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1. ESFUERZO Y DEFORMACIÓN

Aplicación del Concepto de Esfuerzo: El cable tipo Guaya sosteniendo una carga de 8 toneladas. El cable sufre TRACCIÓN. Aplicación del Concepto de Esfuerzo: El conjunto de tensores sosteniendo la estructura de la grúa. Dicho conjunto sufre TRACCIÓN. Aplicación del Concepto de Esfuerzo: La estructura de la grúa sostenida por los tensores y sosteniendo la guaya. La estructura sufre COMPRESIÓN.

1.3.1. Concepto de Esfuerzo

Área seccional

Carga Aplicada

Carga Aplicada

Esfuerzo = Carga aplicada / Área seccional

El esfuerzo es básicamente la relación existente entre la fuerza aplicada a una pieza o miembro estructural y el área seccional de la misma. Por

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ejemplo: Un ascensor de cierto peso está siendo sostenido por un cable de acero. Si el peso es dividido entre el área seccional de dicho cable, el resultado es denominado esfuerzo.

Las unidades del esfuerzo son unidades de fuerza por unidad de área. En el sistema internacional se da en la mayoría de los casos en pascales, es decir, Newton sobre metro cuadrado. 1 Pa = 1 N / m2 Debido a que el Pascal en sí es una magnitud muy pequeña, se expresa con prefijos así:

1.000 Pa = 1 KPa (Kilopascal) 1.000.000 Pa = 1 MPa (Megapascal) 1.000.000.000 Pa = 1 GPa (Gigapascal) Algunos libros europeos utilizan como unidad del sistema internacional los Kilogramos sobre centímetro cuadrado. Un Kg / cm2 equivale a 98.000 Pa (es decir, 98 KPa).

En el sistema inglés o americano se utilizan las libras sobre pulgadas cuadradas, más conocida con la abreviatura PSI (Del vocablo inglés Pound Square Inches). 1 PSI = 1 Lb / plg2 = 6895 Pa

Lectura recomendadas para este tema: De la obra de BEER & JOHNSTON, Mecánica de Materiales (2° edición). Capítulo 1. Páginas 1 a 6.

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1.4.2.

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Esfuerzo Normal y Esfuerzo Cortante

Aunque se hablan de varios tipos de esfuerzo según la forma como se aplican, desde el punto de vista del flujo de carga con respecto al área seccional solo se hablan de dos tipos: Normal y Cortante.

El esfuerzo es Normal cuando el flujo de esfuerzo es perpendicular al área seccional de la pieza que soporta dicha carga. Algunos ejemplos de esos casos son: el cable del ascensor, la biela del émbolo de un motor de combustión interna, los pernos y remaches uniendo acoples tipo flanches (usados en tubería a presión), la broca del taladro, etc.

Por otra parte, se habla de esfuerzo cortante cuando la carga aplicada sobre la pieza transmite el esfuerzo en forma paralela a la sección transversal de la misma. Ese es el caso de

pernos y remaches uniendo paredes de

recipientes a presión, la cuchilla de la cizalla, el eje que une el pistón a la biela, etc.

Área seccional

Carga Aplicada

Carga Aplicada

Esfuerzo Normal: Aplicación perpendicular a la sección transversal

Carga Aplicada

Esfuerzo Cortante: Aplicación paralela a la sección transversal Carga Aplicada

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Lectura recomendada para este tema: De la obra de BEER & JOHNSTON, Mecánica de Materiales (2° edición). Capítulo 1. Páginas 7 a 8.

Ejercicios para practicar: De la obra de BEER & JOHNSTON, Mecánica de Materiales (2° edición). Capítulo 1. Ejercicios 1 – 1 a 1 – 34 (páginas 14 a 18)

De la obra de GERE & TIMOSHENKO, Mecánica de Materiales (4° edición). Capítulo 1. Ejercicios 1.2 – 1 al 1.2 – 12. 1.4.3.

Diagramas de Esfuerzo – Deformación y Propiedades Mecánicas

Parte de una máquina de ensayo de tracción

Probetas para ensayo de tracción

El proceso de Ensayo de Tracción es una prueba de laboratorio que se realiza mediante una máquina a la cual se le coloca una probeta de ensayos

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(ver figuras de arriba) de manera que queda agarrada en ambos extremos. La máquina va aplicando en forma gradual una fuerza axial que va aumentando lentamente, y mientras tanto se va registrando en un papelógrafo una gráfica que relaciona la fuerza aplicada con la deformación o estiramiento axial de la probeta. Este ensayo termina cuando la probeta a consecuencia de la fuerza aplicada se fractura. La gráfica registrada se analiza como la curva de esfuerzo – deformación unitaria (ver figura página siguiente), la cual es de suma importancia porque en ésta se reflejan unas características del material de la probeta denominadas propiedades mecánicas del material.

Curva de Esfuerzo vs. Deformación Unitaria

Alguna de estas propiedades son las siguientes:  Deformación Unitaria. Es la deformación axial de la pieza dividida entre la longitud original de la misma.

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 Módulo de Elasticidad. Es El esfuerzo límite de elasticidad dividido entre su respectiva deformación unitaria.  Límite de Elasticidad. Es el esfuerzo máximo que sufre la pieza justo antes que deje de comportarse elásticamente  Límite de Fluencia. Se consigue aproximadamente un 1 a 2% después de sobrepasar el límite de elasticidad. Se caracteriza porque se consigue un alto rango de deformación plástica del material, especialmente si es dúctil. Este esfuerzo es el valor límite a considerar como criterio de diseño y dimensionamiento de piezas. Aparece como dato en las tablas de propiedades mecánicas de materiales de ingeniería (ver anexos).  Límite último o Resistencia última. Es el máximo que se consigue justo antes de que empiece a fracturar. En materiales frágiles este valor coincide con el punto mismo de ruptura del material. En los dúctiles se empieza a formar una especie de cuello de botella (estricción de área), el cual se pone cada vez más estrecho hasta cuando el material llega al Límite de Fractura y el material se rompe.  Elongación. Es una medida de la ductilidad del material y se mide como la diferencia porcentual entre la longitud antes y después de la fractura con respecto a la longitud inicial de la probeta.  Estricción de Área. También mide la ductilidad del material, con respecto a la disminución porcentual del área seccional manifiesta después de sobrepasar el límite último hasta su fractura.  Resiliencia.

Resistencia del material a deformarse plásticamente por

choques o impacto. Se prueba experimentalmente mediante un ensayo

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con el péndulo de Charpy. En la gráfica corresponde al área bajo la parte recta de la curva de Esfuerzo – Deformación Unitaria (Zona Elástica)  Tenacidad. Resistencia total del material a su fractura. Es el área total bajo la curva de Esfuerzo – Deformación Unitaria.

Lectura recomendada para este tema: De la obra de BEER & JOHNSTON, Mecánica de Materiales (2° edición). Capítulo 2. Páginas 39 a 50.

Temas a complementar por parte del estudiante: Concepto de Fatiga y Concepto de Termofluencia (Bibliografía Libre).

1.4.4.

Cálculos de Esfuerzo Axial

Básicamente, cuando uno está frente a una estructura o a un sistema que está soportando ciertas cargas estáticas, los aspectos a tomar en cuenta en estos problemas son:  Fuerza, peso o carga a soportar  Material de la o las piezas que la soportan  Cantidad de tales piezas (sobre todo si son pernos, remaches o cables)  Dimensiones de cada pieza  Esfuerzo que está soportando

Casi siempre, lo primero y lo más complicado de calcular es la fuerza o peso que se soporta. A veces se trata de determinar el peso de tanques o piscinas que contienen cierto líquido o sustancia con cierto peso específico (esto es, lo mismo que densidad, pero aplicando el concepto de peso en lugar de masa). A veces son cables o postes en los cuales hay que acudir a los

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conceptos y técnicas vistas en Estática y Dinámica. En estos caso se recomienda altamente repasar tales conceptos, especialmente los vistos en el capítulo 4 y el capítulo 6 de la obra de BEER & JOHNSTON, Mecánica Vectorial para Ingenieros, Estática.

La primordial importancia del material de las piezas radica en su resistencia o límite de fluencia. Este dato aparece estipulado en las Tablas anexas como apéndice al final de las obras de Mecánica de Materiales, ya sea de BEER & JONSTON o de GERE & TIMOSHENKO. En este documento hay fotocopias de estas tablas incluidas como anexos.

Hay casos en que, por ejemplo, la carga que está moviendo una grúa no es suspendida por un solo cable, sino que se hace sostener de varios de éstos. Si las dimensiones de un solo cable no son suficientes para sostener el peso, es cuando se requiere de adicionar más cables. Hay dos maneras de calcular cantidades de piezas requeridas:  Comparando áreas  Comparando fuerzas

En el primer caso El área total necesaria para soportar una carga al ser dividida entre el área de una sola pieza, se obtiene como resultado la cantidad de piezas necesarias para sostener dicha carga.

En el otro caso, la cantidad de unidades se obtiene dividiendo la fuerza o carga total entre la carga que puede soportar cada unidad.

Importante: En todos los casos, al calcular cantidad de unidades necesarias para soportar una carga, no debe anotarse el resultado exacto con decimales, sino redondear al entero más cercano por exceso. Por ejemplo, si

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el cálculo dio 9.4567 unidades, entonces la respuesta correcta es: 10 unidades.

Las piezas que soportan un determinado peso o fuerza pueden ser de sección redonda, rectangular, triangular, o de cualquier forma geométrica regular. Para calcular su área es de mucha importancia conocer la manera como se calculan las áreas de las figuras geométricas más comunes. Además, para los cálculos de volúmenes de tanques y recipientes cargando sustancias de peso específico determinado deben tenerse en cuenta las fórmulas elementales de geometría para tales cálculos.

Por último, el concepto matemático del esfuerzo, como se mencionó en la página 18 de este documento, corresponde al valor de la fuerza que soporta la pieza entre el área seccional de la misma.

Dependiendo de si es esfuerzo normal o esfuerzo cortante, la simbología cambia de esta manera:  Para el esfuerzo Normal, se utiliza la letra griega Sigma   Para el esfuerzo Cortante, se utiliza la letra griega Tau



=F/A Donde F es la fuerza, peso o carga aplicada a la pieza y A es el área seccional de la misma.

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1.4.5.

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Concepto de Factor de seguridad

El Factor de seguridad es un valor numérico adimensional que representa el margen de seguridad de diseño que se espera de una pieza o estructura que soporta cargas mecánicas. Por lo general se define como la relación entre el límite de fluencia del material de una pieza y el esfuerzo admisible que la misma puede soportar.

Por ejemplo: digamos que el cable de un ascensor está hecho de un material cuyo límite de fluencia es de 58.000 PSI. Sin embargo, de acuerdo con los criterios de diseño, no se recomienda que se le suministren esfuerzos por encima de los 29.000 PSI. Entonces el factor de seguridad con que se proyectó este cable es:

Fs = 58.000 / 29.000 Fs = 2.0

O sea que el margen de seguridad del cable es 2.0. El factor de seguridad se escoge dependiendo de las condiciones en que la pieza o estructura va a trabajar. Por ejemplo, en el caso de piezas cargadas estáticamente (cargas que solo están presentes, sin movimiento alguno), se trabajan con factores de seguridad entre 1.5 y 3.0. Para cargas suministradas a fatiga (cargas aplicadas alternativa y repetidamente de un lado a otro), se trabajan márgenes hasta de 7.0. Para cargas a impacto y golpes, los valores suelen llegar hasta 10.

Nota: Por ahora el estudiante no debe preocuparse por seleccionar el factor de seguridad de sus diseños, sino que los mismos podrán basarse en un valor asignado previamente por el profesor.

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Lecturas recomendadas para este tema:

De la obra de BEER & JOHNSTON, Mecánica de Materiales (2° edición). Capítulo 1. Páginas 24 a 26.

De la obra de GERE & TIMOSHENKO, Mecánica de Materiales (4° edición). Capítulo 1. Páginas 37 a 40.

Ejercicios para practicar:

De la obra de BEER & JOHNSTON, Mecánica de Materiales (2° edición). Capítulo 1. Ejercicios 1 – 41 a 1 – 53 (páginas 29 a 32)

De la obra de GERE & TIMOSHENKO, Mecánica de Materiales (4° edición). Capítulo 1. Ejercicios 1.7 – 1 a 1.7 – 14 y 1.8 – 1 a 1.8 – 13. Páginas 57 a 63.

1.4.7.

Deformación mecánica

Dentro de la zona elástica en la curva de Esfuerzo – Deformación Unitaria, la pieza que soporta la fuerza o carga se comporta igual que un resorte y actúa de acuerdo con la Ley de Hooke, en el cual la constante de elasticidad está determinada por el Módulo de Elasticidad, llamado por algunos autores como Módulo de Young. Se simboliza para los cálculos con la letra E. Esta característica es propia del material y se expresa en unidades de esfuerzo. Por ejemplo, para el acero el Módulo de Elasticidad es:  Según el sistema Internacional, 200 GPa  Según el sistema Inglés, 29.000.000 PSI

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La deformación axial de una pieza es directamente proporcional a la fuerza que soporta y a la longitud de la misma, y es inversamente proporcional al área seccional de ésta. Simbolizando como L a dicha longitud, A al área seccional, F a la fuerza aplicada y simbolizando la deformación mediante la letra griega delta ( ), tenemos entonces el siguiente modelo para calcular la deformación:

 = F * L / (E * A) Ejemplo: Si un cable de grúa de 20 m de longitud sufre una tensión de 250 Kg y tiene un diámetro de 25 mm, y además es de acero, calcule cuanto se deforma por estiramiento.  La fuerza para el cálculo se expresa en Newtons. F = 250 Kg = 2450 N (Esto basado en que 1 Kg = 9.8 N)  Si el cable es redondo y tiene un diámetro de 25 mm, el área será de A = 3.1416 *( (25 mm) 2 ) / 4 = 490.88 mm2 = 0.000491 m2 (Basado en que el área de una sección redonda es 3.1416 * (diámetro) 2 / 4 y además que 1 m2 = 1.000.000 mm2 ).  Si el cable es de acero, entonces E = 250 GPa = 250.000.000.000 N / m 2.  Aplicando la expresión anterior, tenemos:

 = 2450 N * 20 m / (250.000.000.000 N / m2 * 0.000491 m2)  = 0.0004 m = 0.4 mm

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En este ejemplo puede observarse que se juegan muchas conversiones de unidades, como por ejemplo, de Kg a N, de m a mm, etc. En el anexo figura una tabla resumida de conversiones de unidades y sistemas de medidas obtenido del apéndice de tablas de la obra de GERE & TIMOSHENKO, Mecánica de Materiales, 4° edición, páginas 913 y 914.

Lecturas recomendadas sobre este tema:

De la obra de BEER & JOHNSTON, Mecánica de Materiales (2° edición). Capítulo 2. Páginas 51 a 58.

De la obra de GERE & TIMOSHENKO, Mecánica de Materiales (4° edición). Capítulo 2. Páginas 67 a 80.

Ejercicios para practicar:

De la obra de BEER & JOHNSTON, Mecánica de Materiales (2° edición). Capítulo 2. Ejercicios 2 – 1 a 2 – 32. Páginas 56 a 59.

De la obra de GERE & TIMOSHENKO, Mecánica de Materiales (4° edición). Capítulo 2. Ejercicios 2.2 – 1 a 2.2 – 14. Páginas 152 a 155.

1.4.8.

Principio de dilatación térmica

En la naturaleza todo cuerpo tiende a dilatarse bajo el efecto de ser calentado hasta una temperatura considerablemente alta. Los metales son los materiales más sensibles a este cambio de temperatura, y esta propiedad la manifiestan mediante un coeficiente propio del material llamado coeficiente de expansión térmica. Se simboliza con la letra griega

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. Para

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diversos materiales se puede apreciar los valores de



en las tablas de

propiedades mecánicas, en el anexo de este documento. Para el acero, por ejemplo, el valor de este coeficiente es 6.5 x 10-6 °F-1.

La deformación o dilatación térmica es directamente proporcional a la longitud de la pieza y al gradiente de temperatura. Veamos.

 =  * L * (Tc – Tf) Donde Tc es la temperatura más alta y Tf es la más baja.

Ejemplo: Si una barra de acero de 10 pies de longitud se calienta desde 80 hasta 500 °F, halle su deformación por dilatación térmica.

Entonces:

 = (6.5 x 10-6 °F –1 ) x (10 x 12 plg) x (500 – 80) °F 0.3276 plg Observe la multiplicación de los 10 pies de longitud de la barra por 12. Esto es con el fin de pasar los pies a pulgadas.

En todo momento esté pendiente de hacer conversiones de unidades y medidas cada vez que sea necesario. Nunca olvide esta recomendación.

Lectura recomendada sobre este tema:

De la obra de GERE & TIMOSHENKO, Mecánica de Materiales (4° edición). Capítulo 2. Páginas 91 a 99.

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1.4.9.

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Esfuerzos generados por deformación térmica

Imagine ahora si la barra del ejemplo anterior estuviera empotrada en ambos extremos de manera que no pueda dilatarse libremente debido al aumento de temperatura. La consecuencia de calentarse y no poderse dilatar libremente radica en que se genera un esfuerzo de compresión.

Para entender la manera como se calcula este esfuerzo generado por calentamiento de la pieza, se debe tomar en cuenta la siguiente analogía: El esfuerzo generado por dilatación térmica en una pieza empotrada en sus extremos es equivalente al esfuerzo que se generaría al aplicar una fuerza tal que la deformación mecánica sufrida por la pieza es la misma deformación que sufriría si la pieza se pudiera dilatar libremente.

Esto quiere decir lo siguiente: si la pieza pudiera dilatarse libremente, la deformación generada sería

t. Por otra parte, si a esta pieza se le aplicara

una fuerza tal que llegase a deformarse también a razón de

t, entonces el

esfuerzo generado a consecuencia de aplicar esa fuerza corresponde al esfuerzo que sufre el material cuando la pieza está empotrada en sus extremos.

Ejemplo: Tome la misma barra del ejemplo anterior, pero en lugar de calcular la deformación, calcule el esfuerzo de compresión generado a consecuencia de estar empotrada en sus extremos.



Refiérase COMPRESION al esfuerzo axial generado por cargas que tratan de oponerse una contra otra haciendo comprimir o aplastar la pieza afectada. El efecto inverso se denomina TRACCION o TENSION.

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Primeramente se procede a calcular la deformación térmica como si no hubiera empotramiento alguno. Tomando los datos del ejemplo anterior:

 = (6.5 x 10-6 °F –1 ) x (10 x 12 plg) x (500 – 80) °F 0.3276 plg Ahora bien, como se trata de una barra empotrada en sus extremos, se procede a calcular el esfuerzo que se requeriría aplicar para lograr esta misma deformación. Si se trata de una barra de acero, entonces E = 29 x 106 PSI.

 = F * L / (E * A) Pero: F/A=

Por lo tanto:

=*L/E Como puede observarse, el cálculo del esfuerzo no depende del área seccional de la pieza. Lo que depende del área es la fuerza o carga correspondiente a dicho esfuerzo. Despejando  y reemplazando datos tenemos:

=*E/L  = 0.3276 plg * 29,000,000 PSI / (10 x 12 plg)

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 = 79,170 PSI Lecturas recomendadas para este tema:

De la obra de BEER & JOHNSTON, Mecánica de Materiales (2° edición). Capítulo 2, PÁGINAS 63 A 69.

De la obra de GERE & TIMOSHENKO, Mecánica de Materiales (4° edición). Capítulo 1, páginas 91 a 99.

1.4.

UN PARCIAL SOBRE EL TEMA

1.4.1. Parcial resuelto.

Ha ocurrido un accidente en las instalaciones de vapor de agua cercanas a la caldera de vapor y por eso lo llamaron a las 3:30 a.m. para que se acercara de inmediato: explotó la tubería de 6 pulgadas de diámetro por donde sale el vapor de agua a 800º F y a 2500 psi para alimentar el sistema de vapor de la planta. Afortunadamente no hubo víctimas y la caldera, así como la planta, han sido detenidas mediante un botón de emergencia. Llega usted al sitio de los hechos y lo primero que se da cuenta es que la tubería está intacta, pero los 8 pernos de acero, de 1/2 pulgada cada uno, que mantenían apretados los flanches se rompieron ocasionándose así el incidente. Los pernos eran de acero ASTM A242 cuyas características son: Sy = 36000 psi

E = 29000000 psi

Vapor de agua

6 plg

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& = 6.5 / 1000000º F

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a) Usted habla con los mecánicos y técnicos a cargo y ellos le dicen que lo único que hay en bodega son pernos de 3 / 8 de pulgada de diámetro, del mismo material. Determine cuantos tornillos de éstos necesita mandar a poner en el flanche para reparar de inmediato el daño y evitar costosas pérdidas, mientras se hacen las 8:00 a.m. cuando abran las ferreterías. b) Determine cual debió ser el diámetro de cada tornillo utilizando un factor de seguridad de 3.0 para mandarlos a comprar a las 8:00 cuando abran las ferreterías, si es que decide utilizar el mismo sistema de acople con 8 pernos. c) Por efecto de la dilatación térmica, los pernos podrían aflojarse con la temperatura de 800º F. Si cada perno mide 2.5 pulgadas de longitud, determine su deformación térmica si la temperatura inicial es de 86º F. Esta longitud corresponderá al espesor de un empaque especial. Calcule cuanta carga soportará este empaque si el área de superficie interna viene dada por  * D * t, donde D es el diámetro de la tubería y t es el espesor correspondiente a la deformación de los pernos en los flanches.

IMPORTANTE: En todos los casos procure siempre utilizar los diámetros comerciales de los pernos. DIAMETROS COMERCIALES DE PERNOS: 1/4 5 / 16 3/8 7 / 16 1/2 9 / 16 5/8

3/4 7/8 1 1–1/8 1–1/4 1–1/2 1–3/4

Desarrollo:

Analizando detenidamente el mensaje contenido en el primer párrafo del enunciado del examen, las piezas que están sufriendo cargas axiales a tracción son los pernos que unen los flanches de la tubería de vapor. Se dice

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que se rompieron ocasionando el accidente en la planta. Entonces lo primero que hay que establecer es la fuerza que los pernos estaban soportando. Observe que se trata de una tubería que lleva vapor a 2500 PSI de presión. Es evidente que quien hace entonces la fuerza sobre la tubería, y por ende sobre los pernos, es el vapor.

No obstante, observamos también que el dato de la fuerza del vapor está en unidades de presión (PSI), lo cual implica que hace falta un dato sobre área para que, al multiplicarla por la presión, se pueda obtener el cálculo de la fuerza total que el vapor le transmitía a los pernos a través de los flanches. ¿Y como se puede calcular esa área? Con base en el diámetro de la tubería, por supuesto!

Multiplicando la presión del vapor por el área seccional de la tubería, la cual es redonda, tenemos: F = P * (3.1416/4) * Dt2 F = 2500 Lb/plg2 * (3.1416/4) * (6 plg)2 F = 70.686 lbs

Por otra parte, Si calculamos el área seccional de cada perno de 3/8 plg de diámetro, y si a ésta la multiplicamos por el esfuerzo límite de 36.000 PSI, determinamos así la fuerza que cada perno puede soportar como máximo antes de que fallen. Fp =  * (3.1416/4) * d2 Fp = 36.000 lbs/plg2 * (3.1416/4) * (3/8 plg)2 Fp = 3.976,1 Lbs

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Por lo tanto, la cantidad mínima de pernos para que la unión por flanches de la tubería de vapor es de

Np = F / Fp Np = 70.686 / 3.976,1 Np = 18 pernos

Para el segundo punto, se parte de que se va trabajar con un factor de seguridad de 3.0, lo cual implica un esfuerzo admisible de solamente:

 = 36.000 PSI / 3.0  = 12.000 PSI Si la fuerza en la tubería de vapor sigue siendo de 70.686 Lbs, entonces el área total requerida para soportar dicha carga con base en el esfuerzo admisible calculado anteriormente será: At = F /  At = 70.686 lbs / 12.000 lbs / plg2 At = 5,8905 plg2 No hay que olvidar que 1 PSI = 1 lb / plg2. Si se van a utilizar 8 pernos, entonces el área de cada perno debería ser de:

A = At / Np A = 5,8905 plg2 / 8 A = 0,7363 plg2

Sabemos que los pernos son de sección redonda. Entonces con base en el área anterior procedemos a calcular el diámetro de cada uno de esos pernos,

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el cual será el mínimo necesario para que la unión por flanches de la tubería de vapor pueda soportar la presión de 2.500 PSI con un margen de seguridad de 3.0. Ese diámetro será:

d = raíz(4 * A / 3.1416) d = raíz(4 * 0.7363 / 3.1416) d = 0.9682 plg

Si comparamos este dato con la tabla de diámetros comerciales que aparece adjunto al examen parcial (recuadro página 40), vemos que el que más se le aproxima por exceso es el de 1 pulgada. Entonces, si se van a usar ocho pernos para unir la tubería, que sean pernos de una pulgada de diámetro. Para calcular cuanto se dilatan los pernos por efecto del calentamiento, recurrimos a la fórmula respectiva de dilatación térmica: t =  =  * L * (Tc – Tf) t = (6.5 / 1000000º F) * 2.5 plg * (800 – 86) °F t = 0,0116 plg.

Para calcular cuanta carga soporta el empaque cuyo espesor es el que acabamos de calcular, se toma en cuenta que está soportando una presión de 2.500 PSI. Si el área está dada por  * D * t, entonces: Fe = P *  * D * t Fe = 2.500 Lb/plg2 * 3.1416 * 6 plg * 0.0116 plg Fe = 546.76 Lbs

Resumen de procedimientos del ejercicio anterior:

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1) Con base en la presión de tubería y el área seccional de la misma, se calculó la fuerza que soportaban los pernos.

2) Se calculó cuanta fuerza soportaba cada perno de 3/8 plg y luego la fuerza total se dividió entre la fuerza de cada perno, determinando así la cantidad total de pernos a utilizar.

3) Luego, para calcular el diámetro de los 8 pernos a utilizar, se calculó el esfuerzo admisible con base en el factor de seguridad; de ahí se determinó el área total del conjunto de pernos; después se dividió entre el número de pernos para conocer el área ideal de cada uno; y finalmente, con base en el concepto área del círculo, se estimó su diámetro respectivo.

4) Para calcular el espesor del empaque se recurrió a la fórmula de la dilatación térmica para determinar cuánto se dilataban los pernos. Y luego se calculó la carga de ese empaque multiplicando su área por la presión de la tubería.

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1.4.2. Ejercicio resuelto II:

A dos obreros de oficios varios de una sala de exposiciones de arte les han encargado la instalación de varios cuadros de arte enmarcados en bronce. Para ello los obreros piensan en utilizar cable de nylon cuyas características son: Límite de resistencia a fluencia: 6500 PSI Modulo de Elasticidad: 400000 PSI Diámetro de nylon: 0.031 pulgadas. Las características de los materiales de los cuadros de arte a colgar en las paredes son: Peso específico del Bronce: 0.32 Lb / plg3 Peso específico del Vidrio:0.09 Lb / plg3

A = 30 pulgadas B = 40 pulgadas

Los cuadros promedio miden A x B. Los perfiles de aluminio son tipo C (Ver esquema del perfil abajo). El vidrio tiene 0.25 pulgadas de espesor. A fin de que el nylon no quede tan templado, para cada cuadro se piensan utilizar pedazos cuya longitud es 1.1 veces el lado más largo de un cuadro. 1) Con base en la información anterior, determine cuantos pedazos de nylon son necesarios para guindar uno de estos cuadros en la pared con un margen de seguridad de 2.5. 2) Estime cuanto se estira cada cable en el momento en que se cuelga el cuadro en la pared.

5/8 “

3/8 “

Espesor: 1/8 “

Solución:

Lo primero que hay que hacer es estimar el peso del cuadro a colgar. Éste está compuesto de la lámina de vidrio y el marco de aluminio, por lo que hay que calcular el peso de cada material y luego sumar ambos pesos.

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Peso del Vidrio:

Wv   v  tv  Av Donde:

W = Peso de la pieza (en este caso vidrio)  = Peso específico del material t = Espesor de la pieza A = Área de la pieza (igual a su vez al largo por el ancho)

Reemplazando datos tenemos:

Wv  (0.09

Lb )  (0.25 p lg)  (30 plg 40 plg) 3 p lg

Wv  27.03Lb Peso del marco de Bronce:

El marco total mide 2 veces el largo mas 2 veces el ancho del cuadro. Por otra parte, el área seccional del marco corresponde a:

3 1 5 1 1 AB  2  (  )  (  2  )  ( )  0.1406 p lg 2 8 8 8 8 8 Entonces, el peso del marco es de:

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WA  (0.32

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Lb 2 )  (2  (30  40) plg)  (0.1406 plg ) 3 p lg

Wv  6.30Lb Entonces cada cuadro (despreciando el peso del lienzo u obra de arte) pesa en total:

WT  Wv  WB  27.03  6.30  33.33Lb Ahora bien, al colgar cada cuadro usando el nylon de manera que se utiliza un tramo igual a 1.1 veces el lado más largo del cuadro, es decir, 40 pulgadas, nos estamos refiriendo a un tramo de 48 pulgadas de longitud.

22”

40”el momento de colgar el cuadro es: El ángulo de inclinación del nylon en

  arccos(

20 )  24.62 22

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Haciendo diagrama de cuerpo libre en el clavo en donde se guinda el cuadro, se puede deducir que la fuerza de tracción del nylon que soporta es:

WT  2  FT  sen( ) FT  WT / (2  sen( ))

FT  33.33Lb / (2  sen(24.62)

FT  40Lb Por otra parte, el esfuerzo límite del nylon es de 6500 psi, y su diámetro es de 0.015 plg. Para garantizar un margen de seguridad de 2.5, el esfuerzo admisible es:



Sy





6500 psi  2600 psi 2.5

Entonces la fuerza admisible máxima que puede soportar cada cable de nylon es:



Fmx    A    (  D 2 ) 4 Fmx  2600

Lb  2  (  (0.031 p lg) ) 2 p lg 4

Fmx  2Lb 26

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Por lo tanto, para que el nylon sea capaz de sostener este cuadro, se requiere utilizar un tramo compuesto de:

NC 

FT 40 Lb   20cables Fmx 2 Lb

Con respecto a la segunda pregunta, como hay que considerar lo que se estira cada nylon, hay que calcular entonces cual su elongación producto del esfuerzo provocado al sostener el cuadro. Para ello se utiliza la fórmula:





FT  L FT  L  E  A E  (   D 2 )  NC 4

(40 Lb)  22 p lg) Lb  2 (400000 )  (  (0.031 p lg) )  20 2 p lg 4

  0.146 p lg Cabe aclarar que los 20 cables son utilizados en paralelo, es decir, juntos como si fuera un solo cable cuya área es 20 veces la de un solo cable individual. Por eso es que se multiplica por 20 dicha área para calcular lo que se estira.

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1.4.3. Ejercicio Propuesto I

Tanque General

Tanque Especies Grandes

Tanque Especies Mediana s

Tanque Especies Pequeña s

Un ingeniero inventó el siguiente sistema de clasificación de especies marinas vivas atrapadas del mar según tamaño para estudios científicos biológicos: consiste en cuatro tanques interconectados mediante tuberías de diversos tamaños. El Tanque General es en donde van todas las especies vivas de todos los tamaños. Cierto dispositivo obliga a los especimenes a transitar a través de las tuberías conectoras, de manera que los grandes, los medianos y los pequeños se van quedando en sus respectivos tanques. El tanque general contiene 5000 litros de agua, mientras que los otros tres tanques tienen promedio 2500 litros de agua (considere que cada litro de agua pesa 1 Kilogramo). Se consideran especimenes grandes aquellos que pesan promedio 15 Kilos; mientras que los medianos pesan promedio 5 kilos y los pequeños pesan promedio 1.5 kilos. Para contabilizar la cantidad de cada especie, el ingeniero instala en cada tanque un dispositivo que mide la deformación a compresión de las cuatro patas de acero que tiene cada tanque, cuyo diámetro es de 25 mm y su longitud es de 700 mm. (Módulo de Elasticidad: 200.000 MPa). El tanque general vacío pesa 500 Kg y los demás pesan cada uno 220 Kg. 1) Si la deformación registrada de las patas del tanque de especies grandes es de (NHE+1000) micras, la de las del tanque de especies medianas es de (NHE + 800) micras, y la de las del tanque de especies pequeñas es

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de la diferencia entre los dos valores anteriores, calcule cuantas especies de cada tamaño hay en cada tanque suponiendo que en el tanque general no queda más que agua. 2) Calcule el diámetro requerido en las cuatro patas de acero del tanque general sabiendo que el esfuerzo límite de resistencia de este acero es de 250 MPa y el factor de seguridad es de 2.5. Haga el cálculo asumiendo que la suma de las especies de los tres tamaños está presente en el tanque general.

1.4.4. Ejercicio propuesto II:

En la época medieval eran frecuentes las invasiones a castillos y fuertes para así apoderarse de los terrenos que protegían. Parte de las estrategias invasoras consistía en utilizar escaleras levantadas con tensores y poleas incrustados con arpones en las paredes de los castillos para así subirse en éstos y entrar invadiendo.

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Sea H la altura de la pared del castillo y L la longitud de la escalera, la cual era 0.5 m más larga que la altura de la pared. La escalera se apoyaba en un extremo contra la pared y por el otro extremo era alzada mediante un cable tensor, el cual pasaba por una polea y era halada por un ejército de soldados para así levantar dicha escalera. La H está dada por NHE / 20 metros. La escalera mientras es izada, lleva consigo montados 3 soldados por cada 1.5 metros de longitud. Cada soldado pesa promedio 90 Kgf, y la escalera sin soldados pesa 15 Kgf por cada metro de longitud. Para un valor del angulo alfa de 20º : 1) Sabiendo que el alambre tiene un límite de resistencia de 120 Megapascales, calcule con un margen de seguridad de 2.5 el diámetro del cable utilizado para esta faena. 2) Tomando como la longitud total del cable sin estirar dos veces el tramo del extremo de la escalera a la polea, y sabiendo que los soldados pueden halar la cuerda a razón de 2.5 m / s, considerando la elongación de dicho cable determine en cuanto tiempo los soldados acercan la escalera hasta la pared (Analice mecánicamente la situación).

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