• Author / Uploaded
• mayra lizbeth santiago hernandez

Citation preview

UNIDAD I. DISTRIBUCIONES FUNDAMENTALES PARA EL MUESTREO. 1.1 INTRODUCCIÓN A LA ESTADISTICA INFERENCIAL. Estadística inferencial: Describe los métodos que utilizan la información contenida en una muestra de la población para tomar decisiones o para obtener conclusiones sobre dicha población. La estadística inferencial se divide en dos grandes áreas: estimación de parámetros y prueba de hipótesis. Muestra aleatoria o probabilística: Muestra que se selecciona de modo que cada integrante de la población en estudio tenga una probabilidad conocida (no igual a cero) de ser incluido en la muestra, permitiendo que el azar determine los integrantes que se incluirán en la muestra. 2.1. MUESTREO: INTRODUCCION AL MUESTREO Y TIPOS DE MUESTREO. Necesidades del muestreo A menudo no es posible estudiar la población completa. Algunas de las principales razones por las que es necesario muestrear son: 1. La naturaleza destructiva de ciertas pruebas. 2. La imposibilidad física de revisar todos los integrantes de la población. 3. El costo de estudiar a todos los integrantes de la población a menudo es prohibitivo (muy alto). 4. Lo adecuado de los resultados de la muestra.

5. En ocasiones se necesitaría mucho tiempo para estudiar a toda la población. Métodos de muestreo probabilístico No hay un “mejor” método para seleccionar una muestra probabilística de una población de interés. La selección del método es de acuerdo a las características de la población. Principales métodos de muestreo probabilístico     

Muestreo aleatorio simple Muestreo aleatorio sistemático Muestreo aleatorio estratificado Muestreo aleatorio por conglomerados Muestreo aleatorio de etapas múltiples

Muestreo aleatorio simple La muestra aleatoria simple es aquella en la que los elementos se escogen en forma individual y al azar de la totalidad de la población, cada integrante de la población tiene la misma probabilidad de quedar incluido en la muestra. La muestra aleatoria simple se selecciona de la siguiente manera 1. Se enumeran todos los elementos de la población en números sucesivos del 1 a N (número de los elementos de la población); se usan ceros antes de cada cifra significativa, para igualar el número de dígitos. Si N = 1000; 0001, 0002,..., 1000 2. Con una tabla de números aleatorios se seleccionan los elementos de acuerdo al tamaño de la muestra.

Muestreo aleatorio sistemático Una muestra sistemática elige los elementos de la población (N) a intervalos uniformes a partir de un listado ordenado. El intervalo K se calcula dividiendo el total de los elementos de la población entre el tamaño muestral: K = N / n Para iniciar la selección; se elige un número al azar entre 1 y K; a partir de él se aplica a la lista el intervalo de K eligiendo cada késimo elemento de la muestra. Muestreo aleatorio estratificado En éste tipo de muestreo la población se divide en subgrupos, denominados estratos, y se selecciona una muestra de cada estrato. Entre los posibles criterios de estratificación se cuenta la edad, sexo, la escolaridad, ocupación, etc..., ó cualquier otro criterio que sea relevante al problema de investigación. Pueden utilizarse dos ó más criterios simultáneamente. Después que la población se ha dividido en estratos, puede seleccionarse una muestra proporcional si en cada uno de los estratos se usa la misma fracción de muestreo ó no proporcional ó con fracción variable de muestreo. El muestreo estratificado tiene la ventaja, en algunos casos de reflejar con mayor precisión las características de la población, que el muestreo aleatorio simple ó sistemático. Para obtener la muestra de cada estrato se utiliza muestreo aleatorio simple ó sistemático. Ejemplos Supongamos que deseamos tomar una muestra estratificada proporcional de 200 estudiantes de un colegio de 1000 alumnos.

Para esto dividimos a los estudiantes en tres estratos; utilizando como criterio de estratificación el grado. Primer estrato: 1° y 2° grado 560 Segundo estrato: 3° y 4° grado 290 Tercer estrato: 5° y 6° grado 150 1000 Fracción de muestreo f = 200 = 1 1000 5 Estratos de la población I 560 II 290 III 150 1000

Estratos de la muestra (560)(1/5) = 112 (290)(1/5) = 58 (150)(1/5) = 30 200

Una población de 5000 personas se estratificó en tres estratos de 3000, 1200 y 800, de los cuales se tomaron muestras con fracciones de muestreo 1/10, 1/5 y 1/4, respectivamente, por lo tanto se tomó la siguiente muestra: Estrato 3000 1200 800

Fracción muestral 1/10 1/5 ¼

Elementos de la muestra 300 240 200

Muestreo aleatorio por conglomerados Este tipo de muestreo se aplica en poblaciones que están compuestas por un conjunto de grupos, cada uno de los cuales tiene más de una unidad de la población, tal grupo recibe el nombre de conglomerado.

La muestra por conglomerado es aquella, en la cual la unidad de muestreo lo constituyen conglomerados. Los conglomerados de una población pueden ser agrupaciones naturales o artificiales. Conglomerados naturales: cursos de un colegio, grupos de trabajo, manzanas de una población, pueblos, etc... Conglomerados artificiales: los forma el investigador según necesidades prácticas o de otro tipo. Por ejemplo una lista de 1000 personas la puede dividir en 50 grupos de 20 personas cada uno. La selección de los conglomerados se efectúa en forma aleatoria simple o sistemática. Ejemplo Suponga que un colegio tuviese distribuidos sus 1000 alumnos en 40 cursos, cada uno de ellos con 25 alumnos, se desea tomar una muestra de 250 alumnos. f = n / N = 250 / 1000 = 1/ 4 Número de conglomerados = (1/ 4)(40) = 10 cursos, que se deberán seleccionar entre los 40 en forma aleatoria o sistemática. Muestreo aleatorio de etapas múltiples El muestreo de etapas múltiples se aplica en poblaciones divididas en conglomerados; los conglomerados construidos o definidos inicialmente llamados “unidades primarias” pueden ser divididos en grupos menores que reciben el nombre de “unidades secundarias”, las cuales a su vez, pueden ser subdivididas en conglomerados menores. La subdivisión se repite hasta un nivel que el investigador considere apropiado. La selección de los conglomerados se efectúa en forma aleatoria simple o sistemática.

1.3. TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL. Si

X

es la media de una muestra aleatoria de tamaño n tomada de

una población con media  y varianza finita forma límite de la distribución de

Z=

2

, entonces la

X  / n

Conforme n   , es la distribución normal

n (Z; 0,1)

Conclusión: Lo que nos dice este teorema es que si tomamos muestras de una población con distribución desconocida, finita o infinita, la distribución muestral de X aún será aproximadamente normal con media



y varianza

2 n

siempre que el tamaño de la muestra sea

grande (n  30), cuando “n” es grande  se puede estimar. 2

Si n 1.26).

Si tomamos dos muestras independientes de tamaño n 1 = 6 y n2 =10 de dos poblaciones normales con la misma varianza poblacional, encuentre el número “b” tal que P ( S 12 / S 22  b) = 0.95.

Dos muestras de tamaños 8 y 10 se extraen de dos poblaciones distribuidas normalmente con varianza 20 y 36 respectivamente. Hallar la probabilidad aproximada de que la varianza de la primera muestra sea más de dos veces la varianza de la segunda.

Un fabricante de automóviles pone a prueba dos nuevos métodos de ensamblaje de motores respecto al tiempo en minutos. Los resultados se muestran en la tabla: Método 1 n1 = 31 S12 = 50

Método 2 n2 = 25 S22 =24

Construya un intervalo de confianza del 90% para 𝜎 12/ 𝜎 22.

Una compañía fabrica propulsores para uso en motores de turbina. Al ingeniero de manufactura le gustaría seleccionar el proceso que tenga la menor variabilidad en la rugosidad de la superficie. Para ello toma una muestra de n1=16 partes del primer proceso, la cual tiene una desviación estándar S1 = 4.7 micro pulgadas, y una muestra aleatoria de n 2=12 partes del segundo proceso, la cual tiene una desviación estándar S2 = 5.1 micro pulgadas. Se desea encontrar un intervalo de confianza del 90% para el cociente de las dos varianzas 𝜎 12/ 𝜎 22. Suponga que los dos procesos son independientes y que la rugosidad de la superficie está distribuida de manera normal.