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• Julio Valladolid

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EJEMPLO No.34: X Y Y * Z = XY + YZ + ZX Z X

Producto de dos matrices.-Sea A= (aij) m x n y B= (bij) n x p. El producto de A y B es una matriz de mxp. Si el número de columnas de A es igual al número de renglones de B, entonces A y B son compatibles bajo la multiplicación. EJEMPLO No. 35: A= a11 a21

a12 a22

B= 2x2 RC

b11 b21

b12 b22

2x2 RC

a11b11+a12b21 A*B= a21b11+a22b21

a11b12+a12b22 a21b12+a22b22

A * B = (aij) Nota.- Recordar el concepto del producto vectorial. En el producto de matrices, siempre multiplicaremos el vector renglón de la primer matriz , por el vector columna de la segunda matriz.

EJEMPLO No. 36:

A= 3 4

-2 6

A*B=3 4

2x2

-2 6

-2 0

B= -2 0

1 -3

1 -3

= -6 9 -8 -14

a11 = (3, -2)

-2 0

= -6

a12 = (3,-2)

1 3

=3+6=9

a21 = (4, 6)

-2 0

= -8

a22 = (4, 6)

1 -3

= 4 -18 = -14

A*B= 2x2

a11 a 21

a12 a22

EJEMPLO No. 37

Considerar las siguientes matrices y efectuar los productos que se indican A= 2 4

-3 1

A * B= a11 a12 a13 a21 a22 a23

B= 3 6 1 1 2 0

C=

2 0 3 4 -2 -1

= 3 6 2 13 26 4

Nota: # c de A = # r de B B * C= a11 a12 a21 a22

=

22 8

23 8

B *A = No se puede realizar



El orden de los factores si altera el producto de matrices porque al combinar el orden de los factores y multiplicarlos, obtenemos otro resultado, ejemplo: Amxn

Bnxp

A . B =compatibles porque n = n, la resultante seria tamaño m x p

TEOREMA 3

Ley asociativa para la multiplicación de matrices Sean A = (aij) n x m, B = (bij) m x p y C = (cij) p x q. Entonces la ley asociativa: A(BC) = (AB) C Se cumple y ABC, definida por cualquiera de los lados de la ecuación anterior, es una matriz de tamaño n x q (número de renglones de A por el número de columnas de C) TEOREMA 4

Ley distributiva para la multiplicación de matrices. Si todas las sumas y todos los productos siguientes están definidos, entonces, A(B + C) = AB + AC

(A + B) C = AC + BC

EJEMPLO No. 38

Efectúe los cálculos indicados: Si: A= 2 3 -1 4 B + A = -2 0 1 -1 Si:

B= -2 0 1 -1 2 + -1

A= -4 5 1 2x3 0 4 2

A * B = -4 5 2x3 0 4 C*D=1 3 x 3 -2 1

4 3 0

1 2 6 5 4

3 4

0 3 0 3

=

B= 3 -1 1 3x3 5 6 4 0 1 2 3 -1 * 5 6 0 1

*

1 13 4 = 20 2

2 -3 5 1 0 6 2 3 1

=

C= 1 4 6 3x3 -2 3 5 1 0 4

35 26

D= 3x3

2 -3 5 1 0 6 2 3 1

18 20

18 15 35 9 21 13 10 9 9

B * A = No se puede realizar el producto

PROBLEMAS DE APLICACION

EJEMPLO No. 39

Una tienda vende lavadoras de platos de la marca Mabe y Hoover de acuerdo a los siguientes datos Mes Marca X Marca Y

Proveedor Venta / menudeo

Diciembre 18 19 Marca X $240 $350

VENTAS Abril 10 12

Agosto 12 14

COSTOS Marca Y $190 $260

Determine el total de ventas y el de costos así como las utilidades durante los meses establecidos.

Solución.-Establecemos estructuras matriciales, de tal manera que las lecturas de los datos del renglón de la primera matriz, sean las mismas lecturas para las columnas de la segunda matriz. X Proveedor 240 Venta /menudeo 350

Y 190 260

*

Dic 18 19

Abril 10 12

Agosto Dic Abril 12 = 7930 4680 14 11240 6620 3310

1940

Agosto 554 7840 2300

EJEMPLO No. 40

Una tienda vende dos tipos de bicicletas marca x y marca y, fabricadas por la misma compañía. Las siguientes matrices dan las ventas de estos artículos durante cada mes, así como el precio de venta, y y el costo del distribuidor. Determine el total de costos, de ventas, y las utilidades de cada uno de los artículos para los meses enunciados. Marca X Marca Y 2x4

Dic. 7 5

X $Menudeo $150 $Distribuidor $ 90

Marzo 10 7 Y $180 $100

Abril 14 7

Mayo 12 7

Dic *X 7 Y 5

Marca X Marca Y $menudeo $150 $180 $Distribuidor $ 90 $100 Marzo Abril 10 14 7 7

mayo 12 = 7

Dic. Marzo Abril mayo 1950 2760 3360 3060 1130 1600 1960 1780

EJEMPLO No. 41

Un fabricante de joyería sobre diseño tiene órdenes por dos anillos, tres pares de aretes, cinco prendedores y un collar. El fabricante estima que le lleva 1 hora de mano de obra hacer un anillo, 1 ½ horas hacer un par de aretes, ½ hora un prendedor y dos horas un collar. a) Exprese las órdenes del fabricante cono un vector renglón >n. b) Exprese los requerimientos en horas para los distintos tipos de joyas como un vector columna. c) Utilice el producto escalar para calcular el número total de horas que requerirá para determinar las órdenes. Solución: a) A=(2, 3, 5, 1) b) B= 1 1½ ½ 2 c) A * B = 2(1) + 3(1 ½) + 5(1/2) + 1(2) A * B = 2 + 4.5 + 2.5 + 2 = 11 horas EJEMPLO No. 42

Un turista regresó de un viaje por Europa con moneda extranjera de las siguientes denominaciones: 1000 chelines austriacos, 20 libras inglesas, 100 francos franceses, 5000liras italianas y 50 marcos alemanes. En dólares, un chelín valía $0.055, la libre $1.80, el franco $0.20, la lira $0.001 y el marco $0.40. a) Exprese la cantidad de cada tipo de moneda por medio de un vector renglón. b) Exprese el valor de cada tipo de moneda en dólares por medio de un vector columna. c) Utilice el producto escalar para calcular cuantos dólares valía el dinero extranjero del turista. Solución: a) A = (1000, 20, 100, 5000, 50) b) B=

0.055 1.80 0.20 0.001 0.40

c) A * B = 1000(0.055) + 20(1.80) + 100(0.20) + 5000(0.001) + 50(0.40) A * B = 55 + 36 + 20 + 5 + 20 A * B = 136 dólares EJEMPLO No. 43

La siguiente tabla contiene ventas, utilidades brutas por unidad y los impuestos por unidad sobre las ventas de una compañía grande. Mes

Enero Febrero Marzo Abril

Producto Articulo vendido I

II

4 6 5 8

2 1 3 2.5

Artículos

Utilidad unitaria (en cientos de dólares)

I II III

3.5 2.75 1.5

III 20 9 12 20

Impuestos unitarios (en cientos de dólares) 1.5 2 0.6

Encuentre una matriz que muestre las utilidades y los impuestos totales para cada mes Solución: U.T = Utilidades totales I. T = Impuestos totales I Enero 4 Febrero 6

II III 2 20 1 9

I II

U.U I.U 3.5 1.5 2.75 2

Enero febrero

U.T 49.5 37.25

I.T 22 16.4

Marzo Abril

5 8

3 12 2.5 20

III 4x3

1.5

0.6 3 x 2

marzo Abril

43.75 20.7 64.87 29

NOTA. No debes olvidar que  Para sumar matrices tienen que ser del mismo tamaño  Para multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primer matriz debe de ser igual al número de renglones de la segunda matriz  El producto de un renglón por una columna es un escalar ( una cantidad cualquiera)  El producto de dos matrices, siempre se realiza multiplicando los renglones de la primer matriz por las columnas de la segunda matriz

T

N O.

8

INSTRUCCIONES.- Efectúa las operaciones indicadas y comenta tus resultados con los de tus compañeros 79)

2 3 -5

80)

3 0 4

5 7

=.

81). (a,b)(c,d) =

82).

a(b+c)

……………………4

84)

=

(-1,-3,4,5)(-1,-3,4,5)= 1 -2 4

a=

Realice las operaciones indicadas con los vectores sig.

83)

3 -2

0 b = -3 -7

4 -1 5

c=

(2b) ( 3c-5a )…………………..28

INSTRUCCIONES .- Realiza los cálculos indicados y compara tus resultados con los de tus compañeros.

85) .

87) .

89).

91).

2 -1

3 2

-4 5 1 0 4 2

4 0

1 6

86) =

88) .

3 -1 1 5 6 4 0 1 2

=

1 4 6 -2 3 5 1 0 4

2 -3 5 1 0 6 2 3 1

3 -2 1 4 0 6 5 1 9

1 0 0 0 1 0 0 0 1

T

90)

1 -1 1 1

1 0 -2

-1 0 2 3

6 4 3

7 1 4 2 -3 5

(1 4 0 2)

3 2 1 -2

=

92). =

N O.

a d g

b e h

=

c f j

-6 4 0 3

=

=

1 0 0 0 1 0 0 0 1

=

9

INSTRUCCIONES.- Resuelve los siguientes problemas, aplicando las operaciones matriciales necesarias y comenta el resultado con tus compañeros.

93) En un huerto se cultivan manzanas rojas, amarillas y verdes, las cuales se venden en cajas en dos mercados: el mercado de arriba y el de abajo. La ganancia es de $5.75 por cada caja de manzanas rojas, $3.25 por cada caja de manzanas amarillas y $2.00 por cada caja de manzanas verdes. En el mercado de arriba se vendieron 200, 150 y 300 cajas de manzanas rojas, amarillas y verdes respectivamente y en el de abajo 180, 250 y 200 de rojas , amarillas y verdes respectivamente. ¿Cual fue la ganancia generada por las ventas en cada mercado?..........................................................2237.50 y 2247.50 94) Cinco estudiantes tenían las siguientes cantidades de billetes y monedas: Teresa 2 billetes de $10, 3 de $1, 5 de 25 cent., 1 de 10 cent., y 3 centavos Ricardo 1 de $5, 8 de $1,, 2 de 25 cent., 3 de 10 cent., 1 de 5 cent. Y 1 centavo Luis 1 de $10, 2 de 10 cent., 2 de 5 cent.avos Carlos 1 de $10, 1 de $5, 2 de $1, 9 de 25 cent., 4 de 5 cent., y 4 centavos Sara 2 de $1, 3 de 25 cent., 3 de 10 cent., 3 de 5 cent. Y 16 centavos. ¿Cuanto dinero traía cada uno de ellos?.............................24.38, 13.86, 10.30, 19.49, 3.36 95) Una compañía paga un salario a sus ejecutivos y les da un porcentaje de sus acciones como un bono anual. El año pasado el presidente de la compañía recibió $ 80,000 y 50 acciones, se pagó a cada uno de los 3 vicepresidentes $ 45,000 y 20 acciones y el tesorero recibió $ 40,000 y 10 acciones. Calcular la cantidad total de dinero y el número total de acciones que pagó la compañía a los ejecutivos el año pasado. ………………………………………..255000 y 120 96) En una granja se recogen dos cosechas al año, las cuales se envían por embarque empaquetadas en cajas a tres distribuidores. De la primer cosecha se enviaron 400, 250 y 600 cajas a los distribuidores A, B y C respectivamente y de la segunda cosecha 180, 300 y 250 a los distribuidores A, B y C respectivamente. Si las ganancias de la primer y segunda cosecha fue de $2.25 y $3.15 por caja respectivamente ¿Cual fue la ganancia obtenida por los distribuidores durante el año?............................................................... 97) La siguiente tabla contiene ventas, utilidades brutas por unidad y los impuestos por unidad sobre las ventas de una compañía grande: PRODUCTO Artículo vendido Utilidades unitarias Impuestos unitarios Mes I II III Artículo ( en cientos de Dlls) (en cientos de Dlls) Ene 4 2 20 I 3.5 1.5 Feb 6 1 9 II 2.75 2 Mar 5 3 12 III 1.5 0.6 Abr 8 2.5 20 a) Encuentre las utilidades y los impuestos totales para cada mes. … enero 49.5 y 22, febrero 37.25 y 16.4, marzo 43.75 y 20.7, abril 64.875 y 29 b) ¿Cuál fue el ingreso que obtuvo la empresa durante los meses de enero a abril? …………………………………………….. 71.5, 53.65, 64.45 , 93.875 c)¿En qué mes las ventas fueron menores? ……………………………..…febrero

d) ¿Cuál fue el total de ingresos impuestos y utilidades durante dicho tiempo? ……………………………………………………283.475 , 88.10 , 195.375 98) Un fabricante de muebles elabora sillas y mesas las cuales deben de pasar por un proceso de armado y otro de acabado. Una silla necesita 2 horas de armado y 2 horas de acabado, para una mesa se necesitan 3 horas de armado y 4 de acabado. El fabricante tiene dos plantas A y B, si en el proceso de armado paga $9 y $10 por hora en las plantas A Y B respectivamente y en el proceso de acabado $10 y $12 por hora en A y B respectivamente. ¿Calcular el costo total de producción de cada producto en cada planta? …38 y 67 en A , 44 y 78 en B 99) Un proyecto de investigación nutricional comprende adultos y niños de ambos sexos. La muestra a investigar está formada por 80 hombres adultos y 120 niños; 100 mujeres adultas y 200 niñas. Si un adulto consume diariamente 20 gr. de proteínas, 20 gr. de grasa y 20 gr. de carbohidratos, y un menor 10 gr. de proteína, 20 gr. de grasa y 30 gr. de carbohidratos. ¿Cuantos gramos de proteínas y grasas consumen diariamente todos los hombres y mujeres del proyecto? ………………………..……………………………………….2800 y 6000 100) Una empresa de productos de computación tiene en inventario cuatro tipos de circuitos integrados (286, 386, 486 y 586) para computadora en tres almacenes. En el almacén A las ventas por circuito integrado fueron 270, 2130, 3210 y 265. En el almacén B fueron 1120, 4230, 3124 y 75 y en el almacén C 320, 3126, 2743 y 1012 de los circuitos 286,.386, 486 y 586 respectivamente. Si el precio de venta y utilidad por circuito fue 25 y 10m para el 286, 35 y 13 para el 386, 52 y 17 para el 486, 97 y 33 para el 586. ¿Cual fue el total en ventas y utilidades en cada almacén? ……………………………………………… ………………………………273925 y 93705, 345773 y 121773, 358210 y 123865 101) Un arquitecto construye casas de tres tamaños (1, 2 y 3 plantas) en dos modelos diferentes (A y B) . El profesionista planea construir 100 casas nuevas en una subdivisión: del modelo A 30 de una planta, 20 de dos plantas y 15 de tres plantas. Del modelo B 10 de cada tamaño. Las cantidades de material exterior necesario para cada tamaño de casa es el siguiente: para una planta 10 yardas 3 de concreto, 2000 pie tablón de madera, 2000 ladrillos y 300 pies 2 de tejas. Para una de dos plantas 15 yardas 3 de concreto, 3000 P.T. de madera, 4000 ladrillos y 400 pies2 de tejas. Para una de tres plantas 25, 5000, 6000 y 300 de concreto, madera, ladrillo y teja respectivamente. Si el concreto cuesta 25 la yarda 3, la madera 270 el millar de p.t. , el ladrillo 75 el millar y la teja 40 el ciento de pie 2. ¿Cuánto material de cada tipo se necesitará para cada modelo de casa? ¿Cuánto costará la construcción de cada tamaño de casa? ¿Cuánto costará la construcción de cada modelo de casa? ¿Cuanto costará construir toda la subdivisión? AUTOEVALUACION SEGUNDO EXAMEN PARCIAL INSTRUCCIONES.- Contesta las siguientes aseveraciones y comenta tu razonamiento con tus compañeros. Recuerda que no es necesario que memorices y que esto no es un examen, es una auto-evaluación. 1. Al producto de dos vectores se le llama a) Producto Matricial b) Escalar

c)Prod. Interno

d)Ninguna

2. Para efectuar un producto matricial es necesario que las matrices sean a) Mismo Tamaño b) #EA= #EB c) #CA= #RB d) #RA= #CB 3. Para efectuar la suma de dos matrices es necesario que a) Sean del mismo tamaño b) #EA= #EB c) #CA= #RB d) Sean iguales 4. Al efectuar un producto vectorial obtenemos. 2

a)

Una matriz

b)Un escalar

c)Un vector

d)Un (vector)

5. Si la matriz Apxq, el producto (BA) mxq, entonces la matriz B es de tamaño a) mxn b)mxp c)pxm d)qxp INSTRUCCIONES.- Realiza las siguientes operaciones con las matrices indicadas y compáralas con las de tus compañeros Si

A=

-1 3 4 -2

B=

-4 0 -1 5 2 3

2 C= 4 -7

Si A=

-1 3 4 -2

B= -1 -2 -5 3

3 4

A + (BC) =

C=

0 -1 -4 0 -3 -5

a= ( 1, 2, 3 )

0 1 -4

b=

b2 = A + ( BC ) =

A2 =

ab (AB) =

a +b = BC =

Hallar

BC = A2 =

a.b = BC =

-1 3 4 2

0 1 -4

b2 =

a+b= AB =

Si A=

a= ( 1, 2 ,3 ) b=

a.b =

a+b= AB = ab (AB) =

0 -3 5

B=

0 -4 -1 0

ab= A + (BC) =

-3 -5

C=

-1 -5 -2 3 3 4

a= ( 1, 2, 3 ) b2 = a b (AB) =

b=

0 1 -4 AB = A2 =

No olvides estudiar los planteamientos de los problemas de aplicación ¿ok?. Sigue practicando y estudiando. ANIMO!!!