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• Leonidas Mauricio

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS BÁSICAS Y HUMANIDADES

Curso: Física I (MB 223)

Periodo Académico 2012-III

Propulsión

T

odos los sistemas de partículas considerados hasta ahora tienen masas bien definidas, es decir, constantes durante la ocurrencia del fenómeno físico. Sin embargo, hay aplicaciones en Ingeniería en las que es necesario considerar sistemas de partículas de masa variable, es decir, que pueden ganar o perder masa. Por ejemplo, cuando un cuerpo se mueve propulsado, pierde masa; tan solo infle un globo de fiesta y suéltelo sin cerrar su boquilla. ¿Qué ocurrirá? El caso de propulsión tangible más común es de los cohetes, que ganan impulso quemando combustible y lanzando los gases en sentido contrario a su movimiento, en virtud a la Tercera Ley de Newton.

Fig. 1. Despegue del transbordador espacial Columbia. Un gran empuje es generado por los motores de combustible líquido, accionados por dos cohetes aceleradores de combustible sólido.

Fig. 2. El pulpo también se mueve por propulsión. En vez de quemar combustible, el pulpo ingiere agua y la expulsa a alta velocidad.

Para estudiar el movimiento de un cuerpo propulsado, al aplicar la Segunda Ley de Newton se debe tener muy en cuenta que en esta ocasión la masa es variable. Estudiemos a continuación el movimiento vertical de un cohete. Para efectos del curso, se considerarán desplazamientos en los que la aceleración de la gravedad no sufre variación notable; asimismo, no existe fuerza de resistencia por parte del aire circundante.

En el instante t el cohete tiene masa m y velocidad v

En el instante t + dt el cohete habrá variado su velocidad en dv, y habrá variado su masa en dm

ANTES

DESPUÉS

v

v + dv

pantes = mv

m m + dm

mg Fig. 3. Cohete en ascenso antes de iniciar la propulsión.

vcq = v – vesc

vesc = Velocidad relativa de los gases de escape con respecto al cohete. pcq = Cantidad de movimiento del combustible que se quema en el ascenso.

pcq

vcq = Velocidad absoluta del combustible quemado.

vesc Aplicando el Teorema del Impulso y Cantidad de Movimiento se tiene:

Fig. 4. Cohete en ascenso en plena propulsión.

r r r I = pdespués − pantes

∫ − mgdt = [(m + dm)(v + dv) + p ]− mv

dt

cq

0

− mgdt = [mv + mdv + vdm + dmdv − dm(v − vesc )] − mv ≈0

Simplificando queda:

− mgdt = mdv + vesc dm , de donde:

dv v dm = − g − esc dt m dt Donde:

dm = m& = cte dt

(I)

m& se conoce como flujo de masa de combustible o del medio propelente, y se expresa en kg/s. Se debe tener en cuenta en (I) que dm < 0; así entonces, (I) debe quedar expresada de la siguiente forma:

dv v dm = − g + esc dt m dt

(1)

Para un intervalo de tiempo finito se puede definir el flujo de masa como:

m& =

∆m ∆t

Así entonces, (1) se puede expresar como:

(2)

ma = −mg + m& v esc

Siendo m la masa instantánea del cohete, y la fuerza que genera la propulsión del móvil. Por lo tanto, se puede establecer que:

Fprop = m& vesc

(3)

Se considera que vesc se mantiene constante hasta que el combustible o propelente se agota. Así entonces, la aceleración instantánea de un móvil propulsado será:

a =

m& v esc −g m

(4)

Determinación de la velocidad v Al multiplicar la ecuación (I) por dt se tiene:

dv = −g − v esc

dm m

(*)

Se debe tener en cuenta que durante el movimiento del móvil, su velocidad varía desde v0 hasta vf, y por ende su masa, desde m0 hasta mf. Integrando (*) en forma indefinida se tiene:

∫ dv = − ∫ gdt − v ∫ esc

dm m

⇒

m  v = v esc ln 0  − gt + c m 

(**)

 m0    + v 0 − gt v = v ln En t = 0, v = v0, y m = m0. Así, (**) queda: esc  mf 

(5)

& t , lo cual significa Siendo t el tiempo de combustión, y: m f = m 0 − m cq = m 0 − m que el combustible se consume linealmente.

Cálculo del espacio recorrido en propulsión (Lprop) t

Integrando la ecuación (5) se obtiene:

L prop = ∫ vdt 0

Finalmente se obtiene:

Lprop =

m0 vesc m&

 m& t   m& t    1 ln1 −  − 1 + 1 + v0t − gt 2 1 − 2  m0   m0   

(6)

Y en términos solo de las masas final e inicial, (6) queda;

Lprop =

m0vesc m&

 mf   mf    1 2  ln  − 1 + 1 + v0t − gt 2  m0   m0   

(7)

NOTAS IMPORTANTES.1. Para que el movimiento propulsado se inicie, es indispensable asegurar que –en movimiento vertical– la fuerza de propulsión sea superior que la del vehículo que se pretende elevar. 2. Para que los resultados no tengan mucho error, se recomienda que la fórmula (7) se aplique para alturas no mayores de 100 km. 1 2 gt representa el recorrido 2 del móvil solo por acción de g. Luego, teniendo en cuenta la independencia de los movimientos, se puede excluir dicha expresión para determinar el siguiente caso:

3. En las ecuaciones (6) y (7) se debe notar que v 0 t −

CASO PARTICULAR: Propulsión en movimiento horizontal En ese caso, la aceleración de la gravedad no interviene (g = 0). Por lo tanto, las fórmulas (1), (5), (6) y (7), solo durante la propulsión, quedan de la siguiente forma:

a =

m& v esc m L prop =

m  v = v 0 + v esc ln 0   mf 

(8)

m 0v esc m&

L prop =

 m& t 1 −  m 0

m 0v esc m&

m f   m 0

  m& t ln1 −   m 0

  mf ln   m0

    − 1 + 1 (10)   

    − 1 + 1   

*******************************

(11)

(9)