• Author / Uploaded
• sheva7_mx

Citation preview

2.- Demostrar que, si las señales f 1  t  y f 2  t  son ortogonales en el intervalo (t1,t2) entonces la

energía de la señal f1  t   f 2  t  es igual a la suma de las energías de f 1  t  y f 2  t  .La energía en el intervalo (t1,t2) se define como: t2

energía  E  f  t     f  t  dt 2

t1

Extienda este resultado para n señales ortogonales entre si.

f 1  t   f 2  t  en el intervalo  t 1 , t 2 

 E  f1  t   f 2  t    E  f1  t    E  f 2  t   t2

E  f 1  t   f 2  t      f 1  t   f 2  t   dt  2

t1

t2



2



2



  f 1  t   2 f 1  t  f 2  t   f 2  t  dt  2

t1

t2



t2

t2

t1

t1





  f 1  t  dt    2 f 1  t  f 2  t  dt   f 2  t  dt t1

2

por ortogonalidad t2





t2





  f 1  t  dt   f 2  t  dt  2

t1

2

t1

 E  f1  t    E  f 2  t   Para n funciones ortogonales

f 1  t   f 2  t   ...  f n  t  en el intervalo  t 1 , t 2 

 E  f 1  t   f 2  t   ..  f n  t    E  f 1  t    E  f 2  t    ...  E  f n  t   t2

2 E  f 1  t   f 2  t   ..  f n  t      f 1  t   f 2  t   ..  f n  t   dt  t1



  f t

t2

2

1



 f 2  t   ...  f n  t   f 1  t  f 2  t   ...  f 1  t  f n  t  dt  2

2

t1

   f  t  dt    f t2

2

t2

1

t1

2

t

2

t1

dt  ...    f t2

n

t1

t

2

dt    f  t  f



  f t 1

t1

2

dt    f t2

t1

2

t

2

dt  ...    f t2

t1

 E  f 1  t    E  f 2  t    ...  E  f n  t  

1

t1

por ortogonalidad t2

t2

n

 t  2 dt 

t2

2

 t  dt...    f1  t  f n  t  dt. t1

3. Nos podemos aproximar a la función rectangular de la figura mediante la señal

4 Sin t  . 

Muestre que la función de error fe t  f t 

4 Sin t  

Es ortogonal a la función Sin t  en el intervalo (0,2π.) Demuestre que la energía es la suma ade 4 Sin t  . energías de f e  t  y de  1 .0

0 .5

 1

1

2

3

4

5

6

 0 .5

 1 .0

f e  t   f  t  en el intervalo  0,2  2

 0

2

4   f e  t  Sin  t  dt    f  t   Sin (t )  Sin t  dt    0 

2

4 4       1  Sin (t )  Sin t  dt     1  Sin (t )  Sin  t  dt      0   

2

4 4        Sin (t )  Sin 2 (t ) dt     Sin (t )  Sin 2 (t )  Sin t  dt      0    4t 1 4t 1      2    Cos (t )    Sin (2t )     Cos (t )    Sin (2t )     2 4  2 4  0     4  4   2    2  0  2   2 

4. Hacer una aproximación a la función rectangular de la figura mediante polinomios de Legendre por los primeros dos términos diferentes de cero. Encontrar el error cuadrático medio de la aproximación cunado solo se tiene a) el primer término y b) el segundo término. 1 .0

0 .5

 1

1

 0 .5

 1 .0

2

3

4

5

6

1

Cn   tf Pntdt 1

con t  2πt  0.5 1 1  C0   tf 1dt   dt  1dt   0 2  0 .5  1 1

0.5 1 3  C1   tf t dt   t dt  t dt   0.375 2  0 .5  1 1

0.5 1  1 2  5 1 2 1 2  C2   tf  3t  1 dt     3t  1 dt   3t  1 dt   0.9375 2 2 2 0.5 2  1    0 12 ~ tf   0.375t  0.9375 3t 1 2 2  3t  ~ tf   0.05968t 0.46875 2 1  4  1

   

P r im e r te r m in o 0 .3 0 .2 0 .1

 1 .0

 0 .5

0 .5

1 .0

0 .5

1 .0

0 .5

1 .0

 0 .1  0 .2  0 .3

S e g u n d o te r m in o 0 .5

 1 .0

 0 .5

 0 .5

 1 .0

n100 1 .0

0 .5

 1 .0

 0 .5

 0 .5

 1 .0



12.- Se forma una función periódica al eliminar alternativamente un ciclo de la forma de onda senoidal, como se muestra en la figura f t 1 .0

0 .5

2

4

6

8

10

12

 0 .5

 1 .0

a) Encontrar la serie de Fourier (trigonométrico o exponencial)  por determinación directa de los coeficientes

T

1 1 a 0   f  t dt  T 4 0 an  bn 

2 T

t 0 T

2 T

t 0 T



2

4

0

2

 Sin t dt   0dt  0

f  t  Cos  nw0 t  dt 

t0



f  t  Sin nw0 t  dt 

t0

2 4  2  1  Cos  n   2  Sin  t  Cos  nw t  dt  0 * Cos  nw0 t  dt    0  4  0  4  n2  02 





2 4  2  2 Sin n  Sin  t  Sin  nw t  dt  0 * Sin nw0 t  dt    0  4  0  4  n2  02 





0 .4

0 .2

2

4

6

8

10

12

 0 .2

 0 .4

No se tiene una correcta aproximación porque cuando n=2 se  indetermina la función por lo tanto no existe la segunda armónica b) Si la función de onda se desplaza ? segundos a la izquierda,  la nueva forma de onda será función impar del tiempo cuya  transformada de Fourier contiene solamente términos seno.  Encontrar la serie de Fourier de f(t+?) y, a partr de esta  serie, determinar la serie correspondiente f(t)



f t 

1 .0

0 .5

5

10

15

 0 .5

 1 .0 T

1 1 f  t dt  T 5 0

a0  

2 an  T

t 0 T

2 bn  T

t 0 T



t0



t0

3

5

 Sin t   dt   0dt  0 3

0

5  2  20 Sin 2n / 5 Sin 4n / 5 f  t  Cos  nw0 t  dt    Sin t  Cos  nw0 t  dt   0 * Cos  nw0 t  dt    5  0  25  4n 2  3  3





3 5  2  10 Sin  2n / 5  Sin 6n / 5 f  t  Sin nw0 t  dt    Sin t  Sin nw0 t  dt   0 * Sin nw0 t  dt    5  0  25  4n 2  3 



1 .0

0 .5

2

4

6

8

10

12

 0 .5

 1 .0

Se observa que en este caso ya no existe la singularidad por lo  tanto la aproximación de la serie de Fourier es más exacta c) Repita b) con una traslación de f(t), ? segundos a la  derecha.



T

1 1 a 0   f  t dt  T 5 0 an  bn 

2 T

t 0 T

2 T

t 0 T



3

5

 Sin t   dt   0dt  0 0

3

f  t  Cos  nw0 t  dt 

t0



f  t  Sin nw0 t  dt 

t0

3

5  2  Sin  t  Cos  nw t  dt  0 * Cos  nw0 t  dt   0  0  5  0 3 

3 5  2  20 Sin 2n / 5  Sin 6n / 5 Sin  t  Sin  nw t  dt  0 * Sin nw0 t  dt     0  5  0  25  4n 2  3 



1 .0

0 .5

 15

 10

 5

5

10

15

 0 .5

 1 .0

De esta forma solo existen los bn y no hay indeterminación.





23. Determinar la transformada de Fourier de las siguientes funciones: f t 1 .0 0 .8 0 .6 0 .4 0 .2

 2

 1

1

2

 0 .2  0 .4

a) F  w 



 f (t ) * e

lwt

dt



F  w 

1.5

0

1. 5

2

2

1.5

0

1.5

lwt  lwt  lwt  lwt    t * A  2 A * e dt    t * A  A * e dt     t * A  A * e dt    t * A  2 A * e d

2A 4 ACos 1.5w 2 ACos 2 w F  w  2   w w2 w2



F w 1 .2 1 .0 0 .8 0 .6 0 .4 0 .2

 10

 5

5  0 .2

10



f t 1 .0

0 .8

0 .6

0 .4

0 .2

b)   2 F  w 

 1

1



 f (t ) * e

 lwt

2

3

4

5

dt



F  w 

 /2 

F  w 

 ACos  t  * e 

 lwt

/2

2 ACos  w / 2   1  w2

dt



F w 2 .0

1 .5

1 .0

0 .5

 10

 5

5

10



f t 1 .0

0 .5

 2

 1

1

2

3

4

5

 0 .5

d)

 1 .0

F  w 



 f (t ) * e

 lwt

dt



F  w 

2

t * A/ 2*e

2

F  w  A

 lwt

dt

 2 jwCos  2 w  jSin  2 w w2



F w 1 .5

1 .0

0 .5

 10

 5

5

10



f t 1 .0

0 .8

0 .6

0 .4

0 .2

e)

 2

F  w 

 1

1



 f (t ) * e

 lwt

2

3

4

5

dt

 2

3

F  w   t * A / 2 * e lwt dt     t * A / 2  2  e lwt dt 0

F  w 

2



A  1  2e

3 jw

e 2w 2

1



3 jw

jw 



F w 1 .5

1 .0

0 .5

 10

 5

5

10



f t 0 .3 5 0 .3 0 0 .2 5 0 .2 0 0 .1 5 0 .1 0 0 .0 5

f)  2 F  w 

 1

1



 f (t ) * e

lwt

2

3

4

5

dt

 1

2

3

F  w   t 2 * e lwt dt   0 * e lwt dt    t  2  * e lwt dt 0

F  w 

1

2

2

1  e   2 j  e  2 j  2w  jw   2 jw



jw

w

2

3

F w 0 .6 0 .5 0 .4 0 .3 0 .2 0 .1

 10

 5

5

10

29. Determinar la transformada de: a) tf  2t  F  f  2t   

1 2

1  2  w  F  w / 2  2 

b)

 t  2 f  t  F   t  2 f  t   

1  2  w  F  w   2 F  w 2

c)

 t  2 f   2t  F   t  2  f   2t    F  tf   2t   2 f   2t   

d) df dt 1  df   2j  w  jwF  w  F t    dt  2

t

1  2j  w  F   w / 2   F  w / 2 2