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Acta Latinoamericana de Matemática Educativa

COMITÉ LATINOAMERICANO DE MATEMÁTICA EDUCATIVA COLEGIO MEXICANO DE MATEMÁTICA EDUCATIVA A.C. • VOL. 26 » AÑO 2013 • ISBN: 978-607-95306-6-2

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA

Volumen 26

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA VOLUMEN 26 !

Editora: Rebeca Flores (México) Comité Latinoamericano de Matemática Educativa Editores Asociados: Edison de Faria (Costa Rica) Patricia Lestón (Argentina) Elizabeth Mariscal (México) Mónica Micelli (Argentina)

Carlos Oropeza (México) Milton Rosa (Brasil) Cariño Ruiz (México) Luis Arturo Serna (México)

Diseño de portada y CD: Gabriela Sánchez Téllez Diseño de interiores: Elizabeth Mariscal Vallarta CICATA IPN, Legaria Edición: ©2013. Colegio Mexicano de Matemática Educativa A. C. CMM 040505 IC7 Paseo de las Lomas 67. Parque Residencial Coacalco, CP 55720 Coacalco, Estado de México México www.cmmedu.com ISBN: 978-607-95306-6-2 Derechos reservados. © Comité Latinoamericano de Matemática Educativa www.clame.org.mx Se autoriza la reproducción total o parcial, previa cita a la fuente: Flores R. (Ed.). (2013). Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, Vol. 26. México, DF: Colegio Mexicano de Matemática Educativa A. C. y Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

Comité Latinoamericano de Matemática Educativa (CLAME) www.clame.org.mx!

II

Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 26

Consejo Directivo ! Claudia M. Lara Galo Presidente [email protected] Elizabeth Mariscal Vallarta Tesorera

2012 - 2016

[email protected] Cecilia R. Crespo Crespo Secretaria [email protected] Ángela M. Martín Vocal Caribe [email protected] Edison de Faria Vocal Centroamérica [email protected] Marcela Ferrari Escolá Vocal Norteamérica [email protected] Patricia Lestón Vocal Sudamérica [email protected]

III

Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 26

Consejo Consultivo

Comisión de Admisión

! Egbert Agard Ricardo Cantoral Fernando Cajas Guadalupe de Castillo Evarista Matías Rosa María Farfán Teresita Peralta Gustavo Martínez Sierra Cecilia Crespo Crespo

Liliana Milevicich Marcela Parraguez Santa Daysi Sánchez !

! ! ! ! !

! ! !

Comisión de Promoción Académica

Comité Internacional de Relme

Edison de Faria Yolanda Serres Leonora Díaz Moreno Mayra Castillo Javier Lezama ! !

!

Cecilia Crespo Crespo Marger Viana Olga L. Pérez González Blanca Peralta Claudia María Lara Galo Javier Lezama !

IV

Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 26

Comité Científico de Evaluación Acuña Soto Claudia Alberto de Toso, Malva

(México) (Argentina)

de la Cruz Oliva, Allan Takeshi

(México)

Delgado, César Augusto

(Colombia)

Alves Dias , Marlene

(Brasil)

Elguero, Cecilia

(Argentina)

Arantes Sad, Ligia

(Brasil)

Engler, Adriana

(Argentina)

Arcos Quezada, Ismael Arrieche Alvarado Mario Ávila Godoy, Ramiro

(México)

Escorza Morales , Alfonso

(México)

(Venezuela)

Flores Estrada, Claudia

(México)

(México)

Flores García, Rebeca

(México)

B. Alvarenga, Karly

(Brasil)

Fonseca, Laerte

(Brasil)

Barros Nunes, Célia

(Brasil)

Gaita Ipaguirre, Rosa Cecilia

(Perú)

Beyer, Walter

(Venezuela)

Gómez Otero, Enrique Javier

(México)

Blanco, Haydeé

(Argentina)

González, Marcelino

Borello, Mariangela

(Cuba)

(Italia)

Gutiérrez Rodríguez, Norma

(México)

Buendía Abalos, Gabriela

(México)

Hernández Sánchez, Judith A.

(México)

Cabañas Sánchez, Guadalupe

(México)

Homilka, Liliana

Calvillo Guevara, Nancy Janeth

(México)

Ibarra Olmos, Silvia Elena

(México)

Camacho, Alberto

(México)

Jiménez Abud, Amalia Ysabel

(México)

Cantoral, Ricardo

(México)

Kistemann Jr., Marco Aurélio

(Brasil)

Carlos Rodríguez, Eugenio

(Cuba)

Carrasco Escobar, José Paúl

(México)

Larios Osorio, Víctor

(Argentina)

(México)

Lerman, Nora Inés

(Argentina) (Argentina)

Ciancio, María Inés

(Argentina)

Lestón, Patricia

Córdoba Gómez, Francisco

(Colombia)

Lezama Andalón, Javier

(México)

Crespo Crespo, Cecilia

(Argentina)

López Vera, Lilia

(México)

Criberio Díaz, Josefina

(México)

López, Elpidio

Cruz Hernández, Javier

(México)

Marmolejo Vega, Efren

(México)

Dalcín, Mario

(Uruguay)

Martínez Vázquez, Miriam

(México)

De Faria, Edison

(Costa Rica)

Micelli, Mónica

(Cuba)

(Argentina)

V

Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 26

Comité Científico de Evaluación Milevicich, Liliana

(Argentina)

Rodríguez de Estofán, Ma. Rosa

(Argentina)

Miranda Montoya, Eduardo

(México)

Rodríguez, Mabel

(Argentina)

Molfino, Verónica

(Uruguay)

Rodríguez, Ruth

(México)

Molina, Juan Gabriel

(México)

Rosa, Milton

Montiel, Gisela

(México)

Rosas Mendoza, Alejandro

(México)

Müller, Daniela

(Argentina)

Rotaeche, Araceli

(México)

(Brasil)

Muro Urista, Claudia Rosario

(México)

Ruiz Camargo, Cariño

(México)

Navarro Sandoval, Catalina

(México)

Salazar, Pedro

(México)

Nesterova, Elena

(México)

Salinas, Jesús

(México)

Ojeda Salazar, Ana María

(México)

Sánchez Barrera, Julio Moisés

(México)

Olave, Mónica

(Uruguay)

Sánchez Guerra, José Isaac

(México)

Oropeza Legorreta, Carlos

(México)

Sánchez Luján, Bertha Ivonne

(México)

Osorio Abrego, Héctor

(Panamá)

Serres, Yolanda

Otero, María Rita

(Argentina)

Sosa, Moguel, Landy Elena

(México)

Parraguez, Marcela

(Chile)

Trujillo Torres, José

(México)

Peña Rincón, Pilar Alejandra

(Chile)

Tuyub Sánchez, Isabel

(México)

Pérez González, Olga Lidia

(Cuba)

Vázquez Camacho, Rosa Isela

(México)

Pérez Trujillo, Alma Rosa

(México)

Pochulu, Marcel

(Argentina)

Vázquez Cedeño, Rosa Velázquez, Santiago Ramiro

Ramos Carranza, Rogelio

(México)

Ventura, Marger

Reséndiz, Evelia

(México)

Viramontes, Juan de Dios

Reyes Gasperini, Daniela Rivera Lara, Virginia

(Argentina)

Vrancken, Silvia

(Venezuela)

(Cuba) (México) (Brasil) (México) (Argentina)

(México)

VI

Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 26

TABLA DE CONTENIDOS CAPITULO 1: ANÁLISIS DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR Introducción al Capítulo: Análisis del discurso matemático escolar Gabriela Buendía Abalos

3

Etnomatemática e modelagem: oportunidades e desafios para a ação pedagógica Milton Rosa

5

Epistemologías de la función derivada Eliseo Ramírez Rincón

15

Colección bicentenario: una mirada desde los libros de matemática Ana Duarte Castillo, Keelin Bustamante Paricaguan

23

Torre de Hanói virtual e a construção do conceito de função exponencial no ensino médio: um processo que parte da intuição a caminho da formalização Adriana Breda, Viviane Beatriz Hummes

31

Un estudio de la presentación de los gráficos estadísticos en libros de texto españoles de educación primaria Pedro Arteaga, Juan J. Ortiz, Carmen Batanero

41

Procedimientos utilizados por niños Tee savi de primaria al resolver problemas aritméticos Javier García García, Catalina Navarro Sandoval, Flor M. Rodríguez Vásquez

51

Biologia e matemática: um encontro de possibilidades? Geraldo Bull da Silva Júnior, Eliane Scheid Gazire

61

Temas de interesse no currículo de matemática do ensino médio Clarissa de Assis Olgin, Claudia Lisete Oliveira Groenwald

69

Signos y matemática: un poco de historia Patricia Sastre Vázquez, Carolina Boubée, Viviana Scempio

79

Factores afectivos e identidad en el aprendizaje de la Matemática escolar Claudia Rodríguez Muñoz, Inés María Gómez-Chacón

89

Las nociones de linealidad y promediación como elementos articuladores en la didáctica Juan Alberto Acosta Hernández, Carlos Rondero Guerrero, Anna Tarasenko

99

Lenguaje matemático: análisis diagnóstico en estudiantes que ingresan a la universidad Graciela Rey, Rodolfo D’Andrea, Patricia Sastre Vázquez

109

Percepções dos alunos do 1º ano da Licenciatura em ensino de matemática na Beira – Moçambique – da prova e demonstração em geometria plana Jacinto Ordem, Saddo Ag Almouloud

119

La argumentación en el nivel medio superior Alma Alicia Benítez Pérez, Martha Leticia García Rodríguez

127

Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

VII

Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 26

Representaciones sociales en el aula de matemática Oswaldo Jesús Martínez Padrón

137

Estudio sobre prácticas de enseñanza de profesores de matemáticas de secundaria en México Lucía Mendoza von der Borch, Silvia Elena Ibarra Olmos

147

Níveis de conhecimentos matemáticos esperados dos estudantes para acesso na universidade brasileira Lourival Pereira Martins, Carlos Roberto da Silva, Marlene Alves Dias, Tânia Maria Mendonça Campos

157

Lenguaje matemático y validación en estudiantes universitarios Patricia Sastre Vázquez, Rodolfo Eliseo D´Andrea

167

La formación matemático-didáctica del profesorado de primaria para la enseñanza de las probabilidades. Un análisis desde el enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática Claudia Vásquez, Ángel Alsina

175

El proceso de verificación en el esquema de validación Rodolfo Eliseo D`Andrea, Patricia Sastre Vázquez

185

Cursos de Licenciatura em Matemática do estado de São Paulo, no Brasil: uma descrição com base em dados de 2010 Marcelo Dias Pereira, Ruy César Pietropaolo

193

Conocimiento del contenido y de la cognición de los alumnos sobre cuerpos geométricos. Un estudio del dominio en docentes para la educación secundaria Natalia Sgreccia, Marta Massa

203

El concepto de fracción en situaciones de medición, división y la relación parte-todo con estudiantes de nivel medio superior Ivón García, Guadalupe Cabañas-Sánchez

213

Análisis del tratamiento del álgebra en el primer año de secundaria: su correspondencia con los procesos de algebrización y modelización Myrian Luz Ricaldi Echevarria

223

Pesquisa bibliográfica: o caso da matriz hessiana de uma função real de várias variáveis Katia Vigo Ingar, Maria José Ferreira da Silva

233

Três teorias e uma prática pedagógica: a história da matemática, os fundos de conhecimento e a pedagogia culturalmente relevante Davidson Paulo Azevedo Oliveira, Marger da Conceição Ventura Viana, Milton Rosa

239

Análisis lingüístico de errores en la solución de problemas de geometría euclideana Marisol Radillo Enríquez

249

Comprensión del lenguaje algebraico de ecuaciones de primer grado Ponciano Hernández Hernández; Eugenio Filloy Yagüe

259

Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

VIII

Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 26

O ensino de estatística via projetos: a Escolha profissional no ensino superior por alunos do 2º ano do ensino médio de escolas estaduais em Uberaba Ailton Paulo de Oliveira.Junior, Beatriz Cristina da Silva Delalíbera, Roberta Cristina de Faria Moreira

269

Trabalhando estatística através de projetos: perfil dos alunos do 7º ano do ensino fundamental de escolas estaduais em Uberaba Ailton Paulo de Oliveira Júnior; Ébane Rocha Falconi; Vanderleia Conceição Ribeiro

279

Fomentando el pensamiento crítico desde el aula estadística. Una propuesta de ambientes de aprendizaje Claudia María Arias Arias, Martha Cecilia Clavijo Riveros, José Torres Duarte

289

La enseñanza de matemáticas en una modalidad mixta Marisol Radillo Enríquez, María Guadalupe Vera Soria, Lucía González Rendón, Irma Yolanda Paredes Águila

299

Arquivos pessoais, escolares e institucionais como fontes de pesquisa histórica Aparecida Rodrigues Silva Duarte, Lucia Maria Aversa Villela

307

Proceso de adquisición del concepto de sucesión en alumnos de licenciatura Elvira Borjón Robles, Otilio B. Mederos Anoceto

317

As competências de leitura e interpretação no ensino de matemática Vânia Gomes da Silva Ribeiro, Carmen Teresa Kaiber

327

Articulación de las asignaturas vinculadas a la didáctica de la carrera de Pedagogía en matemáticas Raimundo Olfos, Verónica Fernández, Soledad Montoya, Patricia Vásquez

337

Procesos deductivos en estudiantes universitarios Rodolfo Eliseo D´Andrea, Lisandro Curia, Andrea Lavalle

347

Las transformaciones isométricas en los libros didácticos del 6º año recomendados por el PNLD Maurício de Moraes Fontes, Dineusa Jesus dos Santos Fontes

357

Linguagem dos alunos e a interação dos conceitos espontâneos e científicos na aprendizagem de matemática Walter Aparecido Borges, Maria Helena Palma de Oliveira

367

Problemas rutinarios y no rutinarios en educación secundaria René Santos lozano, Santiago Ramiro Velázquez Bustamante

375

Aprender a enseñar matemáticas desde la planificación Angela Mora Zuluaga, José Ortiz Buitrago

381

Inibição intelectual na matemática: interconexões entre psicanálise e neuropsicologia Laerte Fonseca

391

Estudo comparado da transição ensino secundário e superior entre Brasil e Moçambique Pedro Mateus, Marlene Alves Dias

401

Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

IX

Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 26

A disciplina escolar matemática e o ensino e aprendizagem de matemática: uma estreita e importante relação Francisco de Oliveira Filho

411

Importancia del aprendizaje de la acción del despeje y la sustitución numérica en la interpretación y solución de situaciones problemática Edith Jeanetty Paulino Pérez, Julio Cesar Marmolejos

419

Análisis histórico y epistemológico del concepto de semejanza Hermes Nolasco Hesiquio, Santiago R. Velázquez Bustamante

427

Práticas pedagógicas para a construção do conceito de número: o que dizem os documentos do arquivo Lucília Bechara Sanchez? Nara Vilma Lima Pinheiro

437

A linguagem enquanto componente do processo de construção do conhecimento matemático por meio de problemas matemáticos na 5ª série do ensino fundamental Lêda Ferreira Cabral

445

Categorizando as tendências das pesquisas em história da matemática do programa de Pós-graduação em ensino de ciências naturais e matemática da UFRN Davidson Paulo Azevedo Oliveira; Maria Maroni Lopes; Bernadete Barbosa Morey

455

Ensino e aprendizagem da matemática no ensino médio: significado da contextualização do conhecimento matemático Luciene da Silva Pereira, Carmen Teresa Kaiber

463

Conversión de registros en el cálculo integral: la problemática de los sólidos de revolución Melissa Andrade Molina, Alex Montecino Muñoz

473

La visualización espacial como herramienta en el entendimiento de lo tridimensional Alex Montecino Muñoz, Melissa Andrade Molina

481

Construcciones geométricas entorno a la ecuación de segundo grado como aspecto mediacional para su enseñanza Angélica María Martínez, Mario Arrieche

489

CAPITULO 2: PROPUESTAS PARA LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS Introducción al Capítulo: Propuestas para la enseñanza de las matemáticas Olga Lidia Pérez González

501

A modelagem matemática e suas possibilidades para a ação pedagógica do programa etnomatemática Daniel Clark Orey

503

Aspectos destacados de las teorías cognitivas del aprendizaje, como estrategias didácticas para la enseñanza yaprendizaje de conceptos del cálculo vectorial Viviana Angélica Costa

513

Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

X

Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 26

El geoplano: una alternativa para mejorar la enseñanza de la geometría Ana Duarte Castillo

523

Enseñanza y comprensión formal de las tablas de contingencia Gustavo R. Cañadas, Juan J. Ortiz, José M. Contreras, María M. Gea

533

Propuesta de trabajo de curso: tipo de evaluación final para la asignatura Matemática numérica en la Universidad de las ciencias informáticas Julián Sarría González, Sandy Díaz Ramos, Pedro Victoriano Pérez González, Augusto César Rodríguez Medina, Yinimary Ortega Montoya

543

Ideas de probabilidad en lugares geométricos simples: exploración con estudiantes de bachillerato tecnológico Jesús Salcedo Prado, Ana María Ojeda Salazar

551

Distribuciones centradas y uniformes: una introducción en la educación especial José Marcos López-Mojica, Ana María Ojeda Salazar

561

A engenharia didática como metodologia de ensino nas aulas de matemática em turmas de proeja Mauricio Ramos Lutz, Jussara Aparecida da Fonseca, João Feliz Duarte de Moraes

571

Un reporte de la investigación: construcción cognitiva de los conceptos espacio vectorial R2 y R3 desde la teoría APOE Miguel Rodríguez Jara, Marcela Parraguez González

579

Construcciones mentales de los conceptos aleatorio y determinista a partir de la regresión lineal Bernardita Pérez Ureta, Marcela Parraguez González

589

Actividades desarrolladas en el marco de la pedagogía de la cooperación en la enseñanza de la geometría según lo prescripto por la teoría de los niveles de Van Hiele Patricia Eva Bozzano

599

Exploración de nociones matemáticas de niños preescolares en educación especial Sandra Patricia García Sánchez, Ignacio Garnica y Dovala

609

La elipse desde la perspectiva de la teoría de los modos de pensamiento Daniela Bonilla Barraza, Marcela Parraguez González

617

Factores condicionantes del conocimiento para enseñar: el caso de los números decimales Patricia Marisel Konic

625

Empleo de múltiples representaciones para fortalecer el desarrollo de competencias matemáticas Alma Alicia Benítez Pérez

635

Evaluación del desarrollo de competencias en el bachillerato. Un estudio con situaciones que involucran la integral de una función Gloria Angélica Moreno Durazo, Agustín Grijalva Monteverde

645

Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

XI

Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 26

Exploración cuantitativa de las representaciones numérica-gráfica-algebraica en el estudio de la variación Alma Alicia Benítez Pérez

653

Eficacia en la resolución de problemas de optimización por estudiantes de ingeniería Alvaro Encinas, Ramiro Ávila, Maximiliano De Las Fuentes

663

Transformando las representaciones semióticas: un enfoque cognitivo en el estudio del álgebra Zenón Eulogio Morales Martínez

673

A metodologia de ensino-aprendizagem de matemática através da resolução de problemas: perspectivas à formação docente no contexto da sala de aula Célia Barros Nunes

679

Uso de material fílmico para el aprendizaje cooperativo informal en la clase de matemática Patricia Eva Bozzano, Paola Mariana Castellani

689

Los modos de pensar el álgebra lineal y ejemplos ad hoc en problemas específicos de su enseñanza y aprendizaje Marcela Parraguez González

699

LSM en la adquisición de cantidad de magnitud: masa y longitud. Jóvenes [1621] con audición diferenciada Ignacio Garnica y Dovala, Mónica G. Astorga Adrián, Andrea Barojas Gómez

709

El modelo logístico y su deconstrucción José Trinidad Ulloa Ibarra, Jaime Lorenzo Arrieta Vera, Gessure Abisaí Espino Flores

717

Estratégias de memória autorregulada na aprendizagem de estatística de alunos do ensino médio Florindo Contini Neto; Maria Helena Palma de Oliveira; Verônica Yumi Kataoka

725

O ensino de estatística via projetos: motivação de acesso ao ensino superior de alunos do 3º ano do ensino médio de escolas estaduais em Uberaba Ailton Paulo de Oliveira Júnior, Joana dos Santos Silva, Lorena Fernanda Gonçalves Duarte, Roberta de Cássia dos Anjos

735

A interação pela linguagem em situações de resolução de problemas matemáticos no 4º ano do ensino fundamental Leika Watabe; Maria Helena Palma de Oliveira

745

Geometría dinámica: de la visualización a la prueba Daniel Fernández, Elizabeth Montoya Delgadillo

755

Estrategias en la resolución de problemas matemáticos de la Prueba pisa. Un estudio de casos Florida Pastrana, Guadalupe Cabañas-Sánchez

765

Pendiente de la recta en el plano: antecedentes para su enseñanza en el bachillerato tecnológico Rogelio Martínez García, Ignacio Garnica y Dovala

775

Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

XII

Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 26

Zero no quociente: levantamentos preliminares na identificação de dificuldades em alunos do sexto ano Bruna Zution Dalle Prane, Hellen Castro Almeida Leite, Jéssica Schultz Küster

785

A corporificação do conceito de convergência de sequências infinitas por meio de atividades exploratórias Daila Silva Seabra de Moura Fonseca, Regina Helena de Oliveira Lino Franchi

795

Resolução de problemas matemáticos no ensino fundamental Jutta Cornelia Reuwsaat Justo, Kelly da Silva Rebelo, Simone Soares Echeveste

805

Lugar geométrico y la recta en el plano: antecedentes para su enseñanza en el bachillerato tecnológico Ana María Ojeda Salazar, Héctor Santiago Chávez Rivera, Fausto Mendoza Díaz

815

Una descomposición de la regla de la cadena: un modelo cognitivo para la construcción del concepto Cristóbal Valdivia Sepúlveda, Marcela Parraguez González

825

Estratégias de atenção e de interação na autorregulação da aprendizagem de estatística de universitários de Guarulhos: validação de uma escala Washington de Mendonça, Maria Helena de Oliveira, Verônica Yumi Kataoka, Felipe Franco Gabriel

835

Enseñanza y comprensión de la recta como lugar geométrico en el bachillerato tecnológico Fausto Mendoza Díaz, Ana María Ojeda Salazar, Héctor Santiago Chávez Rivera

845

Resolucion de problemas de cripto-aritmética en primaria Noelia Londoño Millán, David Benítez Mojica, Ana Lucia Ruiz Vigil

855

Secuencia didáctica para facilitar la transición entre la aritmética y el álgebra Alma Rosa Pérez Trujillo, Ana Deysi Pérez Hernández, Hipólito Hernández Pérez

863

La evaluación como oportunidad de mejora para los Seminarios repensar Adriana Gómez Reyes

873

Transformaciones lineales. Una mirada desde la teoría APOE Isabel Maturana Peña, Marcela Parraguez González

881

O papel da abstração no pensamento matemático avançado Lilian Nasser

891

Factores asociados a una evaluación académica en la enseñanza de matemática: herramienta estratégica para incrementar la calidad de la enseñanza y el aprendizaje Nelly Elizabeth González de Hernández

899

Desempeño de los estudiantes en tareas matemáticas que hacen uso de diferentes representaciones Martha Leticia García Rodríguez, Alma Alicia Benítez Pérez

907

Organizações didáticas, matemáticas e pedagógicas propostas no processo de ensino e aprendizagem de geometria analítica no ensino médio brasileiro Elizabeth Fraccaroli Jammal, Marlene Alves Dias

917

Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

XIII

Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 26

Propuesta de innovación: potencia de un punto exterior a la circunferencia Daniela Bonilla Barraza

927

Algunas dificultades en la resolución de problemas con derivadas Noelia Londoño Millán, Alibeit Kakes Cruz, Victoria Guadalupe Decena García

935

O pensamento narrativo na construção de signos na aprendizagem de conceitos algébricos de alunos de 8º. Ano do ensino fundamental Maurílio Antonio Valentim

943

Determinación del tiempo óptimo de procesamiento térmico en una conserva de alimentos para lograr el efecto esterilizante usando sumas de Riemann María del Carmen Bonilla

951

El diseño de objetos de aprendizaje para geometría Evelia Reséndiz, Sergio Correa, Ramón J. Llanos, Miguel Salazar, José F. Sánchez

961

A educação financeira na educação de jovens e adultos Amanda Fabri de Resende, Marco Aurélio Kistemann Junior

971

Razón, proporción, proporcionalidad: configuraciones epistémicas para la educación básica Gilberto Obando Zapata; Carlos Eduardo Vasco; Luis Carlos Arboleda

979

Primeras ideas aritméticas de la multiplicación “rusa y egipcia” en el salón de clases de la escuela primaria Lorena Trejo Guerrero, Marta Elena Valdemoros Álvarez

989

Sobre a produção de significados e a tomada de decisão de indivíduosconsumidores Marco Aurélio Kistemann Jr, Romulo Campos Lins

999

Introducción al estudio de los procesos estocásticos en carreras de grado de ingeniería Ana María Craveri, María del Carmen Spengler

1007

Ações à busca de recursos para a educação especial do deficiente visual em geometria Ana Maria M. R. Kaleff, Fernanda Malinosky C. da Rosa

1017

Resolução de atividade de introdução à álgebra por aluna considerada com necessidades educacionais especiais em sala de 7ª série do ensino regular Ronaldo Sovenil de Oliveira; Maria Helena Palma de Oliveira

1023

Atitude de alunos do 6º ano do ensino fundamental de escolas estaduais em Uberaba em relação ao processo ensino-aprendizagem da matemática Ailton Paulo de Oliveira Júnior, Gustavo Alves Caetano Neto, Maurício Gomes Bahia, Sandro de Macedo Gonçalves Ferreira

1033

Explotando los conocimientos geométricos de los alumnos de enseñanza medio superior Maurício de Moraes Fontes, Dineusa Jesus dos Santos Fontes

1043

Utilização de ferramentas de desenho geométrico para o ensino de cônicas Juracélio Ferreira Lopes

1051

Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

XIV

Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 26

Generalización en el estudio de funciones lineales 10Ángel Homero Flores Samaniego, Guadalupe Xochitl Chávez Pérez

1059

Un estudio basado en la competencia metarepresentacional Rebeca Flores García, Mario Sánchez Aguilar

1067

Mapas mentales como herramienta de aprendizaje para la graficación de funciones en el espacio Elia Leyva Sánchez, Ruth Elba Rivera Castellon, Octavio Lázaro Mancilla

1073

CAPITULO 3: ASPECTOS SOCIOEPISTEMOLÓGICOS EN EL ANÁLSIS Y EL REDISEÑO DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR Introducción al Capítulo: Propuestas para la enseñanza de las matemáticas Guadalupe Cabañas-Sánchez

1083

Otros significados epistemológicos de la integral definida Carlos Rondero Guerrero, Rosalba López Gómez

1085

Prácticas de paso al límite en estudiantes de ingeniería Marvin Mendoza V., Leonora Díaz M.

1093

Presencia de los procesos matemáticos en las prácticas de enseñanza y de aprendizaje de la noción de número. Transición entre la educación parvularia y básica Claudia Coronata, Ángel Alsina

1103

Estudio de casos desde un enfoque socioepistemológico sobre formación inicial de profesores Edith Miriam Soto Pérez, Rosa María Farfán Márquez

1113

Sobre las habilidades espaciales y la dimensión sociocultural del aprendizaje de “lo geométrico” Melissa Andrade-Molina, Ricardo Cantoral-Uriza

1123

El servicio comunitario: un espacio para la enseñanza de la matemática a niños en situación de riesgo Karina Hildemar Caballero de Martínez

1133

f y f(x): f(x) determina a f y a su vez la obstaculiza Alex Montecino M., Ricardo Cantoral U.

1143

La modelación de la función afín: una mirada socioepistemológica Tamara Del Valle Contreras

1151

Las niñas que son aburridas participan más en matemáticas: la matemática escolar entre identidades y representaciones Claudia Rodríguez Muñoz

1161

La yupana y el sistema de numeración maya Blanca María Peralta, Darwin Alexander Moreno

1171

La modelación matemática y la enseñanza de las cónicas Ángel Homero Flores Samaniego, Adriana Gómez Reyes

1179

Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

XV

Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 26

Enfoque metodológico en las estrategias de aprendizaje de conceptos matemáticos usados por estudiantes de la carrera de ingeniería civil Hipólito Hernández Pérez, Juan Carlos Cabrera Fuentes

1187

Una caracterización de los elementos del pensamiento y lenguaje variacional Mario Caballero Pérez, Ricardo Cantoral Uriza

1197

Aspectos de la cultura de una clase de matemáticas en el diseño y aplicación de ambientes de aprendizaje inclusivos en grado sexto Sindy Lorena Cortés, Francisco Javier Camelo, Gabriel Mancera

1207

Comunidad de conocimiento matemático de sordos Claudia Leticia Méndez Bello; Francisco Cordero Osorio

1215

Desarrollo histórico-epistemológico de la derivada de una función Jesús Ávila Godoy, Ramiro Ávila Godoy, Francisco Javier Parra Bermúdez

1223

Género y desarrollo del talento en matemáticas María Guadalupe Simón Ramos, Rosa María Farfán Márquez

1231

El significado del objeto matemático proporcionalidad. Su origen y desarrollo Francisco Javier Parra Bermúdez, Ramiro Ávila Godoy, Jesús Ávila Godoy

1241

Resignificación del concepto socioepistemología Guadalupe Cabañas-Sánchez

teoría

1251

Ecología de los significados de los objetos matemáticos intervinientes en la resolución de problemas de ecuaciones diferenciales Ruth E. Rivera, Ramiro Ávila G., Maximiliano De Las Fuentes, Alberto Navarro V

1259

Un programa de modelación para el aprendizaje de la matemática: la escuela, el trabajo y la ciudad Francisco Cordero, Ruth Rodríguez, Miguel Solís

1267

Algunas herramientas teórico-metodologicas de la aproximacion socioepistemológica para la investigacion en matemática educativa Luz María Mingüer Allec

1277

Motivación hacia la matemática, experiencia de estudiantes de un curso inicial de cálculo universitario Emilio Castro Navarro, Jorge Ávila Contreras

1287

Exploración de lo bilineal desde la práctica social de modelación de un sistema de resortes Silvana Gómez, Jaime Arrieta, Leonora Díaz

1297

El uso de títeres en la práctica de clasificar Marcela Ferrari Escolá

1305

El uso de figuras de análisis en escenarios no escolares. Su influencia en el aula de matemática Mónica Lorena Micelli, Cecilia Rita Crespo Crespo

1315

La institucionalidad, funcionalidad e historicidad. Elementos para el rediseño del discurso matemático escolar Karla Gómez, Francisco Cordero

1325

de

integral

definida

desde

la

Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

XVI

Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 26

CAPITULO 4: EL PENSAMIENTO DEL PROFESOR, SUS PRÁCTICAS Y ELEMENTOS PARA SU FORMACIÓN PROFESIONAL Introducción al Capítulo: El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación profesional Marger da Conceição Ventura Viana

1335

Relações entre a formação dos professores e o currículo Wanderlei Aparecida Grenchi, Angélica da Fontoura Garcia Silva

1339

Formação continuada do professor de anos iniciais e a (re) construção de conceitos com geometria dinâmica Marinês Yole Poloni; Nielce Meneguelo Lobo da Costa

1349

Evaluación del conocimiento sobre juego equitativo en futuros profesores Nordin Mohamed, Juan J. Ortiz, Luis Serrano

1359

Reflexões sobre as concepções de educação matemática presentes em futuros professores de matemática Telsuíta L. P. Santos, Mª da Glória B. de F. Mesquita, Suzicássia S. Ribeiro, Ulisses A. Leitão

1369

Competencia profesional de profesores de secundaria en la evaluación de las competencias matemáticas de los alumnos Norma Rubio, Vicenç Font

1379

Dificultades que enfrentan los profesores en escenarios de modelización Liber Andrés Aparisi Nielsen, Marcel David Pochulu

1387

Concepções de professores de matemática sobre a educação matemática Suzicássia Silva Ribeiro, Maria da Glória Bastos de F. Mesquita, Telsuíta L. Pereira Santos

1399

Projetos de modelagem matemática e sistemas lineares: contribuições para a formação de professores de matemática Walter Sérvulo Araújo Rangel, Frederico da Silva Reis

1407

Actitudes que producen los problemas planteados en los libros de textos de matemáticas de educación secundaria. Una experiencia con profesores y alumnos Santiago Ramiro Velázquez, Josip Slisko Ignjatov, Hermes Nolasco Hesiquio

1413

Un modelo de análisis del conocimiento didáctico-matemático: el caso de la formación inicial de profesores sobre la derivada Luis R. Pino-Fan, Juan D. Godino, Walter F. Castro, Vicenç Font Moll

1423

Concepções de formação de professores de matemática: um exame até a década de 1960 Maria Ednéia Martins-Salandim

1433

Formação continuada de professores dos anos iniciais sobre o conteúdo de tratamento da informação Neura Maria De Rossi Giusti, Jutta Cornelia Reuwsaat Justo

1441

Ensino médio: um olhar sobre o currículo de matemática na perspectiva de representações semióticas Luísa Silva Andrade, Carmen Teresa Kaiber

1451

Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

XVII

Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 26

Trabalho em grupo colaborativo e a mudança na prática de professores de matemática Luciana Caroline Kilpp Fernandes, Maria Madalena Dullius

1461

Divisão: um estudo do conhecimento profissional docente nas séries iniciais Edvonete Souza de Alencar , Angélica da Fontoura Garcia Silva

1471

Reflexões sobre o processo de formação de professores que ensinam matemática: uma parceria entre universidade e escola no contexto das tecnologias da informação e da comunicação Vanessa Cerignoni Benites; Rosana Giaretta Sguerra Miskulin

1477

Pensamiento geométrico de estudiantes de profesorado Marco Antonio Rosales Riady, Leonora Díaz Moreno

1487

El estado de la reflexión sobre la práctica de aula. Una muestra por conveniencia de profesores de matemáticas en Bogotá Diana Piedra Moreno, Erika Hernández Hernández, Jorge Rodríguez Bejarano

1497

Elementos de identidad profesional orientados a aprendizajes matemáticos Gastón Guerrero Arcos, Leonora Díaz Moreno

1505

Matemática finaceira na formação de professores Geneci Alves de Sousa, Marcelo André A. Torraca, Lilian Nasser

1515

Recuerdos, expectativas y concepciones de los docentes de matemática sobre la enseñanza de la geometría en la escuela media Cristina Arceo, Debora Chan, Alejandro Rossetti

1523

Uma reflexão sobre formação de professores de matemática para a educação inclusiva por meio de memoriais de formação Fernanda Malinosky C. da Rosa, Ivete Maria Baraldi

1531

Formação continuada: espaço reflexivo das práticas numéricas nos anos iniciais Maria das Graças Bezerra Barreto, Maria Elisabette Brisola Brito Prado

1537

Concepções de professores de matemática sobre a formação continuada João Ferreira da Silva Neto, Iranete Maria da Silva Lima

1547

A interação professor-aluno na construção de estratégias de autorregulação da aprendizagem de estatística Maria Helena Palma de Oliveira, Felipe Franco Gabriel, Verônica Yumi Kataoka

1555

Formação continuada com professores de matemática da educação básica na Baixada Fluminense mediada por tecnologias da informação e comunicação Marcos Cruz de Azevedo, Cleonice Puggian, Clícia Vallladares Peixoto Friedmann

1565

Tres perspectivas diferentes para mirar el conocimiento del profesor de matemáticas y la enseñanza Leticia Sosa Guerrero

1575

El desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional entre profesores de bachillerato Mario Caballero Pérez, Ricardo Cantoral Uriza

1585

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XVIII

Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 26

La deconstrucción del conocimiento matemático: un medio para el análisis del desarrollo profesional del profesor Luis M. Cabrera Chim, Ricardo A. Cantoral Uriza

1595

História da educação matemática na formação de professores: o currículo como construção social Elisabete Zardo Búrigo

1605

Los artefactos y la visualización en el ETG del profesor Carolina Henríquez Rivas, Elizabeth Montoya Delgadillo

1615

Desarrollo de la habilidad algoritmizar en el álgebra lineal Anelys Vargas Ricardo, Ramón Blanco Sánchez, Olga Lidia Pérez González, Elizabeth Rodríguez Stiven

1625

Capacitación en contexto para la preparación de los maestros que imparten la matemática. Experiencia en República Dominicana Carmen Evarista Matías Pérez, Olga Lidia Pérez González, Celia Rizo, Ramón Blanco

1633

Sistema inteligente para el algebra lineal Laura Casas Fuentes. Olga Lidia Pérez González, Lisandra Docampo, Yailé Caballero Mota, Lenniet Coello, Isabel Yordi González, Angela Martín

1641

História(s), narrativa(s), experiência(s): constituindo pesquisadores em educação matemática Marcelo Bezerra de Morais, Jean Sebastian Toillier e Ivete Maria Baraldi

1651

Análise do perfil dos alunos de matemática da UFTM e de suas atitudes em relação à matemática Ailton Paulo de Oliveira Júnior; Cristian Elias do Carmo

1659

Formação continuada de professores de matemática: desafios em um cenário de reorganização curricular Rosineide Monteiro Rodrigues, Angélica da Fontoura Garcia Silva

1669

Reflexões sobre discriminação étnico-racial matemática: uma experiência na Eja Iraídes Reinaldo da Silva, Cristiane Coppe de Oliveira

em

1679

As dificuldades enfrentadas pelo professor de matemática: uma análise sobre a formação e atuação docente no estado de São Paulo Ivete Maria Baraldi, Juliana Aparecida Rissardi Finato

1689

Percepções de professores de matemática sobre resultados de avaliações externas Rosangela de Souza Jorge Ando, Nielce Meneguelo Lobo da Costa

1699

Grupo de estudos: professores de matemática investigando o uso de software no ensino de funções trigonométricas Ronaldo Barros Orfão, Nielce Meneguelo Lobo da Costa

1707

Formação, prática e modos de pensar de professores: uma análise de teses e dissertações em educação matemática Juliana França Viol

1715

e

prática

docente

Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

XIX

Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 26

Formação de professores de matemática e educação a distância: discussões acerca de suas potencialidades didático-pedagógicas Juliana França Viol, Rosana Giaretta Sguerra Miskulin

1723

A história da educação matemática como linha de pesquisa em um mestrado profissional em educação matemática Lucia Maria Aversa Villela

1732

Preparando para a aprendizagem de cálculo: funções e geometria no ensino médio Marcelo André A. Torraca, Geneci Alves de Sousa, Priscila Dias Corrêa, Lilian Nasser

1741

Textos instruccionales: su naturaleza, función e implicancias en la formación efectiva de profesores de matemática Nora Inés Lerman, Cecilia Crespo Crespo

1751

Hacia una formación docente con la mirada en el aula Patricia Lestón

1761

La elección de la carrera de profesorado de matemática: motivos y expectativas Cecilia Rita Crespo Crespo, Liliana Inés Homilka, Patricia Lestón

1773

El empoderamiento docente desde la teoría socioepistemológica: caminos alternativos para un cambio educativo Daniela Reyes-Gasperini, Ricardo Cantoral-Uriza

1783

El aula en el imaginario de los profesores de matemáticas Javier Lezama, Elizabeth Mariscal

1793

Necesidades de formación en investigación. Algunas acciones para su determinación Brigitte J. Sánchez Robayo, José Torres Duarte, Jaime Fonseca González

1803

CAPITULO 5: USO DE RECURSOS TECNOLÓGICOS EN EL PROCESO DE APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS Introducción al Capítulo: Propuestas para la enseñanza de las matemáticas Marcel David Pochulu

1815

Um ambiente virtual interativo com o Geogebra e o m3 para um estudo de volume de pirâmides Ana Paula Rodrigues Magalhães de Barros

1817

Contenidos transversales y aprendizaje de la matemática: haciendo uso de la tecnología (software libre) Rosa Eulalia Cardoso Paredes

1825

Apropriação de tecnologia por uma professora dos anos iniciais num grupo de estudos de geometria Edite Resende Vieira, Nielce Meneguelo Lobo da Costa

1835

Superfícies esféricas: uma proposta de ensino com o auxílio de um ambiente de geometria dinâmica Monica Karrer, Simone Navas Barreiro

1843

Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

XX

Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 26

Espaço de aprendizagem digital: o aprender a aprender por cooperação Aline Silva De Bona, Léa da Cruz Fagundes, Marcus Vinicius de Azevedo Basso

1851

Redes sociais e a cultura digital: um espaço cooperativo para aprender a aprender matemática Aline Silva De Bona, Léa da Cruz Fagundes, Marcus Vinicius de Azevedo Basso

1861

Enseñar matemática: un reto en el nuevo paradigma tecnológico Agustin De la Villa, Alejandro Lois, Liliana Milevicich, Gerardo Rodrígez Sánchez

1871

La revolución tecnológica en la enseñanza de las matemáticas: el nuevo paradigma. ¿es una oportunidad de cambio o un simple engaño? Agustín de la Villa, Alejandro Lois, Liliana Milevicich, Gerardo Rodríguez Sánchez

1879

Licenciatura de matemática a distância: esta formação repercute no uso de computadores nas escolas? Alessandro Calil, Fernanda Campos, Neide Santos

1889

Herramienta interactiva en la comprensión del límite de una función Juan José Díaz Perera, Santa del Carmen Herrera Sánchez, Carlos Enrique Recio Urdaneta, Mario Saucedo Fernández

1899

O uso do laptop móvel em aulas de matemática Ana Maria Batista Eivazian, Maria Elisabette Brisola Brito Prado

1909

E-learning de análise combinatória no padrão Scorm Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa, Claudia Lisete Oliveira Groenwald

1919

Atividades de probabilidades no Observatório da educação Ana Lucia Nogueira Junqueira, Maria Elisabette Brisola Brito Prado

1929

Investigando as contribuições da geometria dinâmica na sala de aula de matemática: uma experiência com o estudo de funções Davidson Paulo Azevedo Oliveira, Giselle Costa de Sousa, Maria Maroni Lopes

1939

Promovendo a reflexão sobre a prática no ensino de álgebra – um curso semipresencial Gilda Maria Q. Portela, João Rodrigo Esteves Statzner, Kelly R. de P. Motta Moura, Lucia A. de A. Tinoco, M. Palmira da Costa Silva, Tatiana Cardoso Maia, Cassius T. Costa Mendes, Karen A. Waltz

1947

O uso do software sketchup no ensino de prismas Ronaldo Asevedo Machado, Adriana Maria Tonini

1958

Objetos de aprendizagem para o ensino de matemática: reflexões Liamara Scortegagna, Eduardo Barrére, Gisele Barbosa

1967

Matemática financeira e tecnologia: espaços para o desenvolvimento da capacidade crítica dos educandos da educação de jovens e adultos Marco Aurélio Kistemann Junior, Luciano Pecoraro Costa

1975

Saberes de professores de matemática da educação básica na perspectiva da cyberformação Vinícius Pazuch; Maurício Rosa

1983

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XXI

Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 26

El video tutorial como alternativa didáctica en el área de matemáticas Mario Saucedo Fernández, Juan José Díaz Perera, Santa del Carmen Herrera Sánchez, Carlos Enrique Recio Urdaneta

1991

Diseño y desarrollo de software educativo para cálculo numérico María Eva Ascheri, Rubén Pizarro, Gustavo Astudillo, Pablo García, Eugenia Culla

2001

Una aproximación al concepto de sucesión con uso de tecnología por medio de representaciones semióticas en el nivel bachillerato Mónica del Rocío Torres Ibarra, Elvira Borjón Robles, Judith A. Hernández Sánchez

2011

Construindo uma sequência didática sobre equação de 1º grau com uso das tecnologias da informação e comunicação Andrielly Viana Lemos, Carmen Teresa Kaiber

2019

La ecuación diofántica lineal –una secuencia posible Ethel Barrio

2029

El aprendizaje del cálculo diferencial mediante la Webquest Daniel Giovanni Proleón Patricio, Daysi Julissa García Cuéllar

2037

Recursos de ambientes virtuais num curso de licenciatura em matemática na modalidade presencial Ettiène Guérios, Sandra Sausen

2043

A lousa digital e o uso do Maple no cálculo diferencial e integral: potencialidades mediativas Carmen Teresa Kaiber, Rodrigo Dalla Vecchia

2053

Aspectos semióticos das representações matemáticas mediadas pelo Winplot Ma Margarete do R. Farias, Rosana Giaretta S. Miskulin

2061

Compreensões de professores de cálculo diferencial e integral no contexto das tecnologias digitais: perspectivas da utilização de ambientes computacionais Andriceli Richit, Rosana Giaretta Sguerra Miskulin

2069

Produção coletiva de conhecimento em investigações matemáticas em grupos online Felipe Pereira Heitmann, Sueli Liberatti Javaroni

2079

O uso de vídeos em um ambiente de aprendizagem multimodal Nilton Silveira Domingues

2087

Estudos gráficos das variações dos coeficientes da função quadrática com o auxílio do software Geogebra José Milton Lopes Pinheiro, Marger da Conceição Ventura Viana, Nilson de Matos Silva

2097

Acercamiento tabular y gráfico para las distribuciones normal y binomial con winstats en ciencias de la salud Alicia López-Betancourt, Martha Leticia García Rodríguez

2105

As representações empregadas por cegos e surdos num ambiente virtual de aprendizagem Carlos Eduardo Rocha dos Santos, Cristiano Bezerra, Solange Hassan Ahmad Ali Fernandes

2113

Competencias de modelación y uso de tecnología en ecuaciones diferenciales Ruth Rodríguez, Samantha Quiroz, Lorenza Illanes

2121

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XXII

Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 26

 

PRESENTACIÓN

Las personas que participan en las RELME (Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa) o que forman parte de CLAME (Comité Latinoamericano de Matemática Educativa), y aquellos colegas y profesionales que asisten a las diferentes actividades de formación y divulgación relacionadas, constantemente aportan al conocimiento de la Matemática Educativa. La publicación de sus trabajos en medios escritos o digitales como la ALME 26 (Vigesimosexta Acta Latinoamericana de Matemática Educativa), o la RELIME (Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa), se constituyen en espacios importantes de divulgación que permiten no solo hacer una recopilación de trabajos para ser consultados por diversos profesionales interesados en la Matemática Educativa, sino que registran los aportes para que sean accesibles para consultas en cualquier momento. El trabajo que lleva preparar una Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa –RELMEes exhaustivo en organización y logística, y aún más exhaustivo en exigencias de calidad. Año con año, desde la convocatoria, se procura que los productos sean cada vez mejores, revisando los tipos de trabajos y categorías, y modificándolos de manera que se ajusten a criterios cada vez más estrictos, globales, actualizados y que aporten valor. La publicación en ALME, fruto de los trabajos presentados en RELME, proporciona, por tanto, productos depurados y revisados que permiten asegurar que los trabajos publicados son una contribución valiosa al acervo cultural y educativo a nivel regional y mundial. La comunidad CLAME se forma de la interrelación entre sus miembros y otros colegas que buscan fomentar la investigación de calidad y el perfeccionamiento y profesionalización de los docentes. Es un referente regional en Matemática Educativa, en el que un grupo de estudiosos, unidos por valores académicos y profesionales, trabajan con responsabilidad, dedicación y calidad. El compartir sus esfuerzos y trabajos, con fines comunes, los ha constituido en un singular grupo que, además, comparte la alegría del trabajo, una sensibilidad particular por la mejora en la enseñanza de la Matemática, y un sentimiento de amistad estrecha. Por ello, presentar y publicar trabajos en la comunidad CLAME es un experiencia personal y profesional muy enriquecedora. En ALME 26 se incluyen trabajos que han sido revisados con disciplina y rigurosidad y que provienen de la RELME 26 que se llevó a cabo en Belo Horizonte, Brasil en julio de 2012.

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XXIII

Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 26

Dichos trabajos se han organizado en los siguientes capítulos, las cuales incluyen la introducción de un profesional invitado especial: Capítulo 1: Análisis del discurso matemático escolar Capítulo 2: Propuestas para la enseñanza de las matemáticas Capítulo 3: Aspectos socioepistemológicos en el análisis y el rediseño del discurso matemático escolar Capítulo 4: El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación profesional Capítulo 5: Uso de recursos tecnológicos en el proceso de aprendizaje de las matemáticas Debido a que uno de los propósitos de CLAME es tener un impacto regional y también global, observarán que nuevamente en esta edición se incluye un abstract (en inglés), que es un requisito para que los trabajos puedan ser considerados como referencia en algunos índices internacionales. De esta forma se logra ampliar aún más la divulgación de nuestros trabajos de RELME. Esperamos que esta Vigesimosexta Acta se utilice como carta de presentación de los aportes que, como profesionales de la matemática educativa, hacemos a la sociedad. Aprovecho para agradecerle a los árbitros y, especialmente, a los editores de trabajos de ALME por su esfuerzo concienzudo y eficaz y, sobre todo, comprometido y muy responsable. Ellos son testimonio de la entrega desinteresada y valiosa que caracteriza a nuestra comunidad educativa, y se constituyen en ejemplos dignos de imitar por la importante labor que realizan.

Claudia María Lara Galo M.A. Presidenta del Consejo Directivo CLAME (2012-2016) Junio 2013

 

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Capítulo 1. Análisis del discurso matemático escolar

       

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Capítulo 1. Análisis del discurso matemático escolar

Introducción al Capítulo de Análisis del Discurso Matemático Escolar   Gabriela Buendía Abalos CICATA-IPN. (México) [email protected] ¿Por qué estudiar el discurso matemático escolar? Plantear esta pregunta al seno de una comunidad de Matemáticos Educativos, como el Clame, podría implicar preguntarse en primera instancia qué es el discurso matemático escolar (dme). Los extensos contenidos en esta sección del Acta Latinoamericana de Matemática Educativa proponen sus propias definiciones o mejor dicho caracterizaciones y es que precisamente las características particulares de tal discurso es lo que lo hace valioso a la luz de una investigación en Matemática Educativa. Como componentes, podemos identificar claramente los libros de textos, la oralidad del profesor, las argumentaciones del alumno y otros elementos entendidos todos como una manifestación del conocimiento matemático, normada por creencias del profesor y los estudiantes sobre lo que es la enseñanza y lo que es la matemática, por lo que dicta el currículo y por las necesidades e intereses de todos los actores de la noósfera. Es justo esta diversidad de elementos la que junto con la de las investigaciones mostradas en los extensos, hace que una definición o incluso una sola caracterización, no permitan responder qué es el discurso matemático escolar. De ahí que la pregunta inicial se vuelve prioritaria y mucho más signitiva: ¿por qué -e incluso para qué- estudiarlo? Algunas investigaciones han dado cuenta de fenómenos y problemáticas didácticas cuyo origen pueden rastrearse hacia el discurso matemático escolar vigente; otras, han proporcionado instrumentos metodológicos para estudiar dicho discurso no sólo en su estructuración sino hacia evidenciar su rol en las prácticas del docente o de toda una comunidad educativa. Hay un gran grupo de investigaciones que han analizado el discurso de los alumnos hacia dar cuenta de la resignificación de un saber matemático. Intencionalmente no he puesto referencias en estos estudios que abordan aspectos y matices del discurso matemático escolar porque cada rubro se está volviendo un campo de estudio por sí mismo: esa es la importancia del dme en las investigaciones. El dme sólo se puede entender situacionalmente, pero partir de situaciones y contextos particulares se convierte en el punto basal para discutir problemáticas, proponer alternativas didáctivas, significar y resignificar aspectos del saber matemático; incluso podemos partir de la perspectiva del profesor, del alumno o de otros aspectos institucionales como el currículo. Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 26

Así, podremos encontrar en esta sección investigaciones centradas en matemáticas de un nivel educativo -básica o universitaria, por ejemplo- pero también investigaciones donde el foco está en una rama del conocimiento matemático, digamos álgebra o geometría. Reconocer el dme en estos casos particulares y usarlo significativamente en nuestras investigaciones, deriva en resultados y aportes a la Matemática Educativa y sus diferentes campos de estudio.

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Capítulo 1. Análisis del discurso matemático escolar

ETNOMATEMÁTICA E MODELAGEM: OPORTUNIDADES E DESAFIOS PARA A AÇÃO PEDAGÓGICA Milton Rosa Universidade Federal de Ouro Preto [email protected]

Brasil

Resumo. Neste artigo, o autor tece algumas reflexões sobre a possibilidade da utilização harmoniosa do programa etnomatemática e da metodologia da modelagem matemática na educação matemática para o ensino e aprendizagem em matemática. A modelagem atua como uma ponte entre a etnomatemática e a matemática acadêmica para a ação pedagógica que será requerida nas atividades presentes na sociedade contemporânea. Deve-se ter consciência de que cada grupo cultural desenvolveu um conjunto de ideias matemáticas próprias; dentre as quais se destacam algumas ferramentas básicas que são utilizadas no processo da modelagem. Palavras chave: etnomatemática, modelagem matemática, ação pedagógica Abstract. In this article, the author reflects upon the possibility of harmonious use of an ethnomathematics program and methodology of mathematical modeling in mathematics education for teaching and learning in mathematics. The model presents pedagogical action required in the activities found in contemporary society and serves as a bridge between ethnomathematics and academic mathematics, where each cultural group has developed a set of mathematical ideas themselves. Here the author highlights basic tools that are used in the modeling process. Key words: ethnomathematics, mathematical modeling, pedagogical action

  Introdução Partindo do ponto de vista de que a educação matemática busca a formação de alunos que tenham poder sócio-político-econômico e que sejam capazes de realizar a transformação social, existe a necessidade de que o saber-fazer matemático acumulado pelos diferentes grupos culturais seja traduzido para o conhecimento da matemática acadêmica. Essa ação pedagógica visa facilitar a luta dos integrantes de grupos sociais distintos pelo direito à cidadania (Knijnik, 1993). Nesse sentido, os educadores têm como responsabilidade favorecer o estabelecimento de relações entre a matemática acadêmica e o conhecimento adquirido informalmente pelos alunos para auxiliá-los a perceberem a presença da matemática nas atividades e tarefas realizadas diariamente. Esse objetivo pode ser alcançado com a utilização da modelagem matemática como uma ação pedagógica para o programa etnomatemática (Rosa e Orey, 2006). Etnomatemática e modelagem Cada grupo cultural desenvolveu um conjunto de ideias, procedimentos e práticas matemáticas próprias, dentre as quais se destacam algumas ferramentas básicas, como por exemplo, a medida, a comparação, a quantificação, a classificação e a inferência, que são utilizadas no processo da modelagem (Rosa e Orey, 2006). Essas ferramentas são técnicas que cada grupo Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 26

cultural desenvolveu para lidar, matematizar e modelar a própria realidade. Um aspecto primordial desse processo é auxiliar os alunos a perceberem o próprio potencial matemático através do reconhecimento da importância da cultura para a valorização da própria identidade. Contudo, para que essa abordagem seja bem sucedida, existe a necessidade de auxiliar os alunos a valorizarem, entenderem e compreenderem a influência que as culturas exercem sobre o desenvolvimento da matemática. Entretanto, alguns pesquisadores argumentam que os educadores que utilizam as técnicas da modelagem “tentam entender a realidade para pensar em um modelo de resolução do problema que o sistema escolar valida” (Scandiuzzi, 2002, p. 54) enquanto que os educadores que utilizam a perspectiva etnomatemática “validam o modelo que determinado [grupo cultural] construiu para a resolução do problema que aparece, procurando entender o modelo apresentado” (Scandiuzzi, 2002, p. 54). Porém, discordamos do ponto de vista desse autor, pois entendemos que por meio do diálogo direto com os criadores do conhecimento matemático, os educadores podem compreender, com a utilização do processo da modelagem, como ocorre a incorporação desse conhecimento nas práticas matemáticas utilizadas na academia. Nesse sentido, concordamos com Eglash (2002) que existe a necessidade de que os educadores utilizem a modelagem como uma ferramenta para traduzir o conhecimento matemático produzido nos grupos culturais para a matemática acadêmica. Etnomatemática, modelagem e modelos Existe a necessidade de valorizarmos os modelos elaborados por um determinado grupo cultural. Porém, esse fato não invalida os modelos utilizados pela matemática acadêmica, pois esses podem ser aprimorados com a utilização das ideias e procedimentos matemáticos que foram desenvolvidos no grupo cultural (Rosa e Orey, 2003) e que estão relacionados com as “tradições matemáticas que sobreviveram à colonização e às atividades matemáticas na vida diária das populações, analisando as possibilidades de incorporá-las ao currículo” (Ferreira, 1993, p. 18). Essa é uma consequência natural da evolução do conhecimento matemático, pois o congelamento temporal e espacial das ideias, dos procedimentos e das práticas matemáticas, acumuladas por esses grupos, pode acarretar o desaparecimento dessas tradições culturais. Assim, é de suma importância que os grupos culturais optem pela aceitação do novo, sem perder, nesse processo, o elo com as tradições que estão relacionadas com as práticas matemáticas que foram adquiridas, acumuladas, difundidas e transmitidas, de geração em geração (Rosa e Orey, 2003). Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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Capítulo 1. Análisis del discurso matemático escolar

Porém, enfatizamos que não devemos abandonar um modelo etnomatemático em detrimento de um modelo acadêmico e vice-versa, pois esses modelos podem ser utilizados harmoniosamente na prática pedagógica do ensino e aprendizagem em matemática. Com relação a esses modelos, o que existem são diferenças culturais que estão vinculadas a uma realidade específica, que chega “de maneira natural e através de um enfoque cognitivo com forte fundamentação cultural, a ação pedagógica” (Ferreira, 1993, p. 18). Assim, o programa etnomatemática utiliza a modelagem para que os seus objetivos educacionais sejam alcançados, pois a etnomatemática e a modelagem se interagem durante essa ação pedagógica (D’Ambrosio, 1993; Rosa, 2000). Dessa maneira, os modelos devem ser elaborados com a utilização das matematizações desenvolvidas pelos membros do grupo cultural por meio do respeito e da valorização do conhecimento matemático acumulado por essas culturas. Nessa abordagem, as técnicas da modelagem são utilizadas no processo de elaboração dos modelos, pois traduzem as práticas matemáticas presentes no conhecimento desenvolvido pelos membros desse grupo (D’Ambrosio, 1993; Rosa e Orey, 2003). Contudo, salientamos que esse processo deve ser realizado dialogicamente, com a discussão crítica e reflexiva sobre o modelo proposto, para que os membros do grupo não percam a identidade cultural e nem a autonomia nas maneiras distintas de matematizarem e de se relacionarem com a sociedade. Contribuindo para essa abordagem, é preciso: Conhecer, entender e explicar um modelo ou mesmo como determinadas pessoas ou grupos sociais utilizaram ou utilizam-no, pode ser significativo, principalmente, porque nos oferece uma oportunidade de “penetrar no pensamento” de uma cultura e obter uma melhor compreensão de seus valores, sua base material e social. (Biembengut, 2000, p. 137) Nessa perspectiva, o conhecimento etnomatemático de um determinado grupo cultural pode ser utilizado por meio da observação, interpretação ou descrição de uma ação, que originou uma prática matemática necessária para resolver uma situação-problema enfrentada no cotidiano (Rosa e Orey, 2006). Dessa maneira, quando descrevemos uma ação praticada por indivíduos pertencentes a grupos culturais distintos, utilizamos símbolos e códigos que podem ser próprios da matemática desenvolvida no grupo cultural ou originados na matemática acadêmica. Nesse sentido, concebemos a etnomatemática como uma linguagem utilizada para comunicar, descrever, mediar, traduzir e modelar uma ação. A etnomatemática é um programa que tem como objetivo a organização intelectual e social do conhecimento matemático para a sua difusão a partir das relações interculturais que ocorrem no decorrer da história (D’Ambrosio, 1990). Então, a elaboração de modelos pode auxiliar a Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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tradução de práticas matemáticas da linguagem cotidiana para a linguagem acadêmica por meio de um processo dialógico entre educadores e alunos. A ação pedagógica da etnomatemática e da modelagem em salas de aula O desenvolvimento do programa etnomatemática nas salas de aula depende muito das situações que são interessantes para os alunos, pois a motivação é um componente chave para esse programa (Rosa, 2000). É importante que os professores selecionem situações-problema que apresentem aspectos etnomatemáticos relacionados com o ambiente sociocultural da comunidade escolar, rompendo dessa maneira, com a linearidade do currículo matemático. Em nosso ponto de vista, esse rompimento “se constitui em mais um ponto de proximidade entre as duas tendências” (Klüber, 2007, p. 100) pedagógicas. No entanto, é importante salientar que “na Modelagem, os problemas determinam os conteúdos, e na Etnomatemática, as necessidades do cotidiano precisam ser resolvidas para garantir a continuidade e a melhoria da situação de uma comunidade, fazendo surgir conteúdos” (Klüber, 2007, p. 100) que são necessários para o desenvolvimento do currículo matemático. Nessa perspectiva, Powell e Frankenstein (1997) propuseram a elaboração de um currículo matemático, baseado no conhecimento adquirido pelos alunos na comunidade, que permite aos educadores serem mais criativos na escolha dos tópicos da matemática acadêmica a serem ensinados. Esses autores sugerem que, por meio de diálogos com os alunos, os educadores possam descobrir temas que podem auxiliá-los a redirecionar o currículo matemático para uma perspectiva etnomatemática, pois “essa concepção educacional possibilita que os participantes de uma atividade de Modelagem possam valer-se de vários procedimentos não estruturados, de acordo com o tema ou problema a ser estudado, constituindo-se em mais um ponto de concordância da Modelagem com a Etnomatemática” (Klüber, 2007, p.105). Essa abordagem educacional favorece o engajamento dos alunos na análise reflexiva e crítica da cultura dominante e da própria cultura por meio da linguagem matemática, em uma perspectiva social, política e cultural (Rosa e Orey, 2003). Então, o importante é que: (...) a ideia venha do aluno para escolher o problema a ser analisado, e o professor deve ser apenas um parceiro, evitando a interferência excessiva em alguma ideia do aluno. Deve, desta maneira ensinar os alunos a refletir, encontrar hipóteses, procurar caminhos para possíveis soluções, quer seja através de uma música, um poema, qualquer receita de comida, uma história infantil, seja de gibi ou livro e entrevistas. (Scandiuzzi e Miranda, 2000, p. 251)

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Capítulo 1. Análisis del discurso matemático escolar

De acordo com essa asserção, o ato de contextualizar também aproxima a modelagem da “etnomatemática que procura a contextualização do saber de diferentes culturas” (Klüber, 2007, p. 98). Nessa perspectiva, um elemento essencial do programa etnomatemática é a incorporação dos aspectos culturais no currículo matemático com a utilização de atividades curriculares contextualizadas (D’Ambrosio, 2002). Nesse direcionamento, a contextualização do: (...) saber pode ser entendida a partir do reconhecimento das atividades do cotidiano dos sujeitos. A cotidianidade do sujeito não pode ser desconsiderada nem na Modelagem nem na Etnomatemática, pois tanto a contextualização como a cotidianidade são aspectos que atribuem significados aos saberes e fazeres dos indivíduos em uma determinada comunidade. (Klüber, 2007, p. 98) Ferreira (1997) também propôs a elaboração de uma ação pedagógica para o programa etnomatemática baseada na utilização da modelagem, na qual a contextualização é de fundamental importância para o ensino e aprendizagem da matemática. A figura 1 mostra o modelo pedagógico proposto por esse autor para o programa etnomatemática.

Figura 1: Modelo pedagógico proposto por Ferreira (1997) para o Programa Etnomatemática Então, a metodologia mais adequada para o ensino e aprendizagem da matemática, em uma perspectiva etnomatemática, é a modelagem, pois a escolha dos temas, retirados da realidade, pode ser direcionada para cobrir tópicos específicos da matemática acadêmica (Rosa e Orey, 2006), facilitando, dessa maneira, o desenvolvimento de “atividades provenientes da realidade” (Klüber, 2007, p. 103). Assim, a utilização de atividades originadas na realidade dos alunos é outro fator que pode aproximar a etnomatemática da modelagem. Nesse direcionamento, é importante que se investigue as concepções, tradições e práticas matemáticas desenvolvida pelos membros de um determinado grupo cultural, com a intenção de incorporá-las ao currículo matemático como um conhecimento escolar (Knijnik, 1996). Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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Por exemplo, Gerdes (1997) e um grupo de alunos investigaram um método comumente utilizado para a fundação das casas em Moçambique ao estudarem como os construtores utilizam cordas e varetas de bambus para construir a base retangular de suas moradias. Nesse procedimento, os construtores colocam no chão duas varetas de bambu que possuem o mesmo comprimento. Em seguida, duas varetas mais curtas do que as anteriores e com comprimentos iguais também são colocadas no chão. Posteriormente, as varetas são movidas até que se consiga determinar um quadrilátero. Finalmente, com o auxílio de uma corda, a figura construída é ajustada, para que as diagonais tenham comprimentos iguais. Com a utilização dessa figura, algumas linhas são desenhadas no chão para a determinação da base retangular da casa. A figura 2 mostra esse processo de construção da base da casa.

Figura 2: O processo de construção da base retangular da casa Podemos observar que, nessa construção, os ângulos retos somente aparecem quando a base retangular da casa é finalizada. O conhecimento matemático escondido nessa prática é equivalente a dois teoremas da geometria euclidiana: 1) Se os lados opostos de um quadrilátero possuem o mesmo comprimento, então esse quadrilátero é um paralelogramo. 2) Se o paralelogramo possui diagonais congruentes, então o quadrilátero é um retângulo. A elaboração de modelos matemáticos, baseados nessa prática, possibilitou a valorização de um conhecimento matemático escondido, que auxiliou os alunos a tornarem-se conscientes dos valores educacionais e científicos da própria cultura por meio da redescoberta e exploração desse conhecimento etnomatemático, que estava presente na própria comunidade. Então, “quando se assume a visão de matemática como algo presente na realidade concreta, sendo uma estratégia de ação ou interpretação desta realidade, se está adotando o que caracterizamos como uma postura de modelagem” (Bassanezi, 2002, p. 208). Dessa maneira, existe a necessidade de que o ensino e aprendizagem em matemática considerem o conhecimento matemático que foi construído nas práticas culturais da comunidade com a utilização dos pressupostos da modelagem como um instrumento para se alcançarem os objetivos propostos (Caldeira, 2007). Essa perspectiva possibilita a Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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caracterização de ações pedagógicas desenvolvidas por meio da modelagem, que são originadas no contexto sociocultural dos alunos, possibilitando a exploração das ideias, procedimentos e práticas matemáticas locais, respeitando os valores culturais dos alunos e os conhecimentos adquiridos por meio da vivência em comunidade e em sociedade. De acordo com esse contexto, cada grupo cultural tem as suas: (...) maneiras próprias de matematizar a realidade. Não há como ignorar isso e não respeitar essas particularidades quando do ingresso da criança na escola. Todo passado cultural do estudante deve ser respeitado, dando-lhe confiança no seu próprio conhecimento e dando-lhe também, uma certa dignidade cultural ao ver suas origens sendo aceitas pelo professor. (D’Ambrosio, 1990, p. 27) Nessa ação pedagógica, os alunos são orientados a criarem o conhecimento matemático por meio da problematização de situações vivenciadas no cotidiano, oportunizando o desenvolvimento de habilidades e competências gerais cujos objetivos visam à contextualização do aprendizado e a ampliação de significados do conteúdo matemático estabelecido nos programas curriculares. Considerações finais Em uma concepção mais abrangente, existe um relacionamento entre a etnomatemática e a modelagem, pois quando se pretende entender e compreender as maneiras próprias que os membros de um determinado grupo cultural desenvolveram para quantificar, medir, classificar, modelar e resolver problemas cotidianos, é necessário considerarmos as práticas socioculturais da matemática por meio da etnomatemática e, também, as práticas da matemática acadêmica por meio da modelagem (Rosa e Orey, 2007). Concordamos com o ponto de vista de D’Ambrosio (2000) de que não existe uma situação conflitante entre a etnomatemática e a modelagem, pois por meio da utilização das técnicas da modelagem, as ideias etnomatemáticas e os conceitos da matemática acadêmica se misturam durante a prática pedagógica desencadeada nesse processo. Dessa maneira, os alunos praticam a matemática acadêmica ao modelar situações-problema geradas na perspectiva da etnomatemática. Então, a modelagem pode atuar como uma ponte entre as ideias etnomatemáticas e os conceitos propostos pela matemática acadêmica, que são requeridos nas atividades presentes na sociedade contemporânea e no mundo globalizado. Referências bibliográficas Bassanezi, R. C. (2002). Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. São Paulo, SP, Brasil: Editora Contexto. Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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EPISTEMOLOGÍAS DE LA FUNCIÓN DERIVADA Eliseo Ramírez Rincón Universidad Libre [email protected], [email protected]

Colombia

Resumen. En el presente escrito se hace una somera revisión histórica de los orígenes de lo que hoy se conoce

como función derivada, centrando la atención en la complejidad de algunos cambios epistemológicos, a partir de los cuales se pueden beneficiar los procesos de enseñanza y aprendizaje de ésta. Dichos cambios van desde lo que Canul, Dolores y Martínez (2011) llaman las transiciones que le dieron evolución a la idea de derivada: tangente global – tangente local; métodos particulares de trazo- a métodos generales, de un problema geométrico a un problema analítico; de la matemática de las constantes a la matemática de las variables; de la aproximación a la idea de límite; de los diferenciales al límite; fundamentación con el límite; la fundamentación del cálculo sobre la base de los infinitesimales. A partir de lo cual se consolidó como conocimiento matemático en aproximadamente veinte siglos. Ramírez (2012).

Palabras clave: epistemología, historia, derivada, función, didáctica Abstract. In this paper a brief historical review of the origins of what is now known as derivative function is presented, focusing on the complexity of some epistemological changes, from which benefits on the teaching and learning of this subject can be obtained. These changes range from what Canul, Dolores and Martinez (2011) called transitions that evolution gave the idea of derivative: global tangent - local tangent; strokespecific methods to general methods, geometric problem to an analytical problem, from the mathematics of constant to the mathematic of variables, the approach to the idea of limits, the limit differentials; foundation with the limit, the validity of the calculation on the basis of the infinitesimal. From this, it was consolidated as mathematical knowledge in about twenty centuries. Ramírez (2012). Key words: epistemology, history, derivative, function, didactic

  Introducción En Colombia, a través de los resultados de la prueba de estado, realizada a estudiantes (16-19 años) anualmente por el ICFES (instituto Colombiano de Fomento a la Educación Superior), se puede deducir el deficiente nivel con el que “pasan” los estudiantes del colegio a la universidad en cuanto a las ideas previas de la función como estabilidad del cambio y como proceso variacional. También se corrobora este aspecto con el estudio hecho por el MEN (Ministerio de Educación Nacional) en 2011, sobre el perfil nacional del área en pruebas SABER de 5° y 9° de la básica, en el que se refleja el pobre desempeño en los procesos de variación tanto en 5° (10-13 años) como en 9° (14-16 años) grados de la básica. Los resultados anteriores, reflejan dificultades en la comunidad educativa (instituciones, profesores y estudiantes,…) en la enseñanza y aprendizaje del pensamiento variacional y los procesos generales emanados de los Estándares Básicos de Competencias (2006) del MEN. Dada la complejidad de la problemática, se presenta esta síntesis como reflexión desde lo curricular, en el sentido de revisar que el lenguaje matemático incorporado en el área esté en correspondencia desde lo cultural

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(entorno social del que aprende) con los conocimientos matemáticos en cuestión (rigor y formalismo). Ramírez (2012). Síntesis histórica de la derivada-función derivada A partir de la importancia de la matemática griega y su gran influencia en el desarrollo del cálculo, se plantea la discusión desde el pensamiento e influencia de la escuela pitagórica en las medidas conmensurables e inconmensurables, el continuo y el razonamiento deductivo, en los procesos de síntesis y de análisis; aspectos que marcaron el posterior desarrollo de las matemáticas. El cálculo o análisis tuvo su origen en las dificultades lógicas y de lenguaje de los matemáticos griegos, al esforzarse por expresar sus ideas intuitivas en razones o segmentos proporcionales, que ellos vagamente reconocieron como continuo geométrico, porque en lo numérico, más bien, lo consideraron como continuo discreto. Boyer (1986), Muñoz y Román (1999). Pitágoras vivió en el siglo VI a C. y su legendaria escuela fue una mezcla de filosofía, religión y matemáticas. A la escuela pitagórica se le atribuyen numerosos descubrimientos matemáticos, entre ellos la demostración del teorema que lleva su nombre, el descubrimiento de los números irracionales, que no los pudieron explicar y menos demostrar, sin embargo es considerado como uno de los acontecimientos más profundos en la historia de las matemáticas, porque determinó la relación de lo conmensurable a través del número y lo inconmensurable con lo geométrico. En general, para los griegos los números se reducían a los enteros (a partir del uno) y a los fraccionarios positivos, consideraban a la unidad indivisible y por ello, el proceso de división numérica era conmensurable, lo cual corresponde a un continuo discreto, dado que los enteros son un conjunto discreto. En ese sentido no pudieron percibir lo que en cálculo se llama el paso al límite, a pesar de que los desarrollos de los griegos fueron muy notorios e importantes en lo geométrico, en este campo tenían cabida las mediciones inconmensurables como un continuo estático Bagni (1996), Boyer (1986). A ellos, se debe la búsqueda del rigor matemático, de estudiar todos los resultados, principios, teoremas, en demostraciones y razonamientos lógicos. A partir de Pitágoras, la matemática se independiza de una base empírica, convirtiéndose en una ciencia abstracta que existe más allá de la realidad cotidiana del ser humano, a ellos se debe el método deductivo. Bagni (1996), González (1992). No obstante lo anterior, los integrantes de la escuela de los Eleáticos (s. VI a C.), cuestionaron los fundamentos pitagóricos del materialismo y consideraron que el universo era una unidad inmutable (indivisible). A partir de esta escuela el pensamiento matemático de los griegos cambió y se fortaleció con el pensamiento inductivo de Platón y el mundo de las ideas (la Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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matemática existe, hay que descubrirla) y el pensamiento deductivo Aristotélico (influencia que aún existe); ambos estuvieron permeados por el trabajo de Euclides. La demostración en las matemáticas de esa época, se impuso con regla y compás como método riguroso euclidiano. La tecnología con la que contaron se basó en artefactos construidos por ellos mismos, para entender una situación, para modelar un problema o para comprobar su solución; se ayudaron más con la intuición como forma de razonar sobre un fenómeno. En esta etapa, salvo por Arquímedes (s. III a C.), quien trabajó el método de exhaución de Eudoxio, para resolver problemas de áreas y volúmenes que luego demostraba por reducción al absurdo y con su método mecánico, no se perciben vestigios de procesos de variación en el pensamiento griego y según Bagni (1996) y Boyer (1986) hubo que esperar hasta la matemática del renacimiento de Europa para ello. En el s. XVI al ser retomado el trabajo de los matemáticos griegos en Europa, fue cuestionado su rigor, el cual se fue refinando paulatinamente hasta llegar al actual. Entre los trabajos destacados en Europa, se pueden mencionar el de Kepler (1571-1630), quien estudió la forma de hallar el volumen de cuerpos de revolución, descomponiéndolos en partes indivisibles. Galileo (1564-1642) determinó, que el espacio recorrido por un cuerpo era igual al área comprendida entre la velocidad y el tiempo. A su vez Cavallieri (1598-1647), alumno de Galileo, usó sistemáticamente técnicas infinitesimalistas para resolver problemas de áreas y volúmenes de cuerpos; no estuvo interesado en el rigor, sino en la practicidad de los hallazgos. Otros matemáticos importantes en este período son: Luca Valerio (1552-1618), Huygens (1596-1695), Descartes (1596-1650), y Fermat (1601-1665) quien en el año 1629 hizo dos importantes descubrimientos que están relacionados con sus trabajos sobre geometría. En el más importante de ellos, titulado “Methodus ad disquirendam maximan et miniman et de tangentibus linearum curvarum” (Métodos para hallar máximos y mínimos a una línea tangente en una curva), Fermat expone un método, eminentemente algebraico y desprovisto de fundamentos demostrativos para hallar los puntos en los cuales una función polinómica, toma un valor máximo o mínimo. Roberval (1602-1675), Torricelli (1608-1647), Wallis (1616-1703), Pascal (1623-1662), Hudde (1628-1704) y Barrow (1630-1677) entre otros. Cantoral y Resendiz (2003). En el Renacimiento, el rigor matemático cambió respecto del usado por los griegos (Geométrico), se hizo entonces necesario buscar nuevas formas de demostrar los procesos distintos a los de la geometría griega y del álgebra árabe; es decir, los problemas de variación de la mecánica clásica. En este período, la intuición como razonamiento matemático fue importante. Se encuentran diferencias en el rigor utilizado por los matemáticos de esta época y en ese sentido por ejemplo se destacan los trabajos de Descartes y Barrow. En general los Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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trabajos de estos matemáticos en el cálculo, antecedieron al de Newton (1643-1727), con la teoría de fluxiones y a la de Leibniz (1646-1716) con la teoría infinitesimal; los dos, a por caminos distintos con lenguajes también diferentes, lograron darle sentido a lo que hoy se conoce como cálculo diferencial e integral. Tanto Newton como Leibniz, usaron los infinitésimos e intentaron dejarlos de lado por las críticas que algunos pensadores como Berkeley (1685-1753) les hicieron; este hecho marca otra etapa más en el avance del rigor matemático, en el cual se tuvo que esperar hasta los trabajos de Bolzano (1741-1848), Cauchy (1789-1857) y Weierstrass (1815-1897). Bagni (1996), Boyer (1986). Síntesis y reflexiones Según los registros históricos, este trabajo encuentra seis momentos epistemológicos distintos con tres formas distintas de rigor, en el desarrollo de lo que hoy se conoce como función derivada. Ramírez (2012), son ellos: Arquímedes (287-212 a. C.), quien a través de sus trabajos y sus métodos: heurístico mecánico, Exhaustion y reducción al absurdo, estudia fenómenos de variación tanto en la mecánica como en los fenómenos naturales y el universo. Presenta un rigor diferente al de regla y compás, predominante en esa época en Grecia, logra demostrar sus mediciones de áreas y volúmenes de cuerpos y figuras en forma parecida a la realizada por Riemann (1826-1886). Con Arquímedes aparece un segundo momento en el desarrollo del rigor en matemáticas, el cual abarca hasta el s. XVIII, con Cauchy. La tecnología desarrollada y usada por Arquímedes, es ampliamente detallada en sus trabajos a través de la mecánica y por ellos, se le considera como el pionero de la ingeniería entre otros. Durán (2002). Galileo (1564-1642), quien estudió la aceleración de los cuerpos en caída libre, logró encontrar que ésta, era independiente de la masa y además que era constante, es decir que si en el primer intervalo de tiempo (t) el espacio (s) recorrido por un cuerpo era C, encontró que: s (t) = C t 2, pero no logró demostrarlo, sin embargo está comprobado que él tenía razón, que el valor de la aceleración (a) de los cuerpos que caen es constante de valor, a= 2C. Esta etapa del desarrollo de la función derivada, presenta indicios epistemológicos que corresponden a la intuición, a la observación y a la experimentación como referentes importantes, no existía la matemática con la cual se podía demostrar este hecho y por lo tanto fue un impedimento en el trabajo de Galileo, que debió esperar a dos grandes de las matemáticas. Newton (1642-1727) –Leibniz (1646-1716), quienes continuaron con el trabajo de sus predecesores como Arquímedes, Galileo, Descartes, Barrow y otros que dejaron el camino listo para que ellos dieran solución a los problemas planteados desde la mecánica y a los cuatro problemas que hasta entonces o no les hallaron solución o ella fue parcial, como lo fueron; el Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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Capítulo 1. Análisis del discurso matemático escolar

de la recta tangente, el del movimiento, el de las áreas y el de máximos y mínimos. Ellos son considerados los “padres del cálculo”, a ellos se debe el nacimiento del cálculo como dominio matemático diferente de la aritmética, la geometría o el álgebra de ese entonces. Sin embargo, como se ha reseñado, fue un trabajo de varios siglos y de innumerables personas, con ellos se da paso a un nuevo rigor, no fueron ellos los que lo formularon, pero dejaron la base lista para hacerlo, porque les hizo falta la construcción de los números reales para ello, sin embargo la intuyeron. Los tres momentos anteriores de las epistemologías del cálculo, tienen en común que sus trabajos sobre los procesos de variación estaban basados en los infinitesimales como cantidades numéricas o geométricas y que no se pudieron explicar con el rigor matemático existente hasta entonces, que la intuición fue importante en sus respectivos trabajos, así como los problemas de la mecánica, sin embargo mientras que Arquímedes trabajó en el “cálculo de áreas” con infinitésimos; Newton y Leibniz lograron presentar la derivación y la integración como procesos inversos, con lo cual sentaron las bases del teorema fundamental del cálculo. Grabiner (1983). Lagrange (1736-1813): El símbolo f´(x), para las derivadas, fue introducido en 1797 en Théorie des fonctions analytiques. Cantoral (1995), realizó un estudio Socioepistemológico, en el que evidenció que la derivada en el sentido de Cauchy es entendida como el Límite del cociente incremental, mientras que la derivada Lagrangiana es, entendida como el coeficiente lineal del desarrollo en serie de potencias de una función en torno a un punto dado. En este sentido dice también Cantoral, que esta doble apariencia no debe entenderse como formas diferentes de escribir a la función derivada, sino más bien como dos epistemologías diferentes, que en épocas diferentes aparecen, porque dice él los “usos hacen al objeto” y no al contrario. Cantoral y Mirón (2000). Desarrollando a f, entorno del punto x, con incrementos h, se tiene que: f(x+h)= a0(x)/0! + a1(x)h/1! + a2(x)h2/2! +…+… +an(x)hn/n! Reescribiendo esta expresión en términos de las derivadas de f, se tiene que: f(x+h) =f(x) + f´(x)h + f´´(x)h2/2! …+… Y, si se desarrolla esta serie en torno al punto x=a se tiene que: f(x+h) =f(a) + f´(a)(x-a) + f´´(a)(x-a)2/2! …+… Cauchy (1789-1857): quien logra construir a partir de su trabajo sobre series convergentes, la definición de la función derivada en 1823, con el rigor y formalismo actual. A partir de los trabajos de Bolzano y de Weierstrass (quien construye los números irracionales y es quien elimina los infinitésimos de los escritos matemáticos), Cantor (conjuntos) y Dedekind Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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(cortaduras) quienes logran la construcción de los números reales. Estos aportes junto con lo hecho por Cauchy, permitieron definir la función derivada como un límite. Con Cauchy se alcanza la tercera etapa del rigor matemático, tal como se concibe en la actualidad. A partir de este rigor se han generado la mayor parte de propuestas en Didáctica de la Matemática. La tecnología en esta etapa del rigor matemático se ha desarrollado vertiginosamente y en comparación con las dos etapas anteriores ha pasado de la calculadora de Pascal a las calculadoras graficadoras y programables, al pc portátil, a la internet, y al software matemático, entre otras. Grabiner (1983). Robinson (1918-1974), quien en la década de 1960, con la teoría de modelos creó una extensión de los reales, el cual corresponde al conjunto de los reales no estándar (R*). En este conjunto se cumple: Axioma de extensión. Existe una extensión ordenada y propia R*, del cuerpo R. En esta extensión R*, se define x, como: 1. Un infinitesimal en R*, si |x| 0 deve existir um delta > 0, tal que f ( x)  L < epsilon sempre que 0 < x  a < delta.” A primeira parte da frase diz que a existência do epsilon vai implicar a existência de um delta, enquanto que na última parte da frase diz que sempre que tivermos um delta satisfazendo determinadas condições, a existência de épsilon está garantida”. Uma ambigüidade e contradição enormes. Este facto é motivo do caos. Acho que as TIC podem atenuar esse caos com as diferentes possibilidades de simulação: os alunos podem ensaiar, como se fosse um jogo: será que para cada delta, tão pequeno que seja, vou encontrar um épsilon correspondente? Portanto, quem ganha o jogo, já percebe o conceito formal de limite Anderson, ao refletir sobre o conceito de limite assumiu uma postura de teórico ao dizer que “as TIC podem atenuar esse caos”, o que reflete suas perspectivas interpretativas oriundas de suas próprias experiências (Cochran-Smith e Lytle,1999). Letícia, por sua vez, percebe a utilização de softwares e/ou ambientes computacionais como importantes aliados do professor e importantes instrumentos de aprendizagem para seus alunos, na medida em que a abordagem de conceitos forem reelaboradas com a utilização de recursos das tecnologias digitais. Vejo as Tecnologias, em especial os softwares, como ferramentas que podem se tornar instrumentos de aprendizagem. Dessa forma, se tornam mais uma estratégia que pode ser utilizada pelo professor em seu trabalho diário. E sendo esse trabalho bem planejado com o uso das tecnologias poderá auxiliar no desenvolvimento da aprendizagem e no interesse do estudante. Em um dos encontros do Curso, discutíamos as potencialidades advindas de ambientes computacionais na abordagem de conceitos, levando em conta aspectos como a visualização, representação e a articulação das representações matemáticas (algébrica, gráfica e tabular), entre

outros.

A

este

respeito,

a

participante

Priscila

evidencia

que

“

o ambiente informático potencializa também a investigação pelos seus recursos diversos, pois permite mobilizar diversas representações”. Ela ainda complementa dizendo que “esta metodologia inverte o papel do professor e permite que o aluno participe da construção do conhecimento”. Nessa mesma Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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linha

de

raciocínio,

Beatriz

pontua

que

“

Acredito que a aplicação das TIC podem e muito ajudar os alunos na compreensão e fixação do conteúdo do cálculo”. Já Leonardo acredita que “O computador pode ser utilizado como um recurso estratégico alternativo para os cursos de CDI”. Neste trecho, percebemos que os professores reconhecem ao longo do debate a importância das representações matemáticas na compreensão de conceitos. Além disso, constatamos que Priscila e Leonardo são favoráveis a utilização de ambientes computacionais, pois, para eles, os ambientes computacionais potencializam as aulas, possibilitando o trabalho com atividades investigativas, e colocando os estudantes como construtores de seu próprio conhecimento. Ainda, no que diz respeito às representações matemáticas, alguns professores discutem o papel do professor com relação às representações e a relação das tecnologias com as representações. Beatriz fala para Todos: Acredito que as TICs podem sim ajudar de forma significativa a interpretação de algumas das representações. Anderson fala para Todos: é complicado e pouco significativo abordar cálculo, digamos derivada ou integral, sem mobilizar uma diversidade de representações. Como fazer? Na actividade 1 da Margareth vemos que os pesquisados, por confiarem no "senso comum", talvez por verem que o domínio da função é todo R as pessoas acharam que a função fosse contínua. Portanto a diversidade das

representações

ajuda

a

eliminar

esses

equívocos

Bianca fala para Todos: As diversas representações matemáticas levam o aluno a ampliar seu conhecimento. Neste outro trecho, Beatriz percebe a relação entre representação e tecnologia como eventos complementares, no sentido de que a tecnologia abre possibilidades para a compreensão das representações. Já Anderson, entende que a mobilização de diversas representações é muito eficaz na compreensão de conceitos de Cálculo, ao referir-se ao estudo de Derivadas e Integrais. Além disso, sugere que a utilização de diversas representações possibilitadas por ambientes computacionais ajuda a evitar alguns “enganos”, que os estudantes cometem no estudo de continuidade, por exemplo. Finalizando, entendemos que a utilização de ambientes computacionais constituem-se em um dos aspectos do conhecimento da prática docente destes professores de Cálculo, pois, estes discutiram a utilização dos recursos das tecnologias digitais quer seja por meio de pesquisas, artigos e as mais variadas literaturas, além de refletirem os efeitos da utilização das tecnologias no contexto de suas aulas de Cálculo com pesquisadores da área. Percebemos também que estes professores ao final do Curso se colocaram em uma relação diferente com relação à Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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Capítulo 5. Uso de los recursos tecnológicos en el proceso de aprendizaje de las matemáticas

abordagem dos conceitos de Cálculo levando em conta a utilização de ambientes computacionais. Além disso, de acordo com Cochran-Smith e Lytle (1999), estes professores responsáveis e comprometidos com uma educação progressiva e com a construção de maneiras alternativas para os processos de ensino aprendizagem de Cálculo, discutiram juntos os pressupostos implícitos, que tem a respeito do ensino e aprendizagem de Cálculo e da Universidade com o apoio de ambientes computacionais. Referências bibliográficas Alves- Mazzotti, A. J. (1998). O método nas Ciências Naturais e Sociais. In A. J., AlvesMazzotti e F. Gewandsznajder (Orgs.), O método nas ciências naturais e sociais: pesquisa quantitativa e qualitativa. São Paulo, SP: Pioneira Cochran- Smith, M., e Lytle, S. (1999). Relationship of Knowledge and Practice: Teacher Learning in Communities. In A. Iran-Nejad e C. D. Pearson (Eds.), Review of Research in Education (24), (pp. 249-306). Washington, DC: American Educational Research Association. Guimarães, F. (2006). Como se pensa hoje o desenvolvimento profissional do professor? Revista Quadrante, 1 e 2 (1), 169-192. Maltempi, M. V. (2008). Educação matemática e tecnologias digitais: reflexões sobre prática e formação docente. Acta Scientiae, 10 (1), 59-67. Mariano, C.R. (2008). Indícios da cultura docente revelados em um contexto online no processo da formação de professores de matemática. Dissertação de Mestrado, Educação Matemática, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, Brasil. Miskulin, R. G. S.; Perez, G; Silva, M.R.C.; Montrezor, C.L.; Santos, C.R.; Toon, E.; Liboni Filho, P.A. e Santana, P.H.O. (2006). Identificação e Análise das Dimensões que permeiam a utilização das Tecnologias de Informação e Comunicação nas Aulas de Matemática no Contexto da Formação de Professores. Bolema: de Educação Matemática, 26 (1), 103-123. Richit, A. (2010). Aspectos Conceituais e Instrumentais do Conhecimento da Prática do Professor de Cálculo Diferencial e Integral no Contexto das Tecnologias Digitais. Dissertação de mestrado, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, SP, Brasil. Roldão, M.C. (2007). Função docente: natureza e construção do conhecimento profissional. Revista Brasileira de Educação, 34 (1), 94-103. Tanuri, L.M. (2008). Formação de Professores: história, política e processos de formação. Revista Pesquisa Qualitativa, 3 (1), 73-92. Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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PRODUÇÃO COLETIVA DE CONHECIMENTO EM INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS EM GRUPOS ONLINE Felipe Pereira Heitmann, Sueli Liberatti Javaron Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” [email protected], [email protected]

Brasil

Resumo. Práticas pedagógicas restritas à entrega de material ao aluno são percebidas em diversos relatos sobre Educação a Distância no Brasil. Com o objetivo de proporcionar cenários para investigações matemáticas em grupos online, desenvolvemos e aplicamos um ambiente de aprendizagem com recursos tecnológicos específicos com alunos de graduação. Os dados coletados foram analisados sobre o referencial sintetizado pelo construto seres-humanos-com-mídia, buscando episódios nos quais fossem percebidas evidências da influência de tecnologias na produção de conhecimento matemático. Concluímos que em um ambiente de aprendizagem rico em interação e mediado por um professor foi possível desenvolver uma atividade investigativa em geometria. Concluímos também que a produção de conhecimento nesse ambiente apresenta características de colaboração. Palavras chave: seres-humanos-com-mídias, educação a distância Abstract. Pedagogical practices restricted to supplying material to the student are perceived in various reports

on distance education in Brazil. Aiming to investigate possible scenarios for mathematical investigation in online groups, we developed and applied a learning environment with technological resources on groups of graduate students. The collected data were analyzed with the theoretical construct humans-with-media, seeking for episodes where the evidence of the influence of technology in the construction of mathematical knowledge is perceived. We conclude that in a learning environment rich in interaction and mediated by a teacher it is possible to develop an activity of investigation in geometry. We also conclude that the production of knowledge in this environment presents collaboration features.

Key words: humans-with-media, distance education

  Introdução Nos últimos anos, programas governamentais baseados em Educação a Distância (EaD) como a Universidade Aberta do Brasil (UAB) e Universidade Virtual do Estado de São Paulo (Univesp), têm sido responsáveis pela expansão e interiorização da formação superior no Brasil, em especial das licenciaturas (Brasil, 2011). Entretanto, muitos são os relatos de uso dessas tecnologias apenas para entrega de material aos alunos (Sommer, 2010), deixando de lado potencialidades de interação e produção colaborativa de conhecimento que elas essas tecnologias trazem consigo. Essa pesquisa busca apontar possibilidades para a EaD além do estudo individualizado de materiais entregues aos alunos. Novas possibilidades de ensino e aprendizagem tendem a surgir quando se busca utilizar os recursos tecnológicos a fim de aprimorar essa interação e colaboração. A constituição de cenários para investigação é uma delas. Ole Skovsmose apresenta esse conceito como um contraponto ao paradigma do exercício, termo cunhado a partir da observação de que tradicionalmente, o ensino de matemática se baseia na apresentação, feita pelo professor, de ideias e técnicas matemáticas, seguidas da realização de exercícios, feitos pelos alunos e Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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selecionados pelo professor (Skovsmose, 2000). Para Skovsmose, “Um cenário para investigação é aquele que convida os alunos a formularem questões e procurarem explicações. [...] Dessa forma, os alunos se envolvem no processo de exploração.” (Skovsmose, 2000, p. 72). Com esse envolvimento, formulação de conjecturas e argumentação, acreditamos que um novo ambiente de aprendizagem, qualitativamente distinto daquele apresentado pelo paradigma do exercício, se apresenta. Nesse artigo buscamos tratar da constituição desse ambiente de aprendizagem em um cenário de educação a distância. Tendo em vista questões relativas à produção de conhecimento matemático nesse cenário, desenvolvemos a pesquisa aqui apresentada com o objetivo buscar respostas para a questão: Como as tecnologias digitais podem possibilitar a realização de investigações matemáticas em grupos online? Essa é uma questão norteadora para a pesquisa de cunho qualitativo aqui apresentada. Na busca de apoio para responder a essa questão recorremos à autores que tratam da relação entre as tecnologias e o conhecimento matemático (Kenski, 2007) e (Borba e Villarreal, 2005). Esses autores concordam que as tecnologias que utilizamos têm uma grande influência no conteúdo e na forma do conhecimento que produzimos. Utilizar essas tecnologias para aproximar aqueles que estão fisicamente distantes, para que possam trabalhar juntos em tarefas engajadoras de investigação matemática é algo que buscamos explorar nesse trabalho. Um ambiente de aprendizagem para investigações geométricas online Para constituir um ambiente de aprendizagem com cenários para investigação online, foi concebido um roteiro investigativo baseado na atividade “Explorando as Bissetrizes de um Paralelogramo” (Amaral, 2011). A procura por tecnologias que possibilitassem a constituição desse ambiente de aprendizagem partiu das pesquisas realizadas na área no Brasil (Borba, Malheiros e Amaral, 2011) e de experiências anteriores dos pesquisadores. Essa busca culminou na integração de ferramentas como editor de texto colaborativo, sala de bate- papo, software de geometria dinâmica e compartilhamento de tela em um mesmo ambiente virtual de aprendizagem. Para essas funcionalidades foram utilizados, respectivamente, o aplicativo web Google Docs, o software de geometria dinâmica Geogebra e o software de compartilhamento de tela Mikogo (ver figura 1).

Figura 1. Construção no Geogebra e Histórico de Revisões no Google Docs Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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Os registros das interações dos alunos com essas ferramentas constituem os dados utilizados para nos auxiliar na busca por respostas para a questão de pesquisa. Para tal realizamos uma atividade com o uso de ambiente de aprendizagem desenvolvido. Possibilitar o surgimento de cenários para investigação matemática online, nestes casos específicos, em geometria, era o objetivo dessa atividade, apresentada aos alunos no roteiro abaixo. Roteiro de Atividade - Explorando as Bissetrizes de um Paralelogramo Descrição: Nessa proposta de atividade investigativa, vocês devem utilizar o software de geometria dinâmica GeoGebra para realizar as construções e explorações. Leia atentamente cada passo do roteiro e tente desenvolver a atividade discutindo com o colega sobre as respostas a serem dadas para cada item. 1) Construa o paralelogramo ABCD. 2) Trace as bissetrizes dos ângulos internos deste paralelogramo. As quatro bissetrizes formam um quadrilátero EFGH. 3) O que você pode dizer sobre o quadrilátero EFGH? O que acontece quando você arrasta os pontos A, B, C ou D? 4) Que condições são necessárias para que o quadrilátero EFGH seja um quadrado? 5) Que quadrilátero vocês obtêm, quando traçam as bissetrizes do quadrilátero EFGH? Justifique sua resposta. 6) O que acontece no caso de ABCD ser um quadrado? Por quê? Participaram dessa atividade seis alunos de graduação em ciências exatas, organizados em três duplas. Os alunos se localizavam em laboratórios de informática da universidade na qual estudam, em duas cidades do Estado de São Paulo. Foi utilizado o roteiro de atividade investigativa “Explorando as Bissetrizes de um Paralelogramo”, com o auxílio das tecnologias de escrita colaborativa, chat interno para cada dupla, software de geometria dinâmica e compartilhamento de tela e chat entre todos os seis participantes e o primeiro autor desse artigo. Seres-humanos-com-mídias como lentes para leitura dos episódios A busca por um referencial teórico que possibilitasse analisar o episódio selecionado no conjunto de dados culminou na utilização do construto seres-humanos-com-mídias, apresentado em (Borba e Villarreal, 2005). O processo de estabelecimento desse construto teórico é explicitado como Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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Influenciado pela forma como Lévy e Tikhomirov discutem a relação entre tecnologias e seres humanos, essas ideias foram ampliadas e sintetizadas em Borba e Villarreal (2005), que, apoiados em um vasto conjunto de pesquisas, afirmam que o conhecimento é produzido por coletivos de seres-humanos-com-mídias. Seres humanos são fundamentais para a produção de conhecimento, assim como a mídia também o é. (Borba, Malheiros e Amaral, 2011, p. 87). Concebendo que o conhecimento não é produzido somente pelo humano, mas por um coletivo de seres-humanos-com-mídias, salientamos que os diferentes coletivos de diferentes seres humanos com as mais distintas mídias, produzem conhecimentos distintos de formas diferentes. Nessa perspectiva, não somente o conhecimento produzido é moldado pelas mídias, mas o próprio humano também o é, e da mesma forma, este molda e desenvolve as mídias que o modificam num processo de moldagem recíproca. Por exemplo, a escrita está sendo moldada pelas tecnologias que exigem que digitemos cada vez mais rápido, usando novos símbolos e códigos, para que possamos nos comunicar e socializar em ambiente com chat. Esse processo modifica o que para nós é a escrita. A internet passa a ter um papel importante enquanto mídia com sua incorporação em nossa cultura cognitiva, tornando-nos seres-humanos-com-internet. Ela condiciona como conhecemos, de acordo com as pesquisas realizadas no Brasil. É com base nessa perspectiva que afirmamos que seres- humanos-com-internet produziram conhecimento no chat. E mesmo esse coletivo pode ser distinguido entre os “com-chat” ou “com-videoconferência”. [...] da mesma forma como o ato de “passar a caneta” (manipulando o mouse no computador do professor) representa uma possibilidade qualitativamente diferente de colaboração, nem sempre possibilitada de forma natural em ambientes presenciais (Borba, Malheiros e Amaral, 2011, p. 90-91). A partir desse referencial teórico, e buscando indicativos de coletivos de seres-humanos-com(chat, geogebra, mikogo, google docs, papel, etc.) que procedemos a análise de um episódio selecionado dentre o conjunto de dados. Episódio analisado Tendo em mãos os dados coletados nessa atividade, procedemos com a análise buscando explicitar as evidências de coletivos de seres-humanos-com-mídias emergindo dos dados e as influências das mídias em cada um dos processos. Devida à impossibilidade de apresentar todo o conjunto de análises realizadas, nos limitamos à apresentação nesse artigo de um episódio Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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que emergiu na análise das investigações da dupla Elias e Maria durante essa atividade. Os nomes são fictícios para manter a privacidade dos alunos. A análise do histórico de revisões do roteiro-relatório mostra que às 17h01min os alunos começam a responder as atividades. Todas as respostas são escritas por Elias, nesse momento, como na questão 4 do roteiro. 4. O que você pode dizer sobre o quadrilátero EFGH? Formam um retângulo. (Resposta ao roteiro de atividade às 17h01min) São respostas, de início, fechadas, sem muitas discussões. Os movimentos de escrita começam a aparecer às 17h08min, quando Elias modifica a resposta de “Formam um retângulo.” para “É um retângulo”. Ás 17h18min, Elias esboça justificativas maiores sobre as respostas dadas às questões 3 e 4. Na questão 4, o aluno insere ao final da resposta o texto “, pos”, que interpretamos como um “, pois”, dando início à escrita de uma justificativa mais detalhada. Esse processo se dá no mesmo instante em que ocorre a seguinte discussão no chat do Mikogo, com todos os participantes: Elias: com que precisão temos que justificar as respostas? Felipe: justifiquem de forma que os dois concordem com o que foi escrito, usem o que vocês já sabem. Após a resposta dada pelo pesquisador, Elias volta atrás e mantém com as respostas fechadas, excluindo o “, pos”. Com esse movimento percebemos a legitimação de uma resposta, dados os critérios de justificativa solicitados. Nesse caso, o que o aluno estabelece enquanto conhecimento válido e justificado é diretamente influenciado pelo professor da atividade. Devido à presença do chat como mídia nessa atividade e possibilidade de comunicação em tempo real com o professor, que o aluno aceita sua resposta inicial como legítima. Podemos dizer que nesse episódio o conhecimento sobre o quadrilátero em questão é produzido pelo coletivo de seres-humanos-com-chat, já que esse teve um papel fundamental ao estabelecer o que é uma resposta adequada a uma questão matemática. Em outro momento, ocorre uma discussão no chat da dupla, promovida pelo professor. Felipe: como está a questão 7, conseguiram pensar nela? Elias: Sim. Usando a resposta anterior formará um quadrado, sempre que o quadrilátero inicial for mesmo um paralelogramo, não retângulo.

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Maria: caso contrário, se for um retângulo, formará um ponto. Ainda estamos testando, talvez a resposta sofra alterações. (Chat da dupla Elias e Maria) A partir desse excerto observamos um momento no qual a dupla utiliza o chat da ferramenta de escrita colaborativa para se comunicar. Percebemos que Elias apresenta uma resposta para a questão, excluindo a possibilidade de o quadrilátero ser um retângulo. Logo em seguida Maria observa o que pode acontecer se o quadrilátero for um retângulo. Não apresenta uma resposta direta como a de Elias, mas levanta uma conjectura e afirma que está realizando experimentações para certificar-se do fato. Após alguns minutos manipulando a construção para certificar-se da resposta, Maria redige uma afirmativa para a questão 7. 7. Que quadrilátero vocês obtêm, quando traçam as bissetrizes do quadrilátero EFGH? Justifique sua resposta. “Usando a resposta anterior como base, formará um quadrado sempre que o quadrilátero inicial for mesmo um paralelogramo, não retângulo. Caso contrário, se for um retângulo, formará um ponto.” (Relatório de investigação da dupla Elias e Maria). Percebemos nesse episódio a comunicação entre os estudantes provocando conjecturas que levam à experimentações e argumentações matemáticas. Esse é o objetivo geral da atividade, a constituição de cenários para investigação, que possibilite aos alunos conjecturar, discutir, experimentar e elaborar argumentos matemáticos para suas afirmações. Os alunos estão se comunicando pelo chat e realizando experimentações utilizando o software de geometria dinâmica. Nesse caso, podemos afirmar que o coletivo que produziu o conhecimento para resposta da questão 7 é composto por seres-humanos-com-chat-egeometria-dinâmica, já que os processos de experimentação para verificação da conjectura de Maria seriam demorados e desestimulantes sem a presença do Geogebra, como mídia nesse ambiente. Aqui a comunicação por chat também desempenhou um papel relevante na produção do conhecimento por manter o registro por escrito do que está sendo discutido. A identidade entre o texto presente no chat e no relatório, inclusive quanto à pontuação e espaçamento, sugere que o texto foi copiado e colado entre os processos de discussão e estabelecimento de respostas para a questão. Esse é um tipo de conduta que dificilmente vigora quando se utiliza somente a oralidade para a discussão de um tópico, já que essa carrega características qualitativamente distintas da linguagem escrita, o que acaba produzindo uma modificação na terminologia quando se produz a resposta por escrito. Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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Considerações finais Considerando a análise realizada no episódio aqui apresentado, podemos esboçar respostas à questão colocada inicialmente “Como as tecnologias digitais podem possibilitar a realização de investigações matemáticas em grupos online, num determinado contexto de EaD?” Percebemos que as tecnologias, ou mídias utilizadas moldam a atividade de produção de conhecimento matemático, assim como apontado por Borba e Villarreal (2005). Nesse caso específico, a utilização do chat para conversas entre os alunos e com o pesquisador na atividade, as possiblidades de escrita colaborativa com a facilidade de alteração do texto de uma resposta, em tempo real, assim como o potencial de construção e manipulação de construções geométricas dinâmicas, moldaram o conhecimento produzido nessa atividade. Podemos afirmar que as respostas às questões investigativas foram elaboradas por sereshumanos-com-chat-escrita-colaborativa-e-geometria-dinâmica. Evidências dos processos de conjectura, experimentação e busca por argumentos matemáticos estão presentes nos dados coletados nesse ambiente de aprendizagem especialmente desenvolvido para investigação em grupos online. Acreditamos, portanto, que as tecnologias presentes no ambiente de aprendizagem apresentado aqui, podem possibilitar a constituição de cenários para investigações matemáticas, num contexto de EaD online. Ressaltamos, porém a efemeridade destes cenários para investigação, que ocorrem em momentos que se intercalam com a imposição de afirmativas individuais não debatidas pelo grupo, e que muito se assemelham às respostas prontas que dominam os cenários no qual o paradigma do exercício vigora. Referências bibliográficas Amaral, R. B. (2011). Argumentação matemática colaborativa em um ambiente online. Acta Scientiae, 13 (1), 55-70. Borba, M. C., Malheiros, A. P. S. e Amaral, R. B. (2011). Educação a Distância online. Belo Horizonte: Autêntica Borba, M. C. e Villarreal, M. (2005). Humans-with-Media and the Reorganization of Mathematical Thinking: Information and Communication Technologies, Modeling, Visualization and Experimentation. Nova York: Springer. Brasil. (2011). Censo da Educação Superior, INEP/MEC. Kenski, V. M. (2007). Educação e Tecnologias: o novo ritmo da informação. Campinas: Papirus.

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Skovsmose, O. (2000). Cenários para investigação. Bolema: Boletim de Educação Matemática 14, 66-91. Sommer, L. H. (2010). Formação inicial de professores a distância: questões para debate. Em Aberto 23(84), 17-30.

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O USO DE VÍDEOS EM UM AMBIENTE DE APRENDIZAGEM MULTIMODAL Nilton Silveira Domingues Univ. Estadual Paulista [email protected]

Brasil

Resumo. Tenho investigado o uso de vídeos em aulas de matemática em nível de Iniciação Científica e

atualmente em meu mestrado. O objetivo desse artigo é discutir minha proposta de trabalho na disciplina de Matemática Aplicada, que consiste em um ambiente de aprendizagem multimodal, nas quais houve apresentação de vídeos pelo professor em sala de aula e produção e/ou edição de vídeos pelos alunos para o trabalho final da disciplina. A pesquisa supracitada está imersa em um viés qualitativo, pois analiso as particularidades do uso de vídeo em uma turma de alunos, por meio de observação das aulas, diário de campo, questionário avaliativo e entrevistas. Este estudo contribui com discussões no que diz respeito ao uso de vídeos em Educação Matemática, especificamente nas aulas de cálculo I de matemática. Palavras chave: educação matemática, vídeos, multimodalidade, cálculo I Abstract. I have investigated the use of videos in math classes since my undergraduate research and most

recently, in my masters. The aim of this paper is to discuss my proposal in the context of Applied Mathematics course, which has been seen as a multimodal learning environment, where the instructor presents videos in his classes and the students produce and edit videos as their final assignments. The research above is conducted through the lenses of qualitative research, because I analyze particularities in the use of videos made by a group of students through observation of the classes, field notes, surveys and interviews. This study contributes to discussions on the use of videos in mathematics education, in particular to teaching and learning Calculus.

Key words: mathematics education, videos, multimodality, calculus I

  Introdução Nesse artigo, discuto a utilização de vídeos em aulas de matemática, para isso apresento a análise inicial de meus dados do mestrado que foram apresentamos como comunicação científica no RELME 26. Investigo sobre o uso de vídeos em aulas de matemática desde 2008, quando me tornei membro do GPIMEM - Grupo de Pesquisa em Informática, outras Mídias e Educação Matemática, que “[...] estuda questões ligadas às tecnologias na Educação Matemática refletindo sobre as mudanças que trazem a inserção das Tecnologias da Informação e Comunicação na Educação” (Gpimem, 2012). Iniciei meus estudos relacionados ao uso de vídeos em nível de Iniciação Científica, por meio de dois projetos, financiados pelo CNPq (2008/2009 processo: 110970/2008-0) e PIBIC (2009/2010 processo: 121662/2009-8), respectivamente, com os seguintes temas: “Modelagem Matemática no CVM e a exploração de novos recursos nesse ambiente virtual” e “Modelagem Matemática e Vídeos em um Curso de Ciências Biológicas”. Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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Estes projetos me impulsionaram a continuar investigando sobre o uso de vídeos em sala de aula, pois pude perceber a falta de discussão sobre esta temática na área de Educação Matemática. Algumas leituras indicam que a discussão sobre as possibilidades do vídeo para a educação não é nova. Não somente a comunicação se fez assim universal no espaço. Como também, com novos recursos técnicos, se estendeu através do tempo, podendo o homem em uma simples sessão de cinema visualizar as civilizações ao longo da história, como sucedem nos grandes espetáculos modernos em que a cultura antiga é apresentada de forma nem sequer sonhada pelos mais ambiciosos historiadores do passado. (Teixeira, 1963, p. 144) (Moran, 1995), também discute possibilidades de utilização de vídeos, porém relata de maneira geral, não apresentando situações ocorridas em sala de aula. O vídeo está umbilicalmente ligado à televisão e a um contexto de lazer, de entretenimento, que passa imperceptivelmente para a sala de aula. Vídeo, na concepção dos alunos significa descanso e não “aula”, o que modifica a postura e expectativas em relação ao seu uso. Precisamos aproveitar esta expectativa positiva para atrair o aluno para os assuntos do nosso planejamento pedagógico. (Moran, 1995, p. 27) Autores como (Santagata e Guarino, 2011) relatam sobre o uso de vídeos para cursos de formação de professores e (Borba e Scucuglia, 2009) trazem discussões sobre vídeos performáticos em educação. Com essas leituras, pude notar que ainda há poucas pesquisas empíricas que relatam sobre aplicações diretas de vídeos em aulas de matemática e analisem a interação dos alunos com os vídeos. A partir disso, elaborei juntamente com o Professor Dr. Marcelo de Carvalho Borba, uma proposta de utilização de vídeos em aulas de Cálculo I. Acompanhei aulas de Matemática Aplicada em um curso de Ciências Biológicas, na UNESP, campus de Rio Claro-SP. Nestas aulas, desde 1993, o professor Marcelo Borba ministra a disciplina com diferente mídias tornando a sala de aula um ambiente de aprendizagem multimodal. Nestas aulas o professor está sempre inovando suas práticas pedagógicas, fazendo pesquisa, que originaram dissertações e teses do GPIMEM, e utilizando diferentes mídias como lápis e papel, calculadoras gráficas, Winplot, Geogebra, PowerPoint, dentre outras.

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Estas aulas estão localizadas no chamado ambiente de aprendizagem multimodal, que consiste em ambientes de sala de aula nos quais professores e estudantes utilizam e interagem com diferentes tipos de textos multimodais e por meio de atividades pedagógicas diversificadas que envolvem diversos conteúdos do currículo (Walsh, 2011). Nossa pesquisa consistiu na exibição de alguns vídeos em sala de aula e na proposta de edição ou produção de um vídeo nos trabalhos de modelagem matemática. Com relação à proposta de modelagem matemática, o professor trabalha na perspectiva que é entendida como uma estratégia pedagógica que privilegia a escolha de temas pelos alunos para serem investigados e que possibilita aos estudantes a compreensão de como conteúdos abordados em sala de aula se relacionam às questões cotidianas (Borba, Malheiros e Amaral, 2011). Ressalto que minha contribuição nesse processo se deu em pesquisar e selecionar os vídeos assistidos em aula e auxiliar os alunos na produção dos vídeos dos trabalhos. Para isso ministrei, juntamente com meu orientador, um minicurso sobre edição de vídeos no editor presente no YouTube. Fundamentação teórica Com relação ao referencial teórico para utilizar e selecionar os vídeos me apoiei em Moran, (1995) que recomenda iniciar a aula com vídeos mais simples e depois ir aumentando o grau de dificuldade, para que os alunos não se sintam frustrados, selecionar vídeos para introduzir tópicos e mostrar experimentos que não se tem possibilidade de realizar em sala devido à falta de materiais, dentre outras dicas de uso. Moran (2005) comenta sobre as múltiplas formas do aprender. Percebe-se aproximação das ideias do autor com a proposta dos vídeos. A sala de aula pode ser o espaço de múltiplas formas de aprender. Espaço para informar, pesquisar e divulgar atividades de aprendizagem. Para isso, além do quadro e do giz, precisa ser confortável, com boa acústica e tecnologias, das simples até as sofisticadas. (Moran, 2005, p.11-12) No que diz respeito à discussão da produção do conhecimento dos alunos por meio dos vídeos assistidos e/ou produzidos me apoio no constructo teórico seres-humanos-com-mídias, proposto por (Borba e Villareal, 2005). Este constructo enfatiza seres humanos são impregnados de diferentes tecnologias, da mesma forma como as tecnologias são impregnadas de humanidade, assim, ambos formam uma unidade que pensa em conjunto. Em outras palavras a produção de conhecimento é um processo realizado por coletivos formados por atores humanos e não humanos. Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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Já com relação à noção de ambiente de aprendizagem multimodal me baseio em (Walsh, 2011), que define este ambiente de forma semelhante às aulas que relato nesse artigo. Procedimentos metodológicos O contexto dessa pesquisa é de cunho qualitativo, pois “pesquisas que utilizam abordagens qualitativas nos fornecem informações mais descritivas, que primam pelo significado dado às ações” (Araújo e Borba, 2004, p. 24) e “os métodos qualitativos enfatizam as particularidades de um fenômeno em termos de seu significado para o grupo pesquisado” (Goldenberg, 2007, p. 49). Conforme mencionado, acompanhei uma turma de alunos matriculados na disciplina de matemática aplicada, que tem ementa semelhante à de cálculo I. Nessas aulas foram assistidos alguns vídeos. Também foi proposto, como trabalho final da disciplina, a produção e/ou edição de um vídeo. Os dados gerados nessas aulas consistiram em versões parciais e finais dos grupos, notas de campo, materiais utilizados nas apresentações, gravações das apresentações, questionário avaliativo e entrevistas realizadas com os grupos. Foram gravadas as apresentações e as entrevistas, para que possa ser revisto as cenas com mais detalhes, voltando várias vezes uma mesma gravação (Powell, Francisco e Maher, 2004). As notas de campo consistem em anotações realizadas durante a observação das turmas. O questionário avaliativo continha questões relacionadas às aulas, aos vídeos e ao trabalho com vídeos. As entrevistas consistiam em entrevistas semiestruturadas. Entrevistas semiestruturadas [...] combinam perguntas abertas e fechadas, onde o informante tem a possibilidade de discorrer sobre o tema proposto. O pesquisador deve seguir um conjunto de questões previamente definidas, mas ele o faz em um contexto muito semelhante ao de uma conversa informal. (Boni e Quaresma, 2005, p. 75) O processo de análise dos dados está em andamento e como tenho bastante dados e de diferentes naturezas, realizarei a triangulação de dados (Araújo e Borba, 2004). Apresentação dos dados e das análises Proposta A proposta com vídeos nas aulas acompanhadas ocorreu em dois momentos: 1. Vídeos apresentados pelo professor em sala de aula; 2. Vídeos produzidos e/ou editados pelos alunos para o trabalho final da disciplina. Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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Nessas aulas, diversos recursos, formas de linguagens e expressões foram utilizadas. São eles: o vídeo, o PowerPoint, aulas expositivas, Prezi, o software GeoGebra, discussões em grupo, a prática do aluno ir na lousa e explicar para a turma, dentre outros. Vídeos apresentados em aula Os vídeos apresentados em aula consistiam em vídeos selecionados na internet, em sites como o (Gapminder, 2012), (YouTube, 2012) e (Coleção M3, 2012). Esses vídeos continham palestras, situações problemas e produções de alunos postadas na internet (ver figura 1).

Figura 1. Vídeos assistidos em aula Com relação aos vídeos assistidos, trabalhamos de duas maneiras. A primeira foi passar primeiramente o vídeo, para depois, por meio de discussões, utilizar o vídeo para introduzir conteúdos ou mesmo fazer relações com o assunto que seria abordado em aula. A segunda maneira consistiu em trabalhar um determinado tópico ou exercício para posteriormente visualizar o vídeo e discutir o assunto. Vídeos produzidos e/ou editados pelos alunos Os trabalhos finais da disciplina eram realizados em grupos de duas a cinco pessoas. Os vídeos produzidos e/ou editados pelos alunos foram de diferentes naturezas como, narrativas feitas pelos alunos com imagens, edições avançadas como o grupo que utilizou a técnica stop moction para apresentar sobre o tema fotografia e produção de um vídeo onde há um diálogo que permeia um roteiro com falas sobre o tema “Fractais” (ver figura 2). Devido ao fato de deixarmos a proposta aberta para produção ou edição dos vídeos, cada grupo realizou um vídeo diferente. Os temas dos trabalhos apresentados foram: (a) Fractais (b) Número de ouro (c) fotografia (d) Matemática e música (e) Matemática e a Guerra (f) A importância da matemática nos estudos fitossociológicos (g) Neurociências (h) Tempo. Todos os vídeos podem ser acessados no (Canal GPIMEM, 2012).

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Figura 2: Vídeos produzidos pelos alunos Análises Iniciais Pela análise inicial dos dados, percebe-se que os alunos se empenharam e divertiram com a elaboração dos trabalhos. Mas houve reclamações no sentido de tomar muito tempo e o minicurso ser específico do YouTube. Não surgiram limitações como falta de materiais para a produção dos vídeos. Acredito que esta proposta pode contribuir para a contextualização da parte matemática dos temas com os vídeos, visto que cada aluno tem uma percepção aguçada, alguns têm uma percepção mais visual, outros mais auditiva e outros mais táteis e o vídeo de certa forma, pode propiciar essas três formas. Neste momento, as análises me levam a perceber que o vídeo está presente como uma forma auxiliadora do trabalho escrito tanto como material de pesquisa, que em alguns casos substituiu a busca usualmente realizada em textos, como complementação do trabalho expandindo, ilustrando e realçando fatos que passariam “despercebidos/desfavorecidos” na fala oral. E dentro dessa “complementação” surgiram categorias como divulgação do tema trabalhado, “descontração” em que o grupo utilizou uma técnica de filmagem, verbalização do conteúdo estudado, vídeo como produto para a apresentação do seminário, recortes de documentários para gerar aprendizado sobre o tema, dentre outros. Considerações finais Esse estudo, ainda em andamento, pode contribuir para discussões sobre:  O uso de vídeo em aulas de matemática;  A produção de vídeos por alunos em aulas de matemática por meio da modelagem matemática.  Como ocorre a reorganização do pensamento dos seres humanos em contato com diferentes mídias, em epecial, o contato com os vídeos.

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Com relação ao primeiro item, vídeos assistidos, os alunos julgaram esses vídeos como: facilitadores, dinâmicos, realçar aplicação da matemática no cotidiano, ampliar e ilustrar conceitos/processos biológicos e matemáticos, ser mais atrativo por ter forma/linguagem diferente, consistir em uma ferramenta complementar. Nesta primeira análise, algumas falas dão indícios de que o vídeo, assistido em aula, tem que ser usado de maneira sucinta, passando informações referentes ao tema trabalhado como em um documentário, para servir de fonte de estudo, onde quem não entendeu tem a possibilidade de assistir em outro momento. Com relação ao segundo item, os trabalhos de modelagem, nota-se que os alunos enfatizaram a importância de poder escolher o tema, porém relataram que deveria ser obrigatório ter relação com a matemática, para dar mais sentido o trabalho com a disciplina. Ainda com relação a estes trabalhos, os alunos relataram que esta prática é importante para a formação acadêmica, pois eles aprenderam a criar/editar vídeos, uma vez que isso é novo para alguns, mas que pode vir a ser uma tendência futura. Gostaram da proposta por ser viável, uma vez que a câmera digital não é algo difícil de obter no meio universitário, além de trabalhar a noção de síntese/tempo para a produção do vídeo. Os alunos relataram já ter tido experiência em outras disciplinas e que o vídeo ajuda a transmitir o conteúdo de uma forma não usual (não menos interessante), além de permitir conhecimento e aplicações do assunto na vida de várias pessoas. Com relação ao terceiro item, tenho uma concepção que diferentes mídias proporcionam diferentes aprendizagens e significados dentro de um mesmo tema. Essa discussão requer uma rigorosa análise que poderá ser parte da minha dissertação de mestrado, portanto não entrarei em detalhes nesse artigo, embora tenha discutido algumas coisas durante minha apresentação no RELME 26. Começo a pensar que o vídeo teve um destaque com relação às outras mídias presentes na sala de aula, visto que os alunos relataram que ele contextualiza e serve como material de estudo. O fato do vídeo ser bem aceito nos trabalhos de modelagem mostra que os alunos deram destaque a essa experiência, manifestando interesse em trabalhar com essa tecnologia para sua formação acadêmica e pela liberdade de expressão presente neste meio. Os próximos passos nesta pesquisa, que poderão originar futuros artigos, consistem na escolha de alguns destes trabalhos para investigar, cuidadosamente, a produção desses alunos em forma de episódios. Ao utilizar o termo “cuidadosamente”, me refiro a transcrever as apresentações e entrevistas dos grupos escolhidos e juntamente com os questionários e trabalhos finais entregues, tentar trazer contribuições com relação ao uso de vídeos na aprendizagem dos alunos.

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ESTUDOS GRÁFICOS DAS VARIAÇÕES DOS COEFICIENTES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA COM O AUXÍLIO DO SOFTWARE GEOGEBRA José Milton Lopes Pinheiro, Marger da Conceição Ventura Viana, Nilson de Matos Silva Universidade Federal de Juiz de Fora e Universidade Federal de Ouro Preto Brasil [email protected], [email protected], [email protected] Resumo. Pretendemos, neste trabalho, observar como os estudantes estudam a variação dos coeficientes da

função quadrática f(x) =ax²+ bx+c (a, b e c  e a ≠ 0), com a utilização do software GeoGebra e verificar se isto facilita a compreensão do desenho gráfico desta função. Para isto elaboramos e aplicamos um teste em uma turma de alunos de um Curso de Licenciatura em Matemática e, em seguida, ministramos um minicurso sobre o GeoGebra para os mesmos. Após a realização do minicurso, reaplicamos o teste. No primeiro teste, os estudantes tiveram facilidade de compreensão em relação ao sinal do coeficiente a, porém, a variação modular foi um desafio e constatamos um alto índice de erros relacionados ao coeficiente b. Quanto ao coeficiente c, houve facilidade. Após a intervenção com o software GeoGebra, houve uma evolução no entendimento da conseqüência da variação do coeficiente b no gráfico da função.. Palavras chave: função quadrática, coeficientes, GeoGebra Abstract. Using the software GeoGebra, in this work we observed how students come to understand variation in

the quadratic function coefficients f(x) =ax²+ bx+c. In this study, we made us of a pre/post test strategy of pre-service teachers. Durign the study, the students were provided with an introduction to GeoGebra. Upon completation of the workshop the test was reapplied and the results of the two tests were compared. In the first test it was easy for the students to compare the coefficients a, nevertheless, the modular variation was a challenge. No difficulties were noted in using the coefficient b, however we found a high rate of errors related to the coefficient b. However, after the introduction of the GeoGebra software, there was an evolution in the understanding of coefficient variations. Key words: quadratic function, coefficients, GeoGebra

  Introdução O estudo variacional dos coeficientes da função quadrática não é uma proposta inédita, tratase de um assunto já discutido por alguns autores na área da Matemática e da Educação Matemática. No entanto, o presente estudo foi motivado por nossas inquietações com a compreensão dos estudantes sobre a variação dos coeficientes da função quadrática, durante a realização de um estágio supervisionado curricular em duas turmas do primeiro ano do Ensino Médio, em escolas das redes particular e pública do Estado de Minas Gerais, Brasil. Embora os professores das referidas turmas explicassem com rigor os detalhes das variações dos coeficientes da função quadrática, principalmente os coeficientes b e c, e, sobretudo as implicações destas variações em seus desenhos gráficos, os estudantes percebiam muito pouco. Tendo conhecimento das possibilidades de serem utilizados outros meios de ensino, decidimos pelo uso de um software de geometria dinâmica. Por razões técnicas e econômicas, elegemos Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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o GeoGebra, por ser um software livre e rodar na Plataforma Linux que é usada na rede pública de ensino de Minas Gerais. Assim, o que realizamos foi um estudo para verificar como os estudantes compreendem as variações dos coeficientes da função quadrática com o auxílio de uma ferramenta computacional, o software GeoGebra. Com isso o objetivo de nosso estudo consistiu em verificar se com o auxílio com o auxílio do software os estudantes aumentam a compreensão das alterações que o desenho gráfico apresenta ao variar os coeficientes a, b e c da função quadrática. Para viabilizar a consecução do objetivo foi necessário apresentar e esclarecer (aos estudantes) como utilizar o software GeoGebra no estudo gráfico da função f(x) = ax²+ bx+c. Para o desenvolvimento desta pesquisa, partimos de uma busca bibliográfica. A pesquisa a princípio de natureza qualitativa, necessitou de técnicas que envolveram aplicação de testes e análise quantitativa das respostas dos sujeitos da pesquisa. Nossas observações e explorações conduziram a uma discussão das implicações destas mesmas variações sobre os movimentos da parábola, que é o desenho gráfico representativo da função quadrática. Neste artigo, os resultados das respostas dos alunos aos testes que indagavam quanto às variações dos coeficientes a, b e c, serão revelados em gráficos com enfoque maior para o coeficiente b, que nos pareceu menos explorado em pesquisas com esse viés. Segundo Jacubo, Lelis e Centurión (2001), no desenho gráfico da função quadrática, que é uma parábola, a variação modular do coeficiente a implica em uma parábola mais aberta ou mais fechada. Já a condição a > 0 (positivo) ou a < 0 (negativo), resulta na orientação, para cima/para baixo, da concavidade da parábola. De acordo com Dante (2000), relacionando os sinais dos coeficientes a e b, é possível determinar a localização do vértice da parábola, quando os sinais de a e b são os mesmos, o vértice da parábola se localizará à esquerda do eixo das ordenadas, quando os sinais forem diferentes, o vértice se portará a direita.O coeficiente c é representado graficamente pela ordenada do ponto de intersecção da parábola com o eixo y. O uso das ferramentas computacionais na educação matemática As ferramentas computacionais podem favorecer o aprendizado da Matemática ao possibilitar aos alunos uma melhor compreensão dos conceitos matemáticos. Permitem trabalhar com a Matemática intuitivamente ao proporcionar meios que auxiliam na construção e visualização de gráficos e figuras e na resolução de problemas cujas soluções exigem cálculos algébricos extensos que demandam tempo para a sua realização e verificação (Viana, 2004).

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Assim, o processo de construção do conhecimento de objetos matemáticos, com contextos complementares que envolvam gráficos, interpretação algébrica e numérica, pode ser favorecido pela utilização das tecnologias computacionais; porém, deve-se ressaltar que a qualidade do ensino depende, em grande parte, da qualidade das tarefas propostas aos estudantes e não apenas da disponibilidade ou emprego de tecnologias computacionais (Freitas, 2009; Albuquerque, 2008). Com isso, o processo de ensino e aprendizagem pode ocorrer de forma diferente, pois com ferramentas computacionais existe a necessidade de conjugação de cálculos exatos com cálculos aproximados o que pode contrapor objetivos algébricos e numéricos. Apesar dos inúmeros benefícios proporcionados pela Informática (Borba e Penteado, 2001) fazem algumas considerações apontando dificuldades para sua implantação nas escolas, embora não sejam obstáculos. O Laboratório de Informática exige um eficiente suporte técnico, que às vezes é precário e para muitos professores existe dificuldade em desenvolver atividades dentro do laboratório, o que pode mudar ou interromper a dinâmica da sala de aula. Mas após adquirir conhecimento suficiente e estar familiarizado com o uso da tecnologia, o professor consegue desenvolver e aperfeiçoar técnicas para ensinar determinado conteúdo e a tecnologia abre um leque de opções a serem aplicadas dentro ou fora da sala de aula (Frota e Borges, 2004). Por outro lado, conforme Bicudo (2000, p.7), “em situação de aprendizagem, o conhecimento se constrói sob novas configurações estruturadas de maneiras específicas quando os sujeitos atuam em sistemas seres humanos-mídia”. E, portanto é necessário assumir as ferramentas computacionais como componentes do ambiente em que ocorre a aprendizagem e não como meros instrumentos. Em alguns cursos de formação de professores já existe uma disciplina denominada Ambientes Informatizados. Caracterização do campo de pesquisa Foram convidados a participar dessa pesquisa dez alunos de uma turma do terceiro período do curso de Licenciatura em Matemática de uma Instituição Pública de Ensino Superior, situada em uma cidade da região metropolitana de Belo Horizonte, Minas Gerais. Os alunos ainda não possuíam conhecimentos relativos ao software GeoGebra e concordaram em participar da pesquisa.

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Construção da pesquisa Para realizar este estudo, tomamos como norteadores a Tendência da Informática na Educação Matemática, apoiados em Borba e Penteado (2001) e em Penteado (2000) e o conhecimento específico sobre representação gráfica da função quadrática em Dante (2000). Com o suporte desses teóricos, preparamos um primeiro teste, composto por 15 questões, que envolviam as variações modular e de sinal dos coeficientes a, b e c da função quadrática. Após a realização do primeiro teste, colhemos todos os dados para uma análise futura. Em seguida os alunos participaram de um minicurso com o GeoGebra. Após sua realização aplicamos um segundo teste. Assim, foi possível efetuar comparações dos resultados dos dois testes realizados (antes e após a realização do minicurso). Análise dos resultados Variação modular do coeficiente a Na primeira atividade – Teste 01 e Teste 01a – definimos como referência o gráfico da função quadrática f(x) = kx , em que k ≠ 0, k  2

e é uma constante. No teste T01, apresentamos

um gráfico representado por uma parábola mais fechada que é o gráfico referência. Já no teste T01a, esboçamos outro gráfico com a parábola mais aberta em relação à referência. As perguntas consistiam em saber o que ocorre graficamente com o aumento ou diminuição do valor de k e em assinalar uma das opções dadas. Conforme o Gráfico 1 mostrado a seguir, é possível observar um considerável aumento no número de acertos dos alunos no teste T01a em comparação com os do teste T01 realizado antes da participação no minicurso sobre o GeoGebra.

Gráfico 1– Acertos T01/T01a.

Fonte: Dados da pesquisa.

O progresso dos resultados apresentados para os testes T01 e T01a, em sua segunda aplicação, aponta para a influência das atividades desenvolvidas com o software Geogebra, sob 2

nossa orientação, nas quais tomamos como referência a função f(x) = kx . Sugerimos aos alunos que variassem os valores de k, alternando números inteiros e fracionários. Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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Testes envolvendo a variação do sinal do coeficiente a No primeiro teste, como mostra o Gráfico 2, a seguir, 99% dos participantes acertaram as questões relativas à representação gráfica das variações do coeficiente a. Já para o segundo teste, o índice de acerto das questões referentes ao mesmo coeficiente alcançou os 100%, conforme mostra o Gráfico 3, o que pode evidenciar ênfase dada ao coeficiente a no ensino da função quadrática.

Gráfico 2 – Coeficiente a - 1º teste

         

Gráfico 3– Coeficiente a - 2º teste.

Testes envolvendo a variação de sinal do coeficiente b

Gráfico 4 – Coeficiente b - 1º teste

        

Gráfico 5 - Coeficiente b - 2º teste

A análise dos Gráficos 04 e 05 aponta para uma possível deficiência no estudo e compreensão relacionados ao coeficiente b da função quadrática, o que nos remete a uma reflexão mais detalhada sobre o entendimento da variação desse coeficiente, pelos alunos participantes da pesquisa. Fazendo uma breve comparação dos resultados do estudo das variações do coeficiente a com o estudo do coeficiente b, verificamos que os graduandos apresentaram um domínio muito superior ao das variações relacionadas ao coeficiente a, o que corrobora nossas expectativas do início da pesquisa. Testes envolvendo a variação de sinal do coeficiente c

Gráfico 6 - Coeficiente c – 1º teste

     

Gráfico 7 - Coeficiente c – 2º teste Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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Tomando como base as respostas para o estudo das variações relacionadas com o coeficiente c, percebemos pelos gráficos 6 e 7 que os alunos apresentaram bom conhecimento ao interpretar esse coeficiente e a representação gráfica de suas variações. Representação dos acertos/erros das questões completas – variação de a, b e c

       Gráfico 8 - Questões completas-1º Teste

Gráfico 9 - Questões completas – 2ºTeste

No primeiro teste, somente 39% dos pesquisados acertaram as questões completas. Após a intervenção com a apresentação e utilização do GeoGebra, obtivemos uma elevação do índice de acertos para 87%. Os Gráficos 8 e 9 apresentam a culminância da nossa pesquisa, apontando para a veracidade da influência positiva do uso do GeoGebra para os estudos gráficos das variações dos coeficientes da função quadrática. Considerações finais Verificamos que a percepção gráfica dos alunos foi aprimorada. No entanto, entendemos que um software de geometria dinâmica, por si só, não é suficiente para o ensino e aprendizagem, mas é uma ferramenta auxiliar do professor, cujo papel como mediador é de grande importância. E que o GeoGebra foi um importante recurso computacional utilizado para trazer mais clareza e entendimento para os alunos acerca do estudo das variações dos coeficientes da função quadrática e seu gráfico, pois verificamos, em nossos registros, que os alunos participantes da pesquisa apresentaram uma evolução considerável em suas respostas relativas às variações dos coeficientes, após a intervenção com o GeoGebra. Assim, o uso do GeoGebra foi relevante para estudar graficamente as funções quadráticas. Dessa forma, consideramos que os resultados de nossa pesquisa tenham sido importantes, pois após o uso do software GeoGebra conseguimos diminuir algumas das dificuldades dos alunos participantes da pesquisa quanto ao estudo das variações dos coeficientes da função quadrática e seu gráfico. Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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Esperamos que estes resultados possam servir de subsídio para a realização de outras pesquisas que também contribuam para o processo de ensino e aprendizagem da Matemática no entendimento das conseqüências das variações dos coeficientes da função quadrática em seu gráfico. Referências bibliográficas Albuquerque, L. (2008). O uso do programa Geogebra no ensino de Geometria Plana de 5ª a 8ª séries do ensino fundamental das escolas públicas estaduais do Paraná. Dissertação de Mestrado não publicada, Universidade Federal do Paraná. Brasil. Bicudo, M. A. V.(2000). Prefácio. Em: Miriam G. Penteado e Marcelo C. Borba (orgs.). A informática em ação: Formação de Professores, Pesquisas e Extensão, (pp. 05-08). São Paulo, Brasil: Olho d’Água. Borba, M. C. e Penteado, M. G. (2001). Informática e Educação Matemática. Belo Horizonte, Brasil: Autêntica. Dante, L. R. (2000). Matemática: Contexto e Aplicações, 1º ano do ensino médio. 4 ed. São Paulo, Brasil: Ática. Freitas, A. D. (2009). A Utilização do Geogebra no Ensino de Matemática: Recurso para os Registros de Representação e Interação. Dissertação de Mestrado não publicada. Universidade Cruzeiro do Sul. Brasil. Frota, M. C. R.e Borges. O. (2004). Perfis de entendimento sobre o uso de tecnologias na Educação Matemática. Em: B. L. Ramalho e O. Fávero (Eds.), Anais da 27ª reunião anual da Anped,( s/p.). Caxambu, Brasil: Anped. Jacubo, J.; Lellis, M. e Centurion, M. (2001). Matemática na medida certa: 8ª série – ensino fundamental. 5. ed. São Paulo, Brasil: Scipione. Penteado, M. G. (2000). Possibilidades para a formação de professores de matemática. Em: Miriam G. Penteado e Marcelo C. Borba (orgs.). A informática em ação: Formação de Professores, Pesquisas e Extensão, (pp. 23-34). São Paulo, Brasil: Olho d’Água. São Paulo, Brasil: Olho d’Água. Viana, M. C. V. (2004). Vale utilizar softwares no ensino de Cálculo? Em: L. M. Carvalho e C. A. Moura (Eds.), História e Tecnologia no Ensino de Matemática 1, (pp. 131-138). Rio de Janeiro, Brasil: UERJ e UFRJ.

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ACERCAMIENTO TABULAR Y GRÁFICO PARA LAS DISTRIBUCIONES NORMAL Y BINOMIAL CON WINSTATS EN CIENCIAS DE LA SALUD Alicia López-Betancourt, Martha Leticia García Rodríguez Universidad Juárez del Estado de Durango [email protected], [email protected]

México

Resumen. La enseñanza de la estadística se ha caracterizado por enfatizar los procesos algorítmicos. La incorporación de la tecnología para la enseñanza de la estadística permite trabajar la representación gráfica y tabular para la reflexión de problemas de probabilidad y estadística. El Winstats es un software de acceso libre que presenta estas características. Este software se aplicó en la maestría en ciencias médicas de la Universidad Juárez del Estado de Durango al trabajar de forma colaborativa. El propósito se centró en que los estudiantes resuelvan problemas en su contexto. Los resultados muestran que los estudiantes con el apoyo del Winstats incorporaron para la solución de sus problemas la representación tabular y gráfica lo que evitó los procesos algorítmicos. Palabras clave: distribución, probabilidad, gráfica, tabular, winstats Abstract. The teaching of statistics has been characterized by emphasizing algorithmic processes. The

incorporation of technology in the teaching of statistics to work graphical and tabular representation for the reflection on problems in probability and statistics. The Winstats is free access software such characteristics. This software was applied in medical mastery at Juarez University of Durango State to work collaboratively. The purpose focused on students to solve problems in context. The results show that the students with Winstats incorporated support for solving their problems tabular and graphical representation, which prevented algorithmic processes.

Key words: probability, distribution, graphic, tabular, winstats

  Antecedentes En los últimos años las exigencias de organismos internacionales en el ámbito educativo han impulsado a que los profesores e investigadores en los diferentes niveles incursionen en la acelerada era digital. Los perfiles de los estudiantes distan mucho de los que ingresaban a las aulas hace apenas una década o menos. Los profesores deben ser facilitadores, comunicólogos, tener competencias en las tecnologías de información y comunicación y actualizarse continuamente en su ámbito. Los profesionales de la ciencia de la salud no son la excepción. Anteriormente, sólo un grupo reducido que laboraban en hospitales se dedicaban también a investigar. Sin embargo, ahora es necesario que la mayoría se involucre en estos procesos. Tanto dentro de las universidades como en los hospitales.

El perfil de los estudiantes en los grupos de posgrado en ciencias de la salud con los que se ha trabajado alrededor de los últimos ocho años se pueden describir de la siguiente manera: en su mayoría los participantes rebasan los 30 años, están activos en su profesión y desean aprender Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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estadística para aplicarla en sus proyectos de investigación. También asisten jóvenes médicos recién egresados que realizan su servicio social o su internado o bien estudian alguna especialidad. Pero el propósito es el mismo: aplicar la estadística a un tema en particular que generalmente ya lo tienen preciso. Dentro de este perfil también resalta el escaso dominio en temas básicos de matemáticas como son: números reales, intervalos, localización de números en la recta, graficas simples, entre otros. Además, no todos, pero sí se presenta una especie de barrera la cual les impide reconocer sus conocimientos matemáticos básicos. La actitud, en general, con los grupos que se ha trabajado es similar: poco interés en la explicación teórica y énfasis en cómo se aplica en el software. Es cierto que la profundidad del contenido estadístico debe ser acorde a los propósitos de aplicación de la estadística en la salud, sin embargo ¿cómo equilibrar el sustento teórico de la estadística con la aplicación, sin caer en un exceso de apoyo en el software? Al enseñar estadística a los estudiantes de la Maestría en Ciencias Médicas de la Facultad de Medicina de la Universidad Juárez del Estado de Durango como se mencionó anteriormente conlleva algunas dificultades. Una es que el perfil de los estudiantes carece de un sustento matemático. Asimismo los estudiantes enfatizan los procesos algoritmos y presentan dificultades para la interpretación de los resultados. Esto último también se observó al aplicar software como SPSS y Epidat. Por ejemplo los estudiantes presentan dificultades para identificar tipo y escala de variable así como la prueba estadística para aplicar en una prueba de hipótesis. Para precisar lo anterior se aplicó una prueba pre-test a estudiantes del tercer semestre. Enseguida algunos resultados: el 70% de los estudiantes contestaron de forma incorrecta el tipo de variable y entre el 80% y 100% no identificó la escala de la variable. En la asociación de la prueba estadística adecuada el 35.7% respondió de forma correcta, el 21.4% incorrecta y el 42.9% no contestó. De los que respondieron de forma correcta no proporcionaron la lectura de los datos y por lo tanto no relacionan el contexto del problema a la solución. Fundamentación teórica El principal eje teórico de la investigación se centró en las representaciones semióticas Duval (1993) que son fundamentales en la actividad matemática para la aprehensión de conceptos. En este sentido un objeto matemático a través de sus representaciones semióticas y la interacción de cada una de ellas pueden permitir la aprehensión del objeto matemático.

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El segundo eje es la recomendación que marca Hitt (2003) de promover el uso por parte de los estudiantes de los apoyos visuales para la resolución de problemas matemáticos y evitar la escasa articulación de las diferentes representaciones de los conceptos. Se considera que la estadística se ha caracterizado por enfatizar las representaciones tabulares, sobre todo antes del desarrollo de los diferentes recursos tecnológicos para matemáticas. Pero en la actualidad también es factible contar con las representaciones gráficas. En este sentido se puede promover el uso por parte de los estudiantes de los apoyos visuales para relacionar las representaciones gráficas y tabulares. Por lo anterior, los profesores debemos tener presente en nuestra práctica docente la incorporación de diferentes representaciones para la resolución de ejercicios y problemas. A la par de estimular su uso por parte de los estudiantes. Si los profesores sólo trabajamos los algoritmos eso mismo harán nuestros estudiantes. Sin embargo, aún cuando dentro del currículo se ha contemplado el uso y análisis de datos, no se ha dado a la enseñanza de la estadística la importancia debida en los diferentes niveles de educación. En su mayoría se reduce sólo a la aplicación de fórmulas. Sin perder de vista que la investigación en la enseñanza de la estadística y la probabilidad es un campo relativamente joven que inició en la década de los ochenta. El tercer eje para esta investigación fue el ambiente con tecnología. La incorporación de ésta en el aula de matemáticas tiene alrededor de veinte años. El avance vertiginoso de la tecnología no ha ido a la par de la incorporación en el aula, de este modo la presencia de la tecnología para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, “demanda un mayor esfuerzo de parte de los profesores para: elaborar secuencias didácticas adecuadas para algunos temas, cambiar la forma de evaluar, aprender a utilizar la tecnología educativa, detectar resultados equivocados producidos al utilizar la tecnología”. (De Faria, 1999, p. 4) A poco más de diez años que De Faria (1999) escribiera lo anterior se puede observar que los profesores ahora tenemos más retos. El alcanzar al jinete de la tecnología es casi imposible. Sin embargo los profesores debemos estar lo más cerca que se pueda para poder responder a las necesidades de los estudiantes. De este modo el enseñar estadística con tecnología es generalmente recurrir a un software que apoye los procesos algorítmicos involucrados en los diferentes tópicos de la estadística. No obstante esto tiene algunos riesgos. Uno de estos es que los estudiantes sólo apliquen el software como una caja negra. Lo cual implica que los procesos no queden claros para los

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estudiantes y otro riesgo es que la interpretación de los resultados esté muy alejada de la solución real. Los investigadores Godino (1995) y

Ledesma (2002) recomiendan la integración de la

tecnología para la enseñanza y aprendizaje de la estadística. El segundo autor recomienda el uso de imágenes computarizadas e interactivas, diseñadas para ser didácticamente manipuladas ya sea cambiando o transformando una determinada representación gráfica de los datos con la finalidad de generar analogías visuales y comprobar gráficamente conceptos estadísticos. En este sentido la investigación retoma la parte visual proporcionada por Winstats para las representaciones gráficas y tabulares. Los investigadores Hochsztain, Ramírez y Álvarez (1999) presentaron los resultados obtenidos tras haber experimentado la aplicación de la computadora en la enseñanza de la estadística, según su experiencia invita a que las tareas docentes deben estar acompañadas de los diferentes recursos tecnológicos. Los autores reconocen que aún se está muy lejos de obtener una respuesta unánime sobre el modo de usar estratégica y didácticamente la computadora. Además, enfatizan en los errores, en que se puede incurrir al generar modelos simulados, conceptualmente erróneos, por lo que afirman categóricamente que no es posible separar la estadística y sus aplicaciones computacionales del conocimiento de la disciplina a la que se está aplicando, situación presente en los estudiantes de posgrado de Ciencias de la Salud. Existen en el mercado un buen número de software estadístico tales como: Statgraphics, Statistica, SAS, SPSS, Epidat, entre otros. Estos procesan cantidades de datos considerables y arrojan los resultados en cuestión de segundos. El software Winstats es acceso libre y está disponible en: http://math.exeter.edu/rparris/. Además de esta bondad es de manejo fácil y permite graficar lo cual facilita la interacción entre representaciones tabulares y gráficas. Con base en lo anterior esta propuesta se centró en aplicar el software Winstats de forma reflexiva; para analizar las representaciones tabulares y gráficas de las distribuciones de probabilidad Normal y Binomial.

Así, el Cuerpo Académico de Matemática Educativa se

formuló desarrollar el proyecto: “Representaciones semióticas para probabilidad y estadística en el contexto de Ciencias de la Salud”. Se diseñaron dos secuencias didácticas (SD). SD1: Probabilidades de la Distribución Normal y SD2: Probabilidades de la Distribución Binomial. Los elementos de las secuencias didácticas fueron: tecnología a utilizar, expectativa de aprendizaje, conocimientos previos de la tecnología. Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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Objetivo El objetivo de la investigación se centró en: diseñar, explorar y evaluar secuencias didácticas con estudiantes de posgrado en Ciencias de la Salud. Método Para el diseño de las secuencias didácticas se trabajaron colaborativamente dos profesores y un tesista. El análisis se trabajó con un modelo mixto Creswell y Plano (2007). El aspecto cualitativo incluyó las hojas de trabajo por parte de los estudiantes de las SD. El análisis de los datos se realizó a través de las representaciones de los estudiantes registrados en las hojas de trabajo de las SD. Resultados Se les proporcionó el siguiente ejemplo: Para examinar la variación de la presión arterial los investigadores encontraron la media y desviación estándar en un grupo de personas sanas. Se asume que la presión arterial sistólica en los individuos sanos está normalmente distribuida con μ=120 y σ = 10 mm Hg. Realizar las transformaciones apropiadas para contestar las siguientes preguntas apóyese en Winstats. Realizar una lectura de los resultados y un boceto de la distribución que precise el área encontrada. a) ¿Qué área de la curva está arriba de 130 mm Hg? Realiza una lectura del bosquejo del área en la distribución. Enseguida la respuesta del equipo 1: Equipo 1. Podemos observar en la gráfica y por medio de los cálculos obtenidos que un 15.86% del área está por arriba de los 130mm Hg. A continuación su bosquejo de la gráfica a partir de la obtenida en Winstats (ver figura 1)

Figura 1. Producción individual equipo 1. Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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Veamos ahora una producción correspondiente a un estudiante (Ver figura 2), se puede observar que el estudiante puede realizar el bosquejo porque lo grafico en Winstats. Realiza las tres gráficas y escribe su conclusión relaciona el comportamiento de la gráfica con la variación en los parámetros.

Figura 2. Producción individual del alumno 1

Figura 3. Probabilidades de la función binomial En la figura 3 se muestra una tabla generada para uno de los ejercicios con las diferentes variantes. Lo cual apoyo a los estudiantes para responder con base en estos datos de probabilidades y con el apoyo de la gráfica.

Figura 4. Producción de un estudiante al ubicar z y

en la curva Normal Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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La figura 4 muestra como algunos estudiantes a pesar de haber trabajado en ambiente tabular y gráfico al ubicar z lo ubica sobre el eje x, pero también en el área sombreada de la curva, pocos estudiantes lograron la ubicación correcta y la mayoría no lo contestó. Conclusiones El software Winstats apoyó las representaciones tabulares y gráficas lo cual permitió que los estudiantes relacionaran estas dos representaciones en términos de probabilidades. Se evitó que los estudiantes se enfoquen sólo en algoritmos asimismo el software ayuda a que los estudiantes vayan siguiendo paso a paso los procesos. El software permitió también conectar la información del área bajo la curva en términos de probabilidades debido a que actualiza la gráfica para cada una de ellas. El recuperar sus producciones individuales en papel y lápiz también benefició el proceso de enseñanza y esto permitió analizar cómo los estudiantes graficaron en Winstats para posteriormente bosquejar su gráfica. Como indica los párrafos anteriores la incorporación del Winstats favoreció las representaciones tabulares y gráficas, sin embargo todavía hay mucho trabajo por realizar en la enseñanza de la estadística sobre todo cuando son grupos como los mencionados en este trabajo que no tienen una base de conocimientos matemáticos que les permita avanzar en la conceptualización. Referencias bibliográficas Creswell, J.W. y Plano, C.V. (2007). Mixed methods research. Estados Unidos. Sage Publication. De Faria, C. (1999). Polinomios de Taylor. Cuadernos Didácticos 7(2). Grupo Editorial Iberoamérica. México. Duval, R. (1993). Registros de representación semiótica y funcionamiento cognitivo de pensamiento. Investigaciones en Matemática Educativa II. (pp. 188-231). Grupo Editorial Iberoamérica. México. Godino,

J.D. (1995). Qué aportan los ordenadores a la enseñanza y aprendizaje de la

estadística. Uno (5), (pp. 45-56). España. Hitt, F. (2003). Dificultades en el aprendizaje del cálculo. Recuperado el 24 de septiembre del 2006 de http://matedu.cinvestav.mx/librosfernandohitt/Doc-6.doc Hochsztain, E., Ramírez, R. y Álvarez, R. (1999). La computadora en la enseñanza de la estadística. Conferencia Internacional: Excpetativas do ensino de estadística. Desafíos para el siglo XXI. Santa Catarina, Brasil. Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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Ledesma, R. (2002). Gráficos dinámicos: una herramienta para la enseñanza de la estadística. Revista digital de educación y nuevas tecnologías 22. Documento Web. http://contextoeducativo.com.ar/2002/2/nota-07.htm. Recuperado el cuatro de junio del 2006.

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AS REPRESENTAÇÕES EMPREGADAS POR CEGOS E SURDOS NUM AMBIENTE VIRTUAL DE APRENDIZAGEM Carlos Eduardo Rocha dos Santos, Cristiano Bezerra, Solange Hassan Ahmad Ali Fernandes Universidade Bandeirante de São Paulo Brasil [email protected], [email protected], [email protected] Resumo. O objetivo deste artigo é discutir as representações utilizadas por aprendizes cegos e por aprendizes

surdos envolvidos na resolução de problemas matemáticos. Motivados pela possibilidade de explora o potencial da Educação a Distância como modalidade educacional de inclusão para pessoas com necessidades educacionais especiais, em particular, para deficientes auditivos e visuais, utilizamos a ferramenta fórum de discussão do ambiente virtual de aprendizagem Moodle. Em nossas análises, identificamos aspectos que indicam alguma autonomia dos participantes, assim como o uso de representações visuais na tentativa de comunicar suas soluções. Palavras chave: mathematical problems, distance education, inclusion, discussion forum Abstract. The aim of this paper is to discuss the representations used by blind learners and deaf learners

involved in solving mathematical problems. Motivated by the possibility of exploring the potential of distance education as a modality of educational inclusion for people with special needs, and more specifically for those with visual or hearing impairments, we used the discussion forum tool of the virtual learning environment Moodle. In our analyses, we identified some aspects that indicated autonomy on the part of the participants, as well as the use of visual representations in their attempts to communicate their solutions. Key words: problemas matemáticos, educação a distância, inclusão, fórum de discussão

  Introdução De acordo com dados do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), o Brasil apresentava, em 2010, ano em que foi realizado o último Censo, cerca de 45 milhões de pessoas com algum tipo de deficiência permanente: visual, auditiva, motora, mental ou intelectual. Baseado nisso, oferecer alternativas de estudos, capacitação e qualificação para esse público, através da EaD, se configura como uma importante ação. Tivemos como fator motivador a possibilidade de explorar o potencial da Educação a Distância (EaD) como modalidade educacional de inclusão para pessoas com necessidades educacionais especiais, em particular, para deficientes auditivos e visuais, pois uma das características da tecnologia é promover a inclusão das pessoas que possuem algum fator de limitação, facilitando sua integração à sociedade. O objetivo deste artigo é discutir as representações utilizadas por aprendizes cegos e por aprendizes surdos envolvidos na resolução de problemas matemáticos. Para alcançar esse objetivo utilizamos a ferramenta fórum de discussão do ambiente virtual de aprendizagem (AVA) Moodle onde propusemos problemas matemáticos para participantes surdos, cegos e para aqueles sem limitações sensoriais. Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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Neste artigo discutiremos a resolução apresentada por participantes cegos e participantes surdos para os problemas matemáticos propostos durante o desenvolvimento dos nossos estudos. De acordo com Pozo (1998), a solução de problemas é um dos mecanismos “mais acessíveis de fazer o educando aprender a aprender”, potencializando sua aprendizagem como um todo. Optamos por trabalhar com a ferramenta fórum de discussão do AVA Moodle, pois entendemos que ela consiste em um instrumento virtual de aprendizagem que permite a interação entre os participantes contribuindo para a construção coletiva e colaborativa do conhecimento (Batista & Gobara, 2011). Segundo Oliveira (2011, pp. 3,10), o fórum serve como um “espaço mediador das reflexões coletivas e de ocorrência de interações que tivessem como base leituras, experiências e pesquisas”. As fases do projeto Nossas pesquisas caracterizam-se como qualitativa, mais especificamente um estudo de caso segundo Lüdke e André (1986, p. 17), visto ser nosso interesse pesquisar uma situação singular – as representações utilizadas por aprendizes cegos e por aprendizes surdos envolvidos na resolução de problemas matemáticos, quando utilizam a ferramenta fórum de discussão de um ambiente virtual de aprendizagem estruturados para atender suas necessidades específicas. De modo geral um estudo de caso apresenta basicamente três etapas em seu desenvolvimento: a exploratória; a delimitação do estudo e a coleta de dados; e a análise sistemática desses dados (NISBET e WATT, apud LÜDKE e ANDRÉ, 1986). No caso específico do estudo aqui apresentado, por se tratar de um estudo desenvolvido em um ambiente virtual iniciamos nossas pesquisas com a necessidade de desenvolver um ambiente de aprendizagem acessível que pudesse, também, ser um instrumento facilitador no acesso a conteúdos matemáticos, podendo ser utilizado tanto para a instrução como para a complementação na formação regular ou continuada. Planejamos então algumas fases para desenvolver os estudos. Naturalmente, cada uma dessas fases foi esboçada a partir de objetivos parciais a que nos propomos, tendo em vista as metas a serem atingidas no futuro. Fase I – Nesta fase, procuramos encontrar uma plataforma que nos permitisse disponibilizar meios de acesso ao nosso público alvo, ou seja, que nos permitisse oferecer estímulos sonoros (para atender aos participantes cegos) e visuais (para atender aos surdos e regulares). Analisamos diversas plataformas e decidimos utilizar o ambiente de aprendizagem Moodle que nos ofereceu a possibilidade de inserir imagens, sons, vídeos (para apresentação em LIBRAS), leitores de telas, ampliando assim, as diferentes formas de comunicação, além de permitir aos usuários fazerem uso das mesmas ferramentas. Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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Fase II – Com a plataforma escolhida, passamos efetivamente a adaptar o AVA. Nossas pesquisas mostraram a existência de avaliadores de acessibilidade como, por exemplo, DaSilva. Além dos parâmetros oferecidos por esses avaliadores, foi preciso também realizar uma série de testes com usuários cegos e usuários surdos para garantir ampla acessibilidade ao nosso público alvo. Fase III – Constatamos que as atividades aplicadas na fase de testes deveriam ser mudadas para a fase de coleta de dados. Nesta fase concentramos nossa atenção no planejamento e seleção das novas atividades matemáticas que fariam parte da implementação do ambiente. Fase IV – A esta fase coube a seleção dos participantes do processo de coleta de dados que se realizaria através do fórum do ambiente. Foi uma tarefa árdua. Os participantes cegos foram cadastrados a partir da divulgação do endereço eletrônico do ambiente em duas listas de colaboradores da ADEVA (Associação dos Deficientes Visuais e Amigos). Os participantes surdos (alunos do Ensino Médio) foram cadastrados em uma Escola Especial SELI (Instituto de Educação Especial para Surdos) e os alunos regulares foram cadastrados em uma escola regular do Ensino Médio. Nosso interesse era selecionar participantes do Ensino Médio e/ou adultos, já que o foco do estudo era analisar o nível de acessibilidade e interatividade oferecido pelo AVA. Fase V – Com os participantes devidamente cadastrados, iniciamos a participação no fórum de discussão do AVA. Os dados coletados foram arquivados para que pudéssemos fazer nossas análises. Fase VI – Esta fase foi destinada às análises dos dados coletados. Alguns resultados serão apresentados nas seções 4 e 5. Fórum de discussão A utilização da ferramenta fórum de discussão tem assumido grande importância na realização de cursos à distância, caracterizando-se principalmente por ser uma ferramenta de comunicação assíncrona, o que permite a comunicação dos participantes em momentos diferentes. Optamos por trabalhar com a ferramenta fórum de discussão do AVA Moodle, pois entendemos que ela consiste em um instrumento virtual de aprendizagem que permite a interação entre os participantes e contribui para a construção coletiva e colaborativa do conhecimento (Batista & Gobara, 2010). Para Bairral (2007, p.80),

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O Fórum é um espaço de socialização contínua de práticas nas quais os interlocutores podem utilizar e integrar, diferentemente, informações do próprio cenário ou de fora dele. Além de ser um local com possibilidade temporal flexível, é também um espaço de imersão colaborativa na discussão, que pressupõe uma confiabilidade no coletivo virtual e exige dos profissionais sensibilidade e aceitação para propor e discutir perspectivas educacionais variadas. Oliveira (2010, pp. 3,10) aponta o Fórum como um “espaço mediador das reflexões coletivas e de ocorrência de interações que tivessem como base leituras, experiências e pesquisas”, neste aspecto, [...] o processo de construção proporcionado por tais interações aprender e colaborar – e colaborar aprendendo, ou, ainda, aprender colaborando – torna-se um desafio agradável para os participantes, os quais passam a buscar em fontes diversas (Internet, livros, revistas, etc) textos que sejam complementares em relação ao proposto inicialmente ou que sirvam de suporte para suas intervenções. (Oliveira, 2010, p. 8) Nesse espaço, todas as contribuições e colaborações, que ocorrem de forma textual e assíncrona são submetidas às críticas de todos os participantes, promovendo uma forte interação, o que pode gerar um novo conhecimento sobre o assunto em discussão (Oliveira, 2010). Deste modo, entendemos o fórum de discussão como sendo um espaço onde é possível mediar reflexões de um grupo e onde podem e devem ocorrer interações entre os participantes, tendo como base leituras, pesquisas e experiências próprias. Portanto, “o Fórum é um dos espaços democráticos do ambiente virtual, onde a hierarquia se dilui e os usuários se transformam de professores, monitores e alunos em, simplesmente, pessoas” (Kenski, 2001 como citado em Oliveira, 2010, p. 11). Resoluções apresentadas por participantes cegos Nesta pesquisa a utilização do fórum de discussão promoveu um número significativo de intervenções, algumas dessas com características interacionistas, mas nem todas de cunho argumentativo. No quadro a seguir (Figura 1) apresentamos o número de intervenções que ocorreram em cada um dos fóruns.

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Problemas 1 2 3 4

Fórum 1 2 3 4 Avaliação

Intervenções Participantes Pesquisador 10 8 14 10 11 13 3 7 3 0

Total 18 24 24 10 3

Figura 1 – Quantidade de intervenções nos Fóruns de discussão dos participantes cegos Verificamos no quadro (Figura 1) que o número de intervenções ligadas ao problema 1 foi relativamente menor que o número de intervenções conectadas aos problemas 2 e 3.

Adaptado de Bairral, 2002, p. 184.

Figura 2 – Esquema 2 do problema 1: intervenções e interações entre os participantes Analisando o esquema 2 (Figura 2) que representa as intervenções ocorridas no fórum do problema 1, destacamos que as dezoito intervenções têm características interacionistas e dessas, treze são de caráter argumentativo. Apesar do número significativo de intervenções ocorridas principalmente nos fóruns dos problemas 2 e 3, nossas análises não nos trouxeram indícios da formação de redes argumentativas. Notamos que somente a quantidade de intervenções, não caracteriza o surgimento de uma rede argumentativa, como por exemplo, no fórum 3. Nesse fórum identificamos uma grande quantidade de intervenções, porém, em sua maioria eram ações do pesquisador para trazer os participantes para colaborar no fórum. Outras foram respostas pontuais ao problema apresentado, não contribuindo para que pudesse originar redes argumentativas.

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Resoluções apresentadas por participantes surdos Nos fóruns de discussão utilizados pelos participantes surdos, também obtivemos um número significativo de intervenções, como podemos ver no Quadro a seguir (Figura 3). Problema 1 2 3 4

Fórum 1 2 3 4

Participantes 15 06 10 05

Intervenções Pesquisador 17 08 12 06

Total 32 14 22 11

Figura 3 – Quantidade de intervenções nos Fóruns de discussão dos participantes surdos Após essa visão geral dada pelos números de intervenções em cada fórum, analisamos as intervenções de acordo com as tipologias de discurso encontradas, tendo como base um modelo adaptado do original de Bairral (2002), conforme Figura 4. Enfoque de reflexão Ep – enfoque no problema Eg – enfoque geral

Tipos de discurso específicos do tutor Ab - Abertura Se – Solicita esclarecimento Pe – Pede exemplo Mp – Motiva a participação

Tipos de discurso comuns ao tutor e ao aluno Sa – Saudação Ag – Argumenta Ar – Apresenta resposta Bc – Busca companheiro Cc – Considera contribuições anteriores Dm – Descreve o método utilizado Ad – Apresenta dúvida Ex – Exemplifica El – Elogia Pr – Provoca Su – Sugere Va – Valoriza

Figura 4: Tipologias de discurso Em seguida, construímos um quadro para as contribuições de cada fórum, numerando as intervenções, identificando os participantes, identificando os tipos de discurso em cada intervenção, identificando o direcionamento da mensagem (para quem?) e um resumo interpretativo baseado nas tipologias, o que nos permitiu analisar de forma mais particular cada intervenção e observar a relação entre elas, também passamos a identificar cada participante com uma cor diferente no texto para facilitar a visualização e análise das interações, conforme podemos observar na Figura 5. Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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Nº orde m

3

Participant e Data/hora CRISTIAN O 31 mai 11 20:43 h

Intervenção na íntegra

Tipologi a de discurso

Direcionament o

Resumo

da intervenção

(Oi pessoal!) (Cadê vocês? Estou aguardando as contribuições). Abraços.

Eg (Sa, Mo)

Para o grupo

Fez saudação e motivou o grupo

(Oi Boa tarde!) KÁTIA 7

18 jun 11 17:46 h

eu opinião qual é responder (1,5,10,10,5,1) (certo ou errado?) nao sei vc me coselho... bjo ate mais

Ep

Não houve

(Sa, Ar, Sc)

(implicitamente para o tutor)

Fez saudação, apresentou resposta da 6ª linha e solicitou confirmação

Figura 5: Resumo das intervenções considerando as tipologias Dessa forma, conseguimos identificar algumas relações entre as tipologias e as suas influências na interação e condução dos fóruns de discussão, como por exemplo, o enfoque do discurso. Discursos com enfoque nos problemas propostos geravam outras intervenções diretas (como questionamentos, correções, sugestões, esclarecimentos), principalmente do tutor. Percebemos também uma ênfase nas contribuições individuais, ou seja, os participantes não procuravam discutir a solução e apenas apresentavam “a sua resposta” e também uma tendência a cultura de sala de aula presencial, como acreditar que apenas o professor pode ajudar na resolução do problema, direcionando os questionamentos sempre ao tutor. Algumas considerações Em nossas análises foi possível reconhecer aspectos que mostraram alguma autonomia dos participantes na tentativa da resolução dos problemas nos fóruns de discussão. Pudemos observar que a interação entre os participantes surdos e o professor ocorreu de maneira muito tímida. Percebemos também que eles utilizaram discursos na maioria das vezes que representavam um pouco da cultura escolar presencial, como a insegurança nas respostas solicitando uma confirmação do tutor/professor. Em contrapartida, notamos que para os participantes cegos as discussões giraram em torno de dois pontos destacados ao longo das intervenções do fórum. Dois participantes perceberam aspectos complementares referentes ao problema e cada um deles resultou num grande número de intervenções, o que enriqueceu muito as discussões do fórum. Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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O desenvolvimento desta pesquisa nos proporcionou a reflexão sobre a importância de estar e se sentir preparado para o trabalho com pessoas que tem limitações visuais e auditivas, evidenciando que não há impeditivo para que essas pessoas fiquem afastadas do que a EaD pode proporcionar. Referências bibliográficas Bairral, M. A. (2002) Desarrollo Profesional Docente en Geometría: análisis de un proceso de Formación a Distancia. Tese de doutorado, Programa de Doctorado en Didáctica de las Ciencias Experimentales y de las Matemáticas, Universitat de Barcelona, Barcelona, Espanha. Bairral, M. A. (2007). Discurso, interação e aprendizagem matemática em ambientes virtuais a distância. Seropédica: Edur. Batista, E. M. & Gobara, S. T. (2011). O Fórum on-line e a interação em um curso a distância. Disponível em http://www.cinted.ufrgs.br/ciclo9/artigos/8cErlinda.pdf. Ibge. (2012) Censo Demográfico de 2010. Disponível em: http://www.ibge.gov.br/home/. Lüdke, M. & André, M. E. D. (1986). A. Pesquisa em educação: abordagens qualitativas. São Paulo: EPU, Oliveira, G. P. (2011). O Fórum em um ambiente virtual de aprendizado colaborativo. Disponível em http://www.slideshare.net/demartini/o-frum-em-um-ambiente-virtual-de-aprendizadocolaborativo-presentation-667608. Pozo, J. I. (1998). A solução de Problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: Artmed.

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COMPETENCIAS DE MODELACION Y USO DE TECNOLOGÍA EN ECUACIONES DIFERENCIALES Ruth Rodríguez, Samantha Quiroz, Lorenza Illanes Tecnológico de Monterrey, Campus Monterrey [email protected], [email protected],[email protected]

México

Resumen. El presente trabajo explora a la modelación matemática como una estrategia didáctica que permite enlazar situaciones de la vida real con situaciones matemáticas escolares con lo cual se pretende obtener una mejor comprensión de los conceptos matemáticos. En particular se pretende analizar la implementación de una situación diseñada en base a la modelación matemática en un curso de Ecuaciones Diferenciales (ED) el cual está dirigido a estudiantes de segundo año de ingeniería. En un primer momento se desea identificar las competencias de modelación a propósito del contexto de circuitos eléctricos RC para la enseñanza del tema de ED lineal y en un segundo momento se pretende dar evidencia de los aportes de la modelación en el desarrollo de competencias de modelación. El resultado de esta experiencia muestra que el diseño de actividades en base a la modelación y su posterior implementación a través de la experimentación permite dotar al objeto matemático ED de significados varios que un ambiente de aprendizaje, sin esta estrategia didáctica, difícilmente se podría poner en juego. Palabras clave: modelación, competencias, tecnología, ecuaciones diferenciales Abstract. This study explore the mathematical modelling as a didactic strategy that allow to link real life

situations and scholar mathematics in order to get a better comprehension of mathematical concepts. In particular the study analyze the application of one situation designed for engineering students using mathematical modelling on a Differential Equation’s course (DE). First, the study aims to identify the modelling competences using a electric circuits’s context RC for teaching Linear Differential Equations and secondly it pretends to show the benefits of mathematical modelling on the development of modeling competences in the course. This experience shows that the design of activities using mathematical modelling give to the DE object different meanings that couldn’t do it a class without this didactic strategy. Key words: modelling, competences, technology, differential equations

  Introducción La enseñanza de las matemáticas tiene como una meta importante el preparar ciudadanos críticos los cuales desarrollen las competencias adecuadas que permitan identificar y resolver problemas en cualquier contexto que se les presente, así como expresar, probar, revisar o rechazar incluso sus maneras de pensar (Alsina, 2007; Confrey, 2007; Lesh y Yoon, 2007; Muller y Buskhardt, 2007). Para el logro de tales objetivos es necesario el desarrollo de actividades que permitan al alumno reconocer la importancia de las matemáticas en situaciones de su vida cotidiana. Marco teórico Desde hace alrededor de 35 años, se inicia el estudio de la modelación matemática cuyo principal meta es tender ese puente entre la matemática escolar y las utilizadas en contextos extra matemáticos. Se pueden identificar en total seis perspectivas desde las cuales puede ser Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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vista la modelación matemática de acuerdo a Kaiser y Sriraman (2006). De entre ellas, el presente trabajo se enfoca en la perspectiva realística o aplicada puesto que enfatiza la importancia de la enseñanza a través de la modelación matemática como un medio más pragmático para resolver problemas reales y desarrollar competencias de modelación. Han existido diversos autores que buscan definir a la modelación matemática, siendo una de las más completas la que exponen Blum y Niss (1990) quienes explican que la modelación matemática es el proceso completo de transitar desde un problema planteado en una situación real hasta un modelo matemático. Posteriormente aparecen varias definiciones del proceso de modelación, en este estudio hemos elegido la descripción de Rodríguez (2007, 2010) la cual es representada de manera gráfica en la figura 1:

Figura 1.- Ciclo de modelación de Rodríguez (2007, 2010)

 

Es importante enfatizar que este proceso ha sido definido en base a diversos autores (ver Rodríguez, 2007) pero en particular esta propuesta incorpora de manera explícita dos elementos importantes, la inclusión de un dominio físico en el cual se modela (puede ser un dominio extra-matemático biológico, químico u otro) y la importancia dada al dominio pseudoconcreto como esa transición difícil para los estudiantes y clave en el proceso de modelación (basado en el modelo pseudo-concreto de Henry, 2001 citado en Rodríguez 2007 y 2010; análogo al modelo real o real model introducido por los trabajos anglosajones sobre modelación). El análisis de la literatura ha puesto en claro que la modelación matemática ha permitido múltiples beneficios en su aplicación con alumnos de diversos niveles educativos, entre ellos el logro de conexiones entre las matemáticas escolares y las de la vida diaria, la reducción de la ansiedad hacia la asignatura, la promoción de la comunicación y el trabajo colaborativo, y el

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desarrollo de competencias matemáticas (Alsina, 2007; Aravena y Caamaño, 2009; Bonotto, 2007; Lombardo y Jacobini, 2009; Muller y Buskhardt, 2007; Von Hofe et al., 2009) Aunado a lo anterior es importante resaltar que el interés por el logro del desarrollo de competencias ha sido un aspecto que se ha tomado en cuenta por diversas instituciones a nivel internacional y nacional por ejemplo el Proyecto Tuning Latinoamérica (Beneitone et al., 2007), la Accreditation Board for Engineering and Technology (ABET, 2011) y la Misión 2015 del Tecnológico de Monterrey (Tecnológico de Monterrey, 2005) quienes basan sus criterios en el desarrollo de alumnos competentes de resolver problemas de su contexto, así como la adquisición de competencias tecnológicas y de colaboración. Así mismo, la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE, 2010) expone como importante el desarrollo de competencias matemáticas y en específico de las competencias de modelación. En un esfuerzo por definir dichas competencias Maaß (2006) y posteriormente Rodríguez (2010) muestran que las competencias de modelación matemática incluyen habilidades de desempeñar el proceso de modelación apropiadamente y bien orientado, así como la posibilidad de poner en acciones dichas habilidades. Teniendo como base teórica el enfoque anterior el presente estudio tiene como intención unificar lo anterior y presentar el diseño de dos actividades que fueron diseñadas para favorecer el tránsito entre las diversas etapas de modelación matemática a través de enfrentarse a situaciones que estén relacionadas a dos contextos con que los alumnos conviven en ingeniería. Se presentan una experiencia didáctica donde se muestran los resultados de un estudio cualitativo donde se resalta la parte de experimentación en aula a través de la construcción de un circuito RC y el análisis de la respuesta del mismo para el desarrollo de competencias de modelación matemática en un curso de Ecuaciones Diferenciales. Marco metodológico Experiencia: Modelando un circuito eléctrico RC a través de una ED Lineal A continuación se presenta una experiencia de una situación de modelación, que muestra un trabajo que es una continuación de un estudio previo ( Rodríguez, 2007, 2010; Quiroz y Rodríguez, 2011; Rodríguez y Quiroz, 2012) que propone justamente un enfoque teórico del desarrollo de competencias de modelación en los estudiantes a propósito justamente de la enseñanza y aprendizaje de las Ecuaciones diferenciales. Se presentan algunos resultados recolectados y analizados a través del enfoque teórico anteriormente presentado y de una metodología cualitativa a través de guías de observación, rúbricas y análisis de producciones de Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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los estudiantes. Se apoya el llenado de estos instrumentos con la video grabación de la sesión para su posterior análisis. La muestra está conformada por los alumnos de un grupo de ecuaciones diferenciales que cursan su tercer semestre en 28 diversas ingenierías. El contenido matemático que se estudió fueron las ED lineales y el contexto que se eligió para ello fue el de circuitos eléctricos, específicamente un circuito RC (resistencia, capacitor). La clase estaba dividida en cinco etapas: Etapa 1: Discutir en grupo los conocimientos previos respecto al modelo analítico de la ED que modela el cambio de la carga de un capacitor en un circuito RC. Etapa 2: Armar físicamente un circuito eléctrico RC y medir la carga del capacitor a través de un sensor de voltaje. El material utilizado para la actividad consistió en un circuito eléctrico (un foco, capacitor, juego de 4 baterías conectores) para cada equipo, un sensor TI de voltaje, un TI navegador y el protocolo de práctica. Etapa 3: Analizar la gráfica generada por el sensor y reconocer su forma analizando su comportamiento respecto al fenómeno real modelado. Etapa 4: Resolver analíticamente la ED de un circuito RC con entrada de voltaje constante con el método de ED lineal anteriormente visto clase por equipos de 3 integrantes. Etapa 5: Resolver una ED de un circuito RC de entrada de voltaje variable de manera analítica individualmente. Resultados Los resultados se analizan en base a las transiciones entre las etapas de modelación por las que se fueron desarrollando de acuerdo al diagrama propuesto por Rodríguez (2007, 2010): Etapa 1: Favorece la transición entra la etapa Modelo Pseudo-Concreto (MPC) hacia el Modelo Matemático (MM). Si bien la gran parte de los alumnos a pesar de estudiar ingeniería, no son muy familiares con el contexto eléctrico. Gracias a la discusión en grupo los alumnos lograron identificar la situación que se les presentaba y comprender el papel de las variables en juego, reconociendo a la segunda ley de Kirchoff como aquella que permite establecer la ED que modela la carga del capacitor en el circuito RC. Etapa 2: Favorece la transición entre la etapa Modelo Pseudo concreto (MPC) hacia el Modelo Físico (MF). Al interior de cada equipo, los alumnos armaron el circuito eléctrico con apoyo del material que se les proporcionó discutiendo con sus compañeros las razones por las que sucedía el encendido del foco al momento de la carga y la descarga.

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Capítulo 5. Uso de los recursos tecnológicos en el proceso de aprendizaje de las matemáticas

Etapa 3: Favorece la transición entre el Modelo Físico (MF) hacia Modelo matemático (MM) reconociendo este último en su representación gráfica. En un tercer momento los alumnos observan la gráfica que les brinda el sensor de voltaje y analizan las cargas y descargas, así como sus asíntotas (Ver figura 2). Es importante decir que de manera natural los argumentos dados por los alumnos para analizar la gráfica tiene que ver con la situación física por lo que de manera natural se realiza una transición hacia la etapa de Resultados Físicos (RF) y PseudoConcretos (RPC).

Figura 2. Imagen de trabajo en el aula y de la gráfica de carga y descarga del capacitor generada por un equipo. Etapa 4: Favorece la transición entre el Modelo Matemático (MM) hacia el Estudio matemático (EM). Los alumnos logran plantear y resolver la ecuación diferencial lineal a través de método analítico visto en una clase anterior. En esta etapa se logra percibir dudas aún de la parte matemática pero que lograron resolver sin mayor dificultad. Así mismo, se observa una transición hacia los Resultados Físicos (RF) y Pseudo-Concretos (RPC) ya que los alumnos discuten en sus equipos los resultados obtenidos y contrastan con la gráfica que habían generado con el sensor y el fenómeno observado. En esta misma etapa los alumnos realizan muy brevemente una Confrontación Modelo-Situación Real (CM-SR) al mostrar en plenaria sus resultados a los compañeros de otros equipos sobre todo en términos del problema planteado anteriormente, analizando lo que pasaría después de mucho tiempo con la solución q(t) de la ED. Etapa 5: Se solicita a los alumnos recrear la situación anterior pero ahora con una entrada de voltaje variable (de tipo senoidal) aunque las dificultades mayores se observan en la parte analítica (resolver una integral que aparece en la solución) más que en la parte de plantear el modelo en sí. A través de una triangulación de los datos recolectados mediante los instrumentos utilizados se presentan como resultados las competencias de modelación que se lograron observar en cada etapa del proceso seguido por los alumnos: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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Tabla 1. Elementos de Competencias de modelación matemática observadas en los alumnos Transiciones entre etapa del proceso de modelación

Competencia de modelación matemática (Maaß, 2006; Rodríguez, 2010)

MPC -> MF

- Competencia para identificar y estructurar situaciones problema - Competencia para entender y analizar el problema real

MF -> MM

- Competencia para determinar y manejar variables - Competencia para crear un modelo matemático a partir de términos reales

MM -> EM

- Competencia para manipular las variables del modelo matemático - Competencia para trabajar con el modelo matemático - Competencia para manipular las variables del modelo matemático

EM -> RF

- Competencia para interpretar el modelo en términos del dominio en el cual se modela (físicos en este caso)

RF -> RPC

- Competencia para interpretar el modelo en términos reales - Competencia para interpretar el resultado en la situación real

RPC -> CM-SR

- Competencia para adaptar el modelo a nuevas situaciones - Competencia para reflexionar y criticar el modelo - Competencia para evaluar el modelo matemático - Competencia para comunicar el modelo y sus resultados

Conclusiones La experiencia nos permite concluir que la actividad de modelado de un circuito RC, la cual esta diseñada en base a la modelación, permitir alcanzar los objetivos de clase previstos (la enseñanza del tema de ED lineal y de una aplicación en circuito RC), favorece el desarrollo de competencias de modelación matemática a través del diseño de la actividad misma la cual, es diseñada para favorecer transiciones entre etapas del ciclo de modelación y así mismo se ponen en juego otras competencias dentro del ciclo de modelación como las colaborativas y algunas tecnológicas. Estas últimas no han sido abordadas de manera profunda en este trabajo pero aparecen importantes en cuanto el uso de la calculadora graficadora (TI Nspire CX CAS) y el sensor de voltaje por parte de los alumnos. Su uso no representó dificultad alguna gracias a la facilidad de manejo del equipo y del diseño de un protocolo de práctica que guiaba al alumno en la actividad misma. Deseamos concluir este trabajo enfatizando la gran importancia de la enseñanza de las ED y Matemáticas en general a través de la modelación, sobre todo el trabajo previo al diseño de las actividades en base a las etapas del proceso previamente definidas y el aporte de cada uno de ellas en llevar a los alumnos a transitar entre las etapas y momentos claves de la modelación. El identificar las diversas competencias que el alumno debe desarrollar para la competencia de modelación es importante y es un aporte que esta experiencia permite tener a lo ya establecido con anterioridad y el reconocer que parte de la dificultad de implementar Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

 

 

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Capítulo 5. Uso de los recursos tecnológicos en el proceso de aprendizaje de las matemáticas

actividades de modelación en clase radica en el hecho de tener que poner en juego competencias matemáticas, extra-matemáticas, colaborativas y de discusión así como tecnológicas pero al mismo tiempo esto evidencia la gran riqueza de poner en clase situaciones que permitan poner en juego tales competencias de modelación. Referencias bibliográficas Accreditation Board for Engineering and Technology [ABET]. (2011). Criteria for Accrediting Engineering

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