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• vladimir

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1.

Problema 3.Q3 Flujo reptante entre dos esferas conc´ entricas

Un fluido muy viscoso fluye en el espacio comprendido entre dos esferas conc´ entricas, tal como se indica en la Figura 1 Se desea hallarla velocidad de flujo en el sistema en funci´ on de la diferencia de presi´ on que se le comunica. Despr´ eciense los efectos finales y sup´ ongase que vθ = tθ (r, θ) y V = vφ = 0

Figura 1: Flujo reptante entre dos esferas conc´entricas estacionarias. a) Demostrar, utilizando la ecuaci´ on de continuidad, que vθsenθ = v(r), siendo u(r) una funcion de r que ha de determinarse. b) Escribir el componente θ de la ecuaci´ on de movimiento para este sistema, suponiendo velocidades de flujo suficientemente bajas, de forma que pueda despreciarse todo el primer miembro de la ecuaci´on. Demostrar que esta ecuaci´ on queda reducida a:

1 1 d 2 du 0 = − 1r ∂p + µ[ (r 2 ∂θ senθ r dr dr )] c) Separar la relaci´ on anterior en las dos ecuaciones siquientes

senθ dp dθ = B

µ d 2 du r dr (r dr )

=B

siendo B una constante de separaci´ on. d) Demostrar que

∆p = Bln( 1−cos 1+cos ) = −BE(e) u = siendo ∆p la diferencia de presi´ on comunicada.

1

R∆p 2µE() [(1

− Rr ) + k(1 − Rr )]

Respuesta:

a) ∂p ∂t

1 ∂ 1 ∂ ∂ + r12 ∂r (ρr2vr ) + rsenθ ∂θ (ρvθ senθ) + rsenθ ∂φ (ρvφ) = ∇vθ

1 ∂ − rsen ∂ (vθ senθ ) = 0 θ

ρ ∂ rsenθ ∂θ (vθ senθ) ∂ ∂θ (vθ senθ) R

=0

=0

∂(vθsenθ) = 0

vθsenθ = C1 v

φ ∂vθ ∂vθ vθ ∂vθ vr vθ b) ρ( ∂vθ ∂t + vr ∂r + r + ∂θ + rsenθ ∂φ + r − 2cosθ ∂vφ vθ H(∇2vθ + r22 ∂vr ∂θ − r2 sen2 θ − r2 sen2 θ ∂φ ) + ρgθ

1 ∂ 1 ∂ ∂ ∂ (r2 ∂r ) + r2senθ ∂θ (senθ ∂θ ) r2 ∂t 2 − 1r ∂ρ ∂θ + µ(∇ vθ )

∇2 = 0=

vθ senθ = u 1 1 ∂ 2 ∂u 0 = − 1r ∂ρ ∂t + µ[ senθ r2 ∂r (r ∂r )] 1 ∂ 2∂ 0 = − 1r ∂ρ ∂θ + µ[[ r2 ∂r (r ∂r )]vθ ]

c) senθ ∂ρ ∂θ = B µ 1 ∂ρ ∂ 2 ∂u r ∂θ = senθr2 ∂r (r ∂r ) µ ∂ 2 ∂u r ∂r (r ∂r ) = B

2

vφ2 cosθ ) r 2

∂ 1 + r2sen 2 θ ( ∂φ2 )

= − 1r ∂p ∂θ +

d) 1 senθ

= cscθ Z

p2

p1

∂p =

p|p2 p1

=B

B ∂θ − senθ

Z



Z



−

cscθ∂θ

∆p = Bln(cscθ − cotθ)|− ∆p = Bln((csc − cot) − ln[csc(−) − cot(−)]) csc−cot ∆p = Bln[ csc(−)−cot(−) ]

∆p = ln[

1 cos sen − sen cos(−) 1 − sen(−) sen(−)

]

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