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• Jose Luis Ancasi Avalos

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FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN

UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” DE ICA

TRABAJO INDIVIDUAL N°03 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES APELLIDOS Y NOMBRES: ANCASI AVALOS JOSE LUIS II CICLO “A” FECHA DE ENTREGA:04/11/2018 INSTRUCCIONES:  El trabajo se entrega vía correo electrónico ([email protected]), hasta el día 04 de noviembre horas

23:59 min)     

El archivo debe contener sus apellidos y nombres en el trabajo y nombre del archivo y en formato Word Para resolver los problemas, resuelva usando el geogebra, calculadora wiris o cálculos algebraicos, y si usa los medios electrónicos haga un copy y use la opción formato de Word para recortar la imagen. Para resolver ejercicios de calcular integrales puede usar los medios electrónicos para guiarse en la respuesta, pero deberán ser resueltos usando solo los medios algebraicos (para ello solo use el editor de ecuaciones, por ningún motivo debe usarse otros medios.) Por ningún motivo se aceptarán dos trabajos iguales, uno de ellos invalida al otro. SOLO SE ACEPTARÁ QUE USTED REMITA UNA SOLA VEZ SU TRABAJO PARA SER EVALUADO.

Resuelva los siguientes problemas

1. Las funciones de ingreso y costo marginal de una empresa que se dedica a la venta de seguros son I’ (x) = 4 + 80x – x2 y C’(x) = 12 – 4x + x2 respectivamente, y si la empresa conoce que para el ingreso C = 80 y para los costos C = 100, determina la utilidad total al vender x = 20 unidades

Solución: 𝐼 ′ (𝑋) = 4 + 80𝑋 + 𝑋 2

𝐼 (𝑋) = ∫(4 + 80𝑋 + 𝑋2 )𝑑𝑥 = 𝑥 3 + 40𝑥 2 + 4𝑥 + 𝑐 𝐼(𝑋) = 𝑥 3 + 40𝑥 2 + 4𝑥 + 80

Si c=80

𝐶 ′ (𝑋) = 12 − 4𝑋 + 𝑋 2

3 𝑥 𝐶 (𝑥 ) = ∫(12 − 4𝑋 + 𝑋2 )𝑑𝑥 = − 2𝑥 2 + 12𝑥 + 𝑐 3 𝑥3 Si c=100 𝐶 (𝑋) = − 2𝑥 2 + 12𝑥 + 100 3

Utilidad total al vender x=20 unidades:

𝑼(𝒙) = 𝑰(𝒙) − 𝑪(𝒙)

𝑥3 𝑈(𝑥 ) = 𝑥 + 40𝑥 + 4𝑥 + 80 − ( − 2𝑥 2 + 12𝑥 + 100) 3 3

2

(𝟐𝟎)𝟑 𝑼(𝟐𝟎) = (𝟐𝟎) + 𝟒𝟎(𝟐𝟎) + 𝟒(𝟐𝟎) + 𝟖𝟎 − [ − 𝟐(𝟐𝟎)𝟐 + 𝟏𝟐(𝟐𝟎) + 𝟏𝟎𝟎] 𝟑 Respuesta: Al vender 20 unidades la utilidad total es = 20353.33333 𝟑

𝟐

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2. Una tienda de ropa para damas realiza su gran venta anual donde toda su mercancía tiene precios rebajados, las rebajas se dan por departamentos, es decir, la primera semana serán en el departamento de damas, la siguiente en el de caballeros y así sucesivamente; se ha calculado que durante este periodo los ingresos se generan a razón de I’ (x) = 5 000x – 20x2 soles por día y los costos se dan a razón de C’ (x) = 2 000x + 10x2 por día; si x representa el número de días, determina: a) ¿Cuántos días deberá durar la gran venta anual?

I’(x)=C’(x)

Solución: Hasta que la utilidad sea máxima

5000𝑥 − 20𝑥 2 = 2000𝑥 + 10𝑥 2 −20𝑥 2 − 10𝑥 2 = 2000𝑥 − 5000𝑥 −30𝑥 2 + 3000𝑥 = 0 −30𝑥(𝑥 − 100) = 0 −30𝑥 = 0

𝑥=0

𝑥 − 100 = 0

𝑥 = 100

Respuesta: la gran venta anual debe durar 100 días. b) ¿Cuál es la utilidad total obtenida como resultado de dicho evento? 100

∫ 0

2

[5000𝑥 − 20𝑥 − (2000𝑥 + 10𝑥

2 )]𝑑𝑥

−30𝑥 3 3000𝑥 2 = + 3 2

100

∫

−10𝑥 3 + 1500𝑥 2 = [−10(100)3 + 1500(100)2 ] − [−10(0)3 + 1500(0)2 ]

0

= −10 000 000 + 15 000 000 = 5 000 000 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: La utilidad obtenida como resultado de dicho evento es: 5 000 000 soles

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3.

Un fabricante ha determinado que la función de costo marginal es, C’(x) = 0.003q2 - 0.4q + 40 donde q es el número de unidades producidas. Si el costo marginal es de S/27.50 cuando q=50 y los costos fijos son de S/5000, ¿cuál es el costo promedio de producir 100 unidades?

4.

Un fabricante ha decidido que la función de costo marginal es dc/dq = 0.003q2 - 0.4q + 40, en donde q es el número de unidades que se fabrican. Si el costo marginal es $27.50 cuando q = 50 y los costos fijos son $5000, ¿cuál es el costo promedio de elaborar 100 unidades?

Solución:

𝑑𝑐 𝑑𝑞

= 0.003𝑞 2 + 0.4𝑞 + 40 𝑑𝑐 = 0.003𝑞 2 𝑑𝑞 + 0.4𝑞 𝑑𝑞 + 40𝑑𝑞

𝑐 = ∫(0.003𝑞 2 𝑑𝑞 + 0.4𝑞 𝑑𝑞 + 40 𝑑𝑞) 𝑐 = ∫ 0.003𝑞 2 𝑑𝑞 + ∫ 0.4𝑞 𝑑𝑞 + ∫ 40 𝑑𝑞 0.003𝑞 3 0.4𝑞 2 𝑐= + + 40𝑞 + 𝐾 3 2 𝑐 = 0.001𝑞 3 + 0.2𝑞 2 + 40𝑞 + 𝐾

C=5000 cuando q=0 (costos fijos) Entonces hallamos la constante 𝑐 = 0.001𝑞 3 + 0.2𝑞 2 + 40𝑞 + 5000 PARA Q=100

𝑐 = 0.001(100)3 + 0.2(100)2 + 40(100) + 5000 𝑐 = 1000 + 2000 + 40000 + 5000=12 000

CPM=12000/100 = 120 $

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Calcular las siguientes integrales 5.

a) ∫(5𝑥 2 + 5𝑥 2 ) 𝑑𝑥 - ∫(8𝑥 3 + 6𝑥 2 + 10) 𝑑𝑥

∫ 5𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫ 5𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑐 - ∫(8𝑥 3 𝑑𝑥 + ∫ 6𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫ 10 𝑑𝑥 + 𝐶 [

10𝑥 3 + 𝑐] − [2𝑥 4 + 2𝑥 3 + 10𝑥 + 𝑐] 3

4𝑥 3 − 2𝑥 4 − 10𝑥 3

18+12𝑥

c) ∫ (4−9𝑥−3𝑥 2 )5 𝑑𝑥 ∫−

2 𝑑𝑡 𝑡5

−2 ∫

1 𝑑𝑡 𝑡5

−2(−

(−

𝑥

1 4(4 − 9𝑥 − 3𝑥 2)

4

1 2(4 − 9𝑥 − 3𝑥 2 )4

𝑥5

6. a) ∫ [𝑥 2 +1 + (𝑥 6 +1)2 ] 𝑑𝑥

b) ∫(3𝑥 2 + 4𝑥)(𝑥 3 + 2𝑥 2 )4 𝑑𝑥