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• Paola Laya

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Promedio móvil Con los siguientes datos acerca de la ventas en miles de dólares de la Empresa D & M durante los últimos 3 años tomados en períodos de trimestres: Trimestre Ventas 1

12

2

16

3

20

4

34

5

23

6

19

7

20

8

35

9

11

10

19

11

24

12

36

1) Suavizar los datos empleando el método de los promedios móviles de orden 3 (longitud de 3 períodos). 2) Pronosticar las ventas para el trimestre número 13. 3) Suponga que para el Gerente de Ventas la última venta realizada es el doble de importante que la penúltima, y la antepenúltima venta tiene la mitad de importancia que la penúltima. Realizar el pronóstico de ventas para el trimestre número 13 empleando el método de los promedios móviles ponderados de orden 3. 4) Elaborar un gráfico en el que consten las ventas y los promedios móviles (ventas suavizadas). Solución: 1) El cálculo de los promedios móviles de orden 3 se presentan en la siguiente tabla: Trimestre Ventas

Pronóstico (Promedios móviles)

1

12

2

16

(12+16+20)/3 = 16,00

3

20

(16+20+34)/3 = 23,33

4

34

(20+34+23)/3 = 25,67

5

23

(34+23+19)/3 = 25,33

6

19

(23+19+20)/3 = 20,67

7

20

(19+20+35)/3 = 24,67

8

35

(20+35+11)/3 = 22,00

9

11

(35+11+19)/3 = 21,67

10

19

(11+19+24)/3 = 18,00

11

24

(19+24+36)/3 = 26,33

12

36

Empleando Excel se muestra en la siguiente figura:

2) El último valor del promedio móvil, que en este ejemplo es 26,33, representa el pronóstico de las ventas para el trimestre número 13, y teóricamente para todo trimestre futuro. 3) Para resolver lo planteado se toma en cuenta las 3 últimas ventas con sus respectivos pesos o ponderaciones. Estos datos se presentan en la siguiente tabla: Trimestre Ventas

Pesos (w)

10

0,5

19

11

24

1

12

36

2

Reemplazando valores en la fórmula de la media aritmética ponderada se obtiene: El valor 30,14 es el pronóstico de ventas para el trimestre número 13. Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:

4) El gráfico en el que constan las ventas y los promedios móviles se muestra en la siguiente figura elaborado empleando Excel:

Suavización exponencial Con los siguientes datos acerca de la ventas en miles de dólares de la Empresa D & M durante los últimos 12 meses: Meses Sep. Oct. Nov. Dic. Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Ventas 6

7

6

12 7

10

6

4

9

7

8

6

1) Suavizar los datos empleando el método de suavización exponencial con a = 0,5. Pronosticar las ventas para el mes de septiembre. Calcular el cuadrado medio del error. Elaborar un gráfico en el que consten las ventas y los pronósticos.

2) Suavizar los datos empleando el método de los promedios móviles de orden 3. Pronosticar las ventas para mes de septiembre. Calcular el cuadrado medio del error. Elaborar un gráfico en el que consten las ventas y los promedios móviles. 3) ¿Qué método es el más preciso? Solución: 1) Realizando los cálculos se suavizamiento se obtienen los resultados respectivos de pronóstico, los cuales se presentan en la siguiente tabla:

Observando la tabla anterior se tiene que el pronóstico de ventas para el mes de septiembre es de 6,798, o para cualquier período futuro, ya que los datos no presentan una tendencia sino que se supone que varían o fluctúan a largo plazo alrededor de este valor promedio. Calculando el cuadrado medio del error se obtienen los siguientes resultados, los cuales se presentan en la siguiente tabla:

Aplicando la fórmula se obtiene el cuadrado medio del error:

Los cálculos realizados en Excel se muestran en la siguiente figura:

La gráfica de las ventas y los pronósticos con el método de suavización exponencial elaborada en Excel se muestra en la siguiente figura:

2) Suavizando los datos empleando el método de los promedios móviles de orden 3 elaborado en Excel se muestra en la siguiente figura:

Observando el gráfico anterior se tiene que el último pronóstico calculado es de 7, por lo que el pronóstico para septiembre es de 7. Observando el gráfico anterior se tiene que el cuadrado medio del error es de 4,522. La gráfica de las ventas y los pronósticos con el método de los promedios móviles elaborada en Graph se muestra en la siguiente figura:

3) Como CME en el método de suavización exponencial es de 7,09 y con el método de los promedios móviles es de 4,52, se concluye que el método de los promedios móviles es el más preciso para este ejemplo ilustrativo. Desestacionalización a serie de tiempo Los datos trimestrales de ventas (número de ejemplares que se venden) de un libro de texto universitario en los últimos 3 años son los siguientes:

Calcule los índices estacionales para los 4 trimestres Determine la ecuación de la expresión de la componente lineal de tendencia. Calcule las ventas pronosticadas de libros de texto para el tercer trimestre del año 2009 Solución: Calculando promedios trimestrales de cada año Estos promedios son un trimestre “típico'' para cada año. Fíjese que año con año, las ventas en los segundos trimestre de cada año están en su punto mas bajo, seguidas de niveles mas altos de ventas en los terceros trimestres de cada año esto es ocasionado por el efecto estacional, además podemos notar que los trimestres típicos van subiendo de valor. Esto es debido al efecto de la tendencia que tiene la serie.

v

uno

Repita

el

esquema

vacío

abajo

en

la

hoja

Si Divide el Trimestre con su promedio, logra un índice para cada de los trimestres.

Estos números indican el porcentaje de cada uno de los trimestres en función del trimestre típico de cada uno de los años. Estos números contienen la estacionalidad

Realice

un

promedio

de

índices

por

trimestre

Obteniendo los índices estacionales, que representan el efecto estacional de la serie de tiempo para cada uno de los trimestres Lo que se desea lograr al calcular índices estacionales es retirar los efectos estacionales de la serie de tiempo. Por ello a esto se le denomina desestacionalizar la serie de tiempo. Para desestacionalizar la serie de tiempo, se dividen las ventas de cada

uno

de

los

trimestres

entre

su

índice

estacional

respectivo.

De esta manera retiramos de las ventas el componente estacional, habiendo quedado sólo con el componente de tendencia, así acomodamos los datos como se muestra: El siguiente paso es determinar la expresión matemática de la expresión lineal de tendencia, para ello se emplea el procedimiento gráfico para encontrar con los datos desestacionalizados una ecuación de la forma: Y’=a+ bx .

Graficamos

como

un

gráfico

XY:

Luego hacemos clic derecho en cualquier punto del gráfico, Aparecerá un menú contextual donde, seleccionaremos: Agregar línea de tendencia y seleccionando las casillas para que aparezca la ecuación y el valor de R cuadrado.

Sustituyendo los valores calculados de a y de b en la expresión: Y´ = a + b

x

Tendremos la expresión lineal de tendencia para la venta del libro de texto de este problema. Y´

=

22,961x

+1868,7

La pendiente de 22,961 indica que, en los últimos 12 trimestres la empresa ha tenido un crecimiento promedio desestacionalizado en las ventas del libro de texto de aproximadamente 22.961 libros por trimestre. Si se considera que la tendencia de los datos de ventas en los últimos 12 trimestres es un indicador razonablemente bueno del futuro, entonces, puede utilizarse la ecuación anterior para proyectar la componente de tendencia de la serie de tiempo para trimestres futuros. Entonces para calcular los pronósticos de las ventas del libro de texto para los trimestres futuros, considerando tanto el efecto de tendencia como el efecto estacional la ecuación que debemos de tomar en

consideración Y

´´

=

es:

(

1868,7

+

22,961x

)

(

Índice

estacional

)

Para calcular el pronóstico de ventas para el tercer trimestre del año 2009 debemos de sustituir en la ecuación anterior: Período x = 15 y el índice estacional para el tercer trimestre es = 1.40 De tal manera que para el tercer trimestre del año 2009 o período 15, tendremos como pronóstico lo siguiente:

Y

´´

=

[

1868,7

+

(22,961)

(

15

)

]

(

1.40

= 3098 libros de texto.

Número indice Laspeyres Mercancía

Unidad de Precio cotización 1995

Precio 2000

Consumo 1995

Consumo 2000

Leche

Litro

0.99

1.29

15.0

18.0

Pan

Pieza de una 1.10 libra

1.20

3.8

3.7

huevos

Docena

1.20

1.0

1.2

0.80

)

Calcular el indice agregado de precios de Laspeyres para el año 2000 de las tres mercancías tabla 1, usando como base el año 1995. Mercancía Leche

19.35 ($)

14.85($)

Pan

4.56

4.18

Huevos

1.20

0.80

total

25.11($)

19.83

I=

x 100= 126.7

Número indice Paasche Calcule el índice agregado de precios paasche par el año 2000 de las tres mercancías de la tabla 1, usando como base el año 1995. Mercancía Leche

23.22 ($)

17.82($)

Pan

4.44

4.07

Huevos

1.44

0.96

total

29.10($)

22.85($)

I=

x 100= 127.4

Número indice Fisher Tomando como base los resultados anteriores Índice de Laypeyres = 1.267 Índice de Paasche = 1.274

Índice ideal de Fisher=

= 1.270

Numero Indice Edgerworth Calcular el índice de precios de las tres mercancías de la tabla 1, aplicando el método de promedio ponderado de relativos de precios y usando 1995 como año base Mercancía

Relativos precios

de Ponderación valor

del Relativo ponderado

Leche

130.30

14.85($)

1934.96

Pan

109.09

4.18

456.00

Huevos

150.00

0.80

120.00

19.83($)

2510.96

total

I=

=126.6 Prueba de hipótesis Wilcoxon Para muestras pequeñas

Planteamiento de la hipótesis. 



Hipótesis alterna (Ha). Existe diferencia significativa entre el grado de hiperactividad en obesos cuando están en un programa de dieta y sin el programa de dieta. Hipótesis nula (Ho). No existe diferencia significativa entre el grado de hiperactividad en obesos cuando están en un programa de dieta y sin el programa de dieta, esto es debido al azar.

Nivel de significación. Para todo valor de probabilidad igual o menor que 0.05, se acepta Ha y se rechaza Ho. Zona de rechazo.

Para todo valor de probabilidad mayor que 0.05, se acepta Ho y se rechaza Ha. Aplicación de la prueba estadística. Con base a los pasos, se obtienen las diferencias observadas en los incrementos de hiperactividad en obesos, estando en un programa de dieta o no. Estos valores podrán tener signos positivos y negativos, los cuales quedarían abolidos al ordenarse los rangos y éstos los adoptan.

Sumatoria de T = 15.5 El valor T de la prueba de Wilcoxon obtenido se compara con los valores críticos de la tabla T en pruebas de rangos señalados de pares iguales de Wilcoxon, y se puede apreciar que para ser significativo (es decir, por debajo de 0.05, que fue el nivel de significancia), requiere que este 0.05 sea menor; por lo tanto, la probabilidad es mayor que 0.05. tc tt Para dos N= tc  tt  rechaza Ho

= = colas

=



=

15.5 8 0.05 10

Decisión. En virtud de que la probabilidad es mayor que 0.05, se acepta Ho y se rechaza Ha. Ejemplo para muestras grandes: Un investigador desea comparar el nivel de C.I. en jóvenes universitarios del 1er semestre con el C.I. del los mismos universitarios cuando estén en 6to semestre.

Elección de la prueba estadística. El modelo experimental tiene dos muestras dependientes. Las mediciones no tienen una escala de intervalo, por lo que su ordenamiento se hace en escala ordinal. Véase: Flujograma 3

Planteamiento de la hipótesis. 



Hipótesis alterna (Ha). El nivel de C.I. de los jóvenes universitarios estando en 1er semestre es menor al que adquieren al estar en 6to semestre. Hipótesis nula (Ho). No habrá diferencia en el nivel de C.I. de los jóvenes universitarios estando en 1er semestre y cuando estén en 6to semestre.

Nivel de significación. Para todo valor de probabilidad igual o menor que 0.05, se acepta Ha y se rechaza Ho. Zona de rechazo. Para todo valor de probabilidad mayor que 0.05, se acepta Ho y se rechaza Ha. Aplicación de la prueba estadística. Efectuar las diferencias entre los datos sobre le C.I. antes y después, elaborar los rangos de las diferencias y hacer la sumatoria de los rangos de signo de menor frecuencia.

Sumatoria de T = 201.5 La sumatoria del valor T de Wilcoxon es igual a 201.5 y, como se especificó en los pasos, éste se debe transformar en valor de Z, para conocer la probabilidad de que aquella sea o no significativa. Para ello debemos calcular primero el promedio y la desviación estándar de la T de Wilcoxon.

Una vez calculados el promedio y la desviación estándar del valor T de Wilcoxon, calculamos el valor Z.

El valor ZT calculado se localiza entre los valores Z de la distribución normal de la tabla de probabilidades asociadas en valores extremos como los de 2 en la distribución normal. En la intersección de la hilera donde se

encuentra el 0.6 y la columna 0.03, se puede observar la cifra 0.2643, la cual indica la probabilidad de que la magnitud de Z T difiera de T. Decisión. La probabilidad de 0.2643 es mayor que 0.05, por lo cual se acepta Ho y se rechaza Ha. 0.2643 > 0.05 se rechaza Ha Interpretación. No existe diferencia estadísticamente significativa entre el C.I. en jóvenes estando en 1er semestre y cuando están en 6to semestre. Prueba de hipótesis Mannwhitney El experimentador del ejemplo previo, entusiasmado por las observaciones preliminares, decide aumentar el tamaño de las muestras. En este estudio tiene 10 niños con el método tradicional y 25 mediante el procedimiento ideado por él. Los datos del nuevo estudio se muestran en la tabla más adelante. Elección de la prueba estadística. El diseño experimental tiene dos muestras independientes. Las mediciones en esta condición quizá no impidan utilizar una prueba paramétrica, sin embargo, para fines de aprendizaje, se decide utilizar una escala ordinal y continuar con la prueba de U de Mann-Whitney.

Planteamiento de la hipótesis. 



Hipótesis alterna (Ha). Las calificaciones aportadas por el método reciente, ideado por el experimentador, son diferentes y con valores más altos. Hipótesis nula (Ho). Las diferencias entre las calificaciones dadas por ambos métodos se deben al azar.

Nivel de significación. Para todo valor de probabilidad igual o menor que 0.05, se acepta Ha y se rechaza Ho. Zona de rechazo. Para todo valor de probabilidad mayor que 0.05, se acepta Ho y se rechaza Ha.

Población de niños de 6 años a los cuales se les aplicó dos métodos de enseñanza.

Aplicación de la prueba Primero ordenamos los rangos de todas las observaciones.

estadística.

Dirección

de

de

Calculamos la U.

las

ligas

o

empates

y

el

tamaño

estas.

Tomando en cuanta los pasos, nos menciona que cuando la muestra es mayor que 25, se distribuye normalmente, por lo cual se determina el valor Z para conocer la probabilidad. Esto se calcula como sigue: Donde: Z = valor estadístico de la curva normal. U = cualquier valor de U calculado (ya sea U 1 o U2). = valor promedio de U. U = desviación estándar de U. Calculamos el valor promedio de U ( ):

La desviación estándar de U de determina de la forma siguiente: Donde: U = desviación estándar de U. n1 y n2 = tamaño de la muestra de los grupos 1 y 2. N = tamaño total de la muestra (la suma de n1 y n2). Li = sumatoria de las ligas o empates. El cálculo de Li se realiza de la siguiente manera:

Una vez obtenida la sumatoria de Li, se detemrina la desviación estándar de U (U) mediante la expresión siguiente:

Una vez calculados los parámetros necesarios, se obtiene el valor Z conforme la siguiente fórmula:

Para obtener la probabilidad del valor Z de 1.95, se debe consultar la tabla de tamaño de la muestra en función de los valores d y buscar la hilera 1.9, en cuya columna 0.05 se localiza el número 0.0256, que corresponde a la probabilidad del valor de U con respecto al promedio. Esto quiere decir que es menor que el nivel de significancia. Decisión. A la cifra de Z de 1.95 le corresponde una probabilidad menor que 0.05, por lo cual se acepta Ha y se rechaza Ho (tabla de probabilidades asociadas en valores extremos como los de 2 en la distribución normal). Interpretación. El experimentador, al aumentar su muestra, confirma la investigación preliminar con una muestra pequeña, con lo cual da a entender que los resultados logrados con el método ideado por él son diferentes de los obtenidos con el método de enseñanza de lectura tradicional; además, este último revela calificaciones más bajas y es menos efectivo que el otro. La efectividad del método ideado por el experimentador se traduce en mayor fluidez de la lectura, mejor comprensión y análisis y síntesis superior, en razón de que las calificaciones finales son consecuencia de estas condiciones. Prueba de hipótesis Kruskalawallis Con los datos de la encuesta Enctrans.sav probar si los alumnos que utilizan habitualmente los transportes públicos (metro, bus, tren) valoran

de

forma

significativamente

distinta

las

características

independencia (Inde) y rapidez (Rapi). Se trata de contrastar la hipótesis nula de que la valoración asignada a la independencia y a la rapidez difieren significativamente en función del tipo de transporte público utilizado. Dado que las valoraciones de ambas

características se miden en una escala ordinal y las muestras son independientes, el contraste más adecuado es la prueba H de KruskalWallis. Para realizar este contraste la secuencia es: Estadística > Pruebas no paramétricas > k muestras independientes. En el cuadro de diálogo se selecciona en Contrastar variables Independencia y Rapidez; en Variable de agrupación se indica el factor, es decir, la variable que induce los diferentes grupos, que en este caso es la variable Trans. Como únicamente interesa comparar la opinión de los usuarios del transporte público en el cuadro de diálogo que se abre con el botón Definir rango se indica como rango Mínimo 1 y como rango Máximo 3, ya que 1, 2 y 3 son las codificaciones asignadas a las modalidades metro, bus y tren respectivamente. Al aceptar se obtienen los siguientes resultados:

Por lo que se refiere a la variable Rapidez, el estadístico de prueba es 6,449 y por tanto se rechaza la hipótesis nula según la cual los tres

grupos valoran igualmente esta característica. En el caso de la variable Independencia el valor del estadístico Chi-cuadrado es 0,891 y no se rechaza la hipótesis nula Prueba de hipótesis de Friedman Con los datos de la encuesta Encinf.sav probar si hay discrepancia entre la valoración que hacen los alumnos al mantenimiento (Manten), acceso a las aulas de informática (Aulas) y la valoración que hacen a los monitores que supervisan las aulas (Monitor). Como se trata de contrastar la hipótesis nula de que las valoraciones asignadas por los alumnos a las características mantenimiento, acceso y monitores de las aulas no difiere significativamente a partir de las puntuaciones asignadas por los mismos individuos, las muestras resultantes no son independientes. Por otra parte, las variables se miden en una escala ordinal, y por tanto el contraste más adecuado es la prueba de Friedman. Para realizar este contraste la secuencia es: Analizar > Pruebas no paramétricas > k muestras relacionadas. En el cuadro de diálogo se seleccionan las variables Manten, Aulas y Monitor y se mantiene el tipo de prueba activado por defecto, Friedman. Los resultados que se obtienen son los siguientes:

El estadístico de prueba es igual a 8,040, por lo que no se puede rechazar la hipótesis nula para niveles de significación superiores a 0,018. Al 5% de nivel de significación se acepta la hipótesis de que no existen diferencias significativas entre las valoraciones asignadas por los alumnos a estas características.