Universidad de Investigación de Tecnologías Experimentales Yachay Tech Ibarra, Ecuador PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA TEMA 2
Views 56 Downloads 0 File size 298KB
Universidad de Investigación de Tecnologías Experimentales Yachay Tech Ibarra, Ecuador PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA TEMA 2: FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA: La estadística es el conjunto de métodos necesarios para recoger, clasificar, representar y resumir datos, con el objetivo de hacer inferencias (extraer consecuencias) científicas a partir de ellos, ante la presencia de incertidumbre. REPASO DE LA NOTACIÓN DE CONJUNTOS Se denotaran los conjuntos con letras mayúsculas: A, B, S, …. Si el conjunto A está formado por 4, 6 y 8, entonces escribimos: A={4,6,8}. El conjunto que contiene a todos los elementos que tienen una característica se llamará conjunto universal y se denotará por S. Ejemplos: ℕ, ℤ, ℝ. Si A y B son dos conjuntos, se dirá que A es subconjunto de B, denotado A⊂B, si todo elemento de A también pertenece a B. El conjunto vacío, denotado por ∅, no contiene elementos; y tiene la cualidad de ser subconjunto de todos los conjuntos.
Diagramas de Venn: es una forma conveniente de representar conjuntos por medio de diagramas.
OPERACIONES CON CONJUNTOS: Unión: Sean A y B dos conjuntos. La Unión de A y B, que se representa mediante A∪B, es el conjunto de puntos que pertenece a A o a B o a ambos. Intersección: La intersección de A y B, que se denota por A∩B, es el conjunto de puntos que pertenecen a A y a B. Complemento: Si A es un subconjunto de S, el complemento de A, denotado por 𝐴̅ , es el conjunto de puntos que pertenece a S, pero no a A. Observación: 𝐴 ∪ 𝐴̅ = ¿ ? Definición: Dos conjuntos A y B son disjuntos o mutuamente excluyentes si A∩B=∅. Ejemplo: Lanzamiento de un dado A= Sale par; B= sale impar. Propiedad 1: Leyes distributivas. Si A, B y C son conjuntos, entonces: A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) Propiedad 2: Leyes de Demorgan. ̅̅̅̅̅̅̅ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴̅ ∪ 𝐵̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴̅ ∩ 𝐵̅
DETERMINÍSTICOS PROCESOS (FENÓMENOS)
PROBABILÍSTICOS
DETRMINÍSTICOS: CONDICIONES INICIALES
DETERMINAN UN ÚNICO RESULTADO
PROBABILÍSTICOS: CONDICIONES INICIALES
DETERMINAN EL COMPORTAMIENTO EN EL ESTADO FINAL PROBABILIDAD
CARACTERÍSTICAS DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO: 1.-Pueden ser repetidos indefinidamente en las mismas condiciones.
2.-No se puede predecir un resultado en particular, pero si decir el conjunto de todos los posibles resultados. 3.-A medida que el experimento se repite, los resultados individuales parecen ocurrir sin ninguna relación entre ellos, pero cuando se repite un gran número de veces aparece una cierta regularidad, que hace posible construir modelos matemáticos para analizarlos. (Propiedad de regularidad estadística).
EJEMPLOS DE EXPERIEMNTOS PROBABILÍSTICOS 1.-Se lanza un dado y se observa el número que aparece en la cara superior. 2.-Se lanza una moneda 4 veces y se observa la sucesión de caras y sellos obtenidos. 3.-Se fabrican artículos en una línea de producción y se cuenta el número de artículos defectuosos producidos en un período de 24 horas. 4.-El ala de un aeroplano se arma con un gran número de remaches. Se cuenta el número de remaches defectuosos. 5.-Se fabrica un bombillo. Luego se prueba su duración poniéndolo en un portalámparas y se anota el tiempo, en horas, transcurrido hasta que se quema.
6.-Se aplican estrategias de enseñanzas distintas a tres grupos de estudiantes.
ESPACIO MUESTRAL: Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se denotará por S.
EVENTOS (Ó SUCESOS): Un evento A respecto de un espacio muestral S es un subconjunto de S.
EVENTOS: 1.-Si A y B son eventos, AB es el evento que ocurre si y solo si A ó B (ó ambos) ocurren. 2.-Si A y B son eventos, AB es el evento que ocurre si y solo si A y B ocurren. 3.-Si A es un evento, 𝐴̅ es el evento que ocurre si y solo si A no ocurre. 4.-Si A1, ... ,An son eventos, entonces Ai es el evento que ocurre si y solo si al menos uno de los eventos Ai ocurre.
5.- Si A1, ... ,An son eventos, entonces Ai es el evento que ocurre si y solo si todos los eventos Ai ocurren. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES:
Se dice que dos eventos A y B, son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir juntos. En otras palabras si: AB =.
PROBABILIDAD Sea S el espacio muestral asociado con un experimento aleatorio dado. Con cada evento A se asocia un número real, designado por P(A), llamado probabilidad de que A ocurra, que satisface las siguientes propiedades:
AXIOMAS DE PROBABILIDAD: (1) 0 P( A) 1 (2) P(S) = 1 (3) Si A y B son eventos que se excluyen mutuamente entonces: P(A U B)= P(A) + P(B) (4) Si A1, ....., An son eventos que se excluyen mutuamente dos a dos, entonces:
n P( A ) P(A ) P(A ) ...... P(A n ) 1 2 1 i
PROPIEDADES: 1.-P()= 0 2,-Si A es cualquier conjunto y 𝐴̅ su complemento, entonces: P(A) = 1 – P(𝐴̅) 3.-Si A y B son dos eventos cualesquiera, entonces: P(A U B ) = P(A) + P(B) – P(A B) 4.-Si A, B y C son eventos cualesquiera, entonces: P( A U B U C ) = P(A) + P(B) + P(C)– P(A B)- P(A C) - P(B C) - P(A B C)
DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD La probabilidad de que aparezca determinado evento A, es el cociente entre el número de casos favorables a ese evento A y el número total de casos, siendo estos igualmente probables, es decir:
P(A) Número de casos favorables a A Número de casos posibles Ejemplo: Se arrojan dos dados y se observan los puntos de cada dado. a)Describir el espacio muestral. b)Calcular la probabilidad de que salga exactamente un cuatro.
c) Calcular la probabilidad de que salga al menos un cuatro. d) Calcular la probabilidad de que la suma de los puntos sea 5. e) Calcular la probabilidad de que la suma sea un número primo.
HERRAMIENTAS PARA CONTAR PUNTOS MUESTRALES PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN o REGLA mn: Con m elementos a1, a2, ……, am y n elementos b1, b2, …, bn es posible formar Mn= m*n pares que contienen un elemento de cada grupo.
PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN (otra forma): Si una actividad se puede realizar en a formas, una segunda actividad en b formas, una tercera en c formas, y así sucesivamente, para n actividades; entonces las n actividades pueden ser realizadas conjuntamente, una detrás de la otra, en:
a x b x c x ............ formas n - factores PERMUTACIONES: Una permutación es un arreglo ordenado (importa el orden) de un conjunto de objetos.
Pn,r n ! (n r)!
(sin repetición)
Ejemplo: Si no se permiten repeticiones; a) ¿Cuántos números de tres dígitos se pueden formar con los seis dígitos: 2, 3, 5, 6, 7, 9; b) ¿Cuántos de éstos son menores de 400?; c) ¿Cuántos son pares?
COMBINACIONES: Número de formas en que r objetos pueden elegirse de un conjunto de n objetos sin importar el orden.
n r
C n,r
n! (n r)! r!
(sin repetición )
PROBABILIDAD CONDICIONAL Si A es un evento cualquiera definido en un espacio muestral S asociado a un experimento aleatorio, la probabilidad de que otro evento B ocurra una vez que A haya ocurrido se expresa como P(B/A), la probabilidad condicionada de B dado que A ha ocurrido, y se define como:
P(B/A)
P(A B) P(A)
EVENTOS INDEPENDIENTES Se dice que dos eventos A y B son independientes si:
P(A B) P(A) P(B)
TEOREMA DE BAYES
Sean B1, B2, ..., Bn eventos mutuamente excluyentes, que representan las n posibles causas del resultado del experimento, siendo A el evento que representa el resultado. El Teorema de Bayes establece que:
P(A/B ) P(B ) i i P(B /A) n i P(A/B i ) P(Bi ) i1
PROBLEMAS 1) ¿Qué está mal en cada una de las siguientes afirmaciones? a) Como hay 22 estados en ese país, la probabilidad de nacer en uno de ellos es 1/22. b) La probabilidad de que una persona fume es de 0.45 y de que beba es 0.54; así la probabilidad de que esa persona fume o beba es de 0.54 + 0.45= 0.99. c) La probabilidad de que cierto candidato para la presidencia gane es de 3/5, y de que pierda es de1/4. d) Dos equipos de fútbol están igualmente equilibrados. Entonces la probabilidad de que alguno de ellos gane es de ½. 2) Los artículos provenientes de una línea de producción se clasifican en defectuosos (D) o no defectuosos (N). Se observan los artículos y se anota su condición. Este proceso se continúa hasta que se produzcan dos artículos defectuosos consecutivos, o se hayan verificado 4 artículos, cualesquiera que ocurra primero. Describir un espacio muestral para este experimento. 3) Demostrar que para dos sucesos cualesquiera A y B, se tiene: P(A U B) ≤ P(A) + P(B). 4) Diez fichas numeradas del 1 al 10 se mezclan en una palangana. Se sacan de la palangana dos fichas numeradas (x, y), una y otra vez sin sustitución. ¿Cuál es la probabilidad de que x + y = 10? 5) Un lote consta de 10 artículos buenos, 4 con pequeños defectos, y 2 con defectos graves. Se elige un artículo al azar. Encontrar la probabilidad de que: a) No tenga defectos; b) Tenga un defecto grave; c) Que sea bueno o que tenga un defecto grave.
6) Cuando se arroja un par de dados legales; ¿Cuáles son las probabilidades de obtener: a) 7; b) 11; c) 7 u 8; d) 2, 3 ó 12. 7) Un experimento tiene los cuatro posibles resultados mutuamente excluyentes A, B, C y D. Verifique si están permitidas las siguientes asignaciones de probabilidades: a) P(A)= 0.38; P(B)= 0.16; P(C)= 0.11; P(D)= 0.35. b) P(A)= 0.32; P(B)= 0.27; P(C)= -0.06; P(D)= 0.47. 8) Si A y B son mutuamente excluyentes y P(A)= 0.29 y P(B)= 0.43, Calcular: a) P(A’); b) P(A U B); c) P(A ∩ B’); d)P(A’ ∩ B’). 9) Si se extraen dos cartas de una baraja ordinaria (52 naipes); ¿Cuál es la probabilidad de que una sea espada y la otra corazón ?. 10) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 ó más espadas en una extracción de cuatro cartas de una baraja ordinaria? 11) Una urna contiene 4 bolas blancas y 6 negras. ¿Cuál es la probabilidad de que una bola extraída al azar sea blanca?. 12) Si se lanzan dos monedas; ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara y un sello?. 13) ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres caras lanzando tres monedas? 14) Una secretaria descuidada escribió a máquina 4 cartas y 4 sobres e insertó las cartas al azar dentro de los sobres. Encontrar la probabilidad de cada uno de lo siguiente: a) Ninguna carta entró en el sobre correcto. b) Al menos una carta entró en el sobre correcto. c) Solo una carta entró en el sobre correcto. d) Al menos dos cartas entraron en los sobres correctos. e) Exactamente 3 cartas entraron en los sobres correctos. 15) Encontrar la probabilidad de que en una tirada de un dado se tenga 4 ó 5. 16) En una caja hay 10 piezas, de las cuales 4 están pintadas. Un montador toma al azar 3 piezas. Hallar la probabilidad de que por lo menos una de las piezas escogidas esté pintada. 17) En el estante de una biblioteca están puestos en un orden fortuito 15 manuales, 5 de los cuales están encuadernados en tela. El bibliotecario toma al azar 3 manuales. Hallar la probabilidad de que por lo menos uno de los manuales escogidos resulte encuadernado en tela. 18) En una baraja de 32 cartas, se extraen, al azar, 4 cartas (sin reposición). Determinar las probabilidades de los siguientes eventos: a) Por lo menos una de las cartas es un as. b) Las cuatro cartas tienen el mismo color.
19) Se lanzan simultáneamente dos dados, con las caras numeradas del 1 al 6. Describir el espacio muestral y la probabilidad de los sucesos elementales. Si la letra x representa la suma de los puntos obtenidos en un lanzamiento, calcular la probabilidad de que x sea menor que 7. 20) Si 3 de 20 neumáticos están defectuosos y 4 de ellos se escogen aleatoriamente (esto es, cada neumático tiene la misma probabilidad de ser elegido), ¿Cuál es la probabilidad de que solamente uno de los defectuosos sea escogido? 21) La probabilidad de que un servicio de pruebas para consumidores califique un nuevo dispositivo como muy malo, malo, regular, bueno, muy bueno o excelente es de 0.07, 0.12, 0.17, 0.32, 0.21, y 0.11, respectivamente. ¿Cuáles son las probabilidades de que lo califiquen como: a) Muy malo, malo, regular o bueno. b) bueno, muy bueno o excelente. 22) Sean A y B dos sucesos correspondientes a un experimento aleatorio, tales que: A U B = S;
P(A)= 0.8;
P(B) = 0.5.
Calcular: a) P(A ∩ B); b) P(A U B’); c) P(A’ U B); d) P(A’ U B’). 23) Se considera un dado cargado. Las probabilidades de cada cara en un lanzamiento son inversamente proporcionales al número que aparece. Se pide: a) Probabilidad de que un lanzamiento salga impar. b) Probabilidad de que salga inferior a 4. 24) Tres manuales científicos constan de 3, 5 y 2 volúmenes. Colocados al azar los 10 tomos en una estantería, ¿cuál es la probabilidad de que los volúmenes de cada tratado estén juntos? 25) Se propone un mismo problema a dos alumnos incomunicados. La probabilidad de que lo resuelva el primero es ½, la probabilidad de que lo resuelva el segundo es ¼ y la probabilidad de que lo resuelvan ambos es 1/8. Hallar la probabilidad de que el problema no sea resuelto y la probabilidad de que lo resuelva un solo alumno. 26) a)Se considera el espacio muestral N = {1, 2, 3, ………} y se define la probabilidad de q los sucesos elementales por: P (n) n donde n Є N y q Є R. 5 Determinar el valor de q para que P sea una probabilidad y hallar la probabilidad del suceso A ={ n Є N : n es impar}. b) Se considera el espacio muestral N = {1, 2, 3, ………} y se define la probabilidad de los sucesos elementales por: 𝑝(𝑛) = probabilidad.
𝑒 −𝛼 𝛼 𝑛 𝑛!
donde n Є N.
Verificar que P es una
27) a)El intervao real [1; +∞ ) se considera como espacio muestral y se define la función:
x P( x) 1 dt, con x Є [1; +∞ ) 2 1t ¿Es una función de probabilidad en ese intervalo? b)Para cada intervalo I se define: 1 1 𝑑𝑥 2 𝐼 𝜋 1+ 𝑥 ¿Es una función de probabilidad en ese intervalo? 𝑃(𝐼) = ∫
28) Se escogen dos artículos al azar de un grupo de 12 de los cuales 4 son defectuosos. Sea A ={ dos artículos defectuosos } y B ={ dos artículos no defectuosos }. Calcular P(A) y P(B). 29) Se desea hallar la probabilidad p de que n personas tengan fechas diferentes de cumpleaños. Para resolver este problema no se tiene en cuenta los años bisiestos y se supone que el cumpleaños de una persona puede caer en un día con igual probabilidad. 30) ¿De cuántas formas se pueden colocar en el tablero de ajedrez 8 torres de modo que no se puedan ‘comer’ una a la otra? PROBABILIDAD CONDICIONAL 31) Se lanzan dos dados, encontrar la probabilidad de que la suma sea igual a 7 y al mismo tiempo la diferencia entre el mayor y el menor sea igual a 1. 32) Supongamos que se consideran las combinaciones posibles de los hijos de una familia de dos niños, siendo todas equiprobables. Sean los eventos siguientes: H: ‘la familia tiene un varón’. A: ‘el mayor es un varón’. B: ‘los dos niños son varones’. Determinar las probabilidades: P(B/H) y P(B/A). 33) Se tienen tres fichas A, B, C tales que: A tiene dos lados blancos. B tiene un lado blanco y un lado negro. C tiene dos lados negros. Se escoge una ficha al azar, se observa solamente uno de sus lados y este lado es blanco. ¿ Cuál es la probabilidad de que el otro lado sea igualmente blanco?.
TEOREMA DE BAYES
34) Una empresa tiene 4 fábricas que producen el mismo artículo. La producción de las fábricas se deposita en el mismo almacén. En un período determinado la fábrica A produjo el 20% de los artículos, la B el 40%, la C el 25% y la D el 15%. Los porcentajes de artículos defectuosos en las fábricas fueron 1%, 2%, 1.3% y 0.5% respectivamente. ¿Cuáles son las probabilidades de que el artículo haya procedido de las fábricas A, B, C o D respectivamente? 35) Cuando ocurre un accidente de automóviles, las autoridades de tránsito hacen un análisis al conductor para determinar la presencia de alcohol en la sangre. Por experiencia se sabe que si el conductor ha ingerido licor, el análisis resultará positivo en el 97% de los casos. Por otro lado, el examen puede erróneamente resultar positivo en un 2% de los casos. Suponiendo que en el 1% de los accidentes el conductor haya ingerido licor, ¿Cuál es la probabilidad de que en un accidente en particular en el que el examen resultó positivo, el conductor haya ingerido realmente licor? 36) En cierta facultad, 1% de las mujeres y 4% de los hombres tienen más de 6 pies de altura. Además, 60% de los estudiantes son mujeres. Ahora bien, si se selecciona al azar un estudiante y es más alto de 6 pies, ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante sea mujer?.