Problemas Propuestos Teoria Del Conteo

PROBLEMAS PROPUESTOS TEORIA DEL CONTEO De los problemas del 1 al 4 demostrar que: 𝑛 nCr = ( ) 𝑛−𝑟 𝑛! 𝑛! = 𝑟! (𝑛 − 𝑟)! [𝑛

Views 77 Downloads 2 File size 313KB

Report DMCA / Copyright

DOWNLOAD FILE

Recommend stories

Citation preview

PROBLEMAS PROPUESTOS TEORIA DEL CONTEO De los problemas del 1 al 4 demostrar que: 𝑛 nCr = ( ) 𝑛−𝑟 𝑛! 𝑛! = 𝑟! (𝑛 − 𝑟)! [𝑛 − (𝑛 − 𝑟)]! (𝑛 − 𝑟)! 1=1 1

2.

nPr = nCr * r! 𝑛! 𝑛! = 𝑟! (𝑛 − 𝑟)! 𝑟! (𝑛 − 𝑟)! 1=1

n  n  1      n rr  r  1    

3.

(𝑛 − 1)! 𝑛! ] ] = 𝑛[ (𝑛 − 𝑟)! 𝑟! (𝑛 − 1) − (𝑟 − 1)! (𝑟 − 1)! (𝑛 − 1)! 𝑛(𝑛 − 1)! 𝑟[ ] = 𝑛[ ] (𝑛 − 𝑟)! 𝑟(𝑟 − 1)! (𝑛 − 𝑟)! (𝑟 − 1)!

𝑟[

1=1 4.-

𝑛 (𝑎 + 𝑏)𝑛 = ∑𝑛𝑟=0 ( ) 𝑎𝑟 𝑏𝑛−𝑟 𝑟 I

I)

II)

II

𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 ( ) 𝑎𝑛 + ( ) 𝑎𝑛−1 𝑏 + ( ) 𝑎𝑛−2 𝑏2 + ⋯ + ( ) 𝑎2 𝑏 𝑛−2 + 0 1 2 𝑛−2 𝑛 𝑛 𝑛 ( ) 𝑎𝑏 𝑛−1 ( ) 𝑏 𝑛 = ∑𝑛𝑟=0 ( ) 𝑎𝑛−𝑟 𝑏 𝑟 𝑛−1 𝑛 𝑟

𝑛 ∑𝑛𝑟=0 ( ) 𝑎𝑟 𝑏 𝑛−𝑟 = 𝑟

𝑛 𝑛 ( ) 𝑎0 𝑏 𝑛 + ( ) 𝑎1 𝑏 𝑛−1 0 1

5.- Un gerente de ventas de una empresa tiene que elegir a 8 vendedores de un total de 15 para capacitarlos en técnicas modernas de atención al cliente. ¿De cuantas maneras el gerente puede elegir a los 8 vendedores? Resolución:

15! 15 ) = 15𝐶8 = = 6435 (7)! (8)! 8

( RESPUESTA: 6435

6.- En la mesa de negociaciones para resolver el problema de los trabajadores despedidos por la empresa Tacoma SA. Se encuentran 3 grupos de personas: 2 funcionarios del Ministerio de Trabajo, 3 representantes de la empresa y 3 delegados del Sindicato de Trabajadores. Si los asistentes deciden sentarse al azar: a) ¿De cuántas maneras pueden ubicarse en la mesa? Resolución:   

2 funcionarios 3 representantes 3 delegados P(2+3+3)=P8 P8=8! P8=40320

RESPUESTA 40 320 b) Si los asistentes deciden sentarse según el grupo que representan, ¿De cuántas maneras pueden hacerlo? Resolución:

2! 𝑥3! 𝑥3! 𝑥3! = 432 RESPUESTA: 432 c) Suponga que entre los miembros de un grupo no hay ninguna diferencia ¿ De cuántas maneras pueden sentarse? Resolución: 8! 2! 𝑥3! 3! 8𝑃3(3)(2) = 560

8𝑃3(3)(2) = RESPUESTA: 560

7.- Un técnico se encuentra arreglando 3 computadoras 2 televisores y 4 radios si los artefactos se ordenan al azar y no se diferencian entre si ¿de cuántas formas el técnico puede arreglar los artefactos?

Resolución: 9! 3! 𝑥2! 4! 9𝑃4(3)(2) = 1260

9𝑃4(3)(2) =

RESPUESTA: 1260

8.- Un especialista de seguridad industrial debe seleccionar 4 empresas de las 8 que existen en el mercado local y que ofrecen el servicio de seguridad ¿De cuantas formas hay de hacerlo? Resolución:

𝑃5 = 5! 𝑃5 = 5𝑋4𝑋3𝑋2𝑋1 𝑃5 = 120 RESPUESTA:

120

9.- Un estudiante decide comprar una radio y un TV. Si en el lugar donde hará la compra hay 4 tipos de radio y 2 clases de televisores, ¿de cuántas maneras distintas puede realizar la compra de ambos artefactos a la vez?

Resolución: 4! 2! 𝑋 3! 1! 4𝑃1𝑥2𝑃1 = 8

4𝑃1𝑥2𝑃1 = RESPUESTA: N = 8

10.- Una empresaria tiene 3 funcionarios ¿de cuántas maneras distintas, uno por uno, puede citarlos a una reunión? Resolución: 𝑃(3) = 3! 𝑃(3) = 6 RESPUESTA: P 3

= 6

11.- ¿Cuántos números de 6 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 1, 1, 2, 2 y 3? Resolución:

6! 3! 2! 1! 6𝑃(3,2,1) = 60

6𝑃(3,2,1) =

RESPUESTA:

6P3,2,1 = 60

12.- ¿De cuántas maneras diferentes pueden disponerse circularmente las letras A, B, C, D? Resolución: 𝑃(𝑛 − 1) = (𝑛 − 1)! 𝑃(4 − 1) = 3! 𝑃(3) = 6

RESPUESTA:

p = 6

13.- ¿Cuántas banderas diferentes, de tres franjas horizontales de igual ancho y de colores distintos, pueden confeccionarse a partir de siete colores diferentes? Resolución: 7! 4! 7𝑃3 = 210 7𝑃3 =

RESPUESTA: P37 =

210

14.- Cuántos números de tres cifras pueden formarse a partir de los dígitos 1 y 2? Resolución: 𝐾 𝑛 = 23 = 8 RESPUESTA:

Números = 8

15.- Un alumno decide rendir tres de las cinco pruebas de conocimientos específicos. ¿De cuántas maneras distintas puede elegir esas tres pruebas? Resolución:

5𝑥4𝑥3! 5 ( )= 3 3! 2! 5 ( ) = 10 3 RESPUESTA:

= 10

16.- Se desea formar un equipo de trabajo donde participe 1 economista un administrador y un contador si se dispone de 2 economistas,3 administradores y 2 contadores. ¿De cuántas formas diferentes se puede formar el equipo? Resolución: 2𝑃1𝑋3𝑃1𝑋2𝑃1 =

2! 3! 2! 𝑋 𝑋 1! 2! 1!

2𝑃1𝑋3𝑃1𝑋2𝑃1 = 2𝑋3𝑋2 = 12 RESPUESTA: = 12 17- Se desea codificar los enseres de un Estudio de Ingeniería Comercial con los dígitos 1,2,3,4 de tal forma que cada código cuente con tres cifras. ¿Cuántos códigos diferentes se pueden obtener? Resolución: 𝐾 𝑛 = 43 = 64 RESPUESTA: = 64 18. ¿De cuántas maneras diferentes se puede contestar un examen de 5 preguntas si solo hay que dar respuesta a 3 de ellas? Resolución: 5𝑥4𝑥3! 5 ( )= 3 3! 𝑥2! 5 ( ) = 10 3 RESPUESTA: = 10 19.- Hallar el número de palabras de cuatro letras que se pueden formar con las letras de la palabra cristal: Resolución: 𝑉𝑛𝑚 = 𝑉74 𝑉74 = 7𝑥6𝑥5𝑥4

𝑉74 = 840 RESPUESTA: = 840

20. Una urna contiene 10 bolas. Hallar el número de pruebas ordenadas a. b. c. d.

De tamaño 3 con sustitución: De tamaño 3 sin sustitución: De tamaño 4 con sustitución: De tamaño 5 sin sustitución:

10^3 = 1,000 10P3 = 720 10^4 = 10,000 10P5 = 30,240