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• Andres Alcon

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AN´IBAL A. P.

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PROBLEMAS RESUELTOS: TEOR´IA DE LA RELATIVIDAD 1. Muestre que la fuerza relativista (segunda ley de Newton relativista) es equivalente a: ( )−3/2 v2 dv F = m dt 1 − c2 ´ RESOLUCION Sea la cuadrifuerza o la fuerza de Minkowski dP u dP u F = =γ = dτ dt

(

u

dP 0 d⃗p γ ,γ dt dt

)

p donde la parte espacial de la cuadrifuerza es :F⃗ = γ d⃗ dt adem´as: γ = √ 1 v2 1−

c2

y el momentum lineal no relativista es p⃗ = mvut , Luego: ( ) 2 d (γv) u dv v t 2 F⃗ = m = γm γ ut + un dt dt ρ donde ut es el vector unitario tangente a la trayectoria de la part´ıcula. un es el vector unitario ortogonal a ut dirigido hacia el centro de curvatura de la trayectoria y ρ es el radio de curvatura . Ahora si la fuerza es paralela a la velocidad , la part´ıcula se mueve en l´ınea recta (ρ → ∞) Finalmente obtenemos : 3 dv

dv F = mγ =m dt dt

(

v2 1− 2 c

)−3/2

2. Demostrar que el producto escalar de un 4-vector contravariante con un 4-vector covariante es invariante ´ RESOLUCION sean los cuadrivectores contravariante y covariante respectivamente: A′u = Λuα Aα β Bu′ = Λu Bβ

( β ) ( ) β ⇒ A′u Bu′ = (Λuα Aα ) Λu Bβ = Λuα Λu (Aα Bβ ) = δαβ Aα Bβ = Aα Bα Luego el producto escalar de un 4-vector contravariante con un 4-vector covariante es invariante de forma o covariante. 3. Muestre que el gradiente es un vector covariante ´ RESOLUCION

AN´IBAL A. P.

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Se sabe que el gradiente covariante viene dado por: ∂ ∂xν ∂ ∂xν = = ∂ν ∂x′u ∂x′u ∂xν ∂x′u ∂xν ν Λu = ∂x′u ∂u′ =

Luego : ν

∂u′ = Λu ∂ν ν

Se observa que tiene la misma forma que un cuadrivector covariante (Bu′ = Λu Bν ) 4. La densidad lagrangiana de un campo escalar es dada por: 1 1 L(ϕ, ∂u ϕ) = ∂u ϕ∂ u ϕ − m2 ϕ2 2 2 Use la ecuaci´on de movimiento de Euler-Lagrange y obtenga la ecuaci´on de KleinGordon ´ RESOLUCION La ecuaci´on de Euler - Lagrange viene dado por: ( ) ∂L ∂L ∂u − =0 ∂(∂u ϕ) ∂ϕ Reformulamos la densidad lagrangiana introduciendo la m´etrica η uν , obteniendo 1 1 L = ∂u ϕη uν ∂ν ϕ − m2 ϕ2 2 2 Luego: ∂L = −m2 ϕ ∂ϕ ) ( ∂L 1 uν 1 ∂∂ν ϕ = η ∂ν ϕ + ∂u ϕ = η uu (∂u ϕ + ∂u ϕ) = ∂u ϕ ∂(∂u ϕ) 2 ∂(∂u ϕ) 2 Reemplazando en la ecuaci´on de Euler - Lagrange, obtenemos la ecuaci´on de Klein - Gordon : (∂u ∂ u + m2 ) ϕ = 0 que tambi´en puede escribirse de la siguiente manera: ( + m2 )ϕ = 0 donde  es el operador D’Alembertiano que es la generalizaci´on del operador laplaciano a un espacio de Minkowski Nota:La ecuaci´on de Klein - Gordon y la densidad Lagrangiana de un campo escalar corresponden a temas de Mec´anica cu´antica relativista o tambi´en la parte introductoria de teor´ıa cu´antica de campos