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Sistemas Reparables El proceso de renovación

Rolando Guido [email protected] [email protected]

Sistemas Reparables • Algunas fallas son observaciones de una variable aleatoria independiente e idénticamente distribuida (iid) de la misma población. • Las lecturas (los tiempos) pueden combinarse para su análisis sin importar el orden en que ocurrieron. • Sin embargo, en muchas ocasiones la secuencia tiene mucha importancia.

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Sistemas Reparables • Si se mantienen las propiedades iid para los tiempos entre fallas, la tasa de fallas es estable y el modelo de renovación es un modelo apropiado. • Si por el contrario existe una tendencia en las tasas de falla (mejorando o empeorando), el proceso de renovación no se puede usar.

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Reparable y no Reparable • Un Sistema es reparable si su condición se puede restaurar para que opere satisfactoriamente mediante cualquier acción, incluyendo el remplazo de componentes, el cambio o ajuste de parámetros, el intercambio de partes, o hasta un golpe bien dado con un martillo.

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Sistemas Reparables • Para un componente, si la acción de reparación restaura el componente hasta una condición “como nuevo” (como puede ser el simple cambio de la parte que falló por otra parte de la misma población), entonces hablamos de un proceso de renovación. En esas situaciones asumimos que el tiempo entre dos fallas sucesivas son independientes y la distribución de vida del componente es la misma. Rolando Guido [email protected] [email protected]

Sistemas Reparables • Sin embargo el solo remplazo de un componente que falló por otro igual, no necesariamente garantiza el proceso de renovación. • Ej. el termostato de un motor que se sobrecalentó y se degradaron otras partes. • Bajo el modelo de renovación, una misma distribución caracteriza los tiempos independientes entre fallas, y la frecuencia de fallas parece constante. • Si la frecuencia de fallas del sistema parece incrementar o disminuir con la edad, indicando deterioro o mejora, estamos en presencia de un modelo distinto. Rolando Guido [email protected] [email protected]

Sistemas Reparables • Es importante distinguir entre el proceso de renovación y el proceso de reparación general. • El proceso de renovación simplifica el análisis, un proceso que no sea de renovación es más complicado por no tener características estacionarias sino cambiantes. • El tiempo es la variables más usada en sistemas reparables, pero también se puede usar ciclos o kilómetros. Rolando Guido [email protected] [email protected]

Sistemas Reparables • Una medida importante de confiabilidad es el número acumulado de fallas N(t) que han ocurrido en un sistema hasta el tiempo t. • Para cualquier tiempo t la función N(t) es una variable aleatoria. • Un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias que describen la evolución de un proceso en el tiempo. • Como N(t) existe para cada sistema en una población, el número de fallas N(t) que ocurren hasta el tiempo t de un sistema es un ejemplo de un proceso estocástico discreto. Rolando Guido [email protected] [email protected]

Análisis Gráfico • Un gráfico muy usual es el gráfico de fallas acumuladas contra la edad del sistema. • Cada gráfico acumulado debe verse como una muestra de una población de posibles curvas. • El valor promedio acumulado de fallas de la población en el tiempo t se designa M(t), y es el número esperado de fallas en el tiempo t.

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Análisis Gráfico • Considere un sistema con los siguientes tiempos (edad) de falla: 106 132 289 309 352 407 523 544 611 and 660

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Análisis Gráfico • La apariencia lineal del gráfico indica que la tasa de fallas se mantiene constante. • Eso quiere decir que la derivada dM(t)/dt es constante en el tiempo. • Alternativamente, una curvatura en este gráfico puede revelar si la confiabilidad del sistema está mejorando o deteriorándose. • Cuando el proceso no está ni mejorando ni deteriorándose, se dice que está estacionario. Rolando Guido [email protected] [email protected]

Análisis Gráfico • Bajo un proceso de renovación los tiempos entre fallas son independientes e idénticamente distribuidos. • Los tiempos entre fallas: • 106 26 157 20 43 55 116 21 67 and 49 • Como se asume que es un proceso de renovación los tiempos pueden tratarse como una muestra de 10 observaciones iid de la misma población, tal y como si fueran 10 unidades distintas no reparables. Rolando Guido [email protected] [email protected]

Análisis Gráfico • Si se grafican los valores en su orden de aparición se verá un patrón aleatorio.

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Análisis Gráfico • Los tiempos pueden ordenarse de menor a mayor y graficarse en los papeles de probabilidades (Weibull o LogNormal) y estimar sus parámetros o hacer un análisis cuantitativo para hacerlo.

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Análisis Lognormal

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Análisis Gráfico • Siempre es una buena idea graficar el modelo y la curva empírica acumulada para evaluar la idoneidad del ajuste.

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Análisis de Sistemas Reparables • Hemos visto que para un único sistema la curva acumulada describe el número de fallas vs la edad del sistema. • Sin embargo, podemos estar interesados en describir muchos sistemas idénticos e independientes, para los cuales el comportamiento es el combinado de las fallas de todos ellos. Rolando Guido [email protected] [email protected]

Análisis de Sistemas Reparables • Por ejemplo, podemos estar interesados en el desempeño total de muchos sistemas idénticos, donde cada sistema puede tener un tiempo de operación distinto, y por lo tanto produce tiempos censurados múltiples. • El método gráfico desarrollado por Wayne Nelson y posteriormente por Nelson y Doganaksoy (1989) muestra cómo generar estimados no paramétricos de la función que describe el número promedio de fallas acumuladas para una cierta edad del sistema. Rolando Guido [email protected] [email protected]

Análisis de Sistemas Reparables

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Análisis de Sistemas Reparables • ¿Cómo estimamos M(t) para datos con censuras múltiples? • Para un sistema es el número acumulado de fallas hasta el tiempo t. • Para un grupo de sistemas sería el promedio acumulado del número de fallas de todos los sistemas hasta el tiempo t.

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Análisis de Sistemas Reparables • Por ejemplo, si queremos calcular M(t) para dos sistemas hasta el tiempo t superior al tiempo de censura C1 del sistema 1 procederíamos así: • Usaríamos ambos sistemas para estimar M(t) para t menor o igual que C1, y luego le sumaríamos el número promedio de fallas del sistema 2 para t> C1, y ese sería el Estimado de M(t) para ambos sistemas. Rolando Guido [email protected] [email protected]

Análisis de Sistemas Reparables

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Análisis de Sistemas Reparables

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Análisis de Sistemas Reparables • Estime M(t) para los siguientes sistemas

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Análisis de Sistemas Reparables

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El Proceso de Renovación • En un proceso de renovación para un componente único, los remplazos siempre son ítems nuevos de la misma población que el remplazado. Consecuentemente, los tiempos entre fallas consecutivas se asumen independientes e idénticamente distribuidos. • Como resultado los métodos de análisis son los mismos que para un componente no reparable. Rolando Guido [email protected] [email protected]

El Proceso de Renovación • Generalmente para un dispositivo reparable, existen dos variables aleatorias de interés: N(t) el número total de fallas hasta el tiempo t, y T(k) el tiempo total alcanzado hasta la késima falla. • N(t) es una variable aleatoria discreta. • T(k) es una variable aleatoria continua. • Ambas dependen de la distribución de los tiempos entre fallas. Rolando Guido [email protected] [email protected]

El Proceso de Renovación • El promedio esperado para N(t) es la función de renovación M(t). • M(t)= E[N(t)] • Si se grafican todas las posibles funciones de N(ti) para todos los sistemas de la población se obtendría M(t). • Para un proceso de renovación los tiempos entre fallas los describe una única distribución. Rolando Guido [email protected] [email protected]

El Proceso de Renovación • Si conocemos la distribución de probabilidades de los tiempos entre fallas, podemos numéricamente determinar la distribución de N(t) y T(k) con la función de renovación M(t) y la correspondiente tasa de renovación de la población d[M(t)]/dt.

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El HPP • Suponga que los tiempos entre fallas xi son independientes y que están distribuidos exponencialmente con una tasa de falla λ. • La PDF sería • f(t)=λ𝑒 − λ𝑡 para t≥0 • Entonces las distribuciones de probabilidad N(t) y T(k) son fáciles de determinar. N(t) sigue una distribución Poisson con media λ. Y por lo tanto, la probabilidad de observar N(t)=k fallas en el intervalo (0, t) es: • 𝑃[𝑁 𝑡 = 𝑘] =

(λ𝑡)𝑘 𝑒 −λ𝑡 𝑘! Rolando Guido [email protected] [email protected]

El HPP • Un proceso de renovación en el que las fallas son exponenciales se llama un Proceso Homogéneo de Poisson (Homogeneous Poisson Process - HPP). • Basados en la distribución de Poisson el valor esperado de N(t) [esto es M(t)] es λt y la varianza es también λt. • Similarmente, basados en la distribución exponencial el valor esperado o la media del tiempo transcurrido entre dos fallas es 1/ λ (θ), y la desviación estándar es 1/ λ (la misma). Rolando Guido [email protected] [email protected]

El HPP • Para un HPP la probabilidad de no ver fallas en el período t es 𝑒 −λ𝑡 y la probabilidad de por lo menos una falla es 1 − 𝑒 −λ𝑡 . • Para un HPP, podemos decir que el tiempo T(k) para la késima falla es la suma de k variables aleatorias independientes exponenciales. • La PDF para T(k) la describe la distribución gama con parámetros λ y k. Rolando Guido [email protected] [email protected]

El HPP • 𝑓𝑘 (𝑡) =

λ𝑘 (𝑡 𝑘−1 )𝑒 −λ𝑡 𝑘−1 !

• Como T(k) tiene una distribución gama, el tiempo promedio hasta la késima es k/λ, y la varianza es 𝑘/λ2 . • Dada la equivalencia entre las dos representaciones de un proceso HPP, la CDF para T(k) se puede expresar la CDF como la suma de probabilidades de la distribución de Poisson. Rolando Guido [email protected] [email protected]

Repuestos para un HPP • Los componentes tienen una distribución de falla exponencial con una tasa de falla λ=0.0003/hr. Para cubrir un período de 500 hr, y garantizar un nivel de confianza del 95%, ¿cuántos repuestos deberíamos tener? – Calcule la probabilidad de cero fallas y una falla – Calcule la probabilidad de más de una falla

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El HPP • Un sistema tiene una tasa de fallas λ= 0.5/mes. • ¿Cuánto tiempo tiene que transcurrir en promedio hasta la 5ª falla? • ¿Cuál es la probabilidad de que entre la 5ª y la 6ª falla transcurra más de un mes (note que es igual que preguntar por la confiabilidad del sistema en un mes)?

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El HPP • Un componente tiene una tasa de falla λ= 0.000003/hr. • ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga fallas en 4000 horas de operación?

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El HPP • Un componente tiene una tasa de falla λ= 0.00006/hr. • ¿Cuántos repuestos debería tener en inventario si se requiere un nivel de confianza del 95% durante 10000 horas?

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Procesos No Renovables • En muchas situaciones de la vida el tiempo transcurrido hasta una falla posterior es una función de muchas variables. • Los materiales usados, el diseño básico, las condiciones de operación, la calidad de las reparaciones, etc. • Por lo tanto hay una genuina posibilidad de que el proceso no sea renovable, en el que los tiempos ni son independientes ni idénticamente distribuidos. • Para sistemas multi-componente y diferentes reparaciones, el modelo de renovación es menos verosímil. Rolando Guido [email protected] [email protected]

Procesos No Renovables • Edad del equipo al fallar 20, 41, 67, 110, 159, 214, 281, 387, 503, 660. • Haga un gráfico de edad del equipo vs. # de falla.

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Procesos No Renovables • Edad del equipo al fallar 20, 41, 67, 110, 159, 214, 281, 387, 503, 660.

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Tiempos Entre Fallas • Grafique el tiempo entre fallas para el ejemplo anterior vs. el # de la falla.

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Tiempos Entre Fallas • No son aleatorios

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Procesos No Renovables • Edad del equipo al fallar 157, 273, 379, 446, 501, 550, 593, 619, 640, 660 • Haga un gráfico de edad del equipo vs. # de falla.

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Procesos No Renovables • Edad del equipo al fallar 157, 273, 379, 446, 501, 550, 593, 619, 640, 660

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Tiempos Entre Fallas • Grafique el tiempo entre fallas para el ejemplo anterior vs. el # de la falla.

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Tiempos Entre Fallas • No son aleatorios

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Procesos No Renovables • Dos posibilidades (entre otras) • Power Model (km-rat) • 𝑀 𝑡 = 𝑎𝑡 𝑏 • ln 𝑀 𝑡 = ln 𝑎 + 𝑏 ln(𝑡) • Exponential Relation (lapt) • 𝑀(𝑡) = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 • ln 𝑀 𝑡 = ln 𝑎 + 𝑏𝑡

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Probando Tendencias y Aleatoriedad • El proceso de renovación es un proceso estacionario. El número de eventos en un intervalo depende solo del tamaño del intervalo y no del punto de inicio. • Si existe alguna tendencia el proceso no es estacionario. Si no hay tendencia el proceso es estacionario. • Por ejemplo si reemplazamos un parte que falla con una parte de una población diferente, con una curva de falla distinta, podríamos tener un proceso no estacionario con fallas independientes pero no idénticamente distribuidas.

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Laplace Centroid Test

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Laplace Centroid Test • Un sistema muestra fallas a las siguientes edades 98, 248, 285, 347, and 362. • Haga la prueba de Laplace para los datos • La edad actual del sistema es: 362 hrs. • Haga un gráfico de los tiempos entre falla vs. el # de la falla.

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Laplace Centroid Test

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Laplace Centroid Test • Un sistema muestra fallas a las siguientes edades 98, 248, 285, 347, and 362. • Haga la prueba de Laplace para los datos • La edad actual del sistema es: 375 hrs. • Haga un gráfico de los tiempos entre falla vs. el # de la falla.

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Laplace Centroid Test

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Mann Reverse Arrangement Test

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Mann Reverse Arrangement Test

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Mann Reverse Arrangement Test • Considere los siguientes edades de falla para un sistema: 35, 60, 98, 138, 177, 219 • Realice una prueba MRAT para determinar si hay alguna tendencia en los datos que indique que los tiempos entre fallas están aumentando.

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Mann Reverse Arrangement Test

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Laplace Centroid Test • Analice los tres sistemas siguientes y determine cuáles pueden considerarse un HPP y cuáles no. Los datos son tiempos entre fallas. • Sistema1: 98, 150, 37, 62 y 15 • Sistema2: 15, 77, 96, 14 y 12 • Sistema3: 55, 80, 48 y 37 • Las edades de los sistemas son: 375, 220 y 225 respectivamente Rolando Guido [email protected] [email protected]

NHPP • Un sistema tiene los siguientes edades de falla: en días: 22, 34, 45, 54, 63, 71, 79, 86, 93 y 100 • ¿Cuál es el número esperado de fallas entre 80 y 100 horas? • ¿Cuál es el número esperado de fallas entre 180 y 200 horas? • ¿Cuál es la confiabilidad entre 80 y 100 horas y entre 180 y 200 horas? • ¿Cuál es la probabilidad de por lo menos 2 fallas entre 80 y 100 horas y entre 180 y 200 horas? Rolando Guido [email protected] [email protected]

NHPP • • • • • • • • •

M(80)= 0.01(80)1.5= 7.16 M(100)= 0.01(100)1.5= 10.0 M(180)= 0.01(180)1.5= 24.15 M(200)= 0.01(200)1.5= 28.28 # fallas entre 80 y 100 hr = 10 - 7.16=2.84 # fallas entre 180 y 200 hr = 28.28 – 24.15=4.13 Rel entre 80 y 100 hr = e-2.84 = 0.0584 Rel entre 180 y 200 hr = e-4.13 = 0.0161 Probab de fallas >=2 entre 80 y 100 hr =1-(e-2.84+2.84e-2.84) = 0.776 • Probab de fallas >=2 entre 180 y 200 hr =1-(e-4.13+4.13e-4.13) = 0.917 Rolando Guido [email protected] [email protected]

NHPP • Un sistema tiene los siguientes edades de falla: en días: 46, 83, 116, 147, 178, 207, 235, 263, 289, y 316 • ¿Cuál es el número esperado de fallas entre 100 y 200 horas? • ¿Cuál es el número esperado de fallas entre 200 y 300 horas? • ¿Cuál es la confiabilidad entre 100 y 200 horas y entre 200 y 300 horas? • ¿Cuál es la probabilidad de por lo menos 2 fallas entre 100 y 200 horas y entre 200 y 300 horas? Rolando Guido [email protected] [email protected]

NHPP • • • • • • • •

M(100)= 0.01(100)1.2= 2.51 M(200)= 0.01(200)1.2= 5.77 M(300)= 0.01(300)1.2= 9.39 # fallas entre 100 y 200 hr = 5.77 – 2.51=3.26 # fallas entre 200 y 300 hr = 9.39 – 5.77=3.62 Rel entre 100 y 200 hr = e-3.26 = 0.0384 Rel entre 200 y 300 hr = e-3.62 = 0.0268 Probab de fallas >=2 entre 100 y 200 hr =1-(e-3.26+3.26e3.26) = 0.836 • Probab de fallas >=2 entre 200 y 300 hr =1-(e3.62+3.62e-3.62) = 0.876 Rolando Guido [email protected] [email protected]