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Cap
tulo 2

Radiaci
on Solar 2.1 Teora basica de la radiacion termica 2.1.1 Ondas y espectro electromagnetico Entre 1864 y 1873 Maxwell refundio en sus famosas ecuaciones todas las teoras dispersas sobre electromagnetismo. La velocidad de las ondas electromagneticas que resultaban de estas ecuaciones era del orden de 300.000 km/s, que coincida con la velocidad de la luz. Sugirio entonces que la luz era un tipo de onda electromagnetica producida por la oscilacion de cargas electricas. Al nal del siglo XIX Hertz demostro que un campo electromagnetico variable se propaga en el vaco con una velocidad igual a la de la luz. En el texto de Alonso y Finn (Fsica, Ed. Addison-Wesley, pp.665-667) el lector puede encontrar una deduccion de las ecuaciones de onda para campos electricos y magneticos a partir de las ecuaciones de Maxwell. ! Las ondas electromagneticas planas son transversales, con los campos ; E ! ; y B perpendiculares entre s y a la direccion de propagacion de la onda. La velocidad de propagacion , c = p"10 0  = 3  108 m s;1 . Cuando el campo electrico oscila en un plano (que tomaremos como el XY) y el magnetico en un plano normal (el XZ), se dice que la onda esta linealmente polarizada. En este caso:

Ey = E0 sin k(x ; ct) Bz = B0 sin k(x ; ct) :

Z Z I


0

;! ! Bd; S =0

!` = (I +
0 d ) ;! B d; I

dt

!` = ; d ! ; E d;

(2.1) Ecuaciones Maxwell La longitud de onda, , es la distancia comprendida entre dos maximos consecutivos :  = 2=k. La onda recorre una distancia  en un tiempo T = =c, que es el perodo de la oscilacion armonica. Se relaciona con la frecuencia = 1=T = 2kc = 2w . 1

;! ! E d; S=Q

dt

de


SOLAR CAP
ITULO 2. RADIACION

2 Bz(x) 1 0.5 0 -0.5 -1

0.5 0

0

0.5 X

1

1.5

-0.5

Ey(x)

2

Figura 2.1: Representacion de una onda electromagnetica plana linealmente polarizada.

 = cT

= T1 = c E = h

Relaciones utiles

Una onda electromagnetica porta energa y cantidad de movimiento. La densidad de energa de la onda es proporcional a la amplitud del campo electrico: E = "0 E 2 . Ciertos fenomenos fsicos, como el efecto fotoelectrico, se interpretan mejor si se consideran los fotones, como peque~nos paquetes de energa asociados a la onda electromagnetica. La energa de los fotones resulta entonces proporcional a la frecuencia de la onda: E = h ( h es la constante de Plank, h = 6:626  10;34 J s). Las fuentes de las ondas electromagneticas son las mismas que producen los campos electromagneticos, esto es, cargas electricas en movimiento. Las ecuaciones de Maxwell predicen que las cargas aceleradas emiten ondas electromagneticas. Como caso de partcular interes notaremos el dipolo electrico cuyo momento cambia con el tiempo ( como un electron en un atomo cuyo movimiento orbital se ve perturbado). Dependiendo de las fuentes que las producen, pueden originarse ondas electromagneticas con una distribucion contnua de frecuencias (y longitudes de onda). Las ondas mas energeticas (frecuencias mas altas y longitudes de onda mas corta) son los rayos gamma, de origen nuclear ( < 10;10 m). Les siguen en energa los rayos X (10;12 <  < 10;9 m), producidos por los electrones internos (los mas fuertemente ligados) de los atomos y en la desaceleracion de partculas cargadas (bremstrahlung). Los rayos ultravioleta son emitidos por atomos y moleculas en estados excitados, y cubren un rango de longitudes de onda entre 3:8  10;7 m hasta 6  10;10 m. El espectro infrarrojo cubre longitudes de onda entre 10;3 m hasta 7:8x10;7 m. Estas ondas electromagneticas se producen por moleculas y cuerpos calientes cuyos atomos son excitados termicamente. La luz o espectro visible (3:8  10;7 <  < 7:8  10;7 m) es un caso especial de radiacion termica emitida por cuerpos a una temperatura como la del sol, y se situa entre la banda del ultravioleta y la del infrarrojo. Por debajo del infrarrojo podemos


2.1. RADIACION

3

encontrar las microondas y las ondas de radiofrecuencia. Un sistema macroscopico esta formado por un gran numero de partculas (atomos y moleculas). La temperatura esta relacionada con la \agitacion molecular", o mas concretamente con la energa cinetica media de las partculas. Los atomos vibran alrededor de sus posiciones de equilibrio o sufren colisiones con otros atomos. Puede haber una fraccion de electrones libres y cargas no compensadas sujetas a aceleraciones y electrones en orbitas perturbadas que emiten radiacion electromagnetica con una distribucion contnua de longitudes de onda. Esta radiacion, relacionada con la temperatura del cuerpo, se conoce como radiacion termica, y sera el objeto de estudio de la siguiente seccion. Radiacion termica: En un cuerpo caliente (T > 0)los atomos 2.1.2 Cuerpo negro excitados y las cargas Sea S una supercie arbitraria a cuyo traves se propaga una radiacion elec- aceleradas emiten tromagnetica constituida por una superposicion de ondas con distintas fre- radiacion electrocuencias. Se denomina
ujo radiante, , a la cantidad de energa radiante magnetica que por unidad de tiempo cruza la supercie S . Sus unidades son J/s o Watios. Si la supercie es innitesimal dS , el ujo radiante tambien sera innitesimal, d, y puede considerarse uniforme en dS . Se dene entonces d . Sus unidades son W m;2 . Si dS se la densidad de
ujo radiante, ' = dS toma sobre la supercie de un cuerpo caliente que emite radiacion termica, a la densidad de ujo radiante se la denomina radiancia, ". Todas estas magnitudes, denidas para una superposicion de ondas electromagneticas, pueden particularizarse para cada longitud de onda (o color) concreta. Se puede habla entonces de magnitudes monocromaticas. La radiaciancia espectral "()d es la cantidad de energa radiante emitida por unidad de tiempo y area por la supercie de un cuerpo caliente en forma de ondas electromagneticas con longitudes de onda comprendidas entre  y  + d. Cuando se considera el angulo  formado por la direccion de propagacion de la radiacion electromagnetica y la normal al elemento de supercie se obtiene que la densidad de ujo radiante vara con el angulo segun:

'() = '0 cos 

(2.2) siendo '0 el valor de ' para incidencia normal (direccion de propagacion paralela a la normal a la supercie). Esta ecuacion expresa una relacion puramente geometrica, y se conoce como ley de D'Alembert. Cuando una densidad de ujo radiante ' incide sobre la supercie de un cuerpo, una fraccion  se reeja, otra  se trasmite a su traves, y otra fraccion  se absorve (incrementando la temperatura del cuerpo).   y  se denominan coecientes de reexion, transmision y absorcion, respectivamente. Pueden denirse para una radiacion electromagnetica constituida por la superposicion de ondas de distintas frecuencias, o para una longitud de onda (color) particular (se habla entonces de coecientes monocromaticos).

De
niciones: Flujo

radiante, densidad de ujo radiante, radiancia, valores monocromaticos

4

Coecientes   y .

+ + =1 Un cuerpo negro no es de color negro (el sol emite radiacion termica como un cuerpo negro, en buena aproximacion)


SOLAR CAP
ITULO 2. RADIACION

Los valores monocromaticos varian con la longitud de onda (el vidro de una ventana trasmite bien la radiacion visible, pero resulta casi opaco a la radiacion termica). Los coecientes   y  pueden depender del angulo  de incidencia, pero por su propia denicion, siempre se verica que  +  +  = 1. Un cuerpo es transparente si  = 1, opaco si  = 0, espejo o refjector perfecto si  = 1. Cuando  = 1 se dice que el cuerpo es negro (absorve toda la radiacion sin reejar ni transmitir nada). El cuerpo negro constituye un modelo de gran utilidad para el estudio de la radiacion termica. Un horno o cavidad cerrada que se mantiene a una temperatura constante, T , y a la que se practica un peque~no oricio, constituye una buena aproximacion a un cuerpo negro. Cualquier radiacion que penetre por este oricio no encontrara el camino de salida ( = 1). Las paredes emiten y absorben radiacion electromagnetica alcanzanzdose una situacion de equilibrio. El oricio emite radiacion que tendra las caractersticas de la radiacion emitida por un cuerpo negro a temperatura T. Sin embargo, el oricio solo muestra la radiacion que hay dentro de la cavidad, por lo que esta tambien debe tener las caractersitcas de la radiacion de un cuerpo negro. Consideremos una porcion de pared en el ineterior de la cavidad, en equilibrio a la temperatura T. La radiancia (emision) se equilibra con la fraccion absorvida de la densidad de ujo radiante que incide (el subndice b se utiliza para referirse al cuerpo negro): "b (T ) = b 'b = 'b . Si sustituimos un elemento de supercie dS del interior de la cavidad por otro igual, pero de un cuerpo que no sea negro ( < 1), siempre que se alcance el equilibrio termico a la temperatura T , la densidad de ujo radiante emitido " tendra que equilibrarse con la fraccion absorvida de la densidad de ujo radiante incidente (este sigue siendo el caracterstico del cuerpo negro, 'b ):

" = 'b = "b

(2.3) Esta relacion se conoce como ley de Kirchho de la radiacion electromagnetica: conocida la radiancia de un cuerpo negro se puede conocer la de cualquier otro cuerpo (en equilibrio termico) a partir de su coeciente de absorcion. La radiancia de un cuerpo negro es una fucncion de su temperatura absoluta. Stefan la estudio desde un punto de vista experimental, y Boltzman dedujo la misma expresion utilizando la Fsica Estadsitca:

"b (T ) = T 4

(2.4) Esta expresion se conoce como ley de Stefan-Boltzman, y  = 5:67  10;8 W m;2 K;4 es la constante de Stefan-Boltzman. La radiacion termica emitida es una superposicion de ondas electromagneticas con una distribucion continua de longitudes de onda. La ra-


2.1. RADIACION

5

1e+14 T=6000 K T=5000 K T=4000 K

Radiancia espectral (W/m^3)

9e+13 8e+13 7e+13 6e+13 5e+13 4e+13 3e+13 2e+13 1e+13 0 0

0.5

1

1.5 2 2.5 3 Longitud de onda (micras)

3.5

4

Figura 2.2: Espectro de emision de radiacion termica por un cuerpo negro para distintas temperaturas. diancia espectral (radiancia por intervalo de longitud de onda) es tambien una funcion de la temperatura. El estudio de la radiancia espectral de un cuerpo negro llevo a Planck a formular la teora de los cuantos en 1900. Planck encontro la siguiente expresion para la distribucion espectral
( T )d de la radiacion emitida por un cuerpo negro a la temperatura T:


( T )d = 2hc 5

2




e

d

ch
kT

;1



(2.5)

donde h es la constante de Planck (h = 6:6256  10;34 J s), c es la velocidad de la luz /c = 2:9979  108 m s;1 ), y k la constante de Boltzmann (k = 1:3805  10;23 J K;1 . En la gura 2.2 se representa el espectro de emision dado por la ley de Planck para un cuerpo negro a distintas temperaturas (el sol emite raRdiacion termica como un 4cuerpo negro a 6000 K). Observese que la integral "( T )d = "(T ) = T . Gracamente, el area bajo la curva corresponde a la radiancia del cuerpo negro a esa temperatura. Observese que la radiancia espectral alcanza un maximo para un cierto valor de la longitud de onda (max ), y que este maximo se desplaza hacia la derecha (longitud de ondas crecientes) cuando disminuye la temperatura. Este resultado se conoce como ley de desplazamiento de Wien:

max T = 2:8976  10;3 (m K)

(2.6)

R

"( T )d = "(T ) = T 4 maxT = 2:8976  10;3 (m K)


SOLAR CAP
ITULO 2. RADIACION

6

2.2 Espectro de emision y constante solar La energa procedente del Sol en forma de radiacion electromagnetica es el resultado de las reacciones de fusion que tienen lugar fundamentalmente en la parte mas interna o nucleo. Esta energa debe ser transferida a la supercie exterior para, desde all, ser radiada al espacio. En este proceso de transferencia aparecen fenomenos convectivos y radiativos, as como sucesivas emisiones, absorciones y rerradiaciones en las sucesivas capas de gases, dando lugar a un espectro de emision contnuo. As, y para muchos efectos practicos, el Sol puede ser considereado como un cuerpo negro que radia a una temperatura proxima a los 6000 K. La radiacion emitida por el Sol y las relaciones espaciales con la Tierra, conducen a una intensidad de radiacion en el lmite exterior de la atmosfera Constante solar: Fo = practicamente constante, que es lo que se conoce como cosntante solar. El 1353 w/m2 valor de esta constante, que se dene como la energa incidente por unidad de tiempo sobre una supercie tambien unidad, y orientada perpendicularmente a la direccion de propagacion de la radiacion, y que este colocada a la distancia media entre el lmite exterior de la atmosfera terrestre y el Sol, es Fo = 1353 w/m2 (1940 cal. cm;2 . min;1)

Ejemplo Sabiendo que la distancia media Tierra-Sol es RTS = 149:68  10 km y que el radio solar es de RS = 6:96  105 km, obtengase la temperatura efectiva del Sol (temperatura que tendra al considerarlo como un 6

cuerpo negro que produce la constante solar observada de Fo = 1353 w/m2 .  Sea Te la temperatura efectiva buscada. La potencia radiSOLUCION: ada por metro cuadrado (w/m2 ) en la supercie solar sera, segun la ley de Stefan-Boltzmann, Te4 , y la potencia radidada en toda su supercie sera:

Te4 4RS2

La energa radiante se propaga en ondas esfericas, y cuando alcanza la distancia tierra-sol, esta energa se encuentra uniformemente distribuida sobre una supercie esferica de radio RTS , siendo la densidad de ujo radiante (que se corresponde en este caso con la constante solar):  2 4 2 e 4RS = T 4 RS Fo = T4R e R 2 TS TS Sustituyendo valores (recuerdese que  = 5:67  10;8 w m;2 K;1 ):

Te = 5764K

Ejemplo Aplicando la ley de desplazamiento de Wien obtener la de-

nominada "temperatura de color" del Sol, sabiendo que la longitud de onda

2.2. ESPECTRO Y CONSTANTE SOLAR

7

para la que se se alcanza el maximo en el espectro de emision solar es de 0,474 m (resultado de observacion).  La ley de Wien establece: max T = K = 0:2898  10;2 m;1 SOLUCION: ; 1 K , de donde obtenemos la temperatura Tc que satisface las condiciones del enunciado: Te = K=max = 0:2898  10;2 =(0:474  10;6 ) = 6113K El valor mas peque~no que tiene la temperatura efectiva se interpreta por la absorcion selectiva de la atmosfera solar" que, sin embargo, deja casi sin variacion la intensidad correspondiente al maximo, adscrito a la longitud de onda antes citada de 0,474 m (longitud de onda del color amarillo).

EjercicioTRABAJO PROPUESTO]: La distribucion espectral
( T )d viene dada por la ley de Planck. Se propone al lector que, a modo de ejercicio, represente con su programa de gracos favorito la distribucion espectral correspondiente a un cuerpo negro con la temperatura efectiva del sol, y a otro con la temperatura media de la supercie terrestre ( 15 C). >Podra explicar por que es comun referirse a la radiacion solar como "de onda corta", y a la radiacion terrestre como "de onda larga"?. En la gura 2.3 se representa la distribucion espectral de la radiaicon solar medida en el borde de la atmosfera (lnea contnua) y la correspondiente a un cuerpo negro a 6000 K (lnea de trazos). La distribucion medida muestra "cortes donde falta radiacion", debidos a los procesos de absorcion en la \atmosfera" solar. Cuando esta radiacion extraterrestre atraviesa la atmosfera aparecen nuevas bandas de absorcion, de las que son especialmente relevantes las de la zona ultravioleta (debidas al ozono). El espesor de la atmosfera es demasiado peque~no en relacion a la distancia Tierra-Sol como para que se produzca una disminucion apreciable en la densidad de ujo radiante. La disminucion de esta a nivel de la supercie se debe a los fenomenos de absorcion y dispersion que experimenta la radiaicon solar al atravesar un medio material (gaseoso en este caso) como es la atmosfera. Para nuestro estudio conviene introducir el concepto de radiacion solar no reducida, como aquella radiacion que se recibira a nivel de la supercie terrestre de no existir la atmosfera. Esta radiacion vara notablemente de una localizacion geograca a otra (efecto de la latitud geograca y de la orografa del terreno), pero tambien con el momento del a~no y del da (relacionados estos efectos con la traslacion y rotacion de la Tierra). Todas estas modicaciones en la radiacion recibida se explican en terminos geometricos en funcion del angulo formado entre la direccion de incidencia de la radiacion solar y la normal al suelo en el punto de observacion. As, en un punto de la supercie de la Tierra en el que en un momento determinado los rayos solares llegen perpendiculares al suelo (Sol en el cenit), la energa radiante no reducida recibida por metro cuadrado y por unidad de tiempo viene a coincidir con la constante solar Fo . Cuando los rayos solares forman


SOLAR CAP
ITULO 2. RADIACION

8

E(/\,T) (w/m2 ) por intervalo de longitud de onda 1.800 1.600 1.400 -LINEA DISCONTINUA: Cuerpo negro a 6000 ºK -LINEA CONTINUA: Districución espectral al borde de la atmósfera

1.200 1.000 800 600 400 200

UV visible

IR próximo

0 0,05 0,3 0,55 0,8 1,05 1,3 1,55 1,8 2,05 2,3 2,55 2,8 LONGITUD DE ONDA (micras) Intervalos de 1 Angstron en la longitud de onda

Figura 2.3: Distribucion espectral de la radiacion solar en el borde de la atmosfera (lnea contnua) y espectro de emision de un cuerpo negro a 6000 K visto a la distancia Tierra-Sol. N

un angulo  con la normal (vease la gura del margen), la potencia recibida por unidad de supercie, F , viene dada por la Ley de D'Alembert :

F = Fo cos  F = Fo cos 

Ley de D'Alembert

(2.7)

En las secciones siguientes estudiaremos las relaciones angulares que permiten calcular la radiacion solar no reducida sobre una supercie horizontal para cualquier latitud geograca y para cualquier hora y da del a~no. Para ello sera necesario introducir unas nociones basicas de observacion astronomica.

2.3 Sistema de coordenadas ecuatorial y horizontal. Relaciones angulares. 2.3.1 Observando el cielo Las direcciones celestes pueden hallarse facilmente con ayuda de las constelaciones. La posibilidad mas sencilla nos la ofrece durante las horas nocturnas la Osa Mayor o Gran Carro, debido a que puede ser observada durante todo el a~no, cualesquiera que sea la estacion, y tanto en las horas vespertinas como de madrugada. Una vez hallada la Osa Mayor, tracemos mentalmente una lnea recta que pase por las dos estrellas de su parte posterior. Calculemos sobre la recta, de la parte inferior del carro hacia arriba, cinco veces la distancia entre dichas estrellas, y daremos con una estrella de brillo similar:

2.3. SISTEMAS DE COORDENADAS

9

Polar

Osa Mayor Norte

Figura 2.4: Estrella Polar y Norte geograco Estrella Polar (P.N. Celeste)

cénit

Plano del Ecuador C eleste

E 90º

N

O

Plano del h o ri zo n te

S

W

Figura 2.5: Referencias celestes la Polar o estrella del norte. Bajemos entoces nuestre vista desde la estrella Polar perpendicularmente sobre el horizonte y habremos situado en el el punto norte. El resto de las direcciones se siguen facilmente a partir de aqu. Si prolongasemos mentalmente el eje de rotacion de la Tierra, este pasara por la estrella Polar, por lo que se dice que esta esta en el polo norte celeste. En esta imagen se esta considerando las estrellas dispuestas en la supercie de una esfera que envuelve la Tierra (la boveda celeste), y que contemplada desde cualquier punto de la supercie del planeta se ve como una hemiesfera cubriendo una extension plana de terreno. As el tama~no aparente de los objetos celestes o la distancia entre objetos se mide en grados (360 grados equivaldran a la longitud de un paralelo completo de la boveda celeste). La prolongacion del plano del ecuador terrestre corta la boveda celeste deniendo su meridiano central o ecuador celeste. Al punto de la boveda celeste que se halla en la perpendicular al suelo (direccion del radio terrestre del lugar)

El probador de ojos: La estrella central de la cola de la Osa Mayor es una estrella doble. Alcor es la menor, conocida como eel peque~no jinete o como el probador de ojos.


SOLAR CAP
ITULO 2. RADIACION

10 Estrella Polar (P.N. Celeste)

Plano del Ecuador Cele ste

cénit z distancia cen ital

Estrella E

ángulo de altura

90º

N

O

Plano del h o ri zo n te

S ángulo

A s azimutal

W

Figura 2.6: Sistema de coordenadas horizontal se conoce como cenit. En rigor la distancia entre el polo norte celeste exacto y la estrella Polar es de unos 0.8o , pero para los presentes efectos la seguiremos usando como referencia ideal. Dado que la estrella Polar se encuentra a una distancia innitamente grande de nosotros, sus rayos de luz nos llegan paralelos, de manera que la lnea que une nuestro punto de observacion con la Polar sera una lnea paralela al eje de rotacion de la Tierra. El angulo sustendido por la Polar y la lnea del Norte sobre el plano del horizonte se corresponde con la latitud geograca del lugar  (vease la gura 2.5). Continuando 90o a partir de la Polar y en su mismo paralelo, pasando por el cenit, localizamos la lnea del ecuador celeste, que se alza a un angulo =2 ;  de la lnea del Sur en el plano del horizonte.

2.3.2 Sistemas de coordenadas horizontal y ecuatorial Contamos ya con unos elementos mnimos para jar la posicion de un objeto sobre la boveda celeste. En el sistema de coordenadas horizontal, la posicion queda jada al dar el valor de dos angulos, la altura  sobre la lnea del horizonte, y el angulo azimutal A, medido en sentido horario desde la lnea del Sur en el plano del horizonte hasta el punto del horizonte por donde corta el meridiano que contiene el cenit y el objeto observado (vease la gura 2.6). Al angulo formdo entre el cenit y el objeto se denomina distancia cenital, y es el complementario de la altura sobre el horizonte. En el sistema de coordenadas ecuatorial se toman como referencias el polo norte celeste y el ecuador celeste, en lugar del cenit y la lnea del horizonte, como se haca en el sistema de coordenadas horizontal. Aqu la posicion de una estrella se ja tambien mediante dos angulos. El primero de ellos es la declinacion , angulo que se mide sobre el meridiano celeste que pasa por la estrella (y el polo norte celeste)y que comprende desde el

2.3. SISTEMAS DE COORDENADAS

11

Án g u lo h o r a r io Plano del Ecuador C eleste

cénit

Estrella Polar (P.N. Celeste) w

Án g u lo d e d ec lin ació n

E

90º

N

Án g u lo

O

Plano del h o ri zo n te

W

de

A . R . As c e n sió n R e c ta S Ecuad or C e le ste

P u n to d e Aries

Figura 2.7: Sistema de coordenadas ecuatoriales ecuador celeste hasta la estrella. El segundo angulo es la ascension recta, que trata de localizar el punto sobre el ecuador celeste en que corta el meridiano celeste que contine a la estrella. Este angulo se mide desde el punto de Aries, un punto sobre el ecuador celeste que se toma como referencia y que se corresponde con la posicion del Sol en el equinocio de primavera. Debido a la rotacion de la Tierra, la posicion aparente de las estrellas cambia contnuamente. Con el sistema de coordenadas horizontal hemos de especicar los cambios en los angulos altura y azimut. Sin embargo, con el sistema ecuatiorial, al tomar como referencia puntos jos sobre la boveda celeste, basta dar la variaicon de un solo parametro, y el empleado es el angulo horario, que es el angulo formado entre el meridiano del Sur y el meridiano que contiene a la estrella. Como la Tierra completa una vuelta en 24 horas, gira con una velocidad angular wT = 2=24 rad/hora. El angulo horario de cualquier estrella sera: w = wT t + w0 , donde t es el tiempo y w0 el angulo horario para t = 0. Para denir el angulo horario del sol, ws , se utiliza el sistema horario conocido como horario solar local (h.s.l.). En este sistema horario son las 12 horas cuando el sol esta en el meridiano del Sur (ws (t = 12) = 0 = wT 12 + ws0 ), por tanto ws0 = ; y

ws = 224 t ; 

(2.8)

siempre que t este en h.s.l. Para pasar del h.s.l. en Sevilla al horario ocial hemos de tener en cuenta:

ws = 224 t ; 

 Sumar el adelanto vigente con respecto al horario GTM (1 hora en t en h.s.l. invierno, 2 horas en verano)


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ITULO 2. RADIACION

12

eje de rotación Equinocio de p r i ma v e r a 21-Marzo

23.45º

=0º Perihelio

=-23.45º =+23.45º S olsticio de verano 2 1- Junio

Solsticio de invierno 22-D iciembr e

Afelio E quinocio de otoño 21-S eptiembre

=0º

Figura 2.8: Relaciones angulares en el movimiento de traslacion de la Tierra y las estaciones del a~no.

 Sumar la diferencia horaria entre el meridiano del lugar y el meridiano 0o , y que para el caso de Sevilla corresponde a 6o W=24 minutos.  Tener en cuenta la "ecuacion del tiempo" que da los desfases entre el medio da solar local en el paralelo 0o y las 12:00 horas GTM, tiempo ocial. Esta correccion es de pocos minutos y puede obviarse para nuestros estudios.

2.3.3 O rbita aparente del Sol

En el sistema de coordenadas ecuatorial resulta facil seguir la orbita apartente del Sol. Debemos conocer previamente la variacion de la declinacion solar en relacion con el angulo de inclinacion del eje de rotacion de la Tierra con respecto a la normal al plano que contiene a su orbita de traslacion alrededor del Sol. Este angulo de inclinacion es de 23.45o y da lugar al fenomeno de las estaciones, como bien conocera el lector. En los equinocios de primavera y oto~no (21 de Marzo y 21 de Septiembre, respectivamente), el Sol queda contenido en el plano del ecuador celeste, pero durante el verano, y observado desde un punto del hemisferio norte de la Tierra, el Sol queda por encima del plano del ecuador celeste, alcanzado su maxima elevacion, de 23.45o , en el solsticio de verano (21 de Junio). Por el contrario, durante el invierno el Sol se ve por debajo del plano del ecuador celeste, alcanzandose la maxima desviacion, tambien de 23.45o en el solsticio de invierno (22 de Diciembre). La situaicon se resume en la gura 2.8. El angulo de declinacion solar vara casi sinusoidalmente a lo largo del a~no. As, para el da n del a~no (contados del 1 al 365 a partir del 1 de Enero), la declinacion soalr s puede evaluarse, en grados, mediante la siguiente formula aproximada:

2.3. SISTEMAS DE COORDENADAS Plano de la órbita aparente del Sol en verano

cénit

Estrella Polar (P.N. Celeste)

13 Plano del Ecuador Ce leste

E 90º

N

O

Plano del h o ri zo n te

S

Plano de la órbita aparente del Sol en invierno

W

Figura 2.9: Plano de la orbita aparente del Sol en una localizacion del hemisferio norte 

 284 + n s = 23:45 sin 360 365

(2.9)

En los equinocios de primavera y oto~no la declinacion solar es cero, y el Sol esta sobre la lnea del ecuador. Su orbita aparente coincide, pues, con la lnea del ecuador, y obserbada desde la latitud geofraca de Sevilla (unos 37o N), lo veremos salir desde el punto del Este, elevarse en una orbita inclinada hacia el Sur, alcanzando su punto maximo en el medio da solar, a 53o (=2 ; ) sobre la lnea del horizonte, y descender hasta ocultarse por el punto Oeste del plano del horizonte. Observado el Sol en la misma fecha, pero desde un punto situado en el ecuador terrestre, la orbita aparente sera una semicircunferencia que arrancando del puto Este se oculta por el Oeste pasando por el cenit local. En el equinocio de verano el Sol se encuentra a 23.45o por encima de la lnea del ecuador, as que observado desde Sevilla, su orbita aparente alcanza su punto maximo formando un angulo de 76.45o (=2 ;  + s ) por encima de la lnea Sur, y en consecuencia tambien se levanta y se acuesta 23.45o hacia el norte desde los puntos Este y Oeste, respectivamente. La orbita aparene del Sol es mucho mas larga este da, teniendo tambien la maxima duracion de luz solar. Observado el Sol el mismo da desde un punto en el ecuador terrestre, su orbita aparente queda delimitada por la interseccion con la boveda celeste de un plano paralelo al del ecuador celeste (que aqu pasa por los puntos E, cenit, W) pero desplazado 23.45o al norte a partir de su cenit. Proponemos para el lector que complete esta discusion para el solsticio de invierno. En la gura 2.9 se muestran unos esquemas que resumen nuestras observaciones.


SOLAR CAP
ITULO 2. RADIACION

14

Plano del Ecuador C eleste

Z Z’ w

Y’ E

S

N Plano del h o ri zo n te

A.R.

O

Y

As

X=X’ Ecu ador C e l e ste

Figura 2.10: Relaciones angulares

2.3.4 Relaciones angulares

Consideremos un sistema de ejes cartesianos asociados al sistema de coordenadas horizontal (gura 8), con el eje X alineado en la direccion W, el eje Y en la direccion S y el eje Z hacia el cenit. En este sistema de referencia, y supuesto un radio unidad para la boveda celeste, la posicion del Sol, denida a partir de los angulos altura y acimut, s y As , las coordenadas x y z seran:

x = cos s sin As y = cos s cos As z = sin s :

(2.10) En la misma gura se representa un segundo sistema de referencia de ejes cartesianos, asociado al sistema de referencia ecuatorial, con el eje OZ' en la direccion del polo norte celeste, el eje OX' sobre al plano horizontal, en la direccion W, y el eje OY' en la direccion S, pero sobre el plano del ecuador celeste. Aqu la posicion del Sol, viene dada por los angulos declinacion s y horario ws . Las coordenadas x0  y0  z 0 seran:

x0 = cos s sin ws y0 = cos s cos ws z 0 = sin s :

(2.11) Podemos escribir las componentes de los unitarios i', j', k' vistas en el sistema de referencia OXYZ. As, y teniendo en cuenta la gura 2.10,

2.3. SISTEMAS DE COORDENADAS

i0 = i j0 = sin j + cos k k0 = ; cos j + sin k :

15

(2.12)

Debe cumplirse la siguiente relacion entre los dos sistemas de coordenadas:

xi + yj + z k = x0 i0 + y0 j0 + z0 k0

(2.13) Sustituyendo las expresiones anteriores e igualando por componentes, extraemos las tres relaciones escalares siguientes: cos s sin As = cos s sin ws cos s cos As = cos ws sin  ; sin s cos  sin s = sin s sin  + cos s cos ws cos  :

(2.14)

Es esta tercera ecuacion la que expresa la relacion angular fundamental que nos permitira encontrar la mayora de los resultados practicos de interes. En ella se expresa el angulo de la altura solar en funcion de la latitud geograca del punto de obserbacion, de la declinacion solar (que podemos considerar practicamente constante a lo largo del da de la fecha de obserbacion), y del angulo horario del Sol.

2.3.5 Duracion del da

En el momento de la salida y la puesta del Sol se cumple que s = 0. A partir de la ecuacion 2.14 pueden despejarse los valores ws jo que satisfacen la condicion de nulidad de la altura solar: cos ws jo = ; tan  tan s (2.15) Esta ecuacion proporciona dos soluciones simetricas: ws (ocaso)= j cos;1(; tan  tan s)j = ;ws(orto) La duracion del da, sera N = 2ws jo cuando el angulo horario se expresa en horas ( 360o = 2 = 24 horas). El da nautico se extiende hasta el ocaso (el Sol bajo el horizonte, pero el cielo iluminado) y su duracion es algo mayor que N . No obstante, el calculo de la duracion de las horas de luz que aqu se ha presentado es plenamente aceptable para el proyectista de instalaciones de energa solar.

EjemploCalcula la duracion del da en Sevilla ( = 37o ) para el 15 de

Marzo Estime tambien la hora de salida y la hora de puesta del Sol.

16


SOLAR CAP
ITULO 2. RADIACION

 El 15 de Marzo es el da n = 74 del a~no, y segun la ecuacion SOLUCION: 2.9 el angulo de declinacion solar es s = ;2:82o , de manera que ws jo = cos;1 (0:0371) = 87:87o = 5:86 horas. As la duracion del da sera N = 11:716 horas ( 11 horas, 42 minutos y 57 segundos). El Sol sale/se pone 5.86 horas antes/despues del medio da solar local (12:00 h.s.l.). As el Sol saldra a las 6:08:24 h.s.l.

EjemploEJERCICIO PROPUESTO]Dise~ne un peque~no programa de

calculo que le permita calcular la duracion del da para cualquier fecha y en cualquier latitud geograca.

2.3.6 Paso de coordenadas ecuatoriales a horizontales

Dados s y ws (ws incluye el efecto de la longitud geograca expresado en el uso del h.s.l.), y una latitud geograca, , los angulos s y As se obtienen a traves de las siguientes relaciones: sens = sens sen + cos s cos ws cos  cos s senAs = cos s senws

(2.16)

La segunda ecuacion se resuelve para s > 0.

2.3.7 Mapa de trayectorias solares Es la representacion, para una localizacion geograca y una fecha determinada, de s frente a As . Metodo de calculo: Dados  y s se calcula el tiempo del orto y del ocaso en h.s.l. (calculo de ws jo , expresado en horas, y torto = 12 ; ws jo , tocaso = 12 + wsjo ). Partiendo del tiempo del orto vamos dando valores a t (por ejemplo a intervalos de 1 hora). Para cada valor se calcula ws y se aplican las ecuaciones 2.16 para obtener As y s , que luego se llevan a la graca. En la gura 2.11 se muestra un ejemplo de calculo para la ciudad de Sevilla. Estos mapas son de gran utilidad para la evaluacion de un emplazamiento de una instalacion de energa solar. La lnea de horizonte en la direccion sur puede presentar edicios, arboles u otros elementos que pueden proyectar sombra sobre las placas solares en algun momento del a~no. Basta medir el angulo acimutal y de altura del obstaculo y representarlo sobre el mapa de trayectorias (echas en la gura 2.11).

2.3.8 Vector unitario en la direccion del sol En un sistema de coordenadas cartesiano asociado al sistema de coordenadas celeste horizontal (eje X al W, eje Y al S y eje Z al cenit)


NO REDUCIDA 2.4. RADIACION

17

70 Equinocios Solsticio de invierno

Altura solar (grados)

60 50 40 30 20 10 0 -100 -80

-60

-40

-20 0 20 40 Acimut (grados)

60

80

100

Figura 2.11: Trayectoria solar calculada para los equinocios y el solsticio de invierno en Sevilla. Las echas simbolizan obstaculos con proyeccion de sombra.

e~r = (erx  ery  erz ) erx = cos s senws ery = cos s cos ws sen ; sens cos  erz = senssen + cos s cos ws cos 

2.4

(2.17)

Radiacion no reducida sobre una super cie horizontal y sobre una placa inclinada

2.4.1 Densidad de ujo radiante no reducida sobre una supercie horizontal

Segun la ley de D'Alembert la densidad de ujo radiante, si no tenemos en cuenta los efectos de la atmosfera, sera F = Fo cos , siendo  el angulo formado entre la direccion de propagacion de los rayos solares y la normal a la supercie receptora. En nuestro caso la supercie receptora es horizontal, y el angulo  esta relacionado con el angulo de altura solar.  = =2 ; s . Teniendo en cuenta la ecuacion 2.14, obtenemos F = Fo (sin s sin  + cos s cos ws(t) cos ) (2.18) Al usar esta expresion recordamos que  es jo para un punto de observacion dado, y que s puede considerarse constante para un da de observacion en partcular, y esta dado por la ecuacion 2.9. Observese por ultimo,


SOLAR CAP
ITULO 2. RADIACION

18

como el angulo horario ws va variando a lo largo del da, y que la ecuaicon anterior solo tiene sentido para angulos horarios comprendidos entre el orto y el ocaso, siendo nula la densidad de ujo radiante para el resto del tiempo (la noche). Interesa saber en que momento del da (para que valor de ws ) se alcanza el maximo valor de F . De lo anteriormente expuesto se deduce que esto ocurre para ws = 0 (medio da local), teniendo entonces

Fmax = Fo (sin s sin  + cos s cos ) = Fo cos( ; s )

(2.19)

Ejercicio. Curva de insolacion teorica]. La representacion graca de la

ecuacion 2.18 para un da y una localizacion en particular se conoce como la curva de insolacion teorica. Se pide al alumno que desarrolle una aplicacion que le permita representar las curvas de insolacion teorica para cualquier fecha y cualquier punto de observacion. Para ello se ha de determinar previamente el valor de ws jo , y representar despues la curva para valores de ws comprendidos entre ;ws jo y +wsjo , teniendo en cuenta el momento de salida y puesta del sol, y la relacion entre grados y horas. 1200

n=45 en Sevilla

F (W/m^2)

1000 800 600 400 200 0 0

5

10 15 t (h.s.l.)

20

Curva de insolacion para Sevilla en n=45

2.4.2 Valor diario de la energa radiante no reducida sobre una supercie horizontal

Si integramos la curva de insolacion teorica para un da en particular encontraremos la energa recibida por unidad de supercie, F1 , (J/m2 o, preferentemente, kw h / m2 ). Teniendo en cuenta que la densidad de ujo radiante es nula por la noche, escribiremos:

F1 =

Z ocaso

Fo (sin s sin  + cos s cos  cos ws (t)) dt expresion en la que solo ws (t) depende del tiempo, segun la ecuacion 2.8. Multiplicando y dividiendo en la expresion de F1 por wT podemos realizar el cambio de variable de integracion de t a ws , y como dws = wT dt, orto

obtenemos

F1 = wFo T

Z ocaso

orto

sin s sin dws +

Z ocaso

orto

cos s cos  cos wsdws



Y como las funciones resultan simetricas en el intervalo de integracion Z ocaso

orto

=2

Z ws jocaso

ws =0

F1 = 24  Fo (sin s sin 2ws jo + cos s cos 2 sin wsjo ) expresion en la que ws jo resulta conocida, pero que hay que expresar en radianes.


NO REDUCIDA 2.4. RADIACION Estrella Polar

19 N

N

Normal a la placa inclinada Ecuador celeste

Placa inclinada S

N

Figura 2.12: Radiacion no reducida sobre una placa iinclinada La formula anterior puede mejorarse, pues la constante solar involucra la distancia media Tierra-Sol, pero esta vara a lo largo del a~no, haciendo que la densidad de ujo radiante recibido a nivel de la atmosfera no sea Fo , sino 



 360 n Fo 1 + 0:033 cos 365

Finalmente,    360 n 24 F1 =  Fo 1 + 0:033 cos 365 (sin s sin ws jo + cos s cos  sin wsjo ) (2.20) En esta expresion el resultado viene dado en w h/m2 cuando Fo se da en w/m2 .

Ejercicio Desarrolle una aplicacion que le permita calcular, en kwh/m2,

el valor diario de la energa radiante no reducida que se recibe sobre una supercie horizontal para cualquier localizacion y cualquier fecha. Construya una tabla para Sevilla y los das 15 de cada mes.

2.4.3 Radiacion solar no reducida sobre una placa inclinada orientada al sur Consideraremos aqu solo placas inclinadas, en el hemisferio norte y orientadas al sur, formando un angulo  con la horizontal (vease la gura 2.12). Desde la supercie inclinada la orbita aparente del Sol se asimila a la vista desde latitudes mas bajas, concretamente desde una latitud  ;  , con la excepcion de la salida y la puesta del Sol. As, el valor diario de la radiacion recibida sobre la placa inclinada un angulo  , F1 , sera

20


SOLAR CAP
ITULO 2. RADIACION

   ;  24 360 n F1 =  Fo 1 + 0:033 cos 365 sin s sin( ;  )ws0 jo + cos s cos( ;  ) sin ws0 jo (2.21) 0 siendo wsjo el mnimo de estos dos valores: cos;1 (; tan  tan s ) cos;1 (; tan( ;  ) tan s ) Ejercicio Desarrolle una aplicacion que le permita calcular, en kwh/m2, el valor diario de la energa radiante no reducida que se recibe sobre una supercie inclinada un angulo  y orientada al sur, para cualquier localizacion y cualquier fecha. Construya una tabla para Sevilla y los das 15 de cada mes y un angulo  = 60o .

2.4.4 Placa inclinada con orientacion arbitraria

En el sistema de coordenadas horizontal, el vector unitario normal a una ! = (0 0 1). Si la placa se inclina un angulo  sobre el placa horizontal es ; ! queda contenido en el eje OX quedara orientada al sur, y el vector unitario ; ! = plano YZ formando un angulo  con el eje OZ. Sus coordenadas seran:; (0 sin  cos  ). Si a partir de la posicion anterior la placa gira un angulo ! quedara formando un angulo  con  sobre el oje OY, el vector unitario ; el eje OZ y contenido en un plano que forma un angulo  con el YZ. Sus coordenadas seran:

! = (sin  sin  sin  cos  cos  ) ; (2.22) ! ;! El producto escalar ; er = cos . La densidad de ujo radiante no

reducida sobre la placa sera entonces:

! ;! F = Fo ; er

(2.23) El sol "sale" o se \oculta" con respecto a la placa cuando la direccion de ! ;! los rayos solares es paralela a la placa (; er = 0, ecuacion que nos permite 0 resolver el angulo horario ws que verica esta condicion), a menos que el plano del horizonte lo este ocultando, y entonces vera a la placa cuando ws  ws jorto . La curva de insolacion teorica vista por la placa se obtiene dando valores a ws en la expresion 2.23 comprendidos entre la salida y la puesta del sol sobre la placa. El valor diario de la radiacion solar no reducida recibida sobre la placa se calcula entonces:

F1 = Fo 224

Z wocaso 0

worto 0

;! ;! er dw

(2.24)

Las expresiones estudiadas antes para placa horizontal y plaza inclinada orientada al sur son soluciones particulares de esta expresion general.


2.5. EFECTOS DE LA ATMOSFERA

21

N

Fo m

F’ o

m= 1 A.M.

s

Figura 2.13: Espesor atmosferico

2.5 Efectos de la atmosfera en la radiacion solar

2.5.1 Espesor atmosferico

En la gura 2.13 se muestra un esquema con el recorrido de los rayos solares dentro del espesor atmosferico para un angulo de altura solar dado. Si se toma como unidad de medida el espesor de la atmosfera en la perpendicular al lugar de observacion (a esta unidad se denomina A.M., del ingles \air mass"), la longitud m recorrida dentro de la atmosfera por los rayos solares cuando la altura solar es s seera m = sin1 (2.25) s En el lmite superior de la atmosfera la densidad de ujo radiante sobre una supercie normal a la direccion de propagacion de los rayos solares es, como sabemos, la constante solar, Fo . La radiacion, al atravesar un espesor m de atmosfera, se atenua por fenomenos de absorcion y dispersion, de modo que la densidad de ujo radiante que llega a una supercie a nivel de suelo, y tambien normal a la direccion de propagacion,Fo0 , es inferior a Fo . La atenuacion crece exponencialmente con el espesor atmosferico m, de acuerdo con la ley

Fo0 = Fo e;am

(2.26) donde a es el coeciente de atenuacion de la atmosfera, y es distinto para cada longitud de onda. Tambien depende del estado atmosferico (polvo en suspension, cantidad de vapor de agua, que pueden variar de un da a otro, o de un lugar a otro). La atenuacion tambien depende del momento del da y de la estacion del a~no (a traves del angulo s ). Debemos se~nalar por ultimo que el espesor de la atmosfera es mayor en el ecuador que en los polos. Todas las circunstancias anteriores hacen que la ecuacion 2.26 tenga interes teorico, pero poca utilidad practica a la hora de estimar la radiacion solar a nivel del suelo a partir de la radiacion no reducida.

22


SOLAR CAP
ITULO 2. RADIACION

2.5.2 Otros efectos atmosfericos En un determinado punto de observacion se reciben rayos directos del Sol que han sufrido un proceso de atenuacion al atravesar un determinado espesor atmosferico. Pero ademas de esta componente directa de la radiacion, existe una componente difusa, integrada por radiacion solar que llega al punto de observacion en una direccion que no se corresponde con la posicion del Sol en ese momento. Esto es posible debido a los efectos de dispersion ( los fotones de la radiacion solar que colisionan con los atomos y moleculas de la atmosfera y que emergen con una direccion de propagacion distinta) y de la reexion (en la supercie de las nubes y de otros objetos). Al conjunto de la radiacion directa mas radiaicon difusa se le denomina radiacion global, y lo denotaremos por Rs . Nuestro objetivo en las siguientes secciones se centrara en poder estimar Rs a partir de F . En esta seccion debemos ocuparnos de manera especial del efecto de la nubosidad. Efectivamente, la existencia de nubes que se interpongan entre el observador y el Sol puede suprimir por completo la componente directa de la radiacion, y reducir notablemente la componente difusa. Si el tiempo de ocultamiento del Sol por las nubes es importante, se reducira mucho la energa radiante que pueda captarse ese da. En Agrometeorologa, as como en aplicaciones de energa solar, resulta de gran interes la cuanticacion de la nubosidad. E sta puede determinarse por observacion directa en decimas o en octas (octavos) de cielo cubierto, y se representa por c. Denominaremos n al numero real de horas de Sol para un da particular (descontado el tiempo de los ocultamientos por nubes), y que sera menor o igual que N , la duracion de da (horas de luz astronomicamente posibles). El cociente horario n=N y la nubosidad c, estan relacionados mediante la ecuaicion:

c = 1 ; Nn

(2.27)

2.6 Radiacion directa y radiacion difusa

2.6.1 Radiacion global

Cuando se proyecta una instalacion de aprobechamiento de la energa solar interesa evaluar la energa disponible. Para unas condiciones astronomicas dadas, la variabilidad del estado atmosferico es tan amplia que la radiaicon global puede estimarse solo en terminos estadsticos. Se manejan as valores medios observados de la radiacion global y de las horas de luz, n para la localizacion de nuestro interes. El Instituto Nacional de Meteorologa proporciona tablas y mapas con las horas de sol (valores medios diarios promediados por meses) y de radiacion global (media diaria promediada por meses) para todo el territorio nacional, y elavorados con observaciones


DIRECTA Y DIFUSA 2.6. RADIACION

23

de mas de una decada. Normalmente estos seran los datos de partida en todo proyecto tecnico. En su defecto, y si se dispone del valor n=N , pueden usarse las formulas de a) Angstrom-Page

Rs = A + B < n > (2.28) < F1 > N que se aplica a los valores promedios mensuales de F1 y n=N (denotados por ) y donde A y B son coecientes empricos que han de ajustarse para

cada localizacion. b) Rietveld

Rs = 0:18 + 0:62 < n > < F1 > N

(2.29)

aplicable a cualquier localizacion.

2.6.2 Estimacion de la radiacion difusa y de la radiaicon directa sobre una supercie horizontal Al proyectista le interesan los valores medios diarios caractersticos de cada mes. Para su calculo se partira del conocimiento de Rs y de < F1 >. El primero representa la radiaicon global, obtenida como en la seccion anterior, y el segundo corresponde al valor medio diario para el mes en cuestion de la radiacion no reducida (puede tomarse, en buena aproximacion, como el valor de F1 para el da 15 de ese mes). Se dene el ndice de claridad de la atmosfera, KT como

KT = < RF s > 1

La componente difusa de la radiaicon, Rsd , se evalua mediante la siguiente formula emprica

Rsd = A + BK T Rs

(2.30)

RsB = Rs ; Rsd

(2.31)

donde A y B son coecientes que dependen de la localidad, y que para Sevilla toman valores A = 1:260, B = ;1:530, y que para otras localizaciones, y en defecto de valores especcos, pueden tomarse, en primera estimacion, como A = 0:958 y B = ;0:982 Conocida Rsd resulta trivial obtener la componente directa de la raciacion, RsB , pues se ha de satisfacer la siguiente igualdad:


SOLAR CAP
ITULO 2. RADIACION

24

Componente difusa de la radiación

Placa inclinada Radiación directa Componente de albedo

Figura 2.14: Componentes de la radiacion sobre una placa inclinada un angulo  y orientada al Sur

2.7 Calculo de la radiacion global recibida sobre una placa inclinada En la gura 2.14 se muestran las tres componentes de la radiacion que inciden sobre una placa inclinada y orientada al sur: 1.- La componente directa, que generalmente se ve favorecida (con respecto a una supercie horizontal) con el angulo de inclinacion. 2.- La componente difusa que se modica con respecto a la supercie horizontal por dos efectos: - La porcion de cielo que se ve desde una placa inclinada es menor que la que se vera desde una supercie horizontal. Hay as una parte de la componente difusa que no llega a la placa inclinada. - La radiaicon difusa no procede por igual de todas direcciones. La radiacion difusa es mas abundante en la direccion del Sol, de modo que la captacion de esta fraccion se ve favorecida cuando la placa inclinada se enfrenta al Sol. 3.- La componente de albedo. Es la fraccion de la radiacion solar que tras reejarse en el suelo termina incidiendo sobre la placa inclinada. Esta componente, como es logico, no esta presente en una placa horizontal. En lo que sigue trataremos de cuanticar estas tres componentes. En secciones anteriores aprendimos a calcular la radiacion solar no reducida sobre una placa inclinada un angulo  : F1 , al igual que sobre una supercie horizontal, F1 (seccion 4). Deniremos el factor de correccion geometrico, f como el cociente:

 ;  )ws0 jo + cos s cos( ;  ) sin ws0 jo f = FF1 = sin s sin( sin  sin w j + cos  cos  sin w j 1

s

so

s

so

(2.32)

As, la componente directa de la radiacion que incide sobre una placa inclinada un angulo  ,  RsB , sera igual a la componente directa de la radiacion sobre un suelo horizontal, multiplicada por el factor corrector f :


GLOBAL SOBRE PLACA 2.7. RADIACION

25

 RsB

= f RsB (2.33) Para evaluar la componente de albedo debemos saber en primer lugar que la fraccion de la radiaicon solar global que se reeja sobre un suelo horizontal viene dada en funcion de un coeciente de reexion caracterstico de cada supercie (suelo desnudo, cultivo, agua, etc.), denominado coeciente de albedo, . As la fraccion reejada sera Rs , pero solo una parte termina siendo captada por la placa inclinada. Mediante consideraciones geometricas en las que no entraremos, se obtiene que la componente de albedo sobre la placa inclinada un angulo  ,  Rs es: 1 R (1 ; cos  ) (2.34) 2 s Para evaluar la componente difusa pueden usarse varios modelos, segun se considere que la radiacion difusa incidente se reparte uniformemente en todas las direcciones (modelo isotropo) o que es mas intensa en la direccion del Sol (modelo anisotropo). En situaciones de cielo despejado resulta mas apropiado el modelo anisotropo! en cambio, en condiciones de cielo nublado resulta mas apropiado el modelo isotropo. Nosotros usaremos aqu un modelo mixto, teniendo en cuenta que el cociente RsB =F1 (que puede tomar valores entre 0 y 1) nos da idea del estado de claridad del cielo. Efectivamente, cuanto mayor sea este cociente mayor resulta la coincidencia entre la componente directa y la radiacion no reducida! esto es, en estas condiciones se minimiza el efecto de la dispersion en la atmosfera y sera conveniente aplicar el modelo anisotropo. Por contra, cuanto menor sea el cociente (mas proximo a cero), menor es la componente directa y, en consecuencia, mayor sera la componente difusa. En estas circunstancias el cielo esta nublado o "muy cargado", resultando aconsejable la aplicacion de un modelo isotropo. Teniendo en cuenta lo anterior, as como la fraccion de cielo vista desde la placa (comparese con la expresion de la componente de albedo), se encuentra que la componente difusa de la radiaicon sobre la placa inclinada,  RsD es:  Rs =

 RsD

= RsD



RsB f + 1 (1 + cos  )(1 ; RsB ) F1  2 F1

(2.35)

A partir de las ecuaciones anteriores es posible ya obtener la radiacion total incidente sobre la placa inclinada,  Rs , como  Rs = RsB + Rs + RsD

(2.36)

Esta ecuacion sera nuestro punto de partida para los calculos de dimensionamiento de los sistemas de aprovechamiento de energa solar que pasaremos a esudiar en los temas siguientes.

26


SOLAR CAP
ITULO 2. RADIACION

2.8 Calculo de sombras Consideremos de nuevo el sistema de referencia horizontal, con origen en el punto de observacion. La latitud geograca, el da del a~no (declinacion solar) y hora del da (angulo horario) seran conocidas. Sea un mastil vertical cuyo extremo, P, tiene las coordenadas P (xa  ya  za ) (su base es B (xa  ya  0)). El vector unitario en la direccion al sol se podra calcular segun la ecuacion 2.17. La ecuacion vectorial de la recta que pasa por P en la direccion dada ! ! por ; er sera: R(x y z) = P + ; er . La proyeccion de sombra de P sobre el plano horizontal se encuentra como el punto de corte de la recta R con el plano Z = 0. Resolviendo  de la expresion:

Z = 0 = za + erz

se obtienen las coordenadas de la proyeccion de sombra:

xs = xa + erx ys = ya + ery zs = 0

(2.37)

El problema anterior puede resolverse dando distintos valores a ws (distintos momentos del da) para encontrar el lugar geometrico de las proyecciones de la sombra (trayectoria de sombra). El area barrida por la sombra se obtiene uniendo la base del mastil con la curva barrida por la sombra. A veces interesa estudiar la proyeccion de sombra sobre una supercie inclinada (piense en unas placas solares integradas en un tejado y la proyeccion de sombra de un arbol proximo). El plano inclinado queda determinado por ! ) y por un punto Ap(xp yp zp) (puede interesar un vector unitario normal (; tomar el punto de observacion O en Ap, pero realizaremos un planteamiento general). El punto de proyecicon de sombra Ps (xs  ys  zs ) tiene que cumplir simultaneamente la condicion de pertenecer a la recta R y al plano:

! Ps (xs  ys  zs ) = (xa  ya  za ) + ; er ;! ! = 0 ! (xs ; xp ys ; yp zs ; zp)(sin  sin  sin  cos  cos  ) = 0 AP ; Tenemos as un sistema de 4 ecuaciones (la primera es una ecuacion vectorial que se desarrolla en tres escalares, igualando las componentes X,Y,Z) con cuatro incognitas (xs  ys zs y ). Igual que antes, el problema puede resovlerse para distintos valores de ws obteniendo la trayectoria de la sombra. Para describir la sombra de un obstaculo con geometria mas complicada, basta tomar algunos puntos de referencia (los vertices de un edicio, por ejemplo) para resolver su sombra.


2.8. CALCULO DE SOMBRAS

-30 -20 -10

0 10 20 30

27

0 -5 -10 -15

Figura 2.15: Ejemplo de proyeccion de sombra de un mastil en un da de verano en Sevilla.