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1

ANALISIS COMBINATORIO El análisis combinatorio estudia los arreglos o grupos que se pueden formar con los elementos de un conjunto. Antes de desarrollar el tema, es necesario recordar la definición de un factorial de un número natural y algunas de sus propiedades FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL Factorial de un número “n” es el producto de los “n” primeros números naturales. Notación:completa tu………………….. Definición por convención 0! = 1 Propiedades de los Factoriales: 1. El factorial de un número entero negativo no existe. 2. Factorial de un número entero positivo es igual al producto del número con el factorial del número que le antecede. Es decir: n! = n (n – 1)! n! = n (n – 1) (n – 2) (n – 3)! Ejemplos: a) Pedro desea viajar de Trujillo a Lima y tiene a su disposición tres líneas aéreas y 7 líneas terrestres ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje Pedro? Por el Principio de Adición, tenemos:

3 + 7 = 10 maneras distintas.

CAPACIDAD: RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓNTAREA VALOR - ACTITUD

01

RESPONSABILIDAD - PUNTUALIDADDESTREZASCONTENIDOS MÉTODOSMICROACTITUDES

2

Una idea comúnmente percibida de la distinción entre estas rutas de acceso a los conocimientos lógico es que la inducción es la formación de una generalización derivada de examen de un conjunto de datos, mientras que la deducción es la identificación de un particular, desconocido, en representación de su parecido con una serie de conocidos los hechos. Por ejemplo, si examinamos lo suficientemente gatos salvajes podemos generalizar que los gatos son una rica fuente de las pulgas (inducción). Si, como Robinson Crusoe, nos encontramos huellas en la playa de una isla desierta, podemos concluir a partir de nuestro conocimiento de la huella humana que la de otra persona esté o haya estado en la isla (deducción). De hecho, sin embargo, ambos términos pueden tener significados más sutiles. Empecemos con un vistazo a su etimología y definiciones.

3

inducción, analizando los casos simples, análogos al de la expresión “E”. (34)2 = 1156 →Suma de cifras = 13 → 6(2) + 1 (334)2 = 111556

Distribuciones numéricas y gráficas

→ Suma de cifras = 19 → 6(3) + 1

Día a día nos enfrentamos a situaciones en las cuales debemos razonar inductivamente para poder resolverlos, ahora para razonar inductivamente se requiere de observación e imaginación. Las ventajas obtenidas de potenciar esta clase de razonamiento compensará con creces el tiempo que le dediquemos.

(3334)2 = 11115556 → Suma de cifras = 25 → 6(4) + 1 ... (333...3334)2 = 111...1155...556

Objetivos:

→ Suma de cifras = 6(101) + 1 = 607 1. Desarrollar la capacidad de análisis para enfrentar situaciones de índole diversa. → Suma de cifras = 607 2. Dotar al estudiante de herramientas metodológicas adecuadas para la resolución de problemas que exigen el uso de pensamiento creativo. 2. Calcular el valor de: 3. Ejercitar la capacidad de observación para establecer relaciones que permitan llegar a la solución de un problema empleando el razonamiento E = 97  98  99  100  1 inductivo. Solución: Observando detenidamente el problema nos damos cuenta que tiene una particularidad (producto de ¿Qué es Inducción? cuatro números consecutivos), entonces aplicamos la inducción, analizando los casos más simples sin La palabra inducción proviene del latín Inductio (“in”: en que se pierda la forma original del problema. y “ducere”: conducir), que es la acción y efecto de inducir. Es definido como un modo de razonar que consiste en sacar de los hechos particulares una 1 × 2 × 3 × 4 + 1 = 25 conclusión general; así, la inducción desempeña un gran papel en las ciencias experimentales. =5= 1 × 4 + 1 P ro d u c to d e l m e n o r co n e l m a y o r

2 × 3 × 4 × 5 + 1

=

121

= 11 = 2 × 5 + 1 P ro d u c to d e l m e n o r c o n e l m a y o r

3 × 4 × 5 × 6 + 1 =

1. Calcular el valor de “E” y dar como respuesta la suma de sus cifras.

= 19 = E=

2 (333...334     )

361 3 × 6 + 1 P ro d u c to d e l m e n o r c o n e l m a y o r

101 cifras

E=

Solución: Elevar el número al cuadrado resulta muy operativo y tedioso pero nos damos cuenta también que la base tiene cierta formación (la cifra 3 se repite constantemente); entonces recurrimos a la

=

97 × 98 × 99 × 100 + 1 97 × 100 + 1 = 9700 + 1 = 9701 P ro d u c to d e l m e n o r c o n e l m a y o r

4

La respuesta es 9701.

INDUCCIÒN CON NÙMEROS

3. Si a la siguiente figura le trazas 50 rectas paralelas a MN , ¿cuántos triángulos se contarán en total?

1. Observa los resultados de las sumas iniciales, sacar una conclusión y luego hallar el resultado de la suma final.

M

N

Solución: Aplicando lógica inductiva, iremos trazando rectas uno por uno y analizando cada caso:

1

M

C a n tid a d d e n ú m e r o s im p a re s c o n s e c u tiv o s

Sum a

R e s u lta d o

1 2 3 4 . . . 8

1 1+ 3 1+ 3+ 5 1+ 3+ 5+ 7 . . . 1+ 3+ 5+ 7+ 9+ 11+ 13+ 15

1 4 9 16 . . .

O tra fo r m a d e e x p r e s a r e l r e s u lta d o

N

# triángulos = 6 = 3 ( 2 ) # d e re c ta s tra za d a s + 1

1 2

M

N

# triángulos = 9 = 3 ( 3 ) # d e r e c ta s tra z a d a s + 1

1

2. Observa los resultados de las operaciones iniciales, sacar una conclusión y luego hallar lo que se pide:

2 3

M

N

N ú m e r o in i c ia l

# triángulos = 12 = 3 ( 4 )

1 2 3 4

# d e re c ta s tra za d a s + 1

...

1

M

2.

..

50

N

# triángulos = 3 ( 5 1 ) = 1 5 3 # d e re c ta s tra za d a s + 1

La respuesta es 153 triángulos.

5

O p e ra c io n e s 1 2 3 4

+ + + +

2 3 4 5

-

3 4 5 6

R e s u lt a d o 0 1 2 3

36

?

187

?

3. Si se observa que:

1

= 22 - 3 × 1

2

= 32 + 4 × 2

3

= 42 - 5 × 3

4

Hallar .

6. ¿En qué cifra termina el resultado de la siguiente suma? 34252 + 74362

= 52 + 6 × 4 ...

15

a) 5 d) 3

b) 6 e) 8

c) 1

7. Completar el siguiente arreglo numérico hasta la fila 10. Hallar “A + B”. Fila 1 Fila 2 Fila 3 Fila 4 ... Fila 10

4. Si se observa que:

1

=2

2

=2

3

=2

4

1 2 3 4 7 5 8 7 7 7 .. .. .. .. .. A .. .. .. .. .. .. B

=2 ...

Hallar:

50

+

60

8. Hallar la suma de las cifras del resultado en la fila 20. Fila 1 Fila 2 Fila 3 Fila 4 ... Fila 20

5. Si: 12 = 1 112 = 121 1112 = 12321 11112 = 1234321 ... 2 Hallar: 1111111 ; y además dar la suma de las cifras del resultado.

6

32 = 9 332 = 1089 3332 = 110889 33332 = 11108889 ... ...

9. ¿En qué cifra termina el resultado 453?

F ig . 1

F ig . 2

F ig . 3

... 3. ¿Cuántos palitos de fósforo se necesitan para formar la figura 20?

F ig . 1 a) 2 d) 6

b) 4 e) 0

F ig . 2

F ig . 3

...

c) 8

INDUCCIÒN CON FIGURAS

1. ¿Cuántas esferas habrá en la figura 20?

4. ¿Cuántas esferas hay en la figura 15?

F ig . 1

F ig . 2

F ig . 3

F ig . 4

..

F ig . 1

.

a) 20 d) 44

b) 39 e) 42

F ig . 2

F ig . 3

...

c) 41

2. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura 8? 5. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

7

H

A

B

C

D

E

F

1. En la siguiente sucesión, determinar el número de círculos sin pintar, en la colección de círculos que ocupe el décimo lugar.

G

6. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 17?

F ig . 1

F ig . 1

F ig . 2

F ig . 3

F ig . 2

...

...

a) 201 d) 181 7. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

F ig . 3

b) 131 e) 231

c) 151

2. Hallar el número total de palitos:

.

.

.

.

.

.

1 2 3 4 5 ...... 4 6 4 7 4 8 4 9 5 0

8

a) 250 b) 2 450 c) 1 324 d) 5 050 e) 1 275 3. Calcular la suma de cifras del resultado de la siguiente expresión:

1

2

3

... 5 1 5 2 5 3

3 (999  ......   999  ) 2002 cifras

Indicar la última cifra de dicha suma.

a) 1 250 d) 1 600

b) 1 225 e) 1 275

c) 1 500

6. En la siguiente gráfica, ¿cuántas bolitas sombreadas hay?

a) 6 d) 0

b) 8 e) 1

c) 4

4. Calcular: 22002 1  (3  5  17  ...)

       2002 factores

1 2 3

a) 1 d) 2 002

b) 2 e) 2 003

...

...

98 99 100

c) 32 a) 1 500 d) 1 000

b) 1 550 e) 5 050

c) 2 501

5. Calcular el número total de hexágonos que se pueden contar, considerando el tamaño que se 7. Cuántas cajitas de la forma se han utilizado en la indica en la figura. construcción de la siguiente torre.

9

1 2 3 8

1

2

...

3

a) 280 d) 401

b) 380 e) 400

...

50

37 38 39

5

3

1

49

a) 6 160 d) 6 170

c) 410

7

6

4

2

...

b) 6 140 e) 6 180

c) 6 110

8. ¿Cuántos triángulos se pueden contar en la siguiente figura?

1

2

3

48

49

50

Es un modo de razonar mediante el cual, a partir de informaciones, casos o criterios generales, se obtiene una conclusión particular. a) 3 775 d) 2 500

b) 2 105 e) 1 275

Así:

c) 5 050

9. ¿Cuántas cerillas se utilizan para formar desde la figura 1 hasta la figura 20?

10

03.- Calcular (m)(n)(p) ; sabiendo que m  n  p y además:

mmm  nnn  ppp  2664

01.- La suma de los “n” primeros números impares es 900, por lo tanto, ¿cuál es el valor de “n”?

a) 123

a) 25

b) 30

c) 32

b) 231

c) 500

d) 504 e) 600

04.- Hallar: E  abcd  mnpp  xyzw , sabiendo

d) 40 e) 15

que:

02.- Completar las cifras que faltan en la siguiente multiplicación, sabiendo que cada asterisco

bd  np  yw  160

representa un dígito cualquiera.

ac  mp  xz  127 ab  mn  xy  124

11

a) 12240 b) 14250 c) 12590 d) 12300 e) 1000

07.- Hallar la suma de todos los elementos de la siguiente matriz

05.- Si a la siguiente figura le trazamos 50 rectas paralelas a MN, ¿cuántos triángulos se contarán en total?

a) 150

1 2 3 4 ...... 9 10 2 3 4 5.......10 11 3 4 5 6.......11 12 4 5 6 7.......12 13 MM M M M M 9 10 11 12......17 18 10 11 12 13..... 18 19

b) 145

c) 153

d) 135

e) 200

06.- Calcular la cantidad total de esferas que hay en el siguiente arreglo triangular a) b) c) d) e)

a) 2000 b) 1000 c) 4000 d) 3500

e) NA

08.- Calcular “n” y dar como respuesta la suma de

5000 4000 5020 5050 1200

sus cifras: S = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ………… = 625 “n” términos

a) 25

12

b) 4

c) 7

d) 8

e) 10

09.- Calcular E y dar como respuesta la suma de sus a) 250 cifras.

b) 450

c) 830

d) 260

e) 270

12.- A una hoja cuadrada y cuadriculada con 100 cuadraditos por lado, se le traza una diagonal

E = ( 33333……333333 )2

principal. ¿Cuántos triángulos como máximo podrán 200 cifras

a) 900

b) 1800

contarse en total?

c) 1500

d) 1300 e) NA

a) 10000 b) 12000

10.- ¿Cuantos puntos de contacto hay en la siguiente gráfica de circunferencias? a) b) c) d) e)

c) 10100

d) 11000

e)

20000 13.- Hallar la suma de cifras del resultado de A:

3 675 1 305 1 457 1 345 3 865

E = (7777.......7777 + 2222......2225)2 “n” cifras

a) 10 11.- Hallar la suma de cifras del producto siguiente:

b) 11

c) 12

“n-1” cifras

d) 19

e) NA

14.- Calcular la suma de cifras del resultado de:

E = (7777......7777) x (999......99999) 50 cifras

50 cifras



M  

 (a  3)  (a  3) 1 4 3)(a 4 4 4 3)....(a 42 4 4 43)(a 4 43 1 4 3)(a 4 4 4 3)....(a 42 4 4 43)(a 4 43  101 cifras 101 cifras 

a) 600 NA

13

b) 120

c) 610

d) 340

e)

2

15.- En la figura, calcular el número total de “hojitas” de

17.- Dado el esquema:

la forma indicada:

a) b) c) d) e)

2600 2350 2340 2652 2800

16.- Calcular la suma de los términos de las veinte

¿Cuántas bolitas habrá en S12 ?

primeras filas en el triángulo numérico siguiente: a) b) c) d) e)

a) 5000 b) 4095

44000 45000 54000 44100 35000

c) 3500 d) 5600 e) 6700

18.- Según el esquema mostrado, ¿de cuantas maneras diferentes se puede leer la palabra “INDUCCIÓN”?

a) b) c) d) e)

14

250 400 300 200 256

19.- ¿De cuantas maneras distintas se puede leer la

22.- Hallar: E  4 F180  S137

palabra “ROMA” en el siguiente arreglo triangular? Si:

a) b) c) d) e)

10 15 16 17 18

S1  1

F1  2

S2  1  1

F2  2  2

S3  1  2  1

F3  2  4  2

S4  1  3  3  1

F4  2  6  6  2

20.- Sabiendo que:

A1  1 100  50 A 2  2  99  49

a) 2050 b) 2048 c) 2100 d) 3400 e) NA

Calcular A20

A 3  3  98  48 23.- Si: AA  DD  UU  ADU Calcular: E  A 2  D2  U2

a) 1600 b) 1650

c) 1651

d) 1300 e) 1700

21.- Si:

A n  ( 1)n  1 Sn  A1  A 2  A 3  .....  A n Hallar: S21 - S20 a) 12

b) 13

c) 18

d) 19

e) 20

24.- Reconstruir la siguiente operación de división e indicar la suma de cifras del dividendo, si cada * a) 1

b) 125

c) 160

d) 0

e) -1

representa un dígito cualquiera.

15

28.- ¿Cuantos triángulos se pueden contar como máximo en la siguiente figura? a) 16 b) 17 c) 18 d) 12 e) 20 25.- En el siguiente gráfico, ¿cuántos triángulos equiláteros se formarán en total al unirse los centros de tres circunferencias vecinas inmediatas. Obs: De la forma indicada.

a) b) c) d) e)

5 500 5 000 5 050 5 253 5 250

29.- ¿Cuántos palitos se empelaron para construir el siguiente arreglo? a) b) c) d) e)

20 210 21 400 NA

a) b) c) d) e)

3 600 3 675 2 550 4 725 2 625

30.- Calcular el número de palitos en:

26.- Cuantas cerillas conforman el castillo mostrado? a) b) c) d) e)

a) 450 b) 720 c) 625 d) 420 e) 610

20 21 210 200 420

27.- Calcular el número total de triángulos en la siguiente 5. De cuántas maneras diferentes se puede leer figura: la palabra RAZONANDO, uniendo círculos consecutivos. a) 441 R b) 225 A A c) 324 Z Z Z d) 400 O O O O e) 300 N N N N N A A A A N N N D D O

16

a) 25

b) 21

d) 70

e) 81

c) 75

2. Efectuar:

24! 30!  + 23! 28! Solución: Factorial de un número es el producto de los números enteros positivos y consecutivos comprendidos desde el número 1 hasta cierto número dado. n! = 1 × 2 × 3 × ... × n; n  ZZ+ Ejm.: -

2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

-

5! = ....................................... =

-

6! = .................................................. =

3. Simplificar:

18! x35! 36! x17! Solución:

Además: 0! = 1; 1! = 1 Ejercicios: 1. Hallar:

Solución:

 (3!2!)!1!   ! 5

Análisis combinatorio

*

Es parte de la matemática que estudia las diferentes maneras de seleccionar a los elementos de un conjunto.

Observación:

Definiciones básicas

12! = 1 × 2 × 3 × ... × 12 13! =

1x 2 x3 x 4 x.......x12 × 13 12!

Permutaciones El número de maneras en que se pueden ordenar a los "n" elementos de un conjunto, tomando a todos a la vez, es:

Entonces 13! = 12! × 13

De la observación anterior:

Pn = n! Ejemplo:

n! =

1x 2 x3 x 4 x....... x( n  1) ×n ( n  1)!

; n! = (n - 1)!

×n

¿De cuántas maneras se pueden ordenar a todos los elementos del conjunto:{a; b; c}? Solución: P3 = 3! = 6 maneras

17

Ejercicio:

Problema 2:

Hallar: P6 =

Con las telas de colores: rojo, verde, azul, amarillo y blanco, ¿cuántas banderas de tres franjas verticales de color diferente se pueden confeccionar?

Variaciones

Solución:

El número de maneras de ordenar a "n" elementos de un conjunto, tomados de "r" en "r" es:

v

n r

=

n! (n  r )!

Ejemplo: ¿De cuántas maneras se pueden ordenar a dos elementos del conjunto:{a; b; c; d}? Solución:

v

4 2

=

4! = 12 maneras (4  2)!

Ejercicio: Hallar:

8

v

4

=

Combinaciones El número de maneras que se puede agrupar los "n" elementos de un conjunto tomados de "r" en "r" es:

C

n r

=

n! ( n  r )!.r!

1. Simplificar:

Ejemplo:

[(1!)! ]! 24! (36  1)! 5!    [( 0!)! ]! (4!)! 36! 35! 5 4!

¿Cuántos grupos de tres letras se pueden determinar con las letras: "a", "b", "c" y "d"? Solución:

C

4 3

=

4! =4 ( 4  3)!.3!

Ejercicio: Hallar:

C

9 6

=

Problema 1: Con las frutas: piña, papaya, melón, manzana y fresas, ¿cuántos jugos surtidos de tres frutas diferentes se pueden preparar? Solución:

a) 32 d) 48 2. Simplificar:

18

b) 16 e) 120

c) 37

48!  47! 5! - 92  8  48!- 47! 2  4!  1 a) 24 d) 25

b) 36 e) 120

c) 30

6. En una bodega se venden: fideos, arroz, azúcar, frijoles y lentejas. ¿De cuántas maneras una persona podrá llevarse tres de estos artículos?

a) 12/7 d) 20 3. Hallar:

b) 13/9 e) 12

C

12 3

c) 5/5

a) 10 d) 30

- 5!

b) 24 e) 36

c) 12

7. Con las cifras: 1; 2; 3; 5; 7 y 9, ¿cuántos números pares de cuatro cifras diferentes se puede formar?

a) 810 d) 120 4. Hallar “n”,

a) 8 d) 9

b) 1210 e) 1200

C

n 2

c) 1320

a) 120 d) 90

c) 30

8. ¿Cuántas señales se pueden hacer con cinco banderolas de colores diferentes, usando tres de ellas en cada señal?

= 28

b) 6 e) 4

b) 180 e) 60

a) 120 d) 10

c) 7

5. ¿De cuántas maneras se pueden disponer cinco niños en una fila?

b) 40 e) 20

c) 60

9. Mónica tiene 9 amigas en la academia y quiere invitarlas a su casa para escuchar música, pero su mamá le ha dicho que sólo invite a 5 de ellas. ¿De cuántas maneras podrá invitar a las 5 amigas, si de todas maneras debe invitar a Rosa que es su mejor amiga?

19

a) 70 d) 135

b) 35 e) 170

a) 120 d) 12

c) 140

10.¿De cuántos modos pueden disponerse en una fila, un sargento y 6 soldados, si el sargento siempre es el primero?

a) 120 d) 180

b) 720 e) N.A.

b) 720 e) 36

c) 600

13.¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar con: 1; 5; 4; 3; 8 y 9?

c) 14

a) 120 d) 142

b) 60 e) 63

c) 136

14.¿Cuántas palabras de cuatro letras se pueden formar con las letras de la palabra TREINTA, sin importar su significado?

11. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las vocales en una fila?

a) 120 d) 320

b) 360 e) 210

c) 480

15.¿De cuántas maneras se puede formar una comisión de 4 alumnos, de un salón que tiene 20 alumnos? a) 120 d) 50

b) 36 e) 100

c) 25

12.¿De cuántas maneras se pueden disponer los jugadores de fulbito en la cancha?

20

a) 4548 b) 4845 c) 3616 a) 3024 b) 5! c) 24 d) 3610 e) 116280 d) 126 e) 36 16.En un campeonato nacional de ciclismo, quedaron 19.Mariela descansa dos días cualesquiera por como finalistas un representante por cada semana. ¿Cuántas semanas podrán transcurrir para departamento costero. En la gran final, ¿de cuántas que no repita dos días de descanso? maneras podrán ser ocupados los primeros tres puestos?

a) 24 d) 36

b) 21 e) N.A.

c) 42

20.Con seis pesas de: 1; 2; 5; 10; 20 y 50 kg, ¿cuántas pesadas diferentes pueden obtenerse, tomando aquellas de tres en tres? a) 720 d) 540

b) 120 e) 900

c) 360

17.Una melodía musical debe estar formada por cinco notas diferentes. ¿Cuántas melodías se pueden componer?

a) 720 d) 60

a) 120 d) 1400

b) 720 e) 2600

b) 120 e) N.A.

c) 20

c) 2520

18.Un comensal se sirve en cada comida cuatro platos de los nueve que son de su agrado. ¿Cuántas comidas diferentes puede hacer la persona?

21.¿Cuántas combinaciones pueden hacerse con las letras: a; b; c; d y e, tomadas de tres en tres, entrando "b" en todas ellas? a) 12 d) 4

b) 6 e) N.A.

c) 8

22.En un campeonato de fútbol entran 14 equipos. Un periódico deportivo da un premio al que acierte la clasificación final de los 5 primeros equipos. Un suscriptor del periódico quiere enviar cuántas soluciones hagan falta para asegurar el premio. ¿Cuántas soluciones debe enviar? a) 240240 c) 280540 e) Ninguna

21

b) 180120 d) 196500

23.En una reunión de diplomáticos se hablan 5 idiomas distintos. ¿Cuántos traductores como mínimo se necesitan? a) 12 d) 15

b) 60 e) 45

c) 10

a) 1 d) 4 3. Dado que: A

24.Un colegio dispone de 16 estudiantes que siempre están en los primeros puestos en matemática, ¿cuántos grupos de 3 estudiantes se pueden escoger para representar al colegio en una Olimpiada de matemática? a) 480 d) 610

b) 360 e) 560

b) 2 e) 5

c) 3

B

C

¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir y volver de “A” a “C”, si la ruta de regreso debe ser diferente a la de ida?

c) 450

25.¿Cuántos cables de conexión son necesarios para que puedan comunicarse directamente 2 oficinas de las 7 que hay en un edificio? a) 7 d) 35

b) 9 e) 14

c) 21

a) 11 d) 144

EVALUANDO MIS CONOCIMIENTOS

b) 24 e) 132

c) 23

4. Lucho invita al cine a su novia y a los tres hermanos de ella. Al encontrar una fila de 5 asientos, ¿de cuántas maneras podrán elegir sus asientos?

1. Simplificar:

54! 53! 52! 53! 52!

a) 54! d) 27

b) 54 e) 53!

c) 27! a) 25 d) 10

2. ¿Cuántas de las proposiciones son ciertas? I. El factorial sólo se aplica a números naturales. II. -4! = -24 III.3! + 5! = 8! IV. (-a)! no existe

b) 24 e) 120

c) 5

5. Del problema anterior, ¿de cuántas maneras si los novios siempre se sientan juntos?

 a  no existe  b

V. 

22

a) 12 d) 48

b) 24 e) 120

Hallar:

c) 36

P

circ

=

7

Permutaciones con repetición El número de maneras en que se pueden ordenar a “n” elementos, repitiéndose uno de ellos “a” veces, otro “b” veces, otro “c” veces, etc es:

P

n a ,b , c ...

=

n! a!.b!.c!......

Recordar: Ejemplo: -

Pn = n!

¿Cuántos ordenamientos se pueden hacer con las 8 letras siguientes: a; a; a; b; b; c; c; d interviniendo las 8 letras en cada ordenamiento?

Ejemplo: P6 = 6! = 720 -

v

n r

=

n! (n  r )!

Solución:

P

Ejemplo:

V29 

9! 7! 8  9   72 (9 - 2)! 7!

C

n r

=

n! ( n  r )!.r!

=

8! = 1680 3!.2!.2!......

10

P

3, 6

=

Principio multiplicativo

Ejemplo:

C10 7

3, 2 , 2

Ejercicio: Hallar:

-

8

Si un suceso se puede efectuar de “m” maneras y a continuación otro suceso se puede efectuar de “n” maneras, entonces los dos sucesos se pueden efectuar de “m x n” maneras.

10! 7! 8  9  10    120 (10 - 7)!. 7! 3! 7!

Otras definiciones

Este principio se puede ampliar a más de 2 sucesos, en efecto, si el número de maneras en que pueden ocurrir Permutaciones circulares varios sucesos es: m; n; p; q; .... El número de maneras en que se pueden ordenar a “n” entonces el número de maneras en que pueden ocurrir elementos de un conjunto alrededor de una todos ellos juntos es: circunferencia es: m × n × p × q × .....

P

circ n

Ejemplo:

= (n - 1)!

¿De cuántas maneras diferentes se puede formar una pareja de baile con 4 hombres y 5 mujeres?

Ejemplo: ¿De cuántas maneras se pueden ordenar a los elementos del conjunto:{a; b; c; d; e; f} alrededor de una circunferencia? Solución:

P

circ 5

= (5 - 1)! = 4! = 24

Solución: Una pareja de baile estará formada por un hombre, que se puede escoger de 4 y una mujer, que se puede escoger de 5. Entonces habrán: 4 x 5 = 20 parejas de baile Ejercicio:

Ejercicio:

23

Carmen tiene 5 blusas, 3 pantalones y 4 pares de zapatillas. Si todas las prendas son de diferente color, ¿de cuántas maneras se podrá vestir Carmen? Solución:

Principio aditivo Si un suceso se puede efectuar de “m” maneras y otro 1. El “Día de la Bandera” deben disponerse a 8 suceso se puede efectuar de “n” maneras, entonces el cadetes alrededor del asta. ¿De cuántas maneras se primer suceso o el segundo suceso pero no ambos a la podrá hacer ese ordenamiento? vez, se podrán efectuar de “m + n” maneras. Este principio se puede ampliar a más de 2 sucesos. Ejemplo: Jorge quiere hacerle un obsequio a Susana pero no sabe si regalarle flores o chocolates. Si escoge regalarle flores tiene que escoger 5 tipos de flores y si quiere regalar chocolates tiene que escoger 6 tipos de ellos. ¿De cuántas maneras podrá escoger un regalo? Solución: Flores : Chocolates :

5 maneras 6 maneras

a) 40320 d) 2720

Luego: flores o chocolates: 5 + 6 = 11 maneras

b) 5040 e) 5400

c) 720

2. ¿Cuántas palabras se pueden empleando todas las letras de COCODRILO?

determinar, la palabra

Ejercicio: Para viajar de Lima a Trujillo hay 8 líneas de transporte terrestre y 3 líneas de transporte aéreo. ¿De cuántas maneras una persona escogerá una línea de transporte? Solución:

a) 24630 d) 60166

24

b) 18720 e) 30240

c) 24700

3. Para cierto número de baile se necesitan 2 hombres y 3 mujeres. ¿De cuántas maneras se puede hacer la elección, si se disponen de 6 bailarines y 8 bailarinas?

a) 25 d) 28 a) 630 d) 840

b) 900 e) 360

b) 26 e) 24

c) 27

7. ¿De cuántas maneras se podrá escoger una vocal y una consonante de la palabra “MURCIÉLAGO” de tal manera que el par de letras escogidos tengan sonidos distintos?

c) 720

4. Con las cifras: 1; 2; 3; 4; 5; 7 y 9, ¿cuántos números pares, de cuatro cifras diferentes se pueden determinar?

a) 25 d) 35 a) 180 d) 240

b) 120 e) 320

c) 360

b) 50 e) 30

c) 100

8. ¿Cuántos boletos de rifa de tres dígitos puede venderse como máximo?

5. ¿Cuántos grupos de 7 miembros se pueden formar con 6 ingenieros y 5 médicos, de manera que en cada grupo debe haber por lo menos 4 médicos?

a) 990 d) 1000

b) 999 e) 996

c) 900

9. Un club tiene 24 miembros de los cuales 10 son hombres. ¿Cuántas juntas directivas de 3 miembros: presidente, secretario y tesorero, pueden formarse si el presidente debe ser un hombre y el secretario una mujer?

a) 150 d) 120

b) 260 e) 115

c) 230

a) 3160 b) 2980 c) 3080 6. Kiomara tiene 6 pantalones y 5 camisas, todos de d) 3000 e) 3120 distintos colores. ¿De cuántas maneras se podrá vestir, si el pantalón negro se lo debe poner siempre 10.Juan acostumbra almorzar comida criolla y comida con la camisa crema? oriental, pero no ambas el mismo día. Si cada vez

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pide dos platos distintos y tiene para elegir entre 4 de comida criolla y 6 de comida oriental, ¿cuántas posibilidades de elecciones satisfacerán su exquisito gusto?

a) 10 d) 90

b) 21 e) 45

a) (m . n)2 - m.n b) (m . n)2 c) (m . n)2 - m d) m . n 2 e) (m . n) - 1 13.Rubén acostumbra llevar a su novia primero al cine y luego a cenar o a bailar, y luego a pasear por algún lugar romántico. Si observa que en esta ciudad hay 4 cines, 3 muy buenos restaurantes, 5 discotecas y 6 lugares de paseo, ¿cuántas posibilidades de elección tiene?

c) 24

a) 21 d) 18

b) 30 e) 42

c) 15

11. ¿De cuántas maneras diferentes podría viajar una 14.Un equipo de trabajo puede estar formado por 4 mujeres o por 2 hombres o por 2 mujeres y 1 persona de “A” a “D” sin retroceder? hombre. Si hay 6 mujeres y 5 hombres capaces de desempeñarse brillantemente en dicha labor, ¿cuántas posibilidades de elección se presentan?

A

a) 20 d) 21

B

b) 18 e) 23

C

D

a) 25 d) 80

c) 24

12.Para ir de una ciudad “A” a una ciudad “B” hay “n” caminos y para ir de “B” a “C” hay “m” caminos. ¿Por cuántos caminos diferentes se pueden ir de “A” hacia “C” de ida y vuelta, si el camino de regreso tiene que ser distinto al de ida?

b) 50 e) 100

c) 120

15.Toribio quiere comprarse un pantalón y una camisa o en su defecto, un par de zapatos y una correa. Si tiene que elegir entre 4 pantalones, 5 camisas, 3 pares de zapatos y 7 correas, ¿de cuántas formas puede realizar su compra?

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a) 420 b) 19 c) 38 a) 6!.3! b) 1!.6! c) 3!.8! d) 82 e) 41 d) 9!.4! e) 2!.5! 16.¿De cuántas maneras pueden arreglarse en una 19.Se quiere tomar una foto a un grupo de 8 alumnos, alacena 4 libros de matemáticas, 3 libros de historia, pero en la foto solo pueden aparecer 5 alumnos 3 libros de química y 2 libros de sociología, de tal sentados en línea recta. ¿De cuántas maneras manera que todos los libros sobre el mismo tema diferentes se puede tomar dicha foto? estén juntos?

a) 72126 d) 41472

b) 28916 e) 20604

c) 12140

a) 6750 d) 2450

b) 7820 e) 2730

c) 6720

17.5 amigos salen de paseo en un automóvil en el cual 20.En una tienda hay 6 camisas y 5 pantalones que me pueden sentarse 2 en la parte delantera y 3 en la gustan. Si decido comprar 3 camisas y 2 pantalones, parte posterior. ¿De cuántas maneras diferentes ¿de cuántas maneras diferentes puedo escoger las podrán sentarse teniendo en cuenta que 2 de ellos prendas que me gustan? no saben manejar? a) 100 b) 500 c) 300 d) 400 e) 200

a) 24 d) 120

b) 48 e) 60

c) 72

18.¿De cuántas maneras se pueden colocar 12 niños en una fila, de manera que cuatro niños en particular, queden juntos?

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