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• Hernan Rivera Mendoza

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RECTAS EN DOS DIMENSIONES Para trazar una recta se necesita conocer 2 puntos, geométricamente es lo que hace cualquier alumno que quiere graficarla. Y Siempre que sepa ubicar los puntos

B (8,11) A

(2,3)

X

La idea es responder muchas preguntas que la grafica no puede responder, para esto debemos expresar la grafica en una forma analítica, una ecuación que exprese lo mismo. Toda recta es generada por un punto “llamado punto de paso” y un vector llamado “vector dirección”. Observe la grafica y los puntos “A” y “B” con los cuales hace el trazo. Puede tomar como punto de paso cualquiera de los 2 puntos y como vector ̅̅̅̅

̅̅̅̅

Teóricamente: (

)

El vector puede ser

̅

̅̅̅̅ 𝑜 𝐵𝐴 ̅̅̅̅ 𝐴𝐵

Representa cualquier punto de la

El punto de paso puede ser

(x,y) es cada punto de la recta que, va apareciendo conforme le va dando valores al parametro “ ” Por ejemplo: podemos expresar la recta anterior (

)

(

)

(

)

Donde se eligió el punto de paso “A”; y se eligió como vector dirección ̅̅̅̅ Cuando Ud. le da valores al parámetro “ ”, por ejemplo “ Resulta: (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

” ) “es un punto de la recta”

La recta expresada asì se llama “Ecuaciòn Vectorial de la recta” Si le dieran varios puntos y le digan que una recta pasa por todos los puntos:

A

B

C

D

E

Entonces como punto de paso puede tomar cualquier punto y como vector direcciòn puede tomar:̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Cualquier desiciòn le permite hallar la ecuaciòn vectorial de la recta, pero si la pregunta es ¿ por los puntos A=(3,2) , B=(6,-3) , C=(-2,4) , D y E pasa una recta? Primero tome 2 puntos y halle la ecuaciòn vectorial. Poe ejemplo: Tomemos “A” y “B”, entonces: (

)

(

)

(

)

Si el punto “c” pertenece a esta recta entonces los tres puntos pasan por la recta. ¿Còmo sabemos si este punto pertece a la recta? Fàcil, para un paràmetro adecuado se debe cumplir: ( Existirà “ ” ,veamos: (

)

(

Por igualdad de vectores: -5 = 3 Pero no es un mismo

)

(

)

) (

( )

) (

(

) )

y tambien 2= -5

para ambos, luego el punto C = (-2,4) no pertenece a la recta.

Luego pruebe con el punto D y finalmente el punto E, si ninguno cumple la ecuaciòn entonces no es posible que los puntos formen una recta. Mas adelante volveremos con este problema y lo resolveremos de una manera mas fàcil. Esta recta puede representarse de otra manera: (

Por igualdad de vectores:{

)

(

(

)

(

(

)

(

) )

( (

) ) )

ecuación paramétrica de la Recta

Observe que el vector dirección son los coeficientes de .

Ejemplo sea la recta

{

Halle su ecuación vectorial.

Solución: (

)

(

)

(

)

La ecuación paramétrica puede convertirse en otro modelo de recta: { Si despejamos

en cada ecuación:

Igualando las ecuaciones:

Nuevamente observe que el vector dirección son los denominadores y el punto de paso se encuentra en el numerador pero con el signo cambiado. Ejemplo sea la ecuación de la recta:

; halle su ecuación vectorial.

Solución: (

)

(

)

(

)

Finalmente podemos llegar a otra ecuación de la recta a partir de la forma simétrica:

Multiplicando ambos miembros por sus respectivos denominadores: (

Reescribiendo la ecuación:

)(

)

( )(

)

Finalmente nunca debe ser la variable “x” negativa, multiplicando por (-1) toda la ecuación: Ecuación General de la recta. Volvamos al principio, cuando queríamos expresar de forma analítica la ecuación de una recta, la indiferencia en tomar cualquier punto como el punto de paso y al vector dirección como ̅̅̅̅ ̅̅̅̅, hace que las ecuaciones vectorial, paramétrica y simétrica sean diferentes, pero al querer hallar la ecuación general; todos debemos tener la misma respuesta. Ejemplo: sean los puntos A= (2,1) B=(5,7) C=(0,-3) y D=(-3,-9) por los cuales pasa una recta halle su ecuación. Solución: como todos los puntos pertenecen a una recta es indiferente tomar cualquier punto como punto de paso. Un alumno de la UTP elige B como punto de paso y otro alumno de la UNI elige D. Igualmente el vector dirección puede ser formado por dos puntos cualesquiera, luego el alumno de la UTP elige ̅̅̅̅ y el alumno de la UNI elige ̅̅̅̅. Cuando forman sus rectas: (

)

̅

UTP (

)

(

)

UNI (

)

(

)

(

)

(

Si quieren la ecuación paramétrica: { Si quieren la ecuación Simétrica: (despejando

Si quieren la ecuación General:

{ en cada miembro e igualando)

)

Podemos dividir entre 5

podemos dividir entre (-3)

Nuevamente observe como las ecuaciones son aparentemente diferentes, pero la ecuación general revela que no es así; ambas representan la misma recta. No se olvide que “x” debe ser siempre positivo por eso se divide entre (-2). Ahora que conocemos las diferentes ecuaciones de una recta podemos responder varias preguntas de una manera más sencilla. Por los puntos: A= (4,-1) B=(2,-2) C=(-2,3) y D=(1,1) ¿pasa una recta? Solución: Ahora la pregunta es totalmente diferente a la anterior, no puede elegir cualquier punto para responder. Si necesita solo 2 puntos para hacer su ecuación, entonces solo elija 2, por ejemplo A y C, por lo tanto el vector dirección debe ser ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y A ò C el punto de paso. Yo tomo A y ̅̅̅̅ , entonces: ( Como para un (

)

(

)

(

)

(

)

determinado se genera un punto se debe poner: )

(

)

(

y

)

(

)

(

)

De donde debemos buscar si existe el . Otra forma más rápida y fácil es trabajando con la ecuación general, en este caso:

Reemplace en el valor de “x” e “y” el punto que quiere averiguar si pertenece, si cumple con la ecuación pertenece a la recta de lo contrario no pertenece. ( )

(

( )

( )

)

entonces:

no pertenece B

entonces:

si pertenece D

¿Cómo encontramos rápidamente la ecuación General? Haciendo uso del vector ortogonal, para no tener que hallar secuencialmente todas las ecuaciones de la recta. Si el vector dirección de la recta es (-6,4), entonces (

)

(

)

Luego multiplicamos a toda la ecuación vectorial por este vector: *( (

)(

)

(

)

)

(

)(

(

)+( )

) (

(

)(

)

)

“dividiendo entre (-2) para hacer positiva “x” DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.Gráficamente se observa: Q

Es la distancia 𝐿

𝑃

El problema siempre da la ecuación de la recta y el punto desde donde se quiere hallar la distancia (Q). Ud. debe reconocer el punto de paso (P0) y el vector dirección de la recta ̅. Por ejemplo: hallar la distancia del punto Q=(5,-6) a la recta (x ,y) = (1,2) + (5,-4) Dependiendo del tipo de ecuación debe saber hallar el punto de paso (1,2) y el vector dirección (5,-4). Q

Q

d

𝑃 ̅̅̅̅ = Puede hallar la distancia, 𝑃𝑄

𝑃 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑏̅̅

𝑎 ̅ 𝑏̅

̅ 𝑏

Puede hallar la componente del vector sobre la recta

(

Luego por Pitágoras encontrar la distancia pedida:

)

(

)

Hay otra forma de hallar la distancia de un punto a una recta, pero debe trabajar la ecuación de la recta, que debe estar en su forma general. (x ,y) = (1,2) + (5,-4) multiplicando por su ortogonal: { x ,y) = (1,2) + (5,-4)}(4,5)

Reescribiéndola:

La formula es:|

|; donde (x,y) es el punto (5,-6), las barras solo indican que al ser

una distancia debe interpretar que su solución debe ser siempre positiva. |

( )

(

)

|

|

|

PARALELISMO ENTRE RECTAS. Dadas las rectas (

)

̅

(

)

̅

Las rectas son paralelas si sus vectores dirección ( ̅) y ( ̅) son paralelos, ya se vio en el capítulo anterior cuando dos vectores son paralelos ̅ ̅ ORTOGONALIDAD ENTRE RECTAS. Dos rectas son ortogonales si sus vectores direccionales ( ̅) y ( ̅) son ortogonales; dos vectores son ortogonales si se cumple: ̅ ̅ POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS. a.- Si ha demostrado que las rectas son paralelas, la siguiente pregunta es ¿gráficamente se superponen o no? ¿Tienen la misma dirección o no? Si las rectas paralelas no se superponen ¿Cuál es la distancia entre ellas? b.- Si ha demostrado que las rectas no son paralelas, entonces de todas maneras las rectas se van a interceptar en un punto, ¿Cuál es la coordenada de este punto? la siguiente

pregunta es ¿son ortogonales? Entonces sabría que el ángulo entre ellas es 90 grados, pero; si no son ortogonales ¿Cuál es el ángulo entre rectas? Una forma muy sencilla de responder a estas preguntas es trabajando con la ecuación General de las rectas. Ejemplo. Sean las rectas: (

)

(

)

(

(

)

(

)

(

);

(

)

(

)

(

)y

) . Analice las posiciones relativas entre ellas.

Primero debe convertir todas las ecuaciones a la forma general. a.- {(

)

(

b.- {(

)

(

c.- {(

)

(

)

( )

)

)+( (

)+(

(

)+(

) ) )

No olvide que debe sacar mitad o tercia siempre que los coeficientes de “x” e “y” lo permitan y siempre debe ser “x” positiva. Segundo, observe las ecuaciones solo hasta la igualdad. Aquellas iguales son paralelas y las que no son iguales con toda seguridad no son paralelas. Luego:

;

Tercero, aquellas paralelas ¿coinciden o no? ¿Tienen el mismo sentido o no? Ahora observe el número después de la igualdad {

¿Son iguales o diferentes?, en este caso por ser diferentes las rectas no coinciden. ¿Tiene el mismo signo o no?, en este caso ambos son positivos, luego tienen el mismo sentido.se considera a la derecha De haber sido iguales los números coinciden las rectas y de ser diferentes lo signos, significa que tienen los sentidos diferentes. Cuarto, aquellas no paralelas ¿Cuál es el punto de intercepción? ¿Cuál es el ángulo entre rectas? Al no ser paralelas de todas maneras hay un punto de intercepción y se halla resolviendo un sistema de ecuaciones con dos variables. {

{

Resolviendo ambos sistemas. { *

+

{ *

+

{

El punto es (-21,64)

{

El punto es (-5,24)

En cuanto al ángulo: (

)(

)

(

) (

)

Ningún par de rectas es ortogonal, para hallar el ángulo se emplea una formula. PENDIENTE DE UNA RECTA Y ÁNGULO DE INCLINACIÓN. Observe las siguientes rectas:

𝛼

𝛼 𝛼

𝛼

Si trazamos una paralela al eje de las “x”, el ángulo formado con la recta se encuentra entre las flechas, el problema es que se considera el ángulo positivo sobre el eje “x” y los ángulos negativos, debajo del eje “x”. Esto hace muy complicado hallar el ángulo de inclinación de una recta, pero de conocer el ángulo si se halla la tangente a este ángulo; al valor se le conoce como pendiente de la recta.

CALCULO DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA.

Y Recuerde que para calcular el vector dirección de la recta solo se necesita conocer dos puntos

B=(0,6) 𝜶 A=(-3,0)

3

6 X

Cuando halla la tangente de un ángulo en un triangulo se entiende que los lados del triángulo son positivos; puede interpretarse que las longitudes son positivas, en este caso los puntos “A” y “B” del triángulo sirven para ubicar correctamente el triángulo, pero; Ud. debe interpretar los lados del triángulo porque son medidas y nunca puede medir negativamente, esa es la razón por la cual:

Ahora sabe que si le pregunto por el vector dirección Ud. puede asumir que es el vector ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ calculemos por ambos lados. ̅̅̅̅

(

̅̅̅̅

(

)

(

)

(

Ahora si conoce el vector dirección de una recta ̅ En el caso de ̅̅̅̅

(

En el caso de ̅̅̅̅

(

)

) )

(

)

(

(

)

( )

)

En ambos casos es la misma respuesta y coincide con la pendiente hallada en la recta.

)

En adelante para hallar la pendiente de una recta, no haga como lo demostré en un gráfico, eso le debe quedar como teoría, halle el vector dirección como en ( ) y tendrá la pendiente de la recta. Ahora este número puede ser positivo ò negativo, por lo tanto debe interpretar el signo, si la pendiente es positiva solo indica que al dibujar la grafica la flecha debe estar siempre a la derecha, pero si la pendiente es negativa dibujara la recta con la flecha a la izquierda Ahora ya tiene la teoría para dibujar correctamente una recta. Grafique: (x,y) = (-3,2) +

(2,1)

Recuerde que si tiene 2 puntos puede graficar con su regla. ¿Cómo hallo los puntos? Recuerde que si da valores a “ ”; aparecen los puntos. Por ejemplo si

(

)

(

)

(

)

(

)

Graficando los puntos: Inicialmente la recta roja no tiene sentido, pero si calcula

( (

)

la pendiente:

)

𝟏

𝟏 𝟐

𝟐

3 Lo que importa no es el número sino el signo, luego la flecha debe ser dibujada hacia la derecha.

2 1

-4

-3 -2 -1

1

2 3

Note la importancia de reconocer el tipo de ecuación, para determinar el vector dirección. La ecuación general de esta recta es: ¿Qué pasa si despeja en esta ecuación la variable Y?

Llamada forma punto pendiente de la recta, porque el coeficiente de la variable “x” es ½ y es justamente la pendiente de la recta. (

Para graficar solo haga (

)

) Con ambos puntos obtiene la misma grafica anterior; y sabe además no solo cual es la pendiente sino el signo.

Ahora volvamos al análisis de rectas donde faltaba encontrar el ángulo entre rectas; para el primer caso: { Dibujemos las rectas: (0,23/2) y (23/5,0) son los puntos

{ Si despeja la variable “Y”, la pendiente es:

(-5/2) es negativo. (0,1) y (1/3,0) son los puntos

{ Si despeja la variable “Y”, la pendiente es:

𝛼

(-1/3) es negativo.

Ha encontrado gráficamente el ángulo entre las rectas, pero hallar su valor se requiere más teoría; observe el siguiente grafico de rectas.

Supongamos las siguientes rectas: 𝑳𝟏 𝜶 𝜶

𝜷

𝑳𝟐 𝜶 es el ángulo entre las rectas

Se sabe por geometría que 𝜃 𝛼 𝛽

𝜽

Por lo tanto 𝜃 (

Si quiere hallar

𝛽

𝛼

)

Por Trigonometría, la tangente de la diferencia de dos ángulos es: (

)

( )

Ahora recordemos el ángulo de inclinación de una recta: Para

es y para la recta ; pero además sabe que la pendiente de ambas rectas es la tangente de cada ángulo de inclinación, luego:

Las mismas que al reemplazar en ( ) se obtiene:

( )

( )

El único problema con esta fórmula es que ha sido deducida de la grafica, por lo tanto para calcular el ángulo entre las rectas de nuestro problema sigue siendo trabajoso. Pero, no es así, considere siempre que la pendiente (2) será la mayor pendiente entre las rectas y la pendiente (1) la menor entre las rectas. Ahora volviendo a nuestro problema. (-5/2) y

(-1/3) , luego cual es el mayor valor entre los dos, respuesta

Luego:

( )

( )

Es: (

( )

) (

(

)(

)

Entonces : 𝛼

)

𝑎𝑟𝑐

( )

Ahora esto reduce todo el trabajo, para hallar un ángulo entre rectas no es necesario dibujarlas, solo debe hallar sus pendientes y aplicar la formula considerando la pendiente (2) como la mayor pendiente entre las rectas. Para el segundo ejemplo entre rectas de nuestro problema inicial: {

La pendiente

y la pendiente

La mayor es -1/3 luego aplicando la formula:

( )

( (

) (

)

)(

)

Entonces : 𝛼

𝑎𝑟𝑐

( )

Note que es el mismo ángulo entre las rectas anteriores, claro gráficamente hay diferencias, pero al ser paralelas las rectas coinciden los ángulos con . He respondido todas las preguntas referentes a las posiciones relativas entre rectas menos la distancia entre dos rectas paralelas. Resulta que ya se resolvió la distancia de un punto a una recta, de manera grafica y mediante una fórmula.

Ejemplo: hallar las distancias entre las rectas paralelas

Ya se dijo que estas rectas son paralelas por el solo hecho de tener la misma ecuación general, además como terminan en “8” y “18”, dos números diferentes no coinciden su grafica es la siguiente: distancia

𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

Si tomamos un punto de una recta cualquiera, podemos hallar la distancia de este punto a la otra recta. El punto se halla haciendo x =0, entonces y = -8/3 Entonces:

, reemplazando el punto:

| ( )

(

)

|

Pero; esta ecuación se reduce más para el caso de distancia entre rectas paralelas: Sea una recta:

La otra recta paralela:

Su distancia es:

Recuerde que el valor absoluto debe absorber el signo de la diferencia, luego da lo mismo que .