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Problemas Máquinas

Diseño de

ENGRANAJES RECTOS Y HELICOIDALES

Problema 1. Un sistema de banda transportadora va a ser impulsado por un motor eléctrico que gira a 1200 rpm. La relación de velocidades entre los engranes que conectan el motor al transportador es de 1:3. El piñón tiene paso diametral 6, 18 dientes de 20º de altura completa, de acero de 180 BHN de dureza mínima en la superficie. Ambos engranajes son del mismo material y tienen cara de 2 pulgadas de ancho. Confiabilidad 99'9%. a) ¿Cuál será la potencia máxima que puedan transmitir basada solo en la resistencia a flexión y usando el método de la AGMA?. b) ¿Es seguro al desgaste, usando el método de la AGMA? SOLUCIÓN a) El esfuerzo admisible a flexión es: s adm =

STKL K T KR

ST (Tabla 14-3) valor mínimo 180 BHN. acero

S T = 25000 psi, 170 MPa

7

KL (figura 14-9) vida infinita 10 ciclos KL = 1 KT normalmente T SC = 720 MPa

Problema 5. Se desea proyectar una transmisión a través de dos engranajes helicoidales con una capacidad de potencia de 13 HP, y una vida probable de 5000 horas. La distancia entre ejes será de 230 mm, la velocidad del piñón de 1000 rpm y la relación de transmisión m G =np/nG=4. El diseño se efectuará suponiendo siempre unas características medias en cuanto al montaje y al choque, considerando además que la carga se aplica en un solo sentido los cálculos se realizaran para un coeficiente de seguridad de n=1'5 y una seguridad funcional del 90%, especificándose todas las características de los engranajes. Se recomienda un ancho de cara mayor o igual a dos veces el paso axial. Diseñar solo a desgaste. Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-6

Problemas Máquinas a) Estudio cinemático b) Estudio a resistencia

Diseño de

c

SOLUCIÓN: a) Estudio cinemático Determinaremos el número y características de los dientes mn Por lo tanto dG = mG * Np cos? Sustituyen do 1 1 mn * Np d = ( m n mG Np + mn Np) = (mG + 1) 2 cos? cos? 2 cos? Para mG = 4 y d = 230mm 1 Np Np 230 = mn * (4 + 1) ⇒ mn = 92 2 cos? cos?

c=

1 N ( dG + dp ); mG = G 2 Np

dp = m * Np =

mn Np cos?

Si tomamos mn =6 (normalizado) y

92 * cos20º = 14.4 6 6 * 14 mn =6 → ? = arccos = 24.07º 92

ψ =20º( valor medio) → Si Np = 14 y Definimos: Np = 14

Np =

NG = 14*4 = 56

ψ = 24º

mn = 6

b) Estudio a Resistencia. (PIÑÓN) Comprobaremos el piñón que es el mas desfavorable A desgaste El esfuerzo al que está sometido es: s c = C p

W t Ca Cs Cm Cf Cv F * d I

Siendo Cp = Tabla 14-5 (Acero) Cp = 2300 Coeficiente elástico W t carga transmitida

Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-7

dG = m * NG =

mn NG cos?

Problemas Máquinas

Diseño de

Wt =

33000H 33000 * 13 = = 452.5 lb V 948 H = 13HP

V=

p * dp * np 12

dp =

=

p * 3 ′62 * 1000 = 948ft/min 12

0 ′ 006 mn 14 = 0 ′ 092m = 3 ′62" Np = cos ? cos24

Ca Factor de aplicación C= 1 Cv Factor velocidad. Para Qv ≤5; V =948 ft/min →figura 14-7 Cv =0'62 Cs Factor de tamaño Cs =1 2p mn 2p 6 F Ancho de cara F ≥ 2 p x = 2 Pn = = = 92.67 mm sen? sen ? sen24”

Tomamos F = 100 mm =3'937" dp=3'62" Cm= Factor de distribución de carga Cm= Tabla 14.6 (Menos rígido, F=3'937")→ Cm =1'65 Cf Factor de estado Cf = 1 I Factor geométrico sen φt cos φ t mG I= 2 mN mG + 1 En engranes helicoidal es

cos? =

tg φN tg φt

⇒ φt = arctg(

tg20” ) = 21.74º cos24”

φN = ángulo de presión normal = 20º ψ =24º mN =PN/0'95Z donde el paso de base normal es PN =pN * cos φn=π*mn * cos φn= 3'14*6*cos20º=17'713 mm Z =

2

(rp + a ) − rb p + 2

rp =

rb p =

(r G + a ) − r 2 b − ( r p + r G )sen φ t G 2

dp 3 ′62" 92mm = = = 46 mm 2 2 2 r G = m G r p = 4 * 46 = 184

dp cos φ t = 46cos21.74 º = 42.73 mm 2

r bp = 42,73 mm circunferencia de base

Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-8

Problemas Máquinas

Diseño de

r bG = mG r b p = 4 * 42.73 = 170.936 mm circunfere ncia de base Tabla 136[ φn = 20º ]a = 0 ′3683 * p x = 0 ′3683 p

6 = 17.065 mm sen24”

Sustituyen do Z = (46 + 17.06 ) − 42. 73 2 + (184 + 17.06 ) 2 − 170. 936 2 − (46 + 184)sen21. 74º = 67.04 mm 2

mN

Y así:

I=

PN = 17.713 = 0.278 0.95 * Z 0.95 * 67.04

sen21.74co s21.74 4 * = 0 ′495 2 * 0 ′278 4 +1

Sustituyendo obtenemos el esfuerzo o desgaste

s c = 2300

4 ′525 * 1 1 1′ 65 * 1 = 31272 psi 0 ′62 3 ′937 * 3 ′62 0 ′495

El esfuerzo admisible a desgaste: s cadm =

SC CL CH CT CR

σc = 31272 lb CL Factor de duración. Debe durar: n= 50000*h*1000 rpm*60 m/h=3*108 rev Figura 14.8 (3*108 rev) → CL = (1'4488*3*108)-0'023 = 0'925 CH Factor de dureza CH = 1 CT Factor de temperatura CT =1 CR Factor de confiabilidad para 90% CR = 0'85 Así la resistencia del material debe de ser:

SC =

s Cadm C T CR CL CH

=

31272 * 1 * 0 ′85 = 28738 Psi 0 ′925 * 1

Como nos piden un coeficiente de seguridad de 1'5 SC = 28738 * 1'5 = 43107 Psi Tabla 14.4; SC= 43107 lb Por tanto, mirando en acero templado o revenido de 180 BHN, obtenemos un SC entre 85-95000 Psi.

Problema 6. Final diciembre 95/96, junio 94/95 Un par de engranes helicoidales de un elevador y montaje externo exacto, con un ángulo de presión de 20º y profundidad completa, un ángulo de hélice de 25º, tienen un paso diametral normal 5, están fabricados de acero SAE 1050 estirado en frío endurecido superficialmente, con un ancho de cara de 3 pulgadas, y un índice de nivel de exactitud medio. El piñón gira a 2000 rpm, tiene 20 dientes y la relación de velocidad es de Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-9

Problemas Diseño de Máquinas 1 a 5. Determinar la potencia máxima en caballos que pueda ser transmitida. Duración 600 horas, con un 99.9% de fiabilidad. SOLUCIÓN: a) Estudio cinemático (Tabla 13.5)

Np 20 = = 4.41 pulg Pn cos? 5cos25º

Np = 20 dientes

100 NG = = 22.05 pulg Pn cos? 5cos25

NG = 100 dientes

dp =

dG =

b) Estudio de resistencia. El piñón es el más desfavorable. Comprobaremos a desgaste. A DESGASTE El esfuerzo es s c = Cp

Siendo Cp = tabla 14.5
Cp = 2300 psi

W t = La ponemos en función de la potencia, que es lo que queremos calcular

Wt =

33000H 33000H = (H en HP) V 2309

p dp np p * 4.41 * 2000 ft = = 2309 12 12 min Ca = factor de aplicación Ca = tabla 1.2 = 2 V = 2309 Cv = factor de velocidad fig 14.7 < > Cv = 0.62 Qv = 7 V=

CS tamaño Cs = 1 F ancho de cara F = 3 pulg dp = 4.41 pulg Cm distribución de carga

Montaje exacto fig 14.6 < > Cm = 1.23 F = 3" Cf estado de superficie Cf = 1 I factor geométrico I =

φn = 20º mG = 5

cos φt sen φt 2 mN

ψ = 25º cos? =

mG (engranes externos) mG + 1

tg φn tg φt

→ φt = arctg

Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-10

tg20º = 21.88º cos25º

Problemas Máquinas

Diseño de

mN =

la relación de repartición de carga en los dientes, es

pN 0.95Z

y el paso de base normal, para un módulo de 6

pN = pn cos φn = p * mn * cos φn =p * 6 * cos20 = 17.713 y la longitud de la línea de acción en el plano transversal,

Z = ( r p + a ) 2 - r 2 bp + (r G + a )2 + r b2G - (r p + r G)sen φt Los radios de paso son: r p =

4.41 = 2.205" 2

rG =

22.05 = 11.025" 2

Los radios de base son: r bp = r p cos φt = 2.205 * cos21.88= 2.05"

r bG = mG * r bp = 5 * 2.05 = 10.25" Y el adendo para un modulo estimado de 6:

tabla (13.6) φn = 20º

a = 0.3683 * p x = 0.3683

pm p *6 = 0.3683 = 16.43 sen ? sen25º

Sustituyendo Z = (2.205 + 16.43 )2 - 2. 052 + (11.025 + 16.43 )2 - 10. 252 - (2.205 + 11.025)sen21.88 Z = 18.5219 + 24.3886 - 4.5577 = 38.35

I=

cos21.88 * sen21.88 5 = 0.2963 2 * 0.4862 5+1

mN =

17.713 = 0.4862 0.95 * 38.35

Para SAE 1050 CD →197 BHN (tabla A.20)

700 MPa (Tabla 14 - 4) Para 197 BHN SC ≈ < > 100 KPsi Por tanto, según AGMA

s cadm =

SC CL CH CT CR

CL = (600 horas , 2000 rpm * 60

min ) = 7.2 * 10 7 rev h

(figura14 - 8) CL = 1.4488 N-0.023 = 0.9556 CH = 1 (Dureza) CT = 1 (Temperatura) CR (tabla 14.7) 99.9 % → 1.25 (Confiabilidad)

Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-11

Problemas Máquinas

Diseño de

s cadm =

100 * 10 3 * 0.9556 = 76.45 kpsi 1 * 1.25

s c = s c adm = 76.45 kpsi

Igualando

Podemos despejar Wt

H=

Wt =

33000H s 2c Cv FdI = 2 2309 Cp Ca Cs Cm Cf

2309 76450 2 0.51 * 3 * 4.41 * 0.2963 = 58.83 HP 33000 2300 2 2 * 1 * 1.23 * 1

Problema 7. CUATRIMESTRAL 95/96, SEPTIEMBRE

96/97)

Se ha de realizar la transmisión de 32 HP con un par de engranajes rectos entre dos ejes que están a una distancia aproximada (se puede ajustar) de 30 cm. Uno de los ejes gira a 1350 rpm, y el otro queremos que lo haga a 450 rpm, con choque uniforme. Los engranajes se prevé fabricarlas de acero, para un montaje preciso, y una seguridad funcional del 99%, en servicio continuo de 6 meses (entre paradas de mantenimiento). Se ha de considerar un coeficiente de seguridad de n = 2,5. Diseñar para flexión y desgaste.

SOLUCION a) Estimar geometría y nº dientes.

(

)

1 dp + d G = 300 mm 2 Como 1 (m * Np + 3 * Np ) = 300 2 Adoptamos Np(≥17)

np

=

nG

1350 N d =3= G = G 450 Np dp

dp = m * Np

dG = m * NG

m * Np (1 + 3) = 2 * 300

m * Np = 150

m = 8 (normalizado) Tabla 13.3 Np = 19 dientes

Np = 150/8 = 18,75 → NG = 19*3 = 57 dientes

Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-12

Problemas Máquinas

Diseño de

dp = 8*19 = 152 mm C = ½ (152 + 456) = 308 mm. dG = 8*57 = 456 mm b) Comprobación por desgaste: El esfuerzo AGMA: s c = Cp

W t Ca Cs Cm Cf I Cv F d

CP (tabla 14-5) → (Acero)

191

MPa

La carga a transmitir para los 32 HP.

Wt =

H*n 32 * 746 * 60 = = 2221 N V p * 0,152 * 1350

Ca = 1 (Aplicación choque uniforme) Cs = 1 (Tamaño) Cm = 1 (Tabla 14.6) (Distribución de carga) F = (3÷5p) = 4*π*m = 100,53 mm → 100 mm

→

1,35

Montaje preciso Cf = 1 (Superficie) Cv = (Figura 14.7) (dinámico). p * dp * n v= = 10,75 m/s 60 → 0,72

Q≈8 F = 100 mm (Entre 9m < F < 14m), (72 < F > 13,2 Mpa

Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-21