DIVISIÓN DE INGENIERÍAS CAMPUS IRAPUATO-SALAMANCA (UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO) 08 DE MARZO DE 2018 “ANÁLISIS DE VARIANZA
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DIVISIÓN DE INGENIERÍAS CAMPUS IRAPUATO-SALAMANCA (UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO) 08 DE MARZO DE 2018
“ANÁLISIS DE VARIANZA-EXPERIMENTO CATAPULTA” ¹ Azalea Vanessa Vilchis Mar, ¹ Lucía Carranco Gutiérrez, ¹ Carlos Humberto García Murillo, ¹ Miguel Serafín Núñez Aguayo, ¹ Wilmer Garnica Muñoz, ¹ José Ángel Gutiérrez García. ¹División de Ingeniería Campus Irapuato-Salamanca, Universidad de Guanajuato, Carretera Salamanca-Valle de Santiago km 3.5+1.8, Comunidad de Palo Blanco, Salamanca Guanajuato, México. C.P. 36885. Teléfono: 464 647 9940 Ext.: 2303. DISEÑO DE EXPERIMENTOS Y PROBABILÍSTICO Dr. Elías Rigoberto Ledesma Orozco
RESUMEN.
se obtiene su varianza dividiendo entre los grados de libertad de 𝑆𝑆𝐴 .
En el presente proyecto se aplica el análisis de varianza a una muestra de datos obtenida de un experimento con una catapulta además se pretende demostrar que la forma en cómo se determina la suma de cuadrados es indiferente de las ecuaciones a utilizar. 1.
La suma de cuadrados del error 𝑆𝑆𝐸 se puede calcular de la siguiente forma: 𝑎
𝑛 2
𝑆𝑆𝐸 = ∑ ∑(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦̅𝑖 . ) 𝑖=1 𝑗=1
INTRODUCCIÓN
(3)
El análisis de varianza es una técnica muy útil en el campo de la inferencia estadística, una de sus aplicaciones es probar la igualdad de varias medias. De este modo el nombre de análisis de varianza se deriva de la partición de la variabilidad total en sus partes componentes.
En este caso, los grados de libertad del error se calculan como (𝑁 − 𝑎). De esta forma la media de la suma de los cuadrados se obtiene dividiendo cada una de las sumas de cuadrados por el correspondiente grado de libertad.
La suma de cuadrados total corregida se muestra en la ec. (1). 𝑎
𝑀𝑆𝑇 =
𝑆𝑆𝑇 𝑁−1
𝑀𝑆𝐴 =
𝑆𝑆𝐴
𝑀𝑆𝐸 =
𝑎−1
(4)
𝑛
𝑆𝑆𝑇 = ∑ ∑(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦̅. . )
𝑆𝑆𝐸 𝑁−𝑎
2
De este modo los cuadrados medios estiman la variación promedio (Varianza). De 𝑀𝑆𝐴 es una estimación de la varianza de la población siempre y cuando las medias de los tratamientos sean iguales.
𝑖=1 𝑗=1
(1) Esto se usa como una medida de la variabilidad global de los datos. Con la ec. (1) se puede obtener la varianza muestral de los datos, si dividimos 𝑆𝑆𝑇 entre el número de grados de libertad (𝑁 − 1).
Si se establece como hipótesis nula de que no hay diferencias en las medias de los niveles entonces podemos utilizar una comparación de varianzas para realizar la prueba de hipótesis. Esta comparación de varianzas se representa por la ec. (5) que es el estadístico de prueba, para la hipótesis de que no hay diferencias en las medias de los tratamientos.
La suma de cuadrados del tratamiento o del factor, se puede calcular como: 𝑎
𝑆𝑆𝐴 = 𝑛 ∑(𝑦𝑖. − 𝑦̅. . )2 𝑖=1
(2)
𝐹_𝑠𝑡𝑎𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐 =
Esta suma de cuadrados representa la diferencia entre el promedio de los niveles y el gran promedio,
𝑀𝑆𝐴 𝑀𝑆𝐸 (5)
1
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Si este valor es grande, entonces la variación entre grupos es más grande que la variación en el grupo, lo cual es evidencia de la significancia del factor.
5
Se puede reescribir la ec. (5) diciendo que este es igual a 𝐹𝑜 con 𝑎 − 1 grados de libertad en el numerador y 𝑁 − 𝑎 grados de libertad en el denominador. La hipótesis nula se rechaza si
9.4 10. 01
9.0 7 10. 43
46.2 1 53.7 2 189. 97
9.24 2 10.7 44 7.59 88
3. RESULTADOS Aplicando las ecuaciones anteriores para el primer caso.
De esta manera se concluirá que hay diferencias en las medias de los tratamientos.
CASO 1)
Finalmente se puede reescribir y simplificar las anteriores ecuaciones de las sumas de cuadrados de la siguiente forma: 𝑆𝑆𝑇 =
8.8 7 10. 86
𝑀𝑆𝐴 𝑀𝑆𝐸 (6)
𝑎
9.6 2 10. 87
Se procedió a realizar el análisis de varianza de dos formas la primera utilizando las ecuaciones (1), (2) y (3), y la segunda forma con las ecuaciones alternativas (7) y (8). Esto con la finalidad de demostrar que se llega al mismo resultado.
𝑭𝒐 > 𝑭∝,𝒂−𝟏,𝑵−𝒂 donde 𝐹𝑜 =
9.2 5 11. 55
𝑛
De la ec (1) La suma de cuadrados total corregida 𝑎
∑ ∑ 𝑦𝑖𝑗2 𝑖=1 𝑗=1
𝑦 .. − 𝑁
2
𝑖=1 𝑗=1
Tabla 2. Resultados para 𝑺𝑺𝑻
(7) 𝑎
𝑛
𝑆𝑆𝑇 = ∑ ∑(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦̅. . )
2
𝑺𝑺𝑻 132.57
2
1 𝑦 .. 𝑆𝑆𝐴 = ∑ 𝑦𝑖2 − 𝑛 𝑁
1
𝑖=1
2
(8)
3
𝑆𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝐴
4
(9)
5
4464 9.6025 6144 2.6205 1344 0.0907 2144 2.7264 6144 15.611 9814
9.9780 1744 1.3197 4144 0.0631 0144 3.2443 2144 5.8138 8544
10.882 0814 2.8859 2144 0.0050 6944 4.0852 4944 10.700 7494
7.4463 4944 6.7537 6144 0.0395 2144 1.6159 4944 10.635 4254
11.894 2214 4.1567 0544 0.2220 2944 2.1644 2944 8.0156 9344
2. DESARROLLO
De la ec (2) La suma de cuadrados del tratamiento
Se realizó dicho experimento tomando un total de 𝑁 = 25 datos, a continuación se muestra lo recabo en la Tabla 1.
𝑆𝑆𝐴 = 𝑛 ∑(𝑦𝑖. − 𝑦̅. . )2
𝑎
𝑖=1
Con 𝑛 = 5, 𝑎 = 5 𝑦 𝑁 = 25
Tabla 3. Resultados para 𝑺𝑺𝑨
GA N CH O 1 2 3
OBSERVACIONES
4.5 5.9 8 7.9
4.4 4 6.4 5 7.8 5
4.3 5.9 7.6 7
129.210824
𝑺𝑺𝑨
Tabla 1. Datos recabados
4.8 7 5 7.4
TOT AL
4.1 5 5.5 6 8.0 7
22.2 6 28.8 9 38.8 9
PRO ME DIO 4.45 2 5.77 8 7.77 8
Total
2
1
9.90235024
2
3.31531264
3
0.03211264
4
2.70010624
5
9.89228304 25.8421648
DIVISIÓN DE INGENIERÍAS CAMPUS IRAPUATO-SALAMANCA (UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO) 08 DE MARZO DE 2018 𝑎
1 𝑦2. . 𝑆𝑆𝐴 = ∑ 𝑦𝑖2 − 𝑛 𝑁
De la ec (3) La suma de cuadrados del error 𝑎
𝑖=1
𝑛
Tabla 7. Resultados para 𝑺𝑺𝑨
2
𝑆𝑆𝐸 = ∑ ∑(𝑦𝑖𝑗 − 𝑦̅𝑖 . ) Tabla 4. Resultados para 𝑺𝑺𝑬
𝑺𝑺𝑬 1 2 3 4 5
3.3636 4 0.0023 04 0.0408 04 0.0148 84 6.4E-05
0.0001 44 0.4515 84 0.0051 84 0.0249 64 0.5387 56
0.6496 36
0.0231 04 0.0148 84 0.0116 64 0.1428 84 0.0158 76
0.1747 24 0.6052 84 0.1428 84 0.1383 84 0.0134 56
129.210824
𝑺𝑺𝑨
𝑖=1 𝑗=1
0.0912 04 0.0475 24 0.0852 64 0.0295 84 0.0985 96
Total=
1
495.5076
2
834.6321
3
1512.4321
4
2135.3641
5
2885.8384 7863.7743
De la ec (9) suma de cuadrados del error 𝑆𝑆𝐸 𝑆𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝐴 Tabla 8. Resultados para 𝑺𝑺𝑬
Además se calcularon de la ec (4) y (6) la media de la suma de los cuadrados y el estadístico de prueba.
𝑺𝑺𝑬
Por lo tanto de los resultados obtenidos se puede observar que se llega a los mismos valores determinando que es indiferente o equivalente la forma en cómo se realice el análisis de varianza.
Tabla 5. Resultados para 𝑴𝑺𝑻 , 𝑴𝑺𝑻 , 𝑴𝑺𝑻 𝒚 𝑭𝑶 MS_T=
5.523936
MS_A=
32.302706
MS_E=
3.36364
0.168182
Fo=
Por último se realizó el análisis en el programa de Minitab de lo que se obtuvieron los siguientes resultados.
192.069936
CASO 2)
ANOVA de un solo factor: Distancia vs. Gancho
De la ec (7) La suma de cuadrados total corregida 𝑎
𝑛
Método
2
𝑆𝑆𝑇 = ∑ ∑ 𝑦𝑖𝑗2 − 𝑖=1 𝑗=1
𝑦 .. 𝑁
Tabla 6. Resultados para 𝑺𝑺𝑻
1
132.574 464 20.25
2
35.7604
3
62.41
4
85.5625
19.713 6 41.602 5 61.622 5 88.36
5
133.402 5
100.20 01
𝑺𝑺𝑻
Información del factor 18.49 34.81 58.828 9 92.544 4 118.15 69
23.716 9 25 54.76 78.676 9 117.93 96
17.222 5 30.913 6 65.124 9 82.264 9 108.78 49
Análisis de varianza
De la ec (8) La suma de cuadrados del tratamiento
3
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Análisis de varianza
Resumen del modelo
Medias
De lo siguiente se realizó la gráfica de intervalos de Distancia contra el Gancho utilizado, mostrada en la Fig 1., y la gráfica de residuos para la distancia de la Fig.2.
Fig 1. Gráfica de intervalos D vs G Fig 2. Gráfica de residuos para distancia En la Fig 2. Se muestra en primera instancia las cuatro graficas juntas y posteriormente se muestra la gráfica de probabilidad normal, el histograma, y las gráficas de residuos contra ajustes y después contra orden. Por último se muestra la tabla de los 25 datos y los valores que se utilizaron en dichas gráficas.
4
DIVISIÓN DE INGENIERÍAS CAMPUS IRAPUATO-SALAMANCA (UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO) 08 DE MARZO DE 2018 Tabla 9. Resultados para los 25 datos del experimento.
4. CONCLUSIÓN Podemos observar que la suma de cuadrados total corregida, es una diferencia entre las medidas de los tratamientos y el error aleatorio, así concluimos que el análisis de varianza por ambos métodos los resultados de la suma de los cuadrados resultan ser el mismo.
5.
REFERENCIAS
[1] Montgomery Douglas C. (2004), Diseño y análisis de experimentos, 2da Edición, Ed. Limusa Wiley.
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