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LEVA  A.‐Muchas máquinas emplean levas para realizar diversas tareas como abrir y cerrar  válvulas. En la figura  la leva es un disco circular de radio R con un orificio de diámetro R. 

  Como se observa el eje del orificio está desplazado una distancia R/2. La leva –con  el  orificio perforado‐ tiene una masa M. La leva se monta en un árbol que es un cilindro  macizo de radio R y masa M. Hallar: a) el momento de inercia de la leva respecto al eje de  rotación‐ eje del cilindro‐;b) el momento de inercia del conjunto y la energía cinética del  sistema árbol‐leva cuando gira a una velocidad angular ω. Solución:  1er Método  Respecto al eje que pasa por el centro del orificio se verifica: 

M disc R 2 M disc R 2 M ori R 2 I corif = + − 2 4 8 Steiner para el disco y valor negativo de la masa para el orificio I corif =

3M disc R 2 M ori R 2 M disc 4 M ori − = = ; 4 8 π R2 π R2

M ⎛ ⎜ ⎝

⎛R⎞ ⎟ ⎝2⎠

π ⎜ R2 − ⎜

2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

=

4M 3πR 2  

M 4M ; M disc = 3 3 2 M R 23 MR 2 = MR 2 − = 3 8 24

M ori = I corif

2º Método  a) Tenemos que considerar el orificio como  un objeto de masa negativa. El momento  de inercia de la leva entonces es: 

I cd = I disc

I cd

⎧ M disc R 2 = I ⎪⎪ disc 2 − I ori ; ⎨ 2 2 ⎪ I = M ori R + M ori R   ⎪⎩ ori 8 4

M disc R 2 ⎛ M ori R 2 M ori R 2 = − ⎜⎜ + 2 4 ⎝ 8

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Hemos utilizado el teorema de Steiner para el orificio., pero no hemos terminado.  El dato es la masa de la leva.  Dado que la densidad es uniforme 

M disc 4 M ori = = π R2 π R2

M ⎛

2 ⎛R⎞ ⎞

π ⎜ R2 − ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝2⎠ ⎟

⎝ ⎠ M 4M M ori = ; M disc = 3 3 2 2 MR M 3R 2 13 MR 2 I cd = − = 3 3 8 24

=

4M 3πR 2

 

Aplicando  Steiner 

I cd = I G + Md 2 2

2

⎛R ⎞ ⎛R ⎞ I corif ≡ I lev = I G + M ⎜ + d ⎟ = I cd − Md 2 + M ⎜ + d ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ 2 R   = I cd + M + MRd 4 Un sencillo cálculo da d = R / 6 I lev = I cd + M

10 23 R2 R 2 13 +M = MR 2 + MR 2 = MR 2 4 6 24 24 24

El momento de inercia total será la suma del obtenido y el del árbol. La energía cinética  sigue inmediatamente de su definición.              B. – Hallar el momento de  inercia del disco con un hueco  excéntrico de la figura.  Pistas:  1. Encontrar el centro de  masa del disco hueco.  2. Con el truco de la masa  negativa  y el teorema de  Steiner, hallar los momentos de  inercia correspondientes.  3. Sumar algebraicamente.    Solución:  a) Centro de masa 

xG =

1 (− M r a ) = − M r a MR − Mr MR − Mr

 

ya que el origen lo tomo en el centro del disco grande Aplicando Steiner: 

I Gtot = I RG − I rG I RG

⎛ M ra 1 = M R R 2 + M R ⎜⎜ 4 ⎝ MR − Mr

⎞ ⎟⎟ ⎠

I rG

⎛ MR 1 = M r r 2 + M r a 2 ⎜⎜ 4 ⎝ MR − Mr

2

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

  1 1 M RR2 − M rr 2 4 4 2 ⎛ M RM r ⎞ ⎛ M r (M R )2 ⎞ 2 ⎟ ⎜ ⎟ + a 2 ⎜⎜ − a 2 ⎟ ⎜ (M − M )2 ⎟ = R r ⎝ (M R − M r ) ⎠ ⎝ ⎠ M RM r 2 1 1 M RR2 − M rr 2 − a 4 4 MR − Mr

I Gtot = I RG − I rG =

Pasando  a la masa total con la condición de densidad común  es:   

⎧ MR 2 = M ⎪ R R2 − r 2 MR Mr M ⎪ = = →⎨ 2 πR 2 π r 2 π R 2 − r 2 ⎪ M = Mr ⎪⎩ r R2 − r 2 Mr r2 MR R2 = 2 = ; MR − Mr R − r2 M R − Mr R2 − r 2

(

I Gtot =

( (

(

)

) )

)

(

)

(

)

(

)

M R4 − r 4 R2 r2 2⎛ ⎜ + M a 4 R2 − r 2 R 2 − r 2 ⎜⎝ R 2 − r 2

(

r2 R2 ⎞ 2⎛ ⎜ ⎟ a −M 2 R − r 2 ⎜⎝ R 2 − r 2 ⎟⎠ =

(

)

)

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

 

2

( )(

)

(

)

⎛ R 2r 2 M R2 + r2 R 2r 2 r 2 − R 2 M R2 + r 2 2⎜ + Ma 2 = Ma + 2 ⎜ R2 − r 2 4 4 R2 − r 2 R2 − r 2 ⎝ Con a=0 se recupera el resultado anterior. 

(

)

(

)

2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠