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RELACIONES ESCALARES Y COMPLETAS DE CIRCUITOS LINEALES

I.- OBJETIVO: Deducir experimentalmente la variabilidad de las corrientes y caídas de tensión a través de los elementos R – L – C, la aplicarle una señal sinusoidal.

II.- FUNDAMENTO TEÓRICO: Si un sistema lineal es excitado por una función periódica, la respuesta será una función periódica con el mismo periodo. Supóngase que la excitación y la respuesta están dadas respectivamente por la sinusoides: v(t) = Vmcos (wt + )

.........

i(t) = Imcos (wt + ) .........

(1) (2)

donde Vm e Im son los valores máximos de las funciones temporales sinusoidales de la frecuencia  con ángulos de fases  y . Intensidad de corriente y tensión senoidales Al aplicar las leyes de Kirchhoff a un circuito cualquiera de una malla el resultado es en general una ecuación integrodiferencial. Los métodos de resolución clásicos de ecuaciones diferenciales proporcionan la solución del problema eléctrico. Ahora bien, la intensidad de corriente, que suele ser la incógnita, debida a una determinada tensión aplicada, viene dada por una suma de dos funciones. Una de ellas corresponde a la intensidad del régimen transitorio que, normalmente se anula a las pocas fracciones de segundo, y la otra constituye la intensidad en régimen permanente la cual perdura mientras existe la excitación. Intensidad de corriente senoidales En la Tabla 1 aparecen las tensiones en bornes de los tres elementos R. L y c puros en el caso de que la corriente que circule por ellos sea de tipo seno o coseno.

Tabla 1 1

Tensión en bornes de un elementos puro si la corriente es senoidal Elemento

Tensión si

Tensión si

Tension si

i es general

i = Im sen wt

I = I, cos wt

VR = Ri

VR = RIm sen wt

VR = RIm cos wt

di dt

VL = wLIm cos wt

VL = wLIm (-sen wt)

Resistencia R Autoinducción L Capacidad C

VL = L Vc =

1 C



idt

Im   cos wt  wC

Vc =

Vc =

Im Sen wt wC

Tabla 2 Corriente en los elementos puros si la tensión es senoidal Elemento

Tensión si

Tensión si

Tension si

v es general

v = Vm sen wt

V = V, cos wt

Resistencia R

Autoinducción L

Capacidad C

iR = iL =

v R

1 v dt L

ic = C

dv dt

Vm sen wt R

iR =

Vm cos wt R

Vm   cos wt  wL

iR 

Vm sen wt wL

IR = iL =

ic = wCVm cos wt

ic = wCVm (-sen wt)

Tensiones senoidales En la tabla 2 aparecen las intensidades de corriente por los tres elementos R. L y c puros en el caso de la que la tensión aplicada a cada uno de ellos sea de tipo seno o coseno. 2

Impedancia La impedancia de un elemento aislado o de una rama de varios elementos o de un circuito completo es la relación entre la tensión aplicada y la intensidad de corriente que circula. Im pedancia 

Función de tensión Función de int ensidad

si las tensiones e intensidades de corriente son senoidales esta relación tiene un modulo y un argumento (ángulo). Ángulo de fase Si tanto la tensión como la intensidad de corriente son funciones senoidales del tiempo y se representan gráficamente con la misma escala de tiempos, aparece un desplazamiento relativo entre ambas magnitudes que solo es nulo en el caso de tratarse de un elemento resistivo puro. Dicho desplazamiento es el ángulo de fase y nunca puede ser superior a



/2 radianes. Por convenio al hablar del ángulo de fase se

considera “el que forma la intensidad de corriente i con la tensión V”. En un condensador, por ejemplo i adelanta igual a wL ,V adelanta





/2 radiantes a v: en un circuito serie RL, con R

/4 a i (o bien o esta retrasada



/4 respecto de V): en una

resistencia pura i esta en fase con V: etc. Las representaciones de las figuras siguientes aclaran los conceptos de impedancia y ángulo de fase.

Resistencia R En un elemento resistivo puro la intensidad de corriente y la tensión están en fase. El modulo de la impedancia es R. Autoinducción L En una bobina pura la intensidad de corriente se retrasa



/2 respecto de la



/2 a la tensión. El

tensión. El módulo de la impedancia es wL. Capacidad C En un condensador puro, la intensidad de corriente adelante módulo de la impedancia es

1 wC

3

Circuito RL La intensidad de corriente se retrasa respecto de la tensión un ángulo igual a arc R 2   wL 

tg (wL L/R). El módulo de la impedancia es

2

.

Circuito serie RC La intensidad de corriente adelanta a la tensión en un ángulo igual a arc  1 / wC    . El módulo de la impedancia es R  

R 2  1 / wC 

2

Circuitos serie y paralelo En un circuito cuyos elementos (impedancias) están conectados en serie es igual a la suma de las caídas de tensión en dichos elementos individuales. En un circuito cuyos elementos (impedancias) están conectados en paralelo la intensidad de corriente total es igual a la suma de las intensidades que circulan por cada uno de dichos elementos individuales. Impedancia compleja y notación fasorial El análisis de circuitos en régimen permanente senoidal tiene una gran importancia no solo porque las tensiones que suministran los generadores son, muy aproximadamente, funciones senoidales del tiempo sino porque cualquier forma de onda periódica se puede sustituir por un término constante y la serie de términos de senos y cósenos. Impedancia compleja Consideremos al circuito serie RL de la figura 6 al que se le aplica una tensión v(t) = vmr/wt. Según la formula de Euler, esta ecuación se descompone en un termino es seno y otro en coseno. Vm coswr + jVm sen wt. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla o lazo tendremos. Ri  t   L

di  t   Vme jwt dt

La ecuación diferencial lineal es de primer orden y su solución particular es de forma i(t) = Kejwt. Sustituyendo esta función la corriente resulta. RKe jwt  jwLKr jwt  Vm e jwt

4

donde K =

Vm Vm e jwt . La relación entre las funciones de tensión e e i(t) = R  jwL R  jwL

intensidad de corriente pone de manifiesto que la impedancia es un numero complejo cuya parte real es el valor de R y cuya parte imaginaria es wL: Z

w t   i t 

vme jwt  R  jwL Vm jwt e R  jwL

Consideramos ahora un circuito serie RC con la misma tensión aplicada Vmejwt. En este caso. Ri  t  

Haciendo

:

1 i  t dt  Vm e jwt C

i(t) = Kejwt y sustituyendo en (l) resulta. RKe jwt 

de donde K 

Vm Vm  R  1 / jwC R  j 1 / wC 

Z

1 Ke jwt  Vm e jwt jwC

y

i t  

Vm e jwt , por tan to R  j 1 / wC 

Vme jwt  E  j 1 / wC  Vm jwt e R  j 1 / wC 

Una vez mas observamos como la impedancia es un numero complejo cuya parte real es el valor de y cuya parte imaginaria es, en este caso – 1/wC. Todo esto indica que los elementos de un circuito se pueden expresar mediante su impedancia compleja Z. Ahora bien como la impedancia es un número complejo se podrá representar por un punto en el plano complejo. Además como la resistencia ohmica no puede ser negativa solo se precisan el primero y el cuarto cuadrante. La representación gráfica correspondiente se llama diagrama de impedancias. La resistencia R corresponde a un punto sobre el eje positivo. Una inductancia o reactancia inductiva XL se representará por un punto del eje imaginario positivo. Mientras que una capacitancia o reactancia capacitiva X c estará representada por un punto sobre el eje imaginario negativo. En general una impedancia compleja Z se 5

encontrará sobre el primero o el cuarto cuadrante. Según los elementos que integren el circuito. El argumento de la forma polar de Z esta comprendido, según lo dicho entre   / 2 radiantes.

Notación fasorial Consideremos la función f(t) = r ejwt. Representa un numero complejo que depende del tiempo t. Sin embargo, su modulo es constante e igual a r. Haciendo una representación grafica en los instantes t = 0,  / 4 w y  / 2 w | como se pone de manifiesto la naturaleza de la citada función. En efecto, para w constante el segmento gira en sentido contrario al de las agujas del reloj con velocidad angular constante. Si observamos las proyecciones de este segmentos giratorio sobre los ejes real e imaginario. Veremos que coinciden con los cósenos y seno, respectivamente de ejwt dados por la formula de Euler. Anteriormente vimos que por un circuito serie RL al que se aplica una tensión v = Vm sen wt voltios circula una corriente, i = I m sen (wt - ) amperes, que esta retrasada un ángulo 0 respecto de la tensión, siendo  = arc tg (wL/R). Este ángulo de fase depende de las constantes del circuito de la frecuencia de la tensión aplicada, pero nunca puede ser mayor de

 /2 radianes. Además por el sentido de giro se deduce que

la corriente esta retrasada respecto de la tensión un ángulo . Las proyecciones del segmento giratorio sobre el eje imaginario son exactamente las funciones representadas. Estos se deduce de la formula de Euler ya que la parte imaginaria de la función exponencial es la función seno. Consideramos una función de tensión general r= V mej(wt+2) siendo



la fase

inicial de la misma es decir en el instante inicial t = 0,. Apliquemos esta tensión a un circuito de impedancia Z = ejθ (-  /2 < θ