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ESCUELA POLIECNICA DEL EJERCITO SEDE LATACUNGA INGENIERIA ELECTRONICA Nombre: Andrés Santiago Olmos Tigse Nivel: Quinto “B” CAPITULO 5

Problemas Suplementarios VARIABLES ALEATORIAS Y VALOR ESPERADO 5.53.-Suponga que una variable aleatoria X toma los valores -4, 2, 3, 7 con las probabilidades respectivas.

k +2 2k −3 3 k −4 k +1 , , , 10 10 10 10 Encontrar la distribución y el valor respectivo de X.

k +2 2 k−3 3 k −4 k +1 + + + =1 10 10 10 10 k +2+2 k −3+3 k + 4+ k +1=10

k =2 k +2 =0.4 10 2 k −3 =0.1 10 3 k−4 =0.2 10 k +1 =0.3 10

x P(X=x)

4 0.4

2 0.1

3 0.2

7 0.3

E ( x )=(−4 )∗( 0.4 )+ ( 2 )∗( 0.1 ) + ( 3 )∗( 0.2 ) + ( 7 )∗(3)

E ( x )=1.3 5.54.- Se lanza un par de dados. Sea x el mínimo de los dos números que ocurren. Encuentre la distribución y el valor esperado de x. x

1 11/36

2 9/36

3 7/36

4 5/36

5 3/36

6 1/36

E ( x )=1(11/36)+2(9 /36)+3 (7/ 36)+4 (5/36)+5(3 /36)+6 (1/36)

E ( x )=91/ 36=2.53 5.55.- El peso de una moneda equilibrada 4 veces. Sea Y la secuencia más larga de caras que salga. Encuentre la distribución y el valor esperado de Y. (Compare con la variable aleatoria X en el problema 5.22)

x f(x)

0 1/16

1 7/16

2 5/16

3 2/16

4 1/16

1∗7 2∗5 3∗2 4∗1 27 + + + + = =1.68 ( 0∗1 16 ) ( 16 ) ( 16 ) ( 16 ) ( 16 ) 16

E ( x )=

5.56.- El peso de una moneda es alterado de manera que lanza 3 veces. Sea x el número de caras que aparece. a) Encuentre la distribución de x. b) Encuentre E(x). x

1 1/64

2 9/64

¼∗1 /4∗1/4∗¿ 1/64

3(1/4∗1/4∗3/ 4)=9 /64

3 27/64

P( H )=¾ yP(T )=1/4 , se

3(3 /4∗3/4∗1 /4)=27 /64

¾∗3 /4∗3 /4=27/64 a)

E( x )=0(1 /64 )+1(9/64)+2(27 /64)+ 3(27 /64 )

E( x )=144 /64 E( x )=2.25

5.57.- EL peso de una moneda es alterado de manera que

P (H )=

1 3

y

P ( T )=

2 3 . La

moneda se lanza hasta que aparezca una cara o 5 sellos. Encuentre el numero esperado E de lanzamientos de la moneda.

H ,TH , TTH , TTTH , TTTTH , TTTTT

X ( H )=1 X ( TH )=2 X ( TTH ) =3 X ( TTTH ) =4 X ( TTTTH )=5 X ( TTTTT )=5 1 2 P (1 ) =P(H )= P (2 )=P (TH ) = 3 3

( )( 13 )= 29 P ( 3)=P ( TTH )=( 23 )( 32 )( 13 )= 274

P ( 4 )=P (TTTH )=

( 23 )( 23 )( 23 )( 13 )= 818

P (5 )=P ( { TTTTH , TTTTT } )=

[( )( )( )( )( )] [( )( )( )( )( )]

P (5 )=P ( { TTTTH , TTTTT } )=

16 32 48 + = 243 243 243

E=E ( x )=1

2 3

2 3

2 3

2 3

1 2 + 3 3

48 ( 13 )+ 2( 29 )+3( 274 )+ 4 ( 818 )+5( 243 )

1 4 12 32 240 E=E ( x )= + + + + 3 9 27 81 243

2 3

2 3

2 3

2 3

E ( x )=2.6 . 5.58.- La probabilidad de que el equipo A gane cualquier juego es 1/2. Suponga que A juega contra B en un torneo. El primer equipo en ganar dos juegos seguidos o 3 juegos gana el torneo. Encuentre el numero esperado E de juegos en el torneo. x F(x)

2 2/4

3 2/8

4 2/16

5 4/32

E( x )=2(2/4 )+ 3(2/8)+4 (2/16)+5(4 /32) E( x )=23/8

E( x )=2.9 5.59.- Una caja contiene 10 transistores, de los cuales 2 están defectuosos. Se selecciona un transistor de la caja y se prueba hasta seleccionar uno no defectuoso. Encuentre el número esperado E de transistores que deben escogerse.

P ( D )= P (B)=

x f(x)

E ( x )=1

2 10

8 10

1 8/10

2 16/90

3 2/90

( 108 )+2( 1690 )+3 ( 902 )= 119

E ( x )=1.2 5.60.-Resuelva el problema anterior para el caso en el cual 3 de los 10 artículos son defectuosos.

P(D)=3/10

P( B)=7/ 10 x

1 7/10

2 21/90

3 42/720

4 6/720

7/10+2(21 /90)+3(42/720)+ 4 (6/720) E ( x)=1 ¿ E( x )=11/8

E( x )=1.4 5.61.- Cinco cartas están numeradas del 1 al 5. Se sacan dos cartas al azar (sin reposición). Sea X la suma de los números seleccionados. a) Encuentre la distribución de X b) Encuentre E(x)

a)

x F(x)

3 0.1

4 0.1

5 0.2

6 0.2

Usando el diagrama de árbol se obtiene

1 1 ∗1 ∗1 5 5 1 F ( 3 )= + = 4 4 10 1 1 ∗1 ∗1 5 5 1 F ( 4 )= + = 4 4 10 1 1 1 1 ∗1 ∗1 ∗1 ∗1 5 5 5 5 1 F ( 5 )= + + + = 4 4 4 4 5 1 1 1 1 ∗1 ∗1 ∗1 ∗1 5 5 5 5 1 F ( 6) = + + + = 4 4 4 4 5 1 1 1 1 ∗1 ∗1 ∗1 ∗1 5 5 5 5 1 F ( 7) = + + + = 4 4 4 4 5 1 1 ∗1 ∗1 5 5 1 F ( 8) = + = 4 4 10 1 1 ∗1 ∗1 5 5 1 F ( 9) = + = 4 4 10 b)

E ( x )=3 ( 0.1 )+ 4 ( 0.1 ) +5 ( 0.2 ) +6 ( 0.2 ) +7 ( 0.2 ) +8 ( 0.1 ) +9 (0.1)

E ( x )=6

7 0.2

8 0.1

9 0.1

5.62.-Una lotería con 500 boletos de un premio de $100, 3 premios de $50 cada uno, y 5 premios de $25 cada uno. a) Encuentre las ganancias esperadas de una boleta. b) Si una boleta cuesta $1 ¿Cuál es el valor esperado del juego? x

0 491/500

25 5/500

50 3/500

100 1/500

491/500+25( 5/500)+50(3/500)+100 (1/500) E ( x)=0¿ E( x )=3/4 E( x )=0.75

E( x )=0.75 – 1 E( x )=−0.25 5.64.-Un jugador lanza dos monedas equilibradas. El jugador gana $3 si ocurren 2 caras y $1 si ocurre una cara. Para que el juego sea justo ¿Cuánto debe perder el jugador si no ocurre ninguna cara? x f(x)

3 1/4

1 2/4

-a 1/4

Para que el juego sea justo E=0 0=3(1/4)+1(2 /4)– a( 1/4) a=5/4 (4 )

a=5 MEDIA, VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR 5.65.- Encuentre la media cada distribución. (a)

μ , la varianza

2

σ x , y la desviación estándar

σx

de

x f(x)

2 1/4

3 1/2

8 1/4

E( X)=(2)(1/ 4)+(3)(1/2)+( 8)(1/4)

E( x )=1/2+3/2+2 μ=E (x)=4

E( X 2)=(22)(1 /4)+(3 2)(1/2)+(8 2)(1/4 ) 2

E( X )=1+ 9/ 2+ 16 E( X 2)=21.5 Var ( x)=E(X 2 )−E (〖 x )〗2 Var (X )=21.5−〖(4 )〗2 2

σ =Var ( X )=5 .5 σ =√ (5 .5)=2. 34

(b) x f(x)

-2 1/3

-1 1/2

7 1/6

E( X)=(−2)(1 /3)+(−1)(1/2)+(7)(1/6)

E( x )=(−2/3)+(−1/ 2)+(7/6)

μ=E ( x)=0 E( X 2)=(−22)(1/3)+(−12)(1 /2)+(7 2)(1/6) E( X 2)=4 /3+ 1/2+ 49/6 E ( X 2 ) =10 x ¿ ¿ Var (x)=E ( X 2 )−E ¿

Var (X )=10−(0)2 σ 2=Var (X )=10 σ =√ 5 . 5=3. 2 5.66.-Encuentre la media de u, la varianza y la desviación estándar de cada distribución: x

-1 0.3

0 0.1

1 0.1

2 0.3

3 0.2

u=(−1)(0.3)+(0)(0.1)+(1)(0.1)+(2)( 0.3)+(3)(0.2) u=1

u( x 2)=(−1)2(0.3)+(0) 2(0.1)+(1)2( 0.1)+(2) 2(0.3)+(3) 2(0.2) u( x 2)=3.4

σ 2=3.4 – 1 2=2.4

σ =√ 2.4=1.5

x

1 0.2

2 0.1

3 0.3

6 0.1

7 0.3

u=(1)( 0.2)+(2)(0.1)+(3)( 0.3)+(6)(0.1)+(7)(0.3)

u=4 u( x 2)=(1)2(0.2)+(2)2(0.1)+(3)2( 0.3)+(6) 2(0.1)+(8)2( 0.3)

u( x 2)=21.6 σ 2=21.3 – 16

σ 2=5.6 σ =√ 5.6=2.37 5.67.- Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución: x F(x)

1 0.4

Encuentre la media

3 0.1

4 0.2

5 0.3

u , la varianza σ 2 , y la desviación estándar de X.

E ( x )=1 ( 0.4 ) +3 ( 0.1 ) +4 ( 0.2 )+5 ( 0.3 ) E ( x )=3 E( x 2)=1 ( 0.4 ) +9 ( 0.1 ) +16 ( 0.2 ) +25 ( 0.3 ) E( x 2)=12 var ( x )=E ( x 2 )−E ( x ) var ( x )=12−9

2

var ( x )=3 σ =√ var ( x ) σ =√ 3=1 .7 5.68.-Sean x la variable aleatoria en el problema anterior. Encuentre la media la varianza y la desviación estándar de cada variable aleatoria:

a) y = 3x+2 b) y = x2 c) y = 2x

x

1 0.4

3 0.1

4 0.2

5 0.3

y

5 0.4

11 0.1

14 0.2

17 0.3

u ( y )=( 5 ) ( 0.4 ) + ( 11 )( 0.1 ) + ( 14 )( 0.2 )+ ( 17 ) (0.3)

u ( y )=1 5 ¿ ¿ ¿ 2 ( 0.4 ) +(11) ¿ ¿ 2 ( 0.1 )+ ( 14 ) ¿ 17 u ( y 2 ) =¿ ¿ ¿ u ( y 2 )=148

σ

σ =

2

σ

2

= 27

√ 27 = 5.2

b) y

1 0.4

9 0.1

16 0.2

25 0.3

u( y )=(1)(0.4 )+(9)(0.1)+(16)(0.2)+( 25)(0.3)

u( y )=12 u( y 2)=(1)2( 0.4)+(9) 2(0.1)+(16)2(0.2)+(25)2(0.3)

u( y 2)=247.2 σ 2=247.2 – (12)2

σ 2=103.2 σ =√ 103.2=10.2 y

2 0.4

8 0.1

16 0.2

32 0.3

u( y )=(2)(0.4)+(8)(0.1)+(16)(0.2)+( 32)(0.3)

u( y )=14.4 u( y 2)=(2)2(0.4)+(8) 2(0.1)+(16) 2(0.2)+(32)2( 0.3)

u( y 2)=366.4 σ 2=366.4 – (14.4)2

σ 2=159.04

σ =√ 159.04=12.6 5.69.- Sea

X

x f(x)

una variable aleatoria con la siguiente distribución: -1 0.2

Encuentre la media

1 0.5

2 0.3

μ , la varianza σ 2 y la desviación estándar σ

de X.

E ( x )=(−1 ) ( 0.2 ) + ( 1 ) ( 0.5 ) + ( 2 )( 0.3 ) E ( x )=0.9 2 2 2 E ( x 2) =(−1 ) ( 0.2 ) + ( 1 ) ( 0.5 )+ ( 2 ) ( 0.3 )

E ( x 2) =0.2+ ( 0.5 )+ ( 1.2 ) =1.9 2

var ( x )=E ( x 2 )−[ E ( x ) ] var ( x )=1.9−(0.9)2 var ( x )=1.09 σ ( x )=√ var ( x )

σ ( x )=1.04 5.70.- Sea x la variable aleatoria en el problema 5.69. Encuentre la media la varianza y la desviación estándar de cada variable aleatoria y = ф(x) donde

a)

ф ( x)=x 4

b)

ф( x)=3 x

c)

ф ( x)=2 x−1

x

-1 0.2

1 0.5

2 0.3

y

1 0.2

1 0.5

16 0.3

u( y )=(1)(0.2)+(1)(0.5)+(16)( 0.3) u( y )=5.5

u( y 2)=(1)2( 0.2)+(1) 2(0.5)+(16)2(0.3) u( y 2)=77.5

σ 2=77.5 – (5.5)2 σ 2=47.25

σ =√ 47.25=6.87 a) y

1/3 0.2

3 0.5

9 0.3

u( y )=(1/3)( 0.2)+( 3)(0.5)+(9)(0.3) u( y )=4.27

u( y 2)=(1/3) 2(0.2)+(3)2( 0.5)+(9)2(0.3) u( y 2)=28.91

σ 2=28.82 – (4.27)2

σ 2=10.59 σ =√ 10.59=3.25 b) y

1 0.2

2 0.5

8 0.3

u( y )=(2)(0.2)+( 3)(0.5)+(8)(0.3) u( y )=3.6

u( y 2)=(2)2(0.2)+(3)2( 0.5)+(8)2(0.3) u( y 2)=21.4

σ 2=21.4 – (3.6)2 σ 2=8.44

σ =√ 8.44=2.91 5.71.- Encuentre la media

μ , la varianza

siguiente distribución de dos puntos donde x f(x)

a p

E( X)=(a)( p)+(b)( q)

E( x )=( ap)+(bq)

b q

2

σ x , y la desviación estándar p+q=1 .

σx

de la

μ=E ( x)=(ap+ bq)

E( X 2)=(a2 )( p)+(b 2)(q) E( X 2)=(a2 p)+(b2 q) E ( X 2 ) =(a 2 p+b 2 q) x ¿ ¿ 2 Var (x)=E ( X )−E ¿

Var (X )=(a2 p +b2 q)−(ap+ bq)2 σ 2=Var (X )= pq ( a−b )2 σ =√ pq ( a−b ) =|a−b|√ pq 2

5.73 Se selecciona dos cartas de una caja que contiene 5 cartas numeradas 1, 1,2,2 y 3 Sea X la suma y Y el máximo de los dos números seleccionados. Encuentre la distribución, la media, la varianza y la desviación estándar de las variables aleatorias: a)

X

b)

Y

c)

Z =x+ y

d)

W = XY

a) x F(x)

2 0.1

3 0.4

4 0.3

5 0.2

E ( x )=2 ( 0.1 )+3 ( 0.4 ) +4 ( 0.3 ) +5 ( 0.2 ) E ( x )=3 .6 2

E( x )=4 ( 0.4 ) +9 ( 0.1 ) +16 ( 0.2 ) +25 ( 0.3 ) E(x 2)=13.8 var ( x )=E ( x 2 )−E ( x )

2

var ( x )=13.8−12.96 var ( x )=0 . 84 σ =√ var ( x ) σ =√ 0. 84=0 . 91 b) Y G(Y)

1 0.1

2 0.5

3 0.4

E ( y )=( 0.1 ) +2 ( 0.5 ) +3 ( 0.4 ) E ( y )=2 .3 E( y 2 )=( 0.1 ) + 4 ( 0.5 ) +9 ( 0.4 ) E( y 2 )=5.7 var ( y )=E ( y 2) −E ( y ) var ( y )=5.7−5.29

2

var ( y )=0 . 41 σ =√ var ( y ) σ =√ 0. 41=0 . 64 c) Tabla De Distribución Conjunta De X y Y x\y 2 3 4 5 G(y)

1 0.1 0 0 0 0.1

2 0 0.4 0.1 0 0.5

3 0 0 0.2 0.2 0.4

f(x) 0.1 0.4 0.3 0.2

Z h(z)

3 0.1

5 0.4

6 0.1

7 0.2

8 0.2

E ( z )=3 ( 0.1 )+ 5 ( 0.4 ) +6 ( 0.1 ) +7 ( 0.2 ) +8( 0.2)

E ( z )=5 . 9 2

E( z )=9 ( 0.1 ) +25 ( 0.4 ) +36 ( 0.1 ) + 49 ( 0.2 )+ 8(0.2) E( z 2)=37.1 var ( z )=E ( z 2 )−E ( z )

2

var ( z )=37.1−34.81 var ( z )=2 . 29 σ =√ var ( z )

σ =√ 2 . 29=1 . 51 d) w h(w)

2 0.1

6 0.4

8 0.1

12 0.2

15 0.2

E ( w ) =2 ( 0.1 )+ 6 ( 0.4 ) +8 ( 0.1 ) +12 ( 0.2 )+ 15(0.2)

E ( z )=8 . 8 E( w2)=4 ( 0.1 )+36 ( 0.4 ) +64 ( 0.1 ) +144 ( 0.2 )+ 225(0.2) E( w2)=95

var ( w )=E ( w2 )−E ( w )

2

var ( w )=95−77.44 var ( w )=17 . 56 σ =√ var (w) σ =√ 2 . 29=4 . 19 DISTRIBUCIONES CONJUNTAS, VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES 5.74.-Considere la distribución conjunta de X e Y en la fig 5.23 encuentre

a)

E( x ) y E( y )

b)

Cov( x , y)

c)

σ x , σ y y ρ( X , Y )σ

x\y 1 5

a)

-4 1/8 ¼ 3/8

2 1/4 1/8 5/8

7 1/8 1/8 1/4

1/2 1/2

E( x )=(1)(1/ 2)+(5)(1/2)

E( x )=3 E( y )=(−4)(3 /8)+(2)(5 / 8)+(7)(1/4)

E( y )=1 b)

E( x , y)=(−4)(1)(1/8)+(2)(1)( 1/4)+( 7)(1)(1/8)

+(−4)(5)(1/4)+( 2)(5)(1/8)+(7)(5)(1/ 8) E( x , y)=1.5

cov (x , y )=E (x , y ) – E( x) E( y ) cov (x , y )=1.5 – (3)(1)

cov (x , y )=1.5 c)

E( x 2)=(1)2(1 /2)+(5) 2(1/2)

E( x 2)=13 σ 2=13 – 9

σ 2=4 σ =2

E( y 2)=(−4)2(3 /8)+(2)2(5 /8)+(7)2(1 /4)

E( y 2)=20.75 σ 2=20.75−1

σ 2=19.75 σ =4.4

ρ(x , y )=1.5 /(2)( 4.4) ρ( x , y )=0.17 5.75.- Considere la distribución conjunta de (a)

E ( X ) yE( y ) , (b) x\y 1 2 G(y)

-2 0.1 0.2 0.3

a)

E ( x )=∑ x i F (x i) E ( x )=1 ( 0.6 ) +2 ( 0.4 ) E ( x )=0.6+0.8

X

y

Y

cov ( X , Y ) , (c) σ X , σ Y -1 0.2 0.1 0.3

4 0 0.1 0.1

5 0.3 0 0.3

en la figura 5.23(b). Encuentre: y

ρ(X , Y ) . F(x) 0.6 0.4

E ( x )=1.4 E ( y )=∑ y i F( y i ) E ( y )=−2 ( 0.3 )−1 ( 0.3 ) +4 ( 0.1 )+5 (0.3)

E ( y )=−0.6−0.3+0.4+ 1.5 E ( y )=1 b)

cov ( X ,Y )=E ( X , Y )−E ( X ) E ( Y ) E ( X , Y )=( 1 ) (−2 ) ( 0.1 ) + ( 1 )(−1 ) ( 0.2 )+ (1 )( 5 ) ( 0.3 ) + ( 2 ) (−2 ) ( 0.2 ) + ( 2 ) (−1 ) (0.1)

+ ( 2 ) ( 4 )( 0.1 )=−0.2−0.2+1.5−0.8−0.2+0.8=0.9 cov ( X ,Y )=0.9−( 1.4 ) ( 1 )=−0.5 (c)

σ X , σY

E ( x 2) =∑ x i2 f (x i) 2 2 E ( x 2) =( 1 ) ( 0.6 ) + ( 2 ) (0.4)

E ( x 2) =0.6+1.6 E ( x 2) =2.2 var ( x )=E ( x 2 )−(E(x ))2 var ( x )=2.2−(1.4)2=0.24

σ X =√ var ( x )=√ 0.24=0.489

E ( y 2 )=∑ yi2 f ( y i) 2 2 2 2 E ( y 2 )=(−2 ) ( 0.3 )+ (−1 ) ( 0.3 ) + ( 4 ) ( 0.1 )+ ( 5 ) (0.3)

E ( y 2 )=1.2+0.3+ 1.6+7.5=10.1 var ( x )=E ( y 2 ) −( E ( y))2 var ( y )=10.1−(1)2=9.1 σ Y = √ var ( y )=√ 9.1=3.01 ρ ( X ,Y )=

cov ( x , y ) −0.5 = =−0.3 σ X σY 3.01∗0.489

5.76.-Suponga que x e y son variables aleatorias independientes con las siguientes distribuciones respectivas: x

1 0.7

2 0.3

y

encuentre la distribución h de x e y y verifique que la x\y 1 2

-2 0.21 0.09 0.3

5 0.35 0.15 0.5

E( x )=(1)(0.7)+(2)( 0.3)

E(x )=1.3

8 0.14 0.06 0.2

0.7 0.3

-2 0.3

cov ( x , y )=0 :

5 0.5

8 0.2

E( y )=(−2)(0.3)+(5)(0.5)+(8)(0.2)

E( y )=3.5 E( x , y)=(1)(−2)(0.21)+(1)(5)(0.35)+(1)( 8)(0.14)+¿

(2)(−2)(0.09)+(2)(5)(0.15)+(2)(8)(0.06) E( x , y)=4.55

cov (x , y )=4.55 – (1.3)(3.5) cov (x , y )=0 5.77.- Considere la distribución conjunta de X y Y en la figura 5/24(a). (a) Encuentre E(X) y E(Y) (b) Determine si X y Y son independientes (c) Encuentre la cov (X,Y). x\y 1 2 G(y)

2 0.06 0.14 3/8

3 0.15 0.35 5/8

4 0.09 0.21 1/4

f(x) 0.3 0.7

Fig. 5/24 (a)

(a)

E( X)=(1)(0.30)+(2)(0.70) E( X)=0.30+1.4

E( X)=1. 7 E(Y )=(2)(3/8)+(3)(5/8)+( 4)(1/4 )

E(Y )=3 /4+15 /8+1

E(Y )=29 /8=3 . 1

(b) Sisonindependientes

(c ) DebesercerosiXyYsonindependientes

E( X , Y )=(1)(2)(0.06)+(1)(3)(0.15)+(1)(4 )(0.09)+(2)(2)( 0.14)+(2)(3)(0.35)+(2)(4 )(0.21) E( X , Y )=0.12+0.45+ 0.36+0.56+2.1+1.68

E( X , Y )=5.27 Cov( X ,Y )=E (X , Y )−E( X ) E(Y )

Cov( X ,Y )=5.27−(1.7)( 3.1) Cov( X ,Y )=0

P≥ 1−

1 2 2

P≥ 0 . 75 5.78.-Considere la distribución conjunta de x e y en la figura encuentre: a)

E ( x ) yE ( y ) .

b) Determine x e y son independientes. c) Encuentre la distribución la media y la desviación estándar de la variable. x\y 0 1

-2 0.05 0.1

-1 0.05 0.05

0 0.1 0.05

1 0 0.1

2 0.05 0

3 0.05 0.05

2

0.03

a)

0.12

0.07

0.06

0.03

0.04

E( x )=( 0)(0.30)+(1)(0.35)+(2)(0.35)

E( x )=1.05 E ( y )=(−2 )( 0.18 )+ (−1 ) ( 0.22 ) + ( 0 ) ( 0.22 )+ ( 1 )( 0.16 ) +(2)(0.08)+(3)( 0.14) E( y )=0.16

b) (0.3)(0.18) = 0.05 0.054 = 0.05

no son independientes

(0.30)(0.22) = 0.05 0.066 = 0.05 c) z

-2 0.05

-1 0.15

0 0.18

1 0.17

2 0.22

E ( z )=(−2 )( 0.05 ) + (−1 ) ( 0.15 )+ ¿ (0)(0.18)+(1)(0.17)+(2)(0.22)+(3)(0.11)

+( 4)(0.08)+(5)(0.04) E( z )=1.2

E( z 2)=(−2) 2(0.05)+(−1)2(0.15)+(0)2( 0.18)+(1)2(0.17) +(2)2(0.22)+(3)2(0.11)+(4 )2( 0.08)+(5)2(0.04 )

E( z 2)=4.67

3 0.11

4 0.08

5 0.04

Var (z)=4.37 – (1.21)2

Var (z)=3.21 σ =√ 3.21 σ =1.79 5.79.- Una moneda equilibrada se lanza 4 veces sea X el numero de caras que ocurren y sea Y la secuencia de caras mas larga que ocurre. a) Determine la función conjunta de X y Y b) Encuentre cov(X,Y) y p(X,Y) a) x\y 0 1 2 3 4 G(y)

0 1/16 0 0 0 0 1/16

1 0 4/16 3/16 0 0 7/16

2 0 0 3/16 2/16 0 5/16

b)

( 161 )+ 164 + 166 + 1216 + 1216 + 1816 +1=5.41

E ( x , x )=

cov ( x , x )=E ( x , x )−E ( x ) E ( y)

cov ( x , x )=5.41−( 2∗1.7 )=0.85

ρ( x , x )=

cov (x , y ) σ xσ y

ρ( x , x )=

0.85 ( 0.64 ) (1.7)

3 0 0 0 2/16 0 2/16

4 0 0 0 0 1/16 1/16

f(x) 1/6 4/16 6/16 4/16 1/16

ρ ( x , x )=0 . 89 5.80.-Se seleccionan dos caras al azar de una caja que contiene cinco caras numeradas 1, 1, 2, 2 y 3 sea x la suma y y al máximo de los 2 números sacados a) Determinar la distribución conjunta de x e y b) Encuentre la cov(x,y) y �(x,y)

a) x\y 2 3 4 5

1 0.1 0 0 0

2 0 0.4 0.1 0

3 0 0 0.2 0.2

E( x )=(2)(0.1)+(3)(0.4 )+(4 )(0.3)+(5)(0.2) E( x )=3.6

E( y )=(1)(0.1)+(2)(0.5)+(3)( 0.4) E( y )=2.3

E( x , y)=(1)( 2)(0.1)+(2)(3)(0.4)+(3)(4)( 0.2)+(3)(5)( 0.2)+( 2)( 4)(0.1) E( x , y)=8.8

Cov(x , y)=E( x , y )– E(x )E( y) Cov(x , y)=8.8 – (3.6)( 2.3)

Cov(x , y)=0.52 E( x 2)=(2)2(0.1)+( 3)2(0.4)+(4 )2(0.3)+(5) 2(0.2)

E( x 2)=13.8

σ 2=13.8 – (3.6)2

σ 2=0.84 σ =√ 0.84=0.92 E( y 2)=(1)2(0.1)+(2) 2(0.5)+( 3)2(0.4)

E( y 2)=5.7 σ 2=5.7 – (2.3)2

σ 2=0.41 σ =√ 0.41=0.64 ρ( x , y )=cov ( x , y )/σ x σ y

ρ( x , y )=0.52 /(0.92)(0.64) ρ( x , y )=0.9

DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV 5.81.- Sea

X

una variable aleatoria con media

Utilice la desigualdad de Chebyshev para estimar Por el teorema:

P ( μ−kσ ≤ X ≤ μ+ kσ ) ≥1−

1 k2

P ( μ−3 σ ≤ X ≤ μ+3 σ ) ≥ 1−

1 32

μ

y desviación estándar

P( μ−3 σ ≤ μ+3 σ ) .

σ .

P ( μ−3 σ ≤ X ≤ μ+3 σ ) ≥ 1−

1 9

P ( μ−3 σ ≤ X ≤ μ+3 σ ) ≥ 0.888 5.82.-Sean z la variable aleatoria normal estándar con media estándar

u=0

y desviación

σ =1 . Utilice la desigualdad de chebyshev para encontrar un valor b para el

cual

P(−b≤z ≤b)≥0.9 1 – 1/k 2=0.9

0.1=1/k 2 K= √ 10 b=k σ

b=√10 (1) b=√10 5.83.- Sea una variable aleatoria con media

μ=0

y desviación estándar

Utilice la desigualdad de Chebyshev para estimar: P (-3

P ( μ−k σ ≤ X ≤ μ+ k σ ) ≥ 1−

1 k2

P ( 0−1.5 k ≤ X ≤0+ 1.5 k ) ≥ 1−

0−1.5 k=−3

1 k2

≤ X ¿ 3).

σ x =1.5 .

−1.5 k =−3

k =2 P≥ 1−

1 k2

0+1.5 k =3

1.5 k=3 k =2

5.84.-Sea x una variable aleatoria con media

u=70 ¿para que valor de

σ

produjerala desigualdad de chebyshev P(65≤X≤75)≥0.95 ? 1−1/ K=0.95 0.05=1 / K

K= √20 u−k σ=65 70− √ 20 σ =65 σ=

5 =1.12 √ 20

5.85.- Sea X una variable aleatoria con media

u=100

. Utilice la desigualdad de Chebyshev para estimar: a)

P ( X ≥ 120 )

b)

P ( X ≤ 75 )

Datos

y desviación estándar

σ =10

u=100

σ =10 a)

P (u−kσ ) ≤ X ≤ (u+ kσ ) ≥1−

1 k2

u−kσ=120

100−k 10=120 k 10=100−120

k=

100−120 10

k =−2 1−

1 =0.75 2 (−2)

P ( X ≥ 120 ) =075 b)

P (u−kσ ) ≤ X ≤ (u+ kσ ) ≥1−

u+kσ =75

100+k 10=75 k 10=75−100

k=

75−100 10

1 k2

k =−2.5

1−

1 =0.84 (−2.5)2 P ( X ≤ 75 )=0 .84

PROBLEMAS MISCELÁNEOS 5.86.-Sean x una variable aleatoria continua con la siguiente distribución

1/8 si 0≤ x≤8 f ( x)

=

Encuentre: a)

P(2≤x≤5)

b) P(38 8

5.88.-Sea x una variable aleatoria continua con la siguiente distribución

Kx si 0≤x≤5

F

de la

0 en otra parte

f(x) =

Evalué k y encuentre a)

P(1≤x≤3)

b)

P(2≤x≤4)

c)

P( x≤3)

A=b∗h/2 1=(5 k )(5)/2

K=2 /25 a)

f (1)=2/25

f (3)=6/25 a=½(2/25+6 /25)( 2)

a=8/25 b)

f (2)=4 /25

f (4)=8/25 a=½( 4/25+ 8/25)(2)

a=12/25

c)

f (3)=6/25 f (0)=0

a=(6 / 25)(3)/2=9/25 5.89.- Grafique la función de distribución acumulada F de la variable aleatoria discreta X con la siguiente distribución: x f(x)

-3 1/4

2 1/2

6 1/4

1 1 1 F ( X ) = ∗μ−1 ( x+ 3 ) + ∗μ−1 ( x−2 ) + μ−1 ( x−6 ) 4 2 4

5.90.-Pruebe el teorema 5.11 sea

x, y ,z

variables aleatorias de S con

Z =ф (x , y )

entonces ❑

E(Z) =

∑ ф ( xi , yj ) h(xi , yj) i, j

donde h es la distribución conjunta de x e y

X =Xi , … … . Xn

Y =Yi … ….. Ym

Z =ф (x , y ) ❑

g(Z)=∑ h(xi , yj) i,j

❑

❑

❑

i,j

❑

❑

E( Z)=∑ Zg ( Zj ) =∑ Z ∑ h( Xi , Yj) ❑

❑

❑

❑

h ( Xi , Yj ) ∑ Z=¿ ∑ ф ( x , y ) h( Xi , Yj) ❑

E (Z )=∑ ¿ i, j

5.91.- Sea X una variable aleatoria para el cual

σx≠0

x)=-1 x f(x)

1 0.1

2 0.5

3 0.4

E ( x )=2 .3 σ =√ 0. 41=0 . 64

x\x 1 2 3 F(x)

1 0.1 0 0 0.1

2 0 0.5 0 0.5

E ( x , x )=( 0.1 ) +2+3.6=5.7 cov ( x , x )=E ( x , x )−E ( x ) E (x)

cov ( x , x )=5.7−( 2.3∗2.3 )=0.41

3 0 0 0.4 0.4

f(x) 0.1 0.5 0.4

demuestre que p(x,x)=1 y p(x,-

ρ( x , x )=

cov (x , y ) σxσx

ρ( x , x )=

0.41 ( 0.64 ) ( 0.64)

ρ( x , x )=1 x\x 1 2 3 F(x)

-1 0.1 0 0 0.1

-2 0 0.5 0 0.5

E ( x , x )=−( 0.1 )−2−3.6=−5.7 cov ( x , x )=E ( x , x )−E ( x ) E (x)

cov ( x , x )=−5.7+ ( 2.3∗2.3 )=−0.41

ρ( x , x )=

cov (x , y ) σxσx

ρ( x , x )=

−0.41 ( 0.64 ) ( 0.64)

ρ ( x , x )=−1

-3 0 0 0.4 0.4

f(x) 0.1 0.5 0.4