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• Juan Rondon

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UNIDAD 2: Probabilidad

Dra. Ivanna Lazarte Prof. Adjunto

Experimento aleatorio, espacio muestral, eventos. Técnicas de conteo. Definición de Probabilidad: clásica y frecuencial. Axiomas de probabilidad.

Regla

de

la

adición.

Probabilidad

condicional,

independencia y regla del producto. Teorema de probabilidad total. Teorema de Bayes.

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El término probabilidad se refiere al estudio incertidumbre en cualquier situación en la cual eventos pueden ocurrir La disciplina de la probabilidad proporciona cuantificar las oportunidades y probabilidades varios eventos.

de azar y la varios posibles métodos para asociadas con

La probabilidad y la estadística están relacionadas en una forma importante. La probabilidad se emplea como herramienta; permite evaluar la confiabilidad de las conclusiones acerca de la población cuando se tenga sólo información muestral.

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

Es el proceso mediante el cual se obtiene una observación (o medición).  Una observación es cualquier registro de información, ya sea numérico o categórico



Es el proceso que genere un conjunto de datos

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Ejemplos  Registrar la calificación de un examen  Medir la cantidad de lluvia diaria  Entrevistar a un dueño de casa para obtener su opinión sobre un reglamento para distribuir por zonas un área verde

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Es aquel que puede producir resultados diferentes, aun cuando se repita siempre de la misma manera  No se puede predecir el resultado

Ejemplos  Sacar una carta de la baraja  Lanzar un dado  Lanzar una moneda NO son experimentos aleatorios  El resultado de una reacción química  La velocidad de llegada de un cuerpo a tierra al dejarlo caer desde una torre

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Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio  Se denota con S

Ejemplo  Experimento: lanzar al aire un dado  Espacio muestral = todos los posibles números que pueden aparecer en la cara superior S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Práctica  Experimento: Registrar el tipo de sangre de una persona. S = {A, B, AB, O}

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

Es un subconjunto del espacio muestral

 Es una colección de eventos simples  Es un grupo de resultados contenidos en el espacio muestral, cuyos miembros tienen una característica común o Es decir, un grupo de resultados particular satisface la característica,

y los restantes, contenidos en el espacio muestral, no

Ejemplo  Podemos definir los eventos A y B para el experimento de lanzar al aire un dado: o A: observar un número impar o B: observar un número menor a 4 o S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} o A = {1,3,5} o B = {1,2,3} Probabilidad y Estadística Dra. Ivanna Lazarte – Prof. Adjunto

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Evento simple: es un evento que ya no puede desglosarse en componentes más simples  Es cada uno de los posibles resultados de un experimento



Evento compuesto: combina dos o más eventos simples  Contiene más de un resultado posible





Evento imposible: no contiene ningún resultado del espacio muestral. Es un conjunto vacío,  Evento cierto: contiene todos los eventos simples. Es igual al espacio muestral, S

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

Eventos compatibles: son los eventos A y B que pueden ocurrir a la vez  La intersección A  B  



Eventos incompatibles: son los eventos A y B que NO pueden ocurrir a la vez  La intersección A  B =   También denominados eventos mutuamente excluyentes



Eventos colectivamente exhaustivos: ocurre cuando dado los eventos A y B, al menos uno de ellos debe ocurrir siempre que se realiza el experimento

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Se realiza el experimento aleatorio “Lanzar un dado” 

Espacio muestral:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }



Evento simple: Sacar un 2  A = { 2 }



Evento compuesto: Sacar un número impar  A = {1, 3, 5}



Evento imposible: Sacar un 7  A = 



Evento cierto: Sacar un nº menor que 7  A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = S



Eventos incompatibles: Sacar un nº par  A = { 2, 4, 6 } Sacar un nº impar  B = { 1, 3, 5 }

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

La unión de los eventos A y B, 𝑨𝑩, es el evento que contiene todos los elementos que pertenecen a A o a B, o a ambos.  Es el evento en que ocurren A o B o ambos S 1

2

6

3



Ejemplo  Se tira un dado, y se definen los eventos: o A: que salga menos de 4 𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟑} o B: que salga 2 ó 6 𝑩 = {𝟐, 𝟔} 𝑨𝑩 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟔}

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

La intersección de los eventos A y B, AB, es el evento que contiene todos los elementos que son comunes a A y a B  Sucede cuando ocurren A y B a la vez S 4

1 2



3

5 6

Ejemplo  Se tira un dado, y se definen los eventos: o A: que salga menos de 4 𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟑} o B: que salga más de 2 𝑩 = {𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔} 𝑨𝑩 = {𝟑}

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

Dado un evento A, su complemento,𝐴,ҧ es el evento formado por los elementos que no pertenecen a A S

3 1 5

4 2



6

Ejemplo  Se tira un dado, y se define el evento: o A: que salga un 4

𝑺 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔} 𝑨 = {𝟒} ഥ = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟓, 𝟔} 𝑨 Probabilidad y Estadística Dra. Ivanna Lazarte – Prof. Adjunto



Diagrama del árbol

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Regla de multiplicación



Permutaciones



Combinaciones

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Permiten conocer el numero de los posibles resultados del experimento, sin tener que enlistar cada uno de los elementos del conjunto 𝑆.

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Es una herramienta gráfica que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.  Muestra la secuencia o posibilidades experimento, contando las ramas finales

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que

puede

ocurrir

un

Experimento: Lanzar al aire tres monedas

8 posibles resultados del experimento

𝑺 = {𝑪𝑪𝑪, , 𝑪𝑪𝑺, 𝑪𝑺𝑪, 𝑪𝑺𝑺, 𝑺𝑪𝑪, 𝑺𝑪𝑺, 𝑺𝑺𝑪, 𝑺𝑺𝑺} Probabilidad y Estadística Dra. Ivanna Lazarte – Prof. Adjunto



Ejemplo Cierto tipo de automóvil se encuentra disponible en tres colores: rojo, azul y blanco; y puede tener un motor grande o pequeño. ¿De cuántas maneras puede un comprador elegir un automóvil? Motor Pequeño

Color Rojo

Color Azul

Color Blanco

Motor Grande

Motor Pequeño Motor Grande

Motor Pequeño Motor Grande

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Espacio muestral S 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Color rojo – Motor pequeño Color rojo – Motor grande Color azul – Motor pequeño Color azul – Motor grande Color blanco – Motor pequeño Color blanco – Motor grande

6 formas de elegir el automóvil

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

Si una operación se puede llevar a cabo en n1 formas, y si para cada una de éstas se puede realizar una segunda operación en n2 formas, entonces las dos operaciones se pueden realizar de n1* n2 formas Ejemplo

Cierto tipo de automóvil se encuentra disponible en tres colores: rojo, azul y blanco; y puede tener un motor grande o pequeño. ¿De cuántas maneras puede un comprador elegir un automóvil?

3 opciones de escoger color= n1 2 opciones de escoger motor= n2 n1* n2 = 6 formas de elegir el automóvil 

Regla de multiplicación generalizada (k operaciones)

𝑛1 𝑛2 … . 𝑛𝑘 Probabilidad y Estadística Dra. Ivanna Lazarte – Prof. Adjunto

Principio fundamental del conteo

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Son los arreglos diferentes que se pueden hacer con los elementos de un conjunto, sin importar el orden  Cada arreglo se diferencia únicamente por los elementos que contiene (distinto contenido, no importa el orden) 𝐴𝐵𝐶 = 𝐶𝐵𝐴

 El número de combinaciones de 𝒏 objetos distintos tomados de 𝒓 a la vez es

n! n n Cr      r  r!(n  r )!

No importa el orden de selección

Tener en cuenta: • Se deben tener un total de n elementos diferentes disponibles. • Se deben seleccionar r de los n elementos (sin reemplazo). • Se deben considerar que los reacomodos de tales elementos son los mismos. (La combinación ABC es la misma que CBA).

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

Ejemplo ¿Cuántas comisiones de 3 personas se pueden formar seleccionándolas de entre 10 personas?

n! n n Cr      r  r!(n  r )! 10 C3 

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10! 3628800   120 3!(10  3)! 30240

comisiones

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

Son los arreglos diferentes que se pueden hacer con los elementos de un conjunto. En estos arreglos se debe considerar el orden de los elementos incluidos Una permutación difiere de otra si el orden del arreglo o el contenido difieren 𝐴𝐵𝐶 ≠ 𝐶𝐵𝐴

 El número de permutaciones de 𝒏 objetos distintos es n!  El número de permutaciones de 𝒏 objetos distintos tomados de 𝒓 a la vez es

n! n Pr  (n  r )!

Si importa el orden de selección

 Ejemplo Un grupo de 10 personas debe elegir a su comisión directiva: presidente, secretario y tesorero. Todos pueden ser elegidos, pero una persona no puede tener más de un cargo. ¿De cuántas maneras diferentes puede realizarse la elección? Probabilidad y Estadística Dra. Ivanna Lazarte – Prof. Adjunto

10 P3 

10! 3628800   720 maneras (10  3)! 5040

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La probabilidad forma la base del estudio de la estadística y permite medir la incertidumbre y la certidumbre. Está basada en una serie de reglas en las que debe determinarse si un fenómeno puede llegar a ocurrir, bajo el fundamento de las diferentes teorías, los estadísticos y, por supuesto, los cálculos. Es un valor comprendido entre 0 y 1 (incluidos estos dos valores) que describe la posibilidad de ocurrencia de un evento.

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o seguro

equiprobable

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Enfoque clásico

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Enfoque frecuencial

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Cuando todos los eventos simples (elementales) de un espacio muestral son equiprobables (tienen la misma probabilidad de ocurrir) y mutuamente excluyentes  También conocida como probabilidad teórica (calculada de forma matemática)  Si un experimento puede dar como resultado cualquiera de 𝑁 diferentes resultados que tienen las mismas probabilidades de ocurrir, y si exactamente 𝑛 de estos resultados corresponden al evento A, entonces la probabilidad del evento A es

𝑃 𝐴 =

𝑛 número de resultados favorables = 𝑁 número total de posibles resultados

Regla de Laplace

Se denomina también enfoque a priori porque permite calcular el valor de probabilidad antes de observar cualquier evento Probabilidad y Estadística Dra. Ivanna Lazarte – Prof. Adjunto

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Ejemplo A una clase de estadística para ingenieros asisten 25 estudiantes de ingeniería en informática, 10 de ingeniería de minas, 10 de ingeniería en electrónica y 8 de ingeniería en agrimensura. Si el profesor elige al azar a un estudiante para que conteste una pregunta, ¿qué probabilidades hay de que el elegido sea a) estudiante de ingeniería en informática, b) estudiante de ingeniería en agrimensura o estudiante de ingeniería en electrónica ? I: estudiante de Ing. en Informática A: estudiante de Ing. en Agrimensura E: estudiante de Ing. en Electrónica a) P I =

25 53

= 0,4717

b) P A ∪ E =

18 53

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= 0,3396



Ejemplo Una persona planea apostar al número 13 en el próximo giro de una ruleta. ¿Cuál es la probabilidad de que pierda? Solución Una ruleta tiene 38 ranuras distintas y sólo una corresponde al número 13. La ruleta se diseñó de manera que las 38 ranuras sean igualmente probables de resultar. A: no salga el 13 De las 38 ranuras, 37 resultan en una pérdida.

P 𝐴 =

37 = 0,9737 38 La probabilidad de que pierda es del 97,37%

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

Cuando los eventos simples de un experimento aleatorio no son equiprobables la probabilidad de ocurrencia de un evento se determina por observación del número de veces que eventos similares ocurrieron en el pasado (frecuencia relativa)  Las probabilidades se deben asignar con base en el conocimiento previo o en la evidencia experimental.

⇨ también se la denomina probabilidad empírica 𝑃(𝐴) =

Número de veces que ocurre 𝐴 Número de veces que se repitió el experimento

La probabilidad de un evento es la proporción de veces en que el evento ocurrirá a largo plazo en experimentos repetidos.

Se obtiene un valor estimado en lugar de un valor exacto. Conforme el número total de observaciones se incrementa, los estimados correspondientes tienden a acercarse a la probabilidad real. Probabilidad y Estadística Dra. Ivanna Lazarte – Prof. Adjunto

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Ejemplo En un hipódromo se ha observado que el caballo con el número 20 tiene 8 carreras ganadas de 10. Si usted quiere apostar por este caballo, ¿cuál es la probabilidad de que gane la apuesta? A: el caballo con el número 20 gana la carrera

P ( A) 

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8  0,8  80% 10

Hay una probabilidad del 80% de ganar la apuesta

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Ejemplo Si los registros muestran que 294 de 300 aislantes cerámicos probados soportaron cierto choque térmico, ¿cuál es la probabilidad de que algún aislante no probado soporte el choque térmico? A: el aislante no probado soportará el choque térmico

P ( A) 

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294  0,98  98% 300

Hay una probabilidad del 98% de que un aislante cerámico soporte el choque térmico

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Ejemplo Calcular la probabilidad de que un adulto que se aleatoriamente haya volado en una línea aérea comercial.

seleccionó

Solución El espacio muestral consiste en dos eventos simples: la persona que se seleccionó ya voló en una línea aérea comercial o no lo ha hecho. Estos eventos no son igualmente probables, porque no todas las personas tienen la misma posibilidad de volar (cuestiones económicas, etc.) Para el cálculo se pueden usar los resultados de una encuesta: de 855 adultos que se seleccionaron al azar, 710 indicaron que ya volaron en líneas aéreas comerciales A: haber volado en una línea aérea comercial

710 P ( A)   0,83  83% 855 Probabilidad y Estadística Dra. Ivanna Lazarte – Prof. Adjunto

Hay una probabilidad del 83% de que un adulto que se seleccionó aleatoriamente haya volado en una línea aérea comercial

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Axioma 1 (de la Positividad): a cada evento simple perteneciente al espacio muestral S le corresponde un número real no negativo, llamado probabilidad  P(A) ≥ 0 Axioma 2 (de la Certeza): la probabilidad de un espacio muestral S es igual a uno  P (S) = 1 Axioma 3 (de la Suma): Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces  P(A  B) = P(A) + P(B); A  B =  Generalización del Axioma 3 𝑃 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ ⋯ ∪ 𝐴𝑛 = 𝑃 𝐴1 + 𝑃 𝐴2 + ⋯ + 𝑃 𝐴𝑛 = σ𝑛1 𝑃(𝐴𝑖 )

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

Si A es un evento en el espacio muestral finito S, entonces P(A) es igual a la suma de las probabilidades de los eventos simples (resultados individuales) que comprenden A.  Sean E1, E2, . . . , En los n eventos simples que comprenden el evento A, de modo que se puede escribir 𝐴 = 𝐸1 ∪ 𝐸2 ∪ ⋯ ∪ 𝐸𝑛 . Puesto que las E son resultados individuales y mutuamente excluyentes, por la generalización del Axioma 3 se tiene

S

A

𝐸1 𝐸𝑛

𝐸2

𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐸1 ∪ 𝐸2 ∪ ⋯ ∪ 𝐸𝑛 = 𝑃 𝐸1 + 𝑃 𝐸2 + ⋯ + 𝑃 𝐸𝑛

 Ejemplo La probabilidad de que un consumidor, mediante un servicio de prueba, califique un nuevo anticontaminante para automóviles como muy deficiente, deficiente, adecuado, bueno, muy bueno o excelente, son 0.07, 0.12, 0.17, 0.32, 0.21 y 0.11. ¿Cuáles son las probabilidades de que el consumidor califique el anticontaminante bueno, muy bueno o excelente? Probabilidad y Estadística Dra. Ivanna Lazarte – Prof. Adjunto

𝑃 𝐴 = 0,32 + 0,21 + 0,11 = 0,64

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Probabilidad del evento imposible  P (Ø) = 0 Probabilidad del evento complementario ഥ ) = 1 – P (A)  P (𝑨 Sean A y B, eventos de S, tales que AB, entonces  P(A)  P(B)

Sea A un evento cualquiera de S  0  P(A)  1 Sean A y B, eventos de S, ഥ ) = P(A-B) = P(A) – P(AB)  P(A𝑩

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

Probabilidad del Evento imposible P (Ø) = 0

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

Probabilidad del Evento complementario Si A es cualquier evento en S, entonces, 𝑃 𝐴ҧ = 1 − P(A)

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

Probabilidad del Evento complementario  Ejemplo Cuando nace un bebé, la probabilidad de que sea niño es 0,5121. Calcule la probabilidad de que no sea niño. A: el bebé que nace es un niño 𝐴:ҧ el bebé que nace no es un niño 𝑃 𝐴 = 0,5121 𝑃 𝐴ҧ = 1 − 0,5121 = 0,4879

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

Sea A un evento cualquiera de S 0  P(A)  1

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A menudo resulta más sencillo calcular la probabilidad de algún evento a partir de las probabilidades conocidas de otros eventos.  Si se puede representar un evento como la unión de otros dos eventos, la regla de la suma permite simplificar los cálculos. 

También conocida como regla aditiva o regla general de la suma P(AB)=P(A) + P(B) – P(AB)

𝐴∪𝐵

=

𝐴

∪

𝐵 ∩ 𝐴ҧ Sean A y B, eventos de S,

ഥ ) = P(A-B) = P(A) – P(AB) P(A𝑩

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𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴)ҧ = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

P(AB)=P(A) + P(B) – P(AB)  Ejemplo Al final del semestre Juan se va a graduar de Ingeniero de Minas. Después de tener entrevistas en las empresas Agua Rica (A) y Capillitas (C), determina que la probabilidad que tiene de lograr una oferta de empleo en la empresa A es 0.8, y que la probabilidad de obtenerla en la empresa C es 0.6. Si, por otro lado, considera que la probabilidad de recibir ofertas de ambas empresas es 0.5, ¿qué probabilidad tiene de obtener al menos una oferta de esas dos empresas?

A: Tiene una oferta en Agua Rica  𝑃(𝐴) = 0,8 C: Tiene una oferta en Capillitas  𝑃(𝐶) = 0,6 𝑃(𝐴𝐶) = 0,5

𝑃(𝐴𝐶) = 0,8 + 0,6 − 0,5 = 0,9

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P(AB)=P(A) + P(B) – P(AB)  Ejemplo En cierto barrio residencial, 60% de las familias se suscriben al diario nacional, 80% lo hacen al diario local y 50% de todas las familias a ambos diarios. Si se elige una familia al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se suscriba a a) por lo menos a uno de los dos diarios? b) exactamente a uno de los dos diarios?

P(N  𝐿ത )

ഥ  L) P(𝑁

N: la familia se suscribe al diario nacional  P(N)=0,6 L: la familia se suscribe al diario local  P(L)=0,8 P(NL)= 0,5

a) P(NL)=0,6+0,8-0,5=0,9

ഥ  L)=0,1+0,3=0,4 b) P(exactamente uno)=P(N  𝐿ത )+P(𝑁 Probabilidad y Estadística Dra. Ivanna Lazarte – Prof. Adjunto



Corolario 1

 El corolario 1 es un resultado inmediato de la regla de la adición, pues si A y B son mutuamente excluyentes, A∩B =  y entonces P(A∩B) = P() = 0

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

Corolario 2 (es una generalización del corolario 1)

 Ejemplo Las probabilidades de que un individuo que compra un automóvil nuevo elija uno de color verde, uno blanco, uno rojo o uno azul son 0.09, 0.15, 0.21 y 0.23, respectivamente, ¿cuál es la probabilidad de que un comprador dado adquiera un automóvil nuevo que tenga uno de esos colores? V: un comprador elige un automóvil verde P(V)=0,09 B: un comprador elige un automóvil blanco  P(B)=0,15 R: un comprador elige un automóvil rojo  P(R)=0,21 A: un comprador elige un automóvil azul  P(A)=0,23

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

Corolario 3

 Los eventos 𝐴1, 𝐴2, … 𝐴𝑛 de un espacio muestral 𝑆 se denomina partición de 𝑆 si 𝐴1, 𝐴2, … 𝐴𝑛 son mutuamente excluyentes y son exhaustivos.

𝐴1, 𝐴2, … 𝐴𝑛 son mutuamente excluyentes  𝑖𝑗 𝐴𝑖  𝐴𝑗 = , 𝑖𝑗 𝐴1, 𝐴2, … 𝐴𝑛 son exhaustivos  𝐴1  𝐴2  …  𝐴𝑛 = 𝑆

𝑆

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Una partición del espacio muestral 𝑆

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)

¿A y B son mutuamente excluyentes?

No

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

Sí

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵)

Los eventos mutuamente excluyentes son incompatibles, es decir, no pueden suceder al mismo tiempo. Probabilidad y Estadística Dra. Ivanna Lazarte – Prof. Adjunto

Es una probabilidad que se obtiene con la información adicional de algún otro evento que ya ocurrió.  Es la probabilidad de que ocurra un evento A sabiendo que ya ocurrió algún evento B  Se denota con P(A/B)  Si A y B son eventos cualesquiera de S y P(B) > 0, la probabilidad condicional de A dado B es Probabilidad Conjunta

Probabilidad Condicional

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𝑃 𝐴Τ𝐵 =

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵) Probabilidad Marginal



La probabilidad de los eventos A y B están condicionados en algún subconjunto del espacio muestral  espacio muestral reducido

S Espacio muestral inicial

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Espacio muestral reducido

El espacio muestral reducido está compuesto por el conjunto de todos los subconjuntos de S y que pertenecen a B. De los subconjuntos pertenecientes a B, AB satisface la condición.



Ejemplo La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es 0,83, la probabilidad de que llegue a tiempo es 0,82 y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es 0,78. Calcule la probabilidad de que un avión a) llegue a tiempo, dado que salió a tiempo; y b) salió a tiempo, dado que llegó a tiempo. A: El avión llegó a tiempo ⇒ 𝑃(𝐴) = 0,82 D: El avión sale a tiempo ⇒ 𝑃(𝐷) = 0,83 𝑃(𝐷 ∩ 𝐴) = 0,78

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

Ejemplo Suponga que 500 piezas de maquinaria se inspeccionan antes de embarcarse. I denota una pieza de maquinaria ensamblada de manera inadecuada y D denota que contiene componentes defectuosos.  La probabilidad de obtener una pieza con componentes defectuosos es =0,03

 La probabilidad de obtener una pieza de maquinaria con componentes defectuosos dado que fue ensamblado de manera inadecuada es

=0,33

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Espacio muestral reducido



Permite calcular la probabilidad de que ocurran dos eventos  También conocida como regla de la multiplicación



Si A y B son eventos de un espacio muestral 𝑆, entonces 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵 Τ𝐴 = 𝑃 𝐵 ∙ 𝑃 𝐴Τ𝐵

si 𝑃 𝐴 > 0 si 𝑃 𝐵 > 0

Se deduce despejando P(AB) de la fórmula de Probabilidad Condicional



Para 𝑛 eventos de un espacio muestral 𝑆 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ ⋯ ∩ 𝐴𝑛 ) = 𝑃 𝐴1 ∙ 𝑃 𝐴2 Τ𝐴1 ∙ 𝑃 𝐴3 Τ𝐴1 ∩ 𝐴2 ⋯ 𝑃 𝐴𝑛 Τ𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ ⋯ ∩ 𝐴𝑛−1

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

Ejemplo La probabilidad de que la batería de un automóvil sometida a alta temperatura tenga una corriente de carga baja es 0,7. La probabilidad de que la batería esté sometida a alta temperatura es 0,05. Calcular la probabilidad de que una batería tenga una corriente de carga baja y esté sometida a alta temperatura. A: una batería tiene corriente de carga baja B: una batería está sometida a alta temperatura  𝑃(𝐵) = 0,05 𝑃(𝐴/𝐵) = 0,7

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵Τ𝐴 = 𝑃 𝐵 ∙ 𝑃 𝐴 Τ𝐵

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si 𝑃 𝐴 > 0 si 𝑃 𝐵 > 0

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴/𝐵) = 0,05 ∙ 0,7 = 0,035



Ejemplo para n eventos Se sacan tres cartas seguidas, sin reemplazo, de una baraja de póker. Encuentre la probabilidad de que la primera carta sea un as rojo, la segunda carta sea un 10 o una jota y la tercera carta sea mayor que 3 pero menor que 7. 𝐴1 : la primera carta es un as rojo ⇒ 𝑃 𝐴1 =

2 52

= 0,0385

𝐴2 : la segunda carta es un 10 o una jota  𝑃 𝐴2 ∕ 𝐴1 =

8 51

= 0,1569

𝐴3 : la tercera carta es mayor que 3 pero menor que 7 ⇒ 𝑃 𝐴3 Τ𝐴1 ∩ 𝐴2 = 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 ) = 𝑃 𝐴1 ∙ 𝑃 𝐴2 Τ𝐴1 ∙ 𝑃 𝐴3 Τ𝐴1 ∩ 𝐴2 = 0,0385 ∙ 0,1569 ∙ 0,24 = 0,0014

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12 50

= 0,24

Suponga que en la población general, hay 51% de hombres y 49% de mujeres, y que las proporciones de hombres y mujeres daltónicos se muestran en la siguiente tabla: Hombre (𝑯)

ഥ Mujer (𝑯)

Total

Daltónico (𝑫)

0,04

0,002

𝟎, 𝟒𝟐

ഥ) No daltónico (𝑫

0,47

0,488

𝟎, 𝟗𝟓𝟖

Total

𝟎, 𝟓𝟏

𝟎, 𝟒𝟗

𝟏, 𝟎𝟎

a) Si una persona se escoge al azar y se encuentra que es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que sea daltónico?

b) ¿Cuál es la probabilidad de ser daltónico, dado que la persona es mujer? c) ¿Cuál es la probabilidad de ser mujer y daltónica? d) ¿Cual es la probabilidad de ser mujer o daltónica? e) ¿Cuál es la probabilidad de ser hombre y daltónico? f) ¿Cuál es la probabilidad de ser hombre o daltónico?

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Suponga que en la población general, hay 51% de hombres y 49% de mujeres, y que las proporciones de hombres y mujeres daltónicos se muestran en la siguiente tabla: Hombre (𝑯)

ഥ Mujer (𝑯)

Total

Daltónico (𝑫)

0,04

0,002

𝟎, 𝟎𝟒𝟐

ഥ) No daltónico (𝑫

0,47

0,488

𝟎, 𝟗𝟓𝟖

Total

𝟎, 𝟓𝟏

𝟎, 𝟒𝟗

𝟏, 𝟎𝟎

a) Si una persona se escoge al azar y se encuentra que es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que sea daltónico? 𝑃 𝐷 Τ𝐻 =

𝑃(𝐻 ∩ 𝐷) 0,04 = = 0,0784 ⇒ 7,84% 𝑃(𝐻) 0,51

b) ¿Cuál es la probabilidad de ser daltónico, dado que la persona es mujer? ഥ ∩ 𝐷) 0,002 𝑃(𝐻 ഥ 𝑃 𝐷 Τ𝐻 = = = 0,0041 ⇒ 0,41% ഥ 0,49 𝑃(𝐻)

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Suponga que en la población general, hay 51% de hombres y 49% de mujeres, y que las proporciones de hombres y mujeres daltónicos se muestran en la siguiente tabla: Hombre (𝑯)

ഥ Mujer (𝑯)

Total

Daltónico (𝑫)

0,04

0,002

𝟎, 𝟎𝟒𝟐

ഥ) No daltónico (𝑫

0,47

0,488

𝟎, 𝟗𝟓𝟖

Total

𝟎, 𝟓𝟏

𝟎, 𝟒𝟗

𝟏, 𝟎𝟎

c) ¿Cuál es la probabilidad de ser mujer y daltónica? ഥ ∩ 𝐷 = 0,002 ⇒ 0,2% 𝑃 𝐻 d) ¿Cuál es la probabilidad de ser mujer o daltónica? ഥ∪𝐷 =𝑃 𝐻 ഥ +𝑃 𝐷 −𝑃 𝐻 ഥ∩𝐷 𝑃 𝐻 = 0,49 + 0,042 − 0,002 = 0,53 ⇒ 53% Probabilidad y Estadística Dra. Ivanna Lazarte – Prof. Adjunto

Suponga que en la población general, hay 51% de hombres y 49% de mujeres, y que las proporciones de hombres y mujeres daltónicos se muestran en la siguiente tabla: Hombre (𝑯)

ഥ Mujer (𝑯)

Total

Daltónico (𝑫)

0,04

0,002

𝟎, 𝟎𝟒𝟐

ഥ) No daltónico (𝑫

0,47

0,488

𝟎, 𝟗𝟓𝟖

Total

𝟎, 𝟓𝟏

𝟎, 𝟒𝟗

𝟏, 𝟎𝟎

e) ¿Cuál es la probabilidad de ser hombre y daltónico? 𝑃 𝐻 ∩ 𝐷 = 0,04 ⇒ 4% f) ¿Cuál es la probabilidad de ser hombre o daltónico? 𝑃 𝐻∪𝐷 =𝑃 𝐻 +𝑃 𝐷 −𝑃 𝐻∩𝐷 = 0,51 + 0,042 − 0,04 = 0,512 ⇒ 51,2% Probabilidad y Estadística Dra. Ivanna Lazarte – Prof. Adjunto

En una encuesta telefónica hecha a mil adultos, a los que respondieron se les preguntó acerca del gasto de una educación universitaria y la relativa necesidad de alguna forma de ayuda financiera. Quienes respondieron fueron clasificados de acuerdo a si actualmente tenían un hijo en la universidad y si pensaban que la carga de un préstamo para casi todos los estudiantes universitarios es demasiado alta, la cantidad correcta o es muy poco. Las proporciones de quienes contestaron se muestran en la siguiente tabla: Demasiado alta (𝑨)

Cantidad correcta (𝑩)

Muy poco (C)

Total

Hijo en universidad (𝑼)

0,35

0,08

0,01

𝟎, 𝟒𝟒

ഥ) Sin hijo en univ. (𝑼

0,25

0,20

0,11

𝟎, 𝟓𝟔

Total

𝟎, 𝟔

𝟎, 𝟐𝟖

𝟎, 𝟏𝟐

𝟏, 𝟎𝟎

Suponga que se elige un entrevistado al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que el entrevistado tenga un hijo en la universidad? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el entrevistado no tenga un hijo en la universidad? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el entrevistado tenga un hijo en la universidad o piense que la carga de un préstamo es demasiado alta? d) ¿Cuál es la probabilidad de que el entrevistado piense que la carga de un préstamo es demasiado alta dado que tiene un hijo en la universidad?

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En una encuesta telefónica hecha a mil adultos, a los que respondieron se les preguntó acerca del gasto de una educación universitaria y la relativa necesidad de alguna forma de ayuda financiera. Quienes respondieron fueron clasificados de acuerdo a si actualmente tenían un hijo en la universidad y si pensaban que la carga de un préstamo para casi todos los estudiantes universitarios es demasiado alta, la cantidad correcta o es muy poco. Las proporciones de quienes contestaron se muestran en la siguiente tabla: Demasiado alta (𝑨)

Cantidad correcta (𝑩)

Muy poco (C)

Total

Hijo en universidad (𝑼)

0,35

0,08

0,01

𝟎, 𝟒𝟒

ഥ) Sin hijo en univ. (𝑼

0,25

0,20

0,11

𝟎, 𝟓𝟔

Total

𝟎, 𝟔

𝟎, 𝟐𝟖

𝟎, 𝟏𝟐

𝟏, 𝟎𝟎

Suponga que se elige un entrevistado al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que el entrevistado tenga un hijo en la universidad?

𝑃 𝑈 = 0,44 ⇒ 44% b) ¿Cuál es la probabilidad de que el entrevistado no tenga un hijo en la universidad?

ഥ = 0,56 ⇒ 56% 𝑃 𝑈

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ഥ =1 −𝑃 𝑈 𝑃 𝑈 = 1 − 0,44 = 0,56 ⇒ 56%

En una encuesta telefónica hecha a mil adultos, a los que respondieron se les preguntó acerca del gasto de una educación universitaria y la relativa necesidad de alguna forma de ayuda financiera. Quienes respondieron fueron clasificados de acuerdo a si actualmente tenían un hijo en la universidad y si pensaban que la carga de un préstamo para casi todos los estudiantes universitarios es demasiado alta, la cantidad correcta o es muy poco. Las proporciones de quienes contestaron se muestran en la siguiente tabla: Demasiado alta (𝑨)

Cantidad correcta (𝑩)

Muy poco (C)

Total

Hijo en universidad (𝑼)

0,35

0,08

0,01

𝟎, 𝟒𝟒

ഥ) Sin hijo en univ. (𝑼

0,25

0,20

0,11

𝟎, 𝟓𝟔

Total

𝟎, 𝟔

𝟎, 𝟐𝟖

𝟎, 𝟏𝟐

𝟏, 𝟎𝟎

Suponga que se elige un entrevistado al azar: c) ¿Cuál es la probabilidad de que el entrevistado tenga un hijo en la universidad o piense que la carga de un préstamo es demasiado alta?

𝑃 𝑈 ∪ 𝐴 = 𝑃 𝑈 + 𝑃 𝐴 − 𝑃(𝑈 ∩ 𝐴) = 0,44 + 0,6 − 0,35 = 0,69 ⇒ 69%

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En una encuesta telefónica hecha a mil adultos, a los que respondieron se les preguntó acerca del gasto de una educación universitaria y la relativa necesidad de alguna forma de ayuda financiera. Quienes respondieron fueron clasificados de acuerdo a si actualmente tenían un hijo en la universidad y si pensaban que la carga de un préstamo para casi todos los estudiantes universitarios es demasiado alta, la cantidad correcta o es muy poco. Las proporciones de quienes contestaron se muestran en la siguiente tabla: Demasiado alta (𝑨)

Cantidad correcta (𝑩)

Muy poco (C)

Total

Hijo en universidad (𝑼)

0,35

0,08

0,01

𝟎, 𝟒𝟒

ഥ) Sin hijo en univ. (𝑼

0,25

0,20

0,11

𝟎, 𝟓𝟔

Total

𝟎, 𝟔

𝟎, 𝟐𝟖

𝟎, 𝟏𝟐

𝟏, 𝟎𝟎

Suponga que se elige un entrevistado al azar: d) ¿Cuál es la probabilidad de que el entrevistado piense que la carga de un préstamo es demasiado alta dado que tiene un hijo en la universidad?

𝑃 𝐴 Τ𝑈 =

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𝑃(𝐴 ∩ 𝑈) 0,35 = = 0,7954 ⇒ 79,54% 𝑃(𝑈) 0,44



Se dice que dos eventos, A y B, son independientes si y sólo si la ocurrencia del evento B no influye en las probabilidades de ocurrencia del evento A, o viceversa. ത 𝑃 𝐴 = 𝑃(𝐴/𝐵) = 𝑃(𝐴/𝐵)  Dos eventos A y B son independientes si es verdadero cualquiera de los siguientes enunciados equivalentes o 𝑃(𝐴/𝐵) = 𝑃(𝐴) Si esto no se cumple  los eventos o 𝑃(𝐵/𝐴) = 𝑃(𝐵) son dependientes o 𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) Condición Necesaria

AB ≠   A y B no deben ser eventos mutuamente excluyentes

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Condición suficiente ത 𝑃 𝐴 = 𝑃(𝐴/𝐵) = 𝑃(𝐴/𝐵)



Regla del producto para eventos independientes

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵  Esto se debe a que en eventos independientes: 𝑃(𝐴/𝐵) = 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐵/𝐴) = 𝑃(𝐵) Demostración 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵Τ𝐴

como 𝑃(𝐵/𝐴) = 𝑃(𝐵) cuando A y B son eventos independientes

= 𝑃 𝐴 ∙𝑃 𝐵



Independencia para 𝒏 eventos Los eventos 𝐴1 , 𝐴2 , ⋯ , 𝐴𝑛 de un espacio muestral 𝑆 son estadísticamente independientes si y sólo si la probabilidad conjunta de cualquier 2,3, … , 𝑛 de ellos es igual al producto de sus respectivas probabilidades marginales.

𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ ⋯ ∩ 𝐴𝑛 ) = 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐴2 ⋯ 𝑃(𝐴𝑛 ) Probabilidad y Estadística Dra. Ivanna Lazarte – Prof. Adjunto



Regla del producto

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

¿A y B son independientes?

Sí

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)

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No

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵/𝐴)



Ejemplo Se sabe que 30% de los lavarropas de MegaHome requieren servicio técnico mientras se encuentran en garantía, en tanto que sólo 10% de sus secarropas necesitan dicho servicio. Si alguien adquiere tanto un lavarropas como un secarropas fabricadas por MegaHome, ¿cuál es la probabilidad de que ambas máquinas requieran servicio técnico mientras se encuentran en garantía? A: el lavarropas necesita servicio técnico mientras se encuentra en garantía  𝑃(𝐴) = 0,3 B: el secarropas necesita servicio técnico mientras se encuentra en garantía  𝑃(𝐵) = 0,1 Suponiendo que las dos máquinas funcionan independientemente una de otra  𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐴 ∙𝑃 𝐵 = 0,3 ⋅ 0,1 = 0,03 = 3%

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

Ejemplo En la fábrica MasterBul, la probabilidad de que la materia prima esté disponible cuando se necesita es 0,8 y que el tiempo de maquinado de una pieza sea menor que 1 hora es 0,7. Calcule la probabilidad de que la materia prima esté disponible cuando se la necesite y el tiempo de maquinado de una pieza sea menor que 1 hora. A: la materia prima esté disponible cuando se necesita  𝑃(𝐴) = 0,8 B: el tiempo de maquinado de una pieza es menor que 1 hora  𝑃(𝐵) = 0,7 Debido a que los eventos A y B tratan pasos no relacionados en el proceso de fabricación, se los considera independientes 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐴 ∙𝑃 𝐵 = 0,8 ⋅ 0,7 = 0,56 = 56%

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Si 𝑃(𝐴/𝐵) ≠ 𝑃(𝐴)  A y B son eventos dependientes En estos casos los eventos tienen alguna relación, y la ocurrencia de uno afecta la ocurrencia del otro.



Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces 𝐴𝐵 = por lo que 𝑃(𝐴/𝐵) = 0 y 𝑃(𝐵/𝐴) = 0

 En este caso, A y B no pueden ocurrir en forma simultánea, de manera que el conocimiento de la ocurrencia de B nos dice que A no ocurre  𝑃(𝐴𝐵) = 0



𝑆 A

B

Si 𝐵𝐴, entonces 𝑃(𝐴/𝐵) = 1

 En este caso, si B ocurre, A debe ocurrir.

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A

𝑆

B

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

Ejemplo Dos cartas se extraen al azar de un mazo ordinario de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos ases si: a) la primera carta se sustituye antes de sacar la segunda carta? b) la primera carta no se sustituye antes de sacar la segunda carta? Solución A: la primera carta es un as B: la segunda carta es un as

a) la primera carta se sustituye antes de sacar la segunda carta  Extracción con reemplazo  Eventos independientes 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐴 ∙𝑃 𝐵 =

4 4 ⋅ 52 52

= 0,0059

b) la primera carta no se sustituye antes de sacar la segunda carta  Extracción sin reemplazo  Eventos dependientes 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵/𝐴 Probabilidad y Estadística Dra. Ivanna Lazarte – Prof. Adjunto

=

4 3 ⋅ 52 51

= 0,0045





Permite calcular la probabilidad de un evento 𝐴 a partir de las probabilidades de 𝐴 condicionadas por los eventos 𝐵1, 𝐵2, … 𝐵𝑛 Definición Si los eventos 𝐵1, 𝐵2, … 𝐵𝑘 constituyen una partición del espacio muestral 𝑆, tal que 𝑃(𝐵𝑖 ) ≠ 0 para 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛, entonces, para cualquier evento 𝐴 de 𝑆 𝐵1

𝑨

𝑆 𝐵3

𝑛

𝑛

𝑃 𝐴 = ෍ 𝑃 𝐵𝑖 ∩ 𝐴 = ෍ 𝑃(𝐵𝑖 )𝑃 𝐴/𝐵𝑖 𝑖=1

𝐵2

𝑖=1

𝐵𝑛 Partición B1, B2, … Bk son mutuamente excluyentes  i,j Bi  Bj = , ij B1, B2, … Bk son exhaustivos  B1  B2  …  Bk = S

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𝑆

𝑨

𝐵1

𝐵3

𝑃 𝐵1 ∩ 𝐴 𝑃 𝐵2 ∩ 𝐴

𝐵2

𝐵𝑛 𝑃 𝐵𝑛 ∩ 𝐴 A

ഥ 𝐀

Total

B1

𝑃 𝐵1 ∩ 𝐴

𝑃 𝐵1 ∩ 𝐴ҧ

𝑷(𝑩𝟏 )

B2

𝑃 𝐵2 ∩ 𝐴

𝑃 𝐵2 ∩ 𝐴ҧ

𝑷(𝑩𝟐 )

Bn

𝑃 𝐵𝑛 ∩ 𝐴

𝑃 𝐵𝑛 ∩ 𝐴ҧ

𝑷(𝑩𝒏 )

Total

𝑷(𝑨)

ഥ) 𝑷(𝑨

𝟏, 𝟎𝟎

…

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𝑛

𝑛

𝑃 𝐴 = ෍ 𝑃 𝐵𝑖 ∩ 𝐴 = ෍ 𝑃(𝐵𝑖 )𝑃 𝐴/𝐵𝑖 𝑖=1

𝑖=1



Demostración A = 𝐵1 ∩ 𝐴 ∪ 𝐵2 ∩ 𝐴 ∪ ⋯ ∪ 𝐵𝑛 ∩ 𝐴 Por medio del corolario 2 de la Regla de la suma y la Regla del producto se obtiene

𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐵1 ∩ 𝐴 ∪ 𝐵2 ∩ 𝐴 ∪ ⋯ ∪ 𝐵𝑛 ∩ 𝐴

= 𝑃 𝐵1 ∩ 𝐴 + 𝑃 𝐵2 ∩ 𝐴 + ⋯ + 𝑃 𝐵𝑛 ∩ 𝐴 𝑛

= ෍ 𝑃 𝐵𝑖 ∩ 𝐴 𝑖=1 𝑛

= ෍ 𝑃 𝐵𝑖 𝑃 𝐴/𝐵𝑖 𝑖=1

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C2 de la Regla de la suma (para Eventos M.E.) 𝑃(𝐵1 ∪ 𝐵2 ∪ ⋯ ∪ 𝐵𝑛 = 𝑃 𝐵 + ⋯ + 𝑃 𝐵𝑛 Regla del producto 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵Τ𝐴



Ejemplo Tres máquinas de cierta planta de ensamble, B1, B2 y B3, montan 30%, 45% y 25% de los productos, respectivamente. Se sabe por experiencia que 2%, 3% y 2% de los productos ensamblados por cada máquina, respectivamente, tienen defectos. Suponga que se selecciona de forma aleatoria un producto terminado, ¿cuál es la probabilidad de que esté defectuoso? A: el producto está defectuoso B1: el producto fue ensamblado con la máquina B1 B2: el producto fue ensamblado con la máquina B2 B3: el producto fue ensamblado con la máquina B3

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

Solución P(AB1)=0,006 ҧ 1)=0,98 P(𝐴B ҧ 1)=0,294 P(𝐴/B P(AB2)=0,0135 P(B2)= 0,45

A

ഥ 𝐀

B1

0,006

0,294

0,3

B2

0,0135

0,4365

0,45

B3

0,005

0,245

0,25

0,0245

0,9755

1,00

ഥ B2)=0,4365 P(A P(A/B3)=0,02

P(AB3)=0,005

ഥ B3)=0,245 P(A

𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵1 + 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵2 +𝑃 𝐴 ∩ 𝐵3 = 0,006 + 0,0135+0,005 = 0,0245 Probabilidad y Estadística Dra. Ivanna Lazarte – Prof. Adjunto



Sirve para calcular la probabilidad condicional a

posteriori

 Sirve para determinar la probabilidad de una de las causas, puesto que ya se observó el efecto  Los eventos 𝐵𝑖 son las “causas” y el evento 𝐴 es el “efecto” Permite calcular la probabilidad de que el evento 𝐴 fue causado por el evento 𝐵𝑖

𝐵1

𝐵2 Probabilidad y Estadística Dra. Ivanna Lazarte – Prof. Adjunto

𝑨

𝑆 𝐵3

𝐵𝑛



Definición Si los eventos 𝐵1, 𝐵2, … 𝐵𝑛 constituyen una partición del espacio muestral S, donde 𝑃(𝐵𝑖) ≠ 0 para 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 (probabilidades a priori) entonces, para cualquier evento 𝐴 en 𝑆, tal que 𝑃(𝐴) ≠ 0, 𝑃(𝐵𝑟 ∩ 𝐴) 𝑃 𝐵𝑟 𝑃 𝐴/𝐵𝑟 𝑃 𝐵𝑟 /𝐴 = 𝑛 = 𝑛 σ𝑖=1 𝑃 𝐵𝑖 ∩ 𝐴 σ𝑖=1 𝑃(𝐵𝑖 )𝑃 𝐴/𝐵𝑖 Probabilidad condicional a posteriori

𝐵1

𝐵2 Probabilidad y Estadística Dra. Ivanna Lazarte – Prof. Adjunto

Para 𝑟 = 1,2, … 𝑛

𝑨

𝑆 𝐵3

𝐵𝑛



Demostración  Mediante la definición de probabilidad condicional

𝑃 𝐵𝑟 /𝐴 =

𝑃(𝐵𝑟 ∩ 𝐴) 𝑃(𝐴)

 Por el teorema del Producto en el numerador y el teorema de Probabilidad Total en el denominador, se tiene

𝑃 𝐵𝑟 /𝐴 =

Probabilidad y Estadística Dra. Ivanna Lazarte – Prof. Adjunto

𝑃(𝐵𝑟 ∩𝐴) σ𝑛 𝑖=1 𝑃 𝐵𝑖 ∩𝐴

𝑃 𝐵𝑟 𝑃 𝐴/𝐵𝑟 =σ𝑛 𝑖=1 𝑃(𝐵𝑖 )𝑃 𝐴/𝐵𝑖



Ejemplo Tres máquinas de cierta planta de ensamble, B1, B2 y B3, montan 30%, 45% y 25% de los productos, respectivamente. Se sabe por experiencia que 2%, 3% y 2% de los productos ensamblados por cada máquina, respectivamente, tienen defectos. Suponga que se elige al azar un producto y se encuentra que está defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido ensamblado con la máquina B3? A: el producto está defectuoso B1: el producto fue ensamblado con la máquina B1 B2: el producto fue ensamblado con la máquina B2 B3: el producto fue ensamblado con la máquina B3

Probabilidad y Estadística Dra. Ivanna Lazarte – Prof. Adjunto



Solución P(AB1)=0,006 ҧ 1)=0,98 P(𝐴B ҧ 1)=0,294 P(𝐴/B P(AB2)=0,0135 P(B2)= 0,45

A

ഥ 𝐀

B1

0,006

0,294

0,3

B2

0,0135

0,4365

0,45

B3

0,005

0,245

0,25

0,0245

0,9755

1,00

ഥ B2)=0,4365 P(A P(A/B3)=0,02

P(AB3)=0,005

ഥ B3)=0,245 P(A

𝑃 𝐵3 /𝐴 = Probabilidad y Estadística Dra. Ivanna Lazarte – Prof. Adjunto

𝑃(𝐵3 ∩ 𝐴) 0,005 = = 0,2041 𝑃(𝐴) 0,0245