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• Ivan Ayil Barbosa

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Aplicando las reglas de probabilidad realiza de manera clara los siguientes ejercicios:

a)Ejercicios de principio fundamental de conteo. En un restaurante de comidas corridas se ofrece la posibilidad de elegir plato de entrada sopa o arroz; como plato principal carne, pollo o pescado y de postre pastel o helado. ¿De cuántas maneras distintas se puede elegir una comida corrida?

Es una multiplicación de combinaciones posibles de cada alimento por las otras que sean posibles ya que pueden ser las dos opciones de sopa o arroz por las 3 que son carne, pollo o pescado y también pueden ser por las de pastel y helado. En total son 12 maneras de elegir una comida corrida. carne sopa

pollo

pastel

arroz

pescado

helado

2

3

2

Maneras

2*3*2

12

• En una ciudad de la república mexicana las placas de los autos particulares constan de tres dígitos seguidos, tres 3 letras (26 letras del alfabeto). Determinar cuántas placas puede haber.

Como se pueden repetir letras, tenemos que hay variaciones con repetición de 26 letras tomadas de 3 en 3, lo cual es 26 * 26 * 26, es decir, 263 = 17576. Si tenemos que la numeración de las tres cifras empieza en 000 y termina en 999, tendremos 1000 posibles números, que multiplicando por la cantidad de variaciones de tres letras nos da 17,576,000. digitos 1

letras 2

3

1

2

3

10

10

26

26

26

Opciones 10 Cantidad

10*10*10*26*26*26

17576000

• Si en el ejercicio anterior no se pueden repetir dígitos o letras, ¿cuántas placas puede haber?

Se multiplican los dígitos posibles de cada uno de los espacios y se resta un dígito posible a cada espacio, luego se multiplican por el número de letras posibles, restando una opción posible por el número de espacios disponibles, quedando primero 26 opciones, luego 25 y luego 24 opciones de letras. Esto resulta en 11,232,000 placas posibles.

Digito 1

Letra 2

3

1

2

3

9

8

26

25

24

opciones 10 Cantidad

11232000

10*9*8*26*25*24

• Una encuesta consiste en siete preguntas. Cuatro de las preguntas tienen dos posibles respuestas y las otras tres tienen cuatro posibles respuestas. ¿De cuántas maneras distintas se puede responder la encuesta? Multiplicación de las posibles respuestas el número de preguntas en las que son opción (4 y 3). En este caso se multiplican 2 posibles respuestas las 4 veces que son opción y se multiplica el 4 las 3 veces que son opción.

Preguntas

1

2

3

4

5

6

7

Posibles respuestas

2

2

2

2

4

4

4

Formas de respuesta

1024

2*2*2*2*4*4*4

• Si seis personas abordan un avión en el que hay diez asientos vacíos, ¿de cuántas maneras pueden ocupar esos diez asientos? La forma de realizar esto es con la multiplicación de los número de asientos disponibles, restando uno sucesivamente por el número de personas que los ocupan. Primero 10 asientos, luego 9, luego 8, 7, 6 y 5. Personas

1

2

3

4

5

6

Asientos

10

9

8

7

6

5

Número de maneras

10*9*8*7*6*5

151200

b) Ejercicios de permutaciones. • En una carrera participan diez caballos. ¿De cuántas maneras pueden terminar tres caballos en primero, segundo y tercer lugar?

Multiplicación de 3 números, de acuerdo con la cantidad de caballos que pueden quedar, restando uno a cada lugar. Se multiplican los 10 caballos que pueden quedar en 1er lugar, por los caballos que pueden quedar en segundo y esto también por el número de caballos que pueden quedar en tercer lugar, quedando 720 formas de ganar los primeros tres lugares

Caballos

1

2

3

Lugares

1

2

3

4

5

6

Cantidad de 10*9*8 maneras en 3 primeros lugares

7

8

9

10

720

• Una cerradura de combinación tiene tres ruedas con diez dígitos cada una. ¿Cuántas combinaciones formadas por tres dígitos son posibles si un dígito no puede ser usado más de una vez?

Multiplicación de la cantidad de opciones de la primera rueda, por el número de opciones posibles de la tercera, por el número de opciones posibles de la segunda rueda, por cada una de las veces que se pueden combinar.

Ruedas

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Dígitos

10

9

9

9

9

9

9

9

9

9

Cantidad combinaciones

de

10*9*9*3*3*3

19683

• En una elección participan diez personas para las posiciones de presidente y vicepresidente, otras cinco personas participan para la posición de tesorero, y un tercer grupo de doce personas participan para las posiciones de primer,

segundo y tercer secretario. ¿De cuántas maneras posibles puede terminar la elección?

En este caso es una multiplicación de las opciones posibles para cada uno de los puestos disponibles según el número de opciones, personas para cada puesto considerando que se van restando opciones para puestos disponibles. Se multiplican 12 posibles personas para primer secretario, por 11 posibles personas para segundo, 10 posibles para tercero, por los 10 y por los 9 posibles presidente y vicepresidente, por los 5 posibles tesoreros.

Presidente y 1 vicepresidente

2

3

4

5

Tesorero

1

2

3

4

5

Secretarios

1

2

3

4

5

Formas de terminar la elección

6

7

8

9

10

6

7

8

9

10

11

12

594000

12*11*10*10*9*5

• Determina el número de señales que se pueden hacer en un asta si se izan dos banderas de un juego de seis banderas de colores diferentes.

Se multiplican el número de banderas por el número de veces que se pueden combinar de acuerdo con los colores disponibles, permitiendo crear 64 señales distintas.

Banderas

1

2

3

4

5

6

Juego

2

2

2

2

2

2

Número de señales

2*2*2*2*2*2

64

c) Ejercicios de combinaciones • ¿De cuántas maneras se puede elegir a dos de cincuenta empleados con igual mérito para otorgarles un aumento salarial igual?

Multiplicación del número de empleados exponencialmente al número de oportunidades que tienen de ser escogidos para un aumento.

Empleados

50

A seleccionar

2

Cantidad de formas

50*50

2500

• En una compañía hay 30 obreros y 10 empleados. ¿De cuántas maneras se puede elegir un comité formado por tres obreros y cuatro empleados?

Se multiplica el número de obreros disponibles para cada uno de los 3 y 4 lugares disponibles. 30 para el primer lugar de los 3 disponibles en el comité, por los 29 para el segundo y por los 28 para el tercero, por los 10 empleados para el primer lugar de los 4 disponibles, por los 9 para el tercer, por los 8 y 7 para el segundo y último.

Obreros

30

3

Empleados

10

4

Cantidad de maneras

30*29*28*10*9*8*7

122774400

• ¿De cuántas maneras se puede elegir tres ganadores de una T. V., cada uno en una rifa en la que participan 100 personas? Si se pueden escoger entre 100 personas para el primer ganador, 99 para el 2do y 98 para el tercero, al multiplicarse esas posibilidades, resulta en 970200 formas de escoger ganadores.

Cantidad de participantes

100

Posibles ganadores

3

Cantidad de maneras

100*99*98

970200

• Una comisión del senado está integrada por nueve senadoras y ocho senadores. Se requiere elegir una subcomisión integrada por cuatro miembros de la

comisión. Si la subcomisión consiste en dos senadoras y dos senadores, ¿de cuántas maneras se puede formar?

Si hay 9 posibles senadoras para uno de los lugares, y quedan 8 posibles para el otro lugar y 8 y 7 senadores para los dos lugares disponibles, quedan 4032 formas de formar la comisión del senado.

Senadoras

9

Senadores

8

Subcomisión

2 senadores

2 senadoras

Cantidad de maneras

9*8*8*7

4032

d) Ejercicios de probabilidad

• Un estudio en una tienda departamental muestra que de 3,560 clientes que entraron a la tienda, sólo 1,134 hicieron al menos una compra. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que entra a la tienda haga al menos una compra?

Se dividen el número de accesos = compras entre el número de accesos totales, 1134 compras entre el número de clientes (3560), habiendo una probabilidad de casi 32% de que una compre. Probabilidad = 1134/3560Probabilidad = .3185Probabilidad = 31.85 %

Clientes

3560

Compras

1134

Probabilidad de compra de 1134/3560 una persona

0.318539325842697

• La población estudiantil de una escuela es de 350 mujeres y 390 hombres. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar a un estudiante este sea mujer?

Se divide la población de mujeres entre la población total de estudiantes, dando una probabilidad del 47% de que sea mujer escogiendo un estudiante al azar. Probabilidad M = 350 / (350+390)Probabilidad M = 350/70 = .4729Probabilidad M =47.29

Mujeres

350

Hombres

390

Probabilidad de que sea 350/ (350+390) mujer

740 0.4729729729729 73

• Un fabricante de piezas de cerámica requiere que en cada caja de veinte piezas se sometan a inspección cuatro de ellas antes de ser embarcadas. Si las cuatro piezas embarcadas están bien, se hace el embarque, pero si alguna de las cuatro tiene un defecto, se tienen que inspeccionar las otras dieciséis piezas. ¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja si una de las veinte piezas está defectuosa?

De un total de 20 piezas, se inspecciona una muestra de 4 piezas, de donde una o las 4 piezas pueden estar defectuosas.

Caja

20

piezas

Inspecciones

4

piezas

Probabilidad

(1/20) * (19/4)/20/4)

0.8

e) Ejercicios de la regla de la adición

• Las probabilidades de que una agencia de automóviles venda o, 1, 2, 3, 4 y 5 autos durante cierta semana son respectivamente 0.05, 0.1, 0.15, 0.18, 0.12 y 0.05, ¿Cuáles son las probabilidades de que se vendan de dos a cinco autos?

Al ser eventos mutuamente excluyentes, sólo se suma la probabilidad de vender 2, 3, 4 y 5 autos, dando un 50% de probabilidad de vender de 2 a 5 autos.

0

1

2

3

4

5

0.05

0.1

0.15

0.18

0.12

0.05

Probabilidad de vender 2-5 automóviles

0.15+0.18+0.12+0.05

0.5

• Las probabilidades de que una agencia de automóviles venda o, 1, 2, 3, 4 y 5 autos durante cierta semana son respectivamente 0.05, 0.1, 0.15, 0.18, 0.12 y 0.05, ¿Cuáles son las probabilidades de que se vendan cinco o más autos?

Se calcula 0.05+0.1+0.15+0.18+0.12, resulta en 60% de probabilidad, entonces la probabilidad de que se vendan 5 o más autos es 1-0.6 =0.4, o sea del 40%

0

1

2

3

4

5

0.05

0.1

0.15

0.18

0.12

0.05

Probabilidad de vender 5 o mas 1automóviles (0.05+0.1+0.15+0.18+0.12+0.05)

0.4

• Un estudio de mercado estima que las probabilidades de que una familia de cierta zona vea el noticiero de TV Azteca es de 0.3, que vea el noticiero de Televisa es de 0.2 y de que vea ambos es de 0.02. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia vea al menos uno de los dos noticieros?

Considerando que vea el noticiero de TV Azteca es P(A)= 0.3, vea el noticiero de Televisa es P(B)= 0.2 y de que vea ambos es deP(A∩B) =0.02 Como la probabilidad de que vean ambos noticieros es positiva, los eventos A y B no son mutuamente excluyentes. Por lo tanto, se deben transmitir en diferente horario. Debemos calcular la probabilidad de que la familia vea uno de los dos o ambos noticieros, esto es,P (A∪B) Por la regla anterior ( A∪B) =P( A) +P(B) –P( A∩B)=0.3+0.20.02=0.48

f) Ejercicios de la regla de la multiplicación, probabilidad conjunta y probabilidad condicional

• Una caja de fusibles que contiene veinte unidades, de las cuales cinco están defectuosas. Si se seleccionan dos fusibles al azar y se retiran de la caja, uno tras otro ¿cuál es la probabilidad de que ambos estén defectuosos?

Ya que A es el evento de que el primer fusible este defectuoso y B el evento de que el segundo este defectuoso; entonces, queda A ∩ B como el evento de que ocurra A, y entonces B ocurre después de que haya ocurrido A. La probabilidad de separar primero un fusible defectuoso es 1/4; entonces, la probabilidad de separar un segundo fusible defectuoso de los restantes 4 es 4/19. Por lo tanto:

P(A ∩ B) = (1/4) (4/19) = 1/19

Defectuosas

1

2

Caja

20

fusibles

Probabilidad P (A ∩ B)

3

4

(1/4) (4/19)

5

0.0526315789473684

Bibliografía: Lipschutz, S., Cortiñas Vázquez, P., & Schiller, J. (2001). Introducción a la probabilidad y estadística. Madrid (España): McGraw-Hill. Clase 21 Probabilidades y estadística. https://www.youtube.com/watch?v=syml9b-Y37c

(2018).

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Materia: PROBABILIDAD Y ESTAD�STICA. (2018). Retrieved http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/amarillo.htm

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