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• Cristian Chavez Reyes

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PROBLEMA 153 Por la tubería indicada en la figura, circula agua, siendo la relación entre el diámetro en el punto 1 y el diámetro en el punto 2 igual a √2. En 1 la presión es de 0.5 kg/cm2 y la elevación 100. En 2 la presión es de 3.38 kg/cm2 y la elevación 70m. Calcular la velocidad en dichos puntos despreciando las pérdidas por rozamiento. SOLUCIÓN Por continuidad se tiene: 𝑣1 𝐴1 = 𝑣2 𝐴2 De donde: 𝐴2 4𝜋𝑑12 𝑣1 = 𝑣2 ( ) = 𝑣2 ( ) 𝐴1 4𝜋𝑑22 Simplificando: 𝑑2 2 1 2 𝑣1 = 𝑣2 ( ) = 𝑣2 ( ) 𝑑1 √2 Luego:

Por Bernoulli:

𝑣12 2𝑔

+

𝑃1 𝑤

+ 𝑧1 =

𝑣22 2𝑔

+

𝑃2 𝑤

𝑣1 = (1⁄2)𝑣2 … (1) + 𝑧2

Transponiendo: 𝑣22 𝑣12 𝑃1 𝑃2 − = − + 𝑧1 − 𝑧2 … … … … … … … … … … … … … … … (2) 2𝑔 2𝑔 𝑤 𝑤 Según datos del problema: 𝑃1 = 0.5 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑃2 = 3.38 𝑘𝑔/𝑐𝑚

𝑃1 = 5 𝑚. 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑤

2

𝑃2 = 33.8 𝑚. 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑤

𝑧1 = 100𝑚 𝑧2 = 70 𝑚 Reemplazando estos datos y (1) en (2):

𝑣22 𝑣22 − = 5 − 33.8 + 100 − 70 = 1.2 2𝑔 8𝑔

𝑣2 = √

(9.81)(4.8) = 3.96 𝑚/𝑠 3

Este valor en (1): 𝑣1 = 1.98 𝑚/𝑠

PROBLEMA 154 En el tubo de aspiración de una turbina a reacción el gasto es de 8 m3/seg. Así mismo ω=1 y despreciando las pérdidas de cargas, calcule las presiones en el punto A en kg/cm2 relativos. SOLUCIÓN En el punto B se tiene: 𝑣𝐵2 =0 2𝑔 Esto se debe a que es una superficie tranquila y nivel constante 𝑃𝐵 𝑤

= 0 𝑘𝑔⁄𝑐𝑚2 Relativos (por estar sometida

a la presión atm.) 𝑧𝐵 = 0 (Tomando como eje de referencia en nivel xx’) 𝑧𝐴 = 3 𝑚

Aplicando Bernoulli entre A y B: 𝑣𝐴2 𝑃𝐴 + + 3 = 0 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … (1) 2𝑔 𝑤 Por continuidad (2) en (1):

𝑄 = 𝑣𝐴 𝐴𝐴  𝑣𝐴 = 𝑣𝐴 =

𝑄 𝐴𝐴

8 = 7.09 𝑚⁄𝑠 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . (2) 𝜋(1.2)2 4

Reemplazando (2) en (1) 𝑃𝐴 = −3 − 2.56 = −5.56𝑚. 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑤 𝑃𝐴 = 0.556 𝑘𝑔⁄𝑐𝑚2 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠

PROBLEMA 155 En el medidor venturl de la figura se ha insertado un piezómetro diferencial que marca 0.60 m. de mercurio. El líquido que fluye en la tubería de agua. a) Se desea saber cuál será el gasto que circula. b) ¿Cuál será deflexión que marcará el piezómetro diferencial si el gasto es de 50 l/s? Considere ω=1 y despréciese las pérdidas de carga. SOLUCIÓN: Aplicando Bernoulli entre (1) y (2) 𝑣12 𝑃1 𝑣22 𝑃2 + + 𝑧1 = + + 𝑧2 2𝑔 𝑤 2𝑔 𝑤 Transponiendo Términos: 𝑃1 − 𝑃2 𝑣22 − 𝑣12 + 𝑧1 − 𝑧2 = … … … … … … … … … … … … … … … … (1) 𝑤 2𝑔 Se sabe que en este tipo de piezómetros: 𝑃1 − 𝑃2 = 𝑧𝜔1 − 𝜔(ℎ + 𝑧) = 13.6(60) − (80 + 60) = 676

𝑔𝑟 𝑘𝑔 = 0.676 2 𝑐𝑚2 𝑐𝑚

𝑃1 − 𝑃2 = 6.76𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 … … … … … … … … … … … … … … … … … (2) 𝜔 De la fórmula de continuidad se saca: 𝑣1 =

𝑣2 =

𝑄 𝑄 𝑄 = = … … … … … … … … … … … … … (3) 2 𝐴1 𝜋(6𝑥0.0254) 0.0182 4

𝑄 𝑄 𝑄 = = … … … … … … … … … … … … … (4) 2 𝜋(2𝑥0.0254) 𝐴2 0.00203 4

Pasamos un eje horizontal (2) ∴ 𝑧1 = 0.80 𝑚. ; 𝑧2 = 0 Reemplazando (2), (3), (4) y estos últimos valores en (1): 6.76 + 0.80 − 0 =

𝑄2 1 1 ( − ); 2𝑔 0.002032 0.018242

De donde: 𝑎) 𝑄 = 0.024 𝑚3 /𝑠 = 24.9 𝑙/𝑠 b) si 𝑄 = 50 𝑙/𝑠 = 0.05 𝑚3 /𝑠, las velocidades en los puntos 1 y 2, son: De

(3):

𝑣1 =

0.005 𝑚 0.05 = 2.75 ; 𝑣2 = = 24.5 𝑚/𝑠 … … . … … … … … … … … … (6) 0.0182 𝑠 0.00203

Como la diferencia de presiones en este tipo de piezómetros es conocida por la fórmula: 𝑃1 − 𝑃2 = 𝑧𝜔1 − 𝜔(ℎ + 𝑧), la ecuación (1) queda: 𝑧𝜔1 − 𝜔(ℎ + 𝑧) 𝑣22 − 𝑣12 + 𝑧1 + 𝑧2 = 𝜔 2𝑔 Reemplazando (5) y (6) y demás datos en esta última: 13.6𝑧 − 1(0.80 + 𝑧) 𝑣22 − 𝑣12 + 𝑧1 + 𝑧2 = 1 2𝑔 13.6𝑧 − (0.80 + 𝑧) + 0.08 = 30.5 𝑧 = 2.42 𝑚

PROBLEMA 156 De un deposito sale una tubería sale de 10’’ de diámetro, la que por medio de una reducción pasa de 5’’ descargando luego libremente en la atmosfera. El gasto a la salida en 105 l/s. Se pide calcular: a) La presión en la sección inicial de la tubería. b) Altura del agua en el depósito, media sobre el eje de la tubería. c) Potencia bruta del chorro SOLUCIÓN

a) Por continuidad 𝑣𝐴 =

𝑄 0.105 0.105 𝑚 = = = 2.08 … … … … … … … … … … … … (1) 2 𝐴𝐴 𝜋(10𝑥0.0254) 0.05067 𝑠 4 𝑣𝐵 =

𝑄 0.105 0.105 𝑚 = = = 8.32 … … … … … … … … … … … … (2) 2 𝐴𝐵 𝜋(5𝑥 0.0254) 0.001267 𝑠 4

Aplicando Bernuollí entre los puntos A y B: 𝑣𝐴2 𝑃𝐴 𝑣𝐵2 𝑃𝐵 + + 𝑧𝐴 = + + 𝑧𝐵 … … … … … … … … … … … … … … … … … … (3) 2𝑔 𝑤 2𝑔 𝑤 Donde:

𝑃𝐵 𝑤

= 0,

𝑧𝐴 = 𝑧𝐵 = 0

Reemplazando (1) y (2) en (3) como demás datos: 2.082 𝑃𝐴 8.322 + +0= +0+0 2𝑔 𝑤 2𝑔 𝑃𝐴 = 3.32 𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑤

b) Altura del depósito: Tomando Bernoulli entre los puntos O y B, que como están sometidos a la presión atmosférica, obtenemos: 𝑣𝐵 = √2𝑔ℎ O sea que la altura del depósito es la carga de velocida: ℎ=

𝑣𝐵2 8.322 = = 3.54 𝑚 2𝑔 19.6

c) Potencia bruta: Pot=wQB Donde: 𝑤 = 1000 𝑘𝑔/𝑚3 𝐵=

;

𝑄 = 0.105𝑚3 /𝑠

𝑣𝐵2 8.322 = = 3.54 𝑚 (𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙) 2𝑔 19.6

∴ 𝑃𝑜𝑡 = 1000𝑥0.105𝑥3.54 = 371.7 𝑘𝑔𝑚/𝑠 En HP: 𝑃𝑜𝑡 =

371.7 = 4.96 𝐻𝑃 75

PROBLEMA 157 Una vena líquida es descargada verticalmente hacía abajo por un tubo de 2cm de diámetro. A 0.25m por debajo de la boca de descarga el diámetro de la vena se ha reducido a 1 cm. a) Calcular el gasto descargado por el tubo. b) Si el tubo descarga verticalmente hacia arriba un gasto 5 veces mayor, ¿Cuál sería el diámetro de la vena a una altura de 25cm sobre la boca de descarga? SOLUCIÓN a) Aplicando Bernoulli entre los puntos A y B, teniendo presente que como están sometidos a la presión atmosférica, sus presiones son 0 kg/cm2relativos. 𝑣𝐴2 𝑣𝐵2 + 𝑧𝐴 = + 𝑧𝐵 2𝑔 2𝑔 𝑣𝐵2 𝑣𝐴2 = + 𝑧𝐴 −𝑧𝐵 … … … … … … … … … … … … … … … … … (1) 2𝑔 2𝑔 𝐴

𝑑

𝐴𝐵

𝑑𝐵

2

Por continuidad: 𝑣𝐵 𝐴𝐵 = 𝑣𝐴 𝐴𝐴 → 𝑣𝐵 = [ 𝐴 ] → 𝑣𝐵 = 𝑣𝐴 [ 𝐴 ] 2

2 𝑣𝐵 = 𝑣𝐴 [ ] = 4𝑣𝐴 … … … … … … … … … … … … … … … (2) 1 Reemplazando (2) en (1) y como 𝑧𝐴 −𝑧𝐵 = 0.25𝑚 se tiene: (4𝑣𝐴 )2 𝑣𝐴2 = + 0.25 19.6 19.6 𝑣𝐴 = 0.57 𝑚/𝑠 Entonces: 𝑄 = 𝑣𝐴 𝐴𝐴 = 0.57 (

𝜋(22 ) ) 4

𝑄 = 179 𝑐𝑚3 ⁄𝑠 b) Planteando el Bernoulli entre A y B, se llega a la ecuación (1) del caso (a) Por continuidad, teniendo presente que el gasto debe ser 5 veces al anterior: 𝑣𝐴 =

𝑄 𝐴𝐴

5𝑥179 = 285 𝑐𝑚/𝑠 𝜋(22 ) 4 5𝑥179 1140 𝑣𝐵 = = 2 𝜋(𝑑 2 ) 𝑑 4

𝑣𝐴 =

Reemplazando valores en (1) (

𝑑4 =

1.140 2 ) 2852 𝑑2 = + 0.25 19.6 19.6

662 = 40.1 → 𝑑 = 2.51 𝑐𝑚 16.5

PROBLEMA 158 El conducto de entrada a una máquina hidráulica tiene un diámetro de 0.60m. El conducto de salida es de 0.90m de diámetro. Se ha medido las presiones en los conductos de entrada y salida obteniéndose 1.4 kg/cm2 y 0.15 kg/cm2, respectivamente. El manómetro de entrada se encuentra a 1.5m por arriba del de salida. Si se conoce que el gasto que circula en la máquina hidráulica es 0.44 m3/s ¿Cuál será la potencia suministrada a la misma? SOLUCIÒN 𝑃𝐴 = 1.4 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 La potencia suministrada es: Pot=wQBA

Donde: B𝐴 =

𝑣2𝐴 2𝑔

+

𝑃𝐴 𝑤

+ 𝑧𝐴

Siendo: 𝑣𝐴 =

𝑄 𝑜. 44 = = 1.55 𝑚/𝑠 𝐴𝐴 𝜋(0.62 ) 4

Luego: 𝑃𝑜𝑡𝐴 = 1000𝑥0.44𝑥 (

1.552 + 14 + 1.5) 19.6

𝑃𝑜𝑡𝐴 = 6874 𝑘𝑔𝑚/𝑠 La potencia de salida es: 𝑃𝑜𝑡𝐵 = 𝑤𝑄𝐵𝐵 Donde: 𝐵𝐵 =

𝑣𝐵2 𝑃𝐵 + + 𝑧𝐵 2𝑔 𝑤

Siendo: 𝑣𝐵 =

𝑄 0.44 = = 0.69 𝑚/𝑠 𝐴𝐵 𝜋(0.92 ) 4

Entonces: 0.692 𝑃𝑜𝑡𝐵 = 1000𝑥0.44𝑥( + 3.5 + 0) 19.6 𝑃𝑜𝑡𝐵 = 1550 𝑘𝑔𝑚/𝑠 La potencia de la máquina será: 𝑃𝑜𝑡𝑀𝑎𝑞. = 𝑃𝑜𝑡𝐴 − 𝑃𝑜𝑡𝐵 𝑃𝑜𝑡𝑀𝑎𝑞. = 5324 𝑘𝑔𝑚/𝑠 En H.P.: 𝑃𝑜𝑡𝑀𝑎𝑞. =

5324 = 71𝐻. 𝑃. 75

PROBLEMA 159 Se tiene dos placas circulares horizontales de 0.80m de diámetro. La placa inferior se puede deslizar sobre un tubo vertical de 0.15m de diámetro exterior siendo su peso propio 2kg. La placa superior es fija, siendo la separación entre ambas de 2.5cm. Por el tubo vertical entre un caudal de agua de 30l/s que fluye radialmente para mantener la separación de 2.5cm entre las placas. Asúmase ω=1.2 y despréciese las pérdidas de carga. SOLUCIÓN Al fluir el agua radialmente hacia fuera el área normal a la velocidad es una superficie lateral cilíndrica; para un radio r, la superficie es: 2 ra. 𝑣=

𝑄 𝑄 = … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … (1) 𝐴 2𝜋𝑟𝑎

Aplicando Bernoulli entre los puntos (3 y 2): 𝜔𝑣32 𝑃3 𝜔𝑣22 𝑃2 + + 𝑧3 = + + 𝑧2 2𝑔 𝑤 2𝑔 𝑤 Como 3 y 2 están sobre un mismo eje, y el punto 2 está sometido a la presión atm. Se tiene: 𝑃3 =

𝜔 2 (𝑣 − 𝑣32 ) 25 2

Por la relación (1) queda: 𝑃3 =

𝜔 𝑄 2 𝑄 2 𝜔𝑄2 1 1 [( ) −( ) ]= ( 2 − 2) 2 2 2𝑔 2𝜋𝑟2 𝑎 2𝜋𝑟2 𝑎 8𝑔𝜋 𝑎 𝑟2 𝑟

El peso total que puede soportar la placa móvil debe ser igual al empuje axial que tiene a aproximar las placas entre sí. Esta dada por: 𝐹 = ∫ 𝑝𝑑𝐴 Donde p=p3  dA=2πrdr ∴ El peso total que puede soportar la placa será la integral entre los puntos 1 y 2: 𝐹=

𝑟1 𝜔𝑄2 1 1 ∫ ( 2 − 2 ) 2𝜋𝑟𝑑𝑟 2 2 8𝑔𝜋 𝑎 𝑟2 𝑟2 𝑟

Integrando i reemplazando los valores: 0.075

𝐹=

𝜔(0.030)2 𝑟 2 [ − 𝑙𝑜𝑔𝑟] 4𝑔𝜋𝑎2 2𝑟 2 𝑜.3

𝐹 = 0.01403(0.9176) = 0.012874 𝑡𝑛. 𝐹 = 12.874 𝑘𝑔 El peso w que pondrá soportar la placa móvil será: 𝑤 = 𝐹 − 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 = 12.874 − 2 𝑤 = 10.874 𝑘𝑔

PROBLEMA 160 La pérdida de carga en el sistema mostrado en la figura es de una carga de velocidad A a B; de B a C es de 2 cargas de velocidad y de C a D, de una carga de velocidad. El diámetro de la tubería es de 15cm. Considerando ω= 1 se pide: a) Hallar la carga de presión en metros de agua relativas en los puntos B y C b) Asumiendo que todos los datos permanecieran iguales, excepto el diámetro de la tubería. ¿Qué diámetro debería ponerse para para que la presión en C sea igual a -0.7 kg/cm2 relativos? c) Asumiendo todos los datos iguales al enunciado del problema, excepto la elevación del punto C. ¿Cuál deberá ser la altura para C para obtener en ese punto un vacío de o.4 kg/cm2?

SOLUCIÓN Aplicando Bernoulli entre A y D : 𝑣𝐴2 𝑃𝐴 𝑣𝐷2 𝑃𝐷 + + 𝑧𝐴 = + + 𝑧𝐷 + 𝑝𝑐. 2𝑔 𝑤 2𝑔 𝑤 Donde: 𝑃𝐴 = 𝑃𝐷 = 0 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜; 𝑣𝐴 = 0; 𝑍𝐴 = 0; 𝑍𝐷 = −15𝑚; 𝑝𝑐 = 4

𝑣𝐷2 − 15 2𝑔

Reemplazamos: 0=5

𝑣𝐷2 − 15 2𝑔

De donde: 𝑣𝐷 = √6𝑔 = 𝑣(que es la velocidad en cualquier punto de la tubería, por ser el diámetro único: 15c) a) Cálculo de la presión en B: Aplicando Bernoulli entre A y B (donde la perdida de carga es una velocidad): 0=

𝑣 2 𝑃𝐵 𝑣2 + − 12 + 2𝑔 𝑤 2𝑔

𝑃𝐵 𝑣2 = 12 − = 6𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑤 𝑔 Cálculo de la presión relativa en c: Bernoulli entre A y C (donde la pérdida de carga es 3 cargas de velocidad) 0=

𝑣 2 𝑃𝐶 𝑣2 + −5+3 2𝑔 𝑤 2𝑔

𝑃𝐶 𝑣2 = 5−3 = −7𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑤 𝑔 b) Si todos los datos permanecen iguales y si la presión en c es igual a -0.7 kg/cm2 =-7m de agua, coincide con la presión halla anteriormente, esto quiere decir que como el gasto es invariable, el diámetro se mantiene en sus: d=15cm c) Se aplica nuevamente Bernoulli entre A y C: 0=

𝑣 2 𝑃𝐶 𝑣2 + − 𝑧𝐶 + 3 2𝑔 𝑤 2𝑔

𝑧𝐶 = −2

𝑣 2 𝑃𝐶 − … … … … … … … … … … … … … … … … … … … (2) 𝑔 𝑤

En el cual, por ser la presión en C vacío de o.4 kg/cm2, es relativa, bajo 0 relativo, o sea: 𝑃𝐶 = −4 𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 … … … … … … … … … … … … … … … … … (3) 𝑤 Reemplazando (3) y demás datos en (2):

2

𝑧𝐶 = −2

(√6) − 4 = −8𝑚 9.81

PROBLEMA 161 Una tubería que conduce líquido de 900 kg/m3 de peso específico, experimenta un cambio de sección en tal forma que de un diámetro de 6’’ en la sección A, pasa a tener un diámetro de 18’’ en la sección B. La intensidad de presión en A es 0.9 kg/cm2 y en B 0.6 kg/cm2. El nivel de B es 4m superior al de A. El gasto es de 0.15 m3/s. Determínese la dirección del flujo y la pérdida de carga entre las dos secciones mencionadas. SOLUCIÒN Como la dirección del flujo es desconocida, supongamos que sube A hacia B: Por Bernoulli: 𝑣𝐴2 𝑃𝐴 𝑣𝐵2 𝑃𝐵 + + 𝑧𝐴 = + + 𝑧𝐵 + 𝑝𝑐̅̅̅̅ 𝐴𝐵 … … … … … … … … … … … … … … (1) 2𝑔 𝑤 2𝑔 𝑤 Por Continuidad: 𝑄 = 𝑣𝐴 𝐴𝐴 = 𝑣𝐵 𝐴𝐵

Reemplazando valores en (1): (8.29)2 9000 (0.915)2 6000 + +0= + + 4 + 𝑝𝑐̅̅̅̅ 𝐴𝐵 19.6 900 19.6 900 𝑝𝑐̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = 2.78𝑚 Como la perdida de carga es positiva, el sentido que se supuso al comienzo es el correcto, si hubiera salido negativo, la dirección del flujo era contraría a la que se supuso. Dirección del flujo = Sube de A hacía B

PROBLEMA 162 En el sistema de la figura se ha medido una descarga de 100 l/s. El diámetro de la tubería de succión es de 16’’ y el de la descarga 12’’. Determinar la potencia que debe tener una bomba de 80% de eficiencia si la pérdida de carga entre A y B es equivalente a 4 cargas de velocidad, y la pérdida entre D y C es igual a 5m de agua. Halle la presión en los puntos B y C relativos. SOLUCIÓN Aplicando Bernoulli entre A y B: Donde:𝑣𝐴 = 0; 𝑃𝐴 = 0; 𝑧𝐴 = 0 Luego: 0=

𝑣𝐵2 𝑃𝐵 + + 𝑧𝐵 + 𝑝𝑐 2𝑔 𝑤

De donde: 𝑃𝐵 𝑣𝐵2 =− − 𝑧𝐵 − 𝑝𝑐 𝑤 2𝑔 Reemplazando datos: 𝑃𝐵 𝑣𝐵2 𝑣𝐵2 𝑣𝐵2 =− +1−4 = 1−5 𝑤 2𝑔 2𝑔 2𝑔 Pero: 𝑣𝐵 =

𝑄 0.1 0.1 = = = 0.77 𝑚/𝑠 2 𝐴𝐵 𝜋(16𝑥0.0254) 0.1295 4

∴

𝑃𝐵 𝑤

=1−5

0.772 19.6

= 0.849𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎

𝑃𝐵 = 0.0849 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 Aplicando Bernoulli entre C y D: donde 𝑣𝑐 = 𝑣𝐷 = 𝑣, por tener la misma área. 𝑣 2 𝑃𝐶 𝑣 2 𝑃𝐷 + + 𝑧𝑐 = + + 𝑧𝐷 + 𝑝𝑐 2𝑔 𝑤 2𝑔 𝑤 𝑃𝐶 𝑃𝐷 = + 𝑧𝐷 − 𝑧𝑐 + 𝑝𝑐 𝑤 𝑤 En el cual: 𝑃𝐷 = 0 𝑟𝑒𝑎𝑙; 𝑧𝐷 = 1 + 12 = 13𝑚; 𝑝𝑐 = 5𝑚; 𝑧𝑐 = 𝑜 Sustituyendo estos datos: 𝑃𝐶 = 0 + 13 + 5 − 0 = 18𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑤

𝑃𝐶 = 1.8 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 A la bomba entra una potencia: 𝑃𝑜𝑡𝐸 = 𝑤𝑄𝑃𝐵 𝑃𝑜𝑡𝐸 = 1000𝑥0.1𝑥 (

𝑣𝐵2 𝑃𝐵 0.772 + + 𝑧𝐵 ) = 1000𝑥0.1𝑥 ( + 0.849 + 0) 2𝑔 𝑤 19.6 𝑃𝑜𝑡𝐸 = 87.9 𝑘𝑔𝑚/𝑠

De la bomba sale una potencia: 𝑃𝑜𝑡𝑆 = 𝑤. 𝑄. 𝐵𝐶 = 1000𝑥0.1𝑥 (

Donde: 𝑣𝑐 =

𝑄 𝐴𝐶

=

0.1 𝜋(12𝑥0.0254)2 4

𝑣𝐶2 𝑃𝐶 + + 𝑧𝐶 ) 2𝑔 𝑤

= 1.37 𝑚/𝑠

∴ 𝑃𝑜𝑡𝑆 = 1000𝑥0.1𝑥 (

1.372 19.6

+ 18 + 0)

𝑃𝑜𝑡𝑆 = 1809.6 𝑘𝑔𝑚/𝑠 La potencia que debe tener la bomba será: 𝑃𝑜𝑡𝐵𝑂𝑀𝐵𝐴 = (𝑃𝑜𝑡𝑆 − 𝑃𝑜𝑡𝐸 )

𝑃𝑜𝑡𝐵𝑂𝑀𝐵𝐴 =

1 𝐸𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

1809.6 − 87.9 = 21521 𝑘𝑔𝑚/𝑠 0.8

En H.P.: 𝑃𝑜𝑡𝐵𝑂𝑀𝐵𝐴 =

21521 = 28.7 𝐻. 𝑃. 75

PROBLEMA 163 Una tubería ABCD de diámetro uniforme, se compone de tres tramos retos que miden respectivamente AB=61.57m; BC=243m y CD= 28.03m. Las cotas geométricas de los extremos de cada tramo: A=238.8m; B=232.87m; C=189.25m; D=187.39m. Un manómetro colocado en A indica una presión de 1.2 kg/cm2. Determinar la dirección de la corriente en la tubería y la presión del agua en el punto E situado en la cota 213.36m. SOLUCIÓN Tomando Bernoulli entre A y D: 𝑣𝐴2 𝑃𝐴 𝑣𝐵2 𝑃𝐵 + + 𝑧𝐴 = + + 𝑧𝐵 + 𝑝𝑐 … … … … … … … … … … … … (1) 2𝑔 𝑤 2𝑔 𝑤 Donde: 𝑣𝐴 = 𝑣𝐷 = 𝑣(𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜) 𝑃𝐴 = 1.2

𝑘𝑔 𝑃𝐴 → = 12 𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 2 𝑐𝑚 𝑤

𝑃𝐷 = 6.75

𝑘𝑔 𝑃𝐷 → = 67.5 𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 2 𝑐𝑚 𝑤

𝑧𝐴 = 238.45 𝑚 𝑧𝐷 = 238.45 𝑚 Reemplazando estos valores en (1): 𝑣2 𝑣2 + 12 + 238.45 = + 67.5 + 𝑝𝑐 2𝑔 2𝑔 𝑝𝑐 = −4.44 𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 Como la pérdida de carga ha salido negativa, quiere decir que la dirección es la corriente es la contraria a la que supusimos: Dirección del flujo = Sube de D a A La distancia de A hasta B es: 61.57 + 243.84 +28.04= 333.45m La pérdida de carga por metro lineal es: 4.44/ 333.45 m de agua Cálculo de la pérdida de carga de E hasta B: 𝑝𝑐𝐵𝐸 ̅̅̅̅ =

4.44 ̅̅̅̅ ) … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … (2) (𝐵𝐸 333.45

En el triángulo BEM Y BCR, por semejanza:

𝐵𝐸 𝐵𝐶

=

𝐸𝑀 𝐶𝑅

𝐵𝐸 232.87 − 213.36 = 243.84 323.87 − 189.25

Despejando: 𝐵𝐸 =

19.51𝑥243.84 = 108.5 𝑚 … … … … … … … … … … … … … … … (3) 43.62

Reemplazando (3) en (2): 𝑝𝑐𝐵𝐸 ̅̅̅̅ =

4.44 (108.5) = 1.444 𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 333.45

Tomando Bernoulli de E a A: 𝑣𝐴2 𝑃𝐴 𝑣𝐸2 𝑃𝐸 + + 𝑧𝐴 + 𝑝𝑐̅̅̅̅ + + 𝑧𝐸 … … … … … … … … … … … … (4) 𝐸𝐴 = 2𝑔 𝑤 2𝑔 𝑤 Donde: 𝑣𝐴 = 𝑣𝐷 = 𝑣 (𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜) 𝑝𝑐̅̅̅̅ ̅̅̅̅ + 𝑝𝑐̅̅̅̅ 𝐸𝐴 = 𝑝𝑐𝐵𝐸 𝐵𝐴 = 1.4444 +

𝑃𝐴 = 1.2

4.44 (61.57) = 2.265 333.45

𝑘𝑔 𝑃𝐴 → = 12 𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑐𝑚2 𝑤

𝑧𝐴 = 238.45 𝑚 𝑧𝐸 = 213.36 𝑚 Reemplazando valores en (4) 𝑣2 𝑣 2 𝑃𝐸 + 12 + 238.45 + 2.265 = + + 213.36 2𝑔 2𝑔 𝑤 𝑃𝐸 = 3.9355 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑤

PROBLEMA 164 Una bomba centrífuga, Bombea agua de un pozo a través de una tubería vertical de 12’’. La que se extiende debajo de la superficie del agua. La descarga se efectúa por medio de una tubería horizontal de 6’’ de diámetro situada a 4.10m sobre el nivel del agua. Mientras se bombea 57 l/s un manómetro colocado en la descarga registra una presión de

24 lb/pulg2 y un

manómetro colocado en la succión registra 51 lb/pulg2. Ambos manómetros están separados verticalmente por una distancia de 0.90m se desea: a) Computar la pérdida de carga en la tubería de succión. b) Computar la variación de energía en kg.m/s entre las dos secciones que llevan los manómetros. SOLUCIÓN

a) Tomando Bernoulli entre los puntos 1 y 0 𝑣02 𝑃0 𝑣12 𝑃1 + + 𝑧0 = + + 𝑧1 + 𝑝𝑐 … … … … … … … … … … … … … … (1) 2𝑔 𝑤 2𝑔 𝑤

Donde: 𝑣0 = 0; 𝑃0 = 0; 𝑧0 = 0; 𝑧1 = 3.2 𝑚 𝑣1 =

𝑄 𝐴1

=

0.057 𝜋(12𝑥0.0254)2 4

= 0.78 𝑚/𝑠

𝑃1 = −5𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2 = −0.352 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 = 3.52 𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 Reemplazando estos datos en (1): 0+0+0=

0.782 = 3.52 + 3.20 + 𝑝𝑐 19.6

𝑝𝑐 = 0.29𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎

b) La variación de energía entre las secciones 1 y 2, será la diferencia de Bernoulli, es decir: 𝐻=

𝑣22 2𝑔

+

𝑃2 𝑤

+ 𝑧2 − (

𝑣21 2𝑔

+

𝑃1 𝑤

+ 𝑧1 ) … … … … … … … … … … … … (2)

Donde: 𝑣2 =

𝑄 0.057 = = 3.12 𝑚/𝑠 𝐴2 𝜋(6𝑥0.0254)2 4

𝑃2 = 24

𝑙𝑏 𝑃2 → = 16.92𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑝𝑢𝑙𝑔2 𝑤

𝑧1 = 3.20𝑚; 𝑧2 = 4.10𝑚 Reemplazando datos (2):

∆𝐻 =

3.122 0.782 + 16.92 + 4.1 − ( − 3.52 + 3.2) 19.6 19.6 ∆𝐻 = 21.806𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎

La variación de energía en kgm/s será: ∆𝐸 = 𝑤𝑄∆𝐻 ∆𝐸 = 1000𝑥0.57𝑥21.806 ∆𝐸 = 1242.9 𝑘𝑔𝑚/𝑠

PROBLEMA 165 El agua de un reservorio e bombeada por encima de un cerro a través de una tubería de 0.90m de diámetro, manifestándose una presión de 2.1 kg/cm2 en la parte más alta de la tubería que se encuentra a 91m sobre el nivel del agua. El caudal bombeado es de 1.4 m3/s y la pérdida de carga es de 10m entre el reservorio y la cumbre ¿Qué cantidad de energía por segundo en caballos debe proporcionar el motor, sabiendo que su eficiente es de 90% y la de la bomba de 80%? SOLUCIÓN

La energía que debe proporcionar el motor es: E=w.Q.B 𝐸 = 𝑤𝑄 (

𝑣12 𝑃1 + + 𝑧1 + 𝑝𝑐) … … … … … … … … … … (1) 2𝑔 𝑤

Donde: w= 1000 kg/m3 Q=1.4 m3/s 𝑣1 =

𝑃1 = 2.1

𝑄 1.4 = = 2.2 𝑚/𝑠 𝐴1 𝜋(0.9)2 4

𝑘𝑔 𝑃1 → = 21𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 2 𝑐𝑚 𝑤

𝑃1 = 91𝑚 𝑝𝑐 = 10𝑚 Reemplazando estos datos en (1): 𝐸 = 1000𝑥1.4𝑥 (

2.22 + 21 + 91 + 10) 19.6

𝐸 = 171.145 𝑘𝑔𝑚/𝑠

Esta energía en caballos, considerando la eficiencia es: 𝐸=

171.145 = 3.160 𝐻. 𝑃. 75𝑥0.9𝑥0.8

PROBLEMA 166 En una tunería horizontal de 0.30m de diámetro se tiene un regulador de gasto consistente en una válvula colocada aguas arriba de una estrangulación. La válvula es accionada por un émbolo de 0.20m de diámetro. Sobre la cara superior de este émbolo actúa la presión de agua en la parte ancha de la tubería y sobre la cara inferior actúa la presión en la parte estrangulada de la tubería. La prolongación superior del vástago de la válvula ésta conectada a uno de los extremos de una palanca, cuyo eje de giro queda a 0.1m del vástago, en el otro extremo de la palanca actúa un peso de 5kg. Se quiere saber qué gasto debe pasar por la tubería para que el sistema esté en equilibrio. El peso del vástago y del embolo es de 5kg. Puede considerarse que no existe perdida de carga en la tubería. SOLUCIÓN

Para que el sistema esté en equilibrio, se debe tener: (5 + 𝐹)𝑂. 1 = 5𝑥0.5 Siendo F= La diferencia de presiones que actúan sobre las caras del émbolo Despejando: F=20kg Como “A” es el área del émbolo: 𝑃=

𝐹 20 = = 638 𝑘𝑔 𝐴 𝜋(0.2)2 4

Aplicando Bernoulli entre 1 y 2: 𝑣12 𝑃1 𝑣22 𝑃2 + + 𝑧1 = + + 𝑧2 2𝑔 𝑤 2𝑔 𝑤 𝑃1 − 𝑃2 𝑣22 − 𝑣12 = + 𝑧2 − 𝑧1 … … … … … … … … … … … … … … … … (1) 𝑤 2𝑔 En el cual: 𝑃1 − 𝑃2 𝑃 638 = = = 0.638 𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑤 𝑤 1000 𝑑

2

0.30 2

Por continuidad: 𝑣2 𝐴2 = 𝑣1 𝐴1 → 𝑣2 = 𝑣1 [𝑑1] → 𝑣1 = [0.15] 2

𝑧2 − 𝑧1 = 0 (𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑒𝑗𝑒) Reemplazando estos valores en (1):

0.638 =

(4𝑣1 )2 −(𝑣1 )2 19,6

15𝑣1 2 = 0.638𝑥19.6 = 12.47 𝑣1 = 0.912𝑚/𝑠 El gasto será: 𝑄 = 𝑣1 . 𝐴1 = 0.912

𝜋(0.3)2 4

= 0.06384

𝑚3 𝑠

𝑄 = 63.84 𝑙𝑡/𝑠 PROBLEMA 167 Hallar la relación en el punto A en kg/cm2 relativos, cuando la altura de agua sobre el centro del tubo divergente es de 1.20m ¿Cuál será la altura de agua para que la presión en A sea 0.035 kg/cm2 absolutos? Considérese ω= 1 y la pérdida de carga es 0. SOLUCIÓN

La velocidad del flujo en el punto B, de salida es: 𝑣𝐵 = √2𝑔ℎ … … … … … … … … … … … … … … … … … (1) 𝑣𝐵 = √2(9.81)(1.2) = 4.85 𝑚/𝑠 Por continuidad: 𝑣𝐴 = 𝑣𝐵 [

𝑑𝐵 2 0.15 2 ] =( ) 𝑣𝐵 = 2.25 𝑣𝐵 … … … … … … … (2) 𝑑𝐴 0.1

𝑣𝐴 = 10.91 𝑚/𝑠

Tomando Bernoulli entre 0 y A:

0 + 0 + 1.2 =

10.912 𝑃𝐴 + +0 19.6 𝑤

𝑃𝐴 = −4.88𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑤 𝑃𝐴 = −0.488 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 Absoluta= −(1.033 − 0.035)𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 = −0.998 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 relativos, la altura de agua debe variar: Tomando Bernoulli entre 0 y A: 0+0+ℎ =

𝑣𝐴2 𝑃𝐴 + +0 2𝑔 𝑤

Reemplazando (2) a esta última: ℎ= Pero tenemos que: 𝑃𝐴 = −0.998

𝑘𝑔 𝑐𝑚2

(2.25𝑣𝐵 )2 𝑃𝐴 + … … … … … … … … … … … … … … … … … (3) 2(9.81) 𝑤

𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 →

𝑃𝐴 𝑤

= −9.98𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 … … … … … … … (4)

Sustituyendo (1) y (4) en (3):

ℎ=

5.0625(√2𝑔ℎ)2 − 9.98 2𝑔

ℎ=

5.0625(2𝑔ℎ) − 9.98 2𝑔

ℎ = 5.0625ℎ − 9.98 ∴ ℎ = 2.46𝑚

PROBLEMA 168 En el croquis mostrado en la figura se sabe que la pérdida de carga en los tres tramos suma 120m. Considerando despreciable la pérdida de carga debida a la velocidad, hallar la cota del ℎ+

punto B y la longitud de cada tramo, sabiendo que las pendientes hidráulicas ( ) son: para 𝐿

AB=0.02; BC=0.03; 0.08 Los puntos C y D son de descarga libre. SOLUCIÓN

La presión en el punto A es 0 kg/cm 2 relativos, como también en los puntos de descarga C y D. Despreciaremos la perdida de cargas debida a la velocidad según dato del problema. Ahora bien, sea “x” la cota en el punto B, cuya presión es 7 kg/cm, de lo que se tiene: 𝑃𝐵 = 70𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑤 Aplicando Bernoulli en cada uno de los tramos: Tramo AB: 100 = 70 + x + pcAB…………....…………………………………………………...……….(1) Tramo BD: 70 + x = 40 + pcBD……………………………………………………………..…………...(2) Tramo BC: 70 + x = 20 + pcBC…………………………………………………………………………..(3) Sumando y ordenando: x – (pcAB + pcBD + pcBC)=-110 Pero dato es: pcAB + pcBD+ pcBC = 120m Entonces: x= 10 Cota del punto B = x= 10………………………………………….(4) Caso pendiente =

ℎ+ 𝐿

→𝐿=

ℎ+ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

(𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ+= 𝑝é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎)

Reemplazando (4) en (1): pcAB=20m ∴ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 =

20 = 1000𝑚 0.02

Reemplazando (4) en (2): pcBD=40m ∴ ̅̅̅̅ 𝐵𝐷 =

40 = 500𝑚 0.08

Reemplazando (4) en (2): pcBC=60m ̅̅̅̅ = ∴ 𝐵𝐶

60 = 2000𝑚 0.03

AB = 1000m BD = 500m BC = 2000m

PROBLEMA 169 En el sistema de la figura, la bomba BC extras 65 l/s de aceite, cuya densidad relativa es 0.82 del reservorio A para el D. La pérdida de carga de A-B es 8m de aceite y de C-D 22m. a) ¿qué potencia debe tenerla bomba, si su eficiencia es de 80%? b) Dibujar la línea de energía total. SOLUCIÓN La potencia de la bomba será: 𝑃𝑜𝑡𝐵𝑂𝑀𝐵𝐴 =

𝑤𝑄(𝐵𝑆 − 𝐵𝐸 ) … … … … … … (1) 𝐸𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

Siendo Bernoulli de entrada: 𝐵𝐸 =

𝑣𝐴2 𝑃𝐴 + + 𝑧𝐴 − 𝑝𝑐 2𝑔 𝑤

Donde: 𝑃𝐴 = 0; 𝑣𝐴 = 0; 𝑧𝐴 = 50 − 10 = 40𝑚; 𝑝𝑐 = 8𝑚 ∴ 𝐵𝐸 = 0 + 0 + 40 − 8 = 32𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 … … … … … … … … … (2) El Bernoulli de salida: 𝐵𝑆 =

𝑣𝐷2 𝑃𝐷 + + 𝑧𝐷 + 𝑝𝑐 2𝑔 𝑤

Donde: 𝑃𝐷 = 0; 𝑣𝐷 = 0; 𝑧𝐷 = 110 − 10 = 100𝑚; 𝑝𝑐 = 22𝑚 ∴ 𝐵𝑆 = 0 + 0 + 100 + 22 = 122𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 … … … … … … … … … (3) Reemplazando (2), (3) y demás datos en (1), dividiendo entre 75 kgm/s para que nos de en H.P. 𝑃𝑜𝑡𝐵𝑂𝑀𝐵𝐴 =

820𝑥0.065(122 − 32) = 80 𝐻. 𝑃. 0.8𝑥75

Para hallar la línea de energía, a las cotas de los puntos A, B , C y D, se le suma la carga de presión y de velocidad. Se obtiene, Tomando Bernoulli entre dos puntos: De (2): 𝑣𝐵2 𝑃𝐵 + = 32𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 2𝑔 𝑤 De (3): 𝑣𝐶2 𝑃𝐶 + = 122𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 2𝑔 𝑤

La línea piezometrica es la que une presiones de los puntos A, B, C y D.

PROBLEMA 170 Se tiene dos placas circulares horizontales de 1m de diámetro paralelas entre sí. La placa inferior es fija y la superior puede deslizarse sobra un tubo vertical central. Obténgase la magnitud de la fuerza total que habría que hacer hacía arriba para que el gasto de 50 l/s descargue con una separación de 0.02m entre las planchas. El agua hace su ingreso por el tubo central y luego fluye radialmente hacia afuera, con la velocidad decreciente, para descargar en la superficie. Despréciese la pérdida de carga y el peso propio de la placa. SOLUCIÓN El agua fluye radialmente hacia afuera con velocidad variable, pues según el radio, su área transversal (superficie lateral cilíndrica) varía. Por continuidad, la velocidad en un punto de radio r/Q, será: 𝑣=

𝑄 𝑄 = 𝐴 2𝜋𝑟𝑎

Donde: 𝑄 = 0.5 𝑚3 /𝑠 ; 𝑎 = 0.02𝑚 Luego: 𝑣=

0.05 0.398 = 𝑚/𝑠 … … … … . … … … … … … … … … … … (1) 2𝜋(0.02)𝑟 𝑟

Tomando Bernoulli entre los puntos 3 y 2: 𝑣32 𝑃3 𝑣22 𝑃2 + +0= + +0 2𝑔 𝑤 2𝑔 𝑤

Reemplazando (1) en esta última igualdad: 0.3982 𝑃3 0.3982 + = 𝑤 2𝑔𝑟32 2𝑔𝑟22 𝑃3 0.3982 1 1 = ( 2 − 2) 𝑤 2𝑔 𝑟2 𝑟3 Como w= 1 tn/m3; r2=0.5m; r3= radio en cualquier punto (r), P3 será una presión expresada en tn/m2. 𝑃3 = 0.00808 (

1 1 − ) 0.25 𝑟 2

La fuerza total que se necesitará para levantar la placa, debe ser igual al empuje axial: 𝐹 = ∫ 𝑝𝑑𝐴

Dónde: P=P3  dA=2πrdr La fuerza total, será la integral entre los puntos 2 y 1: 0.05

𝐹 = 0.00808 ∫ 0.5

1 1 ( − 2 ) 2𝜋𝑟𝑑𝑟 0.25 𝑟

Integrando y reemplazando los valores: 0.075

𝐹 = 0.00808 [

𝑟2 − 𝑙𝑛𝑟] 2(0.25) 𝑜.3

𝐹 = 0.0509 [0.005 − 0.5 + ln ( 𝐹 = 92 𝑘𝑔

0.5 )] 𝑡𝑛. 0.05