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Universidad Autónoma del Carmen Escuela Preparatoria Diurna Unidad Académica Campus II Temas selectos de física I Proyecto: Ondas estacionarias Maestra: Josefina Pérez Sánchez Integrantes: Daniela Bisteni Murillo Roberto Carlos Basáñez Silva Mauricio Javier Ramírez Morales Kevin Alejandro Ruiz Gomez Paola Saray Larraga Massa Alexia Yareni Camara Cortázar Amayrani Cruz Reyes 21 de Noviembre de 2014

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Índice Introducción……………………………………………………..3 Planteamiento del problema…………………………………..4 Hipótesis………………………………………………………...5 Marco teórico…………………………………………………...6 Materiales………………………………………………………12 Desarrollo………………………………………………………14 Resultados y análisis…………………………………………19 Conclusión…………………………………………………….20 Bibliografía…………………………………………………….21

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Introducción Con este trabajo se pretende que mostrar el comportamiento de las ondas dentro de un tubo de PVC, sin importar directamente el diámetro de estos tubos. Así como se pretende demostrar la relación estrecha que existe entre música y física. Estas dadas por las ondas, y la propagación del sonido.

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Planteamiento del problema La longitud del tubo es determinada a través de una frecuencia ya establecida tomando en cuenta los semitonos y la velocidad del sonido con la fórmula de: 𝐿𝑛 =

𝑣 343𝑚/𝑠 = 12 4𝑓𝑛 4 √2𝑛 𝑓𝑜

¿Qué longitud necesita el tubo de PVC para que se escuche en nota Do4 cuando esta tiene una frecuencia de 261.63Hz? ¿Qué longitud necesita el tubo de PVC para que se escuche en nota Re4 cuando esta tiene una frecuencia de 293.66Hz? ¿Qué longitud necesita el tubo de PVC para que se escuche en nota Mi4 cuando esta tiene una frecuencia de 329.63Hz? ¿Qué longitud necesita el tubo de PVC para que se escuche en nota Fa4 cuando esta tiene una frecuencia de 349.23Hz? ¿Qué longitud necesita el tubo de PVC para que se escuche en nota Sol4 cuando esta tiene una frecuencia de 392Hz? ¿Qué longitud necesita el tubo de PVC para que se escuche en nota La4 cuando esta tiene una frecuencia de 440Hz? ¿Qué longitud necesita el tubo de PVC para que se escuche en nota Si4 cuando esta tiene una frecuencia de 493.88Hz? ¿Qué longitud necesita el tubo de PVC para que se escuche en nota Do5 cuando esta tiene una frecuencia de 523.25Hz?

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Hipótesis La relación entre frecuencia, semitono y la velocidad de propagación del sonido será la siguiente:

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Marco teórico Movimiento Ondulatorio: Proceso por el que se propaga energía de un lugar a otro sin transferencia de materia, mediante ondas mecánicas o electromagnéticas. En cualquier punto de la trayectoria de propagación se produce un desplazamiento periódico, u oscilación, alrededor de una posición de equilibrio.

Puede ser una oscilación de moléculas de aire, como en el caso del sonido que viaja por la atmósfera, de moléculas de agua (como en las olas que se forman en la superficie del mar) o de porciones de una cuerda o un resorte. En todos estos casos, las partículas oscilan en torno a su posición de equilibrio y sólo la energía avanza de forma continua. Estas “ondas se denominan mecánicas” porque la energía se transmite a través de un medio material, sin ningún movimiento global del propio medio. Las únicas ondas que no requieren un medio material para su propagación son las ondas electromagnéticas; en ese caso las oscilaciones corresponden a variaciones en la intensidad de campos magnéticos y eléctricos. Ondas Estacionarias: Las “ondas estacionarias” son aquellas ondas en las cuales, ciertos puntos de la onda llamados nodos, permanecen inmóviles. En este tipo de ondas, las posiciones donde la amplitud es máxima se conocen como “antinodos”, los cuales se forman en los puntos medios entre dos nodos.

Las ondas estacionarias son producto de la interferencia. Cuando dos ondas de igual amplitud, longitud de onda y velocidad avanzan en sentido opuesto a través de un medio se forman ondas estacionarias. Por ejemplo, si se ata a una pared el extremo de una cuerda y se agita el otro extremo hacia arriba y hacia abajo, las ondas se reflejan en la pared y vuelven en sentido inverso. Si suponemos que la reflexión es perfectamente eficiente, la onda reflejada estará media longitud de onda retrasada con respecto a la onda inicial. Se producirá interferencia entre ambas 6

ondas y el desplazamiento resultante en cualquier punto y momento será la suma de los desplazamientos correspondientes a la onda incidente y la onda reflejada. En los puntos en los que una cresta de la onda incidente coincide con un valle de la reflejada, no existe movimiento; estos puntos se denominan nodos. A mitad de camino entre dos nodos, las dos ondas están en fase, es decir, las crestas coinciden con crestas y los valles con valles; en esos puntos, la amplitud de la onda resultante es dos veces mayor que la de la onda incidente; por tanto, la cuerda queda dividida por los nodos en secciones de una longitud de onda. Entre los nodos (que no avanzan a través de la cuerda), la cuerda vibra transversalmente.

Se forman ondas estacionarias en las cuerdas de instrumentos musicales que se puntean, se golpean o se tocan con un arco, así como en el aire de un tubo de órgano y en el de una botella de gaseosa cuando soplamos sobre su boca. Se pueden crear ondas estacionarias tanto en las ondas transversales como en las longitudinales. Teoría de las escalas: En música, al emitirse dos o más sonidos simultáneos, se dice que se produce un "acorde", que puede ser "consonante" o "disonante", según que la sensación experimentada sea agradable o desagradable, cuando la sensación agradable es producida por una sucesión de sonidos, entonces se tiene una "melodía". La experiencia enseña que

la sensación producida no depende de los valores

absolutos de las frecuencias de los sonidos, sino de la relación entre ellas, es decir, del intervalo (cociente de las frecuencias, tomando siempre como numerador la mayor frecuencia), siendo esta sensación tanto más agradable, cuanto más sencillo sea el intervalo entre los dos sonidos. Como vemos, la melodía consiste en la elección y número de notas que componen un período musical, por ejemplo en las obras de tipo orquestal, la melodía es interpretada por el solista, siendo acompañado por el resto de la orquesta que proporciona la armonía.

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El lenguaje empleado en música contiene una serie de expresiones cuyo significado físico interesa conocer, como por ejemplo: a) tesitura (tono de un sonido); b) color (características propias del timbre); c) crescendo y descrecendo (intensidad de un sonido que aumenta o disminuye); d) fuerte, piano, pianísimo (máxima intensidad que puede producirse, sonido suave y muy suave); el trémolo (producir una nota de frecuencia fundamental inferior a los 16 Hz, aunque rica en armónicos); f) vibrato (variaciones rápidas y pequeñas en el tono de una nota).La escala actual (escala occidental) es el resultado de un largo proceso de aprendizaje de las notas. Los pitagóricos construyeron un aparato llamado monocordio que se componía de una tabla, una cuerda tensa y una tabla más pequeña que se iba moviendo por la grande. Frecuencia de notas Un sonido no es más que una vibración del aire que nuestros oídos pueden captar. Un sonido que tiene un determinado tono, depende de la frecuencia a la cual vibra el aire. Las notas musicales son vibraciones de frecuencias determinadas. Por supuesto, en la creación de música intervienen muchos otros factores complejos, como por ejemplo, el timbre.

No obstante, una vibración sinusoidal a una frecuencia concreta, produce un sonido puro que nosotros percibimos como un pitido de un determinado tono.

En el sistema musical occidental, se ha acordado utilizar sólo unas frecuencias concretas, a las cuales llamamos notas.

Dividimos las posibles frecuencias en porciones que llamamos "octavas", y cada octava en 12 porciones que llamamos notas. Cada nota de una octava tiene exactamente la mitad de frecuencia que la misma nota en la octava superior.

El oído humano capta solamente frecuencias que estén por encima de los 20Hz y 8

por debajo de los 20.000 (muy aproximadamente). Así pues, y con mucha suerte, sólo podemos oír unas 10 octavas como mucho, con doce notas cada una.

La nota La sirve como referencia para todas las demás. A menudo se denomina "nota de afinar". Se produce un La de afinar cuando el aire vibra 440 veces por segundo, es decir a 440 hertzios. Por convención, a la octava que contiene esta nota La se le suele considerar la cuarta.

Hay otra nota La, de una "octava" superior (la quinta octava) cuando el aire vibra a 880 hertzios, y otra más cuando vibra a 880*2 (sexta octava), y otra a 880*2*2 (séptima octava), etc. del mismo modo que hay un La que se produce cuando el aire vibra a 440/2 (tercera octava) y otra a 440/2/2 (segunda octava). Semitono temperado El semitono temperado es igual a la doceava parte exacta de la octava y posee una constante de proporcionalidad geométrica igual a la raíz 12 de 2: K12 =

= 1.0594630943592953...

El temperamento igual de doce notas fue diseñado para permitir la ejecución de música en todas las tonalidades con una cantidad exactamente igual de desafinación en cada una, a costa de abandonar la afinación justa o natural de las terceras y conservando unas quintas casi perfectas. Esto permite un movimiento entre tonalidades que es neutro en cuanto a los intervalos, que se conservan invariables a través de todo el círculo de quintas. En la práctica musical no se consiguió un verdadero temperamento igual hasta cerca de 1870, debido a que todavía no estaban desarrollados los instrumentos matemáticos necesarios, en particular la necesaria cuenta de bastimentos para afinar cada una de las quintas.

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La quinta resultante de encadenar 7 semitonos temperados es solamente 2 cents menor que la quinta perfecta o pitagórica. Expresando la constante K12, característica del semitono, con tres decimales, como 1.059, se comete un error de menos de un cent cuando se multiplica una frecuencia dada para subirla un semitono. Sin embargo, el error es más de medio cent, por lo que una mejor aproximación es considerar cuatro decimales y tomar K12 como 1.0595, con lo que el error es de 0.06 cents para multiplicaciones simples. El error se acumula cada vez que se hace esta operación, si se efectúan multiplicaciones encadenadas. Sin embargo, efectuando un encadenamiento de doce semitonos redondeados de esta forma, la diferencia con el intervalo de octava aún es menor de un cent. El semitono temperado mide exactamente 100 cents. Los semitonos de otros sistemas de afinación dan una medida en cents aparentemente irregular, distinta de 100, pero sólo porque el cent utiliza el semitono temperado como referencia y no porque los otros semitonos estén desafinados. Esto pone de manifiesto el carácter salomónico del sistema temperado, ya que el motivo de que sea el más ampliamente usado en el mundo, no es porque su sonido sea más agradable al oído, sino por su gran valor práctico a pesar de que todos sus intervalos difieren de las proporciones naturales, sencillas y consonantes que corresponden a relaciones entre números enteros pequeños, como los sistemas pitagórico y justo. La división de la octava en doce partes iguales (o semitonos temperados) es un compromiso artificial con indudables ventajas y no pocos detractores. Al mantener un valor único y constante para la razón numérica del semitono se elimina cualquier diferencia entre las tonalidades, a excepción de su altura absoluta. Por otro lado, queda levemente afectada la calidad sonora de los intervalos de quinta y cuarta (ya que las proporciones fijadas por los pitagóricos quedan ligeramente alteradas). Además, están muy desviados de la afinación justa los intervalos de tercera y sexta, pues al ser las quintas casi pitagóricas, estos intervalos formados por encadenamiento de quintas son casi pitagóricos también. Por 10

ejemplo, la tercera mayor se forma encadenando cuatro quintas temperadas y es casi tan grande como el dítono pitagórico que se forma encadenando cuatro quintas justas. La sonoridad algo áspera de los acordes mayores a causa de estas terceras relativamente grandes (cuando se compara con los mismos en afinación justa) es uno de los principales problemas que se achacan al sistema temperado, aunque en el aspecto práctico sean superiores sus ventajas para la morfología de los instrumentos de teclado, los trastes de la guitarra, las llaves de los instrumentos de viento, etc.

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Materiales 

Tubo de PVC

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Segueta



Lija

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Pinturas

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

Flexómetro

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Afinador electrónico

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Desarrollo El modelo físico más sencillo, para representar un instrumento de viento es el modelo de tubo cilíndrico, especialmente idóneo para describir flautas, tubos de órgano, o los tubos sonoros que son los que aquí se presentaran. En el aire de un tubo cilíndrico se crea una onda acústica estacionaria que cuya longitud de onda queda determinada por las características del tubo. El tubo puede ser abierto o cerrado por ambos extremos, o abierto por un extremo y cerrado por el otro. La vibración del aire en un tubo cilíndrico abierto por un extremo consta de un nodo en el extremo cerrado, en el que las moléculas de aire permanecerán quietas y un vientre en el extremo abierto donde el movimiento oscilatorio de las moléculas de aire tendrá amplitud máxima. La frecuencia f1 es la frecuencia más baja que puede escucharse en este tipo de tubo (armónico fundamental), y corresponde a la nota que se ejecuta. La velocidad de propagación del sonido (v) se relaciona con su longitud de onda (ƛ) y su frecuencia (f) a través de la ecuación f =v/ ƛ. Como en el modo fundamental el tubo, de longitud L, contiene un cuarto de longitud de onda, ƛ =4L, la frecuencia fundamental viene dada por: f 1= v 4L. 𝑓=

𝑣 4𝐿

Todos los instrumentos musicales cuyo cuerpo sea aproximadamente cilíndrico y se puedan considerar abiertos por un extremo y cerrados por el otro, producirán sonidos formados por esta frecuencia fundamental y todos los armónicos superiores múltiplos impares de esta frecuencia. Por supuesto, para cada longitud del tubo se tendrá una frecuencia fundamental y una serie de armónicos impares diferentes. Es importante recordar que el tono de un sonido está relacionado con la frecuencia fundamental, mientras que las intensidades relativas de los armónicos contribuyen al timbre: la calidad del sonido, aquello que diferencia un mismo sonido producido por dos instrumentos diferentes.

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Los tubos sonoros son tubos cilíndricos abiertos por ambos lados que emiten sonido al ser percutidos con la palma de la mano en uno de sus extremos. Dado que al golpearlo obstruimos uno de los extremos del tubo, dejando el otro libre, las ondas estacionarias creadas en su interior corresponden a las de un tubo cerrado por un extremo y abierto por el otro. Para realizar una experiencia de contenido puramente físico, las longitudes de los tubos sonoros no tendrían por qué tener unos valores específicos. Pero si queremos que se trate también de una experiencia musical, es necesario que los tubos que fabriquemos tengan unas longitudes determinadas: aquellas que produzcan unas frecuencias fundamentales que coincidan con las de las notas de la escala musical. El sistema de afinación o temperamento musical establece la relación de frecuencias entre las diferentes notas musicales disponibles, así como un valor absoluto de referencia. En la música occidental se utiliza actualmente la escala temperada con 12 semitonos, en la que cada octava se divide en 12 partes que son iguales en una escala logarítmica; como referencia se utiliza la nota La de 440 Hz. Según este temperamento, la relación entre las frecuencias de dos semitonos 12

contiguos es de √2. Para saber qué longitudes deben tener nuestros tubos sonoros, simplemente hay que usar la relación: 𝐿𝑛 =

𝑣 343𝑚/𝑠 = 12 4𝑓𝑛 4 √2𝑛 𝑓𝑜

En el numerador de la ecuación aparece la velocidad de propagación del sonido, v, que se ha tomado como 343 m/s para el aire en condiciones normales. En esta ecuación, n es el número de semitonos por encima (n positivo) o por debajo (n negativo) de la frecuencia fo=440 Hz (nota La4) y la longitud está expresada en metros. Por ejemplo, si queremos producir la nota Do4, cuya frecuencia es de 261,63 Hz (n = −9), la longitud del tubo deberá ser de 32,77 cm. Teniendo claro que valores son sustituidos en la ecuación se puede resolver los problemas planteados previamente 15

¿Qué longitud necesita el tubo de PVC para que se escuche en nota Do4 cuando esta tiene una frecuencia de 261.63Hz? 𝐿𝑛 =

𝑣 343𝑚/𝑠 = 12 4𝑓𝑛 4 √2−9 440𝐻𝑧 𝐿 = .328 𝑚

¿Qué longitud necesita el tubo de PVC para que se escuche en nota Re4 cuando esta tiene una frecuencia de 293.66Hz? 𝐿𝑛 =

𝑣 343𝑚/𝑠 = 12 4𝑓𝑛 4 √2−7 440𝐻𝑧 𝐿 = .292 𝑚

¿Qué longitud necesita el tubo de PVC para que se escuche en nota Mi4 cuando esta tiene una frecuencia de 329.63Hz? 𝐿𝑛 =

𝑣 343𝑚/𝑠 = 12 4𝑓𝑛 4 √2−5 440𝐻𝑧 𝐿 = .260 𝑚

¿Qué longitud necesita el tubo de PVC para que se escuche en nota Fa4 cuando esta tiene una frecuencia de 349.23Hz? 𝐿𝑛 =

𝑣 343𝑚/𝑠 = 12 4𝑓𝑛 4 √2−4 44𝑜𝐻𝑧 𝐿 = .245 𝑚

¿Qué longitud necesita el tubo de PVC para que se escuche en nota Sol4 cuando esta tiene una frecuencia de 392Hz? 𝐿𝑛 =

𝑣 343𝑚/𝑠 = 12 4𝑓𝑛 4 √2−2 440𝐻𝑧 𝐿 = .219 𝑚

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¿Qué longitud necesita el tubo de PVC para que se escuche en nota La4 cuando esta tiene una frecuencia de 440Hz? 𝐿𝑛 =

𝑣 343𝑚/𝑠 = 12 4𝑓𝑛 4 √20 440𝐻𝑧 𝐿 = .195 𝑚

¿Qué longitud necesita el tubo de PVC para que se escuche en nota Si4 cuando esta tiene una frecuencia de 493.88Hz? 𝐿𝑛 =

𝑣 343𝑚/𝑠 = 12 4𝑓𝑛 4 √22 440𝐻𝑧 𝐿 = .174 𝑚

¿Qué longitud necesita el tubo de PVC para que se escuche en nota Do5 cuando esta tiene una frecuencia de 523.25Hz? 343𝑚 𝑣 𝐿𝑛 = = 12 𝑠 4𝑓𝑛 4 √23 440𝐻𝑧 𝐿 = .164 𝑚

En la siguiente tabla se muestra la relación entre nota numero semitono usando de referencia la nota La, frecuencia y longitud del tubo, las frecuencias ya están determinadas dadas a la teoría musical.

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Ya una vez hecho los cálculos, usaremos nuestros tubos de PVC, usaremos estas mismas medidas calculadas. Mediremos nuestros tubos y los cortaremos en este punto medido. Se recomienda solo hacer los tubos de la escala de Do. Do-Re-Mi-Fa-Sol-La-Si-Do. Al final esto pintaremos los tubos para hacer la relación con la música con la escala de colores de Mozart.

Para hacer la función de estos tubos, con una de las palmas de las manos, golpeamos el tubo hasta reproducir un sonido. Al escuchar el sonido lo acercamos al afinador eléctrico.

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Resultados y análisis Al golpear los tubos de PVC con las palmas de las manos crean un sonido. Este sonido es una nota musical, que está a una frecuencia. Con el afinador electrónico que debemos de tener en nuestros materiales haremos la medición de estas notas. El afinador debe de estar en 440 Hz, y en modo cromático es decir que solo al escuchar el sonido identifique la nota y no la cuerda y nota. Nosotros al golpear el tubo con la palma de la mano y acercarlo al afinador vemos que este reconoce la nota que teóricamente nosotros comprobamos. Es preciso mencionar que a veces se pasara o le faltara para la afinación correcta basta con golpear repetidamente el tubo, la afinación no será del todo exacta si no se cortaron bien los tubos siempre habrá un ± pero este debe ser mínimo. Pero al comprobar con el afinador podemos decir que nuestra hipótesis es verdadera, porque nos está reconociendo la nota del tubo que fue cortado de cierta longitud.

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Conclusión Al golpear un extremo de los tubos con la palma de nuestra mano el tubo de PVC este impacto crea una onda estacionaria sobre nuestro tubo, la cual está a cierta frecuencia que es la que determina la nota musical que produce en el tubo a una medida exacta. La relación entre la música y la física es mucho más estrecha de lo que todos pensamos, dado que todos los instrumentos musicales puedes explicar al menos un fenómeno físico, en caso de los tubos sonoros, logramos explicar la relación entre frecuencia, ondas estacionaria en un tubo, y una nota musical. Para tener una conclusión más precisa traten de tocar la siguiente canción:

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Bibliografía Cros, A., & Ferrel-Roca, C. (2011). Física por un tubo. Mide la velocidad del sonido en el aire y diviértete con los tubos sonoros . 8, 393-398. Ferrar, C., & Cros, A. (1 de Abril de 2005). ¡Fisica maestro! La fisica de la musica. Obtenido de http://rua.ua.es/dspace/handle/10045/ 15064 Ferrel, C., & Cros, A. (2005). Un recorrido experimental por la fisica de la musica . Revista didactica de las ciencias experimentales, 18-33. Garcia-Molina, R., Piñol, N., & Abellan, J. (2009). Se ve, se siente... el sonido está presente. Revista didactica de las ciencias xperimentales, 72-78. Harkleroad , L. (2006). The math behind the music. New York: Cambridge University Press. Wikimedia. (14 de agosto de 2014). wikipedi. Obtenido de http://es.wikipedia.org/wiki/Semitono Wikimedia. (27 de septiembre de 2014). Wikipedia. Obtenido de http://es.wikipedia.org/wiki/Afinaci%C3%B3n

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