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Problema 1: El caso de MOVE-U TRUCK RENTAL COMPANY Modelos cuantitativos para la administración, Davis & MCKeown La Move-U Truck Rental Company se especializa en el arrendamiento de camiones a personas que sean realizare sus propias mudanzas. El gerente de distribución de la compañía, G I Miller, está considerando aplicar un “cargo por traslado” para cubrir el costo de enviar camiones desde las áreas en las que hay sobrantes a otros lugares en los que se necesitan. Antes de decidir si debe aplicar el cargo por traslado al costo de arrendamiento de los camiones que se dirigen a áreas en las que hay sobrantes, desea determinar la proporción del número total de camiones que, a largo plazo, acabarían en cada una de las áreas de renta. Si las proporciones son aproximadamente las mismas, el cargo por traslado será innecesario; si no es así, el cargo dependerá de la proporción del total que termine en cada región G I ha dividido la parte del país que atiende la compañía en tres regiones: norte, central y sur. De registros previos se ha determinado que de los camiones que se rentan cada mes en el norte, 20% van a una ciudad del norte, 30% terminan en la región central y 50% se devuelven a la compañía en la región sur. De manera similar, la compañía ha determinado que, cada mes, 40% de los camiones que se rentan en la región central se devuelven en la misma, 30% se devuelven en el norte y el 30% restante se devuelve en el sur. Por último, de los camiones que se rentan cada mes en la región sur, 20% se devuelven en el norte y 40% en la región central. En este momento, 40% de los camiones se encuentran en el norte, 30% en la parte central y 30% están en la región sur. Dado el patrón de movimientos de los camiones, la Move-U Company está interesada en saber lo siguiente: 1. ¿Qué proporción de los camiones se encontrará en cada región después de un mes?, ¿Después de dos meses? 2. ¿Qué proporción de los camiones estará en cada región después de un periodo “largo”? Análisis del caso Puede construirse una tabla para resumir la información referente a la proporción de camiones que tienen en una región de origen y llegan a otra de destino. Región donde Región donde se devuelve se renta Norte Central Sur Norte 0.2 0.3 0.5 Central 0.3 0.4 0.3 Sur 0.2 0.4 0.4 Proporción de camiones que se regresan a cada región En esta tabla, la región donde se renta el camión se lista en el extremo izquierdo y la región en donde se devuelve el camión aparece en la parte superior. Por ejemplo, observando el primer renglón de la tabla y la primera columna, puede verse que 20% de los camiones que se rentan en el norte se devuelven el mismo norte. 1

Otra forma de plantear esta relación, es que existe una probabilidad de 0.2 de que un camión rentado en el norte sea regresado en la misma región (norte). Obsérvese que para cualquier región, la suma de las probabilidades es uno, lo que significa que un camión rentado debe ir a algún lado. Norte Central Sur Suma Norte 0.2 0.3 0.5 = 1.0 Central 0.3 0.4 0.3 = 1.0 Sur 0.2 0.4 0.4 = 1.0 Nótese también que la región en la que se regresa un camión depende solamente de la región en la que se rentó; es decir, el estado final del camión depende sólo de su estado más reciente. Si un camión fue rentado alguna vez en la región central, no afecta el lugar en que se le regrese si ahora se renta en el norte. El hecho de que haya una probabilidad asociada con el lugar en el que se devolverán los camiones y que esta región en la que se devuelven dependa solo de la región en la que se rente, significa que esta situación satisface las consideraciones básicas de los proceso de Markov (propiedad markoviana). Una consideración adicional para los problemas de este tipo es que habrá ocurrencias repetidas del evento bajo estudio. Abreviando, las principales consideraciones de las cadenas de Markov aplicadas al ejemplo son 1. Hay incertidumbre con respecto a la región en la que se devolverán los camiones y es posible medir esta incertidumbre a través de probabilidades. 2. La región en la que se devuelve un camión depende sólo de la región en que fue rentado 3. Habrá ocurrencias repetidas, o ensayos; es decir, se rentan camiones en las mismas circunstancias. Presentación de cadenas de Mrakov a través de un árbol Un método ilustrativo para responder las primeras preguntas referentes a la flotilla de camiones consiste en utilizar un enfoque de “árbol”; en la siguiente figura, se muestra el diagrama de árbol para un camión que se renta en la región NORTE en el mes 0. Ubicación Probabilidad de cada en el ubicación en el mes 2 mes 2

Ubicación en el mes 1

Ubicación en el mes 0 0.2

Norte

0.2 Norte 0.3 Central 0.5 Sur 0.3

Norte

0.3

Central

Norte 0.4 Central 0.3 Sur 0.2

0.5

Sur

Norte 0.4 Central 0.4 Sur

2

0.04 0.06 0.10 0.09 0.12 0.09 0.10 0.20 0.20

Los nodos del árbol son las ubicaciones en los meses 0, 1 y 2, y en las ramas del árbol aparecen las probabilidades de cada transición. Las probabilidades de encontrarse en cada uno de los estados en el mes 2 se calculan multiplicando las probabilidades individuales de transición. Por ejemplo, la probabilidad de estar en el norte en cada uno de los tres meses está dada por: (0.2)* (0.2) = 0.04 Para determinar la probabilidad de que un camión se encuentre en el norte después de dos meses, se suman las tres probabilidades de encontrarlo en el norte: P(estar en el norte en el mes 2 dado que se encontraba en el norte en el mes 0) = 0.04 + 0.09 + 0.10 = 0.23 De manera similar: P(estar en el centro en el mes 2 dado que estaba en el norte en el mes 0) = 0.06 + 0.12 + 0.20 = 0.38 P(estar en el sur en el mes 2 dado que se estaba en el norte en el mes 0) = 0.10 + 0.09 + 0.20 = 0.39 Utilizando la notación matricial, estos cálculos para el mes 1 aparecerán de la siguiente manera: N C

S

N

C

S

1

0

 0.2  0.3   0.2

0.3 0.4 0.4

0.5 0.3 0.4

0

Vector de probabilidad para comenzar en el norte

Matriz de transición de un mes



N

C

S

 0.2

0.3

0.5

Vector de probabilidad después de un mes

Para el segundo mes (empezando en el norte) se repiten los cálculos: N

 0.2

C 0.3

S

N

C

S

0.5

 0.2  0.3   0.2

0.3 0.4 0.4

0.5 0.3 0.4

Vector de probabilidad después de un mes



Matriz de transición de un mes

N

C

 0.23

0.38

S 0.39

Vector de probabilidad después de dos meses

Obsérvese que estas series de cálculos puede combinarse en una solo de la siguiente manera: N

1

C 0

S 0

N

C

S

 0.2  0.3   0.2

0.3 0.4 0.4

0.5 0.3 0.4

Vector de probabilidad Matriz de transición probabilidad para de un mes comenzar en el norte

N  0.2  0.3   0.2

C 0.3 0 .4 0 .4

S 0.5 0.3 0.4

Matriz de transición de un mes



N

C

S

 0.23

0.38

0.39

Vector de después de dos meses

El cálculo del vector de probabilidad después de dos meses depende del vector de probabilidad en el mes 0 y de la matriz de transición de un mes. En los cálculos anteriores, se utilizó un vector de probabilidad inicial que representaba un camión que había comenzado en el norte. 3

Para calcular la proporción de camiones que se encontrarán en cada región después de dos meses, simplemente se sustituye la proporción original de camiones que se encuentra en cada región y se considera como el vector inicial de probabilidad; es decir, [0.4 0.3 0.3]. Por ello, los cálculos se convierten en: N

 0 .4

C

S 0 .3

N  0 .2  0 .3   0.2

0 .3

Proporción de camiones en el mes 0

C

S

0 .3 0 .4 0 .4

0 .5  0.3 0.4

Matriz de transición de un mes

N  0 .2  0 .3   0.2

C 0 .3 0 .4 0 .4

S

N

0 .5  0.3 0.4



Matriz de transición de un mes

 0.236

C 0.377

Proporción de camiones en el mes 2

De estos cálculos, puede verse después de dos meses que el 23.6% de todos los camiones se encontrarán en el norte; el m37.7% estarán en la región central y 38.7% en el sur. La segunda pregunta que interesa responder es la proporción de camiones que se encontraría en cada región después de un “periodo largo”. Para contestarla, pueden repetirse los cálculos mes con mes, o programar una computadora. Mes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Norte 0.4000 0.2300 0.2360 0.2377 0.2376 0.2376 0.2376 0.2376 0.2376 Central 0.3000 0.3600 0.3770 0.3764 0.3763 0.3763 0.3763 0.3763 0.3763 Sur 0.3000 0.4100 0.3870 0.3859 0.3862 0.3862 0.3862 0.3862 0.3862 En la tabla anterior se observa que el vector de probabilidad cambia de su valor inicial de: [0.4 0.3 0.3] a [0.238 0.376 0.386]

en 8 meses

Observe también que el cambio entre vectores subsiguientes disminuye al aumentar el número de meses. Este patrón de vectores de probabilidad prácticamente iguales indica que se ha alcanzado una condición de estado estable (o estado estacionario) cuando la proporción de camiones en cada región permanece igual. Esta proporción de estado estable de camiones es 23.8% en el norte; 37.6% en la región central y 38.6% en el sur. Desarrollo matemático El análisis anterior puede resumirse utilizando la siguiente notación: Pij

= probabilidad de cambiar del estado i al estado j en un paso

P

= matriz formada por los valores Pij (matriz de transición)

si(t)

= probabilidad de encontrase en el estado i en el periodo j

S(t)

= vector de probabilidades de estado en el periodo t

Por ejemplo: Pij P11 = 0.2

si(t) s1(0 = 0.4 ) 4

S(0) [0.4 0.3 0.3]

S

0.387

s2(0 = 0.3 ) s3(0 = 0.3 )

P12 = 0.3 P13 = 0.5 P21 P22 P23 P31 P32 P33

= = = = = =

0.3 0.4 0.3 0.2 0.4 0.4

Utilizando esta notación, es posible plantear varios resultados clave. En primer lugar, se tiene que la suma de las probabilidades de estado debe ser igual a 1: s1(t) = + s2(t) + s3(t) + … + sn(t) = 1

para un caso con n estados

De manera similar, para cada renglón de la matriz de transición P, se tiene la suma: pi1 + pi2 + pi3 + ... + pin = 1

para i = 1, 2, …, n

Recuérdese que esto implica que debe hacerse alguna transición hacia un estado en cada paso. La transición de un periodo al siguiente se encuentra incluida en la ecuación: S(t + 1) = S(t) P Para el primer periodo (t = 0) se convierte en: S(1) = S(0) P Y para el segundo periodo (t = 1), se tiene: S(2) = S(1) P = S(0) P P = S(0) P2 En general, este resultado se convierte en: S(t) = S(0) P t Ahora, para la condición de estado estable, se tiene: S = S(t + 1) = S(t) Donde S es el vector de probabilidad de estado estable, que es el mismo sin importar el periodo, lo que implica que: S=SP Es decir, el vector de estado estable sigue siendo igual después de una transición de una etapa. Para el ejemplo, esto da como resultado: S 

 s

s

s     s

s

 .  s    .  .

Terminando los cálculos, se llega al sistema de ecuaciones: s1 = 0.2s1 + 0.3s2 + 0.2s3 s2 = 0.3s1 + 0.4s2 + 0.4s3 s3 = 0.5s1 + 0.3s2 + 0.4s3 5

. . .

.

 . . 

Se sabe también que la suma de estas probabilidades es igual a 1; por lo tanto: 1 = s 1 + s2 + s3 Se encuentran los valores de s1 , s2 , s3 utilizando las 4 ecuaciones anteriores, llegando a las probabilidades de estado estable siguientes: s1 = 0.238

s2 = 0.376

s3 = 0.386

Estos valores son las mismas proporciones de estado estable que se obtuvieron usando el programa de computadora; sin embargo, fue posible determinar estos valores resolviendo yn sistema de ecuaciones lineales, en vez de repetir el procedimiento hasta que la diferencia entre los valores de dos meses se volviera pequeña. Un detalle que resulta importante tomar en cuenta con respecto a esta condición de estado estable es que no depende del estado inicial. Si se comenzara con un vector de probabilidades [0.5 0.25 0.25] o uno de [0.33 0.33 0.34], a largo plazo siempre se terminaría con el mismo vector de proporciones de estado estable [0.238 0.376 0.386]. Para resumir el desarrollo de las cadenas de Markov, si existe una matriz de transición de una etapa P = [Pij] y un vector de estado para el periodo t, S(t), entonces se tiene que: S(t + 1) = S(t) P Pero dado que: S(t + 1) = S(t) P = S(t – 1)P2 = … = S(1) P t-1 = S(0) P t Puede decirse que: S(t) = S(0) P t También puede obtenerse el vector de probabilidades de equilibrio o de estado estable, S, resolviendo el sistema de ecuaciones definido por: n

S=SP

y

s i 

i



para determinar los valores apropiados de si que forman S, el vector de equilibrio.

6

Problema 2: El caso de un ejecutivo de una cadena de televisión Modelos cuantitativos para la administración, Davis & MCKeown A Mark Goldman, vicepresidente de la NBS TV Network, se le encargó determinar una política de programación para la cadena. La NBS compite por captar televidentes con las cadenas de televisión CBC y ABS. Al principio de cada temporada (en septiembre), cada una de las cadenas intenta captar una mayor cantidad de televidentes que sus competidores incluyendo nuevos programas y volviendo a programar otros. Goldman se encontraba en problemas porque la NBS había tenido un mal desempeño en las últimas dos temporadas con el formato de sus programas. También habían surgido críticas porque la cadena tendía a cancelar los programas con mucha rapidez si el número de televidentes (“rating” o “tasa de audiencia”) era inicialmente bajo. Como resultado de las críticas se había decidido no cancelar ningún programa hasta que fuera evidente que seguiría teniendo un número reducido de televidentes. Dado que los televidentes normales, con bastante frecuencia, al principio de la temporada tenderían a cambiar de cadena con el objeto de ver programas nuevos o de volver a ver programas antiguos, Goldman ha decidido esperar a que se estabilice la proporción de televidentes que ven un programa determinado. Le ha pedido a uno de sus subordinados que tiene una maestría en administración de empresas, Bill Washington, que estudie el periodo en el que cada cadena estará ofreciendo un programa nuevo para que determine cuáles serán las proporciones de televidentes finales. Si Bill puede predecir estos valores, Mark estará en posibilidades de tomar una decisión con respecto a un nuevo programa de la NBS, “Shampoo va a la Universidad”, sin tener que esperar hasta que las preferencias de los televidentes se vuelvan obvias a través de los datos de los “ratings” o recuentos de tasa de audiencia. Bill supone que la selección de un televidente específico se ve influenciada más que nada por el programa más reciente que ha observado en ese periodo y que las proporciones finales en realidad son valores de estado estable. Con esta base, decide utilizar un enfoque de cadena de Markov para abordar el problema. Considera que el problema de selección de los televidentes se ajusta a las consideraciones de este modelo con suficiente cercanía como para permitir aplicar el modelo al problema. Bill ha elaborado la siguiente matriz de transición utilizando datos recopilados en años anteriores y referentes a la forma en que los televidentes tienden a cambiar de una cadena a otra, semana a semana, para el tipo de programas que se considera: NBS NBS 0.2 CBC 0.3 ABS 0.2

CBC 0.4 0.3 0.2

ABS 0.4 0.4 0.6

En esta matriz, los valores que se muestran son la fracción de televidentes que verán el programa de cada cadena durante esta semana, dada la cadena que vieron la emana anterior. Por ejemplo, 20% de los televidentes que observaron el programa de NBS la semana pasada lo observarán esta semana. 7

También se supone que todos los televidentes que vieron la televisión la semana pasada la verán esta semana. Dado que esta es una cadena de Markov, la proporción de televidentes de estado estable que estarán viendo el programa de cada una de las cadenas (suponiendo que todos los programas permanecen en la televisión el tiempo suficiente para que se estabilice el patrón de televidentes), puede determinarse utilizando los métodos de las cadenas de Markov. En este caso, se tiene:

 s

s

s     s

s

s 

 .   .  .

.

. 

. .

.  .



En donde: s1 = proporción de estado estable de televidentes que observan la NBS s2 = proporción de estado estable de televidentes que observan la CBC s3 = proporción de estado estable de televidentes que observan la ABS Esto conduce a: s1 = 0.2s1 + 0.3s2 + 0.2s3 s2 = 0.4s1 + 0.3s2 + 0.2s3 s3 = 0.4s1 + 0.4s2 + 0.6s3 De donde: – 0.8s1 + 0.3s2 + 0.2s3 = 0 0.4s1 – 0.7s2 + 0.2s3 = 0 0.4s1 + 0.4s2 – 0.4s3 = 0 que cuando se combinan con la ecuación adicional: 1 = s 1 + s2 + s3 puede resolverse para determinar las proporciones del estado estable. En este caso, se obtiene que los valores de las proporciones del estado estable son: s1 = 0.227

s2 = 0.273

s3 = 0.500

En otras palabras, cuando los televidentes se han decidido respecto a los programas que les gusta ver: 

22.7% observarán lo que la NBS ofrece, “Shampoo va a la Universidad”



27.3% verán el programa que presenta la CBC, “Cuatro es una multitud”



50.0% estarán observando el programa de la ABS, “Los demonios de Danny”

Con base en estos deprimentes pronósticos, Mark Goldman puede tomar una decisión anticipada con respecto a si debe mantener o cancelar el programa. Si decide cancelarlo, estará en posibilidades de utilizar la proposición de estado estable de televidentes para justificar su decisión.

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Problema 3: Ecuaciones Chapman-Kolmogorov Investigación de Operaciones, Hamdy Taha Considérese la siguiente cadena de Mrakov con dos estados:  .  .

.  . 

P 

Si S(0) = [0.7 0.3], determínese: S(1), S(4), S(8), …S(n) y las de más necesarias hasta encontrar las probabilidades de estado estable (es decir, cuando los renglones de la matriz Pn sean iguales al vector S(n)).

P

 .  .



.

 .   . 

.

 . P   P P     .  . P   P P     .

.

. 

.

 .  . 

. 

.

. 

.  . .  .

 .  .



 .   .

.

 .   .  .

. 

. .

. . .

Etcétera (Hágalo usted) Entonces, de acuerdo con las ecuaciones Chapman-Kolmogorov: S(t) = S(0) P t :

S   S   P    .

 .  .

.

. 

  . 

.

S()  S    P    .

 . .   .

.

  .

S    S    P    .

 . .   .

.

  .

. .

. . .

Etcétera (Hágalo usted) El resultado interesante es que, por ejemplo, los renglones de P8 tiende a ser iguales. También, el vector S(8) tiende a ser igual que los renglones de P8. Este resultado tiene que ver con las propiedades a largo plazo de las cadenas de Markov, que implica que las probabilidades absolutas a largo plazo son independientes de S(0). En este caso, las probabilidades resultantes se denominan probabilidades de estado estable.

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Problema 4: El caso de la movilidad de clases sociales Supóngase que en la sociedad sólo existen los estratos socioeconómicos alto, medio y bajo. Veremos a continuación la matriz de transición de un paso, es decir, las probabilidades de pasar en una generación una clase social a otra: 

Estado 0: Clase alta



Estado 1: Clase media



Estado 2: Clase baja A P 

Padres

M B

 .   .  . A

.

.

. . M

. . B



Hijos

Por ejemplo el 1% de las personas que tuvieron padres de clase baja logran llegar a ser personas de clase alta. Recuérdese que: π = π P  .  (πA, πM, πB) = (πA, πM, πB)  .  .

. . .

. . .

Las ecuaciones de estado estable son:  A   A PAA   M PMA   B PBA  M   A PAM   M PMM   B PBM  B   A PAB   M PMB   B PBB 1   A  M  B

Reemplazando los Pij obtenemos:  A   A 0.45   M 0.05   B 0.01  M   A 0.48   M 0.70   B 0.50  B   A 0.07   M 0.25   B 0.49 1   A  M  B

Recuerde que una de estas es redundante.

Resolviendo las ecuaciones obtenemos valores: πA = 0.07

πB = 0.62

πM = 0.31

Después de muchas generaciones, la probabilidad de pertenecer a la clase alta, media y baja tiende a 0.07, 0.62, 0.31 respectivamente; es decir, así se estabiliza la sociedad.

Problema 5: El análisis de las cuentas por cobrar Métodos cuantitativos para los negocios, Anderson,Sweeney,Williams 10

Una aplicación de contabilidad en la que los proceso de Markov han producido resultados útiles implica la estimación de la reserva para cuentas por cobrar de dudosa recuperación o, simplemente, dudosas. Esta reserva es una estimación de la cantidad de cuentas por cobrar que al final demostrarán ser incobrables. Considérese la situación de las cuentas por cobrar para la tienda departamental Heidman’s la cual emplea dos categorías para sus cuentas por cobrar: 1) Las cuentas que se clasifican con 0 – 30 días de antigüedad, y 2) Las cuentas que se clasifican con 31 – 90 días de antigüedad. Si cualquier porción del saldo de una cuenta excede de 90 días, esa porción se clasifica como una deuda incobrable. Heidman’s sigue el procedimiento de clasificación de antigüedad del saldo total en la cuenta de cualquier cliente de acuerdo con la factura sin pagar más antigua. Por ejemplo, supóngase que el saldo de la cuenta de un cliente al 30 de septiembre es como sigue: Fecha de Cantidad cargada compra 15 de agosto $25 18 de septiembre $10 28 de septiembre $50 Total $85 La clasificación de antigüedad de esta cuenta por cobrar al 30 de septiembre asignaría el saldo total de $85 a la categoría de 31 – 90 días debido a que la factura sin pagar más antigua del 15 de agosto tiene 476 días de antigüedad. Supóngase que una semana después, el 7 de octubre, el cliente paga la factura de $25 del 15 de agosto. El saldo total restante de $60 se colocaría ahora en la categoría 0 – 30 días en vista de que la cuenta sin pagar más antigua, corresponde a la compra del 18de septiembre, tiene menos de 31 días de antigüedad. Este método de clasificación de las cuentas por cobrar se llama método de saldo total debido a que el saldo total de la cuenta es colocado en la categoría de edad correspondiente a la cantidad sin pagar más antigua. Obsérvese que, bajo el método clasificación del saldo total, los dólares que aparecen en una categoría de 31 – 90 días en un punto en el tiempo pueden aparecer n una categoría de 0 – 30 días en un punto posterior del tiempo. En el ejemplo anterior, este movimiento entre categorías fue cierto para $60 de las facturas de septiembre, los cuales cambiaron de una categoría de 31 – 90 días a una de 0 – 30 días después de que se pagó la factura de agosto. Supóngase que el 31 de diciembre Gheidman’s muestra un total de $3,000 en sus cuentas por cobrar y que a la administración de la firma le gustaría una estimación de cuánto de los $3,000 se recaudarán al final y cuánto resultará al final de cuentas incobrables. La cantidad estimada de cuentas incobrables aparece como una reserva para cuentas de esta naturaleza en los estados financieros anuales. 11

Para ver cómo puede considerarse la operación de cuentas por cobrar como un proceso de Markov, primero concéntrese en lo que le sucede en la actualidad a un dólar en las cuentas por cobrar. Conforme la firma continúe operando en el futuro, puede considerarse cada semana como un ensayo de un proceso de Markov, con un dólar existente en uno de los siguientes estados del sistema: Estado 1 Categoría de pagado Estado 2 Categoría deuda incobrable Estado 3 Categoría 0 – 30 días Estado 4 Categoría 31 – 90 días Por lo tanto, puede rastrearse el estado semana a semana de un dólar usando un análisis de Markov para identificar el estado del sistema en una semana o periodo particular. Usando un modelo de proceso de Markov con los estados anteriores, se definen las probabilidades de transición como sigue: Pij = probabilidad de que un dólar en el estado i en una semana se mueva a estado j en la siguiente semana. Con base en las transiciones históricas en el rubro de cuentas por cobrar, se elaboró la siguiente matriz de probabilidades de transición, P, para Heidman’s:

 P  p p     p    p 

p

p

p  p  p 

p  p  p 

 .  p   .   . p     p    . p  

. . . .

. . . .

.  . .  .

Obsérvese Que la probabilidad de que un dólar en la categoría 0 – 30 días (estado 3) se mueva a la categoría pagado (Estado 1) en el siguiente periodo es de 0.4. Además, este dólar tiene una probabilidad de 0.3 de que permanecerá en la categoría de 0 – 30 días (estado 3) una semana después, y una probabilidad de 0.3 de que estará en la categoría 31 – 90 días (estado 4) una semana después. Obsérvese, además, que un dólar en una cuenta de 0 –30 días no puede hacer la transición a una deuda incobrable (estado 2) en una semana. Una propiedad importante de las cadenas de Markov, para la situación de las cuentas por cobrar de Heidman’s, es la presencia de estados absorbentes. Por ejemplo, una vez que un dólar hace una transición al estado 1, el estado pagado, la probabilidad de hacer una transición a cualquier otro estado es cero. Del mismo modo, una vez que un dólar está en el estado 2, el estado de deuda incobrable, la probabilidad de una transición a cualquier estado es cero. Por lo tanto, una vez que un dólar alcanza el estado 1 o el estado 2, el sistema permanecerá en este estado para siempre. Puede concluirse que todos los dólares de cuentas por cobrar con el tiempo serán absorbidos, ya sea en el estado pagado o en el de deuda incobrable, y de ahí el nombre de estado absorbente. 12

Matriz fundamental y cálculos asociados Siempre que un proceso de Markov tiene estados absorbentes, no se calculan las probabilidades de estado estable debido a que cada unidad a final de cuentas termina en uno de los estados absorbentes. Con estados absorbentes presentes, interesa conocer la probabilidad de que una unidad termine en cada uno de los estados absorbentes. Par el problema de Heidman’s, se desea conocer la probabilidad de que un dólar que en la actualidad está en la categoría de 0 –30 días de antigüedad termine pagado (estado absorbente 1) así como la probabilidad de que un dólar en esta categoría de antigüedad termine como una deuda incobrable (estado absorbente 2). También se desea conocer estas probabilidades de estado absorbente para un dólar que en la actualidad está en la categoría de 31 – 90 días de antigüedad. El cálculo de las probabilidades de estado absorbente requiere la determinación y uso de lo que se llama matriz fundamental. La lógica matemática que subyace en la matriz fundamental está fuera del alcance de este curso; sin embargo, como se verá, la matriz fundamental se deriva de la matriz de probabilidades de transición y es relativamente fácil de calcular para los proceso de Markov con un número pequeño de estados. A continuación se mostrará el cálculo de la matriz fundamental y la determinación de ls probabilidades de estado absorbente para la tienda departamental Heidman’s. Los cálculos comienzan dividiendo la matriz de probabilidades de transición en las siguientes cuatro partes:

Donde:

 .  . p  .   .

. . . .

 . R    .

. . . .

.  . .  .   . .  . R   .

. .

 . Q    .

;

. .

Q

. . 

. .

Puede calcularse una matriz N, llamada matriz fundamental, usando la siguiente expresión: N = (I – Q) – 1 Donde I es la matriz identidad, cuyos elementos son 1 en la diagonal principal y 0 en todo el resto de la matriz. El superíndice – 1 se usa para indicar el inverso de la matriz (I – Q). Nótese que para usar la expresión anterior, la matriz de identidad I debe elegirse de tal manera que sea del mismo orden (es decir, con el mismo número de renglones y de columnas) que la matriz Q. En el ejemplo, Q tiene dos filas y dos columnas, así que debe elegirse:    

I 

13

  

Ahora, continuando con el problema del ejemplo, se calcula la matriz fundamental:  .  .

I Q  

.  .   .   .

.  .   .   .

 .  . 

Un método para obtener la matriz inversa, es el de los determinantes de la matriz: d = (0.7 * 0.9) – (– 0.3 * – 0.3) = 0.54 N  I  Q



 . / .   . / .

. / .   .   . / .   .

. . 

Multiplicando la matriz fundamental por una porción R de la matriz P, se obtienen las probabilidades de que los dólares de cuentas por cobrar que estén al inicio de los estados 3 o 4 alcancen con el tiempo cada uno de los estados absorbentes. La multiplicación de N por R para el problema de Heidman’s proporciona los resultados:  .  .

NR  

.  . 

 .   .

.  .    .  .

.  .

El primer renglón del producto NR es la probabilidad de que un dólar en la categoría de 0 – 30 días de antigüedad termine en cada estado absorbente; por lo tanto, se observa una probabilidad de 0.89 de que un dólar en la categoría de 0 – 30 será pagado y una probabilidad de 0.11 de volverse una deuda incobrable. Del mismo modo, el segundo renglón muestra las probabilidades asociadas con un dólar en la categoría 31 – 90 días; es decir, un dólar en la categoría 31 – 90 días tiene una probabilidad de 0.74 de que al final se pague y una probabilidad de 0.26 de que resulte ser incobrable. Establecimiento de la reserva para cuentas de dudosa recuperación Sea que B represente un vector de dos elementos, que contiene los saldos actuales de las cuentas por cobrar en las categorías de 0 – 30 días y 31 – 90 días; es decir, B = [b1

b2]

Dólares totales en la categoría 0 – 30 días

Dólares totales en la categoría 31 – 90 días

Supóngase que el saldo de cuentas por cobrar al 31 de diciembre de Heidman’s muestra $1,000 en la categoría de 0 – 30 días (estado 3) y $2,000 en la categoría 31 – 90 días (estado 4): B = [1,000

2,000]

Puede multiplicarse B por NR para determinar cuánto de los $3,000 se recaudarían y cuánto se perderá; por ejemplo, BNR  ,

 .  .

, 

.   , .



Por lo tanto, se observa que $2,370 del saldo de las cuentas por cobrar se recaudarán y $630 se considerarán como deudas incobrables. Con base en este análisis, el departamento de contabilidad puede establecer una reserva para cuentas incobrables de $630. La multiplicación de BNR sólo es una forma conveniente de calcular las recaudaciones y las deudas incobrables resultantes de las cuentas por cobrar. 14

Recuérdese que la matriz NR mostró una probabilidad de 0.89 de cobrar en la categoría de 0 – 30 días y una probabilidad de 0.74 de cobrar en la categoría 31 – 90 días. Por lo tanto, como se mostró con el cálculo de BNR, se espera recaudar un total de: (1,000)*0.89 + (2,000)*0.74 = $2,370 Supóngase que con base en el análisis anterior, a Heidman’s le gustaría investigar la probabilidad de reducir la cantidad de deudas incobrables. Recuérdese que el análisis indicó que existe una probabilidad de 11% de que el saldo en la categoría de 0 – 30 días y una probabilidad de 26% de que el saldo en la categoría de 31 – 90 días de antigüedad sean incobrables. Supóngase que Heidman’s está considerando instituir una nueva política de crédito que implica un descuento por pronto pago. La administración cree que la política bajo consideración aumentará la probabilidad de una transición de la categoría de 0 – 30 días de antigüedad a la categoría pagado y disminuirá la probabilidad de una transición de la categoría de 0 – 30 días de antigüedad a la de 31 – 9 0 días. Supóngase que un estudio minucioso de los efectos de esta nueva política lleva a la administración a concluir que sería aplicable la siguiente matriz de transición:  .  . p   .   .

. . . .

. . . .

.  . .  .

Se observa que la probabilidad de que un dólar en la categoría de 0 – 30 días de antigüedad haga una transición a la categoría pagado en el siguiente periodo, ha aumentado a 0.6 y que la probabilidad de que un dólar en la categoría de 0 – 30 días haga una transición a la categoría de 31 – 90 días, ha disminuido a 0.1. Para determinar los efectos de estos cambios en el gasto por deudas incobrables, debe calcularse N, NR y BNR. Empezando por calcular la matriz fundamental N: N  I  Q



N  I  Q



  .     .

 .   .   .

.    . 

.

 .    .

 .  . 



 .  .





. 

. 

Al multiplicar N por R, se obtienen las nuevas probabilidades de que los dólares en cada categoría de antigüedad terminen en los dos estados absorbentes:  .  .

NR  

.  .   .   .

.  .   .  .

.  .

Se observa que con la nueva política de crédito se esperaría que sólo 3% de los fondos en la categoría de 0 – 30 de antigüedad y 23% de los fondos en la categoría de 31 – 90 días de antigüedad serán incobrables.

15

Si, como antes, se asume un saldo actual de $1,000 en la categoría de 0 – 30 días de antigüedad y $2,000 en la categoría de 31 – 90 días de antigüedad, puede calcularse la cantidad total de cuentas por cobrar que terminen en los dos estados absorbentes multiplicando B por NR, obteniendo: BNR  ,

 .  .

, 

.    , .



Por lo tanto, la mueva política de crédito muestra un impacto por deudas incobrables de $490. Bajo la política de crédito anterior, se encuentra que este impacto era de $630; por lo tanto, podría esperarse un ahorro de $630 - $490 = $140 como resultado de la nueva política de crédito. Dado el saldo total de las cuentas por cobrar de $3,000, este ahorro representa una reducción de 4.7% en deudas incobrables. Después de considerar los costos implicados, la administración puede evaluar la economía de adoptar la nueva política de crédito. Si el costo, incluyendo los descuentos, es menor que 4.7% del saldo de cuentas por cobrar, se esperaría que la nueva política condujera a mayores utilidades para la tienda Heidman’s.

Problema 6: El dilema del ratón Un ratón está encerrado en una tienda de quesos que tiene 4 secciones intercomunicadas mediante puertas de acceso por las cuales el ratón puede pasar con la misma probabilidad, según se muestra a continuación:

16

ÁREA DE EXHIBICIÓN BODEGA FABRICACIÓN

EMPACADO

Muestre el diagrama de relaciones correspondiente:

A partir de este diagrama, construya la matriz de probabilidades de transición:

P

=

Sala Exhibición 0 1/2 1/2 1/3

Sala Exhibición Bodega Fabricación Empacado

Bodega Fabricación Empacado 1/3 1/3 1/3 0 0 1/2 0 0 1/2 1/3 1/3 0

Encuentre las probabilidades de estado estable del sistema:

PSE

PB

PF

PSE

PB

PSE

= = = = =

PB PF PE

1

PE

PF

=

PE

1/2PB 1/3PSE 1/3PSE 1/3PSE PSE

0 1/2 1/2 1/3

1/3 0 0 1/3

1/3 0 0 1/3

1/3 1/2 1/2 0

PSE

PB

PF

0 1/3PSE 1/3PSE 1/3PSE 1/2PB 0 0 1/2PB = 1/2PF 0 0 1/2PF 1/3PE 1/3PE 1/3PE 0 + 1/2PF + 1/3PE + 1/3PE + 1/3PE + 1/2PB + 1/2PF + PB + PF + PE

Resuelva el sistema de ecuaciones utilizando la función SOLVER:

17

PE

¿Cómo interpreta estos resultados para un periodo de 8 horas laborables? A la larga, la probabilidad de que el ratón se encuentre en: La sala de exhibición es de

30%; o bien, 0.30 * 8 * 60: durante 144 minutos

La zona de empacado es de

30%; o bien, 0.30 * 8 * 60: durante 144 minutos

El área de bodega es de

20%; o bien, 0.20 * 8 * 60: durante 96 minutos

El cuarto de fabricación es de

20%; o bien, 0.20 * 8 * 60: durante 96 minutos

TOTAL

8 horas = 480 minutos

Ahora calcule la probabilidad de que el velador de la fábrica mate al ratón poniendo queso envenenado en la zona de empacado o que lo saque de la fábrica abriendo la puerta que da de la bodega al patio de carga exterior. ÁREA DE EXHIBICIÓN BODEGA FABRICACIÓN

EMPACADO



Replantee el diagrama de relaciones con esta nueva información.

18

SALIDA

Y en consecuencia, la matriz de probabilidades de transición cambia también a:

P =

Sala Exhibición Bodega Salida Fabricación Empacado Muerte

PS E

PB PS Pf PE PM

Sala Exhibición 0 1/3 0 1/2 1/4 0

Bodega 1/3 0 0 0 1/4 0

Salida 0 1/3 1 0 0 0

PSE 0.00 0 0.33 3 0.00 0 0.50 0 0.25 0 0.00 0

PB 0.33 3 0.00 0 0.00 0 0.00 0 0.25 0 0.00 0

PS 0.00 0 0.33 3 1.00 0 0.00 0 0.00 0 0.00 0

Pf 0.33 3 0.00 0 0.00 0 0.00 0 0.25 0 0.00 0

PE 0.33 3 0.33 3 0.00 0 0.50 0 0.00 0 0.00 0

0.19

0.25

0.40

0.17

0.15

19

Fabricación 1/3 0 0 0 1/4 0

PM 0.00 0 0.00 0 0.00 0 0.00 0 0.25 0 1.00 0

0.1 9 0.2 5 0.4 0 0.1 7 0.1 5 0.0 0 1.0 0.00 0

= = = = = = =

Empacado Muerte 1/3 0 1/3 0 0 0 1/2 0 0 1/4 0 1

0.1 9 0.2 5 0.4 0 0.1 7 0.1 5 0.0 0 1.0 0