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Procesos Estocásticos

UCR – ECCI CI-1453 Investigación de Operaciones III Prof. Bach. Kryscia Daviana Ramírez Benavides

Procesos Estocásticos „

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Un proceso estocástico {Xt, t ∈ T} es una colección de variables aleatorias. Esto es, para cada t ∈ T, Xt es una variable aleatoria. El conjunto T es llamado índice del proceso. „

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El índice t es a menudo interpretado como tiempo, pero puede referirse a cualquier otra cosa; por ejemplo, al número de un juego.

Denotamos por Xt a una variable que representa el estado del proceso en el tiempo t. Denotamos por E, que es el espacio de estados, conjunto de todos los posibles valores que la variable Xt puede tomar.

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Procesos Estocásticos (cont.) „

Ejemplos de Xt puede ser: „ „ „ „ „

Número de clientes en un supermercado. Estado del tiempo. Precio de una acción. Inventarios Etc.

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Procesos Estocásticos (cont.) „

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En resumen, un proceso estocástico es una familia de variables aleatorias que describe la evolución de un proceso (físico) a través del tiempo. Para describirlo, bastaría con conocer la distribución conjunta de dichas variables aleatorias. La realización de un proceso es un conjunto particular de valores que toma el proceso.

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Clasificación de los Procesos Estocásticos „

Si T es contable se tiene un proceso estocástico discreto en el tiempo, y por lo general se usará la siguiente notación, reemplazando el subíndice t por n: {Xn, n = 0, 1, 2, ...}. „

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El estado del sistema se puede ver en instantes discretos del tiempo. Es simplemente una descripción de la relación entre las variables aleatorias X0, X1, X2, …

Si T es un intervalo, se trata de un proceso estocástico continuo en el tiempo. y por lo general se usará la siguiente notación : {Xt, t ≥ 0}. „ „

El estado del sistema se puede ver en cualquier instante, no sólo en instantes discretos del tiempo. Líneas de espera (teoría de colas).

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Matriz Estocástica „ „

Una matriz estocástica es en la que todos sus elementos tienen un valor comprendido entre 0 y 1. Además, la suma de los elementos de cada fila de una matriz estocástica es igual a 1.

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Ejemplos de Procesos Estocásticos „

Cadenas de Markov: Son procesos estocásticos donde se tiene que la probabilidad condicional de cualquier evento futuro dados el evento presente o actual y los eventos pasados, depende únicamente del presente y es independiente del pasado. „

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Cadenas de Markov de tiempo discreto: Procesos estocásticos de tiempo discreto, donde las probabilidades son estacionarias (no cambian con el tiempo y se denotan por pij). Cadenas de Markov de tiempo continuo: Procesos estocásticos de tiempo continuo, aquí se tienen las líneas de espera.

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Ejemplos de Procesos Estocásticos (cont.) „

Ejemplo de Cadenas de Markov de tiempo discreto: „ „

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La ruina del jugador. Elección de colas en una urna.

Ejemplo de Cadenas de Markov de tiempo continuo: „ „

El número de personas en un supermercado t minutos después que abran El precio de una parte de la acción se puede observar en cualquier instante (no sólo al comienzo de cada jornada financiera).

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Ejemplos de Procesos Estocásticos (cont.) „

Procesos de Nacimiento y Muerte: Son procesos estocásticos de tiempo continuo para los cuales el estado del sistema, en cualquier momento, es un entero no negativo. „

Un nacimiento es simplemente una llegada al sistema. „

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Los arribos (llegadas) son exponenciales con tasa λt.

Una muerte es simplemente una salida del sistema. „

Los servicios (salidas) son exponenciales con tasa µt.

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Ejemplos de Procesos Estocásticos (cont.)

…

Representa un “nacimiento” (arribo al sistema). Representa una “muerte” (servicio terminado).

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Ejemplos de Procesos Estocásticos (cont.) „

Ejemplo de procesos de nacimiento-muerte: „

Estos comprenden muchos sistemas interesantes de sistemas de líneas de espera: „ „ „ „ „

Modelos con cantidad infinita de clientes. Modelos con cantidad finita de clientes. Modelos con cantidad finita de servidores. Modelos con cantidad infinita de servidores. Modelos de reparación de máquinas.

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Referencias Bibliográficas „

Winston, Wayne L. “Investigación de Operaciones”. Grupo Editorial Iberoamérica. México, 1994.

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