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RAZONES Y PROPORCIONES I. Introducción Una razón es la comparación entre dos números enteros que tengamos, donde se trabajará con un cociente a y b. proporción es la igualdad de dos razones a las que llamamos fracciones, sobre esto se derivan más temas que nos ayudan a resolver de manera práctica las Razones y Proporciones, por ejemplo: Proporcionalidad Directa e Inversa. Por lo tanto en la Investigación y redacción efectuada fueron plasmados estos temas con el fin que pueda favorecerle. 1. Antecedentes En la esfera de las matemáticas y la de su enseñanza, las razones parecen haber sido primigenias; permitieron expresar en las antiguas matemáticas griegas, relaciones entre números no múltiplos cuando únicamente los naturales eran reconocidos como números. Permitieron dar cuenta desde entonces, de relaciones entre magnitudes inconmensurables que mucho después se expresaron con números irracionales por ejemplo, la identificación de que la razón entre el lado de un cuadrado y su diagonal es constante. 1.1 Teano Se conoce como una de las mujeres matemáticas de la historia griega. Se sabe que fue una esposa de Pitágoras. Aunque en su época las academias marginaban a las mujeres de las actividades científicas, en la escuela pitagórica de Crotona tanto hombres como mujeres tenían acceso. La proporcionalidad fue objeto de estudio para quienes permanecían da la escuela pitagórica. Establecieron una distinción entre magnitudes conmensurables e inconmensurables,

las

cuales

relacionaban

con

los

números

racionales,

respectivamente. Teano propuso ocho formas para expresar una proporción y la propiedad fundamental de las mismas.

2. Definición:

La proporción está compuesta por dos fracciones equivalentes si damos cuatro número diferentes a cero en diferente orden es una proporción entonces la razón de los dos primeros es igual a la razón de los dos segundos. 2.1 Proporcionalidad: relación o razón constante entre magnitudes medibles. Si uno aumenta o disminuye el otro también aumenta o disminuye proporcionalmente. 2.1.1Proporcionalidad directa: Son diferentes situaciones de la vida diaria hacemos cuentas y mediciones se le asignan cantidades a los objetos que caracterizamos como propiedades. Los valores se pueden presentar en tablas y en graficas en el plano cartesiano. 2.1.1.1 Magnitudes directamente proporcionales: dos magnitudes son proporciones directas de cada valor de ellas y el total del valor de la otra se iguala a una constante a eso se le llama constante de proporcionalidad. 2.1.1.2 Propiedad de las magnitudes directamente proporcionales: si x y y son magnitudes directamente proporcionales entonces m y n serian valores de la magnitud x que corresponderían a los valore p y q de la magnitud y, es decir que cumple mq=np.

2.1.2 Proporcionalidad inversa: en algunas cuestiones distintas se cumplen los valores de una magnitud elevan sus valores correspondientes y la otra magnitud disminuye. 2.1.2.1 magnitudes inversamente proporcionales: dos magnitudes son contrarias de la proporción cuando el producto de cada valor de la magnitud es igual al valor de la otra de la constante. 2.2 Reparto proporcional: en las cuestiones que tienen repartición de una cantidad determinada de tal grado que las partes queden divididas y no iguales y se reparten en forma directa o proporcional en otras cantidades. 2.2.1 Reparto directamente proporcional: Los problemas se resuelven usando reparto directamente proporcional son usados en situaciones diarias. En las que se puedan hacer una repartición justa relación con diferentes acciones.

2.2.2 Reparto inversamente proporcional: en el reparto inversamente proporcional el resultado de mayor valor de la magnitud le pertenece el menor valor de la otra magnitud.

2.3 Regla de tres simple: Es un procedimiento dado para que podamos resolver distintas proporciones en diferentes magnitudes, en los que se hayan el valor de la magnitud después de tres valores de la misma magnitud.

2.3.1 Regla de tres simples directos: Es un problema denomínate de la regla de tres simples directas cuando intervienen directamente las proporciones.

Presentamos la cantidad desconocida con cualquier letra y presentamos una tabla con las magnitudes dadas. Se hace una proporción con la magnitud y así podemos encontrar el término desconocido. 2.3.2 Regla de tres simples inversas: Es un problema denominante porque es inversa cuando las magnitudes que intervienen son inversas.

2.3.3 Regla de tres compuesta: algunas proporcionalidades tienen más de dos magnitudes.

2.4 Porcentaje: Símbolo matemático, que representa una cantidad dada como una fracción en 100 partes iguales. Numero expresado de forma particular que indica en que porción se cumple algo que nos interesa.

2.4.1 Aplicaciones del porcentaje: esto se aplica en el descuento de algún artículo al hacer compras, para saber el porcentaje de un producto, geometría, encuestas de opinión, entre otros. Se debe aplicar la regla de tres directa. 3. Ejemplos: Razón:

3.1 En una receta de cocina se debe agregar 4 tazas de harina por 1.5 de agua ¿En qué razón está la harina con el agua?

“4 es a 1.5”

Proporciones: 3.2 Si doña Sonia desea preparar pupusas para otra fiesta con 12 libras de queso ¿Cuántas libras de harina necesita para la masa? Expresa la proporción utilizando ¿Para la cantidad de harina 3:2=:? 12 es 4 veces 3 por lo tanto se multiplica 2x4. X4 3:2=12:8

X4

R// 8 libras de harina

Reparto Proporcional: 3.3 María, Iván y Catalina realizan su trabajo en una pastelería en el que se emplean, respectivamente 6 días, 3 días y 6 días. Deciden distribuir el dinero ganado en forma directamente proporcional al tiempo de trabajo. Si en total ganaron Q3 600.00, ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno?

=

=

=

El dinero que les corresponde a cada uno es de: María: Q1 200.00 Regla de tres.

Iván: Q600.00

Catalina: Q1 800.00

3.4 Si un pastel lleva 18 tazas de harina para 6 huevos ¿Cuántas tazas de harina lleva en 7 huevos?

= R// son 21 tazas de harina.

Porcentajes: 3.5 En una panadería, el 85% del peso del pan se convierte en pastel. Co 720 toneladas de pan, ¿Cuántos pasteles se obtienen? Hemos de calcular el 85% de 720:

100 + (pan)

85+ (pastel)

x 720 = 612 85% de 720

Fuentes de información.

 Bibliografía: Libro de Santillana de matemáticas 7 de Jorge Luis Galindo Arandi. Libro de Activa de matemáticas 8 de Mayra Castillo de Carvajal. Libro de la enciclopedia océano de Carlos Gispert.

 E-grafía: http.//www.eumed.net/libros/2017b/395/QUE/.com http.//www.es.wikipedia.org/wiki/websphere/(matemáticas).com

4 ejercicios: Instrucciones. Razón. Escribir cada expresión como una razón. 4.1 Razón de 5 a 7

R//

4.2 Razón de 1.5 es a

R//

Proporciones: Determinar si cada uno de los siguientes pares de razón se puede establecer una proporción.

4.3

R// 2.5:4::7.5:12

4.4

R// 1:3:4::1:9:4:3

Reparto Proporcional: debes sacar el reparto proporcional de cada ejercicio

4.5

R// 700

4.6

R//560"

Regla de tres:

4.7 Para la preparación de la mermelada se necesitan 12 manzanas que cuestan 12.60 soles ¿Cuánto costaran 72 manzanas? R// Si el número de manzanas aumenta, aumenta el costo total, entonces decimos que el numero d manzanas y el costo son magnitudes directamente proporcionales. 12 manzanas

s/.12.60

72 manzanas

s/.x

De donde:

X=(72 manzanas x s/.12.60) / 12 manzanas X=s/.75.60 soles. 4.8 Sabemos que por cada 100 gramos de harina hay que agregar 10 gramos cacao podemos aumentar o disminuir las cantidades pero si queremos seguir la receta, estas cantidades deben guardar una proporción si agregamos el doble de harina de lo que dice la receta tendríamos que duplicar también la de cacao. S i agregamos el triple de harina de lo que dice la receta también que duplicar la cantidad de cacao. Es decir si a cantidad de harina crece también debe crecer proporcionalmente la cantidad de cantidad de cacao. En este problema la harina y el cacao son cantidades directamente proporcionales. 100 gramos de harina

10 gramos de cacao

X

20 gramos

100 gr. Harina x 20 gr. cacao / 10 cacao= R//200 gr de harina Porcentaje: 4.9 Juan vende el kilo de pan a s/5 y una barra de pan de ¼ kilo a s/2.5; si ha decidido subir sus precios en 10% ¿Cuáles serán los nuevos precios? Si el IGV el 19%. ¿Cuánto recibe neto en cada caso? Solución. Al subir sus precios en 10%, los nuevos precios serán: El kilo de pan: s/5+10% = s/5.50; La barra de pan: s/2.50+10%= R//s/2.75 4.10 En el restaurante de pedro se prepara diariamente 2 variedades de menús, el menú popular y ejecutivo. Prepara 100 porciones de menú popular con una ganancia de s/0.50 en cada porción y 50 de menú ejecutivo, con una ganancia de s/1 en cada porción. Atiende de lunes a viernes, un promedio de 20 días al mes en el restaurante se tienen los siguientes gastos fijos: R// Sueldo de vigilante: s/500 Sueldo de ayudante: s/500 Servicio (luz, agua, teléfono, arbitrios etc.) S/500 Impuestos (SUNAT: 3% de las ventas mensuales)

TEMPERATURA

I. Introducción: La temperatura es una medida de lo caliente o lo frio de la materia, se expresa habitualmente en grados Fahrenheit, grados Celsius o kelvin, la temperatura mide la intensidad de la energía de las partículas de usa sustancia. Muchas propiedades físicas de los materiales cambian lo suficiente con la temperatura como para basar en ellas un termómetro. 1. Antecedentes La temperatura de los cuerpos es un concepto que el hombre primitivo (pre científico) captó a través de sus sentidos. Si tocamos dos piedras iguales, una a la sombra y otra calentada por el sol (o por el fuego de una hoguera) las encontramos diferentes. Tienen algo distinto que detecta nuestro tacto, la temperatura. La temperatura no depende de si la piedra se desplaza o de si está quieta y tampoco varía si se fragmenta. Las primeras valoraciones de la temperatura dadas a través del tacto son simples y poco matizadas. De una sustancia sólo podemos decir que está caliente, tibia (caliente como el cuerpo humano), templada (a la temperatura del ambiente), fría y muy fría.

1.1 Anders Celsius. Celsius es conocido como el inventor de la escala centesimal del termómetro. Aunque este instrumento es un invento muy antiguo, la historia de su gradación es de lo más caprichosa. Durante el siglo XVI era graduado como "frío" colocándolo en una cueva y "caliente" exponiéndolo a los rayos del sol estival o sobre la piel caliente de una persona. Ya en el siglo XVIII, el físico alemán Fahrenheit (en 1714) y el francés Réaumur (1730) lo graduaron basándose en la temperatura del hielo en su punto de fusión y en la del vapor de agua al hervir, pero la escala alemana iba de 32 a 212 grados, mientras que la francesa lo hacía de 0 a 80 grados.

2 Definición.

La temperatura mide la intensidad de la energía de las partículas de una sustancia. Esta escala el punto de congelación del agua es de 32°f y su punto de ebullición es de 212°f entre estas dos temperaturas la escala tiene 212-32= 180 unidades, cada una de las cuales es un grado Fahrenheit. La mayoría de los habitantes del mundo y todos los que trabajan con información científica, utilizan temperaturas en grados Celsius (°c) por definición el punto de congelación es de 0°c y su punto de ebullición corresponde a 100°c por tanto entre los puntos de congelación y de ebullición del agua hay exactamente 100: unidades en escala Celsius 180. Unidades en escala Fahrenheit por consiguiente un cambio de 180°f es equivalente a un cambio de 100°c, de modo que necesita 1.80°f para igualar un grado Celsius Por lo tanto, puesto que 180/100=9/5=1.8, un grado Celsius es casi dos veces mayor que un grado Fahrenheit. Podemos obtener una relación para realizar conversiones entre los dos escalas si graficamos la temperatura Fahrenheit (T f) contra la temperatura Celsius (TC).

Ejemplos: 1 Tf= 9/5 Tc+32 Tf= 1.8 Tc+32 1.1 °f= (1.8 °c) +32 °f= (1.8 x 40)+32

°f= 72+32= 104 °f

2.1 Escala de temperatura. Las dos escalas de temperatura más conocidas son la escala de temperatura Fahrenheit, que es utilizada en Estados Unidos, y la escala de temperatura Celsius, que es utilizada en el resto del mundo, en la escala Fahrenheit hay 180 intervalos iguales, o grados (f°) entre los dos puntos de referencia; en la escala y hay 100 grados (c°).

2.1.1 Instrumento de medición de temperatura.

Podemos medir la temperatura con un termómetro, que es un dispositivo que aprovecha alguna propiedad de una sustancia que cambia en la temperatura. Un termómetro común es el de líquido en vidrio, que se basa en la expansión térmica de un líquido. Un líquido en un bulbo, de vidrio se expande hacia un capilar que es un tuvo delgado, en un tallo de vidrio. 2.1.2 Escala Celsius. Para esta escala, se toman como puntos fijos, los puntos de ebullición y de solidificación del agua, a los cuales se les asignan los valores de 100 y 0 respectivamente. En esta escala, estos valores se escriben como 100° y 0°. Esta unidad de medida se le grado Celsius y se denota por °C. El grado Celsius, es la unidad creada por Anders Celsius para su escala de temperatura, se tomó para el Kelvin y es la unidad de temperatura más utilizada internacionalmente. A partir de su creación en 1,750 fue denominado grado centígrado (se escribía °c, en minúscula). Pero en 1,948 se decidió el cambio en la denominación oficial para evitar confusiones con la unidad de ángulo también denominada grado centígrado (grado geométrico), aunque la denominación previa se sigue empleando extensamente en el uso coloquial. Hasta 1,954 se defino asignando el valor 0 a la temperatura de congelación del agua, el valor 100 a la temperatura de ebullición y dividiendo la escala resultante en 100 partes iguales, cada una de ellas defina como 1 grado. Estos valores de referencia son muy aproximados pero no correctos por lo que, a partir de 1,954, se define asignando el valor 0,01°C a la temperatura del punto triple del agua y definiendo 1°C como la fracción 1/273,16 de la diferencia con el cero absoluto. 2.2. Escala Fahrenheit. También se utilizaron puntos fijos para construirla, pero en este caso fueron los puntos de solidificación y de ebullición del cloruro amónico en agua, estos puntos marcaron con los valores de 0 y 100 respectivamente. La unidad de esta escala se llama grado Fahrenheit y se denota por °F. Dado que en escala Celsius, los valores de 0°C y 100°C corresponden a 32°F y 212°F respectivamente, la fórmula de conversión de grado Celsius a Fahrenheit es: Tf= 9/5 Tc+ 32c. 2.2.1 Escala de temperatura Kelvin. El cero absoluto es la base de la escala de temperatura kelvin d, así llamada en honor al científico británico Lord Kelvin, quien la propuso en 1848. En esta escala, -273.15°c se toma como punto cero, es decir, ok. El tamaño de cada unidad de temperatura kelvin en el mismo que del grado Celsius, de manera que las temperaturas en estas escalas están relacionados. Ejemplo:

TK= TC +273.15 conversiones Celsius a kelvin la escala kelvin absoluta es la escala de temperatura oficial del sí: no obstante, en casi todo el mundo se usa la escala Celsius para mediciones de temperatura cotidiana. La temperatura absoluta en kelvin se usa básicamente en aplicaciones científicas. Conversiones de temperatura. Prueba la herramienta de conversión de temperatura o el termómetro interactivo o este método: °C a °F

Multiplica por 9, divide entre 5, después suma 32

°F a °C

Resta 32, después multiplica por 5, después divide entre 9

Ejemplos. POCHADO: El pochado es cocinar en un líquido generalmente poco líquido que no está actualmente burbujeando la temperatura esta entre 160ºF a 180ºF (71ºC a 82ºC).

HERVIDO: Hervir significa cocinar en un líquido que está burbujeando rápidamente y tiene gran agitación. El agua hierve a 212ºF (100ºC) al nivel del mar, no importa que tan alto este el fuego, el calor del agua no será mayor. II Fuentes de información.



Bibliografía

Autor(es): 

George Gamow E-grafÍa

https//tublockupn.wordpress.com/escalas-detempuratura/.

4. Ejercicio: resuelve los siguientes problemas. 4.1 Camilo está dorando una mojarra a 45°f ¿a cuántos grados Celsius esta? °C= (45°-32)x5/9= 13x5=65/9=7.22°c 4.2 José debe presentar un plato de choamein a una temperatura de 120°f ¿Cuál es su temperatura en °C? °C= (88x5)= 440/9= 48.8°c 4.3 Luis quemo un pastel a 400°f ¿a qué temperatura debería tenerlo en °C? °C= (368x5)= 1840/90= 204.44°c 4.4 Paola tiene una bebida a 75°c ¿a cuántos grados °F equivale? °F= (9/5x75°c)+32=675/5= 135+32= 167°f 4.5 Zulmy quiere dorar una pieza de pollo a 60°c ¿Cuál sería la temperatura en °F? °F= (9/5x60°c)+32= 540/5= 108+32=140°f 4.6 Pedro horneo un pastel a 300°c ¿Cuál sería la temperatura en °F? °F=(9/5x300°c)+32=33.3/5=6.66+32= 38.66°f 4.7 Fermín quiere hornear un lomo a 250°f pero él quiere saber ¿a cuántos grados debe hornear en °C? °C=(250-32)x5/9= 218x5=1090/9= 121.22°c 4.8 Si la temperatura de un pollo al horno es de 160°f ¿Cuál sería la temperatura en °C? °F=(9/5x160°f)+32=160-32=128x5/9=71.1°f 4.9 Si Zoila cocina una pizza a 120°c ¿a qué temperatura debe cocinar en °F? °C=(120°f-32)x5/9=88x5=440/9=48.88°f 4.10 Para hornear un flan se necesita 100°c ¿Cuál debe ser la temperatura en °F? °F=(9/5x100°c)+32=900/5=180+32=212°f

PESO ESPECIFICÓ I. Introducción El peso específico es una propiedad importante en el estudio de fluidos. En muchas ocasiones el peso cambia, se define como la masa de unidad por volumen. La aplicación de las siguientes fórmulas para averiguar el peso o densidad de elementos ha sido usada desde hace mucho tiempo atrás, desde la formulación creada por el científico Arquímedes. Por su gran utilidad y eficacia, es un gran aporte en la humanidad, en áreas donde se desea trabajar con medidas exactas.

1. Antecedentes Arquímedes recibió

el

encargo

de

determinar

si

el

orfebre

de Hierón

II de Siracusa desfalcaba el oro durante la fabricación de una corona dedicada a los dioses, sustituyéndolo por otro metal más barato. Arquímedes sabía que la corona, de forma irregular, podría ser aplastada o fundida en un cubo cuyo volumen se puede calcular fácilmente comparado con la masa. Pero el rey no estaba de acuerdo con estos métodos, pues habrían supuesto la destrucción de la corona. Mucho más tarde, nació el concepto de densidad entre los científicos, en tiempos en que las unidades de medida eran distintas en cada país, de modo que, para evitar expresarlo en términos de las diversas unidades de medida usuales para cada cual, asignaron a cada materia un número, adimensional, que era la relación entre la masa de esa materia y la de un volumen igual de agua pura, sustancia que se encontraba en cualquier laboratorio

1.1. Arquímedes Siracusa Fue

un

físico,

ingeniero,

inventor,

astrónomo

y

matemático griego. Es considerado uno de los científicos más importantes de la antigua clásica. Entre sus avances en física se encuentran sus fundamentos en hidrostática, estática y la explicación del principio de la palanca.

2. Definición

El peso específico es la característica de lo denso, o la agrupación de un numero grande de elementos o individuos, básicamente un impulso que procede del planeta para captar a una materia. En definición breve, es un enlace activo entre el peso de una sustancia específica y el volumen respectivo. La densidad por otra parte, indica la masa de una sustancia por unidad de volumen y se obtiene a través de la división de esta. Es importante mencionar que la densidad puede obtenerse de varias maneras. Y esta variación se emplea y cambia según algunos aspectos. Si los volúmenes de 2 sustancias distintas A y B son iguales, pero la masa de A es mayor que la masa de B, la densidad de A es mayor que la densidad de B. es por esto que una lata de bebida gaseosa normal, que contiene varios gramos de edulcorantes, se hunde en agua, en tanto que una lata de bebida gaseosa dietética, con solo una pequeña masa de edulcorante artificial, flota cuando un objeto se hunde, debe de desplazar un volumen igual de agua. Si su masa es mayor que la masa del agua desplazada, se hundirá.

Formula:

2.1. Relación entre volumen y peso. 2.1.1. Volumen: La unidad estándar de volumen es el metro cubico: La unidad tridimensional derivada de la unidad base, el metro. Dado que esta unidad es bastante grande a menudo resulta más conveniente usar la unidad no estándar de volumen (o capacidad) de un cubo de 10 cm por lado.

2.2.2. Masa: La masa es la cantidad base con que describimos cantidades de materia. Cuanto mayor masa tiene un objeto, contendrá más materia. La unidad de masa en el SI es el kilogramo (kg), el cual se definió originalmente en términos de un volumen específico de agua; aunque ahora se remite a un estándar material específico: la masa de un cilindro prototipo. De platino – Iridio que se guarda en la oficina Internacional de pesos y medidas.

3. Ejemplos.

3.1. Si el recipiente tiene un volumen de 0.917 m, la masa del aceite es de 825 kg. Calcule la densidad, el peso específico y la gravedad específica del aceite.

Densidad

Peso especifico

Gravedad especifica

3.2. Un objeto tiene una masa de 1950 kg. -¿Cuál es el peso del objeto? - Si el volumen que ocupa es de 0.25 m3 ¿Cuál es su PE? -¿De qué sustancia esta echa el objeto?

Datos m= 1950 kg

a) –P=

v= 0.25 m3

P= (m) (g)

g= 9.81 m/s2

P= (1950 kg) (9.81 m/s2) R// P=19129.5 N

II. Fuentes de información. 

Bibliografía

Ralph A. Burns Fundamentos de química quinta edición PEARSON. Wilson. Buffa. Lou Física edición abreviada con física moderna segunda edición PEARSON. 

E-grafía

https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursolinea/pesoespecifico/html/node15.h tm1.

4. Ejercicios. A continuación se le presentan una serie de problemas, resuélvalos con su procedimiento y respuesta. 4.1. 0.5 kg de licor ocupan un volumen de 0.633 cm3. Calcular su densidad y peso específico. R// P = 789889.41 kg/ m3 Pe = 7748815.11 nw/ m3 4.2 Determine la masa de un cubo de 5 cm de grosor para un pastel de chocolate. R// M = 1.12 kg/m3 4.3. Una olla de aluminio tiene un peso de 128.5 kg y un volumen de 3.25 m 3 R// P = 39.53 kg/m3 Pe= 387.78 Nw/m3 4.4. Una mesa tiene un volumen de 2190 kg. a) ¿Cuál es el peso del objeto? R// W= 21483.9 Nw b) Si el volumen que ocupó es de 0.75 m3, ¿Cuál es su peso específico? R// Pe = 28045.2 Nw/m3 4.5. ¿Cuál es la densidad de un material, si 30 cm cúbicos tiene una masa de 600 gr? R// ρ = 20 gr / cm3 4.6. 0.7 kg de brandy ocupan un volumen de 0.655 cm 3. Calcular su densidad y peso específico. R// P= 106870.22 kg/m3 P=1048396.85 Nw/m3 4.7. Calcula el peso específico de un cubo de madera de 6 cm de lado que pesa160 g. El volumen de un cubo como sabemos es lado x lado x lado o lado elevado al cubo. R// Pe=0.74 g/cm3 4.8. Un horno tiene una masa de 1179 kg a) ¿Cuál es el peso del objetivo? R// W= 11566 Nw b) Si el volumen que ocupo es de 0.0.73 m3 ¿Cuál es su peso específico? R// Pe= 15843.83 Nw/m3 4.9. Un sartén de teflón tiene una masa de 80.7 kg y un volumen de 2.35 m 3 a) ¿Cuál es su densidad? R// P= 34.34 kg/m3 b) ¿Cuál es su peso específico? R// Pe= 336.87 Nw/m3 4.10. Un mesa tiene una masa de 143.5 kg y un volumen de 2.25 m 3 a) ¿Cuál es su densidad? R// P= 63.77 kg/m3 b) ¿Cuál es su peso específico? R// Pe= 625.58 Nw/m