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Resolver ecuaciones e inecuaciones lineales Para resolver una ecuación o inecuación lineal con una incógnita, aislamos el término que contiene la incógnita en un miembro de la ecuación o inecuación. Ahora vamos a estudiar cómo hallar la solución de dos ecuaciones o dos inecuaciones a la vez. Esta situación ocurre cuando queremos resolver un sistema de ecuaciones o inecuaciones, un producto de ecuaciones o inecuaciones, o una ecuación o inecuación con valores absolutos. I. Resolver un sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita Para resolver un sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita, resolvemos cada una de las inecuaciones, obteniendo para cada una un intervalo como solución. A continuación, buscamos la intersección o parte común de esos dos intervalos. Si existe, es la solución del sistema de inecuaciones. Ejemplo: Queremos resolver el sistema de inecuaciones

.

Estas inecuaciones se pueden simplificar, quedando . El conjunto solución del sistema de inecuaciones es la intersección de los dos intervalos: , es decir, . (Para obtener la intersección es útil representar ambos intervalos.) II. Resolver un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Existen tres métodos para resolver estos sistemas de ecuaciones: sustitución, igualación y reducción. —Si una de las incógnitas tiene un coeficiente de 1 o -1, es preferible usar el método de sustitución. En una de las ecuaciones despejamos la incógnita cuyo coeficiente es 1 o -1 en función de la otra incógnita, y a continuación sustituimos la expresión de esa incógnita en la segunda ecuación. Ejemplo: En el sistema de ecuaciones

, si expresamos x en función de y en la

primera ecuación, obtenemos el sistema siguiente:

.

Ahora sustituimos x por

en la segunda ecuación, resultando:

, que simplificando queda , de donde podemos calcular el valor de y, y sustituirlo en la primera ecuación para obtener x: . Es decir, la solución del sistema es: x = -1, y = 2. —Si una de las incógnitas tiene de coeficientes 1 o –1 en las dos ecuaciones, es preferible usar el método de igualación. En las dos ecuaciones despejamos la incógnita cuyo coeficiente es 1 o -1 en función de la otra incógnita, y a continuación igualamos las expresiones obtenidas. Ejemplo: En el sistema de ecuaciones

, si expresamos x en función de y en las dos

ecuaciones, obtenemos el sistema siguiente: . Igualando ambas expresiones, resulta: 3 - 2y = 7 + 2y, de donde -2y – 2y = 7 – 3. Operando con esta igualdad, obtenemos el valor de la variable y: -4y = 4, de donde y = -1. Sustituyendo este valor en cualquiera de las dos expresiones anteriores de x, resulta: x = 3 2·(-1) = 3 + 2 = 5. Así pues, la solución del sistema es: x = 5, y = -1. —Si los coeficientes de las incógnitas son distintos de 1 o de -1, usamos el método de reducción para no tener que operar con fracciones. Este método consiste en lograr que los coeficientes de una de las dos incógnitas sean iguales, pero con signos opuestos en las dos ecuaciones. Para ello, multiplicamos cada ecuación por el número que convenga para lograr que ambas tengan una de las variables con el mismo coeficiente cambiado de signo. Al sumarlas después, se anulará esa incógnita, quedando una ecuación con la otra incógnita, ecuación que ya podemos resolver. Llevando el valor obtenido a una cualquiera (la más sencilla) de las dos ecuaciones iniciales, obtendremos el valor de la otra incógnita. Ejemplo: En el sistema de ecuaciones

, multiplicamos los términos de la primera

ecuación por 2 y los de la segunda por 3, resultando: . Sumando ahora ambas ecuaciones obtenemos: 13x =16, de donde x = 2. Y sustituyendo este valor en la primera ecuación: 2·2 + 3y = 7, de donde 3y = 3, resultando y = 1. La solución del sistema es pues: x = 2, y = 1. —Un sistema de ecuaciones puede no tener solución o tener infinitas soluciones.

Sea el sistema de ecuaciones

en el que los coeficientes de x y de y son

proporcionales, es decir, , de donde . Este sistema no tiene solución o tiene infinitas soluciones: —Si , entonces el sistema anterior no tiene solución. —Si (los coeficientes de las dos ecuaciones son proporcionales), entonces el sistema tiene infinitas soluciones. III. Efectuar un producto de ecuaciones o inecuaciones de primer grado Para resolver una ecuación que es producto de dos monomios, hallamos los valores que anulan cada uno de los factores (sus raíces). Así, tiene dos soluciones, para y para . Resolviendo cada una de estas dos ecuaciones obtenemos las dos soluciones: x = -3, x = 0,5. Para hallar el conjunto de soluciones de un producto de inecuaciones, usamos una tabla de signos. Ejemplo: Para resolver la inecuación , estudiamos el signo de cada factor. La función f(x) = -x - 3 es decreciente porque su pendiente es negativa, m = -1. Para valores de x menores que (a la izquierda de) x = -3, los correspondientes valores de y son positivos; para valores de x mayores que (a la derecha de) x = -3, los valores de y son negativos. La función f(x) = 2x + 1 es creciente porque su pendiente es positiva, m = 2. Para valores de x menores que (a la izquierda de) x = -0,5, los correspondientes valores de y son negativos; para valores mayores que (a la derecha de) x = -0,5, los valores de y son positivos. El signo del producto viene dado por la regla de los signos al multiplicar:

El producto de los factores es, por tanto, negativo o cero en los intervalos y . El conjunto solución de la inecuación es la unión de estos dos intervalos. Por tanto, . IV. Resolver una ecuación o una inecuación con valores absolutos Para resolver una ecuación con valores absolutos, nos basamos en que dos números iguales pero con signos opuestos tienen el mismo valor absoluto. Si , implica que o . Por ejemplo, de la ecuación se deduce que o . De donde: x = 5 o x = -1, que son las soluciones de la ecuación.

Gráficamente, se trata de averiguar qué dos puntos de la recta real distan 3 unidades del valor 2. Para resolver una inecuación con valores absolutos, se plantean dos casos diferentes. Cuando , es equivalente a . Por ejemplo, es la misma expresión que , de donde se obtiene que . Por tanto, el conjunto de soluciones es el intervalo . Gráficamente, se trata de averiguar qué puntos de la recta real distan dos unidades o menos del valor -3. Cuando , es equivalente a o . Por ejemplo, es lo mismo que o , de donde se obtiene que o . Por tanto, el conjunto de soluciones es: . Gráficamente, se trata de averiguar qué puntos de la recta real distan dos unidades o más del valor -3. Recuerda —Para resolver un sistema de inecuaciones tenemos que obtener los valores comunes a los conjuntos que son la solución de cada inecuación. Hallamos pues la intersección de estos conjuntos (representada por el símbolo ). Ver también el artículo Resolver inecuaciones lineales con una incógnita. —Un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas solo tiene una pareja de soluciones si los coeficientes de las incógnitas no son proporcionales. Si los coeficientes de ambas ecuaciones son proporcionales, el sistema tiene infinitas parejas de soluciones. —Para resolver una ecuación que es producto de monomios, hallamos las raíces de cada uno de los factores del producto. En el caso de una inecuación, usamos una tabla de signos para deducir el intervalo o unión de intervalos que son la solución. —Se puede interpretar la expresión como la distancia entre un punto M de abscisa igual a x y un punto A de abscisa igual a a sobre la recta real. Esta interpretación nos permite resolver gráficamente ecuaciones e inecuaciones que contienen valores absolutos.

Resolver inecuaciones lineales con una incógnita Los métodos de resolución de ecuaciones e inecuaciones son similares, sin embargo, a diferencia de las ecuaciones, las cuales usualmente tienen un número finito de soluciones, una inecuación generalmente tiene un conjunto infinito de soluciones. ¿Cómo resolver y representar estas soluciones en el caso de una inecuación lineal con una incógnita? I. Definiciones 1. Inecuaciones Una inecuación es una expresión que compara dos cantidades diferentes —expresiones algebraicas— que contienen una letra llamada incógnita. Recuerda: los 4 símbolos de una inecuación son: significa “menor o igual que”; significa “mayor o igual que”; < significa “menor que”; > significa “mayor que”. Ejemplos: y 7x + 2,1 < 45 son inecuaciones cuya incógnita es x. 2. Soluciones de una inecuación Decimos que un número es una solución de una inecuación si obtenemos una desigualdad que se cumple cuando sustituimos la incógnita de la inecuación por este número. Ejemplo: tomemos la inecuación 2x + 3 > 5. ¿Es 2 una solución? Si sustituimos x por 2 en la inecuación, obtenemos 2 × 2 + 3 > 5, es decir, 7 > 5. Esta desigualdad es cierta, y dado que se cumple, podemos decir que 2 es una solución. ¿Es 1 una solución? Si sustituimos la x por el valor 1 en la inecuación, obtenemos 2 × 1 + 3 > 5, esto es, 5 > 5. Esta desigualdad no se cumple, dado que no es cierta, por lo tanto 1 no es una solución. Resolver una inecuación significa encontrar todas sus soluciones. II. Resolver una inecuación 1. Método El método es similar al que usamos para resolver ecuaciones lineales con una incógnita, pero con una diferencia importante. Recordemos que en una inecuación podemos: —sumar o restar el mismo número en ambos miembros de la inecuación;

—multiplicar o dividir ambos miembros de la inecuación por un mismo número distinto de cero, pero si este número es negativo, debemos invertir el signo de desigualdad. 2. Ejemplos Ejemplo 1: queremos resolver la inecuación 2x + 3 > 5. Simplificamos: 2x > 5 – 3 2x > 2 x > 1: la resolución termina en este último paso. Podemos observar que esta inecuación tiene infinitas soluciones, que son todos los números mayores que 1. Ejemplo 2: queremos resolver la inecuación . Si resolvemos:

: observa que hemos invertido el signo de desigualdad. Las soluciones de la inecuación son todos los números menores o iguales que -4. III. Representación gráfica de las soluciones Tomemos la inecuación del primer ejemplo de la sección anterior de nuevo, en el último paso: x > 1. Tenemos claro que no podemos hacer una lista de todas las soluciones, ya que son infinitas. Sin embargo, es posible representarlas en la recta numérica, sombreando aquellos puntos que no son soluciones. Así, la parte de la recta que no está sombreada representaría el conjunto de sus soluciones. Finalmente, debemos mostrar en la representación gráfica que 1 no es solución. Para ello usaremos un corchete orientado de la siguiente forma: —si el número es una solución, el corchete mirará hacia el conjunto de las soluciones; —si el número no es solución, el corchete mirará en sentido contrario al conjunto de las soluciones de la inecuación. Ejemplos: —para la inecuación del ejemplo 1 (x > 1), obtenemos la siguiente representación:

—para la inecuación del ejemplo 2 (

), obtenemos la siguiente representación:

Ver también el artículo Resolver ecuaciones e inecuaciones lineales.

Resolver ecuaciones e inecuaciones lineales Para resolver una ecuación o inecuación lineal con una incógnita, aislamos el término que contiene la incógnita en un miembro de la ecuación o inecuación. Ahora vamos a estudiar cómo hallar la solución de dos ecuaciones o dos inecuaciones a la vez. Esta situación ocurre cuando queremos resolver un sistema de ecuaciones o inecuaciones, un producto de ecuaciones o inecuaciones, o una ecuación o inecuación con valores absolutos. I. Resolver un sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita Para resolver un sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita, resolvemos cada una de las inecuaciones, obteniendo para cada una un intervalo como solución. A continuación, buscamos la intersección o parte común de esos dos intervalos. Si existe, es la solución del sistema de inecuaciones. Ejemplo: Queremos resolver el sistema de inecuaciones

.

Estas inecuaciones se pueden simplificar, quedando . El conjunto solución del sistema de inecuaciones es la intersección de los dos intervalos: , es decir, . (Para obtener la intersección es útil representar ambos intervalos.) II. Resolver un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Existen tres métodos para resolver estos sistemas de ecuaciones: sustitución, igualación y reducción. —Si una de las incógnitas tiene un coeficiente de 1 o -1, es preferible usar el método de sustitución. En una de las ecuaciones despejamos la incógnita cuyo coeficiente es 1 o -1 en función de la otra incógnita, y a continuación sustituimos la expresión de esa incógnita en la segunda ecuación. Ejemplo: En el sistema de ecuaciones

, si expresamos x en función de y en la

primera ecuación, obtenemos el sistema siguiente: . Ahora sustituimos x por en la segunda ecuación, resultando:

, que simplificando queda , de donde podemos calcular el valor de y, y sustituirlo en la primera ecuación para obtener x: . Es decir, la solución del sistema es: x = -1, y = 2. —Si una de las incógnitas tiene de coeficientes 1 o –1 en las dos ecuaciones, es preferible usar el método de igualación. En las dos ecuaciones despejamos la incógnita cuyo coeficiente es 1 o -1 en función de la otra incógnita, y a continuación igualamos las expresiones obtenidas. Ejemplo: En el sistema de ecuaciones

, si expresamos x en función de y en las dos

ecuaciones, obtenemos el sistema siguiente: . Igualando ambas expresiones, resulta: 3 - 2y = 7 + 2y, de donde -2y – 2y = 7 – 3. Operando con esta igualdad, obtenemos el valor de la variable y: -4y = 4, de donde y = -1. Sustituyendo este valor en cualquiera de las dos expresiones anteriores de x, resulta: x = 3 2·(-1) = 3 + 2 = 5. Así pues, la solución del sistema es: x = 5, y = -1. —Si los coeficientes de las incógnitas son distintos de 1 o de -1, usamos el método de reducción para no tener que operar con fracciones. Este método consiste en lograr que los coeficientes de una de las dos incógnitas sean iguales, pero con signos opuestos en las dos ecuaciones. Para ello, multiplicamos cada ecuación por el número que convenga para lograr que ambas tengan una de las variables con el mismo coeficiente cambiado de signo. Al sumarlas después, se anulará esa incógnita, quedando una ecuación con la otra incógnita, ecuación que ya podemos resolver. Llevando el valor obtenido a una cualquiera (la más sencilla) de las dos ecuaciones iniciales, obtendremos el valor de la otra incógnita. Ejemplo: En el sistema de ecuaciones

, multiplicamos los términos de la primera

ecuación por 2 y los de la segunda por 3, resultando: . Sumando ahora ambas ecuaciones obtenemos: 13x =16, de donde x = 2. Y sustituyendo este valor en la primera ecuación: 2·2 + 3y = 7, de donde 3y = 3, resultando y = 1. La solución del sistema es pues: x = 2, y = 1. —Un sistema de ecuaciones puede no tener solución o tener infinitas soluciones. Sea el sistema de ecuaciones proporcionales, es decir, tiene infinitas soluciones:

en el que los coeficientes de x y de y son , de donde

. Este sistema no tiene solución o

—Si , entonces el sistema anterior no tiene solución. —Si (los coeficientes de las dos ecuaciones son proporcionales), entonces el sistema tiene infinitas soluciones. III. Efectuar un producto de ecuaciones o inecuaciones de primer grado Para resolver una ecuación que es producto de dos monomios, hallamos los valores que anulan cada uno de los factores (sus raíces). Así, tiene dos soluciones, para y para . Resolviendo cada una de estas dos ecuaciones obtenemos las dos soluciones: x = -3, x = 0,5. Para hallar el conjunto de soluciones de un producto de inecuaciones, usamos una tabla de signos. Ejemplo: Para resolver la inecuación , estudiamos el signo de cada factor. La función f(x) = -x - 3 es decreciente porque su pendiente es negativa, m = -1. Para valores de x menores que (a la izquierda de) x = -3, los correspondientes valores de y son positivos; para valores de x mayores que (a la derecha de) x = -3, los valores de y son negativos. La función f(x) = 2x + 1 es creciente porque su pendiente es positiva, m = 2. Para valores de x menores que (a la izquierda de) x = -0,5, los correspondientes valores de y son negativos; para valores mayores que (a la derecha de) x = -0,5, los valores de y son positivos. El signo del producto viene dado por la regla de los signos al multiplicar:

El producto de los factores es, por tanto, negativo o cero en los intervalos y . El conjunto solución de la inecuación es la unión de estos dos intervalos. Por tanto, . IV. Resolver una ecuación o una inecuación con valores absolutos Para resolver una ecuación con valores absolutos, nos basamos en que dos números iguales pero con signos opuestos tienen el mismo valor absoluto. Si , implica que o . Por ejemplo, de la ecuación se deduce que o . De donde: x = 5 o x = -1, que son las soluciones de la ecuación. Gráficamente, se trata de averiguar qué dos puntos de la recta real distan 3 unidades del valor 2. Para resolver una inecuación con valores absolutos, se plantean dos casos diferentes. Cuando , es equivalente a .

Por ejemplo, es la misma expresión que , de donde se obtiene que . Por tanto, el conjunto de soluciones es el intervalo . Gráficamente, se trata de averiguar qué puntos de la recta real distan dos unidades o menos del valor -3. Cuando , es equivalente a o . Por ejemplo, es lo mismo que o , de donde se obtiene que o . Por tanto, el conjunto de soluciones es: . Gráficamente, se trata de averiguar qué puntos de la recta real distan dos unidades o más del valor -3. Recuerda —Para resolver un sistema de inecuaciones tenemos que obtener los valores comunes a los conjuntos que son la solución de cada inecuación. Hallamos pues la intersección de estos conjuntos (representada por el símbolo ). Ver también el artículo Resolver inecuaciones lineales con una incógnita. —Un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas solo tiene una pareja de soluciones si los coeficientes de las incógnitas no son proporcionales. Si los coeficientes de ambas ecuaciones son proporcionales, el sistema tiene infinitas parejas de soluciones. —Para resolver una ecuación que es producto de monomios, hallamos las raíces de cada uno de los factores del producto. En el caso de una inecuación, usamos una tabla de signos para deducir el intervalo o unión de intervalos que son la solución. —Se puede interpretar la expresión como la distancia entre un punto M de abscisa igual a x y un punto A de abscisa igual a a sobre la recta real. Esta interpretación nos permite resolver gráficamente ecuaciones e inecuaciones que contienen valores absolutos.

Representación gráfica de inecuaciones

La curva parabólica de esta gráfica está formada por todos los puntos del plano que satisfacen la ecuación y = x2 - 1. El área sombreada dentro de la parábola son aquellos puntos para los que y > x2 - 1.