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PROGRAMACION LINEAL

DESARROLLO     

Razón Social: LADRILLERA S A S Domicilio Social: Vereda EL OLIVO KM 33 Forma jurídica: SOCIEDAD POR ACCIONES SIMPLIFICADA Actividad: Fabricación de productos de arcilla y cerámica no refractarias, para uso estructural Gerente Helmuth Klinge Scioville

La ladrillera S.A, fabrica variedad de productos para la construcción dentro de línea que maneja está la de los ladrillos y para esta última época del año desea incluir en el mercado dos nuevos productos el ladrillo refractario y el ladrillo Macizo. Variables de decisión X1: Ladrillo refractario X2: Ladrillo Macizo X1 X2

ventas

Horas-operario

Ganancia por prensado de ladrillos

45 25

20 10 700

250 180 250 X1+180 X2

Función objetivo Max(z)= 250 X1+180 X2 Restricciones 20 X1 + 10 X2 ≤ 700 X1 ≤ 45 X2 ≤ 25 X1, X2 ≥ 0 MÉTODO SIMPLEX: Para poder aplicar el Método Simplex, se llevara el modelo a su formato estándar, para lo cual se define X3, X4, X5 >= 0 como las respectivas variables para la restricción 1, 2 y 3. De esta forma queda definida la tabla inicial del método de la siguiente forma:

20 x1 +10 x 2+ x 3 =700 x 1+ x 4 =45 x 2+ x 5=25 250 x1 +180 x 2=0 Tabla 1

Z

X1

X2

X3

X4

X5

LADO DERECHO

X3

0

20

10

1

0

0

700

X4

0

1

0

0

1

0

45

X5

0

0

1

0

0

1

25

-250

-180

0

0

0

0

Z

En esta situación, las variables de holgura definen una solución básica factible inicial, condición necesaria para la aplicación del método. Luego, se verifican los costos reducidos de las variables no básicas (X1 y X2 en la tabla inicial) y se escoge como variable que entra a la base aquella con el costo reducido "más negativo" (-250). En este caso, X1. Siendo la columna pivote X1 luego se procede a dividir el lado derecho en la columna pivote, buscado el menor valor que nos en la división. En la posición que se alcanza el mínimo cociente se llamara “región pivote” el cual nos servirá para realizar las respectivas operaciones filas, logrando la siguiente tabla al cabo de una iteración: Z

X1

X2

X3

X4

X5

LADO DERECHO

X1

250

1

0.5

0.05

0

0

35

X4

0

0

-0.5

-0.05

1

0

10

X5

0

0

1

0

0

1

25

0

-55

12.5

0

0

8750

Tabla 2

Z

El valor de la función objetivo luego de una iteración ha pasado de 0 a 8750. La actual tabla no corresponde a la solución óptima del problema debido a que existe una variable no básica con costo reducido negativo, en X2 con un valor de (-55)

posteriormente, mediante el criterio del mínimo cuociente calculamos la variable que debe dejar la base. Obtenido lo anterior se aplica una iteración más. Z

X1

X2

X3

X4

X5

LADO DERECHO

X1

250

1

0

0.05

0

-0.5

22.5

X4

0

0

0

-0.05

1

0.5

22.5

X2

180

0

1

0

0

1

25

0

0

12.5

0

55

10125

Tabla 2

Z

Finalmente se alcanza la solución óptima del problema y se verifica que los costos reducidos asociados a las variables no básicas (X4 y X5 son mayores o iguales que cero). Se observa que la existencia de un costo reducido igual a cero para una variable no básica en esta etapa define un problema con infinitas soluciones. La solución óptima alcanzada es 22.5 estibas a ladrillo refractario y 25 estibas de ladrillo macizo Z= 10125.

PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL

1).− Un agente esta arreglando un viaje en esquís, puede llevar un máximo de 10 personas y ha decidido que deberán ir por lo menos 4 hombres y 3 mujeres. Su ganancia será de 1000 pesos por cada mujer y 1500 pesos por cada hombre. ¿Cuantos hombres y cuantas mujeres le producen la mayor ganancia? 2).− Un sastre tiene las siguientes materias primas a su disposición: 16 m2 de algodón, 11 m2 de seda y 15m2 de lana. Un traje requiere: 2 m2 de algodón, 1m2 de seda y 1 m2 de lana. Una túnica requiere: 1m2 de algodón, 2m2 de seda y 3m2 de lana. Si el traje se vende en $300.000 y una túnica en $500.000 ¿Cuántas piezas de cada confección debe hacer el sastre para obtener la máxima cantidad de dinero?. 3).− Mueblería MARY elabora dos productos, mesas y sillas que se deben procesar a través de los departamentos de ensamble y acabado. Ensamble tiene 60 hrs. disponibles, acabado puede manejar hasta 40 hrs. de trabajo. La fabricación de una mesa requiere de 4 hrs. de ensamble y 2 hrs. de acabado, mientras que una silla requiere de 2 hrs. de ensamble y 2 hrs. de acabado. Si la utilidad es de $80.000 por mesa y $60.000 por silla. ¿Cuál es la mejor combinación posible de mesas y sillas a producir y vender para obtener la máxima ganancia? 4).− Una firma corredora de bolsa ofrece dos tipos de inversiones que producen ingresos a razón de 4% y 5% respectivamente. Un cliente desea invertir un máximo de $10.000.000 y que su ingreso anual sea por lo menos de $4.500.000. insiste en que por lo menos ¾ del total debe ser invertido al 5%. El corredor recibe el 1% de los ingresos de la inversión al 5% y 2% de la inversión del 4%. ¿Cuánto invertirá el corredor a cada tasa para que sus honorarios sean máximos?. 5).− Una compañía de carga aérea desea maximizar los ingresos que obtiene por la carga que transporta la compañía tiene un solo avión diseñado para transportar dos clases de carga. Carga normal y carga frágil. La compañía no recibe pago extra por transportar carga frágil; sin embargo para asegurar ciertos contratos de negocios, la compañía ha acordado transportar cuando menos 5 toneladas de carga frágil. Este tipo de carga debe llevarse en una cabina presurizada. La capacidad de la cabina principal es de 20 toneladas de carga. La cabina presurizada no puede llevar mas de 10 toneladas de carga. El avión tiene restricción de peso que le impide llevar mas de 20 toneladas de carga, para mantener en equilibrio el peso, la carga de la cabina presurizada debe ser menor o igual que dos tercios del peso de la cabina principal, mas una tonelada, la

compañía recibe $1.000.000 por tonelada de los dos tipos de carga que transporta. SOLUCION PROBLEMA 1: 1).− Un agente está arreglando un viaje en esquís, puede llevar un máximo de 10 personas y ha decidido que deberán ir por lo menos 4 hombres y 3 mujeres. Su ganancia será de 1000 pesos por cada mujer y 1500 pesos por cada hombre. ¿Cuántos hombres y cuantas mujeres le producen la mayor ganancia? FORMULACION DEL MODELO CANONICO: Variables: X 1=Hombres X 2=Mujeres Función Objetivo:

Max Z=1500 X 1 +1000 X 2

Restricciones: X 1 ≥ 4 Debido al mínimo número de hombres que debe llevar al viaje X 2 ≥3

Debido al mínimo número de mujeres que debe llevar al viaje

X 1 + X 2 ≤10

Debido al máximo número de personas que puede llevar al viaje

Condición de no negatividad:

X1 , X2≥ 0

SOLUCION CON PHPSimplex:

METODO GRAFICO:

ANALISIS DEL RESULTADO: El programa nos muestra como solución óptima, lo siguiente:

Para comprobar este resultado reemplazamos los valores en la Función Objetiva: Z =1500 x 1 +1000 x2 Z =1500(7)+1000(3)

Z =10500+ 3000 Z =13500

Este resultado nos dice que la mayor ganancia seria de $13500 pesos y la obtiene llevando al viaje 7 hombres y 3 mujeres.

SOLUCION PROBLEMA 2: 2).− Un sastre tiene las siguientes materias primas a su disposición: 16 m2 de algodón, 11 m2 de seda y 15m2 de lana. Un traje requiere: 2 m2 de algodón, 1m2 de seda y 1 m2 de lana. Una túnica requiere: 1m2 de algodón, 2m2 de seda y 3m2 de lana. Si el traje se vende en $300.000 y una túnica en $500.000 ¿Cuántas piezas de cada confección debe hacer el sastre para obtener la máxima cantidad de dinero? FORMULACION DEL MODELO CANONICO: Variables: X1= traje X2= tunica Función Objetivo: Max Z= 300000x1 + 500000x2 Restricciones: 2 x 1+1 x 2≤ 16

Según la materia prima disponible de algodón

1 x 1+ 2 x 2≤ 11 Debido al mínimo número de mujeres que debe llevar al viaje 1 x 1+ 3 x 2≤ 15 Debido al máximo número de personas que puede llevar al viaje

Condición de no negatividad:

X1 , X2≥ 0

SOLUCION CON PHPSIMPLEX:

Para comprobar este resultado reemplazamos los valores en la Función Objetiva: Z =300000 x 1 +500000 x 2 Z =300000(7)+500000(2)

Z =2100000+1000000 Z =3100000

Este resultado muestra que la mayor ganancia sería de $3100000 pesos y la obtiene confeccionando 7 trajes y dos túnicas

SOLUCION PROBLEMA 3: 3).− Mueblería MARY elabora dos productos, mesas y sillas que se deben procesar a través de los departamentos de ensamble y acabado. Ensamble tiene 60 hrs. disponibles, acabado puede manejar hasta 40 hrs. de trabajo. La fabricación de una mesa requiere de 4 hrs. de ensamble y 2 hrs. de acabado, mientras que una silla requiere de 2 hrs. de ensamble y 2 hrs. de acabado. Si la utilidad es de $80.000 por mesa y $60.000 por silla. ¿Cuál es la mejor combinación posible de mesas y sillas a producir y vender para obtener la máxima ganancia?

FORMULACION DEL MODELO CANONICO: Variables: X 1=¿ Mesas X 2=¿ Sillas Función Objetivo:

Max Z=80000 X 1 +60000 X 2

Restricciones: 4 X 1+ 2 X 2 ≤ 60 Debido al máximo número de horas disponibles en Ensamble 2 X 1+ 2 X 2 ≤ 40

Debido al máximo número de horas disponibles en Acabado

Condición de no negatividad:

X1 , X2≥ 0

SOLUCION CON PHPSimplex

ANALISIS DEL RESULTADO: El programa nos muestra como solución óptima, lo siguiente:

Para comprobar este resultado reemplazamos los valores en la Función Objetiva: Z =80000 x 1 +60000 x 2 Z =80.000(10)+60.000(10)

Z =800.000+600.000 Z =1.400.000

Este resultado nos dice que la mayor ganancia seria de $1.400.000 pesos y la obtiene haciendo y vendiendo 10 mesas y 10 sillas.

SOLUCION PROBLEMA 4: 4).− Una firma corredora de bolsa ofrece dos tipos de inversiones que producen ingresos a razón de 4% y 5% respectivamente. Un cliente desea invertir un máximo de $10.000.000 y que su ingreso anual sea por lo menos de $4.500.000. Insiste en que por lo menos ¾ del total debe ser invertido al 5%. El corredor recibe el 1% de los ingresos de la inversión al 5% y 2% de la inversión del 4%. ¿Cuánto invertirá el corredor a cada tasa para que sus honorarios sean máximos?

X = Inversión al 4% Y = Variable del 5%

Restricciones X + Y ≤ 10000000 4X + 5Y ≥ 4500000 Y ≥ 7500000 Equivalente (¾ de 10000000)

X≥0 X ≥ 0, Y ≥ 0 Max Z= (0.02)(0.04) X + (0.01)(0.05) Y=0.0008X + 0.0005Y

SOLUCION CON PHPSimplex

Podemos concluir que 2500000 al 4% y 7500000 al 5% Es decir que el corredor tendría una ganancia máxima de 5700 SOLUCION PROBLEMA 5:

5).− Una compañía de carga aérea desea maximizar los ingresos que obtiene por la carga que transporta la compañía tiene un solo avión diseñado para transportar dos clases de carga. Carga normal y carga frágil. La compañía no recibe pago extra por transportar carga frágil; sin embargo para asegurar ciertos contratos de negocios, la compañía ha acordado transportar cuando menos 5 toneladas de carga frágil. Este tipo de carga debe llevarse en una cabina presurizada. La capacidad de la cabina principal es de 20 toneladas de carga. La cabina presurizada no puede llevar más de 10 toneladas de carga. El avión tiene restricción de peso que le impide llevar más de 20 toneladas de carga, para mantener en equilibrio el peso, la carga de la cabina presurizada debe ser menor o igual que dos tercios del peso de la cabina principal, más una tonelada, la compañía recibe $1.000.000 por tonelada de los dos tipos de carga que transporta. FORMULACION DEL MODELO CANÓNICO:

Variables: X1 = Carga Normal X2 = Carga Frágil Función Objetivo: Max Z = 20X1 + 10X2 Restricciones: X 1 ≥6

Espacio restante para cumplir con el máximo de Capacidad del avión

X 2 ≤14

Equivalente a 2/3 de 20 (peso cabina principal)

X 1 + X 2 ≤ 20 Máxima capacidad de carga del avión para mantener en equilibrio el peso Condición de no negatividad: X1, X2 ≥ 0 SOLUCION CON PHP SIMPLEX

ANALISIS DEL RESULTADO: El programa nos muestra como solución óptima, lo siguiente:

Para comprobar este resultado reemplazamos los valores en la Función Objetiva: Z = 20X1 + 10X2 Z = 20 (20) + 10 (0) Z = 400 + 0 Z = 400 Se puede maximizar la ganancia por tonelada cargada en $ 400 pesos, transportando únicamente las 20 toneladas de carga normal. Respecto a la carga frágil no es una opción rentable para la compañía ya que no se recibe un valor adicional por el servicio y ocupa las 2/3 partes de la cabina principal.