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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Ingeniería en Aeronáutica Problema 1.18 Utilizando una aproximación similar que la usada en el ejemplo 1.7, desarrollar expresiones de unidades métricas para la presión, la temperatura, y la densidad de la atmósfera desde 11,000 hasta 20,000 m. La temperatura es constante e igual a 216.650 K en este rango de altitud. Nomenclatura h – altura sobre el nivel del mar. T – temperatura del aire. T0 – temperatura sobre el nivel del mar. B – tasa de cambio que varía con la altitud. ρ0 – densidad del aire a nivel del mar. g – fuerza de gravedad. R – Constante universal.

Datos h – desde 11,000 hasta 20,000 m. 𝑇11,000 𝑎 20,000 𝑚 = 216.650 𝐾 𝑇0 = 288.15 𝐾 𝐵 = 0.0065

𝐾 𝑚

𝑁 𝜌0 = 1.0133 𝑥 105 2 𝑚 𝑚 𝑔 = 9.81 2 𝑠 𝑁𝑚 𝑅 = 287.05 𝑘𝑔 𝐾

Fórmulas 𝑇 = 𝑇0 − 𝐵𝑧 𝐵𝑧 g/RB 𝑃 = 𝜌0 (1 − ) 𝑇0 𝑑𝑝 𝑔𝑑𝑧 ∫ = −∫ 𝑝 𝑅𝑇 𝑃 𝜌= 𝑅𝑇 𝑔(𝑧1 − 𝑧2 ) 𝑃2 = 𝑃1 exp[ ] 𝑅𝑇

Ρ – densidad del aire. P – presión del aire. z – altitud.

1

Se deben desarrollar las expresiones matemáticas para la densidad, presión y temperatura en un rango de 11,000 a 20,000 metros. Para ello, es necesario encontrar los valores de presión y densidad a una altura de 11,000 metros, utilizando los parámetros a nivel del mar de la tabla 1.2A. Se tiene que: 𝑇0 = 288.15 𝐾 𝐾 𝐵 = 0.0065 𝑚 𝜌0 = 1.0133 𝑥 105

𝑁 𝑚2

Donde: To = temperatura a nivel del mar. B = es una tasa de cambio que varía con la altitud. ρ0 = densidad del aire al nivel del mar. Sustituyendo estos valores en la ecuación 1.21, para obtener la temperatura: 𝑇 = 𝑇0 − 𝐵𝑧 Tenemos que: 𝑇 = 288.15 𝐾 − 0.0065𝑧. Para obtener la presión a 11,000 m, se utiliza la fórmula 1.22: 𝐵𝑧 g/RB 𝑃 = 𝜌0 (1 − ) 𝑇0 Donde: g/RB es igual a 5.26 para el aire.

Que se obtiene al integrar: 𝑑𝑝 𝑔𝑑𝑧 =− 𝑝 𝑅𝑇 Al sustituir los valores tenemos que: 𝐾 0.0065 ∗ 𝑧 𝑁 𝑚 𝑃 = 1.0133 𝑥 10 2 (1 − )5.26 𝑚 288.15 𝐾 Resolvemos la división y nos queda la expresión para obtener el valor de la presión: 5

𝑃 = 1.0133 𝑥 105

𝑁 1 (1 − 2.2557 𝑥 10−5 ∗ 𝑧)5.26 2 𝑚 𝑚

Si se busca la presión a una altitud de 11,000 m, entonces: 𝑃 = 1.0133 𝑥 105

𝑁 1 (1 − 2.2557 𝑥 10−5 ∗ (11,000 𝑚))5.26 2 𝑚 𝑚

Al resolver, nos queda que: 𝑃11,000 𝑚. = 22,607.78

𝑁 𝑚2

Para obtener la densidad, se utiliza la ecuación de estado de los gases ideales (1.10): 𝜌=

𝑃 𝑅𝑇

Donde: ρ = densidad del aire.

2

P = presión del aire. R = constante de gases ideales, para el aire es igual a 287.05

𝑁𝑚 . 𝑘𝑔 𝐾

T = temperatura del aire. Al sustituir los valores en la fórmula 1.10, tenemos que: 5.26 𝑁 −5 1 (1 − 2.2557 𝑥 10 ∗ 𝑧) 𝑚 𝑚2 𝑁𝑚 (287.05 ) ∗ (288.15 𝐾 − 0.0065𝑧) 𝑘𝑔 𝐾

1.0133 𝑥 105 𝜌=

A una altura de 11,000 metros, la densidad se obtiene sustituyendo z=11,000 m: 5.26 𝑁 −5 1 (1 − 2.2557 𝑥 10 ∗ (11,000𝑚)) 𝑚 𝑚2 𝑁𝑚 1 (287.05 ) ∗ (288.15 𝐾 − 0.0065 𝑚 ∗ 11,000 𝑚) 𝑘𝑔 𝐾

1.0133 𝑥 105 𝜌11,000 𝑚. =

Resolviendo la ecuación, tenemos que: 𝜌11,000 𝑚. = 0.363531

𝑘𝑔 𝑚3

Ahora que encontramos la presión a 11,000 metros sobre el nivel del mar, se utilizarán esos valores para expresar la presión y densidad de cualquier valor que se encuentre en el rango de 11,000 a 20,000 metros sobre el nivel del mar. Para ello, utilizaremos la fórmula 1.20: 𝑔(𝑧1 − 𝑧2 ) 𝑃2 = 𝑃1 exp[ ] 𝑅𝑇 Donde: P2 es la presión que se busca. P1 es igual a la presión a 11,000 metros. 𝑃1 = 22,607.78

𝑁 . 𝑚2

g es igual a la fuerza de gravedad. 𝑔 = 9.81 𝑚/𝑠 2 . 𝑁𝑚

R es la constante universal de los gases. 𝑅 = 287.05 𝑘𝑔 𝐾. T es la temperatura. En el caso de 11,000 a 20,000 metros sobre el nivel del mar, la atmósfera es isotérmica, por lo que la temperatura se mantiene constante a 216.65 K. z es la altitud. Que se obtiene separando las variables e integrando entre dos puntos (z1 y z2) de la ecuación: ∫

𝑑𝑝 𝑝2 𝑔 𝑔 = ln = − ∫ 𝑑𝑧 = − (𝑧 − 𝑧1 ) 𝑝 𝑝1 𝑅𝑇 𝑅𝑇 2

Como g, R y T son valores constantes, entonces:

3

𝑚 9.81 2 𝑔 𝑠 = 𝑅𝑇 (287.05 𝑁 𝑚 )(216.65 𝐾) 𝑘𝑔 𝐾 Resolvemos la ecuación y tenemos que: 𝑔 1 = 1.5774 𝑥 10−4 𝑅𝑇 𝑚 Sustituyendo estos valores en la ecuación 1.20, obtenemos la expresión de unidad métrica para obtener la presión en cualquier punto de z2, por lo que: 𝑃2 = (22,607.78

𝑁 1 ) exp[1.5774 𝑥 10−4 (11,000 𝑚 − 𝑧2 ] 2 𝑚 𝑚

Para obtener la presión a 20,000 m sobre el nivel del mar, sustituimos z2 y obtenemos que: 𝑃2 = (22,607.78

𝑁 1 ) exp[1.5774 𝑥 10−4 (11,000 𝑚 − (20,000 𝑚))] 2 𝑚 𝑚

Resolviendo la ecuación nos queda: 𝑃2 = 5,466.47

𝑁 𝑚2

Una vez que obtenemos la presión 1 y la presión 2, la densidad se obtiene en función de éstas, ya que: 𝜌1 =

𝑃1 𝑅𝑇1

𝜌2 =

𝑃2 𝑅𝑇2

Si dividimos la densidad 2 entre la densidad 1, tenemos que: 𝑃2 𝜌2 𝑅𝑇2 = 𝑃1 𝜌1 𝑅𝑇1 Aplicando la ley de extremos y medios: 𝜌2 𝑃2 𝑅𝑇1 = 𝜌1 𝑃1 𝑅𝑇2 T1=T2 y la R es una constante, por lo tanto, la ecuación nos queda como: 𝜌2 𝑃2 = 𝜌1 𝑃1 Despejamos ρ2 de la ecuación: 𝜌2 = 𝜌1

𝑃2 𝑃1

4

Para encontrar la densidad a una altura de 20,000 m, se sustituyen los valores de P 2, P1 y ρ1 previamente calculados, por lo que la ecuación se define como: 𝑁 𝑘𝑔 5,466.47 𝑚2 𝜌2 = (0.363531 3 ) ( ) 𝑁 𝑚 22,607.78 2 𝑚 Resolvemos la ecuación para encontrar la densidad a una altura de 20,000 metros sobre el nivel del mar: 𝜌2 = 0.0879

𝑘𝑔 𝑚3

Desde los 11,000 hasta los 20,000 metros de altura sobre el nivel del mar, la temperatura se considera constante e igual a 216.65 K. Conclusión: para poder obtener las propiedades del aire a 20,000 metros, primero se deben conocer las propiedades iniciales a una altura de 11,000 metros, para ello, se utilizan los valores de la presión, temperatura y densidad a nivel del mar. Se puede notar que a medida que aumenta la altura, la presión y la densidad disminuyen, también podemos observar que la tasa de disminución de la presión y la densidad es la misma, es decir, ambas decrecen proporcionalmente.

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