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• joaquin_w16

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Capítulo 3 Resolución numérica de ecuaciones diferenciales.

3.1.

Problemas de valor inicial (PVI)

1. Dada ecuación diferencial ordinaria con condición inicial: y 0 (t) = 2y + e3t y(0) = 11

0≤t≤2



Se pide: a ) Demostrar que la ecuación anterior tiene solución única. b ) Demostrar que la función denida por y = e3t + 10e2t es solución de la ecuación

diferencial.

c ) Calcular de forma aproximada el valor de y(2) usando para ello los diferentes

métodos del cálculo aproximado de la solución de una ecuación diferencial ordinaria con condición inicial, usando para los cálculos h = 0.5 y h = 0.25.

2. Usar los diferentes métodos del cálculo de soluciones para el problema de valor inicial, para aproximar la solución del problema de valor inicial: y 0 (t) = te3t − 2y y(0) = 0

0≤t≤1



usando para los cálculos h = 0.25. La solución es y = 51 te3t − 251 e3t + 251 e−2t Comparar la solución obtenida con la exacta. Dibujar las grácas correspondientes a la solución exacta y a la aproximada. 1

2 CAPÍTULO 3.

RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES.

3. Compara las aproximaciones de Euler obtenidas con tamaños de paso diferentes en [0, 3] con y(0) = 0. Tomar h = 1, 0.5,0.25, 0.125. Solución exacta para y 0 = t−y 2 y(t) = 3e−t/2 − 2 + t

4. Probar que el método de Euler falla cuando queremos aproximar la solución y(t) = t3/2 del problema de valor inicial y 0 (t) = 1.5y 1/3

con y(0) = 0

5. Usar los diferentes métodos del cálculo de soluciones para el problema de valor inicial, para aproximar la solución del problema de valor inicial: y 0 (t) = 1 + (t − y)2 y(2) = 1

2≤t≤3



1 Usar para los cálculos h = 0.25. La solución a este problema es y = t + 1−t Comparar la solución obtenida con la exacta. Dibujar las grácas correspondientes a la solución exacta y a la aproximada.

6. Dado el siguiente problema de valor inicial y 0 (t) = 2t y + t2 et y(1) = 0

1≤t≤2



Se pide: a ) Demostrar que la solución es y(t) = t2 (et − e). b ) Utilizar el método de Euler con h = 0.1 para aproximar la solución obtenida y

compararla con la solución exacta del problema. c ) Utilizar el método de Taylor de orden 2 con h = 0.1 para aproximar la solución y compararla con la solución exacta del problema. d ) Usando los datos obtenidos en el apartado anterior calcular de forma aproximada usando interpolación de diferentes grados el valor de y(1.04), y(1.55), y(1.97). e ) Calcular el valor de h para que |y(ti ) − wi | ≤ 0.1. 7. Un proyectil de masa m = 0.11kg que se dispara verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de v(0) = 8m/s, se va desacelerando debido a la fuerza de gravedad Fg = −mg y a la resistencia del aire Fr = kv|v|, donde g = 9.8m/s2 y k = 0.002Kg/m. La ecuación diferencial para la velocidad v está dada por mv 0 = −mg − kv|v|

Se pide:

3

3.1. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL (PVI)

a ) Calcular la velocidad del proyectil después de 0.1, 0.2, . . . , 1 segundos. b ) Determinar, a la décima de segundo más cercana, cuándo el proyectil alcanza

la máxima altura y empieza a caer.

8. La ley de enfriamiento de Newton dice que si un objeto a temperatura T se introduce en un medio con temperatura constante A, entonces la variación de temperatura es proporcional a la diferencia de temperatura M − T , es decir, verica la ecuación diferencial T 0 (t) = k(A − T (t))

Un termómetro que marca 100o F se coloca en un medio con temperatura constante de 70o F y al cabo de 6 minutos la temperatura es de 80o F Se pide: a ) Demostrar que la solución de la ecuación diferencial es de la forma A − T (t) = Ce−kt b ) Con los condiciones impuestas en el enunciado obtener los valores de C y k c ) Calcular de forma aproximada la temperatura que tendrá el termómetro a los 3 minutos, usando el método de Euler y h = 0.5.

9. Consideremos la desintegración de una sustancia radiactiva. Si y(t) representa la cantidad de sustancia presente en un instante t, entonces y(t) decrece y los experimentos sugieren que la velocidad de decrecimiento de y(t) es proporcional a la cantidad presente. Por tanto, el problema de valor inicial para la desintegración de una sustancia radiactiva es: y 0 (t) = −ky(t) con y(0) = y0 a ) Probar que la solución es y(t) = y0 e−kt . b ) La vida media de uan sustancia radiactiva se dene como el tiempo necesario

para que se desintegre la mitad de la cantidad presente al principio, por ejemplo la vida media del isótopo 14 C es de 5730 años. Halle la fórmula y(t) que proporciona la cantidad de 14 C presente en un instante t para ello determine k de manera que y(5370) = 0.5y0 . c ) Tras analizar un trozo de madera, se establece que la cantidad de 14 C presente es de 0.712 veces la cantidad que había cuando el árbol estaba vivo. ¾Cuántos años tiene ese trozo de madera? d ) En un cierto instante hay 10 mg de una sustancia radiactivay 23 segundos después sólo queda 1 mg. ¾Cuál es la vida media de esa sustancia? 10. Se tiene el problema de valor inicial y 0 (t) = 3ty 1/3 y(−1) = −1

−1≤t≤1



4 CAPÍTULO 3.

RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES.

Resolverlo utilizando: a ) El método de Euler con paso h = 0.25 b ) El método de Euler modicado con paso h = 0.25

11. Dada la ecuación diferencial con condición inicial y 0 (x) = x3 + y 2 y(0) = 0

0≤x≤1



Se pide: a ) Calcular de forma aproximada el valor de y(1) usando el método de Euler con h = 0.25 b ) Aproximar el valor de y(0.6) usando los datos anteriormente calculados c ) Calcular de forma aproximada el valor de y(1) usando el método de Taylor de orden 2 con h = 0.25 d ) Aproximar el valor de y(0.6) usando los datos anteriormente calculados.

12. Dada la ecuación diferencial: ty 0 (t) = y(t)2 ln(t) − y(t) y(1) = 12

1≤t≤2



Se pide: a ) Demostrar que y(t) =

1 1+t+ln(t)

es la solución exacta de este problema.

b ) Calcular de forma aproximada el valor de y(2) usando el método de Euler y h = 0.25. c ) Se sospecha que existe un valor de t en el intervalo [1, 2] tal que y(t) = 31 . Calcular t de forma aproximada eligiendo cada uno de los siguientes procedi-

mientos: Interpolando los valores obtenidos en el primer apartado. Por el método de Newton con la función que es solución de la ecuación diferencial y 3 iteraciones.

13. Un resorte vibrante con amortiguamiento, sujeto a una fuerza externa, se puede modelizar como my 00 + by 0 + ky = g(t)

donde m > 0 es la masa del sistema del resorte, b > 0 es la constante de amortiguamiento, k > 0 es la constante del resorte, g(t) es la fuerza sobre el sistema en

5

3.1. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL (PVI)

el instante t y y(t) es el desplazamiento con respecto del equilibrio del sistema del resorte. Dada la ecuación diferencial y 00 + 3y 0 + 2y = 3t + 1

se pide: a ) Calcular los valores de a, b, c y d para que y = ae−t + be−2t + ct + d sea solución sabiendo que y(0) = 0 = y 0 (0) b ) Calcular de forma aproximada el valor de y(1) e y 0 (1) usando el método de Euler y h = 0.2. c ) Calcular de forma aproximada el valor de y(1) e y 0 (1) usando el método de Adams-Bashforth de orden 2 con h = 0.2, para el cálculo de y(0.2) e y 0 (0.2).

Usar los valores obtenidos en el apartado anterior.

14. La ecuación diferencial ordinaria y 00 + 2xy 0 + y 2 = 0

es un modelo matemático para estudiar el comportamiento térmico de nubes esféricas gaseosas en equilibrio gravitatorio, sujetas a las leyes termodinámicas (Emdem 1907) y para el estudio de la estructura estelar (Chandrasekhar 1939). Se pide a ) Se sabe que y(x) es innitamente derivable y que y(0) = 1 e y 0 (0) = 0. Demos-

trar, por la regla de L'Hopital, 1 que el valor de

y 00 (0) = l´ım y 00 (x) = − x→0

1 3

b ) Con el valor de y 00 (0) anterior, obtener la solución aproximada correspondiente a las condiciones iniciales y(0) = 1, y 0 (0) = 0, en el intervalo [0, 1] por el método de Euler con paso h = 0.2. Usar para los cálculos 5 cifras decimales y

redondeo.

15. Se considera el problema de Cauchy de valor inicial y 0 (t) = xex y(1) = 12

2 −y

1≤t≤2



Se pide: a ) Demostrar que y = ln(1 +

2

ex −e ) 2

es solución del problema.

6 CAPÍTULO 3.

RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES.

b ) Calcular de forma aproximada la solución del problema anterior en x = 2 utilizando el método de Euler y h = 0.25. c ) Calcular de forma aproximada la solución del problema anterior en x = 2 utilizando el método de Adams-Bashforth de dos pasos, h = 0.25 e y(1.25) es

el valor obtenido en el apartado anterior.

16. Resolver de forma aproximada la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales a)

u01 = 2u1 + 2u2 ; 0 ≤ t ≤ 2; u1 (0) = −1 u02 = 3u1 + u2 ; 0 ≤ t ≤ 2; u2 (0) = 4

con h = 0.5. La solución a este problema es u1 (t) = e4t − 2e − 1 y u2 (t) = e4t + 3e−t . b)

u01 = 3u1 + 2u2 − (2t2 + 1)e2t ; 0 ≤ t ≤ 1; u1 (0) = 1 u02 = 4u1 + u2 + (t2 + 2t − 4)e2t ; 0 ≤ t ≤ 1; u2 (0) = 1

con h = 0.2. La solución a este problema es u1 (t) = 31 e5t − 13 e−t + e2t y u2 (t) = 1 5t e 3

+ 32 e−t + t2 e2t

17. Resolver de forma aproximada la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior con condiciones iniciales a)

y 00 − 2y 0 + y = tet − t, 0 ≤ t ≤ 1; y(0) = y 0 (0) = 0

con h = 0.1. La solución es y(t) = 61 t3 et − tet + 2et − t − 2 b)

y 00 + 2y 0 + y = et , 0 ≤ t ≤ 2; y(0) = 1; y 0 (0) = −1

con h = 0.1. La solución es y(t) = 43 e−t − 12 te−t + 41 et 18. Calcular el valor de y(1) de la función que verica la ecuación de Van Der Pol y 00 − 0.1(1 − y 2 )y 0 + y = 0; y(0) = 1; y 0 (0) = 0

por el método de Euler h = 0.25

7

3.2. PROBLEMAS DE CONTORNO

3.2.

Problemas de contorno

1. El problema con valor frontera: y 00 (t) = 4(y − x) y(0) = 0 y(1) = 2

 0≤x≤1  

tiene la solución y(x) = e2 (e4 − 1)−1 (e2x − e−2x ) + x

Se pide: a ) Usar el método del disparo lineal con Euler para aproximar la solución con h = 0.5 y con h = 0.25 y comparar los resultados con la solución exacta

manualmente y conMatlab.

b ) Usar el método de las diferencias nitas para aproximar la solución con h = 0.5 y con h = 0.25 y comparar los resultados con la solución exacta.

2. Representamos por u el potencial electrostático entre dos esferas metálicas concéntricas de radios R1 y R2 (R1 < R2 ) tales que el potencial de la esfera interior se mantenga constrante en V1 volts y el potencial de la esfera exterior sea 0 volts. El potencial de la región situada entre ambas esferas está regido por la ecuación diferencial siguiente: d2 u dr2

2 du + = 0 r dr

u(R1 ) =

V1

u(R2 ) =

0

  R1 ≤ r ≤ R2           

Suponer que V1 = 110volts, R1 = 2cm y R1 = 4cm a ) Aproximar u(3) por medio del método del disparo lineal con h = 0.1 y utilizando

Euler para resolver los sistemas. (Hacer a mano dos o tres aproximaciones)

b ) Aproximar u(3) por medio del método del disparo lineal con h = 0.1 y utilizando

Runge Kutta 4 para resolver los sistemas.

c ) Aproximar u(3) por medio del método de las diferencias nitas con h = 0.1.

Plantear el sistema tridiagonal y resolver con Matlab con el algoritmo para sistemas tridiagonales tridiagonal.m.

8 CAPÍTULO 3.

RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES.

d ) Comparar los resultados aproximados con el potencial real u(3) donde   V1 R1 R2 − r u(r) = r R2 − R1

3. La deexión u(x) de una viga con extremos jos verica la ecuación diferencial con valores frontera siguiente: d2 u qx S u+ (x − l), = 2 dx EI 2EI

0