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• Eduardo Aguilar Teran

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VI-10

PUENTES Y OBRAS DE ARTE

Ing. Arturo Rodríguez Serquén

PROBLEMAS PROBLEMA VI.1 Diseñar el pilar central de un puente ubicado en una zona no sísmica, constituido por dos columnas circulares y una viga travesaño rectangular. Utilizar f’c= 210 kg/cm² y fy= 4200 kg/cm². Se precisan los esfuerzos críticos: Viga Mu = -145 TT-m (estado de Resistencia I) Mu = +138 TT-m (estado de Resistencia I) Ms = -95 TT-m (estado de Servicio I) Vu = 200 T (estado de Resistencia I) Columna (estado de Resistencia V) Pu = -350 T Plano del Pórtico Mu = 90 TT-m Mdu = 13 TT-m

Sentido Transversal Mu = 35 T-m Mdu = 10 10 T-m

Viga 1.00m x1.00m

1.00 1.00

Columnas Ø 0.90m

Ø 0.90m

6.00m

Zapatas

Solución.Solución.A) DISEÑO DE LA VIGA DEL PÓRTICO A.1) Acero requerido en flexión

Estribos Ø 5/8" 9 Ø 1"

Sección propuesta para Mu =-145 T-m y Mu =+138 T-m:

1.00 9 Ø 1"

z 1.00

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Luego: z = rec + Ø est + Ø/2 = 5.0 cm + 1.59 cm + (2.54/2) cm = 7.86 cm d = 100 cm – 7.86 cm = 92.14 cm As = 9 Ø1” = 9 x 5.10 cm² = 45.90 cm² Con a =

A s fy

(5.7.3.1.1-4)

0.85 fc' b 45.90 x 4200 a= = 10.80 cm 0.85 x 210 x 100 a (5.7.3.2.2-1) Mu = A s Ø fy (d − ) 2 10.80 ) = 150.50 T − m Mu = 0.9(45.90)(4200)(92.14 − 2

Luego Mu = 150.50 T-m > Mu (-) =145 T-m > Mu (+)=138 T-m

A.2) As máximo

OK! OK!

(Art. 5.7.3.3.1)

Una sección no sobre reforzada cumple con: c /de ≤ 0.42 Como: c = a / β1 = 10.80 / 0.85 = 12.71 cm de = 92.14 cm c /de = 0.14 ≤ 0.42 OK! A.3) As mínimo

(Art. 5.7.3.3.2)

La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor de1.2Mcr y 1.33Mu: a) 1.2Mcr = 1.2fr S = 1.2(29.13 kg/cm2)(166,667 cm3) = 58.26 T-m Siendo: fr = 0.63 fc' MPa = 2.01 fc' kg / cm2 = 2.01 210 = 29.13 kg / cm2 S = bh2/6 = 100(100)2/6 = 166,667 cm3 b) 1.33 Mu= 1.33(145 T-m) = 192.85 T-m El menor valor es 58.32 T-m y la cantidad de acero propuesta (45.90 cm2) resiste Mu=150.50 T-m > 58.26 T-m OK!

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A.4) Limitación de la fisuración mediante distribución de la armadura (estado límite de Servicio) (Art. 5.7.3.4) Esfuerzo máximo del acero:

fsa =

Z ≤ 0.6fy (d c A )1/ 3

(5.7.3.4-1)

Para el acero negativo:

d c = recub +2 Øestribo 144 4 444 3+ ≤ 5 cm ( Art.5.7.3.4 )

dc = 5 +2 1.4 594 cm 1cm 44 3+ ≤ 5 cm

b

Ø 2

dc dc

2.54 cm 2

100 cm

dc = 5cm + 1.27cm = 6.27cm b = ancho de la viga = 100 cm

100 cm

nb = número de varillas = 9

A=

(2d c )b (2x6.27cm)(100) = = 139.33 cm2 nb 9

Z = 30,000 N/mm (condición de exposición moderada) = 30,591 Kg/cm

(Art. 5.7.3.4)

(Art. 5.7.3.4)

Luego:

fsa =

30,591kg / cm = 3,200 kg / cm2 (6.27cm x 139.33cm2 )1/ 3

fsa ≤ 0.6(4200kg / cm2 ) = 2,520 kg / cm2 fsa = 2,520 kg / cm2

Esfuerzo del acero bajo cargas de servicio

fs =

Ms c n I

Siendo: Ms= 95x105 kg-cm Es =200,000 MPa = 2’039,400 kg/cm2

(5.4.3.2)

E c = 15,344 fc' = 15,344 210 = 222, 356 kg / cm2 (5.4.2.4-1)

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n=

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E s 2'039,400 kg / cm2 = =9 Ec 222,356 kg / cm2

Ast= n As = 413.10 cm² (fs / n) (+)

7.86 c=92.14 - y

92.14 100 cm E.N.

y

(-)

f 'c 100 cm Área de acero transformada: Ast = relación modular x área de acero Ast = 9(45.90 cm2) = 413.10 cm2 Momentos respecto del eje neutro para determinar y: 100y (y/2) = 413.10 (92.14-y) y = 23.77 cm Inercia respecto del eje neutro de sección transformada: by 3 I = A st (d s − y )2 + 3

= 413.10 (92.14 − y )2 +

100 (23.77) 3 3

= 2’378,697 cm4 c= 92.14 cm – 23.77 cm = 68.37 cm Luego:

fs =

95 x 105 x 68.37 Ms c n= x 9 = 2,457 kg / cm2 I 2' 378, 697

fs = 2, 457 kg / cm2 < fsa = 2, 520 kg / cm2

OK !

A.5) Armadura de contracción y temperatura en caras laterales (Art. 5.10.8) A s temp = 0.756

Ag Fy

A s temp = 0.0018 A g

[SI]

(5.10.8.2-1)

[MKS, con fy = 4200 kg / cm2 ]

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A s temp = 0.0018x100x100 = 18.0 cm2 A s temp = 9.0 cm2 / cara Usaremos por cara: 2 Ø 3/4”+ 2 Ø 5/8” (9.68 cm2) , con la consideración:

s máx = 3t = 3 (100) = 300 cm

y

9Ø1" 2Ø 3/4" + 2Ø 5/8"

s máx = 45 cm

OK!

2Ø 3/4" + 2Ø 5/8"

100 cm

9Ø1" 100 cm A.6) Armadura superficial para limitar la fisuración del alma (Art. 5.7.3.4) Para de > 90 cm :

A sk ≥ 0.001(d e − 760) ≤

A s + A ps 1200

(5.7.3.4-4)

donde: As = área de la armadura de tracción = 9x5.10cm² = 45.9cm² = 4590 mm² Ap = área del acero de pre-esfuerzo = 0 A sk ≥ 0.001(921.4 − 760) ≤

4590 mm2 1200 mm

mm2 mm2 A sk ≥ 0.161 ≤ 3.825 mm mm de altura

A sk ≥ 0.0161

cm2 cm de altura

Ask requerido por cara:

cm2 A sk = 0.0161 x100cm = 1.61cm2 cm de altura Suministrado: 2 Ø 3/4”+ 2 Ø 5/8” =9.68 cm2 > 1.61cm²

OK!

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A.7) Diseño por Corte Cortante actuante

: Vu = 200,000 kg

Cortante resistente

: V r = Ø Vn Ø = 0.9

(5.8.2.1-2) (5.5.4.2)

Vn = Vc+Vs+ Vp

(5.8.3.3.-1)

Vn = 0.25f’cbvdb + Vp

(5.8.3.3-2)

siendo Vn el menor de:

Donde: Cortante resistente concreto Vc = 0.083β fc' b v d v para β=2 (Art. 5.8.3.4): Vc = 0.53 fc' b v d v Cortante resistente acero: Vs = con

(5.8.3.3-3)

[N] [kg]

A v fy d v (cot θ + cot α)senα s

 = 45° (Art. 5.8.3.4) α = 90° (ángulo de inclinación del estribo)

Vs =

(5.8.3.3-4) A v fy d v s

Cortante resistente concreto (Vc) Vc = 0.083β fc' b v d v [N] = 0.53 fc' b v d v [kg] = 0.53 210 (100 x86.74) Vc = 66,620 kg siendo: bv = ancho de la viga= 100 cm

d v = de −

a 10.80 = 92.14 − = 86.74 cm 2 2

no menor que el mayor valor de

0.9de = 0.9(92.14 cm) = 82.93 cm OK! 0.72h = 0.72(100 cm) = 72 cm

Cortante resistente del acero

Vs =

A v fy d v (cot θ + cot α)senα s

=

A v fy d v s

=

8(4200)(86.74) = 166, 541kg 17.5

Estribos: 4 ramas Ø 5/8"

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donde: Av = 4 x 2.00 cm² = 8 cm² (asumiendo 4 ramas Ø 5/8”) s = 17.5 cm (espaciamiento asumido de estribos)  = 45° (sección no presforzada) (5.8.3.4) α = 90° (ángulo de inclinación del estribo) Cortante nominal resistente El menor valor de

Vn = 66,620 kg + 166,541 kg + 0 = 233,161 kg Vn = 0.25 x 210 x 100 x 86.74 + 0 = 455,385 kg

Luego Vn = 233,161 kg Cortante resistente total Vr = ØVn = 0.9(233,161 kg) = 209,845 kg > 200,000 Kg OK!

Refuerzo transversal mínimo A v ≥ 0.083 fc' = A v ≥ 0.27 fc'

bv s fy

bvs fy

A v ≥ 0.27 210

[mm2 ] [cm2 ]

100(17.5) cm2 4200

A v mín = 1.63 cm² < 8.00 cm²

Espaciamiento máximo del refuerzo transversal

vu =

vu =

(5.8.2.5-1)

Vu − φVp φb v d v

OK !

(Art. 5.8.2.7) (5.8.2.9-1)

Vu 200,000 = = 25.62 kg / cm² φb v d v 0.9(100)(86.74)

También: si vu < 0.125f’c si vu ≥ 0.125f’c

smáx= 0.8dv ≤ 60 cm smáx= 0.4dv ≤ 30 cm

(5.8.2.7-1) (5.8.2.7-2)

Como vu = 25.62 kg/cm² < 0.125(210 kg/cm²) = 26.25 kg/cm² smáx= 0.8dv = 0.8(86.74 cm)= 69.39 cm smáx= 60 cm Luego s = 17.5 cm < smáx= 60 cm OK!

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B) DISEÑO DE COLUMNA Columna propuesta:

12 Ø 1"

Estribos Ø3/8" @ 0.30 m 0.90 m Diámetro de columna = 90 cm

Ag =

π(90)2 = 6,362 cm2 4

r = recubrimiento = 5 cm As = 12(5.10 cm²) = 61.2 cm² Propuesta de estribos cerrados: Ø 3/8 @ 0.30 m

(Tabla 5.12.3-1) (Art. 5.10.6.3)

B.1) Refuerzo máximo de miembros a compresión

A s A ps fpu + ≤ 0.08 Ag A g fy

(5.7.4.2-1)

61.2 cm2 As ≤ 0.08 → = 0.0096 < 0.08 Ag 6362 cm2

OK !

B.2) Refuerzo mínimo de miembros a compresión

A s fy ' g c

A f

A s fy ' g c

A f

+

A ps fpu A g fc'

≥ 0.135

≥ 0.135 →

(5.7.4.2-3)

61.2 x 4200 = 0.192 > 0.135 OK ! 6362 x 210

B.3) Esbeltez En el plano del pórtico (no arriostrado)

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KL u 1.2(600) = = 32 > 22 r 22.5

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→ columna esbelta (5.7.4.3)

donde: K = 1.2 (Tabla C4.6.2.5-1) L = 600 cm r = d/4 = 90 cm/4 = 22.5 cm En plano transversal al pórtico (no arriostrado)

KL u 2.1(600) = = 56 > 22 r 22.5

→ columna esbelta (5.7.4.3)

donde: K = 2.1 L = 600 cm r = d/4 = 90 cm/4 = 22.5 cm

(Tabla C4.6.2.5-1)

B.4) Capacidad a) En el plano del pórtico

Mcp = δ b M2b + δ s M2s

(4.5.3.2.2b-1)

siendo:

δb =

δs =

Cálculo de db Cm = 1.0 Pu = 350 T Ø = 0.75

Cm ≥ 1.0 P 1− u ØPe 1 ≥ 1.0 ΣPu 1− ØΣPe

(4.5.3.2.2b-3)

(4.5.3.2.2b-4)

(Art. 5.5.4.2)

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Pe =

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π2EI (KL u )2

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(4.5.3.2.2b-5)

donde: K = 1.2 Lu = 600cm EI = el mayor valor de:

E cIg

+ E sIs 5 EI = 1+ β d

(5.7.4.3-1)

E cIg EI = 2.5 1+ β d

(5.7.4.3-2)

Por simple inspección, despreciando EsIs , el mayor valor es: E c Ig 222, 356 (3' 220, 623) EI = 2.5 = = 2.504x1011 kg − cm2 1+ β d 2.5 (1+ 0.144)

E c = 15,344 fc' = 15,344 210 = 222, 356 kg / cm2 (5.4.2.4-1)

I=

πd 4 π(90) 4 = = 3' 220, 623 cm 4 64 64

βd =

Mdu 13 T − m = = 0.144 Mu 90 T − m

Luego:

Pe =

π2EI π2 (2.504x1011) = = 4, 767 T (KL u )2 (1.2x600)2 δb =

Cm 1.0 = = 1.11 ≥ 1.0 Pu 350 T 1− 1− ØPe 0.75 (4, 767 T )

Cálculo de ds

δs =

1 ≥ 1.0 ΣPu 1− ØΣPe

(4.5.3.2.2b-4)

Usando Pu y Pe por simplicidad, en vez de ΣPu y ΣPe , tendremos:

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δ s = 1.11 ≥ 1.0

Luego: Mcp = δ b M2b + δ s M2s = 1.11(M2b + M2s ) = 1.11(90T ) = 99.9 T − m b) En plano transversal

Mcp = δ b M2b + δ s M2s

(4.5.3.2.2b-1)

siendo:

δb =

δs =

Cm ≥ 1.0 P 1− u ØPe 1 ≥ 1.0 ΣPu 1− ØΣPe

(4.5.3.2.2b-3)

(4.5.3.2.2b-4)

Cálculo de db Cm = 1.0 Pu = 350 T Ø = 0.75

Pe =

π2EI (KL u )2

(4.5.3.2.2b-5)

Donde: K = 2.1 Lu = 600cm EI = el mayor valor de:

E cIg

+ E sIs 5 EI = 1+ β d

(5.7.4.3-1)

E cIg EI = 2.5 1+ β d

(5.7.4.3-2)

Por simple inspección, despreciando EsIs , el mayor valor es: E c Ig 222, 356 (3' 220, 623) EI = 2.5 = = 2.227x1011 kg − cm2 1+ β d 2.5 (1+ 0.286)

E c = 222, 356 kg / cm2 con

Ig = 3' 220, 623 cm 4 βd =

Mdu 10 T − m = = 0.286 Mu 35 T − m

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Pe =

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π2EI π2 (2.227x1011) = = 1, 384 T (KL u )2 (2.1x600)2 δb =

δb =

Cm ≥ 1.0 Pu 1− ØPe

(4.5.3.2.2b-5)

(4.5.3.2.2b-3)

1.0 = 1.51 ≥ 1.0 350T 1− 0.75 (1, 384T )

Cálculo de ds

δs =

1 ≥ 1.0 ΣPu 1− ØΣPe

(4.5.3.2.2b-4)

Usando Pu y Pe por simplicidad, en vez de ΣPu y ΣPe , tendremos: δ s = 1.51 ≥ 1.0

Luego:

Mct = δ b M2b + δ s M2s

(4.5.3.2.2b-1)

Mct = 1.51(M2b + M2s ) = 1.51(35T ) = 52.85 T − m

El momento combinado es:

Mu = M2cp + M2ct = 99.92 + 52.852 = 113.02 T − m

Pu = 350 T Diagrama de interacción de la columna circular Considerando que:

2Pu + 0.9 fc' A g

− Si

0.1fc' A g > Pu → Ø = −

− Si

0.1fc' A g < Pu → Ø = 0.75

donde : 0.1f’cAg = 0.1(210 kg/cm²)(6362 cm²) = 133.60 T

(Art. 5.5.4.2)

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Se tienen los siguientes resultados en forma gráfica y tabulada: P (T) 828.96 791.29 741.83 692.38 642.92 593.47 544.01 494.55 445.10 395.64

M (T-m) 63.02 71.99 82.29 90.96 98.30 104.42 109.21 113.08 116.04 118.29

P (T) 346.19 296.73 247.28 197.82 148.37 0 -59.14 -118.29 -177.43 -231.37

M (T-m) 118.18 116.14 112.17 106.46 99.01 79.03 61.59 42.32 21.21 0

Como se aprecia en el diagrama de interacción de la columna circular, Pu = 350 T , y

Mu = 113.02 T − m , están dentro de la zona de resistencia por lo que la propuesta de acero y geometría de la sección son adecuados.

Cálculo de estribos Se utilizarán estribos cerrados Ø 3/8” @ 0.30 en forma de zuncho, distribución que cumple con no ser mayor que la menor dimensión de la columna ni 30 cm. (Art. 5.10.6.3).