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• Miguel Christian Infante López

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Aritmética

Proporción e Igualdad de razones geométricas PROPORCIÓN Es la igualdad de dos razones de la misma clase.

Proporción geométrica

Proporción aritmética

Discreta

Continua

Discreta

Continua

Los términos medios son diferentes.

Los términos medios son iguales.

Los términos medios son diferentes.

Los términos medios son iguales.

a–b=c–d

a–b=b– c

a c = b d

a b = b c

a

4. diferencial de a, b y c

es la media diferencial de a y c

a

3. diferencial de a y b

a

4. proporcional de a, b y c

es la media proporcional de a y c

a

3. proporcional de ayb

IGUALDAD DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES

En general, una igualdad de razones equivalentes tiene la siguiente forma 1.º

3.º

5.º

2.º

4.º

6.º

a1 a 2 a 3 a = = = ... = n =K b1 b2 b 3 bn donde • a1; a2; a3; ... son antecedentes • b1; b2; b3; ... son consecuentes • K es la constante de proporcionalidad Observación a2

2.º antecedente er

3. término

Propiedades suma de antecedentes =K suma de consecuentes o también a1 + a2 + a3 +...+ an =K b1 + b2 + b3 +...+ bn

Razones geométricas equivalentes continuas Tienen la siguiente forma a b c d = = = =K b c d e En forma práctica se pueden expresar del siguiente modo eK4 = eK3 = eK2 = eK = K e eK3 eK2 eK

producto de n antecedentes = Kn producto de n consecuentes o también a1 × a2 × a3 ×...× an =Kn b1 × b2 × b3 ×...× bn

Ejemplo • a = 3a = 9a = 1 3a 9a 27a 3

K: constante de la serie n: número de razones

• 8n = 12n = 18n = 2 12n 18n 27n 3



Problemas resueltos 1. En una proporción discreta, donde cada término es 2/3 del que le precede, se observa que la suma de los términos extremos excede a la suma de términos medios en 50. Calcule el segundo término de la proporción. Resolución Sea la proporción discreta a c = b d Se cumple que 2 2 2 = d = c; c b; b = a 3 3 3 Multiplicamos las igualdades en ese orden. 2 2 2 d × c× b= c× b× a 3 3 3 →

d 8 = a 27

2.

Si a b c d = = = = k b c d e

además a+ c b+ c 9 + = c+e d+e 2 halle a+ b+ c+ d b+ c+ d + e Resolución La igualdad de 4 razones continuas se puede expresar de la siguiente forma: ek4 ek3 ek2 ek = = k = = ek 2 ek3 ek2 Además ek4 + ek2

→ d = 8n  ∧  a = 27n Reemplazamos 2 8 n = c → c = 12 n 3 También 2 b = (27 n) → b = 18 n 3 Luego, la proporción es 27 n 12 n = 18 n 8 n

ek + e →

ek2 ( k2 + 1) e ( k2 + 1)

→ k2 + k2 =

→ k=

ek3 + ek2 9 = ek + e 2 +

ek2 ( k + 1) 9 = e ( k + 1) 2

9 2

3 2

Por propiedad, la suma de antecedentes entre la suma de consecuentes nos da la constante. a+ b+ c+ d =k b+ c+ d + e

Por dato (27n + 8n) – (18n + 12) = 50  →  n = 10 Nos piden b = 18(5) = 90

+

2

→

a+ b+ c+ d 3 = b+ c+ d + e 2

Aritmética

tienda son todas diferentes entre sí y en total son 15 empleados; además, la mayor diferencia del número de clientes que ingresaron a dos tiendas respectivas es 16. Si cada cliente ingresó solo a una tienda, ¿cuántos clientes ingresaron en total hoy a las cinco tiendas?

Ejercicios de reforzamiento 1.

En una proporción aritmética continua, el primer y tercer término están en la relación de 5 a 4, respectivamente. Si los extremos suman 320, calcule la tercera diferencial. A) 120

2.

B) 35

C) 45

B) 9

C) 8

6.

D) 75

7.

Una primera mezcla consta tan solo de los elementos A y B en cantidades que están en la relación de 3 a 5; la segunda contiene tan solo B y C en la razón de 1/2; y la tercera contiene solo A y C en la relación de 2 a 3. ¿En qué relación deben de tomarse estas mezclas para formar un compuesto que contenga los ingredientes A; B y C en la relación de 3, 5 y 2, respectivamente?

Hoy, en cinco tiendas comerciales, se observó que la cantidad de clientes que ingresaron a cada una de las tiendas con la cantidad de empleados que hay en cada tienda respectiva forman cinco razones geométricas equivalentes. Las cantidades de empleados en cada

D) 64

B) 64

C) 32

D) 56

B) 30

C) 24

D) 36

Se tienen 4 recipientes con 28 L; 12 L; 46 L y 22 L de agua. Si se vierte m litros de agua a cada recipiente, con los nuevos volúmenes se formaría una proporción geométrica. Calcule el valor de m. A) 12

9.

C) 72

Las edades de A, B, C y D forman una proporción aritmética. Si A es mayor que C en 12 años y la suma de las edades de B y D es 48, calcule la edad de B. A) 48

8.

B) 48

Las edades, en años, de 6 amigos forman 3 razones geométricas equivalentes y continuas, tal que la suma de los antecedentes es 112 y la suma de los consecuentes es 56. ¿Cuántos años tenía el mayor cuando nació el menor de los amigos? A) 48

D) 10

A) 14; 13 y 10 B) 18; 10 y 5 C) 20; 5 y 6 D) 20; 6 y 3

5.

A) 60

D) 60

Las edades enteras, en años, de un padre y sus 3 únicos hijos forman una proporción geométrica continua. Si los gemelos nacieron cuando el padre tenía 24 años y el hijo menor tiene 12 años menos que uno de sus hermanos mayores, calcule la suma de cifras de la edad del padre. A) 12

4.

C) 80

En una proporción geométrica continua de razón entera, la suma de los términos es 405. Calcule la suma de la media proporcional y la tercera proporcional. A) 25

3.

B) 100

B) 16

C) 24

D) 8

Un alumno en un laboratorio de química determina que un termómetro defectuoso indica 2° para el hielo al fundirse y 105° para el vapor de agua hirviendo. ¿Cuál es la temperatura real en °C cuando marca 17°? A) 14 °C B) 15 °C C) menos de 14 °C D) entre 13 °C y 15 °C



10. Las edades de cuatro hermanos forman una proporción aritmética continua, pues dos de ellos son mellizos y todos tienen más de dos años de edad. El mayor de los hermanos observa que si los mellizos hubiesen nacido dos años después, la proporción sería geométrica. Calcule la edad de este hermano mayor y dé como respuesta la suma de cifras. A) 12

B) 14

C) 16

D) 10

11. Un inescrupuloso vinicultor ha sacado 9 L de un barril lleno de vino, después lo ha llenado con agua y de este resultante nuevamente saca 9 L y llena el barril nuevamente con agua. Si la cantidad de vino que queda en el barril es a la cantidad de agua que se ha añadido como 16 es a 9, ¿de qué capacidad es el barril? A) 16 L C) 30 L

A a

P=

ABC 3

A3 + B 3 + C 3

A) 7

15. Si

3

×

a 3 + b3 + c 3

B) 10

abc C) 11

. D) 13

a+3 a a+ b−8 = = , calcule a + b. b b−2 a−2

A) 28

B) 30

C) 24

D) 32

16. En un taller de confección de camisas se tiene que Jorge hace 36 camisas si Ronald hace 40, mientras que Juan hace 35 cuando Jorge hace 40 camisas. Si Ronald hace 80 camisas, ¿cuántas hará Juan? A) 72

B) 25 L D) 45 L

B C = =2y b c

14. Halle la suma de cifras de P8 si =

B) 63

C) 48

D) 60

17. En la siguiente igualdad de razones se sabe 12. Una señorita que se levanta a las 6:20 a. m. observa que el tiempo que emplea en “arreglarse” es al tiempo que demora para llegar a la academia como 2 es a 3, llegando a las 8:00 a. m. ¿En qué relación deberá encontrarse el tiempo que emplea en arreglarse al tiempo de viaje para poder llegar a la academia temprano si el tiempo que demora en llegar a la academia no varía? Considere que la hora de entrada es a las 7:50 a. m. A) 2 a 5 C) 1 a 2

B) 1 a 3 D) 1 a 5

que a1 a2 a3 a4 a = = = = ... = 30 M 2 6 12 20 Además a1+a2+a3+...+a10=264 Calcule el valor de a1+a2+a3+...+a20+M A) 2778

B) 2886

C) 2446

D) 2996

18. Se tiene 3 razones geométricas equivalentes

continua, la suma de las razones es 8/3. Si la suma de los extremos es 485, calcule la suma de los antecedentes.

cuyos términos son positivos, tal que la suma de los términos de cada razón es 10; 20 y 30, respectivamente. Si el producto de los consecuentes es 48, calcule el menor valor de los antecedentes.

A) 650

A) 2

13. En una igualdad de 4 razones geométricas

B) 390

C) 420

D) 780

B) 8

C) 4

D) 6