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• Franco Cajacuri Torrejon

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GEODESIA Y TOPOGRAFÍA

TEMA 5.- PROBLEMAS GEODÉSICOS PRINCIPALES

EJERCICIO 5.1 ε º = A + B + C − 180º = 184º −180º ε r = εº

π

ε" = ε º ⋅ 3600 T = εº

S=

π 180º

ε" = 14.400"

⇒ ⇒

ε º = 4º

ε r = 0 ,0698

⇒

180º

⇒

T = 0 ,0689 u 2

π 720º 720º εº T= εº εº 180º

⇒

S = 4π u 2

EJERCICIO 5.2 A' = 80º −

B' = 48º −

C' = 56º −

εº 3

εº 3

εº 3

= 80º −

4 3

⇒

A' = 78 ,6 º

= 48º −

4 3

⇒

B' = 46 ,6 º

= 56º −

4 3

⇒

C' = 54 ,6 º

EJERCICIO 5.3 Cálculo de las coordenadas de A y ZAP.

1.- Mediante los parámetros a y f del elipsoide WGS84, se calcularán el valor de la primera y segunda excentricidad del elipsoide e y e’ (2-6), NP (2-13), ρP (2-20) y RZ(PA) (2-33): (2-6)

e 2 = f (2 − f ) = 0 ,0066943800

e' 2 =

e2 1− e

2

=

f (2 − f ) = 0,0067394967 1 − f (2 − f )

__________________________________________________________________________________________ 1

PROBLEMAS GEODÉSICOS PRINCIPALES

.

(2-13)

a a a NP = = = WP 1 − e 2 sen 2 ϕ P 1 + f ( f − 2 )sen 2 ϕ P

(2-20)

ρP =

(2-33)

RZ ( PA) =

(

a 1− e2 W P3

) = a (f

)

2

−2 f +1

⎧W P = 0,9987869746 m ⎪ 3 ⎨W P = 0,9963653363 m ⎪ N = 6.385.883,239 m ⎩ P

ρ P = 6.358.550,520 m

W P3

N P ρP ρP sen Z PA + N P cos 2 Z PA

R z( PA ) = 6.372.187,570 m

2

2.- Con estos valores, más el acimut ZPA, la distancia s y la latitud φP, se determinan las r componentes del vector PA( t ) referidas al sistema de las direcciones principales de P:

(5-14)

r PA( t )

⎡ ⎤ s 3 cos Z PA +L s ⋅ cos Z PA − ⎢ ⎥ 6 R Z (PA ) ρ P ⎢ ⎥ x ⎡ A⎤ ⎢ 3 ⎥ s senZ PA ⎥ s ⋅ senZ PA − = ⎢⎢ y A ⎥⎥ = ⎢ +L 6 R Z (PA ) N P ⎥ ⎢ ⎢⎣ z A ⎥⎦ ⎢ ⎥ 2 3 s ⎢ s e' 2 sen2ϕ P cos Z PA + L⎥ − ⎢ 2 R Z (PA) 4 R Z (PA) N P ⎥ ⎣ ⎦

⎡ x A ⎤ ⎡35.354,975 ⎤ r PA( t ) = ⎢⎢ y A ⎥⎥ = ⎢⎢35.354,977 ⎥⎥ ⎢⎣ z A ⎥⎦ ⎢⎣ 196,161 ⎥⎦

3.- Se calculan las coordenadas cartesianas de P, a partir de (φP, λP) y h = 0, con (5-17):

(5-17)

⎛ X P ⎞ ⎛ N P cos ϕ P cos λ P ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ P = ⎜ Y P ⎟ = ⎜ N P cos ϕ P senλ P ⎟ ⎜ Z ⎟ ⎜ N 1 − e 2 senϕ ⎟ P ⎠ ⎝ P⎠ ⎝ P

(

⎛ X P ⎞ ⎛ 5.080.586,104 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ P = ⎜ Y P ⎟ = ⎜ - 444.493,688 ⎟ ⎜ Z ⎟ ⎜ 3.817.393,160 ⎟ ⎠ ⎝ P⎠ ⎝

)

4.- Se calculan las coordenadas cartesianas del punto A mediante la expresión (4-10):

(4-10)

⎛ X A ⎞ ⎛ X P ⎞ ⎡− senϕ P cos λ P ⎟ ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ Y A ⎟ = ⎜ Y P ⎟ + ⎢ − senϕ P senλ P ⎜Z ⎟ ⎜Z ⎟ ⎢ cos ϕ P ⎝ A⎠ ⎝ P⎠ ⎣

− senλ P cos λ P 0

− cos ϕ P cos λ P ⎤ ⎛ x A ⎞ ⎛ 5.062.315,238 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − cos ϕ P senλ P ⎥⎥ ⎜ y A ⎟ = ⎜ - 407.405,167 ⎟ ⎥⎦ ⎜⎝ z A ⎟⎠ ⎜⎝ 3.845.510,846 ⎟⎠ − senϕ P

5.- Se obtienen las coordenadas geodésicas de A (φA, λA), mediante las expresiones (5-18), a partir de las recién calculadas coordenadas cartesianas (XA, YA, ZA): ϕ A = arctan

λ A = arctan

(1 − e ) 2

YA XA

ZA X

2 A

+ Y A2

⇒

⇒

ϕ A = 37º 19' 04 ", 45152 N

λ A = 004º 36' 04 ", 08693 W

__________________________________________________________________________________________ 2

GEODESIA Y TOPOGRAFÍA

6.- Se halla el acimut ZA de la geodésica que parte de P, en el punto A, con (5-19) y (5-20): N P cos ϕ P senZ PA = 0,7100738851 N A cos ϕ A

(5-19)

senZ A =

(5-20)

senZ A > 0

→

Z PA < 90º

→

Z A = 45º 14' 27" ,338 ZA = ZA

Z A = 45º 14' 27" ,338

7.- Se calcula el acimut inverso ZAP, mediante la sencilla operación: (5-21)

Z AP = Z A ± 180º

Z AP = 225º 14' 27 ", 338

⇒

8.- Es posible hallar la convergencia de meridianos ∆Z, mediante la expresión: (5-22)

∆Z = Z A − Z PA

∆Z = 0º 14' 27 ", 338

⇒

Cálculo de las coordenadas de B y ZBP.

1.- Los valores de la primera y segunda excentricidad del elipsoide e y e’ serán los mismos que en el caso anterior: e' 2 = 0,0067394967

e 2 = 0 ,0066943800

(2-6)

Los valores de NP (2-13), ρP (2-20) y RZ(PB) (2-33), se obtienen de igual forma que en el caso anterior:

(2-13)

NP =

(2-20)

ρP =

(2-33)

a a a = = 2 2 WP 1 − e sen ϕ P 1 + f ( f − 2 )sen 2 ϕ P

(

a 1− e2

RZ ( PB ) =

W P3

) = a (f

2

)

−2 f +1 W P3

N P ρP ρP sen Z PB + N P cos 2 Z PB 2

⎧W P = 0,9987869746 m ⎪ 3 ⎨W P = 0,9963653363 m ⎪ N = 6.385.883,239 m ⎩ P

ρ P = 6.358.550,520 m R z( PB ) = 6.372.187,570 m

2.- Con estos valores, más el acimut ZPB, la distancia s y la latitud φP, se determinan las r componentes del vector PB( t ) referidas al sistema de las direcciones principales de P:

__________________________________________________________________________________________ 3

PROBLEMAS GEODÉSICOS PRINCIPALES

r (5-14) PB( t )

.

⎤ ⎡ s 3 cos Z PB s ⋅ cos Z PB − +L ⎥ ⎢ 6 R Z (PB ) ρ P ⎥ ⎢ ⎡ xB ⎤ ⎢ 3 ⎥ s senZ PB ⎥ s ⋅ senZ PB − +L = ⎢⎢ y B ⎥⎥ = ⎢ 6 R Z (PB ) N P ⎥ ⎢ ⎢⎣ z B ⎥⎦ ⎢ ⎥ 2 3 s ⎢ s e' 2 sen2ϕ P cos Z PB + L⎥ − ⎥ ⎢ 2 R Z (PB ) 4 R Z (PB ) N P ⎦ ⎣

⎡ x B ⎤ ⎡- 35.354,975 ⎤ r PB( t ) = ⎢⎢ y B ⎥⎥ = ⎢⎢ 35.354,977 ⎥⎥ ⎢⎣ z B ⎥⎦ ⎢⎣ 196,168 ⎥⎦

3.- Se calculan las coordenadas cartesianas de P, a partir de (φP, λP) y h = 0, con (5-17), que ya se han obtenido en el caso anterior: ⎛ X P ⎞ ⎛ 5.080.586,104 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ P = ⎜ Y P ⎟ = ⎜ - 444.493,688 ⎟ ⎜ Z ⎟ ⎜ 3.817.393,160 ⎟ ⎝ P⎠ ⎝ ⎠

(5-17)

4.- Se calculan las coordenadas cartesianas del punto B mediante la expresión (4-10):

(4-10)

⎛ X B ⎞ ⎛ X P ⎞ ⎡− senϕ P cos λ P ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎜ Y B ⎟ = ⎜ Y P ⎟ + ⎢ − senϕ P senλ P ⎜Z ⎟ ⎜Z ⎟ ⎢ cos ϕ P ⎝ B⎠ ⎝ P⎠ ⎣

− senλ P cos λ P 0

− cos ϕ P cos λ P ⎤ ⎛ x B ⎞ ⎛ 5.104.707,612 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − cos ϕ P senλ P ⎥⎥ ⎜ y B ⎟ = ⎜ - 411.114,019 ⎟ ⎥⎦ ⎜⎝ z B ⎟⎠ ⎜⎝ 3.789.039,364 ⎟⎠ − senϕ P

5.- Se obtienen las coordenadas geodésicas de B (φB, λB), mediante las expresiones (5-18), a partir de las recién calculadas coordenadas cartesianas (XB, YB, ZB): ϕ B = arctan

λ B = arctan

(1 − e ) 2

YA

ZA X

2 A

+ Y A2

ϕ B = 36º 40' 50 ", 70175 N

⇒

λ B = 004º 36' 16 ", 01838 W

⇒

XA

6.- Se halla el acimut ZB de la geodésica que parte de P, en el punto B, con (5-19) y (5-20): N P cos ϕ P senZ PB = 0,7041737515 N B cos ϕ B

(5-19)

senZ B =

(5-20)

senZ B > 0

→

Z PB > 90º

→

Z B = 44º 45' 46" ,193 Z B = 180º − Z B

Z B = 135º 14' 13" ,807

7.- Se calcula el acimut inverso ZBP, mediante la sencilla operación: (5-21)

Z BP = Z B ± 180º

⇒

Z BP = 315º 14' 13", 807

8.- Es posible hallar la convergencia de meridianos ∆Z, mediante la expresión: __________________________________________________________________________________________ 4

GEODESIA Y TOPOGRAFÍA

∆Z = Z B − Z PB

(5-22)

∆Z = 0º 14' 13", 807

⇒

Cálculo de las coordenadas de C y ZCP.

1.- Los valores de la primera y segunda excentricidad del elipsoide e y e’ serán los mismos: e 2 = 0 ,0066943800

(2-6)

e' 2 = 0,0067394967

Los valores de NP (2-13), y ρP (2-20) son los mismos que en los dos casos anteriores:

(2-13)

⎧W P = 0,9987869746 m ⎪ 3 ⎨W P = 0,9963653363 m ⎪ N = 6.385.883,239 m ⎩ P

(2-20)

ρ P = 6.358.550,520 m

El valor de RZ(PC) (2-33), se obtiene de forma similar que en los casos anteriores, y ha de coincidir con el del caso anterior: RZ (PC ) =

(2-33)

N P ρP ρP sen Z PC + N P cos 2 Z PC 2

R z( PC ) = 6.372.187,570 m

2.- Con estos valores, más el acimut ZPC, la distancia s y la latitud φP, se determinan las r componentes del vector PC( t ) referidas al sistema de las direcciones principales de P:

(5-14)

r PC ( t )

⎤ ⎡ s 3 cos Z PC s ⋅ cos Z PC − +L ⎥ ⎢ 6 R Z (PC ) ρ P ⎥ ⎢ ⎡ xC ⎤ ⎢ ⎥ s 3 senZ PC ⎢ ⎥ ⎥ s ⋅ senZ PC − = ⎢ yC ⎥ = ⎢ +L 6 R Z (PC ) N P ⎥ ⎢ ⎢⎣ z C ⎥⎦ ⎢ ⎥ 2 3 s ⎢ s e' 2 sen2ϕ P cos Z PC + L⎥ − ⎥ ⎢ 2 R Z (PC ) 4 R Z (PC ) N P ⎦ ⎣

⎡ x C ⎤ ⎡ - 35.354,975 ⎤ r PC( t ) = ⎢⎢ y C ⎥⎥ = ⎢⎢- 35.354,977 ⎥⎥ ⎢⎣ z C ⎥⎦ ⎢⎣ 196,168 ⎥⎦

3.- Las coordenadas cartesianas de P se calculan a partir de (φP, λP) y h = 0, con (5-17), como en los casos anteriores:

(5-17)

⎛ X P ⎞ ⎛ 5.080.586,104 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ P = ⎜ Y P ⎟ = ⎜ - 444.493,688 ⎟ ⎜ Z ⎟ ⎜ 3.817.393,160 ⎟ ⎝ P⎠ ⎝ ⎠

4.- Se calculan las coordenadas cartesianas del punto C mediante la expresión (4-10):

__________________________________________________________________________________________ 5

PROBLEMAS GEODÉSICOS PRINCIPALES

(4-10)

.

⎛ X C ⎞ ⎛ X P ⎞ ⎡− senϕ P cos λ P ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎜ YC ⎟ = ⎜ Y P ⎟ + ⎢ − senϕ P senλ P ⎜Z ⎟ ⎜Z ⎟ ⎢ cos ϕ P ⎝ C⎠ ⎝ P⎠ ⎣

− senλ P cos λ P 0

− cos ϕ P cos λ P ⎤ ⎛ x C ⎞ ⎛ 5.098.544,833 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − cos ϕ P senλ P ⎥⎥ ⎜ y C ⎟ = ⎜ - 481.554,901 ⎟ ⎥⎦ ⎜⎝ z C ⎟⎠ ⎜⎝ 3.789.039,364 ⎟⎠ − senϕ P

5.- Se obtienen las coordenadas geodésicas de C (φC, λC), mediante las expresiones (5-18), a partir de las recién calculadas coordenadas cartesianas (XC, YC, ZC): ϕ C = arctan

λ C = arctan

(1 − e ) 2

YC

ZC X C2

+ YC2

ϕ C = 36º 40' 50 ", 70175 N

⇒

λ C = 005º 23' 43", 98162 W

⇒

XC

6.- Se halla el acimut ZC de la geodésica que parte de P, en el punto C, con (5-19) y (5-20): N P cos ϕ P senZ PC = -0,7041737515 N C cos ϕ C

(5-19)

senZ C =

(5-20)

senZ C < 0

→

Z PC < 270º

→

Z C = −44º 45' 46" ,193 Z C = 180º − Z C

Z C = 224º 45' 46" ,193

7.- Se calcula el acimut inverso ZCP, mediante la sencilla operación: (5-21)

Z CP = Z C ± 180º

Z CP = 44º 45' 46 ", 193

⇒

8.- Es posible hallar la convergencia de meridianos ∆Z, mediante la expresión: (5-22)

∆Z = Z C − Z PC

∆Z = −0º 14' 13", 807

⇒

Cálculo de las coordenadas de D y ZDP.

1.- Los valores de la primera y segunda excentricidad del elipsoide e y e’ serán los mismos que en los casos anteriores: (2-6)

e 2 = 0 ,0066943800

e' 2 = 0,0067394967

Los valores de NP (2-13), y ρP (2-20) también son los mismos que en los mismos que en casos anteriores: __________________________________________________________________________________________ 6

GEODESIA Y TOPOGRAFÍA

(2-13)

⎧W P = 0,9987869746 m ⎪ 3 ⎨W P = 0,9963653363 m ⎪ N = 6.385.883,239 m ⎩ P

(2-20)

ρ P = 6.358.550,520 m

El valor de RZ(PD) (2-33), se obtiene de forma similar que en los casos anteriores, y ha de coincidir con ellos: (2-33)

RZ ( PD ) =

N P ρP ρP sen 2 Z PD + N P cos 2 Z PD

R z( PD ) = 6.372.187,570 m

2.- Con estos valores, más el acimut ZPD, la distancia s y la latitud φP, se determinan las r componentes del vector PD( t ) referidas al sistema de las direcciones principales de P:

r (5-14) PD( t )

⎡ ⎤ s 3 cos Z PD s ⋅ cos Z PD − +L ⎢ ⎥ 6 R Z (PD ) ρ P ⎢ ⎥ ⎡ xD ⎤ ⎢ ⎥ s 3 senZ PD ⎢ ⎥ ⎥ s ⋅ senZ PD − = ⎢yD ⎥ = ⎢ +L 6 R Z (PD ) N P ⎢ ⎥ ⎢⎣ z D ⎥⎦ ⎢ ⎥ 2 3 s s ⎢ e' 2 sen2ϕ P cos Z PD + L⎥ − ⎢ 2 R Z (PD ) 4 R Z (PD ) N P ⎥ ⎣ ⎦

⎡ x D ⎤ ⎡ - 35.354,975 ⎤ r PD( t ) = ⎢⎢ y D ⎥⎥ = ⎢⎢- 35.354,977 ⎥⎥ ⎢⎣ z D ⎥⎦ ⎢⎣ 196,168 ⎥⎦

3.- Las coordenadas cartesianas de P se calculan a partir de (φP, λP) y h = 0, con (5-17), como en los casos anteriores: ⎛ X P ⎞ ⎛ 5.080.586,104 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ P = ⎜ Y P ⎟ = ⎜ - 444.493,688 ⎟ ⎜ Z ⎟ ⎜ 3.817.393,160 ⎟ ⎠ ⎝ P⎠ ⎝

(5-17)

4.- Se calculan las coordenadas cartesianas del punto D mediante la expresión (4-10):

(4-10)

⎛ X D ⎞ ⎛ X P ⎞ ⎡− senϕ P cos λ P ⎟ ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ Y D ⎟ = ⎜ Y P ⎟ + ⎢ − senϕ P senλ P ⎜Z ⎟ ⎜Z ⎟ ⎢ cos ϕ P ⎝ D⎠ ⎝ P⎠ ⎣

− senλ P

cos λ P 0

− cos ϕ P cos λ P ⎤ ⎛ x D ⎞ ⎛ 5.056.152,460 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − cos ϕ P senλ P ⎥⎥ ⎜ y D ⎟ = ⎜ - 477.846,049 ⎟ ⎥⎦ ⎜⎝ z D ⎟⎠ ⎜⎝ 3.845.510,846 ⎟⎠ − senϕ P

5.- Se obtienen las coordenadas geodésicas de D (φD, λD), mediante las expresiones (5-18), a partir de las recién calculadas coordenadas cartesianas (XD, YD, ZD): ϕ D = arctan

(1 − e ) 2

ZD X D2

+ Y D2

⇒

ϕ D = 37º 19' 04 ", 45152 N

__________________________________________________________________________________________ 7

PROBLEMAS GEODÉSICOS PRINCIPALES

λ D = arctan

.

YD

λ D = 005º 23' 55", 91307 W

⇒

XD

6.- Se halla el acimut ZD de la geodésica que parte de P, en el punto D, con (5-19) y (5-20): N P cos ϕ P senZ PD = -0,7100738851 N D cos ϕ D

(5-19)

senZ D =

(5-20)

senZ D < 0

→

Z PD > 270º

→

Z D = −45º 14' 27" ,338 Z D = 360º + Z D

Z D = 314º 45' 32" ,662

7.- Se calcula el acimut inverso ZCD, mediante la sencilla operación: (5-21)

Z DP = Z D ± 180º

Z DP = 134º 45' 32", 662

⇒

8.- Es posible hallar la convergencia de meridianos ∆Z, mediante la expresión: (5-22)

∆Z = Z D − Z PD

∆Z = −0º 14' 27 ", 338

⇒

EJERCICIO 5.4

Cálculo de las coordenadas de A y ZAP.

1.- Se calculan las coordenadas ortogonales x e y aplicando (5-31) y (5-32). Para ello, antes se deben calcular: la primera excentricidad e (2-6), NP (2-13) y ρP (2-20) para la latitud del punto P: e 2 = f (2 − f ) = 0 ,0066943800

(2-6)

(2-13)

NP =

(2-20)

ρP =

(5-31)

a a a = = 2 2 WP 1 − e sen ϕ P 1 + f ( f − 2 )sen 2 ϕ P

(

a 1− e2 W P3

) = a (f

2

)

−2 f +1 W P3

⎞ ⎛ 1 s2 y = s cos Z PA ⎜⎜ 1 + sen 2 Z PA ⎟⎟ 3 NPρP ⎠ ⎝

⎧W P = 0,9987869746 m ⎪ 3 ⎨W P = 0,9963653363 m ⎪ N = 6.385.883,239 m ⎩ P

ρ P = 6.358.550,520 m

y = 35.355 ,702 m

__________________________________________________________________________________________ 8

GEODESIA Y TOPOGRAFÍA

(5-32)

⎛ ⎞ 1 s2 x = s senZ PA ⎜ 1 − cos 2 Z PA ⎟ ⎜ 6 N ρ ⎟ P P ⎝ ⎠

x = 35.355 ,158 m

2.- Una vez determinado el valor del arco y, se calcula, en primera aproximación, la diferencia de latitudes que lo definen, en radianes, mediante la expresión (5-33): (5-33)

⎞ y ⎛⎜ e 2 y 2 1− cos 2ϕ P ⎟ 2 ⎟ ⎜ ρP ⎝ 8 a ⎠

∆ϕ y =

∆ϕ y = 0 ,0055603398

con este valor se calcula ,también en primera aproximación, la latitud del punto Q mediante la (5-34), con la que se puede calcular la latitud media φM entre P y Q para obtener un valor exacto de ∆φy con la expresión (5-36), para lo que es necesario determinar ρM con la (5-35): (5-34)

ϕ Q = ϕ P + ∆ϕ y = 0,6513321631

(5-35)

ρM =

(5-36)

∆ϕ y =

(

a 1− e2

ϕM =

)

ϕ P + ϕQ 2

= 0,6485519931

ρ M = 6.358.721,711 m

W M3 y ⎛⎜ e 2 y 2 1− cos 2ϕ M ρ M ⎜⎝ 8 a2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

∆ϕ y = 0,0055601901

3.- Cálculo del ángulo ω con la expresión (5-37). Para ello se debe calcular, antes, un nuevo valor más exacto para la latitud del punto Q (5-34), y con ella, el valor NQ con (2-13): (5-34)

ϕ Q = ϕ P + ∆ϕ y = 0,6513320134 = 37 ,o 3185754270

(2-13)

NQ

a a = = WQ 1 − e 2 sen 2 ϕ Q

(5-37)

ω=

x2 tan ϕ Q 2 NQ

⎧WQ = 0 ,9987690345 m ⎪ 3 ⎨WQ = 0,9963116473 m ⎪ N = 6.385.997 ,943 m ⎩ Q

ω = 74 ,607 m

⇒

4.- Una vez determinado el valor de ω, se calcula, mediante (5-38), la diferencia de latitudes, en radianes, ∆φω que define su arco. Para ello, antes se debe calcular ρQ mediante (2-20):

(

a 1− e2

(2-20)

ρQ =

(5-38)

∆ϕ ω =

)

ρ Q = 6.358.893,168 m

WQ3

ω ρQ

⎛ e2 ω 2 ⎞ ⎜1 − cos 2ϕ Q ⎟ 2 ⎜ ⎟ 8 a ⎝ ⎠

⇒

∆ϕ ω = 0 ,0000117326

__________________________________________________________________________________________ 9

PROBLEMAS GEODÉSICOS PRINCIPALES

.

5.- Cálculo de la Latitud de A, aplicando la expresión (5-39). El valor de ∆φy, es positivo por estar el punto A más al Norte que P. El valor de ∆φω es siempre a restar: (5-39)

ϕ A = 37º 19' 04 ", 45151 N

ϕ A = ϕ P + ∆ϕ y − ∆ϕ ω = ϕ Q − ∆ϕ ω = 0 ,6513320134 − 0 ,0000117326

6.- Cálculo de la Longitud de A mediante la expresión (5-41), para lo cual es necesario calcular previamente NA mediante (2-13): a a = 2 WA 1 − e sen 2 ϕ A

(2-13)

NA =

(5-41)

∆λ = arcsen ⎢

N A = 6.385.997 ,701 m

⎡

1 x ⎤ sen ⎥ NA ⎦ ⎣ cos ϕ A

λ A = λ P + ∆λ = −0 ,0872664626 + 0 ,0069615030

∆λ = 0 ,0069615030

λ A = 004º 36' 04 ", 08693 W

⇒

7.- Cálculo de la convergencia de meridianos mediante la expresión (5-42), para lo cual se deben calcular previamente las latitudes reducidas de P y A (2-53), así como el incremento de longitud ∆λ’ sobre la Esfera de Jacobi (5-13): (2-53)

cos β P =

1 cos ϕ P = 0,7996054518 wP

(2-53)

cos β A =

1 cos ϕ A = 0,7962642326 wA

βM = (5-13)

(5-42)

dλ' =

tan

∆Z 2

βP + βA 2

w 1− e2 =

β A = 0 ,6497017952 ∆β

= 0 ,6469300982

dλ =

senβ M cos

β P = 0 ,6441584012

∆β

tan

wM 1− e2

∆λ' 2

2

dλ

=

βP − βA 2

= −0 ,0027716970

dλ' = 0 ,0069763868

∆Z = 0º 14' 27 ", 338

= 0 ,0021024891

2

8.- Cálculo del acimut inverso ZAP mediante la expresión (5-43): (5-43)

Z AP = ∆Z + Z PA + 180º = 0º 14' 27 ", 338 + 45º + 180º

⇒

Z AP = 225º 14' 27 ", 338

Cálculo de las coordenadas de B y ZBP.

__________________________________________________________________________________________ 10

GEODESIA Y TOPOGRAFÍA

Resumiendo los pasos indicados en el apartado anterior y aprovechando cálculos efectuados: 1.- Se calculan las coordenadas ortogonales x e y: (5-31)

(5-32)

⎞ ⎛ 1 s2 y = s cos Z PB ⎜ 1 + sen 2 Z PB ⎟ ⎟ ⎜ 3 NPρP ⎠ ⎝

y = −35.355 ,702 m

⎞ ⎛ 1 s2 x = s senZ PB ⎜⎜ 1 − cos 2 Z PB ⎟⎟ 6 N ρ P P ⎠ ⎝

x = 35.355 ,158 m

2.- se calcula, en primera aproximación, la diferencia de latitudes que definen el arco y: (5-33)

⎞ y ⎛⎜ e 2 y 2 1− cos 2ϕ P ⎟ 2 ⎜ ⎟ ρP ⎝ 8 a ⎠

∆ϕ y =

(5-34)

ϕ Q = ϕ P + ∆ϕ y = 0,6402114834

(5-35)

ρM =

(5-36)

∆ϕ y =

(

a 1− e2

∆ϕ y = − 0 ,0055603398

ϕM =

)

ϕ P + ϕQ 2

= 0,6429916533

ρ M = 6.358.379,610 m

W M3

y ⎛⎜ e2 y2 1− cos 2ϕ M ρ M ⎜⎝ 8 a2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

∆ϕ y = − 0 ,0055604893

3.- Cálculo del ángulo ω : (5-34)

ϕ Q = ϕ P + ∆ϕ y = 0,6402113340 = 36 ,o 6814074327

(2-13)

NQ

a a = = 2 WQ 1 − e sen 2 ϕ Q

(5-37)

ω=

x2 tan ϕ Q 2 NQ

⎧WQ = 0 ,9988048582 m ⎪ 3 ⎨WQ = 0,9964188581 m ⎪ N = 6.385.768 ,899 m ⎩ Q

ω = 72 ,903 m

⇒

4.- se calcula la diferencia de latitudes que define el arco ω:

(

a 1− e2

(2-20)

ρQ =

(5-38)

∆ϕ ω =

)

ρ Q = 6.358.208 ,976 m

WQ3

ω ρQ

2 2 ⎛ ⎞ ⎜ 1 − e ω cos 2ϕ Q ⎟ 2 ⎜ ⎟ 8 a ⎝ ⎠

⇒

∆ϕ ω = 0 ,0000114659

5.- Cálculo de la Latitud de B. El valor de ∆φy, es negativo por estar B más al Sur que P. El valor de ∆φω es siempre a restar: __________________________________________________________________________________________ 11

PROBLEMAS GEODÉSICOS PRINCIPALES

(5-39)

.

ϕ B = 36º 40' 50 ", 70174 N

ϕ B = ϕ P + ∆ϕ y − ∆ϕ ω = ϕ Q − ∆ϕ ω = 0 ,6402113340 − 0 ,0000114659

6.- Cálculo de la Longitud de B: a a = WB 1 − e 2 sen 2 ϕ B

(2-13)

NB =

(5-41)

∆λ = arcsen ⎢

N B = 6.385.768 ,664 m

⎡

1 x ⎤ sen ⎥ cos ϕ N B B ⎦ ⎣

λ B = λ P + ∆λ = −0 ,0872664626 + 0 ,0069036577

∆λ = 0 ,0069036577

λ B = 004º 36' 16 ", 01838 W

⇒

7.- Cálculo de la convergencia de meridianos: (2-53)

cos β B =

βM = (5-13)

(5-42)

dλ' =

tan

∆Z 2

1 cos ϕ B = 0,8029359743 wB

βP + βB 2

w 1− e =

2

cos

∆β

∆β

= 0 ,6413750659

dλ =

senβ M

β B = 0 ,6385917305

tan

wM 1− e2

∆λ' 2

2

dλ

=

βP − βB 2

= −0 ,0027833353

dλ' = 0 ,0069185419

∆Z = 0º 14' 13", 807

= 0 ,0020696905

2

8.- Cálculo del acimut inverso ZBP: (5-43)

Z BP = ∆Z + Z PB + 180º = 0º 14' 13", 807 + 135º + 180º

⇒

Z BP = 315º 14' 13", 807

Cálculo de las coordenadas de C y ZCP.

(5-31)

(5-32)

⎞ ⎛ 1 s2 y = s cos Z PC ⎜ 1 + sen 2 Z PC ⎟ ⎟ ⎜ 3 NPρP ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ 1 s2 x = s senZ PC ⎜⎜ 1 − cos 2 Z PC ⎟⎟ ⎝ 6 NPρP ⎠

y = −35.355 ,702 m

x = − 35.355 ,158 m

2.- se calcula, en primera aproximación, la diferencia de latitudes que definen el arco y: (5-33)

∆ϕ y =

⎞ y ⎛⎜ e 2 y 2 1− cos 2ϕ P ⎟ 2 ⎜ ⎟ ρP ⎝ 8 a ⎠

∆ϕ y = − 0 ,0055603398

__________________________________________________________________________________________ 12

GEODESIA Y TOPOGRAFÍA

(5-34)

ϕ Q = ϕ P + ∆ϕ y = 0,6402114834

(5-35)

ρM =

(5-36)

(

a 1− e2

)

ϕ P + ϕQ 2

= 0,6429916533

ρ M = 6.358.379,610 m

W M3

y ⎛⎜ e 2 y 2 1− cos 2ϕ M ρ M ⎜⎝ 8 a2

∆ϕ y =

ϕM =

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

∆ϕ y = − 0 ,0055604893

3.- Cálculo del ángulo ω : (5-34)

ϕ Q = ϕ P + ∆ϕ y = 0,6402113340 = 36 ,o 6814074327

(2-13)

NQ

a a = = 2 WQ 1 − e sen 2 ϕ Q

(5-37)

ω=

x2 tan ϕ Q 2 NQ

⎧WQ = 0 ,9988048582 m ⎪ 3 ⎨WQ = 0,9964188581 m ⎪ N = 6.385.768 ,899 m ⎩ Q

ω = 72 ,903 m

⇒

4.- se calcula la diferencia de latitudes que define el arco ω:

(

a 1− e2

(2-20)

ρQ =

(5-38)

∆ϕ ω =

)

ρ Q = 6.358.208 ,976 m

WQ3

ω ρQ

⎞ ⎛ e2 ω 2 ⎜1 − cos 2ϕ Q ⎟ 2 ⎟ ⎜ 8 a ⎠ ⎝

⇒

∆ϕ ω = 0 ,0000114659

5.- Cálculo de la Latitud de C. El valor de ∆φy, es negativo por estar C más al Sur que P. El valor de ∆φω es siempre a restar: (5-39)

ϕ C = ϕ P + ∆ϕ y − ∆ϕ ω = ϕ Q − ∆ϕ ω = 0 ,6402113340 − 0 ,0000114659

ϕ C = 36º 40' 50 ", 70174 N

6.- Cálculo de la Longitud de C: (2-13)

(5-41)

NC =

a a = WC 1 − e 2 sen 2 ϕ C

N C = 6.385.768 ,664 m

1 x ⎤ sen ⎥ cos ϕ N C C ⎦ ⎣ ⎡

∆λ = arcsen ⎢

λ C = λ P + ∆λ = −0 ,0872664626 − 0 ,0069036577

∆λ = − 0 ,0069036577

⇒

λ C = 005º 23' 43", 98162 W

7.- Cálculo de la convergencia de meridianos: __________________________________________________________________________________________ 13

PROBLEMAS GEODÉSICOS PRINCIPALES

cos β C =

(2-53)

βM =

(5-42)

tan

∆Z 2

1 cos ϕ C = 0,8029359743 wC

β P + βC 2 w

dλ' =

(5-13)

1− e

2

senβ M

=

cos

.

∆β

β C = 0 ,6385917305 ∆β

= 0 ,6413750659 wM

dλ =

tan

1− e2

∆λ' 2

2

=

β P − βC

dλ

2

= −0 ,0027833353

dλ' = − 0 ,0069185419

∆Z = − 0º 14' 13", 807

= − 0 ,0020696905

2

8.- Cálculo del acimut inverso ZCP: (5-43)

Z CP = ∆Z + Z PC + 180º = − 0º 14' 13", 807 + 225º + 180º

Z CP = 44º 45' 46 ", 193

⇒

Cálculo de las coordenadas de D y ZDP.

(5-31)

(5-32)

⎞ ⎛ 1 s2 y = s cos Z PD ⎜ 1 + sen 2 Z PD ⎟ ⎟ ⎜ 3 NPρP ⎠ ⎝

y = 35.355 ,702 m

⎛ ⎞ 1 s2 x = s senZ PD ⎜⎜ 1 − cos 2 Z PD ⎟⎟ ⎝ 6 NPρP ⎠

x = − 35.355 ,158 m

2.- se calcula, en primera aproximación, la diferencia de latitudes que definen el arco y: (5-33)

⎞ y ⎛⎜ e 2 y 2 1− cos 2ϕ P ⎟ 2 ⎜ ⎟ ρP ⎝ 8 a ⎠

∆ϕ y =

(5-34)

ϕ Q = ϕ P + ∆ϕ y = 0,6513321631

(5-35)

ρM =

(5-36)

∆ϕ y =

(

a 1− e2

)

ϕM =

ϕ P + ϕQ 2

= 0,6485519931

ρ M = 6.358.721,711 m

W M3

y ⎛⎜ e 2 y 2 1− cos 2ϕ M ρ M ⎜⎝ 8 a2

∆ϕ y = 0 ,0055603398

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

∆ϕ y = 0 ,0055601901

3.- Cálculo del ángulo ω : (5-34)

ϕ Q = ϕ P + ∆ϕ y = 0,6513320134 = 37 ,o 3185754270

__________________________________________________________________________________________ 14

GEODESIA Y TOPOGRAFÍA

(2-13)

NQ

a a = = 2 WQ 1 − e sen 2 ϕ Q

(5-37)

ω=

x2 tan ϕ Q 2 NQ

⎧WQ = 0 ,9987690345 m ⎪ 3 ⎨WQ = 0,9963116473 m ⎪ N = 6.385.997 ,943 m ⎩ Q

ω = 74 ,607 m

⇒

4.- se calcula la diferencia de latitudes que define el arco ω:

(

a 1− e2

(2-20)

ρQ =

(5-38)

∆ϕ ω =

)

ρ Q = 6.358.893 ,168 m

WQ3 ⎛ e2 ω 2 ⎞ ⎜1 − ⎟ cos 2 ϕ Q ⎜ ⎟ 8 a2 ⎝ ⎠

ω ρQ

⇒

∆ϕ ω = 0 ,0000117326

5.- Cálculo de la Latitud de D. El valor de ∆φy, es negativo por estar D más al Norte que P. El valor de ∆φω es siempre a restar: (5-39)

ϕ D = 37º 19' 04 ", 45151 N

ϕ D = ϕ P + ∆ϕ y − ∆ϕ ω = ϕ Q − ∆ϕ ω = 0 ,6513320134 − 0 ,0000117326

6.- Cálculo de la Longitud de D: ND =

(2-13)

(5-41)

a a = WD 1 − e 2 sen 2 ϕ D

N D = 6.385.997 ,701 m

⎡

1 x ⎤ sen ⎥ cos ϕ N D D ⎦ ⎣

∆λ = arcsen ⎢

λ D = λ P + ∆λ = −0 ,0872664626 − 0 ,0069615030

∆λ = − 0 ,0069615030

λ D = 005º 23' 55", 91307 W

⇒

7.- Cálculo de la convergencia de meridianos: cos β D =

(2-53)

βM = dλ' =

(5-13)

(5-42)

tan

∆Z 2

=

1 cos ϕ D = 0,7962642326 wD

βP + βD 2

w 1− e

2

senβ M cos

∆β

= 0 ,6469300982

wM

dλ =

tan

1− e2

∆λ' 2

dλ

= − 0 ,0021024891

β D = 0 ,6497017952 ∆β 2

=

βP − βD 2

= −0 ,0027716970

dλ' = − 0 ,0069763868

∆Z = − 0º 14' 27 ", 338

2

8.- Cálculo del acimut inverso ZDP: __________________________________________________________________________________________ 15

PROBLEMAS GEODÉSICOS PRINCIPALES

(5-43)

Z DP = ∆Z + Z PD + 180º = − 0º 14' 27 ", 338 + 315º + 180º

.

⇒

Z DP = 134º 45' 32", 662

EJERCICIO 5.5 En preparación

__________________________________________________________________________________________ 16