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Tema: Funciones de varias variables: Marginalidad. Ejemplo 1. Se estima que la producción semanal de cierta planta está dada por la función 𝑄(𝑥; 𝑦) = 1200𝑥 + 500𝑦 + 𝑥 2 𝑦 − 𝑥 3 − 𝑦 2 unidades, donde 𝑥 es el número de trabajadores calificados y 𝑦 el de trabajadores no calificados que se emplean en la planta. Actualmente, la fuerza laboral está formada por 30 trabajadores calificados y 60 no calificados. Utilice análisis marginal para estimar el cambio en la producción semanal que resultará de la adición de 1 trabajador calificado más, si el número de trabajadores no calificados no cambia. Resolución La derivada parcial 𝑄𝑥 (𝑥; 𝑦) = 1200 + 2𝑥𝑦 − 3𝑥 2 es la razón de cambio de la producción con respecto al número de trabajadores calificados. Para cualesquiera valores de 𝑥 y 𝑦, ésta es una aproximación del número de unidades adicionales que se producirán cada semana si el número de trabajadores calificados se aumenta de 𝑥 a 𝑥 + 1, mientras que el número de trabajadores no calificados se mantiene fijo en 𝑦. En particular, si la fuerza laboral se aumenta de 30 trabajadores calificados y 60 no calificados a 31 calificados y 60 no calificados, el cambio resultante en la producción es aproximadamente 𝑄𝑥 (30; 60) = 1200 + 2(30)(60) − 3(30)2 = 2100 unidades. Ejemplo 2. Un fabricante estima que la producción mensual de cierta fábrica está dada por la función de Cobb-Douglas 𝑄(𝐾; 𝐿) = 50𝐾 0,4 𝐿0,6 donde 𝐾 es el capital en unidades de $1000 y 𝐿 es la fuerza labora medida en horastrabajador. a) Encuentre la productividad marginal del capital, 𝑄𝐾 , y la productividad marginal del trabajo, 𝑄𝐿 , cuando el capital es de $750 000 y el nivel de la fuerza laboral es 991 horas – trabajador. b) ¿El fabricante debe considerar invertir capital o aumentar el nivel de la fuerza laboral para aumentar la producción? Resolución

𝑄𝐾 (𝐾; 𝐿) = 50(0,4𝐾 −0,6 )𝐿0,6 = 20𝐾 −0,6𝐿0,6

a) y

𝑄𝐿 (𝐾; 𝐿) = 50𝐾 0,4 (0,6𝐿−0,4 ) = 30𝐾 0,4 𝐿−0,4 de modo que con 𝐾 = 750 ($750 000) y 𝐿 = 991 𝑄𝐾 (750; 991) = 20(750)−0,6 (991)0,6 ≈ 23,64 y 𝑄𝐿 (750; 991) = 30(750)0,4 (991)−0,4 ≈ 26,84 b) Del inciso a), se ve que un aumento de capital en 1 unidad (esto es, $1000) resulta en un aumento de la producción en 23,64 unidades, lo cual es menos que el aumento de 26,84 unidades que resulta del aumento en 1 unidad del nivel de la fuerza laboral. Por lo tanto, el fabricante debe aumentar el nivel de la fuerza laboral en 1 hora-trabajador (de 991 hora-trabajador a 992) para aumentar la producción tan rápidamente como sea posible desde el nivel actual.

Ejemplo 3. Una compañía fabrica dos tipos de esquís, los modelos Ligero y Alpino. Suponga que la función de costos conjuntos de producir 𝑥 pares del modelo Ligero y 𝑦 pares del modelo Alpino por semana es 𝑐 = 𝑓(𝑥; 𝑦) = 0,07𝑥 2 + 75𝑥 + 85𝑦 + 6000 donde 𝑐 se expresa en dólares. Determine los costos marginales de 𝜕𝑐 ⁄𝜕𝑥 y 𝜕𝑐 ⁄𝜕𝑦 cuando 𝑥 = 100 y 𝑦 = 50, e interprete los resultados. Resolución Los costos marginales son 𝜕𝑐 = 0,14𝑥 + 75 𝜕𝑥

y

𝜕𝑐 = 85 𝜕𝑦

Así, 𝜕𝑐 | = 0,14(100) + 75 = 89 𝜕𝑥 (100;50) y 𝜕𝑐 | = 85 𝜕𝑦 (100;50)

𝜕𝑐

Note que 𝜕𝑥|

(100;50)

= 89 implica que al aumentar la producción del modelo Ligero de 100

a 101, mientras que se mantiene en 50 la producción del modelo Alpino, aumentan los costos aproximadamente en $89. En tanto,

𝜕𝑐

|

𝜕𝑦 (100;50)

= 85 implica que al aumentar la

producción del modelo Alpino de 50 a 51, mientras se mantiene en 100 la producción del modelo Ligero, aumenta los costos aproximadamente en $85. De hecho, como 𝜕𝑐 ⁄𝜕𝑦 es una función constante, el costo marginal con respecto a 𝑦 es de $85 en todos los niveles de producción.