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• Jim Morales Rojas

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RESISTENCIA DE MATERIALES I

1. Graficar el diagrama de momento torsor y determinar el ángulo de giro en torsión en el punto C de la barra de sección rectangular, considerando que su módulo de corte es G 8.104 MPa

Eliminamos el empotramiento en D y lo reemplazamos por su momento torsor TD

D  0 2

5𝑇𝐷 400.4 200.2 400𝑥𝑑𝑥 − + −∫ =0 𝐺𝐼𝑡 𝐺𝐼𝑡 𝐺𝐼𝑡 𝐺𝐼𝑡 0

𝑇𝐷 = 400N.m Luego:

T

eje

0



𝑇𝐴 + 200 + 400 − 400.2 − 400 = 0 TA = 600 N.m

Graficamos el diagrama de momento torsor:

2. Determinar el valor del momento torsor T1 , el esfuerzo tangencial máximo tmáx y el ángulo de giro en torsión fA , si se sabe que fA = 0,5fB y G = 8.104 MPa para toda la barra.

Graficamos el diagrama de momento torsor

Aplicamos la condición del problema: A  0,5B

(𝑇1 + 400)0.8 𝐺(

𝜋 )404 ∗ 10−12 32

= 0.5 [

(𝑇1 + 400)0.8 𝐺(

𝜋 )404 ∗ 10−12 32

+

(𝑇1 )0.6 𝐺(0.141)20√

4

2 ∗ 10

T1  367,37N.m

Luego, el diagrama de momento torsor es:

𝜏𝐶𝐴 = 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝜏𝐴𝐵 =

16(767.37) = 61.06𝑀𝑃𝑎 𝜋403 ∗ 10−9 367.37 0.208(20√2)3 ∗ 10−9

= 78.05𝑀𝑃𝑎

Calculamos el ángulo de giro en A ∅𝐴 =

767.37(0.8) = 78.05𝑀𝑃𝑎 𝜋 8 ∗ 104 ∗ 106 32 404 ∗ 10−12

−12

]

3. Determinar el valor de “b” en función de “a”, si (tAB )máx = (tCD )máx y la barra doblemente empotrada es de un mismo material.

Eliminamos el empotramiento en D y lo reemplazamos por TD  0  (𝑇𝐷 −2𝑇)∗𝑎

D

𝑇𝐷 ∗𝑏 𝜋 𝐺(32)(1.5𝑑)4

+

(𝑇𝐷 −𝑇)∗2𝑎 𝜋

𝐺(32)(2𝑑)4

𝑇𝐷 =

+

𝜋

𝐺(32)𝑑4

=0

2.125𝑇𝑎 … … … . (1) 1.125𝑎 + 0.1975𝑏

Por condición del problema:

𝜏𝐴𝐵 𝑚𝑎𝑥 = 𝜏𝐶𝐷 𝑚𝑎𝑥 16𝑇𝐴 16𝑇𝐷 = 𝜋𝑑 3 𝜋(1.5𝑑)3 𝑇𝐷 = 3.375𝑇𝐴 … … … (2) Además: ∑ 𝑇𝑒𝑗𝑒 = 0

𝑇𝐴 + 𝑇𝐷 = 2𝑇 TA  0,4571T TD  1,5429T Reemplazamos valores en la ecuación (a) y obtenemos:

1.5429𝑇 =

2.125𝑇𝐴 1.125𝑎 + 0.1975𝑏 b=1.278ª

4.Una barra escalonada ABC de longitud total “L” está empotrada en ambos extremos. La barra tiene diámetros d

a

y d

b

en las porciones AC y CB,

respectivamente. Un par torsionante “T” actúa en la sección C. ¿Cuáles deben ser las longitudes “a” y “b” para el diseño más económico del elemento?

Se sabe que: ∅𝐵 = 0

𝑇𝐵 (𝑏) 𝑇𝐵 (𝑎) 𝑇(𝑏) + − =0 𝜋 𝜋 𝜋 𝐺( )(𝑑𝑏 )4 𝐺( )(𝑑𝑎 )4 𝐺( )(𝑑𝑎 )4 32 32 32 𝑇𝑏𝑑𝑎4 𝑇𝐵 = 4 𝑎𝑑𝑏 + 𝑏𝑑𝑏4 Para que el diseño sea mas económico, se debe cumplir:

𝜏𝐴𝐶 = 𝜏𝐶𝐵 16𝑇𝐴 16𝑇𝐵 = 𝜋𝑑𝑎3 𝜋𝑑𝑏3 𝑇𝑏𝑑𝑎4 𝑇𝑎𝑑𝑎4 3 3 ( 4 4 ) 𝑑𝑏 = ( 4 4 ) 𝑑𝑎 𝑎𝑑𝑏 + 𝑏𝑑𝑏 𝑎𝑑𝑏 + 𝑏𝑑𝑏 𝑏𝑑𝑎 = 𝑎𝑑𝑏 (𝐿 − 𝑎)𝑑𝑎 = 𝑎𝑑𝑏 𝑑𝑎 𝐿 𝑎= 𝑑𝑎 + 𝑑𝑏 𝑏=

𝑑𝑏 𝐿 𝑑𝑎 + 𝑑𝑏

5.En la barra escalonada, doblemente empotrada en sus extremos, la porción AB tiene 75mm de diámetro y es de bronce, con b  60MPa y G b  35GPa . La porción BC es de acero, de 50mm de diámetro, a  80MPa y Ga  83GPa . Determinar la relación de longitudes b/a que debe existir para que el acero y el bronce trabajen al máximo esfuerzo posible ¿Qué momento torsor T es necesario para ello?

Eliminamos el empotramiento en C y lo reemplazamos por TC

∅𝐶 = 0

𝑇𝐶 (𝑏) 𝑇𝐶 (𝑎) 𝑇(𝑎) + − =0 𝐺𝑎 𝐼𝑝(𝑎) 𝐺𝑏 𝐼𝑝(𝑏) 𝐺𝑏 𝐼𝑝(𝑏) 𝑇𝐶 (𝑏) 𝑇𝐶 (𝑎) + 𝜋 𝜋 83 ∗ 109 ( ) 504 ∗ 10−12 35 ∗ 109 ( ) 754 ∗ 10−12 32 32 𝑇𝑎 − =0 𝜋 9 4 −12 35 ∗ 10 ( ) 75 ∗ 10 32 𝑇𝐶 =

9.03𝑇𝐴 19.277𝑏 + 9.03𝑎

Luego: ∑ 𝑇𝑒𝑗𝑒 = 0

𝑇𝐴 + 𝑇𝐶 − 𝑇 = 0

𝑇𝐴 =

19.277𝑇𝑏 19.277𝑏 + 9.03𝑎

Por condición del problema

𝑇𝑏𝑚𝑎𝑥 =

𝑇𝑎 𝜋 ( )𝑑𝑏3 16

= 𝑇𝑏 

19.277𝑇𝑏 19.277𝑏+9.03𝑎

𝜋

= ( )753 ∗ 10−9 (60)106 16

19.277𝑇𝑏 = 4970.1 … … … 1 19.277𝑏 + 9.03𝑎 𝑇𝑎𝑚𝑎𝑥 =

𝑇𝐶 𝜋

9.03𝑇

𝜋

𝑎 3 −9 6 3 = 𝑇𝑎  19.277𝑏+9.03𝑎 = (16)50 ∗ 10 (80)10

(16)𝑑𝑎

9.03𝑇𝑎 = 1963.5 … … … 2 19.277𝑏 + 9.03𝑎

Dividimos 1 entre 2 y obtenemos: 𝑏 = 1.186 𝑎 Reemplazamos en la ecuación 1,dividiendo previamente dicha ecuación en 1, obteniendo: 19.277𝑇𝑏/𝑎 = 4970.1 19.277(𝑏/𝑎) + 9.03𝑎 19.277𝑇(1.186 = 4970.1 19.277(1.186) + 9.03 𝑇 = 6933.14 𝐾𝑁. 𝑚