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• Jonas Qquenta Soto

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RESISTENCIA DE MATERIALES I

2020

CONTENIDO CAPITULO I. ESFUERZO SIMPLE 1. 2. 3. 4. 5.

Introducción Análisis de fuerzas internas Esfuerzo simple Esfuerzo cortante Esfuerzo de contacto o aplastamiento

CAPITULO II. DEFORMACIÓN SIMPLE 1. 2. 3. 4. 5.

Introducción Diagrama esfuerzo deformación Ley de Hooke – Deformación axial Elementos estáticamente indeterminados o hiperestáticos Esfuerzos de origen térmico

CAPITULO III. TORSIÓN 6. Introducción 7. Deducción de las fórmulas de torsión 8. Acoplamiento por medio de bridas 9. Esfuerzo cortante longitudinal 10. Resortes helicoidales CAPITULO IV. FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE EN VIGAS 1. 2. 3. 4. 5.

Introducción Fuerza cortante y momento flexionante Interpretación de la fuerza cortante y momento flexionante Relación entre la carga, la fuerza cortante y el momento flexionante Cargas móviles

CAPITULO V. ESFUERZOS EN VIGAS 1. 2. 3. 4. 5.

Introducción Deducción de la fórmula de la flexión Análisis del efecto de la flexión Deducción de la fórmula del esfuerzo cortante horizontal Diseño por flexión y por cortante

1. INTRODUCCIÓN. La resistencia de materiales amplía el estudio de las fuerzas que se inició en mecánica, pero existe una diferencia entre ambas materias. El campo de la mecánica abarca fundamentalmente las relaciones entre las fuerzas que actúan sobre un sólido indeformable. La estática estudia los sólidos en equilibrio. En contraste con la mecánica, la resistencia de materiales estudia y establece las relaciones entre las cargas exteriores aplicadas y sus efectos en el interior de los sólidos. Además, no supone que los sólidos son idealmente indeformables, como la mecánica, sino que las deformaciones, por pequeñas que sean, tienen gran interés. La diferencia entre la mecánica de los cuerpos rígidos y la resistencia de los materiales se pueden poner más de manifiesto con el siguiente ejemplo. La determinación de la fuerza (fig. 1) que se requiere en el extremo de una palanca para levantar un peso dado es un simple problema de estática. La suma de momentos respecto del punto de apoyo determina el valor de P. Esta solución de la estática supone que la palanca es lo bastante rígida y lo suficientemente fuerte para permitir su funcionamiento.

Fig. 1 La debe romperse ni curvarse excesivamente

palanca no

En el curso de MECÁNICA se empezaron a estudiar los elementos estructurales y las estructuras desde el punto de vista del EQUILIBRIO ESTÁTICO externo, es decir de la QUIETUD en que deben estar para que cumplan su función. Se tenían por ejemplo las siguientes situaciones y se hacía un DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE en el cual se ponían todas las fuerzas externas que actuaban sobre el mismo y a continuación se aplicaban las ecuaciones de equilibrio con el fin de encontrar las reacciones en los apoyos.

Fig. 2 Fuerzas externa sobre una viga.

En los casos mostrados en la figura, las reacciones se calculan mediante la aplicación de las ecuaciones de equilibrio (suma de fuerzas igual a cero y suma de momentos igual a cero). Aunque el cálculo de las reacciones que garanticen el reposo es fundamental, éste es solo el primer paso en el proceso de análisis y diseño que en cada situación llevará a la definición del tipo de material, de la forma y de las dimensiones que harán que las estructuras sean seguras y funcionales.  Seguras, quiere decir que no se rompan.  Funcionales, quiere decir que no se deformen excesivamente afectando el servicio que prestan. Estas dos condiciones, RESISTENCIA y RIGIDEZ deberán asegurarse para que las estructuras cumplan su fin. Es claro que en las situaciones mostradas a continuación las estructuras pueden romperse o deformarse excesivamente.

Fig. 3 Estructuras deformadas excesivamente Como puede verse, cualquiera de las dos situaciones (Deformación excesiva o Rotura) es inadmisible. Por lo tanto, el ingeniero debe asegurar con una buena probabilidad de éxito que las estructuras que construya sean RÍGIDAS y RESISTENTES. De esto trata la RESISTENCIA DE MATERIALES. Debemos ser capaces de garantizar que las estructuras a construir no se deformen excesivamente y que no se fracturen.

Para hacerlo, es necesario que sepamos calcular las fuerzas internas que se producen en los elementos estructurales y que son en últimas las que producirán las deformaciones y la rotura. En general podemos afirmar que una fuerza interna produce un esfuerzo actuante que trata de romper el elemento. Que se rompa depende del esfuerzo resistente que tenga el elemento el cual dependerá del material y de sus dimensiones transversales. Análogamente, esas mismas fuerzas internas producirán deformaciones del elemento las cuales dependerán igualmente del material y de sus dimensiones. La Resistencia de Materiales se ocupa del cálculo de los esfuerzos y deformaciones que se producirán debiendo garantizar el ingeniero que las deformaciones estén dentro de unos límites permisibles y obviamente que no se produzcan roturas. 2. ANÁLISIS DE FUERZAS INTERNAS Consideremos un sólido de forma cualquiera en el que actúa una serie de fuerzas como se representa en la figura. En Mecánica, se determinaría la resultante de las fuerzas aplicadas para averiguar si el sólido se encuentra o no en equilibrio. Si la resultante es nula existe equilibrio estático, condición que, en general, ha de existir en las estructuras. Si la resultante no es nula, introduciendo en el sistema exterior las fuerzas de inercia correspondientes, se obtiene el equilibrio dinámico. Por el momento, sólo consideraremos los casos en que existe equilibrio estático. La resistencia de materiales estudia la distribución interna de esfuerzos que produce un sistema de fuerzas exteriores aplicadas. Para ello se suele hacer un corte ideal en el sólido por una sección de exploración, buscando que fuerzas deben actuar en esta sección para mantener el equilibrio de cuerpo libre en cada una de las dos partes en que ha quedado dividido el cuerpo. En general, el sistema de fuerzas internas equivale a una fuerza y un par resultantes que, por conveniencia, se descomponen según la normal y la tangente a la sección como se muestra en la figura 3

El origen del sistema de ejes coordenados se considera siempre en el centroide, que es

el punto de referencia de la sección. Si el eje X es normal a la sección, ésta se denomina superficie o cara X, la orientación de los ejes Y y Z en el plano de la sección se suele elegir de manera que coincidan con los ejes principales de inercia de la misma. La notación empleada en la figura 3 identifica tanto la sección de exploración como la dirección de las componentes de la fuerza y del momento. El primer subíndice indica la cara sobre la que actúan las componentes, y el segundo la dirección de cada una de ellas. Por tato, Pxy es la fuerza que actúa sobre la cara X en la dirección de Y. Cada componente representa un efecto distinto de las fuerzas aplicadas sobre el sólido en esta sección y recibe un nombre especial, que se indica a continuación: Fuerza Axial (Pxx). Esta componente corresponde a la acción de tirar (o de empujar) sobre la sección. Tirar o jalar representa una fuerza de extensión o tracción que tiende a alargar el sólido, mientras que empujar representa una fuerza de compresión que tiende a acortarlo. Se representa generalmente por P. Fuerzas cortantes (Pxy, Pxz). Son componentes de la resistencia total al deslizamiento de la porción de sólido a un lado de la sección de exploración respecto de la otra porción. La fuerza cortante total se suele representar por V y sus componentes Vy y Vz determinan su dirección. Momento torsionante (Mxx). Esta componente mide la resistencia a la torsión del sólido considerado, y se suele representar por T. Momentos Flexionantes (Mxy, Mxz). Estas componentes miden la resistencia del cuerpo a curvarse o flexionarse respecto de los ejes Y o Z, y se suelen expresar simplemente por My y Mz, respectivamente. De todo lo anterior, se deduce que el efecto interno de un sistema de fuerzas exterior dado depende de la elección y orientación de la sección de exploración. En particular, si las cargas actúan en un plano, que se suele considerar como el plano XY, las seis componentes de la figura 3 se reducen a tres; la fuerza axial Pxx (o P), la fuerza cortante Pxy (o V) y el momento flexionate Mxx (o M). Los esfuerzos resistentes del material deben calcularse con el fin de poder compararlos con los esfuerzos actuantes. Estos esfuerzos dependen no solo de las dimensiones del elemento estructural sino de la forma como estén aplicadas las cargas las cuales pueden producir esfuerzos normales o cortantes dependiendo de que las fuerzas o momentos actuantes sean axiales, transversales o combinados.

Debe por tanto determinarse primero que todo si el elemento en estudio está sometido a fuerzas axiales, transversales (en cuyo caso se producirá flexión), momentos torsionales (torsión) o una combinación de algunos de ellos.

Como se observa en las figuras anteriores, los elementos estructurales quedan sometidos a diferentes tipos de fuerzas (o solicitaciones) dependiendo tanto de las acciones que se apliquen como de la conformación de cada estructura y del punto de aplicación de las fuerzas. Como en cualquier materia, en la resistencia de materiales se aceptan de entrada unas hipótesis iniciales que sin afectar en su esencia los resultados de los temas de estudio simplifiquen el análisis que, de otra manera, se haría demasiado dispendioso. Estos principios básicos son:

 Los materiales se consideran homogéneos: esto quiere decir que se hace caso omiso de las variaciones de composición que de punto a punto de los mismos tienen los materiales reales.

 Los materiales se consideran continuos: tampoco se tienen en cuenta en los análisis las discontinuidades o poros que presentan los materiales. Piénsese en los casos de la madera y del concreto.

 Los materiales se consideran isótropos: significa que en los análisis generales no se tienen en cuenta las diferencias de propiedades en distintas direcciones del material. O sea que se supone que sus propiedades son iguales en todas las direcciones. (iso: igual, tropos: dirección).

 No se tienen en cuenta las fuerzas internas de tipo interatómico existentes en los materiales. Solo se consideran las fuerzas causadas por la aplicación de fuerzas externas.

 Principio de superposición: los efectos de un sistema de fuerzas sobre un elemento son iguales a la suma de los efectos individuales de cada una de las fuerzas. Es válido en el rango elástico lineal como se verá posteriormente.

 Principio de Saint Venant (científico francés): Cuando a un elemento estructural se le aplica una fuerza los esfuerzos que esta causa en puntos suficientemente alejados de ella no depende de la forma concreta en que la carga es aplicada: PRINCIPIO DE SAINT VENANT

Los esfuerzos internos en la sección A-A son iguales en los 3 casos independientemente de la forma como se cuelgue la carga Sin embargo, para avanzar en el proceso de análisis y diseño con el objetivo de definir finalmente las dimensiones y el tipo de material del cual deberán hacerse los elementos estructurales es necesario considerar las deformaciones que tendrán los elementos y la resistencia de los diferentes tipos de materiales. Se hace indispensable entonces proceder a considerar las características de: RESISTENCIA (oposición a la rotura) y RIGIDEZ (oposición a las deformaciones) que tendrán los diferentes elementos estructurales. En otros términos, antes de construir una estructura es necesario saber la resistencia que tendrá y las deformaciones que sufrirá. Lo anterior es apenas obvio si consideramos que cualquier estructura debe satisfacer unas exigencias mínimas de seguridad (resistencia) y de funcionalidad y estética (mínimas deformaciones). 3. ESFUERZO SIMPLE Cuando una fuerza P actúa a lo largo de una barra su efecto sobre la misma depende no solo del material sino de la sección transversal que tenga la barra, de tal manera que a mayor sección mayor será la resistencia de la misma.

Se define entonces el esfuerzo axial o normal como la relación entre la fuerza aplicada y el área de la sección sobre la cual actúa. O en otros términos como la carga que actúa por unidad de área del material.

σ=

σ : Esfuerzo simple P : Fuerza axial A : Sección transversal

σ=

A nivel diferencial:

Unidades del Esfuerzo Simple Esfuerzo (σ) F/L2

MKS kg/cm2

INGLÉS lb/in2 = psi

S.I N/m = Pascal 2

EJERCICIOS 1.- Se tiene la siguiente estructura, cuyo cimiento y sobrecimiento está construido con concreto ciclópeo, el muro de albañilería con ladrillo sólido macizo y la viga de concreto armado. Sabiendo que el peso de la estructura es de 9142 kgf, determinar: a) El radio “r” del agujero circular y

b) La capacidad portante del terreno. MATERIAL Concreto ciclópeo Muro de albañilería sólido macizo Concreto armado

PESO ESPECÍFICO 2300 kgf/m3 1800 kgf/m3 2400 kgf/m3

SOLUCIÓN Calculamos los pesos de cada parte de la estructura, conocido como metrado de cargas. En este caso se trata de la carga muerta, es decir, el peso propio de la estructura. a) Calculamos el radio “r” del agujero circular Peso cimiento Pcimiento =

.Vcimiento

cimiento

Pcimiento = (2300kgf/m3)(0.8m x 0.5m x 4m)

Pcimiento = 3680kgf

Peso sobrecimiento Psobrecimiento =

sobrecimiento

.Vsobrecimiento

Psobrecimiento = (2300kgf/m3)(0.25m x 0.5m x 4m) Peso viga Pviga =

.Vviga

viga

Psobrecimiento = 1150kgf

Pmuro = (2400kgf/m3)(0.25m x 0.35m x 4m)

Pmuro = 840kgf

Peso muro Pmuro =

.Vmuro

muro

Pmuro = (1800kgf/m3)(0.25m x 2m x 4m – 0.25πr2)

Pmuro = 3600 - 450πr2

Sumando todos los pesos y obtenemos: 3680

+ 1150 + 840 + 3600 - 450πr2 = 9142

r = 0.30m

b) Calculamos el radio “r” del agujero circular La capacidad portante del terreno, viene a ser la resistencia mínima del suelo.

q=

q=

q = 0.457kgf/cm2 (Suelo flexible)

2.- En la figura que se muestra, calcular la sección del cable CD (cm2), sabiendo que el esfuerzo normal es de 1250kgf/cm2.

SOLUCIÓN  Calculamos las reacciones. A

= 0:

By (1.2) – 6 (1.8) = 0

V

= 0:

9 – Ay = 0

Ay = 9T

H

= 0:

6 – Ax = 0

Ax = 6T

By = 9T

 Esquematizamos el DCL del sistema.

En la barra BE. E

= 0:

9 (0.6) – FCD (1.2) = 0

FCD = 4.5T

 Calculamos el área de la sección transversal del cable CD. Aplicando: A=

σ=

de donde A =

A = 3.6 cm2

3.- Calcular el valor máximo de P (en kg) en la armadura que se muestra en la figura, sabiendo que en las barras el esfuerzo de tensión es de 200kgf/cm2, el esfuerzo de compresión es de 100kgf/cm2 y la sección transversal de todas las barras son iguales de 5cm2

SOLUCIÓN

 Calculamos las reacciones. Fy (12) – P (8) – 2P (4) – 2P (6) = 0 Fy = 2.33P A = 0: Ay – 2P – P + 2.33P = 0 Ay = 0.67P V = 0: = 0: 2P – A = 0 A = 2P H x x  Calculamos las fuerzas internas en cada una de las barras. Nudo A

H

= 0:

FAH () – 2P = 0

V

= 0:

FAH () – FAB + 0.67P = 0

FAB = 2.17P = FBC (C) Nudo F

FAH = 2.5P (T) (2.5P)() – FAB + 0.67P = 0

V

= 0:

H

= 0:

- FEF () + 2.33P = 0 FEF () – FFG = 0

FEF = 3.88P (C) (3.88P) () – FFG = 0

FFG = 3.10P (T)

Nudo E

H

= 0:

- (3.88P) () + FDE = 0

V

= 0:

(3.88P) () – P - FEG = 0

FDE = 3.10P (C) FEG = 1.328P (T)

Nudo G

V

= 0:

1.328P –

FDG

()

= 0

2.213P (C) H

FDG () + 3.10P – FGH = 0

= 0:

(2.213P)() + 3.10P – FGH = 0

FGH = 4.87P (T) Nudo D

H

= 0:

- (2.213P) () - 3.10P + FCD = 0

V

= 0:

- 2P + (2.213P) () – FDH = 0

Nudo C

FCD = 4.87P (C) FDH = - 0.672P (C)

FDG =

V

= 0:

- FCH () + 2.17P = 0

FCH = 3.616P (T) RESUMEN

BARRA AH AB BC EF FG DE EG DG GH CD DH CH BH

FUERZA 2.50P 2.17P 2.17P 3.88P 3.10P 3.10P 1.328P 2.213P 4.87P 4.87P 0.672P 3.616P 0.00

Aplicando:

TIPO Tensión Compresión Compresión Compresión Tensión Compresión Tensión Compresión Tensión Compresión Compresión Tensión *************

P = 400kg

P = 230.41kg

P = 322.58kg

P = 753.01kg

100kgf/cm2 =

P = 128.87kg

100kgf/cm2 =

P = 161.29kg

100kgf/cm2 =

P = 225.94kg

Barra CD P = 205.34kg

Barra DH 100kgf/cm2 =

P = 230.41kg

Barra DG

Barra GH 200kgf/cm2 =

100kgf/cm2 =

Barra DE

Barra EG 200kgf/cm2 =

400kg 230.41kg 230.41kg 128.87kg 322.58kg 161.29kg 753.01kg 225.94kg 205.34kg 102.67kg 744.05kg 276.55kg 0.00

Barra EF

Barra FG 200kgf/cm2 =

VALOR DE P

Barra AB

Barra BC 100kgf/cm2 =

5 cm2 5 cm2 5 cm2 5 cm2 5 cm2 5 cm2 5 cm2 5 cm2 5 cm2 5 cm2 5 cm2 5 cm2 5 cm2

ESFUERZ O 200kgf/cm2 100kgf/cm2 100kgf/cm2 100kgf/cm2 200kgf/cm2 100kgf/cm2 200kgf/cm2 100kgf/cm2 200kgf/cm2 100kgf/cm2 100kgf/cm2 200kgf/cm2 0.00

σ=

Barra AH 200kgf/cm2 =

ÁREA

100kgf/cm2 =

P = 102.67kg

Barra CH P = 744.05kg

200kgf/cm2 =

P = 276.55kg

∴ P = 102.67kg