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• Ciro Gelvez

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Rayos X C.F. G´elvez and D.H. Useche Departmento de F´ısica, Universidad de los Andes, Cra 1 No 18A- 12 Bogot´ a, Colombia (Dated: 20 de agosto de 2015) El informe del experimento rayos X pretende mostrar la validez en el Cobre de varios conceptos y teorias en f´ısica como el espectro de rayos X, el proceso bremsstrahlung, la difracci´ on de Bragg y la absorci´ on de rayos X. El experimento consistio en primer lugar en la medici´ on de la intensidad de los rayos X del cobre difractados por dos cristales LiF y KBr. En segundo lugar medimos la intensidad de los Rayos X con λ = 1,54A◦ en funcion del espesor de los filtros de absorci´ on de Al y Zn. Los primeros resultados fueron que el espectro del cobre es un espectro discreto acompa˜ nado de uno continuo, y que las magnitudes de las dos lineas caracteristicas del espectro del cobre son Kα = 8,095 ± 0,095[KeV ] y Kβ = 8,870 ± 0,045[KeV ]. Paralelamente, basados en el proceso bremsstrahlung, estimamos la constante de Plank h = 6,46 × 10−34 ± 0,10 × 10−34 [J × s]. Como resultado final, corroboramos que la relaci´ on entre la intensidad de la se˜ nal monocromatica de los rayos X y el espesor de los filtros de absorci´ on es exponencial decreciente, y calculamos los coeficientes de atenuaci´ on para λ = 1,54A◦ del Aluminio y Zinc µAl = 10,87 ± 0,10[cm−1 ] y µZn = 42,92 ± 0,86[cm−1 ]. Como conclusion, convalidamos los resultados experimentales con la teor´ıa, y proponemos mediciones adicionales para mejorar la precision de los datos. Palabras clave: Espectro de rayos X del Cobre, Difracci´ on de Bragg, proceso bremsstrahlung, absorci´ on de Rayos X

I.

INTRODUCCION

El experimento consiste en dirigir rayos X hacia dos cristales LiF y KBr, y medir la intensidad de los rayos difractados por el cristal para varios angulos. El tubo de rayos X consiste en un catodo que emite electrones los cuales son acelerados a traves de una diferencia de potencial hacia un anodo (en nuestro experiemento el anodo es Cobre). El cobre que se encuentra en el anodo emite rayos X al desacelerar los electrones por el proceso de bremsstrahlung. Proceso de bremsstrahlung Cuando un electron choca con un atomo, el atomo emite un foton con una longitud de onda λ dada por, hc = K − K0 λ

(1)

Algunas de las lineas de emisi´on mas conocidas del Cobre son las series K, L, y M. Algunas de estas lineas de emisi´on del Cobre se pueden detectar atraves de la difracci´on de estos rayos con un cristal como LiF o KBr. Es posible detectar las lineas Kα y Kβ cuyos valores m´as exactos son, Kα = 8,048[KeV ],

Kβ = 8,905[KeV ]

Difracci´on de Bragg La longitud de onda y por lo tanto la energ´ıa de los fotones de rayos X emitidos por el cobre se pueden detectar por medio de la difracci´on con un cristal. La difracci´on con cristales es conocida como difracci´ on de Bragg. En la difracci´on de Bragg los atomos de l cristal sirven como planos de reflex´ıon de las ondas electromagneticas incidentes, generando difracci´ on por la diferenc´ıa de caminos en planos adyacentes, como lo muestra la figura 1.

Donde K es la energ´ıa cinetica del electr´ on antes del choque, y K 0 es la energ´ıa cinetica despu´es del choque. El espectro de los rayos X emitidos por el anodo es un espectro discreto sucedido por un espectro continuo. Sin embargo exist´e un minimo en la longitud de onda λm de el espectro de rayos X. El minimo sucede cuando la energ´ıa del fot´ on emitido es maxima, el electr´on pierde toda su energ´ıa cinetica en el choque, λm =

hc eV

(2)

Espectro de Rayos X del Cobre Algunos elementos como el Cobre (Cu) y el Molibdeno (Mb) emiten rayos X con varias longitudes de onda. La energ´ıa de los fotones emitidos corresponde a la diferenc´ıa en los niveles de energia de los elementos.

(3)

Figura 1: Difracci´on de Bragg

2 La primera condi´ on de Bragg es que el angulo de incidenc´ıa es igual al angulo de reflexi´ on, y la segunda que las reflexiones de planos adyacentes deben combinarse constructivamente, en ecuaciones, nλ = 2d sen θ

(4)

En esta ecuaci´ on θ es el angulo de incidencia de los rayos X sobre el cristal, y d es la separaci´ on entre planos en el cristal. La separaci´ on entre los planos de (1,0,0) es la constante del cristal, los valores para el LiF y KBr son, dLiF = 2,015[A◦ ],

dKBr = 3,290[A◦ ]

(5)

Absorci´ on de Rayos X Cuando los rayos X inciden sobre un material, la intensidad de la radiaci´ on electromagnetica disminuye exponencialmente con el grosor del material d, esto es, I = I◦ e

−µ(λ)d

(6)

En esta ecuaci´ on I◦ es la intensidad sin filtro de absorci´ on y µ(λ) es el coefficiente de atenuaci´ on lineal el cual depende de la longitud de onda. Calculo de variables f´ısicas Basados en las ideas preliminares este informe pretende calcular las los valores Kα , Kβ , la constante de Plank h, y los coeficientes de atenuaci´ on lineal µAl y µZn del Aluminio y Zinc respectivamente. La constante de Plank la calcularemos con la ecuaci´ on 2, las constantes de atenuaci´ on con la ecuaci´ on 6, y la energia de las lineas Kα , y Kβ , las calculamos con las ecuaciones de Plank y Bragg combiandas, ecuaci´ on 7, E=

II.

hc nhc = λ 2d sen θ

(7)

MATERIALES Y METODOS

El experimento consiste en medir la intensidad de los rayos X para varios angulos difractados por dos cristales LiF y KBr. En terminos generales usamos el equipo PHYWE de rayos X y una computadora(ver figura 2). Los materiales que usamos del equipo PHYWE de rayos X son: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Unidad de rayos X, de 35kV. Goniometro para rayos X, de 35kV. Tubo de rayos X de Cu. Cristales LiF y KBr. Filtro de 1mm para la fuente de rayos X. Set de absorci´ on de rayos X, Al y Zn. Tubo contador, tipo B.

El procedimiento realizado se puede dividir en tres partes distintas: a) Medici´ on del espectro de rayos X

Figura 2: Equipo usado para este experimento en difracci´on de Rayos X

difractados por LiF y KBr, b) Medici´on del espectro de rayos X difractados por LiF y KBr con el filtro Ni, c) Medici´on del la intensidad del maximo de LiF cambiando el set de absorci´on. Para lograr obtener estas mediciones realizamos los siguientes pasos: 1. Conectamos el tubo de Rayos X de Cu, asignamos un voltaje de 35kV, y una intensidad de 1mA. 2. Calibramos el equipo PHYWE de rayos X. Tomamos en cuenta que un maximo de difracci´on de los rayos X del cobre con LiF es a 22,6◦ . 3. Conectamos el equipo a la computadora y a traves del software M easure medimos el espectro de LiF y KBr para angulos entre 5◦ y 50◦ en pasos de 0,1◦ 4. Medimos la intensidad del maximo de difracci´ on de LiF a 22,6◦ cambiando las peliculas de absorci´ on de Al y Zn, que se conectan en el tubo contador. Medimos desde 0.0mm a 0.1 mm para juntos materiales, en pasos de 0.02mm y 0.025 para el Aluminio y el Zinc respectivamente.

III.

RESULTADOS

Basados en las figuras 3 y 4 encontramos un espectro discreto superpuesto por un espectro continuo en la difracci´on de los rayos X de Cobre sobre LiF y KBr. Asi mismo, encontramos cuatro maximos en el espectro del LiF y 6 maximos en el espectro del KBr.

3 Para calcular los valores experimentales de Kα , y Kβ , hallamos el promedio, la desviaci´on estandar, y el error estadistico de los datos en el Cuadro 1 para cada magnitud. Los valores finales son,

Figura 3: Intensidad de los rayos X del cobre en funci´on del angulo de incidencia con cristal LiF

Figura 4: Intensidad de los rayos X del cobre en funci´on del angulo de incidencia con cristal KBr

Hallamos 4 maximos en la difracci´ on con el LiF los cuales corresponden a las lineas Kα , Kβ , medidas para n = 1, 2. Al cambiar el LiF por KBr, se obtiene tres ordenes de difracci´ on n = 1, 2, 3. Los valores de Kα ,y Kβ , se presentan en la tabla 1 y se obtienen a partir de de la ecuaci´ on 6,

LiF difracci´ on (Fig 3) n=1 n=2

KBr difracci´ on (Fig 4) n=1 n=2 n=3

θ[◦ ]

Linea

Eexp [keV ]

20,3 22.6 43.8 50.1

Kβ Kα Kβ Kα

8.918 8.049 8.918 8.049

12.6 13.9 24.9 27.8 39.3 44.5

Kβ Kα Kβ Kα Kβ Kα

8.668 7.840 8.918 8.049 8.918 8.049

Kα = 8,095 ± 0,095[KeV ]

(8)

Kβ = 8,870 ± 0,045[KeV ]

(9)

Es de resaltar que los valores calculados con su rango de error incluyen a los volares esperados, y tienen un error relativo menor al 1 %. As´ı mismo, cabe notar que 4 pares de datos en la tabla aciertan a los valores esperados, y un solo par se desvia del valor esperado. Este par de datos corresponden al primer y segundo m´ aximo de la difracci´on con el KBr. Es posible que la desviaci´ on sucediera devido a que al ser los angulos muy minimos la precisi´on del equipo fuera menor. Ahora procedemos a encontrar el valor experimental de la constante de Plank. Al observar las figuras 3 y 4 podemos ver que para angulos menores a 10◦ la intensidad es maxima en 5◦ , disminuye hasta cierto valor y luego aumenta progresivamente. Estos cambios en la intensidad se pueden explicar por el proceso de bremsstrahlung. La intensidad es alta para angulos cercanos a 5◦ debido a que los rayos X estan dirigidos casi directamente hacia el contador, y la intensidad disminuye para angulos mayores al alejarse el contador de los rayos directos. Sin embargo, para cierto angulo el contador detecta unos rayos X adicionales que corresponden a la difracci´on de los fotones mas energeticos en el espectro del Cobre, es decir el umbral en el proceso bremsstrahlung. Con el minimo local de la intensidad se puede hallar λmin a partir de la ecuaci´on 4, tomando n = 2, y con la ecuaci´on 2 se puede estimar el valor de la constante de Plank. Se encontro que el angulo donde empieza el continuo bremsstrahlung en el KBr es θmin = 6,1◦ . As´ı hallamos el valor experimental de la constante de Plank, h = 6,46 × 10−34 ± 0,10 × 10−34 [J × s]

Cuadro I: Energias caracteristicas del Cobre medidas con LiF y KBr

(10)

En este calculo ignoramos la grafica del LiF, debido a que el θmin en el LiF no es tan pronunciado como en el caso del KBr. El error experimental lo calculamos teniendo en cuenta que el error relativo de h es el mismo del error relativo del angulo el cual es aproximadamente del 1 %. El valor experimental de la constante de Plank se aleja al valor aceptado en un 2.5 %, esto nos demuestra que el experimento coincidio con la teoria del proceso bremsstrahlung. En tercera instanc´ıa mostramos los resultados sobre la absorci´on de rayos X del cobre por parte del Aluminio y Zinc. En los cuadros 2 y 3, incluimos la intensidad de la se˜ nal I/Icirc en funci´on del espesor, donde I◦ = 8083, θ = 22,6, λ = 1,54A◦ . Recordamos que medimos el cambio en la intensidad por espesor del filtro

4 de absorci´ on para un angulo fijo, o lo que es lo mismo para la misma longitud de onda. Espesor d [mm] Intensidad I/I◦ 0.0 1.0 0.02 0.772 0.04 0.611 0.06 0.489 0.08 0.395 0.10 0.342

Cuadro II: Relaci´ on de intensidad de los rayos X y espesor de filtro de absorci´ on de Aluminio para λ = 1,54A◦ .

Espesor d [mm] Intensidad I/I◦ 0.0 1.0 0.025 0.419 0.05 0.184 0.075 0.077 0.10 0.011

Cuadro III: Relaci´ on de intensidad de los rayos X y espesor de filtro de absorci´ on de Zinc para λ = 1,54A◦ . Basados en la ecuaci´ on 6 se espera que la relaci´on entre el espesor del filtro de absorci´ on y la intensidad de los rayos X sea exponencial. Para mostrar que la relaci´on es exponencial incluimos los datos en una grafica semilogaritmica de base 10,

Figura 5: Intensidad de los rayos X de Cobre en funci´on del espesor de los filtros de absorci´ on de Aluminio y Zinc para λ = 1,54A◦ .

Basados en los datos anteriores realizamos la regresion logaritmica para calcular µAl y µZn los coefficientes de atenuaci´on lineal para λ = 1,54A◦ del aluminio y zinc respectivamente, asi como el error estadistico de estas constantes, µAl = 10,87 ± 0,10[cm−1 ]

(11)

µZn = 42,92 ± 0,86[cm−1 ]

(12)

La correlacion de los datos R2 es del 99 % para el Aluminio y del 98 % para el Zinc, lo cual demuestra que los datos efectivamente estan relacionados por una funci´on exponencial. Debido a la alta correlaci´on estadistica de los datos el error relativo de las constantes de atenaci´on resulta ser menor al 5 %. Los anteriores argumentos muestran que el experimento concuerda con la ecuaci´ on 6.

IV.

CONCLUSIONES

Atraves de la difracci´on de los rayos X del cobre obtuvimos que los rayos caracteristicos tienen una magnitud Kα = 8,095 ± 0,095[KeV ] y Kβ = 8,870 ± 0,045[KeV ]. Dado que el error experimental de estas transiciones de energ´ıa es menor al 1 % y el valor hallado experimentalmente con su rango de error concuerda con el valor aceptado, podemos afirmar que el Cobre tiene dos trancisiones de energ´ıa caracteristicas Kα y Kβ , y que los cristales LiF y KBr actuan como planos permitiendo difracci´on de Bragg. Adicionalmente, el instrumento utilizado tenia una precision del 0,1◦ la cual es una posible razon de los resultados positivos de la difracc´ıon de los rayos X en estos cristales. En el experimento de difracci´on hallamos un valor de la constante de Plank h = 6,46×10−34 ±0,10×10−34 [J ×s], y encontramos un espectro continuo adicional al espectro discreto del cobre (figuras 3 y 4). Estos resultados demuestran el proceso bremsstrahlung, es decir, los rayos X del cobre son el resultado de la desaceleraci´ on de electrones al chocar inelasticamente multiples veces con atomos de Cobre. El resultado de h tiene un error experimental menor al 2 %, sin embargo, el resultado final y su error no incluyen el valor aceptado. Para mejorar el resultado de h es recomedable medir λm variando la diferencia de potencial entre el catodo y el anodo en el tubo de rayos X, graficar V vs 1/λm y realizar la regresion lineal. A traves del experimento de la absorc´ıon de rayos X por Aluminio y Zinc pudimos comprobar que la relaci´on entre el espesor del filtro y la intensidad de la senal es exponencial(fig5), tambi´en calculamos las coeficientes de atenuaci´on del Aluminio y Zinc para λ = 1,54A◦ , estos son µAl = 10,87 ± 0,10[cm−1 ] y µZn = 42,92 ± 0,86[cm−1 ]. Obtuvimos un error relativo

5 menor al 5 % lo cual corrobora que la relaci´ on entre d e I es exponencial. Para proximos experimentos con este equipo se propone medir la relaci´ on de d e I para otras

longitudes de onda y as´ı investigar la dependecia de µ y λ.

[1] R. Eisberg, Quantum Physics of Atoms, molecules, solids, nuclei, and particles(John Wiley & Sons, 2nd Edition, 1974.)

[2] D. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics(Pearson, 2nd Edition. 1992)