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PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN VIBRACIONES U OSCILACIONES: LA CUERDA VIBRANTE Uno de los problemas de valor de frontera involucrando ecuaciones diferenciales parciales es el problema de una cuerda vibrante, tal como una cuerda de violín o piano. Suponga que tal cuerda está fuertemente tensa entre 2 puntos fijos x=0 y x=L ene el eje x de la figura. y

x

En el tiempo t=0, la cuerda se alza en el punto medio, una distancia h. y

h x

Luego la cuerda se suelta. El problema es describir el momento resultante. Claramente muchas cosas pueden suceder. La cuerda puede estar demasiada tensa que cuando la alzamos por la mitad, a una altura h, la cuerda se rompe. En este caso es simple y no lo consideramos. Es más natural asumir que la cuerda es perfectamente flexible y elástica. También, para simplificar el problema, asumimos que h es pequeño comparado con L.

FORMULACION MATEMATICA Supongamos que en algún tiempo t, la cuerda tiene la forma que se muestra en la figura. y punto x

Y (x, t)

punto x+Δx

Y (x+Δx, t)

x

Posición de equilibrio

Llamamos Y(x, t), el desplazamiento del punto x en la cuerda (medido desde la posición de equilibrio la cual tomamos como el eje x) en el tiempo t. el desplazamiento, en el tiempo t, en el punto vecino x+Δx estará entonces dado por Y (x+Δx, t). Para describir el movimiento resultante, consideremos las fuerzas que actúan sobre el pequeño elemento de cuerda de longitud Δs entre x y x+Δx, mostrado en la figura

r T(x+Δx) Δs T(x)cosθ₁ T(x)senθ₁

θ₁

θ₂

T(x+Δx)cosθ₂ Δy

Δx

T(x) x

T(x+Δx)senθ₂

Habrá dos fuerzas actuando sobre el elemento, la tensión T(x) debida a la porción de cuerda a la izquierda, y la tensión T(x+Δx) debido a la porción derecha. Note que hemos asumido por el momento que la tensión depende de la posición. Descomponiendo estas fuerzas en componentes, se obtiene:

(1)

Asumimos ahora que no hay movimiento a la izquierda ni a la derecha de la cuerda, esto es, a un alto grado de aproximación la fuerza neta horizontal es cero. Esto está de acuerdo con la situación física (*). La fuerza vertical neta produce una aceleración del elemento. Asumiendo que la cuerda tiene densidad (masa por la unidad de longitud) ρ, la masa del elemento es ρ Δ s. la aceleración vertical de la cuerda esta aproximadamente dada por

(**)

De donde la ley de newton,

A un alto grado de precisión. Si h es el ángulo que forma la tangente en cualquier punto del elemento con el eje positivo x, entonces θ es una función de la posición y escribimos θ₁=θ(x), θ₂=θ(x+Δx). Sustituyendo en (3) y dividiendo por Δx tenemos:

Ahora la pendiente de la tangente en cualquier punto de la cuerda está dada por:

De modo que:

Asi asumimos que la pendiente es pequeña comparada con (1), podemos despreciar en el denominador de (4) lo cual equivale a la aproximación (***):

Usando esto en (3) y tomando el límite cuando Δx o

0, (3) se convierte en:

……………………(5)

La cual se llama la ecuación de la cuerda vibrante. Si T(x)=T, una constante, o

…………………………………………..(6)

Donde a² ≈ . Tomaremos la tensión como constante a menos que se especifique lo contrario. Veamos ahora cuales son las condiciones de frontera. Puesto que la cuerda esta fija en los puntos x=0 y x=L, tenemos:

Estas establecen que los desplazamientos en los extremos de la cuerda son siempre cero.

Y(x, 0)

…………………. (8)

Esto simplemente da las ecuaciones de los dos segmentos de recta en la figura donde estiramos la cuerda. Y(x, 0) denota el desplazamiento de cualquier punto x en t=0. Puesto que la cuerda se suelta desde el reposo, su velocidad inicial en cualquier parte es cero. Denotando

la velocidad

, podemos escribir:

La cual dice que la velocidad en cualquier lugar x, en tiempo t=0. Hay muchos otros problemas de valor de frontera que se pueden formular usando la misma ecuación diferencial parcial (6). Por ejemplo, la cuerda se podría alzar en otro punto distinto del punto medio o aun en dos o más puntos. Podríamos también tener una cuerda o soga con uno de sus extremos fijos mientras que el otro se mueve arriba y abajo de acuerdo a alguna ley de movimiento. Es también posible generalizar la ecuación de la cuerda vibrante (6). Por ejemplo suponga que tenemos una membrana o piel de tambor en la forma de un cuadrado en el plano y cuyo contorno esta fijo, como se muestra en la figura.

v

(x, y)

x

Si la ponemos a vibrar, tal como ocurre cuando se golpea un tambor, cada punto (x, y) del cuadrado se pone en movimiento en la dirección perpendicular al plano. Si denotamos por Z el desplazamiento de un punto (x, y) a partir del plano, el cual es la posición de equilibrio, en cualquier tiempo t, entonces la ecuación diferencial parcial para la vibración está dada por:

Donde T es la tensión por unidad de longitud a lo largo de cualquier curva en la piel de tambor la cual se asume constante, y ρΔs la densidad (masa por unidad de area). Aquí Z es la función de x, y, t y se puede denotar por Z(x, y, t). Podemos generalizar (6) y (10) a tres dimensiones. Esta generalización seria: ………………………… (11)

Y se podría pensar que esto tiene aplicaciones a las vibraciones de una superficie esférica o de otra forma. La ecuación (11) también aparece en la teoría electromagnética en relación a la propagación de ondas tales como ondas de radio o televisión. Por esta razón con frecuencia llamamos a (11), o cualesquiera de los casos (6) o (10), la ecuación de onda. Cuando sea necesario distinguir las ecuaciones diferenciales de cada caso, nos referimos a (6), (10) y (11) como las ecuaciones de onda en una, dos y tres dimensiones respectivamente. Si introducimos el operador de derivada parcial:

La ecuación (11) se puede escribir como:

En el caso de que U no dependa de t, esta ecuación se convierte en:

Con frecuencia llamamos a (14) la ecuación de Laplace y

el laplaciano en nombre del

matemático Laplace, quien investigo muchas de sus importantes e interesantes propiedades.

PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA QUE INVOLUCRAN MOVIMIENTO VIBRATORIO EL PROBLEMA DE LA CUERDA VIBRANTE Si a una cuerda flexible fuertemente tensionada se le da algún desplazamiento inicial f(x) y luego se suelta, el problema de valor de frontera para el desplazamiento y(x, t) de la cuerda desde su posición de equilibrio en el eje x es:

Donde L es la longitud de la cuerda. Asumiendo una solución de la forma y=xT donde x depende solo de x y T depende solo de t, (1) llegar a ser:

Lo cual muestra que sirve el método de separación de variables. Haciendo cada lado de la segunda ecuación en (3) igual a -�², tenemos: o

Usando la primera condición de frontera en (2), vemos que c₁=0 de modo que (4) se convierte en:

De la segunda condición de frontera tenemos:

Puesto que la tercera condición de frontera en (2) es algo complicada, pasamos a la cuarta condición de frontera más simple. Esto da c₄=0. Asi la solución de (1) la cual satisface la primera, segunda y cuarta condiciones en (2) está dada por:

Donde B=c₂c₃. para satisfacer la tercera condición en (2), primero superponemos soluciones de la forma (6) para obtener la solución:

Luego la tercera condición de frontera en (2) requiere que:

De esto tenemos usando el método de las series de Fourier:

Y usando esto en (7) obtenemos la solución requerida:

La forma precisa de la serie depende por supuesto del desplazamiento inicial particular f(x) de la cuerda. Independiente de este desplazamiento inicial. Sin embargo, es posible dar la interpretación interesante a los varios tipos de términos en la serie (10). Consideremos el primer termino en (10) correspondiente a n=1. A parte de una constante, este término tiene la forma:

Si suponemos que f(x) es tal que solo este término está presente en la serie, esto es, f(x) tiene la forma

aparte de alguna constante multiplicativa, entonces inicialmente la

cuerda tiene la forma que se muestra en la figura 1, donde la escala vertical ha sido aumentada. A medida que t varía, la cuerda tiende a vibrar como un todo alrededor de la posición de equilibrio con una frecuencia determinada a partir de

y dada por:

Donde T es la tensión y ρ es la masa por unidad de longitud. Este tipo de vibración se llama el primer modo o modo fundamental de vibración, y la correspondiente frecuencia (11) se llama la frecuencia fundamental o primera armónica. Si f(x) es tal que solo el segundo termino n=2 en (10) está presente, esto es, f(x) tiene la forma

aparte de una constante multiplicativa, la cuerda aparecerá inicialmente

como en la figura 2. A medida que t varia, la cuerda vibra de modo que la parte por encima del eje x inicialmente, se mueve por debajo del eje mientras que al mismo tiempo la parte por debajo del eje x, se mueve por encima de él, estando fijo el punto N en

,

llamando un nodo o punto nodal. Este tipo de vibración se llama el segundo modo de vibración y la correspondiente frecuencia de vibración está dada por:

Y(x, t)

Y(x, t) N X

0

0

L

L Primer modo (Figura 1)

x

Segundo modo (Figura 2)

Y(x, t)

x

0

L

Tercer modo (figura 3) Y se llama la segunda armónica o primer sobre tono. Note que la frecuencia es dos veces la frecuencia fundamental (11). Similarmente, si f(x) es tal que solo el tercer término está presente en (10), la forma inicial de la cuerda vibra en tres secciones, los puntos

o y

o

representan los nodos o

puntos nodales, los cuales son fijos. Este tipo de vibración se llama el tercer modo de vibración, y la correspondiente frecuencia está dada por:

Llamada la tercera armónica o segundo sobre tono. Note que esta frecuencia es tres veces la frecuencia fundamental. Prosiguiendo con esto, el n-esimo termino en (10) representa el n-esimo modo de vibración en el cual la cuerda vibra en n secciones con n=1 puntos fijos o nodales. La frecuencia de esta vibración se llama la n-esima armónica o el sobre tono (n-1) y esta dado por:

La cual es n veces la frecuencia fundamental. Observación: los modos también se llaman ondas suspendidas. Para un desplazamiento inicial arbitrario f(x) de la cuerda, el movimiento es más complicado puesto que representa una combinación en general de todos los modos de

vibración y por tanto de todas las frecuencias. Sin embargo, todas las frecuencias armónicas o sobre tonos son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental. Cuando tal situación aparece en un sistema vibrante, como en un violín o piano, decimos que tenemos música, con tal de que se produzcan sonidos, esto es, que las frecuencias estén en un rango audible. Si un sistema vibrante produce sonidos cuyas frecuencias no son múltiplos enteros de alguna frecuencia fundamental, decimos que tenemos ruido. Como veremos más tarde, tal situación prevalece cuando por ejemplo tenemos una piel de tambor circular que se pone a vibrar al golpearla.

http://www.scribd.com/doc/8464869/Ecuaciones-Diferenciales-aplicadas