor del momento flexo M. Por lo tanto: 𝑑 𝑀(𝑥) 𝑄 (𝑥) = 𝑑𝑥 La funcion Q es la derivada primera del momento flector M. Por lo tanto, cuando Q=0, significa que en ese punto el momento flector alcanza un valor máximo relativo. Elaboración de los diagramas de esfuerzos caracteristicos: Primeramente se establecen los puntos criticas y secalculan para estos, los valores de los esfuerzos caracteristicos en la sección. Se gafican a lo largo de una recta (paralela a la dirección de la viga), los valores (en la escala correspondiente) hallados en los puntos criticos. Luego se unen trazando rectas o segmentos de parabola según el grado de la ley que los describe (según se vio anteriormente). Para los esfuerzos de corte en el diagrama se coloca el simbolo que indica que es positivo por izquierda o por derecha (de acuerdo a la convención de signos explicada), o el mismo simbolo al reves, si es negativo. Para los momentos flectores los valores positivos se colocan por debajo del eje. Finalmente, para los esfuerzos de corte los valores negativos se colocan por sobre el eje. Determinación del momento máximo: Habiendo establecido los puntos criticos y calculado los valores de los esfuerzos caracteristicos en cada punto, buscamos el intervalo para el cual Q cambia de signo. Si Q1 >0 y Q2