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• Henry A. Chero Valdivieso

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Universidad Los Ángeles de Chimbote Facultad de Educación y Humanidades

PRODUCTO CARTESIANO Y RELACIONES

Lic. Henry Chero Valdivieso (Docente de Matemática)

¿Qué es un producto cartesiano? Sean A y B conjuntos no vacíos el Producto cartesiano entre A y B es un conjunto de “pares ordenados” donde la primera componente pertenece a A y la segunda componente pertenece a B y se denota por A x B.

A x B = {(a,b) / a ∈ A y b ∈ A } Ejemplo (1) : Sean A = {1, 2, 3} y B = {a, b}, A x B consta de los 6 pares de la lista (1, a) (1, b)

(2, a) (2, b)

(3, a) (3, b)

Lic. Henry Chero Valdivieso (Docente de Matemática)

Producto cartesiano Los pares ordenados (a, b) ∈ A × B se pueden representar como puntos que corresponden al cruce de columnas que representan los elementos de A y filas que representan los elementos de B. Ejemplo: La representación gráfica de los pares del ejemplo anterior se muestra a continuación.

B b a

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(1,b) (1,a)

1

(2,b) (3,b) (2,a)

2

(3,a)

3

A

¡¡Para reflexionar!! 1) En general, ¿será cierto que A x B = B x A? 2) Si A y B son finitos ¿qué podemos decir de A x B?

Respuestas: •

No son iguales ... Por ejemplo sean los conjuntos A = {a, b, c} ^ B = {1, 2} A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b, 2), (c, 1), (c,2) } B x A = { (1,a), (1,b), (1,c), (2, a), (2, b), (2,c) }

2) A x B= A. B

….. ¿Puedes decir por qué? …..

Además A. B = B. A= B x A Entonces A x B= B x A Lic. Henry Chero Valdivieso (Docente de Matemática)

Ejemplo (2) •

Sean A = {1, 2, 3} y B = {0, 1, 2, 3}. Haz una lista de los elementos de A x B.

•

Representa gráficamente al subconjunto R = { (a, b) ∈ A x B / a + b ≤ 3} B 3

Nos interesan algunos subconjuntos del producto cartesiano

2 1 0 1

2

3

A

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¿Qué es una relación binaria? Sean A y B conjuntos no vacíos Una relación R de A en B es cualquier subconjunto de A x B. En particular, cualquier subconjunto de A x A es una relación binaria en A. A Ejemplo (3): Sea U = {a, e, i, o, u}, A = {a, o} y B = { i, u} A x B = {(a,i), (a,u), (o,i), (o,u)} Son relaciones de A en B: 1) Ø 3) {(a, i)}

2) {(a,i), (a,u)} 4) A x B Lic. Henry Chero Valdivieso (Docente de Matemática)

Notación: • Si (a,b) ∈ R decimos que “a está relacionado con b” y lo denotamos por a R b. Ejemplos: 1) En N definimos la relación R así: “a R b sii a es el doble de b”. Algunos elementos de la relación son: (2, 1), (8, 4), (2500, 1250), (120, 60) 2) En N se define la relación R por: “x R y si x divide a y” Entonces: 1 R 2, 2 R 2, 2 R 6, 3 R 18, 3 R 21, 3 R 3, .... Lic. Henry Chero Valdivieso (Docente de Matemática)

2 R 18,

Conteo de

relaciones:

Sean A y B conjuntos finitos y no vacíos ¿podemos determinar el número de relaciones entre A y B? Sí !. Supongamos |A|=m y |B|=n. Sabemos que |AxB|=m.n, por lo tanto, |℘(AxB)| = 2m.n Entonces pueden definirse hasta 2m.n relaciones incluyendo Ø. Ejemplo: Ejemplo: Si A = {1, 2, 3} y relaciones de A en B.

B = {-1, -2} entonces hay 64

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A continuación se le sugiere resolver una serie de ejercicios en los que tendrá la oportunidad de aplicar el contenido repasado.

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