Probabilidad

USAC FACULTAD DE INGENIERÍA Ing. Alba Maritza Guerrero Spínola Ph.D. ESTADISTICA 1 SECCIONES C+ y D+ PROBABILIDAD CONDI

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USAC FACULTAD DE INGENIERÍA Ing. Alba Maritza Guerrero Spínola Ph.D. ESTADISTICA 1 SECCIONES C+ y D+

PROBABILIDAD CONDICIONAL Cuando dos sucesos se relacionan de manera que la probabilidad de ocurrencia de uno, A, aumento o disminuye dependiendo del otro, B ha ocurrido o no, en estos casos es necesario definir la probabilidad condicional, P(A/B) La probabilidad condicional determina la probabilidad de que ocurra el suceso A dado que ya ocurrió el suceso B y puede calcularse aplicando el concepto de frecuencia relativa o por la relación de probabilidades siguiente: P(A/B) = P (A ∩ B) / P(B) PROPIEDADES: 0 ≤ p(A/B) ≤ 1 P(S/B) = 1 Si A1, A2, A3, son sucesos excluyentes P (A1 U A2, U A3/B) = P(A1/B) + P(A2/B) + P(A3/B) Si A y B son sucesos excluyentes P (A/B) = 0

Un taller industrial tiene 30 tornos unos son mecánicos M y otros son computarizados C , además algunos son nuevos N y otros usados U N U M 15 5 C 5 5 20 10 Un trabajador entra al taller y escoge un torno al azar y descubre que el nuevo. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mecánico? P(M/N) = P(M ∩ N) = 15/30 = 15/20 = 3/4 P(N) 20/30 TEOREMA DE LA MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDADES La probabilidad de que tenga lugar conjuntamente dos sucesos es igual al producto de la probabilidad del primero de ellos multiplicado por la probabilidad de que el segundo se produzca una vez que se haya producido el primero P (A ∩ B)= P(A) * P(B/A) 1. En una industria manufacturera de calzado el 96% de los artículos producidos diariamente para por un control de Calidad (A) y de 330 pares de zapatos controlados 275 son reconocidos

como de primera calidad (B) , la probabilidad de que el par de zapatos fabricado por esa industria sea controlado y de primera calidad (A ∩ B) se determina de la siguiente forma: P(A) = 0.96 P(B/A) = 275/330 = 0.833 P (A ∩ B)= P(A) * P(B/A) P (A ∩ B) = 0.96 * 0.833 = 0.80

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL O REGLA DE ELIMINACIÓN Si los eventos B1 , B2, ....Bk constituyen una partición del espacio muestral S tal que P(Bi) ≠ 0 para i 0 1,2,....k entonces para cualquier evento A de S, K k P(A) = ∑ P(Bi ∩ A) = ∑ P(Bi)(A /Bi) .i =1 .i=1 Ejemplo: En cierta planta de ensamblando de carros, tres máquinas B1, B2, B3, ensamblan el 40%, 35% y 25% de los vehículos respectivamente. De acuerdo a estudios realizados se ha establecido que los vehículos ensamblados pueden ser defectuosos un 5% si es ensamblado en la máquina B1, 3% si es en la B2 y 2% si es en la B3 . Supongamos que se elige en forma aleatoria un vehículo de la bodega de producto terminado. ¿Cuál es la probabilidad de que esté defectuoso. Consideremos los eventos: A = el vehículo está defectuoso B1= el vehículo fue ensamblado en la máquina B1 B2= el vehículo fue ensamblado en la máquina B2 B3= el vehículo fue ensamblado sexden la máquina B3 P(A) =

P(B1)P(A/B1)+ P(B2)P(A/B2)+ P(B3)P(A/B3)

P(B1)P(A/B1)= 0.40*0.05= 0.02 P(B2)P(A/B2)= 0.35*0.03= 0.0105 P(B3)P(A/B3)= 0.25*0.02= 0.005 P(A) = 0.02+0.0105+0.005= 0.0355

Si del mismo problema nos preguntamos cual es la probabilidad de que el vehículo defectuoso haya sido ensamblado en la máquina 2, dicha situación se resuelve por el teorema de Bayes

Partición del espacio muestral S

B1

B2

B3

A B4

Bn

TEOREMA DE BAYES Si los eventos B1, B2,....Bk constituyen una partición del espacio muestral S donde P(Bi) ≠ 0 para i = 1,2,3...k entonces para cualquier evento A en S tal que P(A) ≠ 0, P(Br/A) = P(Br ∩ A) = K ∑ P(Bi ∩ A) = .i =1

P(B3/A) =

P(Br)P(A/Br) k ∑ P(Bi)(A /Bi) .i=1

para r = 1,2,…k

P(B3)P(A /B3) = P(B1)P(A/B1)+ P(B2)P(A/B2)+ P(B3)P(A/B3)

1. Un estudio incluyo una muestra de 530 obreros agrícolas, a los cuales se les

preguntó si padecían de alguna enfermedad cardiovascular y/o diabetes. La distribución de los resultados obtenidos se incluye a continuación Con enfermedad Sin enfermedad TOTAL cardiovascular cardiovascular Con diabetes 180 75 255 Sin diabetes 90 185 275 TOTAL 270 260 530 Se elige un obrero al azar, determinar a. la probabilidad de que tenga una enfermedad cardiovascular b. la probabilidad que tenga diabetes c. La probabilidad de que el obrero este enfermo de diabetes dado que se observo que sufre enfermedad cardiovascular

2. Se seleccionó una muestra de 500 personas en un área metropolitana para determinar cierta información acerca del comportamiento de los consumidores. En la encuesta que se les hizo estaba la pregunta, ¿Disfruta usted comprando ropa? De 240 hombres, 136 respondieron que si, de 260 mujeres, 224 respondieron que sí. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo, a. Sea hombre y no disfrute comprando ropa? b. Sea mujer o disfrute comprando ropa? c. Sea mujer y disfrute comprando ropa? 3. La probabilidad de que un avión de la línea aérea COPA AIRLINES despegue a tiempo es de 0.83 y la de que éste llegue a tiempo a su destino es de 0.82. Si la probabilidad de que ambos eventos ocurra es de 0.78. Calcule la probabilidad de que: a) el avión llegue a tiempo dado que despegó a tiempo b) el avión haya despegado a tiempo dado que llegó a tiempo a su destino

4. La probabilidad de que un hombre casado vea cierto programa de televisión es de 0.4 y la probabilidad de que una mujer casada vea el programa es 0.5. La probabilidad de que un hombre vea el programa, dado que su esposa lo hace es 0.7. Encuentre la probabilidad de que: a) Un matrimonio vea el programa b) Una esposa vea el programa, dado que su esposo lo ve c) Al menos una persona de un matrimonio vea el programa

HOJA DE TRABAJO GRUPAL 1. En un concurso regional de ortografía, los ocho finalistas son tres niños y cinco niñas. Encuentre el número de puntos muestrales en el espacio muestral del número de ordenamientos posibles al final de concurso para los siguientes eventos: a) una niña obtiene el último lugar b) un niño obtiene el primer lugar, el segundo y el tercero lo ocupan niñas. c) tres niños obtienen los primeros tres lugares d) una niña obtiene el penúltimo lugar e) una niña obtiene el primer lugar, el segundo y el tercero lo ocupan niños. f) tres niñas obtienen los primeros tres lugares

2. ¿Cuántos números de cuatro cifras pueden formarse con los 10 dígitos si: a) los números pueden repetirse? b) los números no pueden repetirse? c) el último número debe ser cero y los números no pueden repetirse?

3. Un padre le da a su hijo una cantidad variable de dinero diaria para sus gastos en la Universidad. Suponga que el señor deja el asunto al azar: en cada uno de tres papeles escribe “Q.20”, en cada uno de otros cinco papeles escribe “ Q.10”, y en cada uno de otros siete papeles escribe “Q.5“. Dobla los quince papeles y los mete en un frasco. Su hijo debe sacar al azar cuatro papeles del frasco cada mañana (sin reemplazo) y le dará la cantidad que sumen ese día para cubrir sus gastos. a. Construya el espacio muestral para el total del dinero que puede llevar el joven a la Universidad. b. ¿Qué probabilidad tendrá de llevar a la universidad Q70.00? c. ¿Cuál es la cantidad mínima y máxima de dinero que puede llevar el joven a la universidad?

4. Se quiere preparar a un grupo de porristas de fútbol americano para el promocional de un programa televisivo. De ellas, tres son estadounidenses, dos son latinas, una europea y dos asiáticas. ¿Cuántos arreglos posibles hay si: a) se colocan de primero a las latinas? b) se coloca de último a la europea? c) se colocan de derecha a izquierda a la estadounidenses, latinas, europea y asiáticas? 5. Cinco pelotas rotuladas con los números 1,2,3,4,5 se colocan dentro de una urna. Se toman dos pelotas la azar de las cinco, y se anotan sus números. ¿Cuál es la probabilidad de que: a. la suma de ambas pelotas sea menor a 5? b. una pelota tenga un número par y la otra un impar? c. una de las pelotas tenga un número primo y la otra no esté repetida?