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Centro de Enseñanza Técnica Y Superior

Escuela de Ingeniería

Electricidad y Magnetismo

Proyecto Final

Presenta: Christian Morales

Matrícula: 24167

Tijuana Baja California a 06 de junio del 2017

Dedicatoria. El siguiente recopilado de temas acerca de la materia de electricidad y magnetismo es dedicado a todas las personas que han mostrado apoyo a mi persona a lo largo del mi desarrollo profesional, ya que sin el apoyo de estas personas mi desarrollo hubiera sido imposible, entre las personas que me gustaría dedicar este mismo están mis dos padres por ayudarme a financiar mi carrera y siempre brindarme apoyo moral en todo lo que he ido necesitando a lo largo de la misma. También dedicándolo a los distintos maestros que me han ido acompañado a lo largo de estos cuatro semestres, ya que sin ellos esto hubiera sido imposible.

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Índice. SINTESIS INICIAL ................................................................................................... 3 UNIDAD 1. ELECTROSTÁTICA .............................................................................. 4 1.1 Carga eléctrica y Ley de Coulomb ........................................................... 5 1.2 Campo eléctrico ....................................................................................... 7 1.3 Teorema de Gauss ................................................................................ 10 1.4 Potencial eléctrico .................................................................................. 12 1.5 Dipolo eléctrico ...................................................................................... 13 UNIDAD 2. CAPACITANCIA ................................................................................. 15 2.1 Definición y cálculo de la capacitancia ................................................. 16 2.2 Tipos de capacitores ............................................................................ 17 2.3 Conexiones en serie y paralelo ............................................................ 19 2.4 Energía del capacitor ........................................................................... 21 2.5 Constante y rigidez dieléctrica ............................................................. 22 UNIDAD 3. ANÁLISIS DE CIRCUITOS: RÉGIMEN TRANSITORIO .................... 23 3.1 Corriente eléctrica y densidad de corriente .......................................... 24 3.2 Resistencia, resistividad y conductividad ............................................. 26 3.3 Ley de Ohm .......................................................................................... 28 3.4 Energía y potencia eléctrica ................................................................. 30 3.5 Fuerza electromotriz ............................................................................. 32 3.6 Conexión de resistencias en serie y paralelo ....................................... 34 3.7 Leyes de Kirchoff .................................................................................. 36 3.8 Teorema de superposición ................................................................... 38 UNIDAD 4. MAGNETISMO Y ELECTROMAGNETISMO ...................................... 40 4.1 Imanes y campos magnéticos ............................................................... 41 4.2 Fuerzas magnéticas sobre partículas cargadas .................................... 43 4.3 Efecto Hall, fuerza sobre un conductor de corriente .............................. 45 4.4 Ley de Biot Savart .................................................................................. 47 4.5 Ley de Ampere ...................................................................................... 49 4.6 Solenoides y toroides ............................................................................ 50 4.7 Ley de inducción de Faraday ................................................................. 52 4.8 F.E.M. de movimiento, ley de Lenz ........................................................ 54 4.9 Generadores y motores ......................................................................... 56 4.10 Inductancia .......................................................................................... 57 APÉNDICE ............................................................................................................ 59 REFERENCIAS ..................................................................................................... 60

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Síntesis inicial. En el siguiente escrito se pretende hacer un recopilado de todos los temas tocados a lo largo del semestre, de modo que la información quede de manera clara y concisa, todo con el objetivo de que el presente documento pueda servir de foco de consulta en un futuro próximo, ya sea en el ámbito profesional o en el ámbito escolar, tener un documento el cual pueda servir como fuente de consulta tiene una importancia mayúscula ya que nunca se sabe en que momento se necesitará hacer uso del mismo. Toda la información recopilada en el presente documento se puede considerar como verídica ya que gran parte de la misma será extraída de apuntes realizados en clase, de manera que la información sea fácil de consultar, o incluso este mismo sea de ayuda para generaciones futuras que gusten hacer de este mismo su punto de consulta, sea cual sea la etapa estudiantil en la que se encuentren, o sea cual sea el momento en el que se encuentren en su vida, siempre podrán tener este mismo como punto de referencia o de consulta. En este se mostrarán los temas de electricidad vistos a lo largo del semestre, cuales como electrostática, ley de Coulomb, campo eléctrico, dipolo eléctrico, capacitores, resistencias, carga y descarga, entre otros temas tocados a lo largo del semestre en curso.

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Unidad 1. Electrostática. En este capítulo se hará principalmente un enfoque en 6 temas, entre los cuales se encuentran carga eléctrica y ley de Coulomb, campo eléctrico, teorema de Gauss, potencial eléctrico y, por último, pero no menos importante, dipolo eléctrico. En estos temas es de suma importancia aclarar ciertas definiciones, entre las cuales por ejemplo tenemos carga eléctrica, la cual podemos definir como entidad física transferida pudiendo ser positiva o negativa. También para usos prácticos se necesita definir carga puntual, la cual es un punto donde se almacena energía, sin especificar. Con lo siguiente se pretende dejar en claro todos los temas definidos anteriormente, de modo que la explicación tanto de conceptos como de fórmulas y ejercicios queden de la manera más clara posible, buscando siempre una buena conjunción de palabras, tratando de dar todas las definiciones que puedan servir de ayuda para la mejor comprensión de conceptos, o de la información revisada a lo largo del semestre.

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1.1 Carga eléctrica y ley de Coulomb. Carga eléctrica. Como se pudo apreciar anteriormente, se puede definir a carga eléctrica como una entidad física transferida pudiendo ser positiva (déficit de electrones) y negativa (exceso de electrones). Otro concepto importante del cual no se debe perder y también fue definido anteriormente es el de carga puntual que también se definió anteriormente, pero se va a repetir el cual era un punto donde se almacena energía sin especificar. Un punto muy importante que no se debe de olvidar es que las cargas del mismo signo se repelen mientras que signos contrarios se atraen, recordando que la carga eléctrica se conserva SIEMPRE, resaltando en este punto la ley de la conservación de la energía. Ley de Coulomb Se puede definir como Ley de Coulomb a “La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa” según EcuRed, se pretende estudias como es que la distancia que existe entre las cargas eléctricas pueden ser afectadas por las distancia que existe entre ellas, creando una fuerza eléctrica, dentro de este tema existen tres cargas que se denominan como: 

Positivas



Negativas



Neutrales

La principal fórmula utilizada para poder resolver los problemas para este tipo de casos sería la siguiente 𝐹=𝑘∗

∗

en la cual podemos definir como k, la constante de Coulomb, Q la

primera carga, q la segunda carga y d la distancia. 5

Ejemplo Hallar el valor de la fuerza con que se atraen dos cargas de 3µC, si se encuentran a una distancia de 0.5 cm en el vacío. 𝑄 = 3𝑥10 𝐹=

𝑑 = 0.05 ∗

.

∗ 8.99𝑥10 = 3 240 𝑁

Ejercicio Hallar el valor de la fuerza con que se atraen dos cargas de 11µC y 5 µC, si se encuentran a una distancia de 50 cm en el vacío. (R = 2.2x10-10) Ley de Coulomb con dos o tres cargas. Existe un caso más específico en el cual te vas a poder encontrar con dos o más cargas, en este caso se debe de proceder a hacer un análisis un poco más profundo, ya que se en este caso la posición de cada una de las fuerzas ahora si va a afectar, como también la distancia (asi en los casos anteriores) y el ángulo. Ejemplo: Calcula la fuerza resultante sobre la q3 q1=q3= 5µC q2=2µC 𝐹

= 8.99𝑥10 ∗

𝐹

= 8.99𝑥10 ∗

∗

= 11.46 𝑁

. ∗

= 8.99 𝑁

.

∑ 𝐹 = 8.06 − 8.99 = −0.93 ∑ 𝐹 = 8.06 + 0 = 8.06

𝐹 = (−0.93𝑖 + 8.06𝑗)𝑁

Ejercicio. Calcula la fuerza resultante sobre la q3 (R = q1=q3= 10µC q2=8µC 6

1.2 Campo eléctrico. El campo eléctrico se define como la fuerza eléctrica por unidad de carga. La dirección del campo se toma como la dirección de la fuerza que ejercería sobre una carga positiva de prueba. El campo eléctrico está dirigido radialmente hacia fuera de una carga positiva y radialmente hacia el interior de una carga puntual negativa. En un campo eléctrico es importante definir que el campo eléctrico negativo va hacia afuera, mientras que el campo eléctrico negativo va hacia adentro, como se muestra en la siguiente imagen.

La fórmula utilizada para este tipo de problemas es la siguiente: 𝐸=

en la cual F es igual a la fuerza eléctrica y la q siendo igual a la carga.

Ejemplo. Un campo eléctrico tiene una fuerza de 5x10 -6 N actúa sobre una carga de -3x10-9 C. Determine el campo eléctrico. 𝐸=

5𝑋10 −3𝑋10

= −1 666.66

𝑁 𝐶

Ejercicio. Un campo eléctrico tiene una fuerza de 15x10-3 N actúa sobre una carga de 8x10-6 C. Determine el campo eléctrico. (R = 1875 N/C)

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Campo eléctrico entre dos cargas. Mientras si en otro caso el campo resulta a afectar a una carga, la fórmula utilizada será la siguiente: siendo k la constante de coulomb, q la carga y r la distancia entre las cargas

𝐸=𝑘

del campo eléctrico. Ejemplo. Se mantienen dos cargas iguales a una distancia de 15.2 cm y opuestas de magnitud de 1.88x10-7 C. Determina la magnitud del campo eléctrico. 𝐸 = 8.99𝑋10 ∗

1.88𝑋10 0.076

= 292 610.8

𝐸 = 292 610 ∗ 2 = 585 227.6

𝑁 𝐶

𝑁 𝐶

Ejercicio. Se mantienen dos cargas iguales a una distancia de 1.6 m y opuestas de magnitud de 3.2x10-7 C. Determina la magnitud del campo eléctrico (R = 2247.5 N/C) Campo eléctrico de distribución continua. Van a existir otros casos en los cuales el campo eléctrico se verá afectado por las distintas formas que pueda tomar un material, ya sea una línea, un anillo o un disco, las respectivas fórmulas para cada caso serían las siguientes: Línea

Anillo

𝐸 =

Disco

𝐸 = (

)

𝐸= (

)

[1 −

√

]

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Ejemplo. Una varilla de plástico que mide 220 cm y 3.6 mm de radio transporta una carga 3.8x10-7 C, distribuido uniformemente en su superficie, ¿Cuál es el campo eléctrico cerca del punto medio de la varilla en un lugar de su superficie? 𝜆=

𝐸=

𝑞 𝐿

𝜆 = −1.72𝑥10

1.72𝑥10 2𝜋 ∗ 𝜖 ∗ 3.6𝑥10

= −8.5𝑥10

𝑁 𝐶

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1.3 Teorema de Gauss. El flujo eléctrico a través de un área se define como el campo eléctrico multiplicado por el área de la superficie proyectada sobre un plano perpendicular al campo. La ley de Gauss es una ley general, que se aplica a cualquier superficie cerrada. Es una herramienta importante puesto que nos permita la evaluación de la cantidad de carga encerrada, por medio de una cartografía del campo sobre una superficie exterior a la distribución de las cargas. Para geometrías con suficiente simetría, se simplifica el cálculo del campo eléctrico. Para el cálculo del flujo eléctrico se hace utilizando la siguiente fórmula: Φ = 𝐸𝐴 En caso de ser en una superficie no perpendicular sería la siguiente fórmula. Φ = 𝐸𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 También cabe destacar que el flujo eléctrico es directamente proporcional al número de líneas del campo eléctrico que penetran en una superficie. En general se tiene la siguiente fórmula Φ=

𝐸 𝑑𝐴

Notas: 

En una superficie cerrada el flujo de campo eléctrico es igual a 0.



El flujo eléctrico neto a través de una superficie Gaussiana con carga es igual a:

Φ=

𝑞 𝜖

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Ejemplo: En un campo eléctrico uniforme se hace girar en una espira de 40 cm de diámetro hasta encontrar la posición en la cual existe el máximo flujo eléctrico. El flujo en esta posición tiene un valor de 5.2x105 n/m2C, ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico? 𝐸=

𝐸=

. .

= 4.13𝑥10

Ejercicio En un campo eléctrico uniforme se hace girar en una espira de 36 cm de diámetro hasta encontrar la posición en la cual existe el máximo flujo eléctrico. El flujo en esta posición tiene un valor de 6.86x107 n/m2C, ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico? (F = 190555555.6 N/C)

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1.4 Potencial Eléctrico. Cuando una carga de prueba positiva que se muere entre los puntos A y B en un campo eléctrico el cambio de energía potencial del sistema es igual a la siguiente expresión: Δ𝑉 =

Δ𝑈 𝑞

El potencial eléctrico es una cantidad escalar y sus unidades son Volts. Una superficie equipotencial es aquella donde todos los puntos tienen el mismo potencial eléctrico. Δ𝑉 = −𝐸𝑑 Ejemplo. Una batería tiene una ΔV en sus terminales de 12 V, la separación entre las placas es de .30 cm y se supone que el campo eléctrico entre las placas es uniforme. Determine el campo eléctrico entre las placas Δ𝑉 = −𝐸 ∗ 𝑑 | 𝐸 =

𝐸=

.

= 4000

Ejercicio Una batería tiene una ΔV en sus terminales de 15 V, la separación entre las placas es de 40 cm y se supone que el campo eléctrico entre las placas es uniforme. Determine el campo eléctrico entre las placas (R = 37.5 V/m) Potencial Eléctrico y energía potencial por cargas puntuales. Para que el caso sea aquel el que tenga una o varias cargas puntuales, las fórmulas que van a ser utilizadas serán las siguientes: Potencial Eléctrico

Diferencia de Potencial

𝑉 = 𝑘 en una carga

𝑉 = 𝑘𝑞[

𝑉 = 𝑘∑

−

]

en varias cargas 12

Energía Potencial. 𝑈=𝑘

𝑞 ±𝑞 𝑟

Ejemplo. Determina el potencial eléctrico (V) de un protón a una distancia de 1 cm. 𝑉 = 8.99𝑥10 ∗

1.602𝑥10 . 01

= 1.44𝑥10

𝑉

Ejercicio. Determina el potencial eléctrico (V) de un electrón a una distancia de 5 cm. (R = 3.204x10-18 V)

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1.5 Dipolo Eléctrico El dipolo eléctrico es un tipo de distribución de carga que se presenta frecuentemente como veremos en la página dedicada a los dieléctricos. Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas, una positiva +Q y otra negativa -Q del mismo valor, separadas una distancia d. La fórmula utilizada en este tipo de casos sería la siguiente:

𝐸=

𝑝=𝑞∗𝑑 (

)

Pero, cuando la distancia tiende a ser muy corta, se utilizará la siguiente fórmula:

𝐸= Ejemplo: Calcula el campo eléctrico de un dipolo cuyo p es igual a 3.56x10 -24 a una distancia de 25.4 nm 𝐸=

8.99𝑥10 ∗ 3.56𝑥10 (25.4𝑥10 )

= 19′530.028

𝑁 𝐶

Ejercicio. Calcula el campo eléctrico de un dipolo cuyo p es igual a 4.6x10 -24 a una distancia de 5 nm (2560352 N/C)

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Unidad 2. Capacitancia. En este capítulo se procederán a tocar temas relacionados con la capacitancia principalmente, los tipos de capacitores, conexiones en serie y paralelo, energía en un capacitor y la constante acerca de constante y rigidez dieléctrica. A lo largo de esta unidad se pretende que se obtengan todos los conocimientos requeridos para poder realizar circuitos de capacitores de manera apropiada, pudiendo calcular ahí mismo cuanta será a carga que tendrá el capacitor, como es que estos mismos funcionan.

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2.1 Definición y cálculo de la capacitancia. Un capacitor se compone básicamente de 2 placas conductoras paralelas, separadas por un aislante denominado dieléctrico. La unidad de capacitancia es el coulomb por volt o farad (F). Por tanto, si un conductor tiene una capacitancia de un farad, una transferencia de carga de un coulomb al conductor elevará su potencial en un volt. Cualquier conductor tiene una capacitancia C para almacenar carga. La cantidad de carga que puede colocarse en un conductor está limitada por la rigidez dieléctrica del medio circundante. La fórmula utilizada en este tipo de situaciones seria la siguiente: 𝐶=

Siendo Q la carga y ΔV el voltaje.

En el caso de una esfera la fórmula sería la siguiente. 𝐶=

siendo r el radio del mismo y K la constante de fuerza eléctrica

Cuando el capacitor se encuentra entre dos placas paralelas, la fórmula sería la siguiente: 𝐶=

Donde A es el área, €0 la constante de permitividad, y d la distancia entre

las placas del capacitor. Ejemplo ¿Cuánta carga existe en cada una de las placas de un capacitor de 4µF que está conectado a una batería de 12 V? 𝐶=

𝑄 = 𝐶 ∗ Δ𝑉

𝑄 = 4𝑥10

∗ 12 = 4.8𝑥10 𝐶

Ejercicio. ¿Cuánta capacitancia existe en un cierto por el cual pasa una carga de 12 C, conectado a una batería de 5V? (R = 2.4 F)

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2.2 Tipos de capacitores. Estos capacitores tienen una capacidad fija determinada por el fabricante y su valor no se puede modificar. Sus características dependen principalmente del tipo de dieléctrico utilizado, de tal forma que los nombres de los diversos tipos se corresponden con los nombres del dieléctrico usado. De esta forma podemos distinguir los siguientes tipos:     

Cerámicos. Plástico. Mica. Electrolíticos. De doble capa eléctrica.

Capacitores cerámicos El dieléctrico utilizado por estos capacitores es la cerámica, siendo el material más utilizado el dióxido de titanio. Este material confiere al capacitor grandes inestabilidades por lo que en base al material se pueden diferenciar dos grupos:  

Grupo I: caracterizados por una alta estabilidad, con un coeficiente de temperatura bien definido y casi constante. Grupo II: su coeficiente de temperatura no está prácticamente definido y además de presentar características no lineales, su capacidad varía considerablemente con la temperatura, la tensión y el tiempo de funcionamiento.

Las altas constantes dieléctricas características de las cerámicas permiten amplias posibilidades de diseño mecánico y eléctrico. Capacitores de plástico Estos capacitores se caracterizan por las altas resistencias de aislamiento y elevadas temperaturas de funcionamiento. Según el proceso de fabricación podemos diferenciar entre los de tipo k y tipo MK, que se distinguen por el material de sus armaduras (metal en el primer caso y metal vaporizado en el segundo).

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Capacitores de mica El dieléctrico utilizado en este tipo de capacitores es la mica o silicato de aluminio y potasio y se caracterizan por bajas pérdidas, ancho rango de frecuencias y alta estabilidad con la temperatura y el tiempo. Capacitores electrolíticos En estos capacitores una de las armaduras es de metal mientras que la otra está constituida por un conductor iónico o electrolito. Presentan unos altos valores capacitivos con relación al tamaño y en la mayoría de los casos son polarizados. Podemos distinguir dos tipos: 

Electrolíticos de aluminio: la armadura metálica es de aluminio y el electrolito de tetra borato armónico.



Electrolíticos de tántalo: el dieléctrico está constituido por óxido de tántalo y nos encontramos con mayores valores capacitivos que los anteriores para un mismo tamaño. Por otra parte, las tensiones nominales que soportan son menores que los de aluminio y su costo es algo más elevado.

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2.3 Conexiones en serie y paralelo. Para hacer las conexiones en los circuitos de capacitores se tienen dos maneras de hacerlo, hacerlo en serie o hacerlo en paralelo, cada una de las maneras tienen su propia forma de ser analizados, siendo estas maneras las que se pueden apreciar en la imagen siguiente:



Cabe destacar que cuando los capacitores son puestos en serie, la carga que transcurrirá por ellos va a ser la misma, pero el voltaje no, la capacitancia cuando son puestos en serie se calcula de la siguiente manera: 1 1 1 = + 𝐶 𝐶 𝐶



Mientras que en los capacitores en paralelo el voltaje se mantendrá como el mismo, pero la carga será distinta, siendo el cálculo de capacitancia en serie de la siguiente manera: 𝐶 =𝐶 +𝐶

Ejemplo Calcula la capacitancia total en el siguiente circuito =

+

+

= 916666.666 𝐶 =

.

𝐶 = 1.09𝑥10

𝐹

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Ejemplo Calcula la capacitancia total del siguiente circuito. 𝐶 = 2𝑥10

+ 4𝑥10

+ 6𝑥10

𝐶 = 12𝑥10 𝐹

Ejercicio. Calcula la capacitancia total del siguiente circuito. (R = 6x10-6 F)

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2.4 Energía del capacitor. La energía almacenada en un capacitor se puede expresar en términos del trabajo realizado por la batería. El Voltaje representa la energía por unidad de carga, de modo que el trabajo para mover un elemento de carga dq desde la placa negativa a la placa positiva es igual a V dq, donde V es el voltaje sobre el condensador. El voltaje es proporcional a la cantidad de carga que ya está en el condensador. Las fórmulas utilizadas en estos casos serían las siguientes: 𝑊=

1 𝑞∗𝑉 2

𝑊=

1 𝑞∗𝑉 2

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2.5 Constante y rigidez dieléctrica Cuando un material dieléctrico se inserta entre las placas de un capacitor, la capacitancia aumenta por un factor adimensional, cabe destacar que en estos casos la letra k representara la constante dieléctrica. La fórmula utilizada para poder calcular la capacitancia total en estos casos será: 𝐶 = 𝑘𝐶 Siendo k la constante dieléctrica y C0 la capacitancia inicial. La energía almacenada en un capacitor con carga se puede calcular con las siguientes formular (se deberá aplicar la apropiada dependiendo los datos que se tengan). 𝑈=

𝑈 = 𝑄∆𝑉

𝑈=

𝐶 (∆𝑉)

Ejemplo. Un capacitor de 3x10-6 F se conecta a una batería de 12V. Determina la energía dentro del circuito. 𝑈=

1 ∗ 3𝑥10 2

∗ (12) = 2.16𝑥10 𝐽

Ejercicio Un capacitor de 5x10-6 F se conecta a una batería de 15V. Determina la energía dentro del circuito (R = 5.625x10-4 J)

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UNIDAD 3. ANÁLISIS DE CIRCUITOS: REGÍMEN TRANSITORIO. En esta unidad se verán temas relacionados con los circuitos, asi como es que se van a calcular las resistencias que pueden afectar a los mismos, también será de una importancia mayúscula conocer cómo es que se obtiene la corriente eléctrica, cosa con la cual se podrá igualmente definir cómo es que se obtiene la potencia y el voltaje, demostrando la diferencia que puede existir con los circuitos de capacitores y los circuitos de resistencias, diferencias que pueden resultar más que interesante.

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3.1 Corriente eléctrica Cuando se hablar acerca de corriente eléctrica se sabe que se van a empezar a tocar temas relacionados con amperes, cargas y tiempos. Corriente eléctrica se puede definir según hyperphysics “Es la tasa de flujo de carga que pasa por un determinado punto de un circuito eléctrico, medido en Culombios/segundo, denominado Amperio. En la mayoría de los circuitos eléctrico de DC, se puede asumir que la resistencia al flujo de la corriente es una constante, de manera que la corriente en el circuito está relacionada con el voltaje y la resistencia, por medio de la ley de Ohm. Las abreviaciones estándares para esas unidades son 1 A = 1 C/s.” Las fórmulas utilizadas para obtener la corriente y lo derivado a ella son las siguientes: 𝐼=

siendo la unidad ampere como se expresó anteriormente

𝑄 = 𝑛𝐴𝜈Δ𝑉

𝐼 = 𝑛𝐴𝜈𝑞

𝐼=

Es una regla convencional asignar la corriente eléctrica la misma dirección que la del flujo de las cargas positivas.

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Ejemplo: Por la sección transversal en un alambre pasan 10 C en 4 segundos. Calcular la intensidad de la corriente eléctrica 𝐼=

10 = 2.5 𝐴 4

Ejercicios La intensidad de la corriente que atraviesa a un conductor es 5 A. Calcular la carga que pasa por su sección transversal en 2 segundos. (R = 10 C) Un conductor tiene una resistencia de 4 Ohmios. Calcular la diferencia de potencial en sus extremos cuando lo atraviesa una intensidad de 2 A. (R = 8 V)

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3.2 Resistencia, resistividad y conductividad Resistencia. La resistencia eléctrica es la oposición (dificultad) al paso de la corriente eléctrica. Sabemos que la corriente eléctrica es el paso (movimiento) de electrones por un circuito o, a través de un elemento de un circuito (receptor). Conclusión: la corriente eléctrica es un movimiento de electrones. Dependiendo del tipo de cable o conductor por el que tengan que pasar los electrones les costará más o menos trabajo. Un buen conductor casi no le ofrecerá resistencia a su paso por él, un aislante les ofrecerá tanta resistencia que no podrán pasar a través de él. Las fórmulas utilizadas en el término de resistencia son las siguientes 𝑅=𝜌

𝑅=

𝜎=

𝐽 = 𝜎𝐸

𝐽=

= 𝑛𝑞𝑣

Resistividad. La resistividad o resistencia específica es una característica propia de los materiales y tiene unidades de ohmios–metro, e nos indica que tanto se opone el material al paso de la corriente eléctrica. La resistividad no es un valor que se mantienen constante con la variación de la temperatura. La resistencia específica de los metales aumenta al aumentar la temperatura, al contrario de los semiconductores en donde este valor decrece. El inverso se llama conductividad (σ) [sigma]. y la fórmula es: σ = 1/ρ Conductividad Conductividad es la propiedad de aquello que es conductivo (es decir, que tiene la facultad de conducir). Se trata de una propiedad física que disponen aquellos objetos capaces de transmitir la electricidad o el calor. La conductividad eléctrica, por lo tanto, es la capacidad de los cuerpos que permiten el paso de la corriente a través de sí mismos. Esta propiedad natural está vinculada a la facilidad con la que los electrones pueden atravesarlos y resulta inversa a la resistividad.

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Ejemplo. Una diferencia de potencia de .9 V se mantiene a través de una longitud de 1.5 m de alambre de tungsteno que tiene un área de sección transversal de .6 mm 2, ¿Cuál es la corriente del alambre? (ρ = 5.6x10-8) 𝑅 = 5.6𝑥10

∗

.

= .14 𝑜ℎ𝑚𝑖𝑜𝑠

𝐼=

. .

= 6.42 𝐴

Ejercicio. Un foco tiene una resistencia de 240 ohmios cuando está funcionando con una diferencia de voltaje de 120 V. ¿Cuál es la corriente del foco? (R = .5 A)

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3.3 Ley de Ohm La ley de Ohm representa un elemento fundamental para explicar ciertos fenómenos relacionados con la electricidad. Más concretamente dicha ley estudia la relación que existe entre tres conceptos: la intensidad de la corriente, la diferencia de potencial y la resistencia eléctrica. En su formulación más sencilla esta ley afirma que la intensidad (denominada I) que circula por un conductor eléctrico es directamente proporcional a la diferencia de potencial (V) y, paralelamente, inversamente proporcional a la resistencia (R). Las fórmulas de la ley de Ohm se pueden representar en la siguiente pirámide:

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Ejemplo Calcula la intensidad de la corriente que alimenta a una lavadora de juguete que tiene una resistencia de 10 ohmios y funciona con una batería con una diferencia de potencial de 30 V 𝐼=

30 =3𝐴 10

Ejercicio. Calcula el voltaje, entre dos puntos del circuito de una plancha, por el que atraviesa una corriente de 4 amperios y presenta una resistencia de 10 ohmios. (R = 40 V)

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3.4 Energía y potencia eléctrica Energía eléctrica. Llamamos energía a la capacidad de realizar trabajo, directa o indirectamente, ahora o más tarde. Un cuerpo en movimiento posee una capacidad de efectuar trabajo denominada energía cinética que es proporcional a la masa del cuerpo y al cuadrado de su velocidad. Pero la energía también puede estar contenida en potencia de muy diversas maneras, se la llama, entonces, energía potencial. Así una piedra en el borde de un techo contiene en potencia la energía cinética de la que estará dotada al caer bajo la acción de la fuerza gravitatoria, energía capaz de "trabajar" sobre un transeúnte lastimándolo. Potencia Eléctrica. Llamamos potencia a la capacidad de producir o consumir energía en un determinado intervalo de tiempo. Una sierra mecánica podrá cortar muchas tablas en el mismo tiempo en que un carpintero con su serrucho manual corta sólo una. Aun cuando la energía empleada para cortar cada tabla es la misma, ya que el trabajo realizado es el mismo, existe aquí una diferencia evidente de potencia. Se define la unidad de potencia vatio (W) como la capacidad de entregar o consumir un vatio-hora de energía en el lapso de una hora. La potencia de un modesto calentador de tabletas insecticidas es de 4W y, en consecuencia, 1Wh es la energía consumida por dicho dispositivo en un cuarto de hora. Las fórmulas para resolver problemas relacionados con lo anterior son las siguientes: 𝑃 = ∆𝑉 ∗ 𝐼

𝑃=

∆

𝑃 =𝐼 ∗𝑅

𝑄 = 𝑚𝐶 ∆𝑇

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Ejemplo. Un calentador eléctrico se construye al aplicar una diferencia de potencial de 120 V de un alambre de nicromo que tiene una resistencia total de 8 ohmios. Encontrar la corriente conducida por el alambre y la potencia. 𝐼=

= 15 𝐴

𝑃 = 15 ∗ 120 = 1800 𝑤𝑎𝑡𝑡𝑠

Ejercicio. Un tostador es especificado den 600 w al calentarse a una alimentación de 120 V, ¿Cuál es la intensidad de la corriente que pasa por el tostador? (R = 5 A).

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3.5 Fuerza electromotriz Voltaje máximo posible que suministra una batería entre sus terminales. Es el voltaje cuando la corriente es 0. Bombea las cargas de un potencial menor a un potencial mayor. De modo que para maximizar el porcentaje de energía de una batería entrega a un aparato la resistencia de la misma debe de ser la más baja posible. Las fórmulas para fuerza electromotriz son las siguientes: 𝐼=

Δ𝑣 = 𝜀 − 𝐼𝑟

Ejemplo. Dos baterías de 1.5 V con sub-terminales positivos en una misma orientación están insertos en serie en el cuerpo de una linterna. Una de las baterías tiene una resistencia de .255 ohmios y la otra de .153 ohmios. Cuando el interruptor se cierra por la lámina pasa una corriente de .6 A. Determina la resistencia de la lámpara. 𝑅 =

2.75 = 4.58 .6

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Ejemplo. Dos baterías de 6 V con sub-terminales positivos en una misma orientación están insertos en serie en el cuerpo de una linterna. Cuando el interruptor se cierra por la lámina pasa una corriente de 60 A. Determina la resistencia de la lámpara. (R = 0.2 ohmios)

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3.6 Conexión de resistencias en serie y paralelo Resistencias en serie La resistencia equivalente de una combinación en serie de resistores es la suma numérica de las resistencias individuales y siempre es mayor que cualquier resistencia individual.

𝑅 =𝑅 +𝑅 𝐼 =𝐼 =𝐼 𝑉 =𝑉 +𝑉

Resistencias en paralelo. El inverso de resistencia equivalente de 2 o más resistores conectados en paralelo es igual a la rama de los inversores de las resistencias individuales. La resistencia equivalente es menor que la grupal.

=

+

𝐼 =𝐼 +𝐼 𝑉 =𝑉 =𝑉

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Ejemplo. Calcula la resistencia total del siguiente circuito

𝑅 = 10 + 5 + 15 = 30 𝑜ℎ𝑚𝑖𝑜𝑠

Ejercicio. 𝑅=

+ +

= 2.72 𝑜ℎ𝑚𝑖𝑜𝑠

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3.7 Leyes de Kirchoff Ley de la unión: En cualquier unión, la suma de las corrientes debe ser igual a cero. Ley de la espira: La suma de las diferencias de potencial a través de todos los elementos alrededor de cualquier espira de un circuito cerrado debe ser igual a cero.

Reglas para determinar las diferencias de potencial a través de un resistor y batería. 

Las cargas se mueven del extremo de potencial alto de un resistor hacia el extremo de potencial bajo si un resistor se atraviesa en la dirección de la corriente, la diferencia de potencial a través de un resistor es -IR.



Si un resistor se recorre en la dirección opuesta a la corriente, a la diferencia de voltaje a través es +IR.



Si una fuente de FEM es recorrida en la dirección de la FEM la diferencia de potencial es +ε.



Si una fuente de FEM es recorrida en la dirección opuesta de la FEM la diferencia de potencial es -ε

36

Ejemplo: Calcula la intensidad del siguiente circuito.

Ejercicio. Calcula la intensidad del siguiente circuito. (I1 = 0.66 A, I2 = 1.55 A, I3 = -0.88 A)

37

3.8 Teorema de superposición. La corriente o voltaje de un elemento en una red bilateral es igual a la suma algebraica de las corrientes o voltajes producidos independientemente por cada fuente. Para resolver los circuitos por medio de teorema de superposición se debe de realizar los siguiente: 

Se analiza el circuito dado.



Se eliminan todas las fuentes de voltaje excepto una.



Se calcula lo requerido en el circuito de manera individual en base a la una fuente de voltaje dejada.



Se repiten los pasos anteriores hasta haber analizado todas las fuentes



Se suman los totales.

Ejercicio. Calcula la intensidad del siguiente circuito

38

Ejercicio. Calcula la intensidad del siguiente circuito. (I1 = 1.25 A, I2 = 0.375 A, I3 = 0.875 A)

39

UNIDAD 4. MAGNETISMO Y ELECTROMAGNETISMO. En la siguiente unidad se va a poder apreciar cómo funciona el electromagnetismo en los distintos puntos, como es que las fuerzas magnéticas afectan el mundo en el que vivimos, pudiendo así destacar que el magnetismo en si tiene muchas aplicaciones y estos fenómenos se aplican en más ámbitos de los que se tenían pensado anteriormente, destacando así la importancia que estos pueden tener. Con los conocimientos adquiridos a lo largo de esta unidad se pretende que se puedan realizar y calcular magnitudes de campos magnéticos, entre otras cosas que se aprenderán a lo largo de esta unidad.

40

4.1 Imanes y campos magnéticos Los campos magnéticos son producidos por corrientes eléctricas, las cuales pueden ser corrientes macroscópicas en cables, o corrientes microscópicas asociadas con los electrones en órbitas atómicas. El campo magnético B se define en función de la fuerza ejercida sobre las cargas móviles en la ley de la fuerza de Lorentz. La interacción del campo magnético con las cargas nos conduce a numerosas aplicaciones prácticas. Las fuentes de campos magnéticos son esencialmente de naturaleza dipolar, teniendo un polo norte y un polo sur magnéticos. La unidad SI para el campo magnético es el Tesla. Las fórmulas utilizadas para calcular los campos magnéticos son las siguientes. 𝐹 = 𝑁𝑤

𝐹 = 𝑞𝑉 ∗ 𝐵

𝐹 = 𝑞𝑣𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃

𝐵=

41

Ejemplo. Un electrón en un cinescopio de una TV se mueve hacia enfrente del mismo con una rapidez de 8x106 m/s a lo largo del eje x. Existe un campo magnético de .025 T en un ángulo de 60°. Calcula la fuerza magnética sobre el electrón. 𝐹 = 1.602𝑥10

∗ 8𝑥10

∗ .025 ∗ 𝑠𝑒𝑛60 = 2.77𝑥10

𝑁

Ejercicio. Un protón en un cinescopio de una radio se mueve hacia enfrente del mismo con una rapidez de 4x104 m/s a lo largo del eje x. Existe un campo magnético de .5 T en un ángulo de 45°. Calcula la fuerza magnética sobre el electrón. (R = 2.26x10-15)

42

4.2 Fuerzas magnéticas sobre partículas cargadas Una partícula cargada que está en una región donde hay un campo eléctrico, experimenta una fuerza igual al producto de su carga por la intensidad del campo eléctrico. 

Si la carga es positiva, experimenta una fuerza en el sentido del campo



Si la carga es negativa, experimenta una fuerza en sentido contrario al campo

Si el campo es uniforme, la fuerza es constante y también lo es, la aceleración. Aplicando las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, obtenemos la velocidad de la partícula en cualquier instante o después de haberse desplazado una determinada distancia Las fórmulas utilizadas para resolver este tipo de problemas son las siguientes. 𝐹 =

𝑎 =

𝑣 = 𝑤𝑟

𝑤=

43

Ejemplo. Un protón se mueve en una órbita circular de 14 cm de radio y un campo eléctrico de .35 Teslas, obtén la rapidez. 𝑣=

0.14 ∗ 1.602𝑥10 1.672𝑥10

∗ 0.35

= 4700479.42

𝑚 𝑠

Ejercicio. Un electrón se mueve en una órbita circular de 1.4 m de radio y un campo eléctrico de 5 Teslas, obtén la rapidez (R = 670693779.9 m/s)

44

4.3 Efecto Hall, fuerza sobre un conductor de corriente Si una corriente eléctrica fluye a través de un conductor situado en un campo magnético, éste campo ejerce una fuerza transversal sobre los portadores de cargas móviles, que tiende a empujarlas hacia un lado del conductor. Esto es más evidente en un conductor plano delgado como el mostrado. La acumulación de cargas en los lados del conductor equilibrará esta influencia magnética, produciendo un voltaje medible entre los dos lados del conductor. La presencia de este voltaje transversal medible se llama efecto Hall en honor de E. H. Hall que lo descubrió en 1879. Cuando se coloca un conductor de corriente en un campo magnético se genera una diferencia de potencial en una dirección perpendicular tanto a la corriente como al campo magnético. La fórmula utilizada para este tipo de situaciones es la siguiente. Δ𝑉 =

𝐼𝐵 𝑛𝑞𝑔

45

Ejemplo. Una tira de cobre rectángulas de 1.5 cm de ancho y .10 de grosor soporta a una corriente de 5 A. Encuentra el voltaje de Hall en un campo de 1.2 T. Δ𝑉 =

8.46𝑥10

5(1.2) ∗ 1.602𝑥10

∗ 001

= 4.47𝑥10

Ejercicio. En un experimento concebido para medir el campo magnético de la tierra utilizando el efecto a Hall, se coloca una barra de cobre de .5 cm de espesor en dirección esteoeste. Si una corriente de 8 A en el conductor da como resultado una diferencia de potencial de Hall de 5x10-12, ¿Cuál es la magnitud de B? (R = 4.31x10-5 T)

46

4.4 Ley de Biot Savart La ley de Biot-Savart, relaciona los campos magnéticos con las corrientes que los crean. De una manera similar a como la ley de Coulomb relaciona los campos eléctricos con las cargas puntuales que las crean. La obtención del campo magnético resultante de una distribución de corrientes implica un producto vectorial, y cuando la distancia desde la corriente al punto del campo está variando continuamente, se convierte inherentemente en un problema de cálculo diferencial. Las fórmulas utilizadas en estas ocasiones son las siguientes 𝐵=

𝑠𝑒𝑛𝜃

𝐵=

𝐵=

𝐵= (

)

47

Ejemplo. Calcula la B en un punto que está a 100 cm de a de un conductor delgado y largo de 1 A. 𝐵=

4𝜋𝑥10 ∗ 1 = 1.99𝑥10 2𝜋 ∗ .1

𝑇

Ejercicio. Calcula la B en un punto que está a 10 m de a de un conductor delgado y largo de 5 A. (R = 9.99x10-8 T)

48

4.5 Ley de Ampere La integral de la línea de campo magnético alrededor de cualquier trayectoria cerrada es igual a π*I donde I es la corriente total que pasa a través de cualquier superficie limitada por la trayectoria cerrada. La circulación de la intensidad del campo magnético en un contorno cerrado es igual a la suma algebraica de las corrientes encerradas o enlazadas por el contorno multiplicadas por la permeabilidad del espacio libre. El campo magnético es un campo angular con forma circular, cuyas líneas encierran la corriente. La dirección del campo en un punto es tangencial al círculo que encierra la corriente. El campo magnético disminuye inversamente con la distancia al conductor. de cálculo diferencial.

49

4.6 Solenoides y toroides Aplicamos la ley de Ampere para determinar el campo producido por un toroide de radio medio R. Si tomamos un solenoide, lo curvamos y pegamos sus extremos obtenemos un anillo o toroide. Las líneas de campo magnético que en el solenoide son segmentos rectos se transforman en circunferencias concéntricas en el solenoide. El campo magnético es tangente en cada punto a dichas circunferencias. El sentido de dicho campo viene determinado por la regla de la mano derecha. Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio r, cuyo centro está en el eje del toroide, y situada en su plano meridiano. 

El campo magnético B es tangente a la circunferencia de radio r.



El campo magnético B tiene el mismo módulo en todos los puntos de dicha circunferencia.

Todas las espiras del solenoide producen en P un campo que tiene la misma dirección y sentido, pero distinto módulo, dependiendo de su distancia x al punto P. El número de espiras que hay en el intervalo comprendido entre x y x+dx es dn=N·dx/L Estas espiras producen en P un campo que es el producto del campo producido por una espira por el número dn de espiras. Las formulas utilizadas para este tipo de problemas son las siguientes: 𝜙 = 𝐵𝐴

𝐵=

50

Ejemplo: Un solenoide de 2.5 cm de diámetro y 30 cm de largo tiene 300 vueltas y una intensidad de corriente de 12 A. Calcule el campo magnético que afecta al solenoide. 𝐵=

4𝜋𝑥10

∗ 12 ∗ 300 = 0.015 𝑇 .3

Ejercicio Un solenoide de 2.5 cm de diámetro y 30 cm de largo tiene 300 vueltas y una intensidad de corriente de 12 A. Calcule el flujo que afecta al solenoide mencionado (R = 7.36x10-6 w)

51

4.7 Ley de inducción de Faraday Esta ley señala que la magnitud de la fuerza electromotriz (FEM) inducida en un circuito es igual a la razón de cambio en el tiempo del flujo magnético a través del circuito. También, los campos eléctricos cambiantes producen campos magnéticos. Esto no se descubrió experimentalmente, porque el efecto hubiera sido mínimo en los experimentos de laboratorio realizados a principios del siglo XIX. Maxwell predijo teóricamente este hecho entre los años 1857 y 1865, en estudios cuyo objeto era desarrollar una base matemática y conceptual firme para la teoría electromagnética. Sugirió que un campo eléctrico cambiante actúa como una corriente de desplazamiento Es posible inducir una corriente eléctrica en una espira mediante una B cambiante. Una FEM inducida se produce en la espira debido al flujo magnético. Las formulas utilizadas para este tipo de problemas son las siguientes 𝜀=

𝜀=

𝐼=

𝜀 = 𝐵𝑙𝑣

𝑃=

52

Ejemplo. Una bobina de 200 vueltas tiene un lado de 18 cm y es un cuadrado, estableciéndose un campo magnético perpendicular al plano de la bobina de 0 a .5 T y en .8 segundos. ¿Cuánto vale la FEM inducida? 𝜀=

200 ∗. 18 ∗ .5 = 4.05 𝑉 .8

Ejercicio Una bobina de 500 vueltas tiene un lado de 1.8 m y es un cuadrado, estableciéndose un campo magnético perpendicular al plano de la bobina de 0 a .8 T y en 5 segundos. ¿Cuánto vale la FEM inducida? (R = 259.2 V)

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4.8 F.E.M. de movimiento, ley de Lenz Ley: “El sentido de la corriente inducida sería tal que su flujo se opone a la causa que la produce”. la Ley de Lenz plantea que los voltajes inducidos serán de un sentido tal que se opongan a la variación del flujo magnético que las produjo. Esta ley es una consecuencia del principio de conservación de la energía. La polaridad de un voltaje inducido es tal, que tiende a producir una corriente, cuyo campo magnético se opone siempre a las variaciones del campo existente producido por la corriente original. La corriente inducida en una está en la dirección que gira en un campo magnético que se opone al cambio del flujo magnético en el área encerrada por la espira. Las formulas utilizadas serían las siguientes: 𝜙 = 𝐵 ∗ 𝑠 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃

54

Ejemplo. Una fuente electroimán produce un campo magnético uniforma de 1.60 T sobre un área de sección transversal de .2 m 2. Una bobina que tiene 200 vueltas y una resistencia de 20 ohmios se coloca alrededor del electroimán, después se reduce 20ms ¿Cuál el I en la bobina? 𝜀=

.

∗. ∗

= 3200

𝐼=

= 160𝐴

Ejercicio Una bobina circular, formada por 200 espiras de 10 cm de radio , se encuentra situada perpendicularmente a un campo magnético de 0 , 2 T. Determina la f.e.m. inducida en la bobina en los casos siguientes referidos a un intervalo de tiempo igual a 0 , 1 s: se duplica el campo magnético; se anula el campo magnético; s e invierte el sentido del campo magnético; se gira la bobina 90◦ en torno al eje paralelo al campo magnético; se gira la bobina 90 ◦ en torno al eje perpendicular al campo magnético. (R = 12.56 V)

55

4.9 Generadores y motores Generador. La corriente que da este generador al exterior mediante las escobillas invierte su sentido cada vez que esta pasa, la intensidad aumentada desde 0 hasta cierto valor, se disminuye hasta llegar a cero nuevamente. Motor. El rotar crea campos magnéticos que se opongan entre sí, de tal modo que hagan moverse su parte giratoria llama rotor. Diferencias. El motor eléctrico utiliza energía eléctrica para generar energía mecánica. El generador utiliza energía mecánica para generar electricidad.

56

4.10 Inductancia Inductancia se define como la oposición de un elemento conductor (una bobina) a cambios en la corriente que circula a través de ella. También se puede definir como la relación que hay entre el flujo magnético (Φ) y la corriente y que fluye a través de una bobina. La inductancia se representa por la letra L. La inductancia depende de las características físicas del conductor y de la longitud del mismo. Si se enrolla un conductor, la inductancia aumenta. Con muchas espiras (vueltas) se tendrá más inductancia que con pocas. Si a esto añadimos un núcleo de ferrita, aumentaremos considerablemente la inductancia. Las fórmulas utilizadas en estas ocasiones son: 𝜀 =𝐿∗

Τ=

𝐼 = (1 − 𝑒)

𝐼 = (𝑒)

𝐿=

57

Ejemplos Un solenoide uniformemente devanado alrededor de un núcleo de aire tiene 120 vueltas, un diámetro 10 de mm y una l de 9 cm. Calcule la inductancia. 𝐿=

4𝜋𝑥10

∗ 120 ∗ 𝜋(. 005 ) = 1.58𝑥10 𝐻 . 09

Ejercicio. ¿Cuál es la inductancia de una bobina de sintonía que tiene 300 vueltas enrolladas en un tubo de cartón de 4cm de diámetro y 40 cm de largo? (R = 36 µH)

58

Apéndices Tabla de equivalencias.

59

Referencias 

Anónimo,

(s.

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"Ley

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Coulomb",

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61