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• Jaime Ortiz

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Series de fourier para rectificador de media onda @autor:

[email protected]

→

In[432]:=

→

Definición de algunas ecuaciones comunes en electrónica

In[433]:=

w

:

velocidad angular

f

:

frecuencia

T

:

periodo el que la onda se repite

ClearAllw,f,T 1 f= ; T velocidad = w == 2π*f;

Ahora tenemos que encontrar la función que describe la onda de salida (la onda rectificada) que a la que queremos aplicar la seria de fourier, sabemos que parte no rectificada (la parte positiva) la podemos describir con la función f(x) = VmSen(w x) esto es solo para la mitad del periodo entonces solo esta definida entre 0 ≤ x ≤ entre

T 2

F (x) =

T 2

, para un y la parte rectificada claramente pertenece a la función f(x) = 0

≤ x ≤ T (recordemos T es el tiempo en el que la onda se repite) Vm Sin(wx) 0

0≤ x ≤ T2 T ≤x≤T 2

Remplazamos T (periodo) en términos de w (velocidad angular) y multiplicamos por un medio para simplificar In[436]:=

periodo = Solvevelocidad,T[[1,1]] (1/2) *#&/@periodo

Out[436]=

T → 2π w

Out[437]=

T → π 2 w

In[438]:=

2

fourier media onda.nb

Ahora podemos escribir entonces nuestra función a trozos de esta manera In[439]:=

Vm Sin(wx) 0

F (x) =

0≤ x ≤ wπ π ≤ x ≤ 2wπ w

De la definición de serie de fourier, sabemos que puede ser representada como: f (x) =

a0 2

+ ∑∞ n=1 anCos(nwx)+bn Sen(nwx)

Cálculo de Coeficientes: Coeficiente a0 : a0 =

T

2 T

∫0 f (x) ⅆ x

Reescribimos en términos de w 2π

a0 =

2 2π

w ∫0 w f (x) ⅆ x ⩵

2π

w π

w ∫0 f (x) ⅆ x

Como la función esta definida a trozos, integramos solo donde la función no es nula, π Vm Sin(wx) , 0≤ x ≤ w In[440]:=

Out[441]=

ClearAll[vm,w,x] π w w a0 =  vm Sin[w x]ⅆx π 0

2 vm π

Coeficiente an : an =

2 T

T

∫0 f (x) Cos (nwx) ⅆx

Reescribiendo en términos de w an =

2w 2π

2π

∫0 w f (x) Cos (nwx) ⅆx ⩵

w π

2π

∫0 w f (x) Cos (nwx) ⅆx

Como la función esta definida a trozos, integramos solo donde la función no es nula, π Vm Sin(wx) , 0≤ x ≤ w In[442]:=

Out[443]=

ClearAll[vm,w,x,n] π w w an =  vm Sin[w x] Cos[n w x]ⅆx//Simplify π 0

vm 1 + Cos[n π] π - n2 π

fourier media onda.nb

Análisis para simplificar la función Cos[n π] Cleari

In[444]:=

For i = 0, i < 4, i++, Print"el para n = ",i," Cos(nπ) = ", Cos i*Pi   Cleari el para n = 0 Cos(nπ) = 1 el para n = 1 Cos(nπ) = -1 el para n = 2 Cos(nπ) = 1 el para n = 3 Cos(nπ) = -1

Podemos notar que para cada n par el Cos(n π) es igual a 1 y para cada n impar el Cos (n π) = -1, podemos entonces remplazar Cos(n π) por (-1)n an =

In[447]:=

Out[447]=

π-n2 π

//.Cos[n π]→ (-1)n 

1 + - 1n  vm π - n2 π π-n2 π //Factor

In[448]:=

Out[448]=

vm (1+Cos[n π])

- - 1 + n 1 + n π

Podemos notar que an esta definida por para todo n != 1 y esta indeterminada para n = 1 1+(-1)1+n  vm

an =

?

1-n2  π

n≠ 1 n=1

Calculando la indeterminación para n = 1 a1 =

In[449]:=

Out[449]=

w π

π w

 vm Sin[w x] Cos[1 w x]ⅆx//Simplify 0

0

1+(-1)1+n  vm

an =

0

1-n2  π

n≠ 1 n=1

Coeficiente bn : bn =

2 T

T

∫0 f (x) Sen (nwx) ⅆx

Reescribiendo en términos de w

3

4

fourier media onda.nb

T

2 T

bn =

∫0 f (x) Sen (nwx) ⅆx ⩵

w π

2π

∫0 w f (x) Sen (nwx) ⅆx

Como la función esta definida a trozos, integramos solo donde la función no es nula, π Vm Sin(wx) , 0≤ x ≤ w

Out[451]=

w

bn =

In[451]:=

π

π w

 vm Sin[w x] Sin[n w x]ⅆx 0

vm w Sin[n π] π w - n2 w

Análisis para Sen(2nπ) Cleari

In[452]:=

For i = 0, i < 4, i++, Print"el para n = ",i," Sen(nπ) = ", Sini*Pi  Cleari el para n = 0 Sen(nπ) = 0 el para n = 1 Sen(nπ) = 0 el para n = 2 Sen(nπ) = 0 el para n = 3 Sen(nπ) = 0

Podemos notar que para cada valor de n el el sen(nπ) = haciendo que la componente bn = 0 bn = 0

In[455]:=

Out[455]=

0

Calculando la indeterminación para n = 1 b1 =

In[456]:=

Out[456]=

w π

π w

 vm Sin[w x] Sin[w x]ⅆx 0

vm 2

bn =

0vm 2

n≠ 1 n=1

Finalmente tenemos que:

f (x) =

a0 2

+ ∑∞ n=1 an Cos(nwx) + bn Sen(nwx)

an = an bn = bn

In[457]:=

Out[457]=

1 + - 1n  vm π - n2 π

Out[458]=

0

fourier media onda.nb

5

Clear[n,vm,w] a0 f = +a1 Cos[w x]+b1 Sin[w x] 2 3 a0 f3 = +a1 Cos[w x]+b1 Sin[w x]+an*Cos[n w x]+bn*Sin[n w x] (* SE CALCULA LA SERIE PARA 3 ARMONICOS 2 n=2

In[459]:=

Out[460]=

vm + 1 vm Sin[w x] π 2

Out[461]=

vm - 2 vm Cos[2 w x] + 1 vm Sin[w x] π 3π 2

para una amplitud de 5 y una frecuencia de 1 para 3 armonicos w = 2* Pi * 1; vm = 5; Show

In[462]:=

Plotf3, {x, 0, 2}, ContourPlot{x⩵1,x⩵2},x,0,3Pi,{y,0, 6},ContourStyle→Dashing[0.01],Red 

5

4

3 Out[464]=

2

1

0.5

1.0

1.5

2.0

6

fourier media onda.nb

In[473]:=

Manipulate Show Plot

hasta vm 1 + vm Sin[w x]+  an*Cos[n w x],{x,0,2}, π 2 n=2

ContourPlot {x⩵1,x⩵2}, x, 0, 3Pi, {y, 0, 6}, ContourStyle→ Dashing[0.01], Red   ,{hasta, 0, 5}

hasta

4

3 Out[473]=

2

1

0.5

-1

1.0

1.5

2.0

fourier media onda.nb

hasta

5

4

Out[472]=

3

2

1

0.5

1.0

1.5

2.0

0.5

1.0

1.5

2.0

hasta

5

4

Out[465]=

3

2

1

7