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• Misael Acosta

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1. Probabilidad INTRODUCCIÓN Históricamente, la forma más antigua de definir probabilidades, el concepto clásico de probabilidad, se aplica cuando todos los resultados posibles son igualmente probables, como es presumiblemente el caso en la mayoría de los juegos de azar. Podemos entonces decir que si hay 𝑁 posibilidades igualmente probables, de las cuales una debe ocurrir y 𝑛 se consideran favorables, o como un “acierto”, entonces la 𝑛

probabilidad de un “acierto” está dada por la razón 𝑁. EJEMPLOS

1. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un as de una baraja ordinaria de 52 cartas de juego? Solución Puesto que hay 𝑛 = 4 ases entre las 𝑁 = 52 cartas, la probabilidad de sacar un as 4

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es 52 = 13 . (Se supone, por supuesto, que cada carta tiene la misma oportunidad de salir.) ▲ Aunque las probabilidades igualmente probables se encuentran principalmente en los juegos de azar, el concepto clásico de probabilidad también se aplica en una gran variedad de situaciones donde se usan los dispositivos de juego para hacer selecciones aleatorias (cuando se asigna al azar el espacio de la oficina para los asistentes de enseñanza, cuando algunas familias de un municipio se escogen de manera que cada una tenga la misma oportunidad de ser incluida en un estudio, muestra de cuando las partes de una máquina se escogen para inspección de tal manera que cada parte producida tenga la misma oportunidad de ser seleccionada, y así sucesivamente). Una deficiencia importante del concepto clásico de probabilidad es su aplicación limitada, pues hay muchas situaciones en que las probabilidades que se presentan no pueden considerarse igualmente probables. Éste sería el caso, por ejemplo, si nos interesara la cuestión de si lloverá cierto día, si nos interesara el resultado de una elección, o si nos concierne la mejoría de una persona enferma. Entre los diversos conceptos de probabilidad, el más ampliamente sostenido es, la interpretación de frecuencia de acuerdo a la cual la probabilidad de un evento (resultado o suceso) es la proporción de las veces en que eventos de la misma clase ocurrirán en un largo plazo. Si decimos que la probabilidad de que un jet de Los Ángeles a San Francisco 1

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llegue a tiempo es de 0.84, queremos decir (de acuerdo con la interpretación de frecuencia) que tales vuelos llegarán a tiempo 84% de las veces. En forma similar, si el servicio meteorológico predice que hay 30% de posibilidades de lluvia (esto es, una probabilidad de 0.30), esto significa que bajo las mismas condiciones del clima lloverá 30%. En términos más generales, decimos que un evento tiene una probabilidad de, por ejemplo 0.90, en el mismo sentido en que podríamos decir que nuestro automóvil arrancará en clima frío 90% del tiempo. No podemos garantizar lo que sucederá en una ocasión en particular (el automóvil puede encender ahora y después tal vez no) pero si llevamos registros durante un largo periodo, debemos encontrarnos con que la proporción de “aciertos” es muy cerca de 0.90. Un punto de vista alternativo, que actualmente se ve favorecido, consiste en interpretar las probabilidades como evaluaciones personales o subjetivas. Tales probabilidades expresan la fuerza de lo que creemos respecto a las incertidumbres que están en juego, y se aplican especialmente cuando hay poca o ninguna evidencia directa, así que no hay más opción que considerar evidencia colateral (indirecta), “suposiciones educadas”, y quizá la intuición u otros factores subjetivos. El enfoque a la probabilidad que usaremos en este capítulo es el enfoque axiomático, en el que las probabilidades se definen como “objetos matemáticos” que se comportan de acuerdo a ciertas reglas bien definidas. Entonces, cualquiera de los conceptos o interpretaciones de probabilidad anteriores se pueden usar en aplicaciones en tanto sea congruente con estas reglas.

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2. ESPACIOS MUESTRALES Puesto que todas las probabilidades pertenecen a la ocurrencia o no ocurrencia de eventos, expliquemos primero el significado de evento y de los términos relacionados experimento, resultado y espacio muestral. En estadística se acostumbra denominar experimento a cualquier proceso de observación o medición por la cual obtenemos datos. En este sentido, un experimento puede consistir en el sencillo proceso de verificar si un interruptor está encendido o apagado; puede consistir en contar las imperfecciones en un pedazo de tela; o puede consistir en el tan complicado proceso de medir la masa de un electrón. Los productos de un experimento, ya sean lecturas de instrumentos, cuentas, respuestas “sí” o “no”, o valores obtenidos mediante cálculos extensos, se conocen como resultados del experimento. La energía consumida en una reacción química puede variar cuando el experimento se repite en tiempos diferentes o en laboratorios diferentes. Se trata de un experimento aleatorio con varios resultados. Supóngase que algunos de los componentes electrónicos de un día de producción no cumplen con las especificaciones de regulación del encendido de un sistema de alto acabado. Al seleccionar dos piezas del lote producido ese día tomando arbitrariamente dos de ellas y observar si cada pieza cumple con las especificaciones de regulación del encendido puede considerarse un experimento aleatorio. Los resultados dependen de las dos piezas particulares que por casualidad se hayan seleccionado. Si este experimento se repitiera, podrían escogerse dos piezas diferentes. Por consiguiente, podrían obtenerse resultados de la regulación del encendido diferentes. Al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio se le conoce como el espacio muestral y suele representarse con la letra S. Cada resultado de un espacio muestral se llama elemento del espacio muestral o simplemente un punto de la muestra. EJEMPLOS 1. Si el espacio muestral tiene un número finito de elementos, podemos enumerar los elementos en la notación usual de conjuntos; por ejemplo, el espacio muestral S, de los resultados posibles cuando se lanza una moneda al aire, se escribe como 𝑆 = {𝐻, 𝑇} donde H y T representa “cara” y “cruz”. 2. Los espacios muestrales con un número grande o infinito de puntos muestrales se describen mejor mediante un enunciado o una regla. Por ejemplo, si los posibles resultados de un

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experimento son el conjunto de ciudades en el mundo con una población de más de un millón, el espacio muestral se puede escribir como 𝑆 ={𝑥|𝑥 es una ciudad con una población de más de un millón} que se lee “S es el conjunto de toda x tal que x es una ciudad con una población de más de un millón”. 3. Si S es el conjunto de todos los puntos (𝑥, 𝑦) sobre la frontera o el interior de un círculo de radio 2 con centro en el origen, escribimos la regla 𝑆 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 4} 4. Si S es el conjunto de los enteros positivos impares, escribimos 𝑆 = {2𝑘 + 1|𝑘 = 0,1,2, … } La manera en que formulemos el espacio muestral en una situación dada dependerá del problema que se tenga. 5. Si un experimento consiste en lanzar una vez un dado y nos interesara qué lado queda hacia arriba, usaríamos el espacio muestral 𝑆1 = {1,2,3,4,5,6}. Sin embargo, si sólo nos interesa que la cara que queda hacia arriba sea par o impar, usaríamos el espacio de muestreo 𝑆2 = {𝑝𝑎𝑟, 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟}. ▲ Esto demuestra que bien se pueden usar diferentes espacios muestrales para describir un experimento. En general, es preferible que un elemento de un espacio muestral no represente dos o más resultados que son distinguibles en alguna manera. Así, en la ilustración precedente 𝑆1 sería preferible a 𝑆2 . En algunos experimentos es útil listar los elementos del espacio muestral de forma sistemática utilizando un diagrama de árbol. EJEMPLOS 6. Un experimento consiste en lanzar una moneda y después lanzarla una segunda vez si sale cara. Si sale cruz en el primer lanzamiento, entonces se lanza un dado una vez. Primer resultado

Segundo resultado

Punto muestral

H

HH

T

HT

1 2 3 4 5

T1 T2 T3 T4 T5

H

T

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T6

Al comenzar con la rama superior izquierda y movernos a la derecha a lo largo de la primera trayectoria, obtenemos el punto muestral HH, que indica la posibilidad de que ocurran caras en dos lanzamientos sucesivos de la moneda. Al seguir a lo largo de todas las trayectorias, vemos que el espacio muestral es: 𝑆 = {𝐻𝐻, 𝐻𝑇, 𝑇1, 𝑇2, 𝑇3, 𝑇4, 𝑇5, 𝑇6} 7. Suponga que de un proceso de fabricación se seleccionan tres artículos de forma aleatoria. Cada artículo se inspecciona y clasifica como defectuoso, D, o sin defectos (no defectuoso), N. Primer artículo

Segundo artículo

Tercer artículo

Punto muestral

D

DDD

N D

DDN DND

N

DNN

D

NDD

N D

NDN NND

N

NNN

D D N

D N N

Al comenzar con la primera trayectoria, obtenemos el punto muestral DDD, que indica la posibilidad de que los tres artículos inspeccionados estén defectuosos. Conforme continuamos a lo largo de las demás trayectorias, vemos que el espacio muestral es 𝑆 = {𝐷𝐷𝐷, 𝐷𝐷𝑁, 𝐷𝑁𝐷, 𝐷𝑁𝑁, 𝑁𝐷𝐷, 𝑁𝐷𝑁, 𝑁𝑁𝐷, 𝑁𝑁𝑁} 8. En los experimentos aleatorios que implican seleccionar artículos de un lote, se indicará si el artículo seleccionada se reemplaza o no antes de seleccionar el siguiente. Por ejemplo, si el lote se compone de tres artículos {𝑎, 𝑏, 𝑐} y el experimento consiste en seleccionar dos artículos sin reemplazo, el espacio muestral puede representarse como 𝑆 = {𝑎𝑏, 𝑎𝑐, 𝑏𝑎, 𝑏𝑐, 𝑐𝑎, 𝑐𝑏} . Sin embargo, si los artículos se reemplazan antes de seleccionar el siguiente, se dice que el muestreo es con reemplazo. Entonces, los resultados posibles son 𝑆 = {𝑎𝑎, 𝑎𝑏, 𝑎𝑐, 𝑏𝑎, 𝑏𝑏, 𝑏𝑐, 𝑐𝑎, 𝑐𝑏, 𝑐𝑐}. 5

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9. Para un experimento en el que tiramos un par de dados, uno rojo y uno verde, un espacio muestral que proporciona la mayor información consiste en los 36 puntos dados por 𝑆1 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 = 1,2, … ,6; 𝑦 = 1,2, … ,6} donde 𝑥 representa el número en que cayó el dado rojo y 𝑦 representa el número del dado verde. Un segundo espacio muestral, adecuado para la mayoría de los propósitos (aunque menos deseable en general ya que proporciona menos información), está dado por 𝑆2 = {2,3,4, … ,12} donde los elementos son los totales de los números en que cayeron los dos dados. ▲ Los espacios muestrales se suelen clasificar de acuerdo al número de elementos que contienen. En el ejemplo anterior los espacios muestrales 𝑆1 y 𝑆2 contenían un número finito de elementos; pero si se lanza una moneda hasta que aparezca una cara por primera vez, esto podría suceder en el primer lanzamiento, el segundo lanzamiento, el tercer lanzamiento,…, y hay infinitamente muchas posibilidades. Para este experimento obtenemos es espacio muestral 𝑆 = {𝐻, 𝑇𝐻, 𝑇𝑇𝐻, 𝑇𝑇𝑇𝐻, … } con una secuencia interminable de elementos. Pero aún en este caso el número de elementos se puede igualar uno a uno con los números enteros y en este sentido se dice que el espacio muestral es contable. Si el espacio muestral contiene un número finito de elementos o un número infinito aunque contable de elementos, se dice que es discreto. Los resultados de algunos experimentos no son ni finitos ni contablemente infinitos. Tal es el caso, por ejemplo, cuando uno realiza una investigación para determinar la distancia a la que cierta marca de automóviles viajará, con una ruta de prueba prescrita, con 5 litros de gasolina. Si suponemos que la distancia es una variable que puede medirse con cualquier grado de exactitud deseado, hay una infinidad de posibilidades (distancias) que no se pueden igualar uno a uno con los números enteros. También, si queremos medir la cantidad de tiempo que dos sustancias químicas tardan en reaccionar, las cantidades que forman el espacio muestral son infinitas en número y no son contables. Así, los espacios muestrales no necesitan ser discretos. Si un espacio muestral consiste en un continuo, tal como los puntos de un segmento de línea o todos los puntos de un plano, se dice que es continuo. Los espacios muestrales continuos surgen en la práctica siempre que los resultados de los experimentos son mediciones de propiedades físicas, como temperatura, velocidad, presión, longitud,…, que se miden con escalas continuas.

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3. EVENTOS Para cualquier experimento dado podemos enfocarnos en la ocurrencia de ciertos eventos, más que en el resultado de un elemento específico en el espacio muestral. Por ejemplo, quizás estemos interesados en el evento A, en el cual al lanzarse un dado es resultado es divisible entre 3. Éste ocurrirá si el resultado es un elemento del subconjunto 𝐴 = {3,6} del espacio muestral 𝑆1 del ejemplo 5. Como ilustración adicional, nos podemos interesar en el evento B de que el número de artículos defectuosos sea mayor que 1 en el ejemplo 7. Esto ocurrirá si el resultado es un elemento del subconjunto 𝐵 = {𝐷𝐷𝑁, 𝐷𝑁𝐷, 𝑁𝐷𝐷, 𝐷𝐷𝐷} del espacio muestral S. Respecto al espacio muestral 𝑆1 del ejemplo 9, el evento B en que el número de puntos obtenido con el par de dados es 7, está dado por 𝐵 = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} Observe que el evento de que caiga un total de 7 con los dos dados se representa con el conjunto de puntos dentro de la región delimitada por la línea punteada. Dado verde

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Dado rojo

De la misma manera, cualquier evento se puede identificar con un grupo de puntos, los que constituyen un subconjunto de un espacio muestral apropiado. Tal subconjunto consta de todos los elementos de un espacio muestral para los cuales el evento ocurre y en probabilidad y estadística identificamos el subconjunto con el evento. Así, por definición, un evento es un subconjunto de un espacio muestral de un experimento aleatorio.

EJEMPLOS 1. Si alguien dispara a un blanco tres veces y sólo nos interesa si cada disparo da o no en el blanco, describa un espacio muestral apropiado, los elementos del espacio muestral que constituyen el evento M que la persona no acertará en el blanco tres veces seguidas, y los elementos del evento N que la persona acertará una vez y fallará en dos ocasiones. Solución Si dejamos que 0 y 1 representen una falla y un acierto respectivamente, las ocho posibilidades (0,0,0) , (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1) , (1,1,0) , (1,0,1) , (0,1,1) y (1,1,1) se pueden mostrar como sigue Tercer tiro (0,0,1)

(0,1,1)

(1,0,1)

(1,1,1)

(0,0,0)

(1,0,0) Primer tiro

(0,1,0) (1,1,0) Segundo tiro

Así, se puede ver que 𝑀 = {(0,0,0)} y 𝑁 = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}. 2. Construya un espacio muestral para la duración de la vida útil de cierto componente electrónico e indique el subconjunto que represente el evento F de que el componente falle antes de final del sexto año. Solución 8

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Si t es la duración de la vida útil del componente en años, el espacio muestral se puede escribir 𝑆 = {𝑡|𝑡 ≥ 0}, y el subconjunto 𝐹 = {𝑡|0 ≤ 𝑡 < 6} es el evento de que el componente falle antes del final del sexto año. Con frecuencia tenemos interés en describir nuevos eventos a partir de combinaciones de los eventos existentes. Dado que los eventos son subconjuntos, es posible usar las operaciones básicas con juntos tales como la unión, intersección y el complemento para formar otros eventos de interés. Algunas de las operaciones básicas con conjuntos se resumen a continuación en términos de eventos:   

La unión de dos eventos es el evento que consta de todos los resultados que están contenidos en cualquiera de los dos eventos. La unión se denota por 𝐸1 ∪ 𝐸2 . La intersección de dos eventos es el evento que consta de todos los resultados que están contenidos en los dos eventos. La intersección se denota por 𝐸1 ∩ 𝐸2 . El complemento de un evento en un espacio muestral es el conjunto de resultados en el espacio muestral que no están en el evento. El complemento de 𝐸 se denota por 𝐸′.

EJEMPLOS 1. Sea 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} y 𝐵 = {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}, entonces, 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}. 2. Sea P el evento de que un empleado seleccionado al azar de una compañía petrolera fume cigarrillos. Sea Q el evento de que el empleado seleccionado ingiera bebidas alcohólicas. Entonces, el evento 𝑃 ∪ 𝑄 es el conjunto de todos los empleados que beben o fuman, o ambas cosas. 3. Si 𝑀 = {𝑥|3 < 𝑥 < 9} y 𝑁 = {𝑦|5 < 𝑦 < 12}, entonces, 𝑀 ∪ 𝑁 = {𝑧|3 < 𝑧 < 12}. 4. En el lanzamiento de un dado podemos hacer que A sea el evento de que ocurra un número par, y B el evento de que aparezca un número mayor que 3. Entonces, los subconjuntos 𝐴 = {2,4,6} y 𝐵 = {4,5,6} son subconjuntos del mismo espacio muestral 𝑆 = {1,2,3,4,5,6}. Si el resultado es un elemento del subconjunto {4,6}, entonces pertenece a la intersección de A y B. 5. Sea C el evento de que una persona seleccionada al azar en un café Internet sea un estudiante universitario, y sea M el evento de que la persona sea hombre. Entonces 𝐶 ∩ 𝑀 es el evento de todos los estudiantes universitarios hombres en el café Internet. 6. Sea R el evento de que se seleccione una carta roja de una baraja ordinaria de 52 cartas, y sea S toda la baraja. Entonces R’ es el evento de que la carta seleccionada de la baraja no sea una roja sino una negra. 7. Considere el espacio muestral S = {libro, catalizador, cigarrillo, precipitado, ingeniero, remache}. Sea A = {catalizador, remache, libro, cigarrillo}. Entonces, A’ = {precipitado, ingeniero}.

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La relación entre eventos y el correspondiente espacio muestral se puede ilustrar de forma gráfica utilizando diagramas de Venn. En un diagrama de Venn representamos el espacio muestral como un rectángulo y los eventos con círculos trazados dentro del rectángulo. De esta forma, en la siguiente figura vemos que S A 7

1 4 8

B

2

5 C

6 3

𝐴∩𝐵 = 𝐴∩𝐶 = 𝐴∪𝐶 = 𝐵′ ∩ 𝐴 = 𝐴∩𝐵∩𝐶 = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶′ = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶 = (𝐴 ∩ 𝐶)′ = (𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶)′ =

regiones 1 y 2, regiones 1 y 3, regiones 1, 2, 3, 4, 5 y 7, regiones 4 y 7 región 1, regiones 2, 6 y 7, regiones 1, 3 y 4, regiones 2, 3, 5, 6, 7 y 8 región 8 y así sucesivamente.

En la siguiente figura vemos que los eventos A, B y C son subconjuntos del espacio muestral S. También es claro que el evento B es un subconjunto del evento A, y simbólicamente lo expresamos con 𝐵 ⊂ 𝐴; el evento 𝐵 ∩ 𝐶 no tiene elementos y, por ello, B y C son mutuamente excluyentes o disjuntos; el evento 𝐴 ∩ 𝐶 tiene al menos un elemento; y el evento 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴. Cuando B y C son mutuamente excluyentes, escribimos 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝜙, donde 𝜙 denota el conjunto vacío, el cual no tiene elemento alguno. S A

B

C

La figura anterior puede, por lo tanto, representar una situación donde seleccionamos una carta al azar de una baraja ordinaria de 52 cartas y observamos si ocurren los siguientes eventos: A: la carta es roja, B: la carta es el jack, la reina o el rey de diamantes, C: la carta es un as. Claramente, el evento 𝐴 ∩ 𝐶 consiste sólo en los dos ases rojos. Varios resultados que se derivan de las definiciones precedentes, y que se pueden verificar de forma sencilla empleando diagramas de Venn, son los que siguen: 1. 2. 3. 4.

𝐴∩𝜙 =𝜙 𝐴∪𝜙 =𝐴 𝐴 ∩ 𝐴′ = 𝜙 𝐴 ∪ 𝐴′ = 𝑆 10

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𝑆′ = 𝜙 𝜙′ = 𝑆 (𝐴′)′ = 𝐴 (𝐴 ∪ 𝐵)′ = 𝐴′ ∩ 𝐵′ (𝐴 ∩ 𝐵)′ = 𝐴′ ∪ 𝐵′ (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶 = (𝐴 ∩ 𝐶) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶 = (𝐴 ∪ 𝐶) ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) 𝐴∪𝐵 =𝐵∪𝐴 𝐴∩𝐵 =𝐵∩𝐴

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Leyes DeMorgan Leyes distributivas

4. PROBABILIDAD DE UN EVENTO ¿Qué queremos decir cuando hacemos afirmaciones como “Juan probablemente ganará el torneo de tenis”, o “tengo una oportunidad de cincuenta por ciento de obtener un número par cuando se lanza un dado”, o “no tengo posibilidad de ganar en la lotería esta noche”, o “la mayoría de nuestros graduados probablemente estará casado dentro de tres años”? En cada caso expresamos un resultado del cual no estamos seguros; pero debido a la información del pasado o a partir de una comprensión de la estructura del experimento, tenemos algún grado de confianza en la validez de la afirmación. Las probabilidades son los valores de una función de conjunto, también conocida como medida de probabilidad, ya que, como veremos, esta función asigna números reales a los diversos subconjuntos de un espacio muestral S. Tal como los formularemos aquí, los postulados de probabilidad se aplican sólo cuando el espacio muestral S es discreto.

POSTULADO 1: La probabilidad de un evento es un número real no negativo; esto es, 𝑃(𝐴) ≥ 0 para cualquier subconjunto A de S. POSTULADO 2: 𝑃(𝑆) = 1. POSTULADO 3: Si 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 , …, es una secuencia finita o infinita de eventos mutuamente excluyentes de S, entonces 𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 ∪ … ) = 𝑃(𝐴1 ) + 𝑃(𝐴2 ) + 𝑃(𝐴3 ) + ⋯

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Puesto que las proporciones siempre son positivas o cero, el primer postulado está en completo acuerdo con la interpretación de frecuencia. El segundo postulado enuncia indirectamente que la certidumbre está identificada con una probabilidad de 1; después de todo, siempre se supone que debe ocurrir una de las posibilidades en S, y es a este evento cierto que asignamos una probabilidad de 1. Hasta donde concierne a la interpretación de frecuencia, una probabilidad de 1 implica que el evento en cuestión ocurrirá 100% de las veces o, en otras palabras, que ocurrirá con certeza. Tomando el tercer postulado en el caso más simple, que es para dos eventos mutuamente excluyentes 𝐴1 y 𝐴2 , se puede ver fácilmente que se cumple por la interpretación de frecuencia. Si un evento ocurre, digamos, 28% de las veces, otro evento ocurre 39% de las veces, y ambos eventos no pueden ocurrir al mismo tiempo (es decir, son mutuamente excluyentes), entonces uno o el otro ocurrirá 28 + 39 = 67% de las veces. Así, el tercer postulado se cumple, y el mismo tipo de argumento se aplica cuando hay más de dos eventos mutuamente excluyentes.

EJEMPLOS 1. Un experimento tiene cuatro resultados posibles, A, B, C y D, que son mutuamente excluyentes. Explique por qué las siguientes asignaciones de probabilidades no están permitidas: a) P(A) = 0.12, P(B) = 0.63, P(C) = 0.45, P(D) = −0.20; 9

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b) P(A) = 120, P(B) = 120, P(C) = 120, P(D) = 120. Solución a) P(D) = −0.20 viola el postulado 1; b) P(S) = P(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 ∪ 𝐷) =

9 45 27 + + 120 120 120

+

46 120

=

127 120

≠ 1, y eso viola el postulado 2.

Por supuesto, en la práctica real las probabilidades se asignan con base en la experiencia pasada, sobre la base de un análisis cuidadoso de las condiciones subyacentes, sobre la base de juicios subjetivos, o sobre la base de suposiciones – algunas veces la suposición de que todos los resultados posibles son equiprobables. TEOREMA 1: Si A es un evento en un espacio muestral discreto S, entonces P(A) es igual a la suma de las probabilidades de los resultados individuales que abarcan A. Para usar este teorema, debemos asignar probabilidades a los resultados individuales de los experimentos. EJEMPLOS 12

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1. Si lanzamos dos veces una moneda balanceada, ¿cuál es la probabilidad de sacar al menos una cara? Solución El espacio muestral es 𝑆 = {𝐻𝐻, 𝐻𝑇, 𝑇𝐻, 𝑇𝑇}, donde H y T denotan cara y cruz. Puesto que suponemos que la moneda está balanceada, estos resultados son igualmente posibles y asignamos a cada punto muestra la 1 4

probabilidad de . Denotemos con A el evento que sacamos al menos una cara, obtenemos 1

1

1

3

𝐴 = {𝐻𝐻, 𝐻𝑇, 𝑇𝐻} y 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐻𝐻) + 𝑃(𝐻𝑇) + 𝑃(𝑇𝐻) = 4 + 4 + 4 = 4. 2. Un dado está arreglado de manera que cada número impar tiene el doble de probabilidad de ocurrir que un número par. Encuentre 𝑃(𝐺), donde 𝐺 es el evento que un número mayor que 3 ocurra en un solo tiro del dado. Solución El espacio muestral es 𝑆 = {1,2,3,4,5,6}. Por lo tanto, si asignamos la probabilidad 𝑤 a cada número par y la probabilidad 2𝑤 a cada número impar, encontramos que 2𝑤 + 𝑤 + 2𝑤 + 𝑤 + 2𝑤 + 𝑤 = 9𝑤 = 1 de acuerdo al postulado 2. Se deduce que 𝑤 = 1 9

2 9

1 9

𝑃(𝐺) = + + =

1 9

y

4 . 9

TEOREMA 2: Si un experimento puede resultar en cualquiera de N resultados diferentes igualmente probables, y si n de estos resultados juntos constituyen el evento A, entonces la 𝑛

probabilidad del evento A es 𝑃(𝐴) = 𝑁 . 𝑛

Observe que la fórmula 𝑃(𝐴) = 𝑁 del teorema 2 es idéntica con la del concepto clásico de probabilidad. En verdad, lo que hemos demostrado aquí es que el concepto clásico de probabilidad es congruente con los postulados de probabilidad – resulta de los postulados en el caso especial donde los resultados individuales son todos equiprobables. EJEMPLO 1. Una clase de estadística para ingenieros consta de 25 estudiantes de ingeniería industrial, 10 de mecánica, 10 de eléctrica y 8 de civil. Si el profesor elige a una persona al azar para que conteste una pregunta, encuentre la probabilidad de que el estudiante elegido sea: a) un estudiante de ingeniería industrial, b) uno de ingeniería civil o eléctrica. Solución Se denotan con I, M, E y C las especialidades de los estudiantes en ingenierías industrial, mecánica, eléctrica y civil, respectivamente. El número total de estudiantes en la clase es de 53, todos los cuales tienen la misma probabilidad de ser seleccionados. 13

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a) Como 25 de los 53 estudiantes tienen especialidad en ingeniería industrial, la probabilidad 25

del evento I, elegir al azar a alguien de ingeniería industrial, es 𝑃(𝐼) = 53 = 0.47 b) Como 18 de los 53 estudiantes son de las especialidades de ingeniería civil o eléctrica, se 18

sigue que 𝑃(𝐶 ∪ 𝐸) = 53 = 0.34

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5. REGLAS DE PROBABILIDAD Basados en los tres postulados de probabilidad, podemos derivar muchas otras reglas que tienen aplicaciones importantes. Entre ellas, los cuatro teoremas siguientes son consecuencia inmediata de los postulados. TEOREMA 3: Si A y A’ son eventos complementarios en un espacio muestral S, entonces 𝑃(𝐴′) = 1 − 𝑃(𝐴) En relación con la interpretación de frecuencia, este resultado implica que si un evento ocurre, digamos, 37% de las veces, entonces no ocurre 63% de las veces. EJEMPLO 1. Si las probabilidades de que un mecánico automotriz dé servicio a 3, 4, 5, 6, 7, 8 o más vehículos en un día de trabajo dado son 0.12, 0.19, 0.28, 0.24, 0.10 y 0.07, respectivamente, ¿cuál es la probabilidad de que dé servicio al menos a 5 vehículos el siguiente día de trabajo? Solución: DEJAR ESPACIO PARA EL RESULTADO POR FAVOR TEOREMA 4: 𝑃(𝜙) = 0 para cualquier espacio muestral S. Es importante señalar que no resulta necesariamente que si 𝑃(𝐴) = 0 entonces 𝐴 = 𝜙, especialmente, en el caso continuo. TEOREMA 5: Si A y B son eventos en un espacio muestral S y 𝐴 ⊂ 𝐵, entonces 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵). En palabras, este teorema enuncia que si A es un subconjunto de B, entonces 𝑃(𝐴) no puede ser mayor que 𝑃(𝐵). Por ejemplo, la probabilidad de sacar un corazón de una baraja ordinaria de 52 cartas de juego no puede ser mayor que la probabilidad de sacar una carta roja. En 1

1

verdad, la probabilidad es 4, comparada con 2 . TEOREMA 6: 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1 para cualquier evento A. A veces nos referimos al tercer postulado de probabilidad como la regla especial de adición; es especial en el sentido que los eventos 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 , …, deben ser todos mutuamente excluyentes. Para dos eventos cualquiera A y B, existe la regla general de adición: TEOREMA 7: Si A y B son dos eventos en el espacio muestral S, entonces 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

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EJEMPLOS 1. En una zona metropolitana grande, las probabilidades son 0.86, 0.35 y 0.29 de que una familia (escogida aleatoriamente para una encuesta de muestreo) tenga un aparato de televisión a color, un aparato de televisión en blanco y negro, o ambas clases de aparatos respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia posea cualquiera de los dos o ambas clases de aparatos? Solución DEJAR ESPACIO PARA EL RESULTADO POR FAVOR

2. Cerca de cierta salida de la carretera I-17, las probabilidades son 0.23 y 0.24, de que un camión parado en un retén tendrá frenos defectuosos o neumáticos muy gastados. También, la probabilidad es 0.38 de que un camión parado es el retén tendrá frenos defectuosos y/o neumáticos muy gastados. ¿Cuál es la probabilidad de que un camión parado en este retén tendrá los frenos defectuosos así como los neumático muy gastados? Solución DEJAR ESPACIO PARA EL RESULTADO POR FAVOR

COROLARIO 1: Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) COLORARIO 2: Si 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 son mutuamente excluyentes, entonces 𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 ) = 𝑃(𝐴1 ) + 𝑃(𝐴2 ) + ⋯ + 𝑃(𝐴𝑛 ) Una colección de eventos {𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 } de un espacio muestral S se denomina una partición de S se 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 son mutuamente excluyentes y 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 = 𝑆. Por lo tanto, tenemos COROLARIO 3: Si 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 es una partición de un espacio muestral S, entonces 𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 ) = 𝑃(𝐴1 ) + 𝑃(𝐴2 ) + ⋯ + 𝑃(𝐴𝑛 ) = 𝑃(𝑆) = 1 Al usar repetidamente la fórmula del teorema 7, podemos generalizar esta regla de adición de manera que se aplique a cualquier número de eventos. Por ejemplo, para tres eventos obtenemos TEOREMA 8: Si A, B y C son tres eventos cualquiera en el espacio muestral S, entonces 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)

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EJEMPLO 1. Si una persona acude con su dentista, supongamos que la probabilidad de que le limpie la dentadura en 0.44, la probabilidad de que le tape una caries es de 0.24, la probabilidad de que se le extraiga un diente es 0.21, la probabilidad de que se le limpie la dentadura y le tape una caries es 0.08, la probabilidad de que le limpie la dentadura y le extraiga un diente es 0.11, la probabilidad de que le tape una caries y le saque un diente es 0.07, y la probabilidad de que le limpie la dentadura, le tape una caries y le saque un diente es 0.03. ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona que acude con su dentista se le haga por lo menos una de estas cosas? Solución DEJAR ESPACIO PARA EL RESULTADO POR FAVOR

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6. PROBABILIDAD CONDICIONAL La probabilidad de que un evento B ocurra cuando se sabe que ya ocurrió algún evento A se llama probabilidad condicional y se denota con 𝑃(𝐵|𝐴). El símbolo 𝑃(𝐵|𝐴), por lo general, se lee “la probabilidad de que ocurra B dado que ocurrió A” o simplemente “la probabilidad de B, dado A”. DEFINICIÓN 1: Si A y B son dos eventos cualquiera en un espacio muestral S y 𝑃(𝐴) ≠ 0, la probabilidad condicional de B dado A es 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐴) EJEMPLOS 1. Suponga que nuestro espacio muestral S es la población de adultos en una pequeña ciudad que cumplen con los requisitos para obtener un título universitario. Debemos clasificarlos de acuerdo con su sexo y situación laboral: Hombre Mujer Total

Empleado 460 140 600

Desempleado 40 260 300

Total 500 400 900

Uno de estos individuos se seleccionará al azar para que realice un viaje a través del país para promover las ventajas de estableces industrias nuevas en la ciudad. Nos interesaremos en los eventos siguientes: M: se elige a un hombre, E: el elegido tiene empleo. Al utilizar el espacio muestral reducido E, encontramos que 460 23 𝑃(𝑀|𝐸) = = 600 30 Sea 𝑛(𝐴) el número de elementos en cualquier conjunto A. Con el uso de esta notación, podemos escribir 𝑛(𝐸 ∩ 𝑀) 𝑛(𝐸 ∩ 𝑀)/𝑛(𝑆) 𝑃(𝐸 ∩ 𝑀) 𝑃(𝑀|𝐸) = = = 𝑛(𝐸) 𝑛(𝐸)/𝑛(𝑆) 𝑃(𝐸) donde 𝑃(𝐸 ∩ 𝑀) y 𝑃(𝐸) se encuentran a partir del espacio muestral original S. Para verificar este resultado, note que 600

2

𝑃(𝐸) = 900 = 3

y

460

Por lo tanto, 𝑃(𝑀|𝐸) = como antes. 18

23

𝑃(𝐸 ∩ 𝑀) = 900 = 45. 23/45 23 = 2/3 30

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2. La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es 𝑃(𝐷) = 0.83; la probabilidad de que llegue a tiempo es 𝑃(𝐴) = 0.82; y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es 𝑃(𝐷 ∩ 𝐴) = 0.78. Encuentre la probabilidad de que un avión: a) llegue a tiempo, dado que salió a tiempo; y b) salió a tiempo, dado que llegó a tiempo. Solución a) La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es DEJAR ESPACIO PARA EL RESULTADO POR FAVOR b) La probabilidad de que un avión haya salido a tiempo, dado que llegó a tiempo es DEJAR ESPACIO PARA EL RESULTADO POR FAVOR

3. El concepto de probabilidad condicional tiene innumerables aplicaciones industriales y biomédicas. Considere un proceso industrial en el ramo textil, donde se producen franjas (tiras) para una clase de ropa específica. Las franjas pueden estar defectuosas de dos maneras: en longitud y en textura. En cuanto a esta última el proceso de identificación es muy complicado. A partir de información histórica del proceso se sabe que 10% de las franjas no pasan la prueba de longitud, que 5% no pasan la prueba de textura y que sólo 0.8% no pasan ambas pruebas. Si en el proceso se elige aleatoriamente una franja y una medición rápida identifica que no pasa la prueba de longitud, ¿cuál es la probabilidad de que esté defectuosa en textura? Solución Considere los eventos L: defecto en longitud,

T: defecto en textura

Así, como la franja está defectuosa en longitud, la probabilidad de que esta franja esté defectuosa en textura está dada por DEJAR ESPACIO PARA EL RESULTADO POR FAVOR

Entonces, el conocimiento que da la probabilidad condicional aporta información considerablemente mayor que tan sólo saber 𝑃(𝑇).

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7. REGLAS MULTIPLICATIVAS Si multiplicamos las expresiones de ambos lados de la fórmula de la definición 1 por 𝑃(𝐴), obtenemos la siguiente regla de multiplicación. TEOREMA 9: Si A y B son dos eventos cualquiera en un espacio muestral S y 𝑃(𝐴) ≠ 0, entonces 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) En palabras, la probabilidad de que A y B ocurran ambos es el producto de la probabilidad de A y la probabilidad condicional de B dado A. Como los eventos 𝐴 ∩ 𝐵 y 𝐵 ∩ 𝐴 son equivalentes, del teorema 9 se sigue que también podemos escribir 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴) = 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐴|𝐵) EJEMPLOS 1. Si seleccionamos aleatoriamente dos cinescopios en sucesión de un embarque de 240 cinescopios, de los cuales 15 están defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que ambos estén defectuosos? Solución Si suponemos probabilidades iguales para cada selección (que es lo que queremos decir al seleccionar aleatoriamente cinescopios), la probabilidad de que el primer cinescopio esté defectuoso es

15 , 240

y la probabilidad de que el segundo cinescopio esté defectuoso dado que el 14

primer cinescopio está defectuoso es 239. Así la probabilidad de que ambos cinescopios estén 15

14

7

defectuosos es 240 ∙ 239 = 1912. Esto supone que estamos muestreando sin reemplazo; esto es, el primer cinescopio no se reemplaza antes de que se seleccione el segundo cinescopio. 2. Encuentre las probabilidades de sacar aleatoriamente dos ases de una baraja ordinaria de 52 cartas de juego si muestreamos: a) sin reemplazo; b) con reemplazo. Solución a) Si la primera carta no se reemplaza antes de que se saque la segunda, la probabilidad de sacar dos ases en sucesión es DEJAR ESPACIO PARA EL RESULTADO POR FAVOR b) Si la primera carta se reemplaza antes de que se saque la segunda, la probabilidad correspondiente es DEJAR ESPACIO PARA EL RESULTADO POR FAVOR

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El teorema 9 se puede generalizar fácilmente para que sea válido en más de dos eventos; por ejemplo, para tres eventos tenemos TEOREMA 10: Si A, B y C son tres eventos cualquiera en un espacio muestal S tal que 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) ≠ 0, entonces 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) ∙ 𝑃(𝐶|𝐴 ∩ 𝐵) EJEMPLO 1. Una caja de fusibles contiene 20 fusibles, de los cuales 5 están defectuosos. Si se seleccionan tres fusibles aleatoriamente y se sacan de la caja en sucesión sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que los tres fusibles estén defectuosos? Solución Si A es el evento de que el primer fusible esté defectuoso, B es el evento de que el segundo fusible esté defectuoso, y C es el evento de que el tercer fusible esté defectuoso, 5

4

3

entonces 𝑃(𝐴) = 20, 𝑃(𝐵|𝐴) = 19, 𝑃(𝐶|𝐴 ∩ 𝐵) = 18 y la sustitución en la fórmula del teorema 10 nos da 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) =

21

5 4 3 1 ∙ ∙ = 20 19 18 114